3-3格型滤波器

x(n) a p,0
z－1 a p,1
z－1 … a p,2 …
z－1 a p, p－1 a p, p
f e p (n)
5
用均方误差最小的准则求前向预测误差滤波器的最 佳系数a 佳系数ap,k，令：
∂E[(e (n)) ]
f p 2
∂a p ,k
有：①
f p
=0
k=1, 2, …，p
∂E[e (n) x(n − k )] = 0
2
一、前、后向线性预测误差滤波器
设信号为实平稳随机信号 1. 前向线性预测误差滤波器 由 n 时刻以前的 p 个数据 x(n-1), x(n-2), …, x(n-p) 预测 时刻以前的p 个数据x x(n)，为前向线性预测误差滤波器。 为前向线性预测误差滤波器。 其估计值和预测误差记为： ˆ 其估计值和预测误差记为： x ( n) = −
ˆ x '(n − p ) = −∑ a x(n − p + k )
k =1 ' p ,k
8
p
前向、后向预测数据之间的关系： 前向、后向预测数据之间的关系：
后后后后
x(n －p) , x(n －p ＋1) , … , x(n －2) , x(n －1) , x(n)
前后后后
前向预测是由x 前向预测是由x(n-p),x(n-p+1),…,x(n-2),x(n-1)预测x(n) ),x ),… ),x 预测x ^ 后向预测是由x ),x ),… 预测x 后向预测是由x(n-p+1),x(n-p+2),…,x(n)预测x(n-p)
k=1, 2, 3, …, p
10
是后向预测误差的最小误差功率。 是后向预测误差的最小误差功率。 对比② 对比 ② 、 ④ ， 利用 Toeplitz矩阵的性质 ， 可得到以下 利用Toeplitz矩阵的性质 矩阵的性质， 重要关系： 重要关系：
a p ,k = a
' p ,k 2 p
k = 1,2,3,⋯ , p
2 rxx (0) rxx (1) rxx (2) 1 σ 2 rxx (1) rxx (0) rxx (1) a2,1 = 0 r (2) r (1) r (0) a 0 xx xx xx 2, 2
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σ2p和σ2p-1是预测误差的均方值，因此 1-k2p必须大于等 是预测误差的均方值，因此1 于0，这样kp应满足： 这样k 应满足： 进而有 ——预测误差随递推次数增加而减少 ——预测误差随递推次数增加而减少。 预测误差随递推次数增加而减少。
把kp称作反射系数 ，是类似于传输线的情况， 第p节的 称作反射系数，是类似于传输线的情况， 输出功率等于前一级的输出功率减去本级的反射功率， 输出功率等于前一级的输出功率减去本级的反射功率 ， 为：
e ( n) = ∑ a p , p − k x ( n − k )
b p k =0
p
a p ,0 = 1
后向预测误差滤波器的结构图
x(n) a p,p z－1 z－1 … a p,p－1 a p,p－2 a p,1 …
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z－1 a p,0
e b (n) p
后向预测误差滤波器的系数虽然与前向预测误差滤波器 系数一样， 系数一样，但系数排序却是前向预测误差滤波器系数排 序的逆转排列。对后向预测误差公式进行Z变换， 序的逆转排列。对后向预测误差公式进行Z变换，有：
k=1, 2, 3,…，p 3,…
②
p rxx (k ) + ∑ a p ,i rxx (k − i ) = 0 i =1 p σ 2 = r (0) + a r (i ) ∑ p,i xx p xx i =1
k = 1,2,3, ⋯, p
6
②式用矩阵方程表示为
rxx (0) rxx (1) ⋯ rxx ( p) rxx (0) ⋯ rxx ( p − 1) rxx (1) ⋮ ⋮ ⋮ r ( p ) r ( p − 2) ⋯ r ( p − 1) xx xx xx
'2 p
σ =σ
表明前、后向预测的最小误差功率相等， 表明前、后向预测的最小误差功率相等，系数也相等 (如果是复数，则是共轭关系)。 如果是复数，则是共轭关系)
p
e ( n) = ∑ a p , k x ( n − p + k )
