曲线曲面拟合.
matlab曲线曲面拟合讲解及实例
例如：
x1=[1.0500 1.0520 1.0530 1.0900 1.0990 1.1020 1.1240 1.1420...
1.1490 1.0500 1.0520 1.0530 1.0900 1.0990 1.1020 1.1240 1.1420 1.1490];
x2=[3.8500 1.6500 2.7500 5.5000 7.7000 3.3000 4.9500 8.2500 11.5500...
52.5000 62.0000];
data=[x1;x2]; ห้องสมุดไป่ตู้ %类似于将x1 x2整合成一个2维数组。
a0= [-0.0014,0.07];
option=optimset('MaxFunEvals',5000);
format long;
同理用Symbolic Math Toolbox可以直接执行
>> ezmesh('X.^2 - Y.^2', [-2 2], [-2 2])
surf函数
在函数不能表示成z = f(x, y)时，需要用surf函数。比如x2+y2+z2=1.
先需要用柱面坐标或者球坐标来表示。这里用柱面坐标表示为 r2+z2=1
x = sqrt(1-z2)cosθ, x = sqrt(1-z2)sinθ;
执行matlab指令：
>> [theta, Z] = meshgrid((0:0.1:2)*pi, (-1:0.1:1));
>> X =sqrt(1 - Z.^2).*cos(theta);
>> Y =sqrt(1 - Z.^2).*sin(theta);
基于移动最小二乘法的曲线曲面拟合
基于移动最小二乘法的曲线曲面拟合示例文章篇一：哎呀呀，这题目可把我这个小学生难住啦！什么是移动最小二乘法呀？曲线曲面拟合又是什么东西？我一点儿都不明白！老师在课堂上讲这些的时候，我就像在听天书一样。
我看看周围的同学，有的皱着眉头，有的一脸迷茫，估计和我差不多。
我心里忍不住想：“这东西怎么这么难呀，难道是要故意为难我们吗？”我回家问爸爸妈妈，他们看着我，也是一脸无奈。
爸爸说：“孩子，这对爸爸来说也太复杂啦！”妈妈接着说：“宝贝，妈妈也搞不懂呢。
”后来在学校，我和同桌小明一起讨论。
我问他：“小明，你懂移动最小二乘法的曲线曲面拟合吗？”小明摇摇头说：“不懂，感觉像外星语言。
” 我们俩你看看我，我看看你，都忍不住笑了。
我就一直在想，这就好像是一个超级大的迷宫，我们怎么都找不到出口。
数学的世界有时候真的好奇怪呀，一会儿是简单的加减乘除，一会儿又冒出这么难的东西。
这移动最小二乘法的曲线曲面拟合，难道是数学王国里的大怪兽，专门来拦住我们前进的路？老师为了让我们明白，在黑板上画了好多图，讲了好多遍。
可我还是似懂非懂的。
我多希望能有一把神奇的钥匙，一下子就能打开这个知识的大门，让我清楚地看到里面到底是怎么回事。
我又去问班上的数学小天才小刚，我说：“小刚，你给我讲讲呗。
”小刚很耐心地跟我说：“其实吧，就是用一种特别的方法去把一些曲线和曲面弄明白。
” 我着急地问：“那到底怎么弄明白呀？”小刚挠挠头说：“哎呀，我也说不太清楚。
”我觉得吧，学习这个就像爬山，我们一直在努力往上爬，可这座山好高好高，爬得好累呀！但我可不会轻易放弃，我一定要弄明白这个移动最小二乘法的曲线曲面拟合到底是怎么回事！我相信，只要我一直努力，总有一天能征服这座知识的大山！示例文章篇二：哎呀呀，这题目可把我难住啦！什么是移动最小二乘法的曲线曲面拟合呀？对于我这个小学生来说，简直就像是外太空的神秘语言！老师在课堂上讲这个的时候，我看好多同学都一脸懵。
我心里就在想：“这东西难道比孙悟空的七十二变还难？” 我瞪大眼睛，努力想听明白，可那些复杂的公式和概念就像调皮的小猴子，在我脑子里上蹿下跳，就是不让我抓住它们。
[matlab曲面拟合]matlab曲线拟合
![[matlab曲面拟合]matlab曲线拟合](https://img.taocdn.com/s3/m/c4f93815a7c30c22590102020740be1e650eccaa.png)
[matlab曲面拟合]matlab曲线拟合篇一: matlab曲线拟合- 非常好非常全面的介绍M拟合的参考资料曲线拟合向导Genial @ USTC 2004-4-18Mathworks Tech-Note 1508 曲线拟合向导1．介绍2．Mathworks 产品的曲线拟合特色a．曲线拟合工具箱b．Matlab 内建函数与其他的带有曲线拟合能力的附加产品c．线性曲线拟合d．非线性曲线拟合3．加权曲线拟合方法a．曲线拟合工具箱b．统计工具箱c．优化工具箱4．利用曲线拟合工具箱提高曲线拟合结果5．其他的相关资料第1节：简介MA TLAB即有内建的解决很多通常遇到的曲线拟合问题的能力，又具有附加这方面的产品。
[］本技术手册描述了几种拟合给定数据集的曲线的方法，另外，本手册还解释了加权曲线拟合、针对复数集的曲线拟合以及其他一些相关问题的拟合技巧。
在介绍各种曲线拟合方法中，采用了典型例子的结合介绍。
第2节：MathWorks产品的曲线拟合特色MA TLAB有可以用于曲线拟合的内建函数。
MathWorks公式也提供了很多工具箱可以用于曲线拟合。
这些方法可以用来做线性或者非线性曲线拟合。
MA TLAB也有一个开放的工具箱――曲线拟合工具箱，她可以用于参数拟合，也可以用于非参数拟合。
本节将介绍曲线拟合工具箱与其他工具箱、以及各种MA TLAB可以用于曲线拟合的内建函数的详细特征。
a．曲线拟合工具箱曲线拟合工具箱是专门为数据集合进行曲线拟合而设计的。
这个工具箱集成了用MA TLAB建立的图形用户界面和M文件函数。
曲线拟合向导Genial @ USTC 2004-4-18? 利用工具箱的库方程或者是用户自定义方程可以进行参数拟合。
［）当你想找出回归系数以及他们背后的物理意义的时候就可以采用参数拟合。
? 通过采用平滑样条或者其他各种插值方法，你就可以进行非参数拟合。
当回归系数不具有物理意义并且不在意他们的时候，就采用非参数拟合方法。
B样条曲面拟合
谢谢
这样的 节点矢量定义了一般非均匀B样条基.
