定积分的简单应用导学案

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《定积分的简单应用》教案新人教A版选修

《定积分的简单应用》教案1（新人教A版选修2-2）【本讲教育信息】一. 教学内容：定积分及其应用二. 重点、难点：1. 基本积分表（1）（2）（3）（4）（5）（6）（7）（8）2. 运算公式（1）（2）（3） 3.【典型例题】[例1] 若曲线在x处的导数为且曲线经过点A（1，3），求解析式。

解：，过A∴∴[例2] 求下列不定积分。

（1）（2）[例3] 求下列定积分（1）（2）∵∴[例4] ，为何值时，M最小。

解：∴ 时，[例5] 已知，，试求的取值范围。

解：即设∴为方程两根∴ 或∴[例6] 求抛物线与直线所围成的图形的面积。

解：由∴ A（1，－1）B（9，3）[例7] 求由抛物线，所围成图形的面积。

解：[例8] 由抛物线及其在点A（0，－3），B（3，0）处两切线所围成图形的面积。

解：，∴ P（）[例9] 曲线C：，点，求过P的切线与C围成的图形的面积。

解：设切点，则切线：过P（）∴∴A（0，1）∵∴∴B（）∴[例10] 抛物线在第一象限内与直线相切。

此抛物线与x轴所围成的图形的面积记为S。

求使S达到最大值的a，b值，并求。

解：依题设可知抛物线为凸形，它与x轴的交点的横坐标分别为，所以（1）又直线与抛物线相切，即它们有唯一的公共点由方程组得，其判别式必须为0，即于是，代入（1）式得：令；在时得唯一驻点，且当时，；当时，。

故在时，取得极大值，也是最大值，即时，S取得最大值，且，代入，代城【模拟试题】1. 将和式的极限表示成定积分（）A.B.C.D.2. 下列等于1的积分是（）A.B.C.D.3. （）A.B.C.D.4. 已知自由落体运动的速率，则落体运动从到所走的路程为（）A.B.C.D.5. 曲线与坐标所围成的面积（）A. 4B. 2C.D. 36. （）A.B.C.D.7. 求由围成的曲边梯形的面积时，若选择x为积分变量，则积分区间为（）A.B. [0，2] C. [1，2] D. [0，1]8. 由直线，及x轴围成平面图形的面积为（）A. B.C. D.9. 如果1N力能拉长弹簧，为将弹簧拉长6cm，所耗费的功是（）A. 0.18B. 0.26C. 0.12D. 0.2810. 将边长为1米的正方形薄片垂直放于比彼一时为的液体中，使其上距液面距离为2米，则该正方形薄片所受液压力为（）A.B.C.D.11. 将和式表示为定积分。

积分简单应用导学案

定积分的简单应用——利用积分求平面图形的面积．高二数学张小碧教学构思应用型的课题是培养学生观察、分析、发现、概括、推理和探索能力的极好素材。

【知识与技能目标】通过本节课的探究，学生能够应用定积分解决不太规则的平面图形的面积，能够初步掌握应用定积分解决实际问题的基本思想和方法。

【过程与方法目标】探究过程中通过数形结合的思想，加深对知识的理解，同时体会到数学研究的基本思路和方法。

【情感、态度与价值观目标】探究式的学习方法能够激发学生的求知欲，培养学生对学习的浓厚兴趣；探究式的学习过程能够培养学生严谨的科学思维习惯和方法，培养学生勇于探索和实践的精神；体会数学学科研究基本过程与方法【教学重点】应用定积分解决平面图形的面积，使学生在解决问题的过程中体会定积分的价值。

【教学难点】如何恰当选择积分变量和确定被积函数教学方法是“问题诱导——启发讨论——探索结果”、“直观观察——抽象归纳——总结规律”的一种研究性教与学的方法，过程中注重“诱、思、探、练”的结合，从而引导学生转变学习方式。

采用激发兴趣、主动参与、积极体验、自主探究地学习，形成师生互动的教学氛围。

【热身训练】1.用定积分表示阴影部分面积S=_________ S=______________ S=________________(2)xyo abc )(x f y =(3)(1)xyo)(x f y =ab2.上述图形变换成右侧所示的曲边梯形，面积应该如何表示？S=________________S=__________【学生活动】回忆并回答上图的答案；【得出结论】定积分表示曲边梯形面积的有几种类型？. 【课件展示】图1 选择X 为积分变量，曲边梯形面积为S=_____________图2 选择Y 为积分变量，曲边梯形面积为S=_____________类型2：由两条曲线y=f(x)和y=g(x),和直线所围成平面图形的面积SS=___________S=____________S=_____________ (2)(1)x yo )(x f y =a b axyo a bx yby xo b a )(x f y =)(x g y =(2) )(x f y =)(x g y =(1) s1s 2 xy O a b A B C Dy=f(x ) y=g(x )【例题实践】例１．计算由曲线2x y =与xy =2所围图形的面积．解：作出草图，所求面积为图中阴影部分的面积.【师生活动】探究解法的过程.1.__________2.______________3.____________4._______________【巩固练习】求由曲线y=x 2-4与y=-x+2所围平面图形面积探究三：分割型图形面积的求解问题：由两条或两条以上的曲线围成的较为复杂的图形，在不同的区间位于上方和下方的曲线不同时，这种图形的面积如何求例2：计算由曲线x y 2=与4-=x y 及x 轴所围平面图形的面积．【学生活动】学生分组合作完成【成果展示】邀请同学们把自己的成果展示给大家，发现这道题目有多种解答方法，过程中解决学生在解题过程中暴露出来的各种问题。

定积分的简单应用教案市公开课一等奖教案省赛课金奖教案

定积分的简单应用教案一、教学目标：1. 理解定积分的概念及其在实际问题中的应用；2. 掌握定积分的计算方法；3. 能够应用定积分解决简单应用问题。

二、教学内容：1. 定积分的概念及其性质；2. 定积分的计算方法和基本性质；3. 定积分在实际问题中的应用。

三、教学重难点：1. 定积分的概念和计算方法；2. 定积分在实际问题中的应用。

四、教学过程：1. 导入与激发兴趣（5分钟）引导学生回顾不定积分的概念和性质，引发学生对定积分的好奇和兴趣。

2. 定积分的概念和计算方法（20分钟）a. 介绍定积分的概念：定积分是对函数在一定区间上的值进行求和的极限过程，表示函数在这个区间上的总量。

b. 讲解定积分的计算方法：i. 用一组割线逼近曲线下的面积；ii. 分割区间，用矩形逼近曲线下的面积；iii. 讲解Riemann和Darboux定义；iv. 使用不等式判断积分的上限和下限。

3. 定积分的基本性质（15分钟）a. 讲解定积分的线性性质；b. 讲解定积分的区间可加性；c. 引导学生理解定积分的平均值性质。

4. 定积分在实际问题中的应用（30分钟）a. 通过具体的实际问题，引导学生应用定积分解决问题，如：i. 曲线下的面积计算；ii. 曲线长度计算；iii. 物体在一定时间内的位移计算。

b. 引导学生分析问题，确定所给问题可以通过定积分求解。

5. 拓展与巩固（20分钟）通过课堂练习和教师引导，进一步巩固学生对定积分的理解和应用能力。

六、教学评价：1. 课堂练习的完成情况；2. 学生对定积分概念的理解和计算方法的掌握；3. 学生对定积分在实际问题中的应用能力。

七、教学反思：本节课通过引导学生回顾不定积分的概念和性质，引发学生对定积分的兴趣，再结合具体的实际问题进行教学，使学生能够理解定积分的概念和计算方法，并能够应用定积分解决简单的实际问题。

