一元二次方程提高题(八年级)
初中八年级数学一元二次方程提高练习
初中数学一元二次方程提高练习一、单选题（共12题；共24分）1.已知是关于的一元二次方程的一个实数根，则实数的值是（）A. 0B. 1C. −3D. −12.如果关于x的一元二次方程有两个实数根，那么的取值范围是（）A. B. 且 C. 且 D.3.对于任意实数k，关于x的方程的根的情况为（）A. 有两个相等的实数根B. 没有实数根C. 有两个不相等的实数根D. 无法判定4.下列命题正确的是（）A. 若分式的值为0，则x的值为±2．B. 一个正数的算术平方根一定比这个数小．C. 若，则．D. 若，则一元二次方程有实数根．5.已知二次函数，当x取互为相反数的任意两个实数值时，对应的函数值y总相等，则关于x的一元二次方程的两根之积为（）A. 0B.C.D.6.直线不经过第二象限，则关于的方程实数解的个数是（）.A. 0个B. 1个C. 2个D. 1个或2个7.规定：如果关于x的一元二次方程ax2+bx+c＝0（a≠0）有两个实数根，且其中一个根是另一个根的2倍，则称这样的方程为“倍根方程”现有下列结论①方程x2+2x﹣8＝0是倍根方程；②若关于x的方程x2+ax+2＝0是倍根方程，则a＝±3；③若（x﹣3）（mx﹣n）＝0是倍根方程，则n＝6m或3n＝2m；④若点（m，n）在反比例函数y＝的图象上，则关于x的方程mx2﹣3x+n＝0是倍根方程.上述结论中正确的有（）A. ②B. ①③C. ②③④D. ②④8.一元二次方程配方后化为（）A. B. C. D.9.关于x的一元二次方程有两个整数根且乘积为正，关于y的一元二次方程同样也有两个整数根且乘积为正．给出四个结论：①这两个方程的根都是负根；② ；③ ．其中正确结论的个数是（）A. 0个B. 1个C. 2个D. 3个10.若关于x的一元二次方程x2﹣3x+p=0（p≠0）的两个不相等的实数根分别为a和b，且a2﹣ab+b2=18，则+ 的值是（）A. 3B. ﹣3C. 5D. ﹣511.方程x2+ax+7=0和x2﹣7x﹣a=0有一个公共根，则a的值是（）A. 9B. 8C. 7D. 612.设是方程的两个实数根，则的值是( )A. -6B. -5C. -6或-5D. 6或5二、填空题（共5题；共5分）13.已知关于的一元二次方程，有下列结论：①当时，方程有两个不相等的实根；②当时，方程不可能有两个异号的实根；③当时，方程的两个实根不可能都小于1；④当时，方程的两个实根一个大于3，另一个小于3．以上4个结论中，正确的个数为________．14.一元二次方程的解为________．15.已知关于的一元二次方程有实数根，则m的取值范围是________．16.若方程的根也是方程的根，则________.17.设m，n分别为一元二次方程x2＋2x－2018＝0的两个实数根，则m2＋3m＋n＝________.三、计算题（共3题；共25分）18.解方程：（1）（x﹣4）2﹣3＝0；（2）4（x﹣3）＝2x（x﹣3）.19.解下列方程：（1）3（5﹣x）2＝2（x﹣5）；（2）x2﹣4x+2＝0.20.已知关于的一元二次方程的两个整数根恰好比方程的两个根都大1，求的值.四、解答题（共2题；共10分）21.阅读下面的例题：解方程x2﹣|x|﹣2＝0解：当x≥0时，原方程化为x2﹣x﹣2＝0，解得：x1＝2，x2＝﹣1（不合题意，舍去）；当x＜0时，原方程化为x2+x﹣2＝0，解得：x1＝1，（不合题意，舍去）x2＝﹣2；∴原方程的根是x1＝2，x2＝﹣2．请参照例题解方程x2﹣|x﹣1|﹣1＝0．22.某商场经营某种品牌的玩具，购进时的单价是30元，根据市场调查发现：在一段时间内，当销售单价是40元时，销售量是600件，而销售单价每涨1元，就会少售出10件玩具．若商场要获得10000元销售利润，该玩具销售单价应定为多少元？售出玩具多少件？答案解析部分一、单选题1.【答案】B【解析】【解答】解：根据题意得，解得；故答案为：B．【分析】把x＝代入方程就得到一个关于m的方程，就可以求出m的值．2.【答案】C【解析】【解答】解：∵关于x的一元二次方程kx2-3x+1=0有两个实数根，∴△=（-3）2-4×k×1≥0且k≠0，解得k≤ 且k≠0，故答案为：C．【分析】根据关于x的一元二次方程kx2-3x+1=0有两个实数根，知△=（-3）2-4×k×1≥0且k≠0，解之可得．3.【答案】B【解析】【解答】解：，，不论k为何值，，即，所以方程没有实数根，故答案为：B．【分析】先根据根的判别式求出“△”的值，再根据根的判别式的内容判断即可．4.【答案】D【解析】【解答】A.当x=2时，分式无意义，故A选项不符合题意；B.1的算数平方根还是1，不符合“一个正数的算术平方根一定比这个数小”，故B选项不符合题意；C.可以假设b=2，a=1，满足，代入式子中，通过计算发现与结论不符，故C选项不符合题意；D. ，当时，，一元二次方程有实数根，故D选项符合题意．故本题选择D．【分析】A选项：当x=2时，分式无意义；B选项：1的算数平方根还是1；C选项：可以让b=2，a=1，代入式子中即可做出判断；根据根的判别式可得到结论．5.【答案】D【解析】【解答】解：∵二次函数，当x取互为相反数的任意两个实数值时，对应的函数值y总相等，可知二次函数图像的对称轴为直线x=0，即y轴，则，解得：a=-2，则关于x的一元二次方程为，则两根之积为，故答案为：D.【分析】根据题意可得二次函数图像的对称轴为y轴，从而求出a值，再利用根与系数的关系得出结果.6.【答案】D【解析】【解答】∵直线不经过第二象限，∴，∵方程，当a=0时，方程为一元一次方程，故有一个解，当a<0时，方程为一元二次方程，∵∆= ，∴4-4a>0，∴方程有两个不相等的实数根，故答案为：D.【分析】根据直线不经过第二象限，得到，再分两种情况判断方程的解的情况.7.【答案】D【解析】【解答】解：①x2+2x﹣8＝（x+4）(x-2)=0 ,∴x1=-4,x2=2, x1=-2x2, 不是倍根方程，错误；②由题意得：2x12=2, ∴x1=±1，∴x1=1,x2=2,x1=-1,x2=-2, 则a＝x1+x2=±3, 正确；③∵x1=3,x2=, 当x1=2x2时，3m=2n, 当x2=2x1时，n=6m, 错误；④由题意得：n=, ∴mx2-3x+=0, ∴x1+x2=,x1x2=, 整理得：2x12-5x1x2+2x22=0, ∴（x1-2x2）(2x1-x2)=0, ∴x1=2x2, 或x2=2x1，正确；综上，正确的是②④ .故答案为：D.【分析】①用十字相乘法解一元二次方程直接验证即可；②先根据两根之积等于2，分两种情况讨论均符合“倍根方程”的条件；③分两种情况讨论，结合倍根方程的条件可得m和n的关系；④根据反比例函数式，求出m和n的关系，利用一元二次方程根与系数的关系列式整理即可求得两根之间的关系.8.【答案】B【解析】【解答】,,.故答案为：B.【分析】配方法的基本步骤，在方程两边加上一次项系数的一半的平方。
浙教版下学期八年级数学(下册)第二章一元二次方程测试题及答案
浙教版下学期八年级数学(下册)第2章一元二次方程测试题(时间：100分钟 满分：120分)1、下列方程是一元二次方程的是( )A ．ax 2+bx +c =0 B ．2x 2=0 C ．xx 3=1 D ．x 2+y =02、方程3x (x -4)=5(1-2x )的二次项系数、一次项系数、常数项分别为( ) A ．3，-2，5 B ．3，-2，-5 C ．-3，-2，5 D ．3， 2，53、关于x 的一元二次方程x 2-3px +p 2-2p +8=0的一个根为2，则实数p 的值是( ). A ．2 B ．6 C ．2或6 D ．-2或-64、若整式x 2-2x -15能分解成 (x -5)与 (x +3)，则一元二次方程x 2-2x -15=0的根为( ).A ．x 1=5，x 2=-3B ．x 1=-5，x 2=-3C ．x 1=5，x 2=3D ．x 1=-5，x 2=3 5、已知方程3x (2x +5)= (2x +5)，则其根为( ) A ．31 B ．0 C ． 25- D ．31，25- 6、如果一元二次方程ax 2+bx +c =0(a ≠0) 有两个相等的实数根，且满足a +b +c =0，则下列结论正确的是( )A ．a =bB ．c =bC ．c =aD ．a +b =c7、关于x 的一元二次方程x 2-(2m -3)x +m 2-6=0有两个不相等的实数根，那么m 的最大值是( ). A ．-1 B ．0 C ．1 D ．28、使用一面9m 墙为一边，再用17m 长的铁丝网围成三边，使其成一个面积为35m 2的长方形，求这个长方形的边长，设墙的对边长为x m ，可得方程为( )A 、x (17-x )=35B 、x ·217x-=35 C 、x (17-21x )=35 D 、x ·2217x -=35 9、有一个两位数它的十位上数与个位数之和是7，如把十位上数字和个位上数字调换所得两位数乘以原来的两位数就的1462求原来的两位数?( )A ．34B ．43C ．34或43D ．5210、若2b-为方程2x 2+ax +b =0的根(b ≠0)，则下列代数式的值恒为常数的是( ) A ．a b B ．ba C ．2(a +b ) D ．b -a二、填空题(共10小题 每题3分 共30分)11、若关于x 的一元二次方程(k -3)x 2-6x -2=0 有实数根，则k 的取值范围是 ． 12、方程(m -2)mmx -2+(m -3)x -2=0是一个一元二次方程，则m 的值是 .13、已知方程x 2-5kx -25=k 2的一个根是2，则k 的值是 ，方程的另一个根是 ． 14、已知m ，n 是方程x 2+x -2019=0的两个根，则m 3-3mn +2020n 的值为 . 15、若方程x 2+(2k -1)x +k 2+2=0无实数根，则方程x 2-(3k +1)x +49k 2-3=0的根的情况为 ． 16、如果两个不同的方程x 2+ax +b =0与x 2+bx +a =0只有一个公共根，那么a ，b 满足的关系式为 . 17、某校去年投资2万元购买实验器材，预计今明2年的投资总额为8万元．若该校这两年购买的实验器材的投资年平均增长率为xm ，n19、设a ，b 是一个直角三角形的两条直角边的长，且(a 2+b 2)(a 2+b 2-2)=63，则这个三角形的斜边长为 .20、若m 为实数，方程x 2-2x +m =0的一个根的相反数是方程x 2+2x -2=0的一个根，则x 2-2x +m =0的根是 ．三、解答题(共6题 共60分) 21、(满分9分)解方程 (1)(2x +3)2=4(3x -4)2；(2) (3x -1)(x -2)=8；(4)2x 2-3x -1=0；22、(满分10分)已知关于x 的一元二次方程x 2+bx +a =0有两个相等的实数根，求4)2(4222-+-b a ab 的值.23、(满分10分)先阅读理解下面的材料，再按要求解答问题：解方程x 4-13x 2+36=0，这是一个一元四次方程，根据该方程的特点，它的解法通常是：设x2=y，那么x4=y2，于是原方程可变为y2-13y+36=0 ①，解得y1=4，y2=9．当y=4时，x2=4，∴x=±2；当y=9时，x2=9，∴x=±3；∴原方程有四个根：x1=2，x2=-2，x3=3，x4=-3．(1)在由原方程得到方程①的过程中，利用______法达到______的目的，体现了数学的转化思想．(2)解方程(x2-2x)2-6(x2-2x) -16=0．24、(满分10分)关于x的一元二次方程为(m-2)x2-2mx+m+2=0.(1)求出方程的根；(2)m为何整数时，此方程的两个根都为正整数？25、(满分9分)将进货单价为50元的商品按60元售出时，就能卖出600个．已知这种商品每个涨价1元，其销售量就减少15个．为了赚得9000元的利润，每个商品售价应定为多少元？这时应进货多少个？26、(满分12分)已知关于x的一元二次方程2x2－3(k+1)x+k2+3k=0.(1)求证：无论k取何值，方程总有实数根．(2)若等腰三角形ABC的一边长a=2，另两边长b，c恰好是这个方程的两个根，求△ABC的周长．