分段贝齐尔曲线 其节点矢量中二端节点重复度与类型2相同, 为k+1。所不同的是,点数减1必 须等于次数的正整数倍,
二、曲面拟合的条件
待拟合曲面的控制点数 样条基次数 两个方向的节点向量
B样条曲面拟合
一、B样条曲线的种类及主要性质
均匀B样条曲线 均匀B样条曲线节点矢量中节点为沿参数轴 均匀或等距分布,所有节点区间长=Δi=ti+ti常数 >0(i=0,1,…,n+k)。这样的节点矢量定义了均匀 B样条基。 准均匀B样条曲线 其节点矢量中二端节点具有重复度k+1,即t0 =t1=…=tk,tn+1=tn+2=…=tn+k+1,所有内 节点均匀分布,重复度为1。
3、节点向量
节点向量是由数据点的参数化确定的，给定 曲面的数据点赋两个参数值，使位于拟和曲 面上的这些点与平面参数域内的点建立一一 对应的关系。 参数化的手段有：均与参数化、累加弦长参 数化、基面参数化。
得到数据点集的参数值后，就可以利用最小 二乘拟合反算曲面控制点
三、曲面拟合的实例
例1： 图1是一条三次B样条曲线与控制多 边形，符号“○”表示曲线初始控制点， “*”号表示曲线经一次4尺度加细后得到的 控制点，由图易见，加细后的控制点与曲线 更加接近。因此，可通过控制点的多尺度迭 代来生成B样条曲线增加了生成样条曲线的 速度。
例2 图2是利用第2节算法进行4尺度三层加细得 到的双三次B样条拟合曲面，0D为 (1+3)×(1+3)网格，经过三次4尺度加细 后3D为(64+3)×(64+3)网格，重建的B 样条曲面即有很好的光滑形状，又有很高的 逼近精度，同时，在上机实现时算法速度比 以前基于Binary细分多层加细算法的速度稍 快，主要由于减少了耗时的Step 2的次数。
matlab曲线曲面拟合后系数的小数位数读取方法
使用MATLAB的cftool和sftool工具进行曲线曲面拟合时，拟合得到的多项式系数默认为保留4位有效数字（我用的R2010a），有时候这样的精度并不能满足要求，造成拟合的多项式退化，就需要多输出几位小数位数了。
下面，我们通过一个曲面拟合例子，来看具体操作。
（1）sftool工具下的曲面拟合方法1.1 编辑数据如图所示，在EXCEL中录入X,Y,Z的值1.2 导入数据在matlab主界面中，从File—import date-中选择编辑的excel文件，点击next后按下图选择。
确定后，主界面的workspace中应当有三组数据。
1.3 基于sftool工具的曲面拟合通过Start—toolboxes—curve fitting—surface fitting tool进入曲面拟合界面。
在x，y，z的input 中选择数据，选择非线性拟合Polynomial，选好自变量的阶数，点击fit进行拟合。
（也可以选用custom equation来自定义函数拟合）此时，拟合得到的多项式，及其各项系数、相关系数都在左侧的result中给出。
在此例中，由于所得的z值很小，自变量又较大，所以得到的系数带入方程并不能计算出原来的结果，换句话说，所得系数的小数位数不够。
那么如何增加小数位数的显示呢？（2）拟合结果的小数位数显示2.1 预设置在matlab主界面中，依次点击file—preferences--command window和variable editor，在其中的format下拉框中选择long e。
（也就是科学计数法15位）2.2 拟合代码回到sftool界面，点击file—general M-file获取拟合源代码。
复制其中的拟合代码段（选中的那一段，上面的部分为说明，下面的部分为作图，均不需要）。
2.3 将该段代码粘贴到matlab主界面的command window中2.4 回车后，输入fitresult，得到如下结果可以看到，计算得到的系数仍然是4位有效数字，和在sftool工具中得到的一样。
基于移动最小二乘算法的曲线曲面拟合
基于移动最小二乘算法的曲线曲面拟合示例文章篇一：哎呀，我的天呐！这“移动最小二乘算法的曲线曲面拟合”到底是个啥呀？对于我这个小学生来说，简直就像外星来的神秘东西！我就先试着猜猜看，这是不是像我们画画的时候，想要把一条弯弯曲曲的线画得特别漂亮、特别准确的方法？比如说，画一个超级大的彩虹，得让每一段弧线都特别顺溜，不能有一点儿歪歪扭扭的。
那这个算法是不是就是帮我们找到怎么画才能最完美的秘诀呢？我们班的数学小天才小明，一听到这个题目就眼睛放光，他说：“这可有意思啦，就像搭积木，得找到最合适的积木块，才能搭出漂亮的城堡！”我一脸懵地问他：“那到底怎么找到那些合适的积木块呀？”小明却神秘兮兮地说：“你自己琢磨琢磨呗！”哼，这家伙，就知道卖关子！老师在课堂上讲这个的时候，我感觉自己就像在云里雾里飘着。
我看看同桌小花，她也是一脸的迷茫。
老师在黑板上写了好多好多的公式和图形，我的脑袋都快转不过来了。
我忍不住想：这难道比孙悟空的七十二变还难理解？后来我回家问了爸爸，爸爸说：“宝贝，这就像是给你做一件超级合身的衣服，得量好多好多的尺寸，然后才能裁剪出最合适的布片，让衣服穿在你身上美美的。
”我似懂非懂地点点头，可心里还是觉得不太明白。
再后来，我和小伙伴们一起讨论，大家你一言我一语的。