同时，通过课堂练习和教师引导，巩固了学生的学习成果。

综上所述，本节课教学效果较好。

定积分的简单应用教案

定积分的简单应用教案
定积分的简单应用教案
定积分的简单应用教案
学习目标：通过求解平面图形的体积了解定积分的应用。

学习重点：定积分在几何中的应用
学习难点：求简单几何体的体积.
学法指导：探析归纳
一、课前自主学习 (阅读课本内容找出问题答案).
1.定积分定义.
2旋转几何体的体积是根据旋转体的一个 ,再进行求出来的.
3解决的关键(1)找准旋转体
(2)通过准确建系,找出坐标,确定 .
二、课堂合作探究：
1.给定直角边为1的等腰直角三角形,绕一条直角边旋转一周,得到一个圆锥体,求它的体积.
2.一个半径为1的球可以看成是由曲线与x轴所围成的区域(半圆)绕x轴旋转一周得到的 ,求球的体积.
三、当堂检测.
1.将由直线=x,x=1,x=2围成的平面图形绕x轴旋转一周,得到一
个圆台,利用定积分求该圆台的体积.
2. 求由直线,x轴,轴以及直线x=1围成的'区域绕x轴旋转一周得到的旋转体的体积.
3．求由双曲线,直线x=1,x=2围成的平面图形绕x轴旋转一周，得到的旋转体的体积.
四、巩固练习.
1 .将由曲线=x和所围成的平面图形绕x轴旋转一周，求所得旋转体的体积
2．求半椭圆绕x轴旋转一周所得到的旋转体的
体积.
3.求由曲线 ,直线x=1以及坐标轴围成的平面图形绕x轴旋转一周，得到的旋转体的体积.
五、课堂小结：
※学习小结：1. 定积分应用之二求旋转几何体的体积。

2. 旋转几何体体积的求法。

六、我的收获：
七、我的疑惑:。

§1.7__定积分的简单应用(导学案)

§1.7 定积分的简单应用（导学案）----在几何中和在物理中的应用一、知识目标1.掌握利用定积分求曲边图形的面积的方法2.能熟练利用定积分求变速直线运动的路程.会用定积分求变力所做的功.二、复习回顾1、求曲边梯形的思想方法是2、定积分的几何意义是3、微积分基本定理：三、新知探索（一）利用定积分求平面图形的面积例1．计算由两条抛物线2y x =和2y x =所围成的图形的面积.（课本P56）例2．计算由直线4y x =-，曲线y =x 轴所围图形的面积S.(课本P57)【点评】在直角坐标系下平面图形的面积的四个步骤：（1）画图，并将图形分割为若干个曲边梯形；（2）对每个曲边梯形确定其存在的范围，从而确定积分的上、下限；（3）确定被积函数；（4）求出各曲边梯形的面积和，即各积分的绝对值的和.变式：1、求直线32+=x y 与抛物线2x y =所围成的图形面积.2.求由抛物线243y x x =-+-及其在点M （0，－3）和N （3，0）处的两条切线所围成的图形的面积.（二）、定积分在物理中应用1.求变速直线运动的路程我们知道，作变速直线运动的物体所经过的路程s ，等于其速度函数v=v (t) ( v(t) ≥0) 在时间区间[a,b]上的定积分，即()ba s v t dt =⎰例 3.一辆汽车的速度一时间曲线如图1.7 一3 所示．求汽车在这1 min 行驶的路程．（课本P58）2．变力作功一物体在恒力F （单位：N ）的作用下做直线运动，如果物体沿着与F 相同的方向移（单位：m)，则力F 所作的功为W=Fs .与求曲边梯形的面积和求变速直线运动的路程一样，可以用“四步曲”解决变力作功问题．可以得到()ba W F x dx =⎰例4．如图1·7一4 ，在弹性限度内，将一弹簧从平衡位置拉到离平衡位置lm 处，求克服弹力所作的功．(课本P59)五、课堂练习1．由y ＝1x ，x ＝1，x ＝2，y ＝0所围成的平面图形的面积为( )A ．ln2B ．ln2－1C ．1＋ln2D ．2ln22．如果某质点以初速度v (0)＝1，加速度a (t )＝6t 作直线运动，则质点在t ＝2 s 时瞬时速度为( )A ．5B ．7C ．9D ．133.(2010陕西)从如图所示的长方形区域内任取一个点M (x ，y )，则点M 取自阴影部分的概率为________．4．一个弹簧压缩x cm 可产生4x N 的力，把它从自然长度压缩到比自然长度短5 cm ，求弹簧克服弹力所做的功．六、课后练习1.如图，由曲线y ＝x 2－1、直线x ＝0、x ＝2和x 轴围成的封闭图形的面积是( )A.⎠⎛02(x 2－1)d x B ．|⎠⎛02(x 2－1)d x |C.⎠⎛02|x 2－1|d xD.⎠⎛－11(x 2－1)d x ＋⎠⎛12(x 2－1)d x 2．求由y ＝e x ，x ＝2，y ＝1围成的曲边梯形的面积时，若选择x 为积分变量，则积分区间为( )A ．[0，e 2]B ．[0,2]C ．[1,2]D ．[0,1]3．一物体以速度v (t )＝3t 2－2t ＋3做直线运动，它在t ＝0和t ＝3这段时间内的位移是( )A ．9B ．18C ．27D ．364．一物体在力F (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧10，0≤x ≤23x ＋4，x >2(单位：N)的作用下沿与力F 相同的方向作直线运动，从x ＝0处运动到x ＝4(单位：m)处，则力F (x )作的功为( )A ．44 JB ．46 JC ．48 JD ．50 J5．若1 N 的力能使弹簧伸长2 cm ，则使弹簧伸长12 cm 时克服弹力所作的功为________．6．有一横截面的面积为4 cm 2的水管控制往外流水，打开水管后t 秒末的流速为v (t )＝6t －t 2(单位：cm/s)(0≤t ≤6)．则t ＝0到t ＝6这段时间内流出的水量为________．7.一物体做变速直线运动，其v －t 曲线如图所示，求该物体在12s ～6 s 间的运动路程．。

定积分的简单应用导学案

10、定积分的简单应用一、自主学习，明确目标 1、会用定积分解决平面图形的面积 2、会用定积分解决变速直线的路程3、会用定积分解决变力做功4、如何将实际问题化为定积分问题二、研讨互动，问题生成1、常见图形面积与定积分的关系（1）如图1，当0)(>x f 时，⎰b a dx x )( 0，所以S= ；（2）如图2，当0)(<x f 时，⎰b a dx x )( 0，所以S=|⎰b a dx x f |)( ；（3）如图3，当c x a ≤≤时，0)(<x f ,⎰c a dx x )(0，b x c ≤≤时，0)(>x f ，⎰b c dx x f )( 0，所以S=|⎰⎰=+c a b c dx x f dx x f )(|)( + ；（4）如图4，在公共积分区间[a,b]上，当f 1(x)>f 2(x)时，曲边梯形的面积为⎰=-=b a dx x f x f S ))()((21 ；2、一物体沿直线以23+=t v （t 单位：s,v 单位：m/s ）的速度运动，则该物体在3s~6s 间的运动路程为（）A ．46mB ．46.5mC ．87mD ．47m3、以初速40m/s 竖直向上抛一物体，t s 时刻的速度v=40-10t 2，则此物体达到最高时的高度为（）A ．m 3160 B ．m 380 C ．m 340D ．m 3204、一物体在力F(x)=3x 2-2x+5（力单位：N ，位移单位：m ）作用力下，沿与力F （x ）相同的方向由x=5m 直线运动到x=10m 处做的功是（）A ．925 JB ．850 JC ．825 JD ．800 J三、合作探究，问题解决。

例1：计算由y 2=x ，y=x 2所围成的图形的面积。

例2：汽车以36km/h 的速度行驶，到某处需要减速停车，设汽车以等减速度2m/s 2刹车，求从开始刹车到停车，汽车走过的路程。

《定积分的简单应用》教案

定积分的简单应用教学目标知识与技能：初步掌握利用定积分求曲边梯形的几种常见题型及方法；体会定积分在物理中应用（变速直线运动的路程、变力沿直线做功）。

过程与方法：通过实例体会用微积分基本定理求定积分的方法情感、态度与价值观：通过微积分基本定理的学习，体会事物间的相互转化、对立统一的辩证关系，培养学生辩证唯物主义观点，提高理性思维能力。