参考答案一、选择题(共10小题 每3分 共30分)11、k ≥23-且 k ≠3 12、-1 13、-3，-7；-17，-37 14、2018 15、有两个不相等的实数根 16、a +b +1=0 17、2(1+x )+2(1+x )2=8 18、x 2-x -30=0 19、3 三、解答题(共6题 共60分)21、(1)(2x +3)2=4(3x -4)2；解：将原方程化为(2x +3)2-4(3x -4)2=0分解因式，得 [][])43(2)32()43(2)32(--+-++x x x x =0则(8x -5)( -4x +11)=0 则8x -5=0，或-4x +11=0解得x (2) (3x -1)(x -2)=8；解：将原方程化为3x 2-7x -6=0 分解因式，得(3x +2)(x -3)=0 则3x +2=0，或x -3=0 解得x x 2=3解：将原方程化为x 2-2x =3方程两边同加1，得x 2-2x +1=3+1，即(x -1)2=4. 则x -1=2，或x -1=-2， 解得x 1=3，x 2=-1 (4)2x 2-3x -1=0；解：∵a =2，b =-3，c =-1， ∴△=b 2-4ac =(-3)2-4×2×(-1)=17 ∴x解得x 22、解：∵x 2+bx +a =0有两个相等的实数根，∴△=b 2-4a =0， b 2=4a ，∵4)2(3222-+-b a ab =4443222-++-b a a ab =44441222-++-a a a a =121222=aa . 23、解：(1)换元，降次(2)设x 2-2x =y ，原方程可化为y 2-6y -16=0， 解得y 1=8，y 2=-2．由x 2-2x =8，得x 1=-2，x 2=4． 由x 2-2x =-2，得方程x 2-2x +2=0， b 2-4ac =4-4×2=-4＜0，此时方程无实根． 所以原方程的解为x 1=-2，x 2=4． 24、解：(1)根据题意得m ≠2， △=(-2m )2-4(m -2)(m +2)=16， ∴x 1=)2(242-+m m =22-+m m ，x 2=)2(242--m m =1.(2)由(1)知x 1=22-+m m =1+22-m ， ∵方程的两个根都是正整数， ∴22-m 是正整数， ∴m -2是整数， ∴m -2=1或2， ∴m =3或4.25、解：设涨价x 元能赚得9000元的利润， 即售价定为每个(x +60)元，应进货(600-10x )个， 依题意得：(60-50+x ) (600-10x )=9000，解得x 1=10 ，x 2=20，当x =10时，x +60=70，600-10x =500； 当x =20时，x +60=80，600-10x =400答：售价定为每个60元时应进货500个，或售价定为每个80元时应进货400个.26、【解】 (1)∵△=b 2-4ac =9(k +1)2-8(k 2+3k)=(k -3)2≥0， ∴无论k 取何值，方程总有实数根． (2)分两种情况： ①若b =c ，则方程2x 2-3(k +1)x +k 2+3k =0有两个相等的实数根， ∴△=b 2-4ac =(k -3)2=0， 解得k =3，此时方程为x 2-6x +9=0，解得x 1=x 2=3. ∴△ABC 的周长为8.②若b ≠c ，则b =a =2或c =a =2，即方程有一个根为2， 把x =2代入方程2x 2-3(k +1)x +k 2+3k =0，得 8-6(k +1)+k 2+3k =0， 解得k 1=1，k 2=2，当k =1时，方程为x 2-3x +2=0，解得x 1=1，x 2=2. ∴方程的另一个根为1. ∴△ABC 的周长为5.当k =2时，方程为2x 2-9x +10=0，解得x 1=2，x 2=25. ∴方程的另一个根为25. ∴△ABC 的周长为213. 综上所述，所求△ABC 的周长为8或5或213.。
鲁教版八年级下册一元二次方程的应用题专题练习
一元二次方程专题复习（三）温故知新：1、一元二次方程：在整式方程中，只含 个未知数，并且未知数的最高次数是 的方程叫做一元二次方程.一元二次方程的一般形式是 .其中 叫做二次项， 叫做一次项， 叫做常数项； 叫做二次项的系数， 叫做一次项的系数.2、根的判别式1．了解一元二次方程根的判别式概念，能用判别式判定根的情况，并会用判别式求一元二次方程中符合题意的参数取值范围。
（1）∆=ac b 42-（2）根的判别式定理及其逆定理：对于一元二次方程02=++c bx ax （0≠a ） ①当⎩⎨⎧≥∆≠时00a ⇔方程有实数根； （当⎩⎨⎧>∆≠时00a ⇔方程有两个不相等的实数根；当⎩⎨⎧=∆≠时00a ⇔方程有两个相等的实数根；） ②当⎩⎨⎧<∆≠时00a ⇔方程无实数根； 从左到右为根的判别式定理；从右到左为根的判别式逆定理。
例：求证：方程0)4(2)1(222=++-+a ax x a 无实数根。
3、根与系数的关系（韦达定理）：如果)0(02≠=++a c bx ax 的两个根是,,21x x 则ac x x a b x x =⋅-=+2121,知识梳理：列一元二次方程解应用题的一般步骤如下：（1）审题：读懂题目，审清题意，明确哪些是已知量，哪些是未知量，以及它们之间的关系（2）设元：就是设未知数，根据题意，选择适当的未知量，并用字母（X)表示出来，设元又分直接设元和间接设元（3）列方程：根据题目中给出的等量关系，列出符合题意的一元二次方程（4）解方程：求出所列方程的解（5）验根：检验未知数的值是否符合题意（6）写出答案。
解应用题常见类型常见类型1、传播问题①有一人患了流感，经过两轮传染后共有121人患了流感，每轮传染中平均一个人传染了几个人？②某种电脑病毒传播非常快，如果一台电脑被感染，经过两轮感染后就会有81台电脑被感染．请你用学过的知识分析，每轮感染中平均一台电脑会感染几台电脑？若病毒得不到有效控制，3轮感染后，被感染的电脑会不会超过700台？2、循环问题：单循环问题，双循环问题和复杂循环问题①参加一次足球联赛的每两队之间都进行一场比赛，共比赛45场比赛，共有多少个队参加比赛？②参加一次足球联赛的每两队之间都进行两次比赛，共比赛90场比赛，共有多少个队参加比赛？③要组织一次排球邀请赛，参赛的每个队之间都要比赛一场，根据场地和时间等条件，赛程计划7天，每天安排4场比赛．设比赛组织者应邀请x个队参赛，则x满足的关系式为（）A．B．C．x（x﹣1）＝28 D．x（x+1）＝28④教师节期间，某校数学组教师向本组其他教师各发一条祝福短信．据统计，全组共发了240条祝福短信，如果设全组共有x名教师，依题意，可列出的方程是（）A．x（x+1）＝240 B．x（x﹣1）＝240C．2x（x+1）＝240 D．x（x+1）＝240最后产值、基数、平均增长率或降低率、增长或降低次数的基本关系：M=a(1±x)nn为增长或降低次数 M为最后产量，a为基数，x为平均增长率或降低率注意：平均率和时间相关，必须弄清楚从何年何月何日到何年何月何日的增长或降低率。
专题02 一元二次方程的解法(提高)-2020-2021学年八年级数学下册学霸全能突破-解析版
专题02一元二次方程的解法要点一、直接开平方法解一元二次方程1.直接开方法解一元二次方程：利用平方根的定义直接开平方求一元二次方程的解的方法称为直接开平方法.2.直接开平方法的理论依据：平方根的定义.3.能用直接开平方法解一元二次方程的类型有两类：①形如关于x的一元二次方程，可直接开平方求解.若，则；表示为，有两个不等实数根；若，则x=O；表示为，有两个相等的实数根；若，则方程无实数根．②形如关于x的一元二次方程，可直接开平方求解，两根是.要点诠释：用直接开平方法解一元二次方程的理论依据是平方根的定义，应用时应把方程化成左边是含未知数的完全平方式，右边是非负数的形式，就可以直接开平方求这个方程的根.要点二、一元二次方程的解法---配方法1．配方法解一元二次方程：(1)配方法解一元二次方程：将一元二次方程配成的形式，再利用直接开平方法求解，这种解一元二次方程的方法叫配方法.(2)配方法解一元二次方程的理论依据是公式：.(3)用配方法解一元二次方程的一般步骤：①把原方程化为的形式；②将常数项移到方程的右边；方程两边同时除以二次项的系数，将二次项系数化为1；③方程两边同时加上一次项系数一半的平方；④再把方程左边配成一个完全平方式，右边化为一个常数；⑤若方程右边是非负数，则两边直接开平方，求出方程的解；若右边是一个负数，则判定此方程无实数解.要点诠释：（1）配方法解一元二次方程的口诀：一除二移三配四开方；（2）配方法关键的一步是“配方”，即在方程两边都加上一次项系数一半的平方.（3）配方法的理论依据是完全平方公式．要点三、配方法的应用1．用于比较大小：在比较大小中的应用，通过作差法最后拆项或添项、配成完全平方，使此差大于零（或小于零）而比较出大小.2．用于求待定字母的值：配方法在求值中的应用，将原等式右边变为0，左边配成完全平方式后，再运用非负数的性质求出待定字母的取值．3．用于求最值：“配方法”在求最大（小）值时的应用，将原式化成一个完全平方式后可求出最值．4．用于证明：“配方法”在代数证明中有着广泛的应用，我们学习二次函数后还会知道“配方法”在二次函数中也有着广泛的应用．要点诠释：“配方法”在初中数学中占有非常重要的地位，是恒等变形的重要手段，是研究相等关系，讨论不等关系的常用技巧，是挖掘题目当中隐含条件的有力工具，同学们一定要把它学好．要点四、一元二次方程的求根公式一元二次方程，当时，.要点五、用公式法解一元二次方程的步骤用公式法解关于x的一元二次方程的步骤：①把一元二次方程化为一般形式；②确定a、b、c的值（要注意符号）；③求出的值；④若，则利用公式求出原方程的解；若，则原方程无实根.要点诠释：虽然所有的一元二次方程都可以用公式法来求解，但它往往并非最简单的，一定要注意方法的选用.要点六、因式分解法解一元二次方程1.用因式分解法解一元二次方程的步骤（1）将方程右边化为0；（2）将方程左边分解为两个一次式的积；（3）令这两个一次式分别为0，得到两个一元一次方程；（4）解这两个一元一次方程，它们的解就是原方程的解.2.常用的因式分解法提取公因式法，公式法（平方差公式、完全平方公式），十字相乘法等.要点诠释：（1）能用分解因式法来解一元二次方程的结构特点：方程的一边是0，另一边可以分解成两个一次因式的积；（2）用分解因式法解一元二次方程的理论依据：两个因式的积为0，那么这两个因式中至少有一个等于0；（3）用分解因式法解一元二次方程的注意点：①必须将方程的右边化为0；②方程两边不能同时除以含有未知数的代数式.一、单选题1．（2020ꞏ辽宁锦州市ꞏ九年级期中）若2x =-是关于x 的一元二次方程22502x mx m -+=的一个根，则m 的值为（）A ．1或4B ．-1或-4C ．-1或4D ．1或-4【答案】B 【分析】把2x =-代入关于x 的方程22502x mx m -+=，得到2450m m ++=，解关于m 的方程即可．【详解】解：∵2x =-是关于x 的一元二次方程22502x mx m -+=的一个根，∴2450m m ++=解得121,4m m =-=-故选B ．【点睛】本题考查一元二次方程根的定义和一元二次方程的解法，理解方程根的定义得到关于m 的方程是解题关键．2．（2020ꞏ湖州市第四中学教育集团八年级期中）三角形的两边长分别为3和6，第三边长是方程x 2－6x+8=0的根，则这个三角形的周长是（）A ．11B ．13C ．11或13D ．11和13【答案】B 【详解】由方程得，，，∴周长是，故选B.3．（2020ꞏ广西贺州市ꞏ七年级期中）若(a +b ﹣1)(a +b +1)﹣4＝0，则a +b 的值为()A ．2B ．±2C D ．±【答案】D 【分析】先运用平方差公式进行计算，再用直接开平方法解答．【详解】(a+b)2﹣1﹣4＝0，(a+b)2＝5，∴a+b=±．故选D ．【点睛】本题是解二元二次方程，主要考查了一元二次方程的解法，平方差公式，关键是运用整体思想和平方差公式，把方程转化为（a+b ）的一元二次方程进行解答．4．（2020ꞏ上海市静安区实验中学八年级课时练习）用配方法解方程2520x x ++=时，四个学生在变形时，得到四种不同的结果，其中配方正确的是（）A ．2517()24x +=B ．2521(24x +=C ．2525(24x +=D ．2533(24x +=【答案】A 【分析】把左边配成完全平方式，右边化为一个常数，即可得答案.【详解】2520x x ++=222555(2()22x x ++=-+2517()24x +=故选A.