曲线曲面拟合.
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-0.18830 -0.14627
df/dK
0.11965 0.26978 0.50107 0.73190 0.88124
0.95277 0.98209
df/da
-0.0158 -0.02955 -0.0375 -0.02943 -0.0157
-0.00675 -0.00264
df/db
0.63201 2.36399 4.49998 4.70937 3.13958
k ˆ y 1 a exp( bx)
2）根据机理或基本数量关系推导
每一种函数关系都有一些基本特点，可以根据 这些基本要素确定不同的方程。这些基本要素如 零点 ( 初值点 ) 、峰值点（极大、极小）、拐点、 渐近点等，应符合数据事实。
ˆ ae y
ˆ ax y
bx
b
3) 试算、比较与选择
1.62009 0.73879
X
2 4 6 8 10
12 14
Y
0.30 0.86 1.73 2.20 2.47
2.67 2.80
f0
0.35896 0.80934 1.50320 2.19569 2.64373
2.85830 2.94627
Y-f0
-0.05896 0.05066 0.22680 0.00431 -0.17373
来自百度文库
非线性回归分析的主要任务有下列4项： 1) 建立合适的非线性模型；
2) 估计非线性方程的统计数——曲线曲面 拟合； 3) 合理的显著性测验；
4) 方程的进一步利用（插值与外推）。
2 非线性回归方程的选择
主要有3种方法：
1）解微分和偏微分方程组 dy GR y ' GR / y y ' / y dx
b1 b2 x b3 x b4 x ˆ Y 2 3 1 b5 x b6 x b7 x
2
3 1 5 2
2 ( b5 x12 x2 )
3
b3 (b4 x1 x x )e
b6e
2 [ ( x1 1)2 b7 x2 ]
ˆ y f (x,b) f
n
n
i 1
i 1
(0) (0) (0) (0) (0) b ' ( b , b , , b , , b 给定某一起始参数点： 1 2 j p )
Q 若 b j
n
=0, bj 在该点前后的变化不会使Q变化 <0, bj 在该点的增加将使Q变小 >0, bj 在该点的增加将使Q变大
非线性回归分析 （曲线曲面拟合）
顾世梁 2011年11月
1 非线性回归分析的任务
非线性关系是最普遍的变数间量化关系，合 适的非线性回归分析对研明变数间的数量关系 有重要作用。非线性回归分析的广泛应用，将 促使试验研究从定性向定量发展，由粗放向精 细发展。线性关系形式单一，而非线性关系多 种多样，选择合适的非线性模型并非易事。多 项式也是一种（简单的一种）非线性关系，先 前已有论述，本章仅讨论多项式以外的纯非线 性关系。对于纯非线性回归分析，非线性回归 统计数的估计、假设测验等均有很大难度。
ˆ y ae
bx
ˆ y ax
b
ˆ y axexp(bx cx )
2
K ˆ y 1 aexp( bx) a bx ˆ y x
ˆ b b (1 x ) e Y 1 2 1
2 [ x12 ( x2 1)2 ]
K ˆ y m (1 aexp( bx))
Q f 2 (Y f ) b b i 1
Q b j
<0 >0
f j 令 (Y f ) b j i 1
n
j 0
j 0
朝着使Q减小的方向
因而
b b +k
(1) j (0) j
(0) j
b
( l 1)
b +k
(l )
(l )
一个实例：b0=[3，20，0.5]
3 参数估计
2 ˆ 目标函数： Q (Yi Yi ) (Yi f ( X i | b)) 2 i 1 i 1 n n
当给定Xi 与 Yi (i=1,2,…,n)时，Q 也是b的
函数： Q=F(b)。
拟合即为寻找βopt=min(F(b))的过程。发 展稳定高效实现全局最优拟合的算法是非 线性回归的关键，难度较大。
(1) 梯度法(快速登山法, Gradient)；
2 ˆ Q (Yi Yi ) (Yi fi ) 2
n Q n f 2 ˆ (Y Y ) 2 (Y f ) b b i1 b i 1
n f Q 2 ( Y f ) 0 b b1 i 1 1 n f Q 2 ( Y f ) 0 Q b2 i 1 b2 b ...... Q 2 n (Y f ) f 0 b bp i 1 p
y f (x,b)
RGR b cy
2
y '/ y b cy, y by cy 0
dsolve(‘Dy+y+c’,’…’) y=dsolve(‘Dy-b*y+c*y^2’,’y(0)=k/(1+a)’) syms c b k; y=subs(y,c b/k); pretty(y)
当变数间的可能关系所知甚少，可对不同方程进 行试拟合，比较分析后选出最佳关系模型。除了前 述的关键点数据应与曲线、曲面有好的吻合外，也 应保证数据在前、中、后段都能较好地拟合；另外 也应保证较高的拟合度（决定系数）、较小的离回 归平方和以及较好的插值和外推。
通常，较少参数的曲线刚性有余、柔性不足，而 参数较多的方程有较大的柔性。但参数太多往往会 过参数化（ over-parameterization ），拟合的难度大 大增加。
1）线性化法
对一些简单的方程，我们可以采用数据转换的 方式将其化成线性方程，然后用一元或多元线性 回归的方式进行分析。如：
bX ˆ ˆ ln a bX Y ae ，ln Y