教学重点与难点重点：应用定积分的思想方法，解决一些简单的诸如求曲边梯形面积、变速直线运动的路程、变力作功等实际问题．在解决问题的过程中体验定积分的价值。

难点：将实际问题化归为定积分的问题。

教学过程给出教学目标：应用定积分的思想方法，解决一些简单的诸如求曲边梯形面积、变速直线运动的路程、变力作功等实际问题．在解决问题的过程中体验定积分的价值。

一、复习回顾1、定积分的几何意义2、微积分基本定理内容二、新课引入如图．问题1：图中阴影部分是由哪些曲线围成？提示：由直线x＝a，x＝b和曲线y＝f(x)和y＝g(x)围成．问题2：你能求得其面积吗？如何求？三、新课讲解（一）平面图形的面积一般地，设由曲线y ＝f (x )，y ＝g (x )以及直线x ＝a ，x ＝b 所围成的平面图形的面积为S ，则S ＝∫ba f (x )d x －∫b a g (x )d x ，f (x )≥g (x )．解题关键是根据图形确定被积函数以及积分上、下限．考点一：求平面图形的面积[例1] 求由抛物线y ＝x 2－4与直线y ＝－x ＋2所围成图形的面积．[一点通] 求由曲线围成图形面积的一般步骤：①画图；②求交点，确定积分上、下限；③确定被积函数；④将面积用定积分表示；⑤用牛顿－莱布尼兹公式计算定积分，求出结果．题组集训1．(2011·湖南高考)由直线x ＝－π3，x ＝π3，y ＝0与曲线y ＝cos x 所围成的封闭图形的面积为 ( )A.12B ．1 C.32 D. 32．求y ＝－x 2与y ＝x －2围成图形的面积S .3、求由曲线xy ＝1及直线x ＝y ，y ＝3所围成平面图形的面积．[一点通] 分割型图形面积的求解：（1）通过解方程组求出曲线的交点坐标（2）将积分区间进行分段（3）对各个区间分别求面积进而求和（被积函数均是由图像在上面的函数减去下面的函数）4．求由曲线y ＝x 2和直线y ＝x 及y ＝2x 所围成的平面图形的面积．5、求由曲线y ＝x ，y ＝2－x ，y ＝－13x 所围成图形的面积．（二）求变速直线运动的路程、位移[例2] 有一动点P 沿x 轴运动，在时间t 时的速度为v (t )＝8t －2t 2(速度的正方向与x 轴正方向一致)．求(1)P 从原点出发，当t ＝6时，求点P 离开原点的路程和位移；(2)P 从原点出发，经过时间t 后又返回原点时的t 值．[点评] 路程是位移的绝对值之和，从时刻t ＝a 到时刻t ＝b 所经过的路程s 和位移s ′情况如下：(1)若v (t )≥0，则s ＝⎠⎛a b v (t )d t ；s ′＝⎠⎛ab v (t )d t . (2)若v (t )≤0，则s ＝－⎠⎛a b v (t )d t ；s ′＝⎠⎛ab v (t )d t . (3)若在区间[a ，c ]上v (t )≥0，在区间[c ，b ]上v (t )<0，则s ＝⎠⎛a c v (t )d t －⎠⎛cb v (t )d t ，s ′＝⎠⎛ab v (t )d t . 所以求路程时要事先求得速度的正负区间．（三）求变力做功[例3] 一物体按规律x ＝bt 3做直线运动，式中x 为时间t 内通过的距离，媒质阻力与速度的平方成正比，试求物体由x ＝0运动到x ＝a 时，阻力所做的功．【点评】对于已知运动规律求做功的问题，首先确定其运动速度，进而由d s ＝v d t 来确定做功的积分式W ＝⎠⎛0t Fv d t .题组集训6．已知自由落体的速率v ＝gt ，则落体从t ＝0到t ＝t 0所走的路程为（ )A.13gt 20 B ．gt 20 C.12gt 20 D.16gt 207．如果1N能拉长弹簧1cm，为了将弹簧拉长6cm，所耗费的功为( ) A．0.18J B．0.26JC．0.12J D．0.28J四、小结这节课你学到了什么？五、作业：课本P90习题4-3 第1、2、3、4题。

定积分的简单应用导学案

定积分的简单应用导学案【学习要求】会应用定积分求两条或多条曲线围成的图形的面积．【学法指导】本小节主要解决一些在几何中用初等数学方法难以解决的平面图形面积问题．在这部分的学习中，应特别注意利用定积分的几何意义，借助图形直观，把平面图形进行适当的分割，从而把求平面图形面积的问题转化为求曲边梯形面积的问题.【知识要点】1．当x∈[a，b]时，若f(x)>0，由直线x＝a，x＝b(a≠b)，y＝0和曲线y＝f(x)所围成的曲边梯形的面积S＝________.2．当x∈[a，b]时，若f(x)<0，由直线x＝a，x＝b(a≠b)，y＝0和曲线y＝f(x)所围成的曲边梯形的面积S＝_________.3．当x∈[a，b]时，若f(x)>g(x)>0时，由直线x＝a，x＝b(a≠b)和曲线y＝f(x)，y＝g(x)围成的平面图形的面积S＝______________.(如图)【问题探究】探究点一求不分割型图形的面积问题怎样利用定积分求不分割型图形的面积？例1计算由曲线y2＝x，y＝x2所围图形的面积S.跟踪训练1求由抛物线y＝x2－4与直线y＝－x＋2所围成图形的面积．探究点二分割型图形面积的求解问题由两条或两条以上的曲线围成的较为复杂的图形，在不同的区间位于上方和下方的曲线不同时，这种图形的面积如何求呢？例1计算由直线y＝x－4，曲线y＝2x以及x轴所围图形的面积S.跟踪训练2 求由曲线y ＝x ，y ＝2－x ，y ＝－13x 所围成图形的面积．探究点三定积分的综合应用例3 在曲线y ＝x 2(x ≥0)上某一点A 处作一切线使之与曲线以及x 轴所围成的面积为112，试求：切点A 的坐标以及在切点A 的切线方程．跟踪训练3 如图所示，直线y ＝kx 分抛物线y ＝x －x 2与x 轴所围图形为面积相等的两部分，求k 的值．【当堂检测】1．在下面所给图形的面积S 及相应表达式中，正确的有( )S ＝ʃa b [f (x )－g (x )]d x S ＝ʃ80(22x －2x ＋8)d x① ②S ＝ʃ41f (x )d x －ʃ74f (x )d x S ＝ʃa 0 [g (x )－f (x )]d x ＋ʃb a[f (x )－g (x )]d x ③ ④A ．①③B ．②③C ．①④D ．③④ 2．曲线y ＝cos x (0≤x ≤32π)与坐标轴所围图形的面积是 ( ) A ．2 B ．3 C ．52D ．4 3．由曲线y ＝x 2与直线y ＝2x 所围成的平面图形的面积为_______4．由曲线y ＝x 2＋4与直线y ＝5x ，x ＝0，x ＝4所围成平面图形的面积是________【课堂小结】对于简单图形的面积求解，我们可直接运用定积分的几何意义，此时（1）确定积分上、下限，一般为两交点的横坐标．（2）确定被积函数，一般是上曲线与下曲线对应函数的差．这样所求的面积问题就转化为运用微积分基本定理计算定积分了．注意区别定积分与利用定积分计算曲线所围图形的面积：定积分可正、可负或为零；而平面图形的面积总是非负的.【教学反思】。

§1.7：定积分的简单应用(导学案).doc.wps

y=g(x)y=f(x)xOyba 学校：西华三高学科：数学编写人：杨敬敬 §1.7：定积分的简单应用（导学案）一、学习目标 1．（1）理解定积分概念、性质和几何意义的基础上，利用微积分基本定理，熟练进行定积分的计算；（2）．掌握在平面直角坐标系下用定积分计算简单的平面曲线围成图形的面积。

