高中数学《组合》公开课优秀课件
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人教版高中数学选择性必修3《组合》PPT课件
组合
高二年级 数学
复习回顾
请同学们回答下列问题. ①什么是排列？
复习回顾
请同学们回答下列问题. ①什么是排列？
一般地，从n个不同元素中取出m (m≤n) 个元素， 按照一定的顺序排成一列，叫做从n个不同元素中取出 m个元素的一个排列．
复习回顾
请同学们回答下列问题. ②什么是排列数？
复习回顾
请同学们回答下列问题.
(n
n! m)!
(n, m N,且m n.)
引入概念
问题1 从甲、乙、丙3名同学 中选出2名去参加某天的一项 活动，其中1名同学参加上午 的活动，1名同学参加下午的 活动，有多少种不同的选法？
引入概念
问题1 从甲、乙、丙3名同学 中选出2名去参加某天的一项 活动，其中1名同学参加上午 的活动，1名同学参加下午的 活动，有多少种不同的选法？
一个组合是指从n个不同元素中取出m个元素合成一 组，它不是一个数；组合数是指从n个不同元素中取出m 个元素的所有组合的个数，它是一个数.
例如：从a, b, c中任取2个元素的所有组合为ab, bc, ac， 其中每一个都叫做一个组合，共有3个，
所以组合数为3，即 C32 3.
推导公式
探究：组合与排列有相互联系，我们能否利用这种联系，
②什么是排列数？
从n个不同元素中取出m (m≤n) 个元素的所有不同
排列的个数，叫做从n个不同元素中取出m个元素的排
列数，记为
A
m n
．
复习回顾
请同学们回答下列问题. ③你能写出排列数公式吗？
复习回顾
请同学们回答下列问题.
③你能写出排列数公式吗？
A
m n
n(n
1)(n
2)
高二年级 数学
复习回顾
请同学们回答下列问题. ①什么是排列？
复习回顾
请同学们回答下列问题. ①什么是排列？
一般地，从n个不同元素中取出m (m≤n) 个元素， 按照一定的顺序排成一列，叫做从n个不同元素中取出 m个元素的一个排列．
复习回顾
请同学们回答下列问题. ②什么是排列数？
复习回顾
请同学们回答下列问题.
(n
n! m)!
(n, m N,且m n.)
引入概念
问题1 从甲、乙、丙3名同学 中选出2名去参加某天的一项 活动，其中1名同学参加上午 的活动，1名同学参加下午的 活动，有多少种不同的选法？
引入概念
问题1 从甲、乙、丙3名同学 中选出2名去参加某天的一项 活动，其中1名同学参加上午 的活动，1名同学参加下午的 活动，有多少种不同的选法？
一个组合是指从n个不同元素中取出m个元素合成一 组，它不是一个数；组合数是指从n个不同元素中取出m 个元素的所有组合的个数，它是一个数.
例如：从a, b, c中任取2个元素的所有组合为ab, bc, ac， 其中每一个都叫做一个组合，共有3个，
所以组合数为3，即 C32 3.
推导公式
探究：组合与排列有相互联系，我们能否利用这种联系，
②什么是排列数？
从n个不同元素中取出m (m≤n) 个元素的所有不同
排列的个数，叫做从n个不同元素中取出m个元素的排
列数，记为
A
m n
．
复习回顾
请同学们回答下列问题. ③你能写出排列数公式吗？
复习回顾
请同学们回答下列问题.
③你能写出排列数公式吗？
A
m n
n(n
1)(n
2)
高中组合问题ppt课件
在数据处理中的应用
数据分组
对数据进行分组时，可以应用组合计数方法来计算分组数。例如，对10个人进行分组， 可以分为C(10,3)组，即从10个人中选择3个人为一组的方法数。
数据排序
在数据处理中，经常需要对数据进行排序。组合计数方法可以用来计算不同排序方法的可 能性数量。例如，对3个数进行排序，可以分为C(3,3)/A(3,3)种不同的排序方法。
高中组合问题ppt课 件
目录
• 组合问题概述 • 组合的基本性质 • 组合问题的解决方法 • 组合问题的实际应用 • 练习与思考
01 组合问题概述
什么是组合
组合是从n个不同元素中，任取m（m≤n）个元素并成一组，叫做从n个不同元 素中取出m个元素的一个组合；从n个不同元素中取出m（m≤n）个元素的所有 组合的个数，叫做从n个不同元素中取出m个元素的组合数。
组合数公式：C(n,m)=n!/[(n-m)!m!]