小红说：“我觉得这像拼图，得把那些小块小块的拼在一起，才能看出完整的图案。
”小刚却说：“不对不对，这更像是走迷宫，要找到正确的路才能走出去。
”我们争来争去，谁也说服不了谁。
经过这么多次的思考和讨论，我好像有点儿明白啦。
这移动最小二乘算法的曲线曲面拟合，不就是想办法让那些曲线和曲面变得整整齐齐、漂漂亮亮的嘛！虽然我现在懂得还不是很多，但我相信，只要我继续努力学习，总有一天能把它搞得清清楚楚！示例文章篇二：哎呀呀，我一个小学生，根本就不懂什么移动最小二乘算法的曲线曲面拟合呀！这听起来也太复杂啦！不过，我可以试着想象一下。
这就好像我在搭积木，要把一块块形状不同的积木拼在一起，变成一个漂亮的形状。
matlab曲线拟合曲面
Matlab 曲线拟合曲面是一种常用的数据处理方法，可以将大量数据点绘制成一条平滑的曲线，从而更直观地观察和分析数据。
这种方法也可以用于处理曲面数据，以获取曲面的特征和形状。
Matlab 曲线拟合曲面的基本步骤如下：首先，要对数据进行预处理，以确保数据的质量和完整性；其次，需要选择合适的拟合模型，可以选择最小二乘法、多项式拟合、指数拟合、对数拟合等多种模型；最后，使用 Matlab 函数拟合函数进行拟合，并进行模型验证和优化。
在 Matlab 中，拟合函数有很多，例如 `polyfit` 函数用于拟合多项式函数， `expfit` 函数用于拟合指数函数， `logfit` 函数用于拟合对数函数， `lmfit` 函数用于拟合线性模型， `nlinfit` 函数用于拟合非线性模型等。
在使用 Matlab 曲线拟合曲面时，需要注意以下几点：
1. 选择合适的模型：选择模型时要根据数据的特征和需求选择，模型的选择直接关系到拟合效果。
2. 数据预处理：数据预处理是非常重要的，可以删除异常数据点、处理缺失数据等，以提高拟合效果。
3. 模型验证：拟合完成后，需要对模型进行验证，以确保模型的准确性和可靠性。
4. 模型优化：模型优化是指对拟合结果进行优化，以获得更好的拟合效果，例如可以调整模型的参数、增加数据点等。
总之，Matlab 曲线拟合曲面是一种非常有用的数据处理方法，可以帮助我们更直观地观察和分析数据，也可以用于处理曲面数据。
在使用过程中，需要注意数据预处理、模型选择、模型验证和模型优化等方面，以确保拟合效果的准确性和可靠性。
matlab拟合曲面步骤
matlab拟合曲面步骤：
在MATLAB中拟合曲面，可以按照以下步骤进行：
1.加载数据：在MATLAB命令行中，使用load命令加载需要拟合的数据。
2.打开曲线拟合工具：键入cftool打开曲线拟合工具箱。
3.选择数据：在曲线拟合工具箱中，选择X Date（X数据）、Y Date（Y数据）和Z Date
（Z数据）进行曲面拟合。
4.选择模型类型：使用“适合类别”下拉列表选择不同的模型类型，例如：Polynomial
（多项式模型）。
5.尝试不同的适合选项：为用户选择的模型尝试不同的适合选项。
6.生成代码：选择File > Generate Code（文件> 生成代码）。
曲面拟合应用程序在
编辑器中创建一个包含MATLAB代码的文件，以便在交互式会话中重新创建所有拟合和绘图。
7.拟合曲面：使用曲面拟合应用程序或fit函数，将三次样条插值拟合到曲面。
曲线曲面的拟合与设计分析
∂L ∂β0′
β0′,β1 = 0 ，
∂L ∂ β1
β 0′, β1
=0
解出：
∑ ∑ βˆ0′ = y ， βˆ1 = y j (x j − x ) (x j − x )2
（3-5） （3-6）
βˆ0′, βˆ1 分别是截距和斜率的最小二乘估计。简单线性回归的拟合模型是
yˆ = βˆ0′ + βˆ1(x − x )
yj(xj − x) =
xj
yj
−
1 n
(
x j )(
yj)
式（3-6）中用新记号后的斜率的最小二乘估计为
（3-9） （3-10）
βˆ1 = Sxy / Sxx
（3-11）
回归关系应用时应注意到： 1）、应谨慎地选用回归模型的变量和近似函数的形式； 2）、回归关系仅对回归变量的取值在原始数据的范围内是有效的；换句话说，当 x 在原
i =1
i =1
i =1
(3-13)
其中的 SSE 是残差平方和，表示实际观察值没有落在回归直线上引起的偏差；SSR 是回归平
方和，是由回归直线引起的偏差。因此如果 SSR 越大，SSE 越小，表示 y 与 x 的线性关系就
越显著；反之，表示 y 与 x 的线性关系就越不显著。这样就找到了一种判别回归直线拟合程
5
试验设计与分析
D(
y0
−
yˆ0
)
=
σ
2
⎡ ⎢ ⎣
1 k
+
1 n
+
(x0 − x Sxx
)2
⎤ ⎥ ⎦
（3-24）
于是，在如 x0 处 k 个未来观察值的平均值的 100%（1-α ）预测区间是
matlab曲线曲面拟合后系数的小数位数读取方法
使用MATLAB的cftool和sftool工具进行曲线曲面拟合时，拟合得到的多项式系数默认为保留4位有效数字（我用的R2010a），有时候这样的精度并不能满足要求，造成拟合的多项式退化，就需要多输出几位小数位数了。
下面，我们通过一个曲面拟合例子，来看具体操作。
