泰勒公式的证明

泰勒公式

定理（peano 余项型，洛必达法则法证明） 若()

0()n f x 存在, 则0()x x ∀∈，

0()(,)n f x T x x =+

()0

()n x x -.

()2

00000000()()(,)()()()()()2!!

n n n f x f x T x x f x f x x x x x x x n '''=+-+-++-.

0(,)n T x x 叫做f 在0x 的n 次泰勒多项式，也叫f 在0x 的n 次密切（“切线”）.

证法 洛必达法则法的分析. 按照洛必达法则往证0()()

lim

0()n n

x a f x T x x x →-=-即可. 记()()()n n R x f x T x =-，0()()n

n Q x x x =-， 注意到 (1)()000()()()0n n n n n R x R x R x -=

===， (1)00()()0n n n Q x Q x -=

==，()0()!n n Q x n =

()0()n f x 存在，意味着(1)()n f x -在0()U x 内还可导.允许()0lim

()0n x a n

R x Q x →⎛⎫

⎪⎝⎭反复使用洛必达法则1n -次.

证明 连续1n -次使用洛必达法则，得

(1)

(1)()()00lim lim ()0()0n n n n x a x a n

n R x R x Q x Q x --→→⎛⎫⎛⎫

= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭不断添入0，使结论成为两个函数值之差的比.

(1)(1)()0000()()()()

lim

(1)2()

n n n x a f x f x f x x x n n x x --→---=-- (1)(1)()000()()1

lim ()0!n n n x a f x f x f x n x x --→⎛⎫-=-= ⎪-⎝⎭

.

注1 即使函数能表成()00

()(,)()n n f x P x x x x =+

-，0

(,)n

P x x 不一定是泰勒多项式.

如1

()(),n f x x D x n N ++=∈，由100()()

lim lim 0n n n x x f x x D x x x

+→→==，故()()(0)n f x x x =→. 虽然能写成()2()0000n n f x x x x x =+++++，但是，根据海因定理，1

()()n f x x D x +=

，n N +∈仅在0点仅1阶可导(0)0f '=（0的邻域内()f x '无定义）.

故2

()0000n n p x x x x =+++

+并不是()f x 在0处的泰勒多项式.

注2 若f 能表成()00

()(,)()n n f x P x x x x =+

-，则多项式0

(,)n

P x x 是唯一的（不论可导性）.

因为 若

()

00

()(,)()n n f x P x x x x =+

-

()20102000()()()()n n n a a x x a x x a x x x x =+-+-+

+-+- （1）

则由（1） 0

0lim ()x x f x a →=，

反代入（1）式又得 00

10

()lim

x x f x a a x x →-=-，

反代入（1）式又得 001022

0()[()]

lim

()x x f x a a x x a x x →-+-=-

……

由于极限唯一性，所以，0(,)n P x x 是唯一的.

该结论叫做唯一性引理.它说明，peano 余项型泰勒公式()()n f x T x =+()0

()n x x -中，f 只能

由()n T x 来逼近（近似），或者说，在定理的条件下，()n T x 来逼近（近似）f 是最佳的逼近（近似）.

定理（Taylor 中值定理，Lagrange 余项型，柯西中值定理法证明） 若函数f 满足 ⅰ ()

()n f

x 在],[b a 上连续; ⅱ ()()n f x 在),(b a 内可导.

则0,[,], (,),x x a b a b ξ∀∈∃∈ 使0()(,)n f x T x x =+

(1)10()

()(1)!

n n f x x n ξ++-+. 有的教材把[,]a b 改为0()U x ，定理为：设函数()f x 在0()U x 存在1n +导数，则0()x U x ∀∈，

(1)100()

()(,)()(1)!

n n n f f x T x x x x n ξ++=+-+.

注 从证明可见，对()()n f x 运用柯西中值定理时，对()()n f x 在0,x x 处的可导性没有要求.

证法分析（华东师大本） 若能整理成两个函数差的比，可以试用柯西中值定理. 显然0x x =时结论为0=0，讨论无意义.

当0x x ≠时，不妨设0x x <.结论相当于 (1)010()(,)()

()(1)!

n n n f x T x x f x x n ξ++-=

-+. 把0x 改为t ，令 ()()(,)n F t f x T x t =-，1

()()n G t x t +=-

结论相当于(1)00()()()(1)!n F x f G x n ξ+=+，注意到()0F x =，()0G x =，结论即是(1)00()()()

()()(1)!

n F x F x f G x G x n ξ+-=

-+.由柯西中值定理，代入导数，证毕.

（倘若不把0x 改成t ，而是令0()()(,)n F x f x T x x =-，1

0()()

n G x x x +=-，虽恰有

0()0F x =，0()0G x =，把

()

()

F x

G x 化成00()()()()F x F x G x G x --，但用柯西中值定理得不出所要结论）

更一般形式的Taylor 中值定理

定理（Lagrange 余项型）若

ⅰ 函数f 在0()U x 存在1+n 阶导数;

ⅱ0()x U x ∀∈,()G t 在0[,]x x 或0[,]x x 上连续，在0(,)x x 或0(,)x x 内可导，且()0G t '≠. 则0 (,)x x ξ∃∈或0(,)x x ，使

(1)00()()()

()(,)()!()n n n G x G x f f x T x x x n G ξξξ+-=+-⋅'. 特别地，取1

()()n G t x t +=-，可得Lagrange 余项型的泰勒公式.

更特别地，取()()G t x t =-，()1G t '=-，则(1)0()

()()()!

n n n f R x x x x n ξξ+=

-⋅- 叫柯西余项.相应的泰勒定理叫做带柯西余项型余项的泰勒公式.

证明 当0x x ≠时，不妨设0x x <.结论相当于(1)00()(,)()1

()()()!()n n n f x T x x f x G x G x n G ξξξ+-=-⋅

'-. 把0x 改为t ，令()()(,)n F t f x T x t =-，结论相当于(1)00()()1

()()()!()

n n F x f x G x G x n G ξξξ+=-⋅

'-.