组合与排列的区别
排列与组合的区别在于：排列不考虑 取出元素的顺序，而组合需要考虑取 出元素的顺序。
从排列与组合异同点来看，它们都是 从n个不同元素中取出m个元素，而排 列不考虑取出元素的顺序，组合需要 考虑取出元素的顺序。
组合问题的应用场景
• 组合在日常生活中有着广泛的应用，如彩票、博彩 、概率统计、密码学等领域。在解决实际问题时， 我们需要根据具体问题的要求和条件，灵活运用组 合的知识和方法来寻找最优解。
组合的乘法原理
总结词
组合的乘法原理是指当两个组合数相等且具有相同的元素时，它们可以相乘。
详细描述
设两个集合A和B，它们的元素个数分别为n和m。从A中选取k个元素，从B中选取k个元素进行组合， 得到的组合数为C(n,k)×C(m,k)。这个组合数等于C(n+m,2k)，即从n+m个元素中选出2k个元素的组 合数等于从n个元素中选出k个元素的组合数乘以从m个元素中选出k个元素的组合数。
组合数学课件--第一章第三节组合意义的解释(共27张PPT)
21
：应用举例
码b与码a之间的汉明距离要大于或等于2r+1.
如果存在a与a的距离小于r,那么a与b的距离大于r。 解：先将1到999的整数都看作3位数,例如2就看作是002，这样从000到999。
试求从1到1000的整数中，0出现的次数。 求方程的非负整数的解的个数. 因此不合法的0的个数为 码b与码a之间的汉明距离要大于或等于2r+1. 9 *Stirling公式 35 C(m,0)+C(m,1)+C(m,2)+…+C(m,m)=2m
6
1.6.3 线性方程的整数解的个数问题:
x1+x2+…+xn=b,n和b都是非负整数;
求方程的非负整数的解的个数. 允许重复的组合模型是r个无标志的球放进n个有 区别的盒子的情况:
方程的非负整数的个数与b个无标志的球放进n个 有区别的盒子的情况一一对应.
C(n+b-1,b)
7
1.7 组合的解释
m[C(n,0)+C(n,1)+…+C(n,r)]≤2n
m
2n
C(n,0)C(n,1)...C(n,r)
***
23
1.9 司特林（Stirling公式）
n!~ 2n(n)n
e
2n (n)n
lim n
e 1 n!
***
24
1.9 例题
例：求小于10000的正整数中含有数字1的数的个数。
解：小于10000的正整数是1到9999，如果我们 把不到4位的数前面补零，
{1，2}，{1，3}， {2，3}，
如果允许重复，多了
{1，1}， {2，2}， {3，3}。
组合模型:
：应用举例
码b与码a之间的汉明距离要大于或等于2r+1.
如果存在a与a的距离小于r,那么a与b的距离大于r。 解：先将1到999的整数都看作3位数,例如2就看作是002，这样从000到999。
试求从1到1000的整数中，0出现的次数。 求方程的非负整数的解的个数. 因此不合法的0的个数为 码b与码a之间的汉明距离要大于或等于2r+1. 9 *Stirling公式 35 C(m,0)+C(m,1)+C(m,2)+…+C(m,m)=2m
6
1.6.3 线性方程的整数解的个数问题:
x1+x2+…+xn=b,n和b都是非负整数;
求方程的非负整数的解的个数. 允许重复的组合模型是r个无标志的球放进n个有 区别的盒子的情况:
方程的非负整数的个数与b个无标志的球放进n个 有区别的盒子的情况一一对应.
C(n+b-1,b)
7
1.7 组合的解释
m[C(n,0)+C(n,1)+…+C(n,r)]≤2n
m
2n
C(n,0)C(n,1)...C(n,r)
***
23
1.9 司特林（Stirling公式）
n!~ 2n(n)n
e
2n (n)n
lim n
e 1 n!