（1）sftool工具下的曲面拟合方法1.1 编辑数据如图所示，在EXCEL中录入X,Y,Z的值1.2 导入数据在matlab主界面中，从File—import date-中选择编辑的excel文件，点击next后按下图选择。
确定后，主界面的workspace中应当有三组数据。
1.3 基于sftool工具的曲面拟合通过Start—toolboxes—curve fitting—surface fitting tool进入曲面拟合界面。
在x，y，z的input 中选择数据，选择非线性拟合Polynomial，选好自变量的阶数，点击fit进行拟合。
（也可以选用custom equation来自定义函数拟合）此时，拟合得到的多项式，及其各项系数、相关系数都在左侧的result中给出。
在此例中，由于所得的z值很小，自变量又较大，所以得到的系数带入方程并不能计算出原来的结果，换句话说，所得系数的小数位数不够。
那么如何增加小数位数的显示呢？（2）拟合结果的小数位数显示2.1 预设置在matlab主界面中，依次点击file—preferences--command window和variable editor，在其中的format下拉框中选择long e。
（也就是科学计数法15位）2.2 拟合代码回到sftool界面，点击file—general M-file获取拟合源代码。
复制其中的拟合代码段（选中的那一段，上面的部分为说明，下面的部分为作图，均不需要）。
2.3 将该段代码粘贴到matlab主界面的command window中2.4 回车后，输入fitresult，得到如下结果可以看到，计算得到的系数仍然是4位有效数字，和在sftool工具中得到的一样。
nurbs 样条曲线的曲面拟合
nurbs 样条曲线的曲面拟合
在计算机图形学中，NURBS（非均匀有理B样条）是一种广泛使用的曲线和曲面建模技术。
NURBS曲线和曲面的最大优点在于其高度的灵活性和可控性，这使得它们成为制造航空器、汽车和其他复杂物体的重要工具。
在NURBS曲线和曲面的创建过程中，曲线和曲面通常都是由多个控制点和节点组成的。
这些控制点和节点可以被调整，以获得逼近任何形状的曲线和曲面。
这种灵活性使得NURBS曲线和曲面不仅可以用于近似简单形状，还可以用于建模复杂的曲面，如机身和汽车车体。
NURBS曲线和曲面的曲面拟合是一种重要的NURBS应用。
它可以用于创建平滑的曲面，以逼近给定的点云数据集。
这些点通常代表实际物体的表面，例如三维扫描数据或CAD模型。
曲面拟合可以通过最小化点到曲面的距离来实现。
这种方法可以使用最小二乘法或牛顿方法来求解。
通过使用曲面拟合技术，可以创建准确的NURBS曲面，以匹配给定的数据集。
这种方法在制造和工程领域中非常有用，因为它可以帮助工程师和设计师快速创建高质量的模型。
此外，曲面拟合还可以用于计算机视觉和医学成像中，以重建复杂的三维物体。
- 1 -。
曲面拟合是啥原理图的应用
曲面拟合是啥原理图的应用1. 曲面拟合的概念曲面拟合是一种数学建模技术，用于将一组离散点数据拟合成平滑的曲面。
它通过寻找最适合给定点集的曲面来实现数据的近似和拟合。
曲面拟合在计算机图形学、CAD/CAM、工程设计和地理信息系统等领域得到了广泛应用。
2. 曲面拟合的原理曲面拟合的原理基于数学最优化方法，旨在找到一个曲面模型，使其最接近给定的离散点数据。
常见的曲面拟合方法包括最小二乘法和样条曲面拟合等。
2.1 最小二乘法最小二乘法是曲面拟合中常用的一种方法。
它通过最小化数据点与曲面之间的距离来确定最佳拟合曲面。
最小二乘法可以分为线性最小二乘法和非线性最小二乘法。
2.1.1 线性最小二乘法线性最小二乘法适用于拟合线性模型的情况。
其基本原理是建立一个与数据点相匹配的线性模型，并通过最小化残差平方和来确定最佳拟合曲面。
线性最小二乘法的数学公式可以表示为：min E = Σ (yi - f(xi))^2其中，E为残差平方和，yi为实际观测值，f(xi)为线性模型的预测值。
2.1.2 非线性最小二乘法非线性最小二乘法适用于拟合非线性模型的情况。
其原理与线性最小二乘法类似，不过在计算残差平方和时，需要通过迭代的方式逼近最佳拟合结果。
非线性最小二乘法的数学公式可以表示为：min E = Σ (yi - f(xi;θ))^2其中，θ为模型参数，f(xi;θ)为非线性模型的预测值。
2.2 样条曲面拟合样条曲面拟合是一种使用控制点和插值方法构造曲面的技术。
它将拟合问题转化为一个插值问题，在给定的控制点上生成一个平滑的曲面。
样条曲面拟合的原理是通过插值方法将数据点与控制点相连，并在控制点上生成一个曲面模型，以实现数据的拟合。
3. 曲面拟合的应用曲面拟合在许多领域都有广泛的应用。
以下是一些常见的应用场景：•计算机图形学：曲面拟合可以用于生成光滑的曲线和曲面，用于渲染和动画效果的生成。
•CAD/CAM：曲面拟合可以用于设计和制造曲面形状的产品，例如汽车、飞机等。
双曲线曲面拟合及在机械加工中的应用
双曲线曲面拟合及在机械加工中的应用在机械加工中，很多零部件需要进行表面的加工，以达到一定的精度和光洁度要求。
在表面加工的过程中，会用到各种各样的曲面拟合方法，而双曲线曲面拟合是其中的一种有效方法。
