定积分的简单应用导学案

第3课时 定积分的简单应用

A 课程学习目标

1. 会根据定积分的几何意义建立求简单平面图形面积的数学模型(定积分模型) 进行计算■

2. 会根据定积分概念形成过程中的基本思想分析求简单旋转体的体积问题 模

型)，并能利用积分公式表进行计算 .

3. 通过积分方法解决实际问题(物理)的过程 ，体会到微积分把不同背景的问题统一到一起的巨大作用 和实用价

值.

实际生活中许多变量的变化是非均匀变化的 ，如非匀速直线运动在某时间段内位移 ；变力使物体沿直线

方向移动某位移区间段内所做的功 ；非均匀线密度的细棒的质量等 .所有这些问题都可以归结为曲边梯形的

面积问题.

问题1:当x € [ a, b ]时，若f (x )>0,由直线x=ax=b (a M b ), y=0和曲线y=f ( x )所围成的曲边梯形的面积

S= __________ .

问题2:当x € [ a, b ]时，若f (x )v 0,由直线x=ax=b (a M b ), y=0和曲线y=f ( x )所围成的曲边梯形的面积 S= .

问题3:如图，当x € [a , b ]时,若f (x ) >g (x )>0时，由直线x=a , x=b (a * b )和曲线y=f (x ), y=g (x )所围成的平 面图形的面积S= __________ . 问题4:旋转体可以看作是由连续曲线 y=f (x )、直线x=a 、x=b 及x 轴所围成的曲边梯形绕

x 轴旋转一周

而成的几何体，则该旋转体的体积为

.

A®础学习交流

1.用S 表示图中阴影部分的面积，则S 的值是(

).

A

f (x )d x B .| f (x )d x|

C. f (x )d x+ f (x )d x D f (x )d x- f (x ) d x 2.由y=x 2, x=0和y=1所围成的平面图形绕 x 轴旋转所得的旋转体的体积 为()■

A 知识体系梳 HZ

,并能利用积分公式表

,建立它的数学模型(定积分

C

iT

可以表示

A

JI

克难点探究

求不分割型图形的面积

计算由曲线y 2

=x ,y=x 2

所围成平面图形的面积

S.

分割型图形面积的求解

计算由直线y=x- 4,曲线y=—以及x 轴所围成图形的面积 S.

简单旋转几何体的体积

计算椭圆一+—=1所围成的图形绕x 轴旋转而成的几何体的体积

AV= n

(—)d y B V= n

[12-(X 2)2

] d x

C V= n

2 2

(x ) d x D .V= 2 2

(1 -x )

3.汽车以v=(3t+2) m/s 作变速直线运动时,在第1 s 至第2 s 间的1 s 内经过的路程是

4.求由曲线y=2x 2

,直线y=-4x-2,直线x=1围成的封闭图形的面积

.

曲化才化” ” •味ft

A 思维拓展应用

求由抛物线y=x 2

- 4与直线y=-x+2所围成图形的面积.

求由曲线y= ",y=2-x ,y 二-X 所围成图形的面积.

连接坐标原点 0及点P （h , r ）的直线、直线x=h 及X 轴围成一个直角三角形,将它绕X 轴旋转构成一个底 半径为r 、高为h 的圆锥体，计算这个圆锥体的体积.（用定积分求解）

X 基础智能检测

1.由曲线y=,直线y=x-2及y 轴所围成的图形的面积为

（ ）.

2. 一物体在变力F （X ）=5-X 2（力单位：N 位移单位：m 作用下，沿与F （x ）成30°方向作直线运动，则由x=1运动 到x=2时F （X ）做的功为（ ）.

＞第三层»

—技能应用与拓S —

固学区・不第不讲

B .4

C.—

D.6

J B ——J C ——J D. 2 - J

A 全新视角拓展

（20XX 年•湖北卷）已知二次函数y=f （x ）的图像如图所示，则它与x 轴所围图形的面积为（

）

.

A-B- C.- D.—

考题变式（我来改编）：

h-

1'

显^审刊化-S 战应環，

卜思维导图构建

7■可他•i*具事化

3.由曲线 y=

与x 轴围成的平面图形绕 x 轴旋转一周所得旋转体的体积为

4.由曲线 y=x 2

和直线x=0,x=1,y=t 2

, t € （0,1）所围成的图形（阴影部分）,求其面积的最小值. 定和分的苛单应用

—I 定积分在几何中的应用

―I 定积分在鞫理中的应用 ―I 变連运动的略程1

-y

*学习体验分事

第3课时定积分的简单应用

知识体系梳理

根据定积分的几何意义可知 D 正确.

由旋转体体积的定积分表示可知 B 正确.

由曲线y=2x 2

,直线y=-4x-2,直线x=1围成的封闭图形的面积为

=-+2+24- 2+2—.

重点难点探究

因此所求图形的面积为 S = S 曲边梯形OAB — S 曲边梯形OAB = 【小结】求由曲线围成图形面积的一般步骤

：

(1)根据题意画出图形；(2)找出范围，确定积分上、下限;(3)确定被积函数;(4)将面积用定积分表示；(5)用微积 分基本定理计算定积分，求出结果.

探究二：【解析】(法一)作出直线y=x-4,曲线y= 的草图.

答案

问题 1： 问题 2:- 问题 3: 问题 4:V=

基础学习交流 1. D 2. B 3.— s=

=(-

=_ X 4+4- (-+2) =10-—=—(m).

4.解：联立 解得直线与抛物线的交点横坐标为 x=-1,

探究一：【解析】由题意画出草图，由

得交点的横坐标为 x=0及x=1.

2 I

15

-1 0 -4).5

-1