***
24
1.9 例题
例：求小于10000的正整数中含有数字1的数的个数。
解：小于10000的正整数是1到9999，如果我们 把不到4位的数前面补零，
{1，2}，{1，3}， {2，3}，
如果允许重复，多了
{1，1}， {2，2}， {3，3}。
组合模型:
新教材高中数学第三章第1课时组合与组合数及组合数性质pptx课件新人教B版选择性必修第二册
题型2 组合的列举问题(逻辑推理)
例2 已知A，B，C，D，E五个元素，写出每次取出3个元素的所有
组合．
方法归纳
1．此类列举所有从n个不同元素中选出m个元素的组合，可借助本
例所示的“顺序后移法”(如法一)或“树形图法”(如法二)，直观地
写出组合，做到不重复不遗漏．
2．由于组合与顺序无关．故利用“顺序后移法”时箭头向后逐步推
n≥m确定m，n的范围，因此求解后要验证所得结果是否适合题意．
9 －C 9
8 ＝________；
跟踪训练4 (1)化简：Cm
＋C
0
m
m+1
96
97
161 700
(2)计算C99
＋C99
＝________．
2n−3
n+2
(3)若C20
＝C20
(n∈N＋)，则n＝( C )
A．5
B．7
C．5或7
D．5或6
由此可得所有的组合为ab，ac，ad，ae，bc，bd，be，cd，ce，de.
题型3 组合数公式的应用
4
例3 (1)计算C10
－C73 ·A33 .
+1 m+1
m
(2)求证：Cn ＝
Cn+1 .
+1
10×9×8×7
－7×6×5＝210－210＝0.
4×3×2×1
m+1 m+1 m+1
n+1 ！
状元随笔 要确定是组合还是排列问题，只需确定取出的对象是否
与顺序有关．
方法归纳
1．根据排列与组合的定义进行判断，区分排列与组合问题，先确定
完成的是什么事件，然后看问题是否与顺序有关，与顺序有关的是排
人教版高中数学选修二教学课件-组合
(1) 解：由组合数的定义知,
19
0 0
≤ ≤
38-������ 3������ ≤
≤ 3������, 21 + ������,
学习目标
思维脉络
1.能分析组合的意义,并能正确区分排列
与组合.
2.能记住组合数的计算公式,组合数的性 质以及组合数与排列数之间的关系,并
能运用组合数公式与组合数性质进行运
算.
1.组合的相关概念
(1)定义:一般地,从n个不同元素中取出m(m≤n)个元素合成一组,
叫做从n个不同元素中取出m个元素的一个组合.
∴mC������������ =nC������������-1-1.
探究一
探究二
探究三
思想方法
探究一
探究二
探究三
思想方法
变式训练 2 (2)证明:C������������
=(���1������-)������求��� CC���������33���-���18���-.������
+
C231������+������ 的值.
(4)是组合问题,因为去开会的 3 个人之间没有顺序的区别,组合 数为C130 =120.
(5)是排列问题,因为 3 个人担任哪一科的课代表是有区别的,排 列数为A310=720.
探究一
探究二
探究三
思想方法
探究一
探究二
探究三
思想方法
变式训练1 判断下列问题是组合问题还是排列问题,并用组合
数或排列数表示出来.
(2)发邮件与顺序有关,是排列问题,共写了A28=56 封电子邮件. (3)飞机票与起点站、终点站有关,故求飞机票的种数是排列问题, 有A24=12 种飞机票;票价只与两站之间的距离有关,故票价的种数是 组合问题,有C42=6 种票价.
《1.3 组合》 课件 2-优质公开课-北师大选修2-3精品
【规范解答】(1)由组合数的意义可得：
2n 17 n 0 2 1 ，解得 5 n 6 ， 3 2 13 n 3n 0
又n∈N*，∴n=6，
18 1 1 ∴原式＝ C11 C C C ． 12 19 12 19 31
(2)右边＝
n 1! n n m m! n m 1!