本文将着重介绍双曲线曲面拟合的原理及在机械加工中的应用。
一、双曲线曲面拟合的原理双曲线曲面是一种可以用双曲面方程表示的曲面，其数学表示形式为：1/x^2 + 1/y^2 = z^2/a^2其中，x和y是平面上的坐标，z是垂直于平面的坐标，a是常数。
这样的曲面具有很好的形状特点，例如双曲面切于自身轴线的所有平面都截得相同的彼此不相交的曲线，这些曲线被称为双曲线，因此称为双曲线曲面。
双曲线曲面拟合是指在有限点云数据上，利用双曲线曲面拟合算法，从点云数据中确定一条或多条双曲线曲面，使其最优化地逼近点云数据。
双曲线曲面的特点为双曲面方程的多项式阶级较低，计算复杂度较小，且能够准确地表现曲面的几何形状。
二、双曲线曲面拟合在机械加工中的应用在机械加工中，精度和表面光洁度是非常重要的，因此需要进行表面拟合。
双曲线曲面拟合因其计算简单、精度高而被广泛应用于机械加工领域中的模具、刀具、汽车零部件等领域。
例如，汽车工厂制造的车身模具等大型零部件往往具有曲面特征，必须使用双曲线曲面拟合算法对其进行表面拟合。
通过采集该模具的点云数据，在有限的数据范围内，使用双曲线曲面拟合算法为其确定一条或多条双曲线曲面，以取得最优化的表面数据描述。
然后，将计算出的曲面数据转化为机床语言，以进行加工。
另外，双曲线曲面拟合算法还在飞行器研究领域中具有广泛应用。
例如，在航空工业中，需要对机身表面的曲率进行拟合，以便确定飞机的空气动力学特性。
通过对机身进行三维扫描，获取点云数据，并使用双曲线曲面拟合算法，可以得到机身表面的精确曲率信息，从而有效地优化飞机的空气动力学性能。
总之，双曲线曲面拟合在机械加工中的应用领域广泛，具有较高的精度和可靠性，在加工行业中有着重要的地位。
曲线曲面拟合优秀课件
1 非线性回归分析的任务
非线性关系是最普遍的变数间量化关系，合 适的非线性回归分析对研明变数间的数量关系 有重要作用。非线性回归分析的广泛应用，将 促使试验研究从定性向定量发展，由粗放向精 细发展。线性关系形式单一，而非线性关系多 种多样，选择合适的非线性模型并非易事。多 项式也是一种（简单的一种）非线性关系，先 前已有论述，本章仅讨论多项式以外的纯非线 性关系。对于纯非线性回归分析，非线性回归 统计数的估计、假设测验等均有很大难度。
df/dK 0.1197 0.2698 0.5011 0.7319 0.8812 0.9528 0.9821
df/da -0.0158 -0.0296 -0.0375 -0.0294 -0.0157 -0.0068 -0.0026
X
df/db 0.63201 2.36399 4.49998 4.70937 3.13958 1.62009 0.73879
-4.813e-3 .16480
b(l1) b(l) +k(l) b(1) b(0) +k(0)
K
a b
(1)
3.0 -.35275
20 0.5
+.1
.-146.841830e5-3
2.9647 109.5.91969458
以新的b值再运行前述过程，反复迭代， 直至delta趋于0，或Q已不再变小。
拟合即为寻找βopt=min(F(b))的过程。发 展稳定高效实现全局最优拟合的算法是非 线性回归的关键，难度较大。
1）线性化法
对一些简单的方程，我们可以采用数据转换的 方式将其化成线性方程，然后用一元或多元线性 回归的方式进行分析。如：
Yˆ aebX，lnYˆ ln a bX Yˆ' a'bX
excel 曲面拟合
excel 曲面拟合在Excel 中进行曲面拟合，你可以使用Excel 的数据分析工具中的“数据分析”工具包括“曲线拟合”功能。
以下是一般的步骤：1. 准备数据：将你的数据放入Excel 表格中。
确保你有x 和y 值，以及对应的z 值。
2. 打开数据分析工具：如果你没有启用“数据分析”工具，可以通过以下步骤启用它：-选择"文件" > "选项"。
-在Excel 选项对话框中，选择"加载项"。
-在"管理" 下拉菜单中，选择"Excel 附加组件" 并点击"转到"。
-勾选"数据分析工具" 并点击"确定"。
3. 选择曲线拟合：在Excel 中，选择"数据" > "数据分析"，然后选择"曲线拟合"。
4. 设置输入范围：在"曲线拟合" 对话框中，输入x 和y 数据的范围，选择z 数据的范围。
5. 选择拟合函数：选择你想要使用的拟合函数。
Excel 提供了多种拟合函数，例如线性、多项式、指数、对数、幂等。
根据你的数据选择适当的函数。
6. 输出：指定输出范围，选择图表选项，然后点击"确定"。
7. 查看拟合结果：Excel 会生成一个新的工作表，其中包含拟合曲线的参数和一个图表，显示原始数据和拟合曲线。
请注意，拟合曲线的准确性取决于所选的拟合函数和数据的性质。
有时候，对于非线性数据，可能需要尝试多个拟合函数来找到最合适的拟合。
此外，如果你对数据分析和曲线拟合有更高级的需求，可能需要考虑使用专业的数学软件（如MATLAB、Python 中的NumPy/SciPy、R 等），这些工具提供更多的灵活性和控制权。
曲面拟合方法
曲面拟合方法
曲面拟合方法是一种用于将离散的数据点拟合成平滑曲面的数学方法。
这些数据点可以是二维或三维空间中的点集。