2、掌握利用定积分求变速直线运动的路程、变力做功等物理问题。

二、教学重点与难点：1、定积分的概念及几何意义；2、定积分的基本性质及运算在物理中应用。

三、教学方法：探究归纳，讲练结合四、教学过程：（一）【定积分在几何中应用】 1、合作探究：1.定积分的几何意义：当函数()f x 在区间[a,b]上连续且恒为正时，定积分()baf x dx⎰的几何意义是_____________________________一般情况下（如图），定积分()baf x dx ⎰的几何意义是介于x轴、函数()f x 的图像以及直线,x a x b ==之间各部分面积的代数和，在x 轴上方的面积为______号，在x 轴下方的面积为_____号2．几种典型的平面图形面积的计算（1）如图，()0,()0ba f x f x dx >>⎰，所以S=___________ （2）如图，()0,()0baf x f x dx <<⎰，所以S=___________（3）如图，当,()0,()0baa x c f x f x dx ≤≤≤<⎰，当c x b ≤≤，()0,()0b af x f x dx ≥>⎰，所以S=_______________________3.由两条曲线()f x 和()g x ，直线,()x a x b a b ==<所围成平面图形的面积S（1）如图，当()()0f x g x >>时， S=___________ （2）如图，当()0,()0f x g x ><时， S=___________ （3）如图，当()()0g x f x <<时， S=___________Oxybay=f(x)xOyba y=f(x)xOy ba cy=f(x)xOy bay=g(x)y=f(x)xO y bay=g(x)y=f(x)x O yba二、典型例题例1. 计算由曲线2y x =，2y x =所围图形的面积S练习1：求曲线sin ,[0,2]y x x π=∈与x 轴围成的图形的面积例2. 求由直线4y x =-，曲线2y x =以及x 轴所围图形的面积S练习2求曲线2y x =与直线23y x =+所围成的图形面积（二）【定积分在物理中应用】 1、求变速直线运动的路程我们知道，作变速直线运动的物体所经过的路程s ，等于其速度函数v=v (t) ( v(t) ≥0) 在时间区间[a,b]上的定积分，即()bas v t dt =⎰例 1。

(整理)定积分的简单应用导学案.

定积分的简单应用导学案学科：高二数学课型：新授课课时：2课时编写时间：2013－3－15编写人：邓朝华审核人：陈平班级：姓名：【导案】【学习目标】1．熟练掌握应用定积分求解平面图形的面积问题。

2．掌握应用定积分解决变速直线运动的路程和变力做功等问题。

3．培养学生的建模水平和解决实际问题的能力。

【学习重难点】重点：应用定积分解决平面图形的面积、变速直线运动的路程和变力做功等问题使学生在解决问题的过程中体验定积分的价值。

难点：将实际问题化归为定积分的问题。

【学案】1．计算平面图形面积的一般步骤在利用定积分求平面图形的面积时，一般要先____________，再借助________________直观确定出____________________以及积分的____________。

2．变速直线运动的路程作变速直线运动的物体所经过的路程s，等于其速度函数v=v(t)(v(t)≥0)在时间区间[a, b]上的定积分，即s=____________________________.3．变力作功（1）恒力F的作功公式一物体在恒力F(单位：N)的作用下做直线运动，如果物体沿着与F相同的方向移动了s(单位：m)，则力F所作的功为____________。

（2）变力F(x)的作功公式如果物体在变力F(x)的作用下做直线运动，并且物体沿着与F(x)相同的方向从x=a移动到x=b(a＜b)，那么变力F(x)所作的功为W=________________。

4．例题分析【例1】计算由曲线y2=x, y=x2所围图形的面积S。

【例2】计算由直线y=x-4，曲线x轴所围图形的面积S.【例3】一辆汽车的速度-时间曲线如图所示。

求汽车在这1min行驶的路程。

【例4】如图，在弹性限度内，将一弹簧从平衡位置拉到离平衡位置l m处，求克服弹力所做的功。

5．达标检测教材P58 练习P95 练习P60 习题A组B组定积分的简单应用练案（一）学科：数学编写人：邓朝华审核人：陈平编写时间：2013.3.15班级：姓名：评分：1. 求由抛物线y2=8x(y＞0)与直线x+y-6=0及y=0所围成图形的面积。

人教A版高中数学选修长春实验定积分的简单应用导学案

【学习目标】1．了解定积分的几何意义及微积分的基本定理；2．掌握利用定积分求曲边图形的面积、变速直线运动的路程、变力做功等物理问题；3．学以致用，体会数学的强大。

【重点难点】重点：定积分的简单应用难点：定积分的简单应用【自主学习】知识链接：1．定积分的概念：()ba f x dx ⎰=2．定积分的几何意义：⎰ba dx x f )(表示x 轴，曲线)(x f y =及直线a x =，b x =之间的各部分面积的代数和，在x 轴上方的面积取，在x 轴下方的面积取。

3．定积分的性质性质1 =⎰ba dx x kf )(性质2 =±⎰dx x f x f b a )]()([21性质3 )()()(b c a dx x f dx x f b c ca <<⎰+⎰= 4．微积分基本定理：如果函数()f x 是[,]ab 上的连续函数，并且，那么()()()ba f x dx Fb F a =-⎰。

或写成【合作释疑】合作探究一：定积分的计算例1．计算：（1）⎰--312)4(dx x x （2）⎰-215)1(dx x（3）⎰+20)(sin πdx x x （4）⎰-222cos ππxdx变式训练1求下列定积分：（1）⎰202dx e （2）⎰-20sin cos 2cos πdx x x x（实验班）（3）⎰-42dx e x （4）⎰+1021dx x x方法总结：合作探究二：定积分的应用例2．求曲线x y x y cos ,sin ==与直线2,0π==x x 所围成的平面图形的面积。

变式训练2（实验班）直线kx y =分抛物线2x x y -=与x轴所围图形为面积相等的两部分，求k 的值。

例3. 一辆汽车的速度—时间曲线如图所示，求此汽车在这min 1内所行驶的路程。

【巩固训练，整理提高】一．例题讲解例4．如图所示,阴影部分的面积是______变式训练（实验班）设函数bx ax x x f ++=23)(在点1=x 处有极值2-。

1.7定积分的简单应用第1课时精品教案

1.7 定积分的简单应用【课题】：定积分在几何中的应用【教课目的】：（1）知识与技术：解决一些在几何顶用初等数学方法难以解决的平面图形面积问题（2）过程与方法：在解决问题中，经过数形联合的思想方法，加深对定积分几何意义的理解（3）感情态度与价值观：领会事物间的互相转变、对峙一致的辩证关系，培育学生辩证唯心主义看法，提高理性思想能力．【教课要点】：（1）应用定积分解决平面图形的面积问题，使学生在解决问题的过程中体验定积分的价值以及由浅入深的解决问题的方法。

（2）数形联合的思想方法【教课难点】：利用定积分的几何意义，借助图形直观，把平面图形进行适合的切割，从而把求平面图形面积的问题转变为求曲边梯形面积的问题．【课前准备】： Powerpoint或投电影【教课过程设计】：教课环节教课活动设计企图一、（1）师：我们已经看到，定积分能够用来计算曲引入课题例题 1 边梯形的面积，事实上，利用定积分还能够求比较复杂的平面图形的面积。

（2）例题 1 计算由曲线 y2 x, y x2所围图形的面积 S。

yy=x21C B y 2=xD AO1x生：思虑，议论师（指引，总结）：例1是求由两条抛物线所围成的平面图形的面积．第一步，绘图并确立图形大概形状、范围，借助几何直观，将所求平面图形面积看成位于x 轴上方的两个曲边梯形面积之差；y y1 y=x 21 B y 2=x BA AO 1 x O 1 x师：第二步，确立积分上、下限，即经过解方程组求出交点的横坐标，从而确立被积函数和积分上、下限 ( 本例中需将曲线 y2 x 的解析式进行变形，得到 y x ，由于所围图形在 x 轴上方，因此取 y x ) ；yy= x1 BAO1x2解方程组y x 得交点的横坐标为 x 0 及 x 1 。

yx 2师：第三步，写出平面图形面积的定积分表达式，运用微积分基本定理计算定积分，从而求出平面图形的面积所以，所求图形的面积为S S 曲边梯形 OABCS 曲边梯形OABD1 xdx1x 2 dx0 023 1 1 3 1 3 x2x32 13 3 13板书解题详尽步骤，规范学生的解题格式。