5 5 5 5 (C6 C ) C C C 7 7 8 9 10＝ 6 5 6 5 ＝C10 C10 C11 C11
11 10 9 8 7 462． 5 4 3 2 1
有关组合数的方程与不等式 含有组合数的方程与不等式的解法 解有关组合数的方程(不等式)时，要根据 Cm 中0≤m≤n先 n 确定未知数的取值范围，再利用组合数公式，把方程(不等 式)转化为代数方程(不等式)求解．
【例1】判断下列各事件是排列问题还是组合问题，并求出
相应的排列数或组合数．
(1)从10名同学中选３个代表去开会，有多少不同的选法？
(2) 从10名同学中选３个不同学科的课代表，有多少种选 法？ (3)10支球队以单循环进行比赛(每两队比赛一次)，这次比 赛需要进行多少场次？ (4) 10支球队以单循环进行比赛，这次比赛冠军获得者有 多少种可能？
n m (2)当 m n 时，通常不直接计算 Cm ，而改为计算 C n n ．
2
x y (1)若 Cn 则x=y或x=n-y(即x+y=n)，具体 Cn ，
计算时应防止漏解． (2)为了使性质在m=n时也成立，规定 C0 1 这只是一种规 ， n 定，并无实际的组合意义．
m m1 2．关于组合数的性质 2(Cm n 1 Cn Cn )
数学：1.2.2《组合》PPT课件(新人教A版-选修2-3)
小结：至多至少问题常用分类的或排除法. 小结：至多至少问题常用分类的或排除法.
从数字1,2,5,7中任选两个 例2 从数字 中任选两个 (1) 可以得到多少个不同的和 6个 可以得到多少个不同的和? (2)可以得到多少个不同的差 12个 可以得到多少个不同的差? 可以得到多少个不同的差 有不同的英文书5本 不同的中文书 不同的中文书7本 练习 有不同的英文书 本,不同的中文书 本, 从中选出两本书. 从中选出两本书 (1)若其中一本为中文书 一本为英文书 若其中一本为中文书,一本为英文书 若其中一本为中文书 一本为英文书. 问共有多少种选法? 问共有多少种选法 35种 (2)若不限条件 问共有多少种选法 若不限条件,问共有多少种选法 若不限条件 问共有多少种选法? 66种
练一练
1.写出从 写出从a,b,c,d 四个元素中任取三个元素的所有 写出从 组合
c a b b c c d d d
abc ， abd ， acd ，bcd .
组合 abc abd acd bcd abc acb abd adb
排列 bac bca bad bda cad cda cbd cdb cab cba dab dba dac dca dbc dcb
3 4 3
4
3
43 34 33
3
概念讲解
组合数公式
排列与组合是有区别的，但它们又有联系． 排列与组合是有区别的，但它们又有联系． 一般地，求从n个不同元素中取出 个不同元素中取出m个元素的 一般地，求从 个不同元素中取出 个元素的 排列数，可以分为以下2步 排列数，可以分为以下 步： 先求出从这n个不同元素中取出 个不同元素中取出m个 第1步，先求出从这 个不同元素中取出 个 m 元素的组合数 C． n 2步 求每一个组合中m个元素的全排列数 第2步，求每一个组合中m个元素的全排列数 An ． m m m An = Cn ⋅ Am 根据分步计数原理，得到： 根据分步计数原理，得到：
组合(课件)高二数学(苏教版2019选择性必修第二册)
4 3 2 1
6 5 4 3 2 1
∴ （n-4）（n-5）<30，∴ n2-9n-10<0，
解得-1<n<10，由题意，n可取的值是6，7，8，9，共四个，故选C.
【答案】C
◆利用组合数公式解方程、不等式的方法技巧
1.化简：先用组合数的两个性质化简；
2.转化：利用计算公式将组合数的形式转化为常规的代数方程、
也相同的两个排列才是相同的；而两个组合只要元素相同，
不论元素的顺序如何，都是相同的.
探究新知
例如， “甲乙”与“乙甲”的元素完全相同，但元素
的排列顺序不同，因此它们是相同的组合，但不是相
同的排列.由此，以“元素相同”为标准分类，就可以
建立起排列和组合之间的对应关系，如图 所示.
探究新知
二、组合数
C.100种
D.70种
5.［2020·北京一零一中学高二期末］某中学从4名男生和4名
取法；
第2步，将取出的m个元素作全排列，共有A
种不同的排法.
A .
根据分步乘法计数原理，有A
＝C ·
探究新知
A
C ＝ ＝
A
因此 − 1 − 2 … − + 1
.
！
这里n，m∈N*，并且m≤n.这个公式叫做组合数公式.
