八年级秋季班-第11讲：反比例函数-教师版

八年级上学期秋季班

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反比例函数是八年级数学上学期第十八章第二节内容，主要对反比例函数的图像及性质进行讲解，重点是反比例函数的性质的理解，难点是反比例函数表达式的归纳总结．通过这节课的学习为我们后期学习反比例函数的应用提供依据．

一、反比例函数的概念

1、如果两个变量的每一组对应值的乘积是一个不等于零的常数，我们就说这两个变量

成反比例．用数学式子表示两个变量x、y成反比例，就是xy k

=，或表示为

k

y

x

=，其中k

是不等于0的常数．

2、解析式形如

k

y

x

=（k是常数，0

k≠）的函数叫做反比例函数，其中k叫做比例系

数．

3、反比例函数

k

y

x

=的定义域是不等于零的一切实数．

反比例函数

知识结构

模块一：反比例函数的概念知识精讲

内容分析

【例1】 下列变化过程中的两个变量成反比例的是（

）

A ．圆的面积和半径

B ．矩形的面积一定，它的长与宽

C ．完成一项工程的工效与完成工期的时间

D ．人的身高及体重

【难度】★ 【答案】B

【解析】矩形面积=长×宽，即S ab =，S 为定值，可知它的长与宽成反比例，B 正确；注

意区分C 选项，工效与工作时间成反比，而非完成工期的时间．

【总结】考查反比例函数的基本概念，会判断两个量是否是反比例关系，只需看两个量的乘积是否为定值即可．

【例2】 （1）已知：y 与x 成反比例，且1x =-时，2y =，则它的函数解析式是_________;

（2）已知y 与2x 成反比例，且当2x =-时，14y =-，则当1

3

x =时，y =_________.

【难度】★ 【答案】（1）2

y x

=-

；（2）9-． 【解析】（1）设函数解析式为k y x =，即有21k =-，得：2k =-，则函数解析式为2y x

=-；

（2）设函数解析式为2k y x =

，即有()

2

142k =--，得：1k =-，函数解析式为21

y x =-，

则当1

3x =时，2

1913y =-=-⎛⎫

⎪⎝⎭

． 【总结】考查利用“待定系数法”求反比例函数的比例系数，也可直接利用成反比例函数关系的积为定值求解．

例题解析

【例3】 下列函数（其中x 是自变量）中，哪些是反比例函数?哪些不是，为什么?

（1）3x y =； （2）12y x -=； （3）1

(0)y k kx =≠；

（4）2xy =-；

（5）2

1y x

=

+． 【难度】★

【答案】（2）、（3）、（4）是反比例函数，（1）、（5）不是反比例函数．

【解析】反比例函数有三种基本形式k

y x =、1y kx -=、xy k =，均要求0k ≠，（2）（3）（4）

符合这几种形式，是反比例函数，（1）（5）不是．

【总结】考查根据反比例函数的定义判断函数是否为反比例函数．

【例4】 （1）如果2

1

(1)k

k y k x --=-是反比例函数，则k 的值是_________； （2）已知函数2

10

(3)m

y m x -=-是反比例函数，则m =_________.

【难度】★★

【答案】（1）0；（2）3-．

【解析】（1）由题意可得211

10

k k k ⎧--=-⎨-≠⎩，解得：0k =；

（2）由题意可得2101

30m m ⎧-=-⎨-≠⎩

，解得：3m =-．

【总结】考查反比例函数()10y kx k -=≠的形式，根据次数确定相应字母取值一定要注意比例系数不为0的前提条件．

【例5】 下列说法中正确的有（ ）个．

（1） 当1

0k y kx

≠=时，是反比例函数；

（2） 如果2213y y x x

=，那么与成反比例； （3） 如果21

1m y m x

-=

+-是反比例函数，则1m =±； （4） 如果x 、y 成正比例，y 与z 成反比例，则x 与z 成反比例． A ．1 B ．2 C ．3 D ．4

【难度】★★

【答案】C

【解析】根据反比例函数的意义，可知（1）（2）正确；（3）为反比例函数，则有210

10m m -≠⎧⎨-=⎩

，

解得：1m =-，（3）错误；（4）根据题意，令()110x k y k =≠，()220k y k z =

≠，

则有12k k x z

=，

由120k k ≠，可知x 与z 成反比例；（1）（2）（4）正确，故选C ．

【总结】考查反比例函数的概念．

【例6】 已知某反比例函数，且当1x =时，2y =-，当3x y m =-=时，求m 的值． 【难度】★★

【答案】2

3

．

【解析】设函数解析式为(0)k y k x =≠，即有21k =-，得：2k =-，则函数解析式为2

y x =-，

则当3x =-时，23

y m ==

． 【总结】考查利用“待定系数法”求反比例函数的比例系数，也可直接利用成反比例函数关系的积为定值求解．

【例7】 已知21y x +-与成反比例，且当13x y =-=-时，当3x =时，y 的值． 【难度】★★ 【答案】1-． 【解析】令2(0)1k y k x +=≠-，根据题意，则有3211

k

-+=

--，得：2k =，

则相应解析式为221y x =

--，当3x =时，则有2

2131

y =-=--． 【总结】考查利用“待定系数法”求反比例函数的比例系数，也可直接利用成反比例函数关系的积为定值求解．