b p k =0
a p,0 = 1
11
当k=0, 1, 2, 3, …, p时， p-k=p, p-1, p-2, …, 0， 0， 因此也可以写成下式： 因此也可以写成下式：
rxx (0) rxx (2) 1 σ 12 = rxx (1) rxx (0) a1,1 0
由该方程解出： 由该方程解出：
2 1
− rxx (1) a1,1 = rxx (0)
σ = (1 − a )rxx (0)
2 1,1
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然后增加一阶， =2， 然后增加一阶，令p =2，
E ( z)
对比知前、 后向预测误差滤波器的系统函数间的关系： 对比知前、 后向预测误差滤波器的系统函数间的关系：
H b ( z) = z H f ( z )
−p
−1
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为了求解前、 后向预测误差滤波器的最佳系数， 为了求解前 、 后向预测误差滤波器的最佳系数 ， 需 要解Yule-Walker方程 要解Yule-Walker方程。 方程。 1 、 可以采用高斯消元法解出 ap,k(k=1,2, 3,…,p)以及 可以采用高斯消元法解出a ,p) 以及 σ2p,但需要p3量级运算量。 但需要p 量级运算量。 2、利用Yule-Walker方程中的自相关矩阵是一个埃尔 利用Yule-Walker方程中的自相关矩阵是一个埃尔 米特(Hermitain) 和托布列斯 米特 (Hermitain)和托布列斯 (Toeplitz)矩阵的特点 ， 和托布列斯(Toeplitz) 矩阵的特点 矩阵的特点， 且至少是半正定的， 可以有效地减少运算量， 且至少是半正定的 ， 可以有效地减少运算量 ， 这就 是Levinson-Durbin算法，它的运算量级是p2。 Levinson-Durbin算法 它的运算量级是p 算法，
σ
2 p −1
第p 节
2 p −1 ,反
σ
2 p
σ
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二、格型滤波器
1. 由预测误差滤波器导出格型滤波器 由预测误差滤波器导出格型滤波器
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因此有，前向预测误差的递推公式： 因此有，前向预测误差的递推公式：
e ( n) = e
f p
f p −1
( n) + k e
b p p −1
(n − 1)
2 1 σ p a p ,1 = 0 ⋮ ⋮ a p , p 0
结论： 结论： 前向预测误差与用于预测的数据正交—— 前向预测误 前向预测误差与用于预测的数据正交 ——前向预测误 差的正交原理。 差的正交原理。 前向预测误差滤波器的最佳系数a 前向预测误差滤波器的最佳系数ap,k和信号的自相关函 数之间的关系式满足Yule-Walker方程式 数之间的关系式满足Yule-Walker方程式。 方程式。
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3.Levinson-durbin算法 Levinson-durbin算法 Levinson-Durbin算法首先由一阶AR模型开始，一 Levinson-Durbin算法首先由一阶 模型开始 算法首先由一阶AR模型开始， 阶AR模型(p=1)的Yule-Walker为 AR模型 模型( Yule-Walker为
E[e (n) x(n − p + k )] = 0
b p
p rxx (k ) + ∑ a 'p ,k rxx (k − i ) = 0 i =1 p σ ' 2 = r (0) + a ' r (i ) ∑ p,k xx xx p i =1
k=1, 2, 3, …, p
④
p
E ( z) = X ( z) z
b p
b p
−p
+ ∑ a p ,k X ( z ) z z
−p k =1
k
后向预测误差滤波器的系统函数为： 后向预测误差滤波器的系统函数为：
p −p k H b ( z) = = z 1 + ∑ a p , k z X ( z) k =1