因为A
＝
以写成
！
−
m
8
A.1
B.4
C.1或3
2 m 1
8
，则m等于 （
D.3或4
C ）
探究新知
三、组合应用题
1.简单的组合应用题
例4 ［2020·吉林延边二中高二期中］有4名学生要到某公司
6 5 4 3 2 1
∴ （n-4）（n-5）<30，∴ n2-9n-10<0，
解得-1<n<10，由题意，n可取的值是6，7，8，9，共四个，故选C.
【答案】C
◆利用组合数公式解方程、不等式的方法技巧
1.化简：先用组合数的两个性质化简；
2.转化：利用计算公式将组合数的形式转化为常规的代数方程、
也相同的两个排列才是相同的；而两个组合只要元素相同，
不论元素的顺序如何，都是相同的.
探究新知
例如， “甲乙”与“乙甲”的元素完全相同，但元素
的排列顺序不同，因此它们是相同的组合，但不是相
同的排列.由此，以“元素相同”为标准分类，就可以
建立起排列和组合之间的对应关系，如图 所示.
探究新知
二、组合数
C.100种
D.70种
5.［2020·北京一零一中学高二期末］某中学从4名男生和4名
取法；
第2步，将取出的m个元素作全排列，共有A
种不同的排法.
A .
根据分步乘法计数原理，有A
＝C ·
探究新知
A
C ＝ ＝
A
因此 − 1 − 2 … − + 1
.
！
这里n，m∈N*，并且m≤n.这个公式叫做组合数公式.
因为A
＝
以写成
！
−
m
8
A.1
B.4
C.1或3
2 m 1
8
，则m等于 （
D.3或4
C ）
探究新知
三、组合应用题
1.简单的组合应用题
例4 ［2020·吉林延边二中高二期中］有4名学生要到某公司
【精品课件】高中数学新北师大版选择性必修第一册 第五章 3第1课时组合组合数及其性质 课件(48张)
2．判断下列各事件是排列问题还是组合问题． (1)8 个朋友聚会，每两人握手一次，一共握手多少次？ (2)8 个朋友相互各写一封信，一共写了多少封信？ (3)从 1，2，3，…，9 这九个数字中任取 3 个，组成一个三位数，这样的三位数 共有多少个？ (4)从 1，2，3，…，9 这九个数字中任取 3 个，组成一个集合，这样的集合有多 少个？
n（n－1）（n－2）·…·（n－m＋1） m！
进行计算．
(2)涉及字母的可以用阶乘式 Cnm ＝m！（nn－！m）！ 计算．
(3)计算时应注意利用组合数的性质 Cnm ＝Cnn－m 简化运算．
【拓展延伸】 1.在计算与组合数有关的问题时，一般根据所要计算的组合数的特点，若含有具 体数字应选用乘积式；若含有字母则选用阶乘式． 2．在组合数的计算过程中要注意题目中的隐含条件，简化解题过程，如组合数 Cmn 的隐含条件为 m≤n，且 m，n∈N＋.
2．若 1<k<n，那么与 Cnk 不相等的是( )
A．kn＋ ＋11
Ck＋1 n＋1
B．kn
Ck－1 n－1
C．n－n k Ckn－1
D．kn－ －11
Ck－1 n－1
【解析】选 D.Ckn ＝（n－nk！ ）！k！ ，
A 中，kn＋ ＋11
Ck＋1 n＋1
＝kn＋ ＋11
（n＋1）！ （n－k）！（k＋1）！
§3 组 合 第1课时 组合、组合数及其性质
新课程标准
通过实例，理解组 合的概念，能利用 计数原理推导组合 数公式
学业水平要求 1.理解组合与组合数的概念，正确认识组合与排 列的区别与联系．(数学抽象) 2．会推导组合数公式，并会应用公式进行计算． (数学运算) 3．理解组合数的两个性质，并会求值、化简和证 明．(逻辑推理)
北师大高中数学选择性必修第一册3.3组合【课件】
组合的特点.
(3)辨别一个问题是排列问题还是组合问题，关键看选出的元素与顺序是否
有关，若交换某一问题中某两个元素的位置对结果产生影响，则是排列问
题，否则就是组合问题.
3. 如何理解组合与组合数这两个概念?