《1.7.1 定积分在几何中的应用》导学案1

《1.7定积分的简单应用》导学案【学习目标】1．理解定积分概念和性质的基础上熟练掌握定积分的计算方法；2．掌握在平面直角坐标系下用定积分计算简单的平面曲线围成图形的面积，会解决简单的物理问题.【学习重难点】在平面直角坐标系下用定积分计算简单的平面曲线围成图形的面积【学习过程】自我阅读：(课本第56页至第59页)完成知识点的提炼探究探究任务一：定积分在几何中的应用问题：如何求曲边图形的面积？新知：1.当()f x 在[,]a b 上有正有负时，则|()|ba A f x dx =⎰ 2.平面图形是由两条曲线1()y f x =，2()y g x =，[,]x ab ∈及直线,x a x b ==所围成且()()f x g x >.其面积都可以用公式[()()]ba A f x g x dx =-⎰求之. 3.当介于两条曲线1()y f x =，2()y g x =，[,]x ab ∈和两条直线,y a y b ==之间的平面图形的面积公式为：[()()]b a A f x g x dx =-⎰试试：求正弦曲线3sin ,[0,]2y x x π=∈和直线32x π=及x 轴所围成的平面图形的面积.反思：求定积分就是求曲边梯形的面积.2、研究课本例题：(是对基本知识的体验)例1 计算由曲线2y x =，2y x =所围图形的面积S .变式：计算由直线4y x =-，曲线y 以及x 轴所围图形的面积S .小结：在利用定积分求平面图形的面积时，一般要先画出它的草图，再借助图形直观确定出被积函数以及积分的上、下限.探究任务二：定积分在物理中应用(1)求变速直线运动的路程例3.一辆汽车的速度一时间曲线如图1.7 一3 所示．求汽车在这1 min 行驶的路程．2．变力作功例4．在弹性限度内，将一弹簧从平衡位置拉到离平衡位置lm 处，求克服弹力所作的功．动手试试练1. 计算由x y e =，y e =，0x =所围图形的面积.练2. 一物体沿直线以23v t =+(t 的单位：s ，v 的单位：/m s )的速度运动，求该物体在35s 间行进的路程.【课堂自我检测】1. 若()y f x =与()y g x =是[,]a b 上的两条光滑曲线的方程则由这两条曲线及直线,x a x b ==所围成的平面区域的面积为( )A ．[()()]b a f x g x dx -⎰B ．[()()]ba g x f x dx -⎰ C ．|()()|b a f x g x dx -⎰ D ．|()()|ba f x g x dx -⎰ 2. 已知自由下落物体的速度为v gt =，则物体从0t =到0t t =所走过的路程为( )A ．2013gtB ．20gtC ．2012gtD ．2014gt 3. 曲线3cos (0)2y x x π=≤≤与坐标轴所围图形的面积是( ) A ．2 B ．3 C ． 52D ．4 4.一物体在力()34F x x =+(单位：N )的作用下，沿着与力相同的方向从0x =处运动到4x =处(单位：)则力()F x 所作的功为5. 弹簧所受的压缩力F 与缩短的距离l 按胡克定律F kl =计算. 如果10N 的力能使弹簧压缩1 cm ，那么把弹簧从平衡位置压缩10 cm (在弹性限度内)做功为【课后作业】1、若11(2)3ln 2a x dx x +=+⎰，且a ＞1，则a 的值为 ( )A ．6B .4C .3D .22、下列命题：①若f (x )是定义在R 上的奇函数，则0()xf t dt ⎰为R 上的偶函数；②若f (x )是周期为T (＞0)的周期函数，则0()()aa T T f x dx f x dx +=⎰⎰；③0(())()xf t dt f x '''=⎰.其中正确命题的个数为 ( )A ．0B .1C .2D .34、曲线]23,0[,cos π∈=x x y 与坐标轴围成的面积 ( )A ．4B ．2C ．25D ．35、若20(345)ax x dx +-⎰=a 3-2(a ＞1)，则a = .6. 求下列曲线所围成图形的面积：(1)3cos ,,,022y x x x y ππ====；(2)29,7y x y x =-=+.7、求曲线2sin [0,]3 y x x π=∈与直线20,3x x π== x 轴所围成的图形面积.8.计算曲线2x y =和24x y =-所围的图形面积.9．求抛物线2y x =与直线230x y --=所围成的平面区域的面积.。

定积分的简单应用(教案)

定积分的简单应用（学案）上课时间：2017年3月8日下午第一节一、复习引入1. 当()0f x ≥，定积分⎠⎛ab f (x )d x 表示由直线,(),0x a x b a b y ==<= 和曲线y ＝f (x )所围成的曲边梯形的面积．当()0f x ≤，定积分⎠⎛ab f (x )d x 表示由直线,(),0x a x b a b y ==<= 和曲线y ＝f (x )所围成的曲边梯形的面积的负值．2. 右图中S1、S2、S3分别表示对应曲边梯形的面积，则定积分()ba f x dx =⎰__________________3. 右图阴影部分面积可用积分式子表示为：阴影面积S=_____________________________二、新课讲授1.计算下图阴影部分面积阴影面积S=__________________ 阴影面积S=__________________思考：当上题两个图形重合在一起，求阴影部分的面积.阴影部分面积S=______________________思考：当()()f x g x ≥时，两图像围成的面积是否都可以表示为=[()()]ba S f x g x dx -⎰？三、例题讲解，巩固练习例1 用定积分表示下列阴影部分的面积(1)面积为__________________________ (2)面积为_________________________(3)面积为__________________________ (4)面积为_________________________练习 1 若y=f(x)与y=g(x)是区间[a,b]上的两条光滑曲线的方程，则这两条曲线及直线x=a ,x=b 所围成的平面区域的面积为 ( )[()()]b a A f x g x dx -⎰、 [()()]ba B g x f x dx -⎰、 ()()b a C f x g x dx -⎰、 ()()ba D f x g x dx -⎰、例2 计算由曲线2,2y x y x ==所围成图形的面积S.解题步骤：练习2 求下列曲线所围成图形的面积.2(1)2,3,0,2y x y x x x =+===； (2),,0x y e y e x ===例3 求曲线xy=1与直线y=x,y=3所围成的平面图形的面积.练习3 求抛物线y 2＝4x 与直线y ＝2x －4围成的平面图形的面积.例4 如图，直线y kx =分抛物线2y x x =-与x 轴所围图形为面积相等的两部分，求k 的值四、小结思考：（2017，汕头一模）。

陕西省澄城县寺前中学高二数学《定积分的简单应用》导学案

（）
A． B． C． D．
4、如果10N的力能使弹簧压缩10cm，为在弹性限度内将弹簧拉长6cm，则力所做的功为（）
A．0.28J B．0. 12J C．0.26J D．0.18J
拓展提升D
备注
已知f(a)= ，求f(a)的最大值。
作业布置
备注
课本P95复习题A组第1、5，题
教（学）后反思
情感态度
与价值观
通过定积分的简单应用，认识微积分在研究事物变化规律方面的巨大威力，体会微积分在实际生活中的广泛应用。
重点
难点
重点：利用定积分的意义和积分公式表解决一些简单的计算问题；
难点；积分的计算问题
教学方法
先学后教，讲练结合
学生
自学
反馈
教学过程
新知导学
备注
练习反馈：
1、 =
2、利用定积分表示下列阴影图形的面积：
寺前中学高二数学教（学）案
年级：高二编写人：审核人：编制时间：2013.4
课题
班级
授课（完成）时间
1课时
教师（学生）
教
学
目
标
知识与技能
1．理解定积分概念形成过程的思想；
2．会求简单的定积分问题
过程与方法
在利用定积分求简单问题的过程中，领会运用定积分解决实际问题的方法和思路，提高利用数学知识解决实际问题的能力。
3、 =（）
A、 B、
C、 D、
4、。
注明知识要求：A“识记类”
B“理解类”
C“应用类”
D“能力提升类”
合作探究B
备注
求由曲线与，，所围成的平面图形的面积(画出图形)。
当堂检测C
曲线与坐标轴围成的面积是（）

(整理)学案16定积分及其简单的应用.