【点睛】本题考查的是用配方法解一元二次方程，配方过程中先把二次项系数化成1，常数项移到右边，然后两边加上一次项系数一半的平方，把方程的左边配成完全平方的形式．熟练掌握配方的步骤是解题关键.5．（2017ꞏ全国九年级课时练习）2(3)5(3)x x x ---因式分解结果为（）A ．221115x x -+B ．(5)(23)x x --C ．(25)(3)x x +-D ．(25)(3)x x -- 【答案】D 【解析】根据因式分解的方法，可提公因式（x-3）为：（x-3）（2x-5）.故选：D.点睛：此题主要考查了因式分解，因式分解是把一个多项式化为几个因式积的形式.根据因式分解的一般步骤：一提（公因式）、二套（平方差公式()()22a b a b a b -=+-，完全平方公式()2222a ab b a b ±+=±）、三检查（彻底分解）.二、填空题6．（2020ꞏ上海浦东新区ꞏ八年级月考）用换元法解方程221x x -﹣21x x -＝1，设y ＝21x x-，那么原方程可以化为关于y 的整式方程为_____．【答案】y 2+y ﹣2＝0【分析】可根据方程特点设y ＝21x x-，则原方程可化为2y ﹣y ＝1，化成整式方程即可．【详解】解：方程221x x -﹣21x x -＝1，若设y ＝21x x-，把设y ＝21x x-代入方程得：2y ﹣y ＝1，方程两边同乘y ，整理得y 2+y ﹣2＝0．故答案为：y 2+y ﹣2＝0．【点睛】本题主要考查用换元法解分式方程，它能够把一些分式方程化繁为简，化难为易，对此应注意总结能用换元法解的分式方程的特点，寻找解题技巧．7．（2020ꞏ上海市静安区实验中学八年级课时练习）方程2210x x +-=中，24b ac -的值为__________，根是___________．【答案】9121,12x x ==-【分析】先根据一元二次方程的定义确认,,a b c 的值，从而可得24b ac -的值，再利用公式法解方程即可得方程的根．【详解】方程2210x x +-=中，2,1,1a b c ===-，则224142(1)9b ac -=-⨯⨯-=，由公式法得：1132224b x a -±-±-±===⨯，则121,12x x ==-，故答案为：9；121,12x x ==-．【点睛】本题考查了一元二次方程的定义、利用公式法解一元二次方程，熟练掌握公式法是解题关键．8．（2020ꞏ全国九年级专题练习）设一元二次方程250x x +=的较大的根为m ，2320x x -+=的较小的根为n ，则m n +的值为______．【答案】1【分析】先利用因式分解法解两个一元二次方程得到m=0，n=1，然后计算m+n ．【详解】∵250x x +=，∴(5)0x x +=，解得0x =或5x =-，∴0m =．∵2320x x -+=，∴(1)(2)0x x --=，解得1x =或2x =，∴1n =，∴1m n +=．【点睛】本题考查了解一元二次方程-因式分解法：先把方程的右边化为0，再把左边通过因式分解化为两个一次因式的积的形式，那么这两个因式的值就都有可能为0，这就能得到两个一元一次方程的解，这样也就把原方程进行了降次，把解一元二次方程转化为解一元一次方程的问题了（数学转化思想）．9．（2018ꞏ全国九年级单元测试）已知实数a ，b 满足条件2720a a -+=，()2720b b a b -+=≠，则b aa b+=________．【答案】452【解析】【分析】由实数a ，b 满足条件a 2﹣7a +2＝0，b 2﹣7b +2＝0，且a ≠b ，可把a ，b 看成是方程x 2﹣7x +2＝0的两个根，再利用根与系数的关系即可求解．【详解】由实数a，b满足条件a2﹣7a+2＝0，b2﹣7b+2＝0，且a≠b，∴可把a，b看成是方程x2﹣7x+2＝0的两个根，∴a+b＝7，ab＝2，∴22224944522b a a b a b aba b ab ab++--+====（）．故答案为：452．【点睛】本题考查了根与系数的关系，属于基础题，关键是把a，b看成方程的两个根后再根据根与系数的关系解题．三、解答题10．（2015ꞏ山西）已知a、b、c+|b+1|+（c+3）2＝0，求方程ax2+bx+c ＝0的根．【答案】x1＝32，x2＝﹣1．【分析】本题要求出方程ax2+bx+c＝0的根，必须先求出a、b、c的值．根据非负数的性质，带根号、绝对值、平方的数值都大于等于0，三个非负数相加和为0，则这三个数的值必都为0，由此可解出a、b、c的值，再代入方程中可解此题．【详解】解：根据分析得：a﹣2＝0，b+1＝0，c+3＝0a＝2，b＝﹣1，c＝﹣3方程ax2+bx+c＝0即为2x2﹣x﹣3＝0∴x 1＝32，x 2＝﹣1．【点睛】本题主要考查一元二次方程求解问题，考点还涉及偶次方、绝对值以及二次根式非负性的应用.11．（2020ꞏ全国八年级课时练习）按要求解方程．（1）2(32)24x +=（直接开方法）（2）2314x x -=（公式法）（3）()()221321x x +=+（因式分解）（4）223990x x --=（配方法）【答案】（1）x 1=23-+，x 2=23--；（2）x 1=3，x 2=23；（3）x 1=﹣12，x 2=1；（4）x 1=21，x 2=﹣19【详解】解：（1）()23224x +=，32x +=±32x =-±23x -±=1222.33x x -+--∴==（2）2314x x -=，23410x x --=，()()24431161228=--⨯⨯-=+= ，442663x ±===1222,33x x +==（3）()()221321x x +=+，()()212130,x x ++-=()()21220,x x +-=210x +=或220x -=，121 1.2x x =-=，（4）223990x x --=，2 21400x x -+=，()21400x -=，120x -=±，120x =±，122119.x x ==-，12．（2020ꞏ全国八年级课时练习）是同类二次根式，且x为整数，求关于m 的方程xm 2+2m-2=0的根.【答案】121122m m =-=--，【解析】试题分析：根据同类二次根式的定义，列出关于x 的一元二次方程，利用因式分解法解一元二次方程，求出x 的整数值；将x 的值代入xm 2＋2m －2＝0中，得到关于m 的一元二次方程；最后利用直接开平方法解一元二次方程，求出m 的值.是同类二次根式，∴2x 2－x ＝4x －2，2x 2－5x ＋2＝0，(2x －1)(x －2)＝0，x 1＝12，x 2＝2.∵x 为整数，∴x ＝2，代入xm 2＋2m －2＝0中，则有2m 2＋2m －2＝0，m 2＋m ＝1，(m ＋12)2＝54m ＋12＝±2m 1＝2－12，m 2＝－2－12.13．（2020ꞏ全国九年级专题练习）如果方程260--=ax bx 与方程22150ax bx +-=有一个公共根是3，求a 、b 的值，并分别求出两个方程的另一个根．【答案】a=b=1；该方程的另一个根为－2；该方程的另一个根为－5．【分析】把x=3代入题中两个方程中，得到关于a 、b 的二元一次方程组，用适当的方法解答，求出a 、b 的值，再解方程即可求得．【详解】解：将3x =代入两个方程得936096150a b a b --=⎧⎨+-=⎩，解得：11a b =⎧⎨=⎩,1a b ∴==将11a b =⎧⎨=⎩代入方程260--=ax bx 得260x x --=，∴()()230+-=x x ，∴122,3x x =-=，∴该方程的另一个根为－2；将11a b =⎧⎨=⎩代入方程22150ax bx +-=得22150x x +-=，∴()()530x x +-=，∴125,3x x =-=，∴该方程的另一个根为－5．14．（2020ꞏ全国九年级课时练习）已知实数x 满足2213380x x x x+---=，求1x x +的值．【答案】5或2-．【分析】根据完全平方公式利用222121x x x x ⎛⎫+=+- ⎪⎝⎭对方程进行变形，得到2113100x x x x ⎛⎫⎛⎫+-+-= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，把1x x +看成整体，再解方程即可．【详解】解：222112x x x x ⎛⎫+=+- ⎪⎝⎭ ，∴原方程可变形为2113100x x x x ⎛⎫⎛⎫+-+-= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭．设1x t x+=，则原方程可变形为23100t t --=，解得125,2t t ==-．15x x∴+=或2-．【点睛】本题主要考查了用换元法解一元二次方程，利用完全平方公式对方程进行变形，把x +1x当成一个整体是解题关键．15．（2019ꞏ全国八年级单元测试）已知关于x 的方程231x x m -+=.（1）当0m <时，解这个方程；（2）当0m >时，解这个方程.【答案】（1）132x =，232x -=；（2）当1304m <≤时，132x =，232x =；当134m >时，此一元二次方程无解.【分析】（1）方程化为一般形式2310x x m -+-=，计算判别式得134m =- ，由于0m <，所以0> ，然后利用求根公式解方程；（2）方程化为一般形式2310x x m -+-=，计算判别式得134m =- ，由于0m >，分类讨论：当1304m <≤时，0> ，然后利用求根公式解方程，当134m >时，0< ，此时方程没有实数根.【详解】解：（1）231x x m -+= ，2310x x m ∴-+-=1a \=，3b =-，1c m =-()24941134b ac m m∴∆=-=--=-0m < 1340m ∴->322b x a -±±∴==132x +∴=，232x -=（2）231x x m -+= 2310x x m ∴-+-=1a \=，3b =-，1c m =-，()24941134b ac m m∴∆=-=--=-0m > ，∴当1304m <≤时，322b x a -==，132x +∴=，232x -=，∴当134m >时，此一元二次方程无解.【点睛】本题考查了解一元二次方程，用公式法解一元二次方程，即考查了判别式的意义，也考查了求根公式.。
上海八年级数学上---17.2(2)一元二次方程的解法(含答案)
17.2（2）一元二次方程的解法一、填空1. 把下列多项式分解因式：(1)x 2＋5x ＋6＝__________，(2)x 2－5x ＋6＝__________，(3)x 2－5x －6＝__________，(4)x 2＋5x －6＝__________.2. 方程x 2＝2x 的根是__________．3. 方程(x －2)(2x －3)＝0的根是__________．4. 方程(x －5)2＝0的根是__________．5. 方程x 2－x －42＝0的根是__________．6. 已知3x 2y 2－xy －2＝0，则x 与y 之积等于__________．7. 写出一个以1、－2为根的一元二次方程__________．8. 关于x 的一元二次方程(m ＋2)x 2＋x －m 2－5m －6＝0有一个根为0，则m ＝______.9．方程230x -=的解是 。
10．方程2210x x -+=的解是 。
11．若代数式(2)(1)x x -+的值为0，则x = 。
12．方程2(3)128(3)x x -+=-的实数根是 。
二、解答题13．解方程：2(1)0x = (2)3(23)1x x -=(3)3(2)5(2)y y y +=+ 22(4)(32)4(2)x x -=-2(5)(1(1x x -= 2(6)(21)3(21)20x x ++++=（7）－x 2＋2x ＋3＝0 （8）(x －3)2－3(3－x )－4＝0（9）. (x －6)x －2x ＋12＝0 （10）3x 2－2x ＝2x 2＋3x14．已知等腰三角形底边长为8，腰长是方程02092=+-x x 的一个根，求这个三角形的周长。