提示：同“排列”与“排列数”是两个不同的概念一样，“组合”与“组合
数”也是两个不同的概念，“组合”是指“从n个不同元素中取m(m≤n，
记作C .
2. 组合数公式及其性质
!
! ( − )
(1)公式：C = =____________.
－1
－
＋
＋C
=____________
(2规定：C0 ＝1 .
1. “abc”和“acb”是相同的排列还是相同的组合?
[(n－m)(n－m＋1)＋m(m＋1)＋2(m＋1)(n－m＋1)]
!
(＋)!(－＋)!
(＋)!
基础训练
互动学习
[例 1] 写出从 5 位同学中选 3 位同学去社区服务的所有组合.
[解] 解法一：用A，B，C，D，E分别表示5位同学，可按AB→AC
→AD→BC→BD→CD顺序写出，即
所以所有组合为ABC，ABD，ABE，ACD，ACE，ADE，BCD，BCE，
BDE，CDE.
解法二：用A，B，C，D，E分别表示5位同学，画出树形图，如图所
一般地，从 n 个不同元素中，任取 m(m≤n，且 m，n∈N＋)个元素为一
组，叫作从 n 个不同元素中取出 m 个元素的一个组合 . 我们把有关求组合的
个数问题叫作组合问题.
2. 组合与排列的联系与区别
从排列与组合的定义可知，两者都是从 n 个不同元素中取出 m(m≤n，
(3)辨别一个问题是排列问题还是组合问题，关键看选出的元素与顺序是否
有关，若交换某一问题中某两个元素的位置对结果产生影响，则是排列问
题，否则就是组合问题.
3. 如何理解组合与组合数这两个概念?
提示：同“排列”与“排列数”是两个不同的概念一样，“组合”与“组合
数”也是两个不同的概念，“组合”是指“从n个不同元素中取m(m≤n，
记作C .
2. 组合数公式及其性质
!
! ( − )
(1)公式：C = =____________.
－1
－
＋
＋C
=____________
(2规定：C0 ＝1 .
1. “abc”和“acb”是相同的排列还是相同的组合?
[(n－m)(n－m＋1)＋m(m＋1)＋2(m＋1)(n－m＋1)]
!
(＋)!(－＋)!
(＋)!
基础训练
互动学习
[例 1] 写出从 5 位同学中选 3 位同学去社区服务的所有组合.
[解] 解法一：用A，B，C，D，E分别表示5位同学，可按AB→AC
→AD→BC→BD→CD顺序写出，即
所以所有组合为ABC，ABD，ABE，ACD，ACE，ADE，BCD，BCE，
BDE，CDE.
解法二：用A，B，C，D，E分别表示5位同学，画出树形图，如图所
一般地，从 n 个不同元素中，任取 m(m≤n，且 m，n∈N＋)个元素为一
组，叫作从 n 个不同元素中取出 m 个元素的一个组合 . 我们把有关求组合的
个数问题叫作组合问题.
2. 组合与排列的联系与区别
从排列与组合的定义可知，两者都是从 n 个不同元素中取出 m(m≤n，
高中组合问题ppt课件
统计学中的组合问题
概率论中的组合问题
在概率论中，组合问题涉及到随机事件的排列和组合。例如，在概率计算中，事件的排列数和组合数 对于计算概率至关重要。
统计学中的组合问题
在统计学中，组合问题常常出现在样本设计和数据分析中。例如，在分层抽样中，需要计算每一层中 应抽取的样本数，这涉及到组合计数的问题。
物理学中的组合问题
组合数学的应用领域
总结词
组合数学在多个领域都有广泛的应用。
详细描述
组合数学在计算机科学、统计学、运筹学、信息理论等领域都有重要的应用。 例如，在计算机科学中，组合数学可用于设计和分析算法，解决诸如搜索、排 序和数据结构等问题。
学习组合数学的意义
总结词
学习组合数学有助于培养学生的逻辑思维和问题解决能力。
组合恒等式问题
总结词
组合恒等式问题是组合问题中的一类重要问题，主要研究组 合数之间的相互关系和性质。
详细描述
组合恒等式问题涉及到组合数的基本性质和恒等式，如二项 式定理、组合恒等式等，以及这些性质和恒等式的应用。
组合计数问题
总结词
组合计数问题是组合问题中的一类常 见问题，主要研究从n个不同元素中 取出m个元素的不同的取法。
组合数公式
C(n, m) = n! / [m!(n-m)!]