学案16 定积分及其简单的应用导学目标： 1.以求曲边梯形的面积和汽车变速行驶的路程为背景准确理解定积分的概念.2.理解定积分的简单性质并会简单应用.3.会说出定积分的几何意义，能根据几何意义解释定积分.4.会用求导公式和导数运算法则，反方向求使F ′(x )＝f (x )的F (x )，并运用牛顿—莱布尼茨公式求f (x )的定积分.5.会通过求定积分的方法求由已知曲线围成的平面图形的面积.6.能熟练运用定积分求变速直线运动的路程.7.会用定积分求变力所做的功．自主梳理1．定积分的几何意义：如果在区间[a ，b ]上函数f (x )连续且恒有f (x )≥0，那么函数f (x )在区间[a ，b ]上的定积分的几何意义是直线________________________所围成的曲边梯形的________．2．定积分的性质 (1)ʃb a kf (x )d x ＝__________________ (k 为常数)； (2)ʃb a [f 1(x )±f 2(x )]d x ＝_____________________________________； (3)ʃba f (x )d x ＝_______________________________________. 3．微积分基本定理一般地，如果f (x )是区间[a ，b ]上的连续函数，并且F ′(x )＝f (x )，那么ʃb a f (x )d x ＝F (b )－F (a )，这个结论叫做__________________，为了方便，我们常把F (b )－F (a )记成__________________，即ʃb a f (x )d x ＝F (x )|ba ＝F (b )－F (a )．4．定积分在几何中的应用(1)当x ∈[a ，b ]且f (x )>0时，由直线x ＝a ，x ＝b (a ≠b )，y ＝0和曲线y ＝f (x )围成的曲边梯形的面积S ＝__________________.(2)当x ∈[a ，b ]且f (x )<0时，由直线x ＝a ，x ＝b (a ≠b )，y ＝0和曲线y ＝f (x )围成的曲边梯形的面积S ＝__________________.(3)当x ∈[a ，b ]且f (x )>g (x )>0时，由直线x ＝a ，x ＝b (a ≠b )和曲线y ＝f (x )，y ＝g (x )围成的平面图形的面积S ＝______________________.(4)若f (x )是偶函数，则ʃa －a f (x )d x ＝2ʃa 0f (x )d x ；若f (x )是奇函数，则ʃa－a f (x )d x ＝0. 5．定积分在物理中的应用 (1)匀变速运动的路程公式做变速直线运动的物体所经过的路程s ，等于其速度函数v ＝v (t )[v (t )≥0]在时间区间[a ，b ]上的定积分，即________________________．(2)变力做功公式一物体在变力F (x )(单位：N)的作用下做直线运动，如果物体沿着与F 相同的方向从x ＝a 移动到x ＝b (a <b )(单位：m)，则力F 所做的功W ＝__________________________.自我检测1．计算定积分ʃ503x d x 的值为 ( ) A.752 B ．75 C.252D ．25 2．定积分ʃ10[1－(x －1)2－x ]d x 等于 ( ) A.π－24 B.π2－1C.π－14D.π－123．如右图所示，阴影部分的面积是 ( )A ．2 3B ．2－ 3 C.323D.3534．(2010·湖南)ʃ421xd x 等于 ( ) A ．－2ln 2 B ．2ln 2 C ．－ln 2 D ．ln 25．若由曲线y ＝x 2＋k 2与直线y ＝2kx 及y 轴所围成的平面图形的面积S ＝9，则k ＝________.探究点一求定积分的值例1 计算下列定积分： (1)2111()ex dx x x++⎰； (2)2sin 2cos )x x dx π-⎰（； (3)ʃπ0(2sin x －3e x ＋2)d x ；(4)ʃ20|x 2－1|d x .变式迁移1 计算下列定积分：(1)ʃ2π0|sin x |d x ；(2)ʃπ0sin 2x d x .探究点二求曲线围成的面积例2 计算由抛物线y ＝12x 2和y ＝3－(x －1)2所围成的平面图形的面积S .变式迁移2 计算曲线y ＝x 2－2x ＋3与直线y ＝x ＋3所围图形的面积．探究点三定积分在物理中的应用例3 一辆汽车的速度－时间曲线如图所示，求此汽车在这1 min 内所行驶的路程．变式迁移3 A 、B 两站相距7.2 km ，一辆电车从A 站开往B 站，电车开出t s 后到达途中C 点，这一段速度为1.2t m/s ，到C 点时速度达24 m/s ，从C 点到B 点前的D 点以匀速行驶，从D 点开始刹车，经t s 后，速度为(24－1.2t )m/s ，在B 点恰好停车，试求：(1)A 、C 间的距离； (2)B 、D 间的距离；(3)电车从A 站到B 站所需的时间．函数思想的应用例 (12分)在区间[0,1]上给定曲线y ＝x 2.试在此区间内确定点t 的值，使图中的阴影部分的面积S 1与S 2之和最小，并求最小值．【答题模板】解 S 1面积等于边长为t 与t 2的矩形面积去掉曲线y ＝x 2与x 轴、直线x ＝t 所围成的面积，即S 1＝t ·t 2－ʃt 0x 2d x ＝23t 3.[2分]S 2的面积等于曲线y ＝x 2与x 轴，x ＝t ，x ＝1围成的面积去掉矩形面积，矩形边长分别为t 2,1－t ，即S 2＝ʃ1tx 2d x －t 2(1－t )＝23t 3－t 2＋13.[4分] 所以阴影部分面积S ＝S 1＋S 2＝43t 3－t 2＋13(0≤t ≤1)．[6分]令S ′(t )＝4t 2－2t ＝4t ⎝⎛⎭⎫t －12＝0时，得t ＝0或t ＝12.[8分] t ＝0时，S ＝13；t ＝12时，S ＝14；t ＝1时，S ＝23.[10分]所以当t ＝12时，S 最小，且最小值为14.[12分]【突破思维障碍】本题既不是直接求曲边梯形面积问题，也不是直接求函数的最小值问题，而是先利用定积分求出面积的和，然后利用导数的知识求面积和的最小值，难点在于把用导数求函数最小值的问题置于先求定积分的题境中，突出考查学生知识的迁移能力和导数的应用意识．1．定积分ʃb a f (x )d x 的几何意义就是表示由直线x ＝a ，x ＝b (a ≠b )，y ＝0和曲线y ＝f (x )围成的曲边梯形的面积；反过来，如果知道一个这样的曲边梯形的面积也就知道了相应定积分的值，如ʃ204－x 2d x ＝π (半径为2的14个圆的面积)，ʃ2－24－x 2d x ＝2π. 2．运用定积分的性质可以化简定积分计算，也可以把一个函数的定积分化成几个简单函数定积分的和或差．3．计算一些简单的定积分问题，解题步骤是：第一步，把被积函数变形为幂函数、正弦函数、余弦函数、指数函数与常数积的和或差；第二步，把定积分用定积分性质变形为求被积函数为上述函数的定积分；第三步，分别用求导公式找到一个相应的使F ′(x )＝f (x )的F (x )；第四步，再分别用牛顿—莱布尼茨公式求各个定积分的值后计算原定积分的值．(满分：75分)一、选择题(每小题5分，共25分) 1．下列值等于1的积分是 ( )A ．ʃ10x d x B ．ʃ10(x ＋1)d xC ．ʃ1012d x D ．ʃ101d x 2．(2011·汕头模拟)设函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧x 2＋1，0≤x ≤1，3－x ，1<x ≤2，则ʃ20f (x )d x 等于 ( )A.13B.176 C ．6 D ．173．已知f (x )为偶函数且ʃ60f (x )d x ＝8，则ʃ6－6f (x )d x 等于 ( ) A ．0 B ．4 C ．8 D ．164．(2011·深圳模拟)曲线y ＝sin x ，y ＝cos x 与直线x ＝0，x ＝π2所围成的平面区域的面积为 ( )A ．ʃπ20(sin x －cos x )d xB ．2ʃπ40(sin x －cos x )d xC ．ʃπ20(cos x －sin x )d xD ．2ʃπ40(cos x －sin x )d x5．(2011·临渭区高三调研)函数f (x )＝ʃx 0t (t －4)d t 在[－1,5]上 ( ) A ．有最大值0，无最小值B ．有最大值0，最小值－323C ．有最小值－323，无最大值6．若1 N 的力使弹簧伸长2 cm ，则使弹簧伸长12 cm 时克服弹力做的功为__________J.7．ʃ10(2x k＋1)d x ＝2，则k ＝________. 8．(2010·山东实验中学高三三诊)若f (x )在R 上可导，f (x )＝x 2＋2f ′(2)x ＋3，则ʃ30f (x )d x ＝________.三、解答题(共38分)9．(12分)计算以下定积分：(1)ʃ21⎝⎛⎭⎫2x 2－1x d x ； (2)ʃ32⎝⎛⎭⎫x ＋1x 2d x ； (3)ʃπ30(sin x －sin 2x )d x ； (4)ʃ21|3－2x |d x .10．(12分)设y ＝f (x )是二次函数，方程f (x )＝0有两个相等的实根，且f ′(x )＝2x －2. (1)求y ＝f (x )的表达式；(2)求y ＝f (x )的图象与两坐标轴所围成图形的面积．11．(14分)求曲线y ＝e x －1与直线x ＝－ln 2，y ＝e －1所围成的平面图形的面积．答案自主梳理1．x ＝a ，x ＝b (a ≠b )，y ＝0和曲线y ＝f (x ) 面积2．(1)k ʃb a f (x )d x (2)ʃb a f 1(x )d x ±ʃb a f 2(x )d x (3)ʃc a f (x )d x ＋ʃbc f (x )d x (其中a <c <b )3.微积分基本定理 F (x )|b a4.(1)ʃb a f (x )d x (2)－ʃb a f (x )d x (3)ʃba [f (x )－g (x )]d x5.