15．已知x 、y 为实数，且(x 2＋y 2)(x 2＋y 2＋2)＝3，求x 2＋y 2的值．三、提高题：16．已知22320a ab b +-=，求代数式22a b a b b a ab +--的值17.2（2）一元二次方程的解法一、1.（1）（x+2）（x+3）（2）（x-2）（x-3）（3）（x+1）（x-6）（4）（x-1）（x+6）2.=0 =23.==4.==55.=—6 =76. 1或者－7.（x—1）（x+2）=0 8.—3 9.=0=10.==1 11.2或—1 12.=9 =5二、13．（1）=0 =（2）121 3x x==（3）== －2（4）=—2 =（5）=0 =—3—2（6）=—1 =（7）=—1 =（8）=4 =（9）=2 =（10）=0 =+214.18 15. 1三、16.2或者—3。
一元二次方程综合培优(难度大-含参考答案)
一元二次方程拓展提高题1、已知x25x20000，则x2 3xx 1 21的值是.22、已知a22004a10，则 2a 24007 a2004_________ .a 213、若ab1，且5a 22005a70 ，7b 22005b 5 0 ，则a_________ . b4、已知方程2x 22ax3a40没有实数根，则代数式a28a16 2 a_____.5、已知y 2 x6x ，则 y 的最大值为.6、已知a b c0， abc2， c0 ，则（）A、 ab 0B、 a b 2C、 a b3D、 a b47、已知a b8 ， ab c2160，则 a b c________ .8、已知m2m10 ，则m3 2 m22006________ .9、已知a b4， ab c 240 ，则 a b________ .10、若方程x 2px q0 的二根为 x1， x2，且 x1 1 ， p q30，则 x2 ()A、小于 1B、等于 1C、大于 1 D 、不能确定是方程 x 213 1 的值为11、已知x0 的一个根，则3.412、若3x2x 1 ，则 9 x 412x 32x 27x2008（）A、 2011B、 2010C、 2009 D 、 200813、方程3x23x2 2 的解为.14、已知x2x y 20 ，则x2y 22x的最大值是（）26A、 14B、 15C、 16 D 、18、方程x 22 | x |2m恰有 3 个实根，则m（）15A、 1B、 1.5C、2 D 、2.516、方程x23xx2379 的全体实数根之积为（）3 xA、 60B、60C、 10D、 1017、关于x的一元二次方程2x 25x a 0x1: x2 2 : 3，则x2x1（ a 为常数）的两根之比（）A、 1B、 2C、1D、3 2218、已知是、方程 x2x10 的两个实根，则43_______ .19、若关于x的方程2ax2xax 1 只有一解，求a 的值。
(完整版)一元二次方程培优提高例题
考点一、概念(1)定义:①只含有一个未知数．．．．．．．．，并且②未知数的最高次数是．．．．．．．．．2．,这样的③整式方程．．．．就是一元二次方程。
（2）一般表达式：)0(02≠=++a c bx ax⑶难点：如何理解 “未知数的最高次数是2”: ①该项系数不为“0"； ②未知数指数为“2”；③若存在某项指数为待定系数,或系数也有待定，则需建立方程或不等式加以讨论。
典型例题:例1、下列方程中是关于x 的一元二次方程的是( ）A ()()12132+=+x x B 02112=-+x xC 02=++c bx axD 1222+=+x x x变式：当k 时，关于x 的方程3222+=+x x kx 是一元二次方程。
例2、方程()0132=+++mx x m m是关于x 的一元二次方程,则m 的值为 。
针对练习:★1、方程782=x 的一次项系数是 ,常数项是 。
★2、若方程()021=--m xm 是关于x 的一元一次方程，⑴求m 的值;⑵写出关于x 的一元一次方程.★★3、若方程()112=•+-x m x m 是关于x 的一元二次方程,则m 的取值范围是 。
★★★4、若方程nx m+x n—2x 2=0是一元二次方程，则下列不可能的是（ )A 。
m=n=2 B.m=2，n=1 C.n=2，m=1 D.m=n=1考点二、方程的解⑴概念:使方程两边相等的未知数的值，就是方程的解。
⑵应用:利用根的概念求代数式的值;典型例题：例1、已知322-+y y 的值为2，则1242++y y 的值为 .例2、关于x 的一元二次方程()04222=-++-a x x a 的一个根为0，则a 的值为 。
说明：任何时候，都不能忽略对一元二次方程二次项系数的限制.例3、已知关于x 的一元二次方程()002≠=++a c bx ax 的系数满足b c a =+,则此方程必有一根为 。
说明：本题的关键点在于对 “代数式形式”的观察,再利用特殊根“-1”巧解代数 式的值。
一元二次方程提高题
一元二次方程提高题一．选择题（共10小题）1．一元二次方程x2﹣6x﹣6=0配方后化为（）A．（x﹣3）2=15 B．（x﹣3）2=3 C．（x+3）2=15 D．（x+3）2=32．若关于x的方程x2+2x﹣3=0与=有一个解相同，则a的值为（）A．1 B．1或﹣3 C．﹣1 D．﹣1或33．若关于x的方程kx2﹣3x﹣=0有实数根，则实数k的取值范围是（）A．k=0 B．k≥﹣1且k≠0 C．k≥﹣1 D．k＞﹣14．关于x的一元二次方程x2+（a2﹣2a）x+a﹣1=0的两个实数根互为相反数，则a的值为（）A．2 B．0 C．1 D．2或05．已知一元二次方程x2﹣2x﹣1=0的两根分别为x1，x2，则+的值为（）A．2 B．﹣1 C．D．﹣26．对于方程x2﹣2|x|+2=m，如果方程实根的个数为3个，则m的值等于（）A．1 B．C．2 D．2.57．方程x2﹣|2x﹣1|﹣4=0，求满足该方程的所有根之和为（）A．0 B．2 C．D．2﹣8．已知关于x的方程（m﹣1）+2x﹣3=0是一元二次方程，则m的值为（）A．1 B．﹣1 C．±1 D．不能确定9．m是方程x2+x﹣1=0的根，则式子2m2+2m+2015的值为（）A．2013 B．2016 C．2017 D．201810．三角形两边长分别为5和8，第三边是方程x2﹣6x+8=0的解，则此三角形的周长是（）A．15 B．17 C．15或17 D．不能确定二．填空题（共5小题）11．关于x的一元二次方程（k﹣1）x2+6x+k2﹣k=0的一个根是0，则k的值是．12．已知实数m满足m2﹣3m+1=0，则代数式m2+的值等于．13．已知m是方程x2﹣2017x+1=0的一个根，则代数式m2﹣2018m++3的值是．14．关于x的方程x2﹣2mx+3m=0的两个根是等腰△ABC的两条边长，已知一个根是2，则△ABC的周长为．15．若实数a、b满足（a+b）（a+b﹣6）+9=0，则a+b的值为．三．解答题（共11小题）16．解方程：（x﹣3）（x﹣1）=3．17．解一元二次方程：x2﹣3x=1．18．解方程：（2x+1）2=2x+1．19．4x2﹣3=12x（用公式法解）20．解方程：2x2﹣4x=1（用配方法）21．已知M=5x2+3，N=4x2+4x．（1）求当M=N时x的值；（2）当1＜x＜时，试比较M，N的大小．22．已知关于x的一元二次方程x2+（2m+1）x+m2﹣4=0（1）当m为何值时，方程有两个不相等的实数根？（2）若边长为5的菱形的两条对角线的长分别为方程两根的2倍，求m的值．23．关于x的方程x2﹣（2k﹣1）x+k2﹣2k+3=0有两个不相等的实数根．（1）求实数k的取值范围；（2）设方程的两个实数根分别为x1、x2，存不存在这样的实数k，使得|x1|﹣|x2|=？若存在，求出这样的k值；若不存在，说明理由．24．学校为奖励“汉字听写大赛”的优秀学生，派王老师到商店购买某种奖品，他看到如图所示的关于该奖品的销售信息，便用1400元买回了奖品，求王老师购买该奖品的件数．购买件数销售价格单价40元不超过30件超过30件每多买1件，购买的所有衬衫单价降低0.5元，但单价不得低于30元25．随着柴静纪录片《穹顶之下》的播出，全社会对空气污染问题越来越重视，空气净化器的销量也大增，商社电器从厂家购进了A，B两种型号的空气净化器，已知一台A型空气净化器的进价比一台B型空气净化器的进价多300元，用7500元购进A型空气净化器和用6000元购进B型空气净化器的台数相同．（1）求一台A型空气净化器和一台B型空气净化器的进价各为多少元？（2）在销售过程中，A型空气净化器因为净化能力强，噪音小而更受消费者的欢迎．为了增大B型空气净化器的销量，商社电器决定对B型空气净化器进行降价销售，经市场调查，当B型空气净化器的售价为1800元时，每天可卖出4台，在此基础上，售价每降低50元，每天将多售出1台，如果每天商社电器销售B 型空气净化器的利润为3200元，请问商社电器应将B型空气净化器的售价定为多少元？26．关于x的方程x2+2x+2，其中p是实数．（1）若方程没有实数根，求P的范围；（2）若p＞0，问p为何值时，方程有两个相等的实数根？并求出这两个根．参考答案与试题解析一．选择题（共10小题）1．（2017•泰安）一元二次方程x2﹣6x﹣6=0配方后化为（）A．（x﹣3）2=15 B．（x﹣3）2=3 C．（x+3）2=15 D．（x+3）2=3【分析】方程移项配方后，利用平方根定义开方即可求出解．【解答】解：方程整理得：x2﹣6x=6，配方得：x2﹣6x+9=15，即（x﹣3）2=15，故选A【点评】此题考查了解一元二次方程﹣配方法，熟练掌握完全平方公式是解本题的关键．2．（2017•凉山州）若关于x的方程x2+2x﹣3=0与=有一个解相同，则a 的值为（）A．1 B．1或﹣3 C．﹣1 D．﹣1或3【分析】两个方程有一个解相同，可以先求得第一个方程的解，然后将其代入第二个方程来求a的值即可．注意：分式的分母不等于零．【解答】解：解方程x2+2x﹣3=0，得x1=1，x2=﹣3，∵x=﹣3是方程的增根，∴当x=1时，代入方程，得，解得a=﹣1．故选：C．【点评】本题考查了解一元二次方程﹣因式分解法，分式方程的解．此题属于易错题，解题时要注意分式的分母不能等于零．3．（2017•齐齐哈尔）若关于x的方程kx2﹣3x﹣=0有实数根，则实数k的取值范围是（）A．k=0 B．k≥﹣1且k≠0 C．k≥﹣1 D．k＞﹣1【分析】讨论：当k=0时，方程化为﹣3x﹣=0，方程有一个实数解；当k≠0时，△=（﹣3）2﹣4k•（﹣）≥0，然后求出两个中情况下的k的公共部分即可．【解答】解：当k=0时，方程化为﹣3x﹣=0，解得x=；当k≠0时，△=（﹣3）2﹣4k•（﹣）≥0，解得k≥﹣1，所以k的范围为k≥﹣1．故选C．【点评】本题考查了根的判别式：一元二次方程ax2+bx+c=0（a≠0）的根与△=b2﹣4ac有如下关系：当△＞0时，方程有两个不相等的实数根；当△=0时，方程有两个相等的实数根；当△＜0时，方程无实数根．4．（2017•呼和浩特）关于x的一元二次方程x2+（a2﹣2a）x+a﹣1=0的两个实数根互为相反数，则a的值为（）A．2 B．0 C．1 D．2或0【分析】设方程的两根为x1，x2，根据根与系数的关系得a2﹣2a=0，解得a=0或a=2，然后利用判别式的意义确定a的取值．【解答】解：设方程的两根为x1，x2，根据题意得x1+x2=0，所以a2﹣2a=0，解得a=0或a=2，当a=2时，方程化为x2+1=0，△=﹣4＜0，故a=2舍去，所以a的值为0．故选B．【点评】本题考查了根与系数的关系：若x1，x2是一元二次方程ax2+bx+c=0（a ≠0）的两根时，x1+x2=﹣，x1x2=．也考查了根的判别式．5．（2017•黔东南州）已知一元二次方程x2﹣2x﹣1=0的两根分别为x1，x2，则+的值为（）A．2 B．﹣1 C．D．﹣2【分析】根据根与系数的关系得到x1+x2=2，x1x2=﹣1，利用通分得到+=，然后利用整体代入的方法计算【解答】解：根据题意得x1+x2=2，x1x2=﹣1，所以+===﹣2．故选D．【点评】本题考查了根与系数的关系：若x1，x2是一元二次方程ax2+bx+c=0（a ≠0）的两根时，x1+x2=﹣，x1x2=．6．（2017•江阴市自主招生）对于方程x2﹣2|x|+2=m，如果方程实根的个数为3个，则m的值等于（）A．1 B．C．2 D．2.5【分析】先把已知方程转化为关于|x|的一元二次方程的一般形式，再根据方程有三个实数根判断出方程根的情况，进而可得出结论．【解答】解：原方程可化为x2﹣2|x|+2﹣m=0，解得|x|=1±，∵若1﹣＞0，则方程有四个实数根，∴方程必有一个根等于0，∵1+＞0，∴1﹣=0，解得m=2．