以下是几种常见的曲面拟合方法：
1. 最小二乘法：最小二乘法是一种常见的曲面拟合方法，用于拟合离散点集到一个经验模型。
它通过最小化数据点到拟合曲面的距离的平方和来确定最佳拟合曲面。
常用的最小二乘法包括线性回归和多项式回归。
2. 样条插值：样条插值是一种常用的曲面拟合方法，通过利用已知数据点之间的连续性来构建平滑的曲面。
其中最常用的是三次样条插值方法。
样条插值方法将曲面分为小段，并在每一段上使用三次多项式进行插值。
3. Kriging：Kriging 方法是一种基于空间插值概念的曲面拟合方法。
它利用了离散数据点之间的空间自相关性来进行拟合。
Kriging 方法在地质学、地理信息系统等领域得到广泛应用。
4. 非参数拟合方法：非参数拟合方法不依赖于先验模型，而是直接根据数据点进行拟合。
其中，一种常见的非参数拟合方法是基于径向基函数（Radial Basis Function）的方法，如高斯过程回归。
5. 曲面重建：曲面重建方法将离散的点云数据转化为光滑的曲面表示。
其中常用的方法包括Delaunay三角剖分、边界表示法和隐式曲
面表示法等。
选择适当的曲面拟合方法取决于数据特性、应用需求和计算资源等因素。
不同的方法在拟合精度、计算复杂度和参数调整方面可能存在差异，因此需要根据具体情况进行选择和调整。
无序B样条曲线的曲面拟合算法
无序B样条曲线的曲面拟合算法1.引言-简要介绍无序B样条曲线-论述无序B样条曲线的曲面拟合问题-描述研究的主要问题和目标2. 相关研究-介绍曲面拟合算法的发展历程-论述其他曲面拟合算法的优缺点-简单介绍无序B样条曲线拟合算法的前置知识3.算法设计-描述无序B样条曲线的定义和性质-详细阐述无序B样条曲线的曲面拟合算法-主要包括控制点的选择、权重函数的设计和优化策略的实现4.实验与结果-利用自己实现的算法，对高维数据集进行实验-对比不同算法的效果，分析无序B样条曲线曲面拟合算法的优点和局限性-通过实例来展示算法的应用5.结论和展望-对论文进行总结，强调无序B样条曲线曲面拟合算法在实际应用中的重要性-提出进一步研究无序B样条曲线算法的方向和可能的改进方案第一章：引言无序B样条曲线是一种广泛应用于计算机图形学和计算几何领域中的数学工具。
与传统Bezier曲线相比，B样条曲线的控制点可以增删、移动，具有更强的灵活性和变形能力。
因此，B样条曲线被广泛应用于CAD设计、工程制图、物理仿真等领域。
曲面拟合是B样条曲线的一个重要应用，也是本文研究的主题。
曲面拟合的目标是根据给定的数据点集，构建一个能够尽可能地代表原始数据点的曲面模型。
通常，数据点集是从真实物体的点云数据中获得的，因此它们往往是不规则、噪声较大的。
曲面拟合算法的目标是以尽可能少的控制点构建合适的曲面模型，以逼近给定的点云数据。
B样条曲线的曲面拟合算法也分为有序B样条曲线拟合和无序B样条曲线拟合两种。
有序B样条曲线是指曲线上的控制点以固定顺序连接，控制点的顺序和其位置决定了曲线的形状和拟合精度。
而无序B样条曲线对控制点的顺序和位置没有限制，因此拟合出的曲线可以更好地与原始点云数据相匹配。
本文主要研究无序B样条曲线的曲面拟合算法，旨在解决无序B样条曲线拟合算法复杂性高、精度难以控制等问题，提升曲面拟合的效率和精度。
本论文内容包括5个章节。
第一章是引言，对无序B样条曲线的曲面拟合做了简要介绍。
bezier 曲线的曲面拟合
bezier 曲线的曲面拟合一、Bezier曲线Bezier曲线是一种基本的几何曲线，它是由法国的科学家法国人Pierre Bezier于1962年提出的，在计算机图形学中应用广泛，在大多数绘图软件中都有它的实现。
实际上，Bezier曲线是一种由控制点和贝塞尔曲线段组成的平滑曲线，这些贝塞尔曲线段可以连接构成一条实现的曲线段。
Bezier曲线的定义如下：用n+1个控制点P0，P1，...Pn确定唯一的n阶Bezier曲线，该曲线由n个(n>=2)Bezier曲线段组成，它的路径方程为：B(t) = sum(Pi* Bn,i(t) (i=0,1,...n)其中Bn,i (t)为贝塞尔基函数：Bn，i (t)= C(n,i)*t^i*(1-t)^(n-i) (i=0,1...n) 其中C(n,i) 为组合数：C(n,i) = n!/(i!*(n-i)!)Bezier曲线具有一定的优势：（1）Bezier曲线的计算量不多，而且计算量固定，从它的定义式可以看出，Bezier曲线的计算量只和控制点的数量有关，和区间长度无关；（2）Bezier曲线的计算公式是一种确定的公式，易于推导，即使在变换空间中也能简单的求解；（3）Bezier曲线的优点在于曲线的表示力强，它不仅能准确描述曲线上的每一点，而且能模拟出椭圆、圆弧、抛物线、双曲线等复杂的曲线。
二、Bezier曲面Bezier曲面是基于Bezier曲线构建的一种曲面，与Bezier曲线相比，Bezier曲面有更大的表示能力，能代表更复杂的曲面，该方法在计算机图形学中应用广泛，特别是在汽车设计、航空航天、产品建模、工业设计、船舶设计等行业非常流行。