其缺陷是该类方法仅适用于简单的方程，而绝大 多数纯非线性方程较复杂，不能用线性化方法进行 参数估计。
2）一些通用方法
df/dK
0.11965 0.26978 0.50107 0.73190 0.88124
0.95277 0.98209
df/da
-0.0158 -0.02955 -0.0375 -0.02943 -0.0157
-0.00675 -0.00264
df/db
0.63201 2.36399 4.49998 4.70937 3.13958
k ˆ y 1 a exp( bx)
2）根据机理或基本数量关系推导
每一种函数关系都有一些基本特点，可以根据 这些基本要素确定不同的方程。这些基本要素如 零点 ( 初值点 ) 、峰值点（极大、极小）、拐点、 渐近点等，应符合数据事实。
ˆ ae y
ˆ ax y
bx
b
3) 试算、比较与选择
1.62009 0.73879
X
2 4 6 8 10
12 14
Y
0.30 0.86 1.73 2.20 2.47
2.67 2.80
f0
0.35896 0.80934 1.50320 2.19569 2.64373
2.85830 2.94627
Y-f0
-0.05896 0.05066 0.22680 0.00431 -0.17373
来自百度文库
非线性回归分析的主要任务有下列4项： 1) 建立合适的非线性模型；
2) 估计非线性方程的统计数——曲线曲面 拟合； 3) 合理的显著性测验；
4) 方程的进一步利用（插值与外推）。
2 非线性回归方程的选择
主要有3种方法：
1）解微分和偏微分方程组 dy GR y ' GR / y y ' / y dx
b1 b2 x b3 x b4 x ˆ Y 2 3 1 b5 x b6 x b7 x
2
3 1 5 2
2 ( b5 x12 x2 )
3
b3 (b4 x1 x x )e
b6e
2 [ ( x1 1)2 b7 x2 ]
ˆ y f (x,b) f
n
n
i 1
i 1
(0) (0) (0) (0) (0) b ' ( b , b , , b , , b 给定某一起始参数点： 1 2 j p )
Q 若 b j
n
=0, bj 在该点前后的变化不会使Q变化 <0, bj 在该点的增加将使Q变小 >0, bj 在该点的增加将使Q变大
非线性回归分析 （曲线曲面拟合）
顾世梁 2011年11月
1 非线性回归分析的任务
非线性关系是最普遍的变数间量化关系，合 适的非线性回归分析对研明变数间的数量关系 有重要作用。非线性回归分析的广泛应用，将 促使试验研究从定性向定量发展，由粗放向精 细发展。线性关系形式单一，而非线性关系多 种多样，选择合适的非线性模型并非易事。多 项式也是一种（简单的一种）非线性关系，先 前已有论述，本章仅讨论多项式以外的纯非线 性关系。对于纯非线性回归分析，非线性回归 统计数的估计、假设测验等均有很大难度。
ˆ y ae
bx
ˆ y ax
b
ˆ y axexp(bx cx )
2
K ˆ y 1 aexp( bx) a bx ˆ y x
ˆ b b (1 x ) e Y 1 2 1
2 [ x12 ( x2 1)2 ]
K ˆ y m (1 aexp( bx))
Q f 2 (Y f ) b b i 1
Q b j
<0 >0
f j 令 (Y f ) b j i 1
n
j 0
j 0
朝着使Q减小的方向
因而
b b +k
(1) j (0) j
(0) j
b
( l 1)
b +k
(l )
(l )
一个实例：b0=[3，20，0.5]
3 参数估计
2 ˆ 目标函数： Q (Yi Yi ) (Yi f ( X i | b)) 2 i 1 i 1 n n
当给定Xi 与 Yi (i=1,2,…,n)时，Q 也是b的
函数： Q=F(b)。
拟合即为寻找βopt=min(F(b))的过程。发 展稳定高效实现全局最优拟合的算法是非 线性回归的关键，难度较大。
(1) 梯度法(快速登山法, Gradient)；
2 ˆ Q (Yi Yi ) (Yi fi ) 2
n Q n f 2 ˆ (Y Y ) 2 (Y f ) b b i1 b i 1
n f Q 2 ( Y f ) 0 b b1 i 1 1 n f Q 2 ( Y f ) 0 Q b2 i 1 b2 b ...... Q 2 n (Y f ) f 0 b bp i 1 p
y f (x,b)
RGR b cy
2
y '/ y b cy, y by cy 0
dsolve(‘Dy+y+c’,’…’) y=dsolve(‘Dy-b*y+c*y^2’,’y(0)=k/(1+a)’) syms c b k; y=subs(y,c b/k); pretty(y)
当变数间的可能关系所知甚少，可对不同方程进 行试拟合，比较分析后选出最佳关系模型。除了前 述的关键点数据应与曲线、曲面有好的吻合外，也 应保证数据在前、中、后段都能较好地拟合；另外 也应保证较高的拟合度（决定系数）、较小的离回 归平方和以及较好的插值和外推。
通常，较少参数的曲线刚性有余、柔性不足，而 参数较多的方程有较大的柔性。但参数太多往往会 过参数化（ over-parameterization ），拟合的难度大 大增加。
1）线性化法
对一些简单的方程，我们可以采用数据转换的 方式将其化成线性方程，然后用一元或多元线性 回归的方式进行分析。如：
bX ˆ ˆ ln a bX Y ae ，ln Y
其缺陷是该类方法仅适用于简单的方程，而绝大 多数纯非线性方程较复杂，不能用线性化方法进行 参数估计。
2）一些通用方法