故选C．【点评】本题考查的是根的判别式及用公式法解一元二次方程，先根据题意得出|x|的值，判断出方程必有一根为0是解答此题的关键．7．（2017•雨城区校级自主招生）方程x2﹣|2x﹣1|﹣4=0，求满足该方程的所有根之和为（）A．0 B．2 C．D．2﹣【分析】因为题目中带有绝对值符号，所以必须分两种情况进行讨论，去掉绝对值符号，得到两个一元二次方程，求出方程的根，不在讨论范围内的根要舍去．【解答】解：①当2x﹣1≥0时，即x≥，原方程化为：x2﹣2x﹣3=0，（x﹣3）（x+1）=0，x1=3，x2=﹣1，∵﹣1＜，∴x2=﹣1（舍去）∴x=3；②当2x﹣1＜0，即x＜时，原方程化为：x2+2x﹣5=0，（x+1）2=6，x+1=±，x1=﹣1+，x2=﹣1﹣∵﹣1+＞，∴x1=﹣1+（舍去）∴x=﹣1﹣．则3+（﹣1﹣）=2﹣．故选：D．【点评】本题考查的是解一元二次方程，由于带有绝对值符号，必须对题目进行讨论，对不在讨论范围内的根要舍去．8．（2017•凉山州一模）已知关于x的方程（m﹣1）+2x﹣3=0是一元二次方程，则m的值为（）A．1 B．﹣1 C．±1 D．不能确定【分析】根据一元二次方程的定义得出m﹣1≠0，m2+1=2，求出即可．【解答】解：∵关于x的方程（m﹣1）+2x﹣3=0是一元二次方程，∴m﹣1≠0且m2+1=2，即m≠1且m=±1，解得：m=﹣1．故选B．【点评】本题考查了对一元二次方程的定义的理解和运用，注意：①是整式方程，②只含有一个未知数，③所含未知数的项的最高次数是2．9．（2017•潮阳区模拟）m是方程x2+x﹣1=0的根，则式子2m2+2m+2015的值为（）A．2013 B．2016 C．2017 D．2018【分析】根据一元二次方程的解的定义得到m2+m﹣1=0，即m2+m=1，然后利用整体代入的方法计算2m2+2m+2015的值．【解答】解：∵m是方程x2+x﹣1=0的根，∴m2+m﹣1=0，即m2+m=1，∴2m2+2m+2015=2（m2+m）+2015=2+2015=2017．故选C．【点评】本题考查了一元二次方程的解：能使一元二次方程左右两边相等的未知数的值是一元二次方程的解．10．（2017•市中区三模）三角形两边长分别为5和8，第三边是方程x2﹣6x+8=0的解，则此三角形的周长是（）A．15 B．17 C．15或17 D．不能确定【分析】求出已知方程的解确定出第三边，即可求出三角形周长．【解答】解：方程x2﹣6x+8=0，分解因式得：（x﹣2）（x﹣4）=0，解得：x=2或x=4，当x=2时，三角形三边长为2，5，8，不能构成三角形，舍去；当x=4时，三角形三边长为4，5，8，周长为4+5+8=17，故选B【点评】此题考查了解一元二次方程﹣因式分解法，以及三角形三边关系，熟练掌握因式分解的方法是解本题的关键．二．填空题（共5小题）11．（2017•菏泽）关于x的一元二次方程（k﹣1）x2+6x+k2﹣k=0的一个根是0，则k的值是0．【分析】由于方程的一个根是0，把x=0代入方程，求出k的值．因为方程是关于x的二次方程，所以未知数的二次项系数不能是0．【解答】解：由于关于x的一元二次方程（k﹣1）x2+6x+k2﹣k=0的一个根是0，把x=0代入方程，得k2﹣k=0，解得，k1=1，k2=0当k=1时，由于二次项系数k﹣1=0，方程（k﹣1）x2+6x+k2﹣k=0不是关于x的二次方程，故k≠1．所以k的值是0．故答案为：0【点评】本题考查了一元二次方程的解法、一元二次方程的定义．解决本题的关键是解一元二次方程确定k的值，过程中容易忽略一元二次方程的二次项系数不等于0这个条件．12．（2017•镇江）已知实数m满足m2﹣3m+1=0，则代数式m2+的值等于9．【分析】先表示出m2=3m﹣1代入代数式，通分，化简即可得出结论．【解答】解：∵m2﹣3m+1=0，∴m2=3m﹣1，∴m2+=3m﹣1+=3m﹣1+=====9，故答案为：9．【点评】此题主要考查了代数式的化简求值，分式的通分，约分，解本题的关键是得出m2=3m﹣1．13．（2017•北仑区模拟）已知m是方程x2﹣2017x+1=0的一个根，则代数式m2﹣2018m++3的值是2．【分析】根据一元二次方程根的定义得到m2=2017m﹣1，再利用整体代入的方法得到原式=2017m﹣1﹣2018m++3，然后合并即可．【解答】解：∵m是方程x2﹣2017x+1=0的一个根，∴m2﹣2017m+1=0，∴m2=2017m﹣1，∴原式=2017m﹣1﹣2018m++3=﹣1﹣m+m+3=2．故答案为2．【点评】本题考查了一元二次方程的解：能使一元二次方程左右两边相等的未知数的值是一元二次方程的解．14．（2017•威海一模）关于x的方程x2﹣2mx+3m=0的两个根是等腰△ABC的两条边长，已知一个根是2，则△ABC的周长为14．【分析】利用一元二次方程解的定义，把x=2代入x2﹣2mx+3m=0得m=4，则方程化为x2﹣8x+12=0，利用因式分解法解得x1=2，x2=6，然后利用三角形三边的关系确定三角形三边，再计算它的周长．【解答】解：把x=2代入x2﹣2mx+3m=0得4﹣4m+3m=0，解得m=4，所以方程化为x2﹣8x+12=0，解得x1=2，x2=6，所以三角形三边为6、6、2，所以△ABC的周长为14．故答案为14．【点评】本题考查了一元二次方程的解：能使一元二次方程左右两边相等的未知数的值是一元二次方程的解．15．（2017•曹县模拟）若实数a、b满足（a+b）（a+b﹣6）+9=0，则a+b的值为3．【分析】设t=a+b，则原方程转化为关于t的方程t（t﹣6）+9=0，由此求得t的值即可．【解答】解：设t=a+b，则由原方程得到：t（t﹣6）+9=0，整理，得（t﹣3）2=0，解得t=3．即a+b=3．故答案是：3．【点评】本题考查了换元法解一元二次方程．换元的实质是转化，关键是构造元和设元，理论依据是等量代换，目的是变换研究对象，将问题移至新对象的知识背景中去研究，从而使非标准型问题标准化、复杂问题简单化，变得容易处理．三．解答题（共11小题）16．（2017•丽水）解方程：（x﹣3）（x﹣1）=3．【分析】先把方程化为一般式，然后利用因式分解法解方程．【解答】解：方程化为x2﹣4x=0，x（x﹣4）=0，所以x1=0，x2=4．【点评】本题考查了解一元二次方程﹣因式分解法：就是因式分解法就是利用因式分解求出方程的解的方法，这种方法简便易用，是解一元二次方程最常用的方法．17．（2017•埇桥区模拟）解一元二次方程：x2﹣3x=1．【分析】配方，开方，即可得出两个方程，求出方程的解即可．【解答】解：x2﹣3x=1，x2﹣3x+（）2=1+（）2，（x﹣）2=，开方得：x﹣=±，x1=，x2=．【点评】本题考查了解一元二次方程，能选择适当的方法解一元二次方程是解此题的关键．18．（2017•广元模拟）解方程：（2x+1）2=2x+1．【分析】因式分解法求解可得．【解答】解：∵（2x+1）2﹣（2x+1）=0，∴（2x+1）（2x+1﹣1）=0，即2x（2x+1）=0，则x=0或2x+1=0，解得：x=0或x=﹣．【点评】本题主要考查解一元二次方程的能力，熟练掌握解一元二次方程的几种常用方法：直接开平方法、因式分解法、公式法、配方法，结合方程的特点选择合适、简便的方法是解题的关键．19．（2017•江汉区校级模拟）4x2﹣3=12x（用公式法解）【分析】利用公式法求解可得．【解答】解：原方程整理为：4x2﹣12x﹣3=0，∵a=4，b=﹣12，c=﹣3，∴△=144﹣4×4×（﹣3）=192＞0，则x==．【点评】本题主要考查解一元二次方程的能力，熟练掌握解一元二次方程的几种常用方法：直接开平方法、因式分解法、公式法、配方法，结合方程的特点选择合适、简便的方法是解题的关键．20．（2017•江汉区校级模拟）解方程：2x2﹣4x=1（用配方法）【分析】方程两边都除以2，配方，开方，即可得出两个方程，求出方程的解即可．【解答】解：方程整理得：x2﹣2x=，配方得：x2﹣2x+1=，即（x﹣1）2=，开方得：x﹣1=±，解得：x1=1+，x2=1﹣．【点评】本题考查了解一元二次方程，能正确配方是解此题的关键．21．（2017•萧山区模拟）已知M=5x2+3，N=4x2+4x．（1）求当M=N时x的值；（2）当1＜x＜时，试比较M，N的大小．【分析】（1）利用题意列方程5x2+3=4x2+4x，然后利用因式分解法解方程即可；（2）利用求差法得到M﹣N=（x﹣1）（x﹣3），然后根据x的取值范围确定积的符合，从而得到M与N的关系关系．【解答】解：（1）根据题意得5x2+3=4x2+4x，整理得x2﹣4x+3=0，（x﹣1）（x﹣3）=0，x﹣1=0或x﹣3=0，所以x1=1，x2=3；（2）M﹣N=5x2+3﹣（x2+4x）=x2﹣4x+3=（x﹣1）（x﹣3），∵1＜x＜，∴x﹣1＞0，x﹣3＜0，∴M﹣N=（x﹣1）（x﹣3）＜0，∴M＜N．【点评】本题考查了解一元二次方程﹣因式分解法：因式分解法就是利用因式分解求出方程的解的方法，这种方法简便易用，是解一元二次方程最常用的方法．注意因式分解的应用．22．（2017•绥化）已知关于x的一元二次方程x2+（2m+1）x+m2﹣4=0（1）当m为何值时，方程有两个不相等的实数根？（2）若边长为5的菱形的两条对角线的长分别为方程两根的2倍，求m的值．【分析】（1）根据方程的系数结合根的判别式，即可得出△=4m+17＞0，解之即可得出结论；（2）设方程的两根分别为a、b，根据根与系数的关系结合菱形的性质，即可得出关于m的一元二次方程，解之即可得出m的值，再根据a+b=﹣2m﹣1＞0，即可确定m的值．【解答】解：（1）∵方程x2+（2m+1）x+m2﹣4=0有两个不相等的实数根，∴△=（2m+1）2﹣4（m2﹣4）=4m+17＞0，解得：m＞﹣．∴当m＞﹣时，方程有两个不相等的实数根．（2）设方程的两根分别为a、b，根据题意得：a+b=﹣2m﹣1，ab=m2﹣4．∵2a、2b为边长为5的菱形的两条对角线的长，∴a2+b2=（a+b）2﹣2ab=（﹣2m﹣1）2﹣2（m2﹣4）=2m2+4m+9=52=25，解得：m=﹣4或m=2．∵a＞0，b＞0，∴a+b=﹣2m﹣1＞0，∴m=﹣4．若边长为5的菱形的两条对角线的长分别为方程两根的2倍，则m的值为﹣4．【点评】本题考查了根的判别式、根与系数的关系、菱形的性质以及解一元二次方程，解题的关键是：（1）根据方程的系数结合根的判别式，找出△=4m+17＞0；（2）根据根与系数的关系结合菱形的性质，找出关于m的一元二次方程．23．（2017•鄂州）关于x的方程x2﹣（2k﹣1）x+k2﹣2k+3=0有两个不相等的实数根．（1）求实数k的取值范围；（2）设方程的两个实数根分别为x1、x2，存不存在这样的实数k，使得|x1|﹣|x2|=？若存在，求出这样的k值；若不存在，说明理由．【分析】（1）由方程有两个不相等的实数根知△＞0，列出关于k的不等式求解可得；（2）由韦达定理知x1+x2=2k﹣1，x1x2=k2﹣2k+3=（k﹣1）2+2＞0，将原式两边平方后把x1+x2、x1x2代入得到关于k的方程，求解可得．【解答】解：（1）∵方程有两个不相等的实数根，∴△=[﹣（2k﹣1）]2﹣4（k2﹣2k+3）=4k﹣11＞0，解得：k＞；（2）存在，∵x1+x2=2k﹣1，x1x2=k2﹣2k+3=（k﹣1）2+2＞0，∴将|x1|﹣|x2|=两边平方可得x12﹣2x1x2+x22=5，即（x1+x2）2﹣4x1x2=5，代入得：（2k﹣1）2﹣4（k2﹣2k+3）=5，解得：4k﹣11=5，解得：k=4．【点评】本题主要考查根与系数的关系及根的判别式，熟练掌握判别式的值与方程的根之间的关系及韦达定理是解题的关键．24．（2017•皇姑区一模）学校为奖励“汉字听写大赛”的优秀学生，派王老师到商店购买某种奖品，他看到如图所示的关于该奖品的销售信息，便用1400元买回了奖品，求王老师购买该奖品的件数．购买件数销售价格不超过30单价40元件超过30件每多买1件，购买的所有衬衫单价降低0.5元，但单价不得低于30元【分析】根据题意首先表示出每件商品的价格，进而得出购买商品的总钱数，进而得出等式求出答案．【解答】解：∵30×40=1200＜1400，∴奖品数超过了30件，设总数为x件，则每件商品的价格为：[40﹣（x﹣30）×0.5]元，根据题意可得：x[40﹣（x﹣30）×0.5]=1400，解得：x1=40，x2=70，∵x=70时，40﹣（70﹣30）×0.5=20＜30，∴x=70不合题意舍去，答：王老师购买该奖品的件数为40件．