组合问题与排列问题的区别
排列问题考虑取出元素的顺序，而组合问题不考虑取出元素的顺序 。
组合问题的分类
简单组合问题
有序组合问题
从n个不同元素中取出m个元素，不考虑其 他限制条件。
在取出元素后，需要考虑元素的顺序，如 从4个字母中取出2个字母组成一个单词， 需要考虑单词的拼写顺序。
05
组合问题的求解技巧
人教A版高中数学选修23 .2组合 课件
人 教A版高 中数学 选修23 .2组 合 课件 （精品 课件）
解：
从1，2，3，…，100中取出1，有1+100>100， 取法数1个；…；取出50，有50+51>100， 50+52>100,…，50+100>100共50个. ∴取出数字1至50共有1+2+3+…+50= 1275，
取出51，有51+52>100,…,51+100>100，共49 个．取出52有48个，…，取出100，只有0个. ∴取出51至100有49+48+…+2+1+0=1225(个)．
情感态度与价值观
（1）通过组合数公式的推导过程，使学生学 会用联系的观点看问题，从排列与组合的概念中 找到区别与联系，来培养学生探索数学规律的能 力;
（2） 通过问题的解决，树立自信心，体会成 功与快乐，学会探究，学会自主学习.
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你能说说排列与组 合的联系与区别吗？
相同点：
都要“从n个不同元素中任取m 个元素”
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①只有一名女生; ②两队长当选; ③至少有一名队长当选; ④至多有2名女生当选; ⑤既要有队长，又要有女生当选.
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问题情境
问题：
永安一中今年的“十佳歌手赛”又开始报名了，我们 高二（11)班有5人想参加比赛，但学校给每个班级只 分配3个名额，请问：共有几种不同的报名结果？
概念生成
排列定义: 一般地，从n个不同元素中取出m（m≤n）个 元素，按照一定的顺序排成一列，叫做从 n 个不同元素 中取出 m 个元素的一个排列.
选做题：课时训练第66页：7、8、9、10
探究题：1.书本第26页 38n 3n 2.计算 C3n C21n 的值 。
思考：上述三个问题之间有何联系？
例题分析
性质2： C 1.计算：
m n1
C C
m n
m1 n
C C C C ?
4 4 3 4 3 5 3 6
变式训练： 2.计算： C
4 4
C C C C ?
3 4 3 5 3 6 3 n
课堂小结
知识点：
1、组合的定义：一般地，从n个不同元素中取出m（m≤n）个元素 合成一组，叫做从n个不同元素中取出m个元素的一个组合． 2、组合数的定义：从n个不同元素中取出m（m≤n）个元素的所有 数学思想： 分类讨论； 组合的个数，叫做从 n个不同元素中取出 m个元素的组合数。 3、组合数公式：
概念讲解
排列数
从n个不同元素中取出m（m≤n）个元素的 所有不同排列的个数叫做从n个不同元素中取 m 出m个元素的排列数，用符号 An 表示.
组合数？
从n个不同元素中取出m（m≤n）个元素的 所有组合的个数，叫做从n个不同元素中取出 m m个元素的组合数，用符号 C n 表示.
公式推导
如何求
C
m ？ n
从排列与组合 的定义中可以 发现什么？
组合定义: 一般地，从n个不同元素中取出m（m≤n）个 元素合成一组，叫做从n个不同元素中取出m个元素的一 个组合．
概念辨析
共同点: 都要“从n个不同元素中任取m个元素” 不同点: 排列与元素的顺序有关，
组合与元素的顺序无关.
步骤：
排列是先取后排； 组合是只取不排；
转化与化归；特殊到一般.
m A n(n 1)(方法： n 2)(n类比 m 1) m n Cn m Am m!
C
m n1
m n
n! m!(n m)!