根据贝塞尔三角形的定义，Bezier曲面的曲面表达形式为：B(u,v)=sum(Pi,j * Bm,i(u) * Bn,j(v) (i=0,1,...,m; j = 0,1,...n))其中Bm,i (u)和Bn,j (v)分别为贝塞尔基函数：Bm,i (u) = C(m,i) * u^i * (1-u)^(m-i) (i=0,1,...,m)Bn,j (v) = C(n,j) * v^j * (1-v)^(n-j) (j=0,1,...n) 其中C(m,i)和C(n,j)分别为组合数，m和n分别表示控制点的维度。
第四讲：曲线曲面的插值与拟合方法
第 四 讲 曲 线 曲 面 了解拉格朗日和分段线性插值的基本思想 的 了解三次样条插值的提法和思路
掌握插值函数 interp interp1 interp2 griddata
掌握水塔用水量的计算(水位-体积-流速-积分)
关于插值与拟合的区别…
2
插 值 与 拟 合 方 法
第 四 讲 曲 线 曲 面 的
面对工程实践和科学计算中的采集得到数据 (xi,yi)，我们总是试图去揭示x与y之间的关系，即 用近似的y=f(x)来表示，那么我们通常可以采用两 种方法：插值与拟合 插值与拟合的区别在于—— 插值试图去通过已知点了解未知 点处的函数值；而拟合则在于在 整体上用某种已知函数去拟合数 据点列所在未知函数的性态。 关键区别在于插值要求必须经过已知点列，拟 合只求尽量靠近不必经过！拟合将在本讲下介绍~
拟曲 合线 方曲 法 面 的
x2
x1
q2
x0
q1
一维曲线等距插值函数interp
12
interp's syntax One-dimensional r times longer data interpolation y = interp(y,r)
插 值 与 拟 合 方 法 第 四 讲 曲 线 曲 面 的
14
插 值 与 拟 合 方 法
第 四 讲 曲 线 曲 面 的
二维曲面等距插值函数interp2
动画展示：三维空间中的曲面等距格点
15
插 值 与 拟 合 方 法
第 四 讲 曲 线 曲 面 的
二维曲面等距插值函数interp2
题例 粗糙山顶曲面的平滑处理(等距情形)
load mountain.mat %载入山顶地形数据 mesh(x,y,z) %绘制原始山顶地形图 插 值 与 拟 合 方 法 第 四 讲 曲 线 曲 面 的 xi=linspace(0,5,50); yi=linspace(0,6,80); [xii,yii]=meshgrid(xi,yi); zii=interp2(x,y,z,xii,yii,'spline'); %三次样条插值 figure; surf(xii,yii,zii) %绘制平滑处理后的山顶曲面 hold on; [xx,yy]=meshgrid(x,y); plot3(xx,yy,z+0.1,'ob');
曲面拟合的方法
曲面拟合的方法曲面拟合是一种数据处理技术，旨在通过使用数学模型来逼近给定数据点的曲面形状。
该方法在许多领域都有广泛的应用，包括计算机图形学、计算机辅助设计、计算机视觉和地理信息系统等。
在曲面拟合中，常用的方法包括多项式拟合、样条曲线和曲面拟合、最小二乘法拟合、最小二乘平面拟合、径向基函数拟合、贝塞尔曲面拟合等。
多项式拟合是一种基于多项式函数的曲面拟合方法。
它通过将数据点与一个多项式函数的系数相连，使得该多项式函数最好地逼近给定的数据点。
多项式拟合的优点是计算简单，但它的缺点是对于复杂的曲面形状拟合效果不佳。
样条曲线和曲面拟合是一种基于分段函数的曲面拟合方法。
它将给定的数据点划分为一系列小区间，并在每个区间内使用一个函数来逼近该区间内的数据点。
通过在相邻区间内的函数之间施加平滑性条件，样条曲线和曲面拟合可以得到更平滑的曲面形状。
最小二乘法拟合是一种通过最小化实际数据与拟合曲面之间的平方误差来确定曲面参数的方法。
该方法可以用于拟合任意形状的曲面，并且能够处理带有噪声的数据。
最小二乘法拟合的优点是适用范围广泛，但它的计算复杂度较高，尤其是在数据点较多时。
最小二乘平面拟合是最小二乘法拟合的一种特殊情况，即在二维空间中拟合一个平面。
最小二乘平面拟合可以通过计算数据点的平均值和协方差矩阵来确定平面的参数，从而实现快速的拟合过程。
径向基函数拟合是一种基于径向基函数的曲面拟合方法。
径向基函数是一类具有中心对称性的函数，通过将数据点与一组基函数相乘并求和，可以逼近给定的数据点。
径向基函数拟合的优点是对于非线性曲面形状具有较好的适应性，但它的缺点是计算复杂度较高。
贝塞尔曲面拟合是一种基于贝塞尔曲线的曲面拟合方法。
贝塞尔曲线是一类具有良好数学性质的曲线，通过控制点来确定曲线的形状。
贝塞尔曲面拟合通过在二维或三维空间中使用贝塞尔曲线来逼近给定的数据点，实现曲面的拟合。
总之，曲面拟合是一种通过数学模型来逼近给定数据点的曲面形状的方法。
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2）根据机理或基本数量关系推导
每一种函数关系都有一些基本特点，可以根据 这些基本要素确定不同的方程。这些基本要素如 零点 ( 初值点 ) 、峰值点（极大、极小）、拐点、 渐近点等，应符合数据事实。
ˆ ae y
ˆ ax y
bx
b
3) 试算、比较与选择
非线性回归分析 （曲线曲面拟合）
顾世梁 2011年11月