【点评】此题主要考查了一元二次方程的应用，根据题意正确表示出每件商品的价格是解题关键．25．（2017•三门峡一模）随着柴静纪录片《穹顶之下》的播出，全社会对空气污染问题越来越重视，空气净化器的销量也大增，商社电器从厂家购进了A，B两种型号的空气净化器，已知一台A型空气净化器的进价比一台B型空气净化器的进价多300元，用7500元购进A型空气净化器和用6000元购进B型空气净化器的台数相同．（1）求一台A型空气净化器和一台B型空气净化器的进价各为多少元？（2）在销售过程中，A型空气净化器因为净化能力强，噪音小而更受消费者的欢迎．为了增大B型空气净化器的销量，商社电器决定对B型空气净化器进行降价销售，经市场调查，当B型空气净化器的售价为1800元时，每天可卖出4台，在此基础上，售价每降低50元，每天将多售出1台，如果每天商社电器销售B 型空气净化器的利润为3200元，请问商社电器应将B型空气净化器的售价定为多少元？【分析】（1）设每台B种空气净化器为x元，A种净化器为（x+300）元，根据用6000元购进B种空气净化器的数量与用7500元购进A种空气净化器的数量相同，列方程求解；（2）根据总利润=单件利润×销量列出一元二次方程求解即可．【解答】解：（1）设每台B型空气净化器为x元，A型净化器为（x+300）元，由题意得，=，解得：x=1200，经检验x=1200是原方程的根，则x+300=1500，答：每B型空气净化器、每台A型空气净化器的进价分别为1200元，1500元；（2）设B型空气净化器的售价为x元，根据题意得；（x﹣1200）（4+）=3200，解得：x=1600，答：如果每天商社电器销售B型空气净化器的利润为3200元，请问商社电器应将B型空气净化器的售价定为1600元．【点评】本题考查了一元二次方程及分式方程的应用，解题的关键是根据题意找到等量关系，注意分式方程应该检验，难度不大．26．（1999•重庆）关于x的方程x2+2x+2，其中p是实数．（1）若方程没有实数根，求P的范围；（2）若p＞0，问p为何值时，方程有两个相等的实数根？并求出这两个根．【分析】（1）换元，令=y，把中根号下的数看成整体，再求p的范围；（2）方程有两个相等的实数根，判别式=0，求出p，再求得两实根．【解答】解：（1）令=y，①则原方程变为y2+2y﹣（p2+2p）=0．（3分）∵△=4+4（p2+2p）=4（p2+2p+1）=4（p+1）2≥0，即y1=p，y2=﹣2﹣p．（6分）若原方程没有实数根，只须解这个不等式组，得﹣2＜p＜0．（9分）（2）∵p＞0，把y1=p代入①，得=p②而y2=﹣2﹣p＜0，舍去．（11分）将②式平方，整理得x2+2x﹣（p2﹣2p）=0．③（12分）令△=4+4（p2﹣2p）=4（p2﹣2p+1）=4（p﹣1）2=0，解得p=1．（15分）当p=1时，原方程有两个相等的实数根．把p=1代入③，得x2+2x+1=0，∴x1=x2=﹣1．（17分）经检验，当p=1时，x1=x2=﹣1是原方程的根．（18分）【点评】本题是换元法解无理方程，注意这个方程无解条件的讨论是解决本题的关键．。
一元二次方程综合提高精选题含答案
一元二次方程综合提高题一、选择题1.若关于x的一元二次方程（x－2）（x－3）=m有实数根x1,x2，且x1≠x2，有下列结论：①x1=2，x2=3；②1m4 >-；③二次函数y=（x－x1）（x－x2）＋m的图象与x轴交点的坐标为（2，0）和（3，0）．其中，正确结论的个数是【】（A）0 （B）1 （C）2 （D）3【答案】C。
【考点】抛物线与x轴的交点，一元二次方程的解，一元二次方程根的判别式和根与系数的关系。
【分析】①∵一元二次方程实数根分别为x1、x2，∴x1=2，x2=3，只有在m=0时才能成立，故结论①错误。
②一元二次方程（x－2）（x－3）=m化为一般形式得：x2－5x＋6－m=0，∵方程有两个不相等的实数根x1、x2，∴△=b2－4ac=（－5）2－4（6－m）=4m＋1＞0，解得：1m4>-。
故结论②正确。
③∵一元二次方程x2－5x＋6－m=0实数根分别为x1、x2，∴x1＋x2=5，x1x2=6－m。
∴二次函数y=（x－x1）（x－x2）+m=x2－（x1＋x2）x＋x1x2＋m=x2－5x＋（6－m）＋m =x2－5x＋6=（x－2）（x－3）。
令y=0，即（x－2）（x－3）=0，解得：x=2或3。
∴抛物线与x轴的交点为（2，0）或（3，0），故结论③正确。
综上所述，正确的结论有2个：②③。
故选C。
2.如果关于x的一元二次方程x2+4x+a=0的两个不相等实数根x1，x2满足x1x2﹣2x1﹣2x2﹣5=0，那么a的值为【】A．3 B．﹣3 C．13 D．﹣13【答案】B。
【考点】一元二次方程根与系数的关系。
【分析】∵x1，x2是关于x的一元二次方程x2+4x+a=0的两个不相等实数根，∴x 1+x 2=﹣4，x 1x 2=a 。
∴x 1x 2﹣2x 1﹣2x 2﹣5=x 1x 2﹣2（x 1+x 2）﹣5=a ﹣2×（﹣4）﹣5=0，即a+3=0， 解得，a=﹣3。
一元二次方程提高题
一元二次方程1、代数式(x+2)2+(x-2)2的值与8(x 2-2)的值相等，则x=____.2、若方程x 2-5x+m=0的一个根是1，则m=________.3、已知方程2x 2+(k-1)x-6=0的一个根为2，则k=_______.4、若关于x 的二次方程(m+1)x 2-3x+2=0有两个相等的实数根，则m=______.5、若关于x 的一元二次方程mx 2+3x-4=0有实数根，则m 的值为______.6、方程kx 2+1=x-x 2无实根，则k_____ .7、如果x 2-2(m+1)x+m 2+5是一个完全平方公式，则m= .8、已知方程3x 2-2x-1=0的两根是x 1，x 2，则1211x x +=____；2212x x +=____；2112x x x x +=____；221212x x x x +=____； .________)x (x 221=-；12|x x |-=_______；(x 1＋1)(x 2＋1)=_______；1221x x x 1x 1+++=_______. 9、已知2x 2-(2m+1)x+m+1=0的两根之比是2:3,则m=____. 10、关于x 的方程0q px x 2=++的根为21x ,21x 21-=+=，则p=______，q=____.11、已知方程x 2-x+k=0的两根之比为2，则k 的值为_______.12、以3和32-为根的方程是__________________. 13、以2x 2-3x-1=0的两根平方和及倒数和为根的方程是_____________________.14、以2x 2-5x+1=0的两根的平方为根的方程是_____________________.15、以比3x 2-2x-4=0的两根分别大3的数为根的方程是____________________.16、以2x 2-3x-1=0的两根的相反数为根的方程是____________________.17、已知8x 2-(m-1)x+m-7=0的两根异号，且正根的绝对值大，则m 的取值范围是_________.若它的两根互为相反数，则m=_________.若它的两根互为倒数，则m_________.18、关于x 的一元二次方程x 2+2x+m=0的两根差的平方是16，则m=________.19、已知关于x 的方程2x 2-(4k+1)x+2k 2=1有两个不相等实根，则k 的取值范围是___________.20、关于x 的方程(k-2)x 2-(2k-1)x+k=0有两个不相等实根，则k 的取值范围是___________.21、已知方程kx 2-2kx+k=x 2-x+3有两个不相等实根，则k 的取值范围是___________.22、关于x 的方程2x(kx-4)-x 2+6=0无实根，则k 的最小整数值是_______.23、设x 1，x 2是关于x 的方程x 2+4kx+3=0的两实根.y 1，y 2是关于y 的方程y 2-k 2y+p=0的根.若x 1-y 1=2，x 2-y 2=2，则k=____，p=____.24、已知关于x 的方程2x 2+2x+c=0的根是x 1，x 2，则12|x x |-=那么c 的值是____________. 25、关于x 的方程ax 2－（3a+1）x+2（a+1）=0有两个不相等的实根x 1、x 2，且有x 1－x 1x 2+x 2=1－a ，则a 的值是____________.26、已知a 、b 是一元二次方程x 2－2x －1=0的两个实数根，则代数式（a －b ）（a+b －2）+ab 的值等于____．27、已知关于x 的方程x 2+（2k+1）x+k 2－2=0的两实根的平方和等于11，则k 的值为 ．28、方程x 2-5x+2=0与方程x 2+2x+6=0的所有实数根的和为___________.29、关于x 的方程ax 2+2x+1=0的两个实数根同号，则a 的取值范围是__________.30、设方程3x 2-5x+m=0的两根分别为x 1，x 2，且6x 1+x 2=0，那么m 的值等于__________.31、若方程x 2+mx-15=0的两根之差的绝对值是8，则m= .32、方程x 2-2(m 2-1)x+3m=0的两个根是互为相反数，则m 的值是 .33、一元二次方程一根比另一根大8，且两根之和为6，那么这个方程是 .34、方程ax 2+bx+c=0（a≠0）的两根之和为m ，两根平方和为n ，则11an bm c 22++的值为 . 35、 若一元二次方程的两根x 1、x 2满足关系：x 1x 2+x 1+x 2+2=0，x 1x 2-2x 1-2x 2+5=0.则这个一元二次方程是 .36、已知x 2-(m-1)x-(2m-2)=0两根之和等于两根之积，则m 的值为__________.37、设α、β是方程x 2+x-2012=0的两个实数根，则βαα++22的值为__________. 38、已知实数a 、b 满足等式a 2-2a-1=0，b 2-2b-1=0，求b a a b +的值为 . 39、已知a ，b 是关于x 的方程x 2-(2k+1)x+k(k+1)=0的两个实数根，则a 2+b 2的最小值是 ．40、已知x 1、x 2是方程x 2-3x+1=0的两根，则4x 12+12x 2+11的值为 .41、已知ab ≠0，方程ax 2+bx+c=0的系数满足2b ac 2⎛⎫= ⎪⎝⎭，则方程的两根之比为 . 42、已知α、β是方程x 2＋2x －7＝0的两个实数根。
沪教版 八年级 初二 上册 一元二次方程100道计算题练习(附答案)