(1)s ＝ʃb a v (t )d t (2)ʃba F (x )d x 自我检测1．A 2.A 3.C 4.D 5．±3解析由⎩⎪⎨⎪⎧y ＝x 2＋k 2，y ＝2kx .得(x －k )2＝0，即x ＝k ，所以直线与曲线相切，如图所示，当k >0时，S ＝ʃk 0(x 2＋k 2－2kx )d x＝ʃk 0(x －k )2d x ＝13(x －k )3|k 0＝0－13(－k )3＝k 33，由题意知k33＝9，∴k ＝3.由图象的对称性可知k ＝－3也满足题意，故k ＝±3. 课堂活动区例1 解题导引 (1)与绝对值有关的函数均可化为分段函数． ①分段函数在区间[a ，b ]上的积分可分成几段积分的和的形式．②分段的标准是使每一段上的函数表达式确定，按照原函数分段的情况分即可，无需分得过细．(2)f (x )是偶函数，且在关于原点对称的区间[－a ，a ]上连续，则ʃa －a f (x )d x ＝2ʃa0f (x )d x .解 (1)ʃe 1⎝⎛⎭⎫x ＋1x ＋1x 2d x ＝ʃe 1x d x ＋ʃe 11x d x ＋ʃe 11x2d x ＝12x 2|e 1＋ln x |e 1－1x|e 1 ＝12(e 2－1)＋(ln e －ln 1)－⎝⎛⎭⎫1e －11 ＝12e 2－1e ＋32. (2)ʃπ20(sin x －2cos x )d x＝ʃπ20sin x d x －2ʃπ20cos x d x ＝(－cos x )|π20－2sin x |π2＝－cos π2－(－cos 0)－2⎝⎛⎭⎫sin π2－sin 0 ＝－1.(3)ʃπ0(2sin x －3e x＋2)d x＝2ʃπ0sin x d x －3ʃπ0e x d x ＋ʃπ02d x＝2(－cos x )|π0－3e x |π0＋2x |π＝2[(－cos π)－(－cos 0)]－3(e π－e 0)＋2(π－0) ＝7－3e π＋2π. (4)∵0≤x ≤2，于是|x 2－1|＝⎩⎪⎨⎪⎧x 2－1，1<x ≤2，1－x 2，0≤x ≤1， ∴ʃ20|x 2－1|d x ＝ʃ10(1－x 2)d x ＋ʃ21(x 2－1)d x＝⎝⎛⎭⎫x －13x 3|10＋⎝⎛⎭⎫13x 3－x |21＝2.变式迁移1 解 (1)∵(－cos x )′＝sin x ，∴ʃ2π0|sin x |d x ＝ʃπ0|sin x |d x ＋ʃ2ππ|sin x |d x ＝ʃπ0sin x d x －ʃ2ππsin x d x＝－cos x |π0＋cos x |2ππ＝－(cos π－cos 0)＋(cos 2π－cos π)＝4.(2)ʃπ0sin 2x d x ＝ʃπ0⎝⎛⎭⎫12－12cos 2x d x ＝ʃπ012d x －12ʃπ0cos 2x d x ＝12x |π0－12⎝⎛⎭⎫12sin 2x |π0 ＝⎝⎛⎭⎫π2－0－12⎝⎛⎭⎫12sin 2π－12sin 0 ＝π2. 例2 解题导引求曲线围成的面积的一般步骤为：(1)作出曲线的图象，确定所要求的面积；(2)联立方程解出交点坐标；(3)用定积分表示所求的面积；(4)求出定积分的值．解作出函数y ＝12x 2和y ＝3－(x －1)2的图象(如图所示)，则所求平面图形的面积S 为图中阴影部分的面积．解方程组⎩⎪⎨⎪⎧y ＝12x 2，y ＝3－(x －1)2，得⎩⎨⎧x ＝－23，y ＝29或⎩⎪⎨⎪⎧x ＝2，y ＝2. 所以两曲线交点为A ⎝⎛⎭⎫－23，29，B (2,2)．所以S ＝ʃ2－23[3－(x －1)2]d x －ʃ2－2312x 2d x＝ʃ2－23(－x 2＋2x ＋2)d x －ʃ2－2312x 2d x＝⎪⎪⎝⎛⎭⎫－13x 3＋x 2＋2x 2－23－⎪⎪16x 32－23 ＝⎝⎛⎭⎫－83＋4＋4－⎝⎛⎭⎫881＋49－43－16×⎝⎛⎭⎫8＋827 ＝42027. 变式迁移2 解如图，设f (x )＝x ＋3， g (x )＝x 2－2x ＋3，两函数图象的交点为A ，B ，由⎩⎪⎨⎪⎧y ＝x ＋3，y ＝x 2－2x ＋3. 得⎩⎪⎨⎪⎧ x ＝0，y ＝3或⎩⎪⎨⎪⎧x ＝3，y ＝6.∴曲线y ＝x 2－2x ＋3与直线y ＝x ＋3所围图形的面积 S ＝ʃ30[f (x )－g (x )]d x ＝ʃ30[(x ＋3)－(x 2－2x ＋3)d x ]＝ʃ30(－x 2＋3x )d x＝⎝⎛⎭⎫－13x 3＋32x 2|30＝92. 故曲线与直线所围图形的面积为92.例3 解题导引用定积分解决变速运动的位置与路程问题时，将物理问题转化为数学问题是关键．变速直线运动的速度函数往往是分段函数，故求积分时要利用积分的性质将其分成几段积分，然后求出积分的和，即可得到答案．s (t )求导后得到速度，对速度积分则得到路程．解方法一由速度—时间曲线易知．v (t )＝⎩⎪⎨⎪⎧3t ，t ∈[0，10)，30，t ∈[10，40)，－1.5t ＋90，t ∈[40，60]，由变速直线运动的路程公式可得 s ＝ʃ1003t d t ＋ʃ401030d t ＋ʃ6040(－1.5t ＋90)d t＝32t 2|100＋30t |4010＋⎝⎛⎭⎫－34t 2＋90t |6040＝1 350 (m)．答此汽车在这1 min 内所行驶的路程是1 350 m. 方法二由定积分的物理意义知，汽车1 min 内所行驶的路程就是速度函数在[0,60]上的积分，也就是其速度曲线与x 轴围成梯形的面积，∴s ＝12(AB ＋OC )×30＝12×(30＋60)×30＝1 350 (m)．答此汽车在这1 min 内所行驶的路程是1 350 m.变式迁移3 解 (1)设v (t )＝1.2t ，令v (t )＝24，∴t ＝20.∴A 、C 间距离|AC |＝ʃ2001.2t d t＝(0.6t 2)|200＝0.6×202＝240 (m)． (2)由D 到B 时段的速度公式为v (t )＝(24－1.2t ) m/s ，可知|BD |＝|AC |＝240 (m)． (3)∵|AC |＝|BD |＝240 (m)，∴|CD |＝7 200－240×2＝6 720 (m)．∴C 、D 段用时6 72024＝280 (s)．又A 、C 段与B 、D 段用时均为20 s ， ∴共用时280＋20＋20＝320 (s)．课后练习区1．D 2.B 3.D 4.D 5.B 6．0.36解析设力F 与弹簧伸长的长度x 的关系式为F ＝kx ，则1＝k ×0.02，∴k ＝50，∴F ＝50x ，伸长12 cm 时克服弹力做的功W ＝ʃ0.12050x d x ＝502x 2|0.120＝502×0.122＝0.36(J)． 7．1解析 ∵ʃ10(2x k ＋1)d x ＝⎪⎪⎝⎛⎭⎫2k ＋1x k ＋1＋x 10＝2k ＋1＋1＝2，∴k ＝1. 8．－18解析 ∵f ′(x )＝2x ＋2f ′(2)，∴f ′(2)＝4＋2f ′(2)，即f ′(2)＝－4，∴f (x )＝x 2－8x ＋3，∴ʃ30f (x )d x ＝13×33－4×32＋3×3＝－18. 9．解 (1)函数y ＝2x 2－1x 的一个原函数是y ＝23x 3－ln x ，所以ʃ21⎝⎛⎭⎫2x 2－1x d x ＝⎪⎪⎝⎛⎭⎫23x 3－ln x 21 ＝163－ln 2－23＝143－ln 2.………………………………………………………………(3分)(2)ʃ32⎝⎛⎭⎫x ＋1x 2d x ＝ʃ32⎝⎛⎭⎫x ＋1x ＋2d x ＝⎪⎪⎝⎛⎭⎫12x 2＋ln x ＋2x 32＝⎝⎛⎭⎫92＋ln 3＋6－(2＋ln 2＋4)＝ln 32＋92.…………………………………………………………………………………(6分)(3)函数y ＝sin x －sin 2x 的一个原函数为y ＝－cos x ＋12cos 2x ，所以ʃπ30(sin x －sin 2x )d x＝⎪⎪⎝⎛⎭⎫－cos x ＋12cos 2x π30＝⎝⎛⎭⎫－12－14－⎝⎛⎭⎫－1＋12＝－14.……………………………………………………………(9分) 322(4)3232322311232(32)(23)2312x dx x dx x dxx dx x dx =-=-+-=-+-⎰⎰⎰⎰⎰＝(3x －x 2)|321＋(x 2－3x )|232＝12.…………………………………………………………(12分)10．解 (1)设f (x )＝ax 2＋bx ＋c (a ≠0)，则f ′(x )＝2ax ＋b .又f ′(x )＝2x －2，所以a ＝1，b ＝－2，即f (x )＝x 2－2x ＋c .………………………………………………(4分) 又方程f (x )＝0有两个相等实根，所以Δ＝4－4c ＝0，即c ＝1.故f (x )＝x 2－2x ＋1.………………………………………………………………………(8分)(2)依题意，所求面积S ＝ʃ10(x 2－2x ＋1)d x ＝⎝⎛⎭⎫13x 3－x 2＋x |10＝13.……………………………………………………………………(12分) 11．解画出直线x ＝－ln 2，y ＝e －1及曲线y ＝e x －1如图所示，则所求面积为图中阴影部分的面积．由⎩⎪⎨⎪⎧y ＝e －1，y ＝e x－1，解得B (1，e －1)．由⎩⎪⎨⎪⎧x ＝－ln 2，y ＝e x －1，解得A ⎝⎛⎭⎫－ln 2，－12.…………………………………………………(4分) 此时，C (－ln 2，e －1)，D (－ln 2,0)．所以S ＝S 曲边梯形BCDO ＋S 曲边三角形OAD＝ʃ1－ln 2(e －1)d x －ʃ10(e x－1)d x ＋||0－ln 2(e x －1)d x ………………………………………(7分) ＝(e －1)x |1－ln 2－(e x －x )|10＋|(e x －x )|0－ln 2| ………………………………………………(10分)＝(e －1)(1＋ln 2)－(e －1－e 0)＋|e 0－(e －ln 2＋ln 2)|＝(e －1)(1＋ln 2)－(e －2)＋ln 2－12＝eln 2＋12.……………………………………………………………………………(14分)。