1 非线性回归分析ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ任务
非线性关系是最普遍的变数间量化关系，合 适的非线性回归分析对研明变数间的数量关系 有重要作用。非线性回归分析的广泛应用，将 促使试验研究从定性向定量发展，由粗放向精 细发展。线性关系形式单一，而非线性关系多 种多样，选择合适的非线性模型并非易事。多 项式也是一种（简单的一种）非线性关系，先 前已有论述，本章仅讨论多项式以外的纯非线 性关系。对于纯非线性回归分析，非线性回归 统计数的估计、假设测验等均有很大难度。
非线性回归分析的主要任务有下列4项： 1) 建立合适的非线性模型；
2) 估计非线性方程的统计数——曲线曲面 拟合； 3) 合理的显著性测验；
4) 方程的进一步利用（插值与外推）。
2 非线性回归方程的选择
主要有3种方法：
1）解微分和偏微分方程组 dy GR y ' GR / y y ' / y dx
-0.18830 -0.14627
df/dK
0.11965 0.26978 0.50107 0.73190 0.88124
0.95277 0.98209
df/da
-0.0158 -0.02955 -0.0375 -0.02943 -0.0157
-0.00675 -0.00264
df/db
0.63201 2.36399 4.49998 4.70937 3.13958
n
n
i 1
i 1
(0) (0) (0) (0) (0) b ' ( b , b , , b , , b 给定某一起始参数点： 1 2 j p )
Q 若 b j
n
=0, bj 在该点前后的变化不会使Q变化 <0, bj 在该点的增加将使Q变小 >0, bj 在该点的增加将使Q变大
y f (x,b)
RGR b cy
2
y '/ y b cy, y by cy 0
dsolve(‘Dy+y+c’,’…’) y=dsolve(‘Dy-b*y+c*y^2’,’y(0)=k/(1+a)’) syms c b k; y=subs(y,c b/k); pretty(y)
X
2 4 6 8 10
12 14
Y
0.30 0.86 1.73 2.20 2.47
2.67 2.80
f0
0.35896 0.80934 1.50320 2.19569 2.64373
2.85830 2.94627
Y-f0
-0.05896 0.05066 0.22680 0.00431 -0.17373
3 参数估计
2 ˆ 目标函数： Q (Yi Yi ) (Yi f ( X i | b)) 2 i 1 i 1 n n
当给定Xi 与 Yi (i=1,2,…,n)时，Q 也是b的
函数： Q=F(b)。
拟合即为寻找βopt=min(F(b))的过程。发 展稳定高效实现全局最优拟合的算法是非 线性回归的关键，难度较大。
b1 b2 x b3 x b4 x ˆ Y 2 3 1 b5 x b6 x b7 x
2
3 1 5 2
2 ( b5 x12 x2 )
3
b3 (b4 x1 x x )e
b6e
2 [ ( x1 1)2 b7 x2 ]
ˆ y f (x,b) f
(1) 梯度法(快速登山法, Gradient)；
2 ˆ Q (Yi Yi ) (Yi fi ) 2
n Q n f 2 ˆ (Y Y ) 2 (Y f ) b b i1 b i 1
n f Q 2 ( Y f ) 0 b b1 i 1 1 n f Q 2 ( Y f ) 0 Q b2 i 1 b2 b ...... Q 2 n (Y f ) f 0 b bp i 1 p
ˆ y ae
bx
ˆ y ax
b
ˆ y axexp(bx cx )
2
K ˆ y 1 aexp( bx) a bx ˆ y x
ˆ b b (1 x ) e Y 1 2 1
2 [ x12 ( x2 1)2 ]
K ˆ y m (1 aexp( bx))
1.62009 0.73879
Q f 2 (Y f ) b b i 1
Q b j
<0 >0
f j 令 (Y f ) b j i 1
n
j 0
j 0
朝着使Q减小的方向
因而
b b +k
(1) j (0) j
(0) j
b
( l 1)
b +k
(l )
(l )
一个实例：b0=[3，20，0.5]
1）线性化法
对一些简单的方程，我们可以采用数据转换的 方式将其化成线性方程，然后用一元或多元线性 回归的方式进行分析。如：
bX ˆ ˆ ln a bX Y ae ，ln Y
其缺陷是该类方法仅适用于简单的方程，而绝大 多数纯非线性方程较复杂，不能用线性化方法进行 参数估计。
2）一些通用方法
当变数间的可能关系所知甚少，可对不同方程进 行试拟合，比较分析后选出最佳关系模型。除了前 述的关键点数据应与曲线、曲面有好的吻合外，也 应保证数据在前、中、后段都能较好地拟合；另外 也应保证较高的拟合度（决定系数）、较小的离回 归平方和以及较好的插值和外推。
通常，较少参数的曲线刚性有余、柔性不足，而 参数较多的方程有较大的柔性。但参数太多往往会 过参数化（ over-parameterization ），拟合的难度大 大增加。