一元二次方程100道计算题练习1、)4(5)4(2+=+x x 2、x x 4)1(2=+ 3、22)21()3(x x -=+4、31022=-x x 5、（x+5）2=16 6、2（2x －1）－x （1－2x ）=07、x 2 =64 8、5x 2 - 52=0 9、8（3 -x ）2 –72=010、3x(x+2)=5(x+2) 11、（1－3y ）2+2（3y －1）=0 12、x 2+ 2x + 3=013、x 2+ 6x －5=0 14、x 2－4x+ 3=0 15、x 2－2x －1 =016、2x 2+3x+1=0 17、3x 2+2x －1 =0 18、5x 2－3x+2 =019、7x 2－4x －3 =0 20、 -x 2-x+12 =0 21、x 2－6x+9 =022、22(32)(23)x x -=- 23、x 2-2x-4=0 24、x 2-3=4x25、3x 2＋8 x －3＝0（配方法） 26、(3x ＋2)(x ＋3)＝x ＋14 27、(x+1)(x+8)=-1228、2(x －3) 2＝x 2－9 29、－3x 2＋22x －24＝0 30、（2x-1）2+3（2x-1）+2=031、2x 2－9x ＋8＝0 32、3（x-5）2=x(5-x) 33、(x ＋2) 2＝8x34、(x －2) 2＝(2x ＋3)2 35、2720x x += 36、24410t t -+=37、()()24330x x x -+-= 38、2631350x x -+= 39、()2231210x --=40、2223650x x -+=补充练习：一、利用因式分解法解下列方程(x －2) 2＝(2x-3)2 042=-x x 3(1)33x x x +=+x 2-23x+3=0 ()()0165852=+---x x二、利用开平方法解下列方程51)12(212=-y 4（x-3）2=25 24)23(2=+x三、利用配方法解下列方程25220x x -+= 012632=--x x01072=+-x x四、利用公式法解下列方程－3x 2＋22x －24＝0 2x （x －3）=x －3． 3x 2+5(2x+1)=0五、选用适当的方法解下列方程(x ＋1) 2－3 (x ＋1)＋2＝0 22(21)9(3)x x +=- 2230x x --=21302x x ++= 4)2)(1(13)1(+-=-+x x x x2)2)(113(=--x x x （x ＋1）－5x ＝0. 3x (x －3) ＝2(x －1) (x ＋1).应用题：1、某商场销售一批名牌衬衫，平均每天可售出20件，每件盈利40元，为扩大销售增加盈利，尽快减少库存，商场决定采取适当的降价措施，经调查发现，如果每件衬衫每降价一元，市场每天可多售2件，若商场平均每天盈利1250元，每件衬衫应降价多少元？2、两个正方形，小正方形的边长比大正方形的边长的一半多4 cm ，大正方形的面积比小正方形的面积的2倍少32平方厘米，求大小两个正方形的边长.3、如图，有一块梯形铁板ABCD ，AB ∥CD ，∠A =90°，AB =6 m ，CD =4 m ，AD =2 m ，现在梯形中裁出一内接矩形铁板AEFG ，使E 在AB 上，F 在BC 上，G 在AD 上，若矩形铁板的面积为5 m 2，则矩形的一边EF 长为多少？4、如右图，某小在长32米，区规划宽20米的矩形场地ABCD 上修建三条同样宽的3条小路，使其中两条与AD 平行，一条与AB 平行，其余部分种草，若使草坪的面积为566米2，问小路应为多宽？5、某商店经销一种销售成本为每千克40元的水产品，据市场分析，若按每千克50元销售一个月能售出500千克；销售单价每涨1元，月销售量就减少10千克，商店想在月销售成本不超过1万元的情况下，使得月销售利润达到8000元，销售单价应定为多少？6.某工厂1998年初投资100万元生产某种新产品，1998年底将获得的利润与年初的投资的和作为1999年初的投资，到1999年底，两年共获利润56万元，已知1999年的年获利率比1998年的年获利率多10个百分点，求1998年和1999年的年获利率各是多少？思考：1、关于x 的一元二次方程()04222=-++-a x x a 的一个根为0，则a 的值为 。
初中数学一元二次方程试题
一元二次方程 1. 一元二次方程的一般形式是 ( )A. ax2+bx+c=0B. ax2+bx+c(a≠0)C. ax2+bx+c=0(a≠0)D. ax2+bx+c=0(b≠0)2. 若px2-3x+p2-p=0是关于x 的一元二次方程，则 ( )A. p=1B. p>0C. p≠0D. p 为任意实数3. 关于x 的一元二次方程(3-x)(3+x)-2a(x+1)=5a 的一次项系数为 ( )A. 8aB. -8aC. 2aD. 7a-94. 若(m2-4)x2+3x-5=0是关于x 的一元二次方程，则 ( )A. m≠2B. m≠-2C. m≠-2，或m≠2D. m≠-2，且m≠21．下列方程中是关于x 的一元二次方程的是( ▲ )A ．221xx += B ．ax2＋bx ＋c ＝0 C ．(x －1)(x －2)＝1 D ．3x2－2xy －5y2＝02．下列各式中是一元二次方程的是 （ ）AB ．1)1)(1(2+=--+x x x xC ．1322-+x x D3．关于x 的一元二次方程012=-+kx x 的根的情况A 、有两个不相等的同号实数根B 、有两个不相等的异号实数根C 、有两个相等的实数根D 、没有实数根4．三角形的两边长分别是3和6，第三边是方程 的解，则这个三角形的周长是 （ ）A.11B.13C.11或13D.11和135．上海世博会的某纪念品原价168元，连续两次降价a %后售价为128元，下面所列方程中正确的是0862=+-x xA ．168(1＋a %)2＝128B ．168(1－a %)2＝128C ． 168(1－2a %)＝128D ．168(1－a 2%)＝1286．．关于x 的一元二次方程0122=-+x kx 有两个不相等的实数根，则k 的取值范围是（ ）A ．1->kB ．1>kC ．k ≠0D ．1->k 且k ≠0 7．若关于x 的一元二次方程01)1(22=-++-a x x a 的一个根是0，则（ ）A a =－1B a =1C a =±1D a 的值不能确定8．关于x 的方程（k-2）22-k x +3x-5=0是一元二次方程，则k 的值为（ ）A 、±2B 、2C 、-2D 、±11. 9．白云航空公司有若干个飞机场，每两个飞机场之间都开辟一条航线，一共开辟了10条航线，则这个航空公司共有飞机场（ ）A ．4个B ．5个C ．6个D ．7个10．关于x 的方程(a －5)x 2－4x －1＝0有实数根，则a 满足 （ ）A ．a ≥1B ．a ＞1且a ≠5C ．a ≥1且a ≠5D ．a ≠511．已知锐角A 满足关系式22sin 7sin 30A A -+=，则sin A 的值为（ ）AB ．3C3 D ．4 12．在方程()002≠=++a c bx ax 中，若有0=+-c b a ，则方程必有一根为( )。
八年级下册数学第八章 一元二次方程 全章高频考点专训
(1)A，B两个品种去年平均亩产量分别是多少千克？
解：设 A，B 两个品种去年平均亩产量分别是 x 千克和 y 千克， 根据题意，得y1－0×x2＝.4（10x0＋，y）＝21 600.解得xy＝＝540000.， 答：A，B 两个品种去年平均亩产量分别是 400 千克和 500 千克．
(2)今年，科技小组优化了玉米的种植方法，在保持去年种 植面积不变的情况下，预计 A，B 两个品种平均亩产量 在去年的基础上分别增加 a%和 2a%.由于 B 品种深受市 场欢迎，预计每千克售价将在去年的基础上上涨 a%， 而 A 品种的售价保持不变，A，B 两个品种全部售出后 总收入将增加290a%.求 a 的值．
11 已知 x＝1 是一元二次方程 ax2＋bx－60＝0 的一个根， 且 a≠b，求2aa2－－b22b的值． 解：∵x＝1 是一元二次方程 ax2＋bx－60＝0 的一个根，
∴a＋b－60＝0，∴a＋b＝60.∵a≠b，
∴2aa2－－b22b＝（a＋2（b）a－（ba）－b）＝a＋2 b＝620＝30.
鲁教版八年级
第八章一元二次方程
全章高频考点专训
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1C
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11
2
7
12
3
8
13
4A
9
5
10
答案呈现
1 关于x的方程(a－3)xa2－7－3x－2＝0是一元二次方程，
则( ) C
A．a≠±3B．a＝3C．a＝－3D．a＝±3
2 若关于 x 的一元二次方程 ax2＋bx＋c＝0 有一根为－1，
解：这两个数的和等于一次项系数， 积等于常数项．
10 阅读材料： 把形如 ax2＋bx＋c(a，b，c 为常数)的二次三项式(或其 一部分)配成完全平方式的方法叫做配方法．配方法的基 本形式是完全平方公式的逆写，即 a2±2ab＋b2＝(a±b)2. 例如：(x－1)2＋3，(x－2)2＋2x，12x－22＋34x2 是 x2－ 2x＋4 的三种不同形式的配方，即“余项”分别是常数项、 一次项、二次项．
一元二次方程的应用 2020-2021年度浙教版八年级数学下册同步提升训练(含答案)
2020-2021年度浙教版八年级数学下册《2.3一元二次方程的应用》同步提升训练1．某商场将进货价为20元的玩具以30元售出，平均每天可售出300件，调查发现，该玩具的单价每上涨1元，平均每天就少售出10件．若商场要想平均每天获得3750元利润，则每件玩具应涨价多少元？设每件玩具应涨价x元，则下列说法错误的是（）A．涨价后每件玩具的售价是（30+x）元B．涨价后平均每天少售出玩具的数量是10x件C．涨价后平均每天销售玩具的数量是（300﹣10x）件D．根据题意可列方程为：（30+x）（300﹣10x）＝37502．某市2019年底有2万户5G用户，计划到2021年底全市5G用户数累计达到8.72万户．设全市5G用户数年平均增长率为x，则下列方程正确的是（）A．2（1+2x）＝8.72B．2+2（1+x）+2（1+2x）＝8.72C．2（1+x）2＝8.72D．2+2（1+x）+2（1+x）2＝8.723．在疫情期间，口罩的需求量急剧上升．某口罩生产企业四月份生产了口罩200000只，如果要在第二季度总共生产728000只口罩，设生产口罩月平均增长的百分率为x，则可根据题意列出的方程是（）A．200000（1+x）2＝728000B．200000（1+x）3＝728000C．200000（1+x）+200000（1+x）2＝728000D．200000+200000（1+x）+200000（1+x）2＝7280004．如图，在长为32米、宽为20米的矩形地面上修筑同样宽的道路（图中阴影部分），余下部分种植草坪，要使草坪的面积为540平方米，设道路的宽x米，则可列方程为（）A．32×20﹣32x﹣20x＝540B．（32﹣x）（20﹣x）+x2＝540C．32x+20x＝540D．（32﹣x）（20﹣x）＝5405．某小组有若干人，新年大家互相发一条微信祝福，已知全组共发微信72条，则这个小组的人数为（）A．7人B．8人C．9人D．10人6．某商场销售一批衬衣，平均每天可售出30件，每件衬衣盈利50元．为了扩大销售，增加盈利，尽快减少库存，商场决定采取适当的降价措施，经调查发现，如果每件衬衣降价10元，商场平均每天可多售出20件．若商场平均每天盈利2000元．每件衬衣应降价（）元．A．10B．15C．20D．257．某公司今年销售一种产品，1月份获得利润20万元，由于产品畅销，利润逐月增加，3月份的利润比1月份的利润增加4.2万元，设该产品利润平均每月的增长率为x，则可列方程为．8．如图，在宽为13m，长为24m的矩形场地上修建同样宽的三条小路（横向与纵向垂直），其余部分种草坪，假设草坪面积为264m2，求道路宽为多少？设宽为xm，则列出的方程是．9．如图，在Rt△ABC中，∠ABC＝90°，AB＝6cm，BC＝8cm，动点P从点A出发沿AB 边以1cm/秒的速度向点B匀速移动，同时点Q从点B出发沿BC边以2cm/秒的速度向点C匀速移动，当P、Q两点中有一个点到达终点时，另一个点也停止运动，当△PBQ的面积为5cm2时，则点P、Q运动的时间为秒．10．已知3个连续整数的和为m，它们的平方和是n，且n＝11（m﹣8），则m＝．11．某商场销售一批衬衫，平均每天可售出20件，每件盈利40元．为了扩大销售，增加盈利，商场采取了降价措施．假设在一定范围内，衬衫的单价每降1元，商场平均每天可多售出2件．如果降价后商场销售这批衬衫每天盈利1250元，那么衬衫的单价降了多少元？设衬衫的单价降了x元，则可列方程为．12．一次会议上，每两个参加会议的人都相互握一次手，有人统计一共握手78次，则这次会议参加的人数是．13．某种物品经过两次降价，其价格为降价前的81%，则平均每次降价的百分数为．14．某服装厂生产一批西服，原来每件的成本价是500元，销售价为625元，经市场预测，该产品销售价第一个月将降低20%，第二个月比第一个月提高6%，为了使两个月后的销售利润不变，该产品的成本价平均每月应降低为．15．某超市1月份营业额为90万元，1月、2月、3月总营业额为144万元，设平均每月营业额增长率为x，则可列方程为．16．用一根20m长的绳子围成一个面积为24m2矩形，则矩形的长与宽分别是．17．某种商品，平均每天可销售40件，每件赢利44元，在每件降价幅度不超过10元的情况下，若每件降价1元，则每天可多售5件，若每天要赢利2400元，则每件应降价元．18．五个完全相同的小长方形拼成如图所示的大长方形，大长方形的面积是135cm2，则以小长方形的宽为边长的正方形面积是cm2．