由上面方程解出： 由上面方程解出：
2 2 2 a2, 2 = −[rxx (0)rxx (2) − rxx (1)] /[ rxx (0) − rxx (1)]
= −[rxx (2) + a1,1rxx (1)] / σ 12 a2,1 = −[rxx (0)rxx (1) − rxx (1)rxx (2)] /[ r (0) − r (1)]
2 xx 2 xx
= −a1,1 + a2, 2 a1,1
2 2 σ 2 = (1 − a2, 2 )σ 12
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令p=3, 4, …, 以此类推， 可以得到一般递推公式如下： 以此类推， 可以得到一般递推公式如下：
——反射系数 ——反射系数
——Levinson-Durbin递推公式 ——Levinson-Durbin递推公式
20
它们组成格型滤波器的第p节的结构图
由于没有反馈支路，这是一个全零点格型滤波器。 由于没有反馈支路，这是一个全零点格型滤波器。 变形后可得到全极点格型滤波器、全极点横向滤波器等类型。 变形后可得到全极点格型滤波器、全极点横向滤波器等类型。 21
2. 格型滤波器的性质 格型滤波器的性质 (1) 各阶后向预测误差相互正交。 各阶后向预测误差相互正交。 设 i ＜ j, 由 (3.3.12) 式 ， 12) 与 x(n-j+1),x(n-j+2),…, x(n),x ),… 是 x(n正交。 正交。 与
类似地，得到后向预测误差的递推公式： 类似地，得到后向预测误差的递推公式：
e ( n) = e
b p
f 0
b p −1
(n − 1) + k e
b 0
f p p −1
( n)
对于p=0的情况 对于p=0的情况， 由前、后向预测误差的定义有： 的情况， 后向预测误差的定义有：
e ( n) = e ( n) = x ( n)
f p
p
∑a
k =1 p
p ,k
x(n − k )
ˆ e ( n) = x ( n) − x ( n) = x ( n) + ∑ a p , k x ( n − k )
k =1
则预测误差和系数a 均是实数。 则预测误差和系数ap,k均是实数。
3
对上式进行Z变换， 对上式进行Z变换，有：
E ( z ) = X ( z ) + ∑ a p ,k X ( z )z
f p k =1
p
−k
令
H f ( z) =
p
E pf ( z ) X ( z)
−k
H f ( z ) = 1 + ∑ a p ,k z
k =1
=∑ a p ,k z
k =0
p
−k
——前向预测误差滤波器的系统函数 ——前向预测误差滤波器的系统函数
4
前向预测误差滤波器的结构图： 前向预测误差滤波器的结构图：
自适应格型滤波器
1
优点
自适应收敛速度快， 自适应收敛速度快，滤波器的阶数易改 变，在变化的环境下可动态选择最佳的阶 数。 权系数对寄存器有限长度效应不敏感； 权系数对寄存器有限长度效应不敏感； 模块式结构，便于高速并行处理； 模块式结构，便于高速并行处理； 滤波器前后级之间不存在耦合效应。 滤波器前后级之间不存在耦合效应。
7
2. 后向线性预测误差滤波器 后向线性预测误差滤波器 利用x 利用 x(n+1),x(n+2), …,x(n+p) 数据预测 x(n) ， 则称为后 ),x n+p) 数据预测x 向预测， 向预测，其估计值
p
为：
' p ,k
ˆ x ' ( n) = −∑ a x ( n + k )
k =1
前向、后向预测用同一数据进行，即利用x ),x 前向 、 后向预测用同一数据进行 ， 即利用x(n),x(n-1)， x(n-2)，…,x(n-p+1) 预测x(n-p) ，故： p+1 预测x
9
后向预测误差为 eb (n) p ——表示的是信号在 ——表示的是信号在n-p时刻的预测误差 表示的是信号在n
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ˆ eb (n) = x(n − p ) − x '(n − p ) p
利用最小均方误差的准则， 利用最小均方误差的准则 ， 可以得到关于后向预测的 正交原理以及Yule-Walker方程 正交原理以及Yule-Walker方程： 方程： ③