人教A版导学案-定积分的应用

导学案 : 定积分的应用一、学习目标：1、知识与技能：了解定积分的实际背景，基本思想概念。

了解微积分基本定理的含义。

2、过程与方法：通过合作、探究、展示、点评培养学生的自主学习能力。

3、情感、态度、价值观：增强数学学习信心，获得学习的快乐。

二、使用说明：1、导学案40分钟独立、规范完成。

2、积极探究、合作交流，大胆质疑。

三、知识梳理：1 定积分的定义。

2 定积分的性质1） ⎰badx x kf )(=k ⎰badx x f )( (k 为常数)；2）[]⎰±ba dx x f x f )()(21=⎰badx x f )(1±⎰badx x f )(2；3）定积分对区间的可加性 ⎰badx x f )(=⎰c adx x f )(+⎰b cdx x f )( （其中a<c<b ）3 微积分基本定理如果)('x F =f(x),且f(x)在[a,b]上可积，则⎰badx x f )(=F （b ）-F(a),其中F(x)叫做f(x) 的一个原函数，由于[]')(c x F +=f(x),因此F （x ）+c 也是f(x) 的原函数，其中c 为常数。

一般的，原函数在[a,b]上的改变量F(b)-F(a)简记作F(x)ab. 因此，微积分基本定理可以写成形式：⎰badx x f )(= F(x)ab.=F(b)-F(a). 四、基础训练： 1、⎰+5321dx x x =（） A 8-ln 35 B 8+ ln 35 C 16- ln 35 D 16+ln 352 、已知f(x)为偶函数且⎰6)(dx x f =8则⎰-66)(dx x f =( )A 0B 4C 8D 16 3、 m=⎰1dx e x 与n=⎰edx x11的大小关系是（） A m>n B m<n C m=n D 无法确定 4 、⎰--1121dx x =______________.5、若由曲线 y=22k x +与直线 y=2kx 及 y 轴所围成的平面图形的面积 S=9,则k=___________. 五、合作、探究、展示：例1 （1）求由曲线y=sinx 与x 轴在区间[0,2π]上围成的图形的面积S.（2）计算曲线y=2x -2x+3 与直线 y=x+3 所围成图形的面积。