实数,无理数常见形式

精锐教育学科教师辅导讲义

学员编号：xxxxx 年级：xx 课时数：xx

学员姓名：xxxx 辅导科目：数学学科教师：xx

授课类型C(数的开方) C （实数及其运算）T （实数应用）授课日期及时段Xxxx年x月x日xxxx---xxxx

教学内容

一、专题讲解

平方根

定义：一般地，如果一个数的平方等于a，那么这个数叫做a的平方根，或叫a的二次方根。

特点：一个正数有正负两个平方根，它们互为相反数，0的平方根是0，负数没有平方根。

表示方法：一个整数a的正的平方根表示为“a”或“2a”，其中a叫做被开方数;“2”中的2叫做根的指数（一般可省略不写）；“a”或“2a”读作“二次根号a”或“根号a”；正数a的负的平方根表示为“－a”或“－2a”；正数a的平方根为±a，读作“正负根号a”我们把a的正的平方根a称为a的算术平方根。

开平方运算

定义：求一个非负数a的平方根的运算叫做开平方，其中数a叫做被开方数；平方运算与开平方运算是互为逆运算的关系

平方根（或算术平方根）的几个公式：式子±a有意义的条件为a≥0；

a表示a的算术平方根，a是非负数，即a≥0；

()2a =a（a≥0），()2a-=a（a≥0）；2a=a=a，a≥0或；－a，a﹤0

例题：1、使式子2

52

x x --有意义的x 的取值范围是 。

2. 使等式2()x x --=成立的x 的值（ ）

A 、是正数

B 、是负数

C 、是0

D 、不能确定 3.81的平方根是（ ）

A ．9

B ．9±

C ．3

D ．3± 非负性：

A ．非负数：若a ≥0，则称a 为非负数，初中阶段有三种非负数：a ，a ，2

a B ．若几个非负数的和为0 ，在这几个非负数均为0. 例题：1. 已知231(1)0,a

b a b ++-=+=则 。 2. 已知实数211,,a-b 20,24c

a b c b c c c ab

+++-+=满足

则的算术平方根是 。 3.△ABC 的三边长为a 、b 、c ，a 和b 满足21440a b b -+-+=，求c 的取值范围。 立方根

定义：如果一个数x 的立方等于a ，即3

x =a ，那么就称这个数x 为a 的立方根或三次方根。 表示法：a 的立方根表示为3a ，其中a 为被开方数，“3”中的3为根指数（根指数3不能省略）；3a 读作“三次根号a ”或“a 的立方根”。

性质：任意数都有立方根，任意一个数都有唯一的立方根。正数有一个正的立方根；负数有一个负的立方根；0的立方根仍为0. 有关立方根的补充说明和公式

1）在3a 中，被开方数a 可为正数，负数，0；且3a 的正负与a 一致 2）3a -=－3a ； 3）()

3

3

a

=3

3a =a

4）开立方运算：求一个数a 的立方根的运算叫做开立方运算。（开立方运算与立方运算是互为逆运算

的关系） 练习：

1、已知实数a 满足3230,11a a a a a ++=-++=那么 。 2. 立方根等于8的数是（ ）

A ．512

B ．64

C ．2

D ．2± 3. 设2a 2的整数部分为，小数部分为b ，求-16ab-8b 的立方根。 开平方与开立方的联系与区别

在遇到开方开不尽的情况时，如无特殊说明，计算结果一律保留四位有效数字。 在实数运算中，被开方数如果是带分数，要先化为假分数，然后再进行计算

二、专题达标

一、细心填一填（每空2分，共32分）

1、–125的立方根是_____ ，9的算术平方根是 。16的平方根是 ；

2、如果3=x ，那么x ＝________；如果92=x ，那么=x ________．

3、要使53-x 有意义，则x 可以取的最小整数是 .

4、平方根等于本身的数是________ ； 立方根等于本身的数是_______

5、如果02

1

22=-

x ，那么.____=x 若x x -=2，则x 6、若b a 、是实数，012|1|=++-b a ，则._____22=-b a 7、64-的立方根是 。计算： 8、若312-a 和331b -互为相反数，求b

a

的为 9．式子

2

1

--x x 中的x 的取值范围是 15．－3+2的相反数是__________________；绝对值是__________________。

10、已知正数a 和b ，有下列命题：（1）若2=+b a ，则ab ≤1（2）若3=+b a 则ab ≤2

3

（3）若6

=+b a 则ab ≤3，根据以上的规律猜想：若n b a =+，则ab ≤________．

16．若1＜x ＜3，化简1-x +3-x =_________。

20．已知实数a ,b ,c 在数轴上的位置如图所示，化简b a +－b c -的结果是

_________________

二、精心选一选（每小题3分，共21分） 1、2)3(-的算术平方根是（ ）

A 、9

B 、–3

C 、3±

D 、3 2、下列叙述正确的是（ ）

A 、0.4的平方根是2.0±

B 、3

2）（--的立方根不存在

C 、6±是36的算术平方根

D 、–27的立方根是–3 3、下列等式中，错误的是（ ） A 、864±=± B 、

15

11

225121±= C 、62163-=- D 、1.0001.03-=- 4、下列各数中，无理数的个数有（ ）

10.1010017231642

π

---， ， ， ， ， 0, -

A 、1

B 、2

C 、3

D 、4 5、化简1|21|+-的结果是（ ）

A 、22-

B 、22+

C 、2

D 、2 8．下列说法正确的个数是（ ）

①．两个无理数的和一定是无理数 ②．两个无理数的和一定是有理数 ③．两个无理数的积一定是无理数 ④．两个无理数的积一定是有理数 A ．0个 B ．1个 C ．2个 D ．3个 三、认真答一答（共47分） 2、求下列各式中的x 的值：（8分）

① 04)1(2=--x ② 54)3(23=-x

a

c

b