4、组合数的两个性质：
(1)C C
m n
n m n
(2)C
C C
m n
m1 n
作业布置
必做题：①书第27页： 2、3、4 ②课时训练第66页：1、3、6
(3):
C
3 24
C
21 24
变式拓展
变式训练
变式1：计算 C
98 100
C
8 的值。 10
变式2：已知 C
n 20
C
2 n7 20 ，求n的值。
例题分析
2、永安一中今年的“十佳歌手赛”又开始报名了， 我们班有5人想参加比赛，但学校给每个班级只分配3 个名额，请问：共有几种不同的报名结果？ 变式1：如果5人中的小文被选上，问：有几种 不同的报名结果？ 变式2：如果5人中的小文没有被选上，问：有 几种不同的报名结果？
组合数公式:
A n(n 1)(n 2)(n m 1) C A m!
m n m n m m
易推导
C
m n
n! m !(n m)!
0 n
注意：规定
C 1
例题分析
例题1、计算下列式子的值
C C
m n
nm n
(1):C2 6来自CC4 6
(2): C
4 9
观察计算结果，你发 现了什么？能解释你 5 的发现吗？ 9
问题：
永安一中今年的“十佳歌手赛”又开始报名了，我们 高二（11)班有5人想参加比赛，但学校给每个班级只 分配3个名额，请问：共有几种不同的报名结果？
概念生成
排列定义: 一般地，从n个不同元素中取出m（m≤n）个 元素，按照一定的顺序排成一列，叫做从 n 个不同元素 中取出 m 个元素的一个排列.
选做题：课时训练第66页：7、8、9、10
探究题：1.书本第26页 38n 3n 2.计算 C3n C21n 的值 。
思考：上述三个问题之间有何联系？
例题分析
性质2： C 1.计算：
m n1
C C
m n
m1 n
C C C C ?
4 4 3 4 3 5 3 6
变式训练： 2.计算： C
4 4
C C C C ?
3 4 3 5 3 6 3 n
课堂小结
知识点：
1、组合的定义：一般地，从n个不同元素中取出m（m≤n）个元素 合成一组，叫做从n个不同元素中取出m个元素的一个组合． 2、组合数的定义：从n个不同元素中取出m（m≤n）个元素的所有 数学思想： 分类讨论； 组合的个数，叫做从 n个不同元素中取出 m个元素的组合数。 3、组合数公式：
概念讲解
排列数
从n个不同元素中取出m（m≤n）个元素的 所有不同排列的个数叫做从n个不同元素中取 m 出m个元素的排列数，用符号 An 表示.
组合数？
从n个不同元素中取出m（m≤n）个元素的 所有组合的个数，叫做从n个不同元素中取出 m m个元素的组合数，用符号 C n 表示.
公式推导
如何求
C
m ？ n
从排列与组合 的定义中可以 发现什么？
组合定义: 一般地，从n个不同元素中取出m（m≤n）个 元素合成一组，叫做从n个不同元素中取出m个元素的一 个组合．
概念辨析
共同点: 都要“从n个不同元素中任取m个元素” 不同点: 排列与元素的顺序有关，
组合与元素的顺序无关.
步骤：
排列是先取后排； 组合是只取不排；
转化与化归；特殊到一般.
m A n(n 1)(方法： n 2)(n类比 m 1) m n Cn m Am m!
C
m n1
m n
n! m!(n m)!
4、组合数的两个性质：
(1)C C
m n
n m n
(2)C
C C
m n
m1 n
作业布置
必做题：①书第27页： 2、3、4 ②课时训练第66页：1、3、6
(3):
C
3 24
C
21 24
变式拓展
变式训练
变式1：计算 C
98 100
C
8 的值。 10
变式2：已知 C
n 20
C
2 n7 20 ，求n的值。
例题分析
2、永安一中今年的“十佳歌手赛”又开始报名了， 我们班有5人想参加比赛，但学校给每个班级只分配3 个名额，请问：共有几种不同的报名结果？ 变式1：如果5人中的小文被选上，问：有几种 不同的报名结果？ 变式2：如果5人中的小文没有被选上，问：有 几种不同的报名结果？
组合数公式:
A n(n 1)(n 2)(n m 1) C A m!
m n m n m m
易推导
C
m n
n! m !(n m)!
0 n
注意：规定
C 1
例题分析
例题1、计算下列式子的值
C C
m n
nm n
(1):C2 6来自CC4 6
(2): C
4 9
观察计算结果，你发 现了什么？能解释你 5 的发现吗？ 9