19．某服装经营户以20元/件的价格购进一批衣服，以30元/件的价格出售，每天可售出20件．为了促销，该经营户决定降价销售，经调查发现，这种衣服每件降价1元，每天可多售出5件．另外，每天的房租等固定成本共25元，该经营户要想每天盈利200元，应将每件衣服的售价降低多少元？20．全球疫情爆发时，医疗物资极度匮乏，中国许多企业都积极的宣布生产医疗物资以应对疫情，某工厂及时引进了1条口罩生产线生产口罩．经调查发现：1条生产线最大产能是1500万个/天，若每增加1条生产线，每条生产线的最大产能将减少50万个/天，是否能增加生产线，使得每天生产口罩15000万件，若能，应该增加几条生产线？若不能，请说明理由．21．如图，利用足够长的一段围墙，用篱笆围一个长方形的场地，中间用篱笆分别出2个小长方形，与墙平行的一边上各开一扇宽为1米的门，总共用去篱笆34米；（1）为了使这个长方形ABCD的面积为96平方米，求边AB为多少米？（2）用这些篱笆，能使围成的长方形ABCD面积是110平方米吗？说明理由．22．商店销售某种商品，平均每天可售出20件，每件盈利40元．为了扩大销售，增加盈利，该店采取了降价措施，在每件盈利不少于25元的前提下，经过一段时间销售，发现销售单价每降低1元，平均每天可多售出2件．（1）若降价2元，则平均每天销售数量为件；（2）当每件商品降价多少元时，该商店每天销售利润为1050元？23．“疫情”期间，某商场积压了一批商品，现欲尽快清仓，确定降价促销．据调查发现，若每件商品盈利50元时，可售出500件，商品单价每下降1元，则可多售出20件．设每件商品降价x元．（1）每件商品降价x元后，可售出商品件（用含x的代数式表示）．（2）若要使销售该商品的总利润达到28000元，求x的值．（3）销售该商品的总利润能否达到30000元？若能，请求出此时的单价；若不能，请说明理由．24．为深化疫情防控国际合作、共同应对全球公共卫生危机，我国有序开展医疗物资出口工作．2020年10月，国内某企业口罩出口订单额为1000万元，2020年12月该企业口罩出口订单额为1210万元．（1）求该企业2020年10月到12月口罩出口订单额的月平均增长率；（2）按照（1）的月平均增长率，预计该企业2021年1月口罩出口订单额为多少万元？25．在一次聚会上，规定每两个人见面必须握1次手．（1）若参加聚会的人数为6，则共握手次，若参加聚会的人数为n（n为正整数），则共握手次；（2）若参加聚会的人共握手36次，请求出参加聚会的人数；（3）小明由握手问题想到了一个数学问题：若线段AB上共有m个点（不含端点A、B），线段总数为多少呢？请直接写出结论．26．某商店将进价为10元的某种商品以14元售出，平均每天能售出220件．调查发现，这种商品的售价每上涨1元，其销售量就将减少20件．该商店计划通过提高商品售价减少销售量的办法增加利润．（1）若物价部门规定此种商品的每件利润不能超过进价的80%，且商店想要获得平均每天1080元的利润，则这种商品的售价应定为多少？（2）该商店平均每天盈利能否为1200元？参考答案1．解：设涨价x元，根据题意可得：A、∵（30+x）表示涨价后玩具的单价，∴A选项正确，不符合题意；B、∵10x表示涨价后少售出玩具的数量，∴B选项正确，不符合题意；C、∵（300﹣10x）表示涨价后销售玩具的数量，∴C选项正确，不符合题意；D、∵可列方程（30+x﹣20）（300﹣10x）＝3750，故D选项错误，符合题意，故选：D．2．解：依题意得：2（1+x）2＝8.72，故选：C．3．解：设该工厂生产这种零件平均每月的增长率为x，根据题意得：200000+200000（1+x）+200000（1+x）2＝728000．故选：D．4．解：设道路的宽x米，则余下部分可合成长为（32﹣x）m，宽为（20﹣x）m的矩形，依题意得：（32﹣x）（20﹣x）＝540．故选：D．5．解：设这个小组的人数为x人，则每人需发送（x﹣1）条微信，依题意得：x（x﹣1）＝72，整理得：x2﹣x﹣72＝0，解得：x1＝﹣8（不合题意，舍去），x2＝9．故选：C．6．解：设每件衬衫应降价x元．根据题意，得：（50﹣x）（30+2x）＝2000，整理，得x2﹣35x+250＝0，解得x1＝10，x2＝25．∵“增加盈利，减少库存”，∴x1＝10应舍去，∴x＝25．故选：D．7．解：依题意得：20（1+x）2＝20+4.2，故答案为：20（1+x）2＝20+4.2．8．解：设宽为xm，（13﹣x）（24﹣2x）＝264．故答案为：（32﹣2x）（20﹣x）＝570．9．解：8÷2＝4（秒）．设运动时间为x秒（0＜x＜4），则PB＝（6﹣x）cm，BQ＝2xcm，依题意得：×2x×（6﹣x）＝5，整理得：x2﹣6x+5＝0，解得：x1＝1，x2＝5（不合题意，舍去）．故答案为：1．10．解：设三个整数分别为a，a+1，a+2，所以m＝3a+3，n＝a2+（a+1）2+（a+2）2＝3a2+6a+5，由n＝11（m﹣8），所以3a2+6a+5＝11（3a﹣5），解得a＝4或5，则m＝15或18．11．解：由题意可得，（40﹣x）（20+2x）＝1250，故答案为：（40﹣x）（20+2x）＝1250．12．解：设参加会议有x人，依题意得：x（x﹣1）＝78，整理得：x2﹣x﹣156＝0解得x1＝13，x2＝﹣12，（舍去）．答：参加这次会议的有13人，故答案为13．13．解：设平均每次降价的百分数为x，根据题意得：（1﹣x）2＝81%，开方得：1﹣x＝0.9或1﹣x＝﹣0.9，解得：x1＝0.1＝10%，x2＝1.9，则平均每次降价得百分数为10%．故答案为：10%．14．解：设该产品的成本价平均每月降低率为x，依题意得625（1﹣20%）（1+6%）﹣500（1﹣x）2＝625﹣500，整理得500（1﹣x）2＝405，（1﹣x）2＝0.81，∴1﹣x＝±0.9，∴x＝1±0.9，x1＝1.9（舍去），x2＝0.1＝10%．答：该产品的成本价平均每月应降低10%．故答案为10%．15．解：设平均每月营业额的增长率为x，则第二个月的营业额为：90×（1+x），第三个月的营业额为：90×（1+x）2，则由题意列方程为：90（1+x）+90（1+x）2＝144﹣90．故答案是：90（1+x）+90（1+x）2＝144﹣90．16．解：设矩形的长为xm，则宽为m，依题意，得：x•＝24，整理，得：x2﹣10x+24＝0，解得：x1＝6，x2＝4．∵x≥，∴x≥5，∴x＝6，＝4．故答案为：6m，4m．17．解：设每件服装应降价x元，根据题意，得：（44﹣x）（40+5x）＝2400解方程得x＝4或x＝32，∵在降价幅度不超过10元的情况下，∴x＝32不合题意舍去，答：每件服装应降价4元．故答案是：4．18．解：设小长方形的长为xcm，宽为xcm，根据题意得：（x+2×x）•x＝135，解得：x＝9或x＝﹣9（舍去），则x＝3．所以3×3＝9（cm2）．故答案为：9．19．解：设应将每件衣服的售价降低x元，则每件的利润为（30﹣20﹣x）元，每天可售出（20+5x）件，依题意得：（30﹣20﹣x）（20+5x）﹣25＝200，整理得：x²﹣6x+5＝0，解得：x1＝1，x2＝5．答：应将每件衣服的售价降低1元或5元．20．解：设增加a条生产线，则每条生产线的最大产能为（1500﹣50a）万件/天,依题意，得：(1+a)(1500﹣50a)＝15000,化简得:a2﹣29a+270＝0,∵△＝(﹣29)2﹣4×1×270＝﹣239＜0方程无解．∴不能增加生产线，使得每天生产口罩15000万件．21．解：（1）设AB的长为x米，依题意的方程：x（36﹣3x）＝96，解得：x1＝4，x2＝8，答：当AB的长度为4米或8米时，长方形ABCD的面积为96平方米；（2）假设长方形ABCD的面积是110平方米，依题意得：x（36﹣3x）＝110．即3x2﹣36x+110＝0，∵△＝（﹣36）2﹣4×3×110＝﹣24＜0，∴该一元二次方程无实数根，∴假设不成立，∴长方形ABCD的面积是不能为110平方米．22．解：（1）20+2×2＝24（件）．故答案为：24．（2）设当每件商品降价x元时，该商店每天销售利润为1050元，则每件盈利（40﹣x）元，平均每天的销售量为（20+2x）件，依题意得：（40﹣x）（20+2x）＝1050，整理得：x2﹣30x+125＝0，解得：x1＝5，x2＝25．当x＝5时，40﹣x＝35＞25，符合题意；当x＝25时，40﹣x＝15＜25，不合题意，舍去．答：当每件商品降价5元时，该商店每天销售利润为1050元．23．解：（1）每件商品降价x元后，可售出商品件（500+20x）件；故答案为：（500+20x）；（2）根据题意得：（50﹣x）（500+20x）＝28000，解得x1＝10，x2＝15，∵尽快清仓，∴x1＝10舍去，答：x的值为15；（3）（50﹣x）（500+20x）＝30000整理得：x2﹣25x+250＝0，b2﹣4ac＝625﹣1000＜0，方程无解，所以总利润不能达到30000元．24．解：（1）设该企业2020年10月到12月口罩出口订单额的月平均增长率为x，依题意得：1000（1+x）2＝1210，解得：x1＝0.1＝10%，x2＝﹣2.1（不合题意，舍去）．答：该企业2020年10月到12月口罩出口订单额的月平均增长率为10%．（2）1210×（1+10%）＝1331（万元）．答：预计该企业2021年1月口罩出口订单额为1331万元．25．解：（1）若参加聚会的人数为6，共握手×6×5＝15（次），若参加聚会的人数为n（n为正整数），共握手n（n﹣1）（次）．故答案为：15；n（n﹣1）．（2）依题意得：n（n﹣1）＝36，整理得：n2﹣n﹣72＝0，解得：n1＝9，n2＝﹣8（不合题意，舍去）．答：参加聚会的人数为9人．（3）∵线段AB上共有（m+2）（包含端点A、B）个点，∴线段总数为（m+2）（m+1）（条）．26．解：（1）设这种商品的售价应定为x元，则每件的销售利润为（x﹣10）元，日销售量为220﹣20（x﹣14）＝（500﹣20x）件，依题意得：（x﹣10）（500﹣20x）＝1080，整理得：x2﹣35x+304＝0，解得：x1＝16，x2＝19．∵10×（1+80%）＝18（元），16＜18＜19，∴x＝16．答：这种商品的售价应定为16元．（2）设这种商品的售价应定为y元，则每件的销售利润为（y﹣10）元，日销售量为220﹣20（y﹣14）＝（500﹣20y）件，依题意得：（y﹣10）（500﹣20y）＝1200，整理得：y2﹣35y+310＝0．∵△＝（﹣35）2﹣4×1×310＝﹣15＜0，∴该方程无实数根，∴该商店平均每天盈利不能为1200元．第11 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八年级上学期数学期末专题：一元二次方程综合(原题和解析)
【期末压轴题】专题02：一元二次方程综合（原卷版）学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________一、单选题1．关于x 的一元二次方程240x x k -+=有两个不相等的实数根，则实数k 的取值范围是（ ） A ．4k ≤B ．4k <C ．4k ≥D ．4k >2．对于实数a 、b ，定义运算“★”：a★b=22()()a b a b b a a b ⎧-≤⎨-⎩＞，关于x 的方程（2x+1）★（2x -3）=t 恰好有两个不相等的实数根，则t 的取值范围是（ ） A ．t ＜154B ．t ＞154C ．t ＜174-D ．t ＞174-3．常凯申公司一月份利润是1万元，二月份、三月份平均每月增长10％，则第一季度的总利润是（ ） A ．（1＋10％）2万元：B ．（1＋10％）10％万元：C ．[（1＋10％）＋（1＋10％）2]万元：D ．[1＋（1＋10％）＋（1＋10％）2]万元．4．（2021·上海闵行·八年级期末）用换元法解方程21x x ++21x x +=2时，若设21x x +=y ，则原方程可化为关于y 的方程是( ) A ．y 2﹣2y +1=0B ．y 2+2y +1=0C ．y 2+y +2=0D ．y 2+y ﹣2=05．一元二次方程x 2﹣5x +6＝0的解为（ ） A ．x 1＝2，x 2＝﹣3 B ．x 1＝﹣2，x 2＝3 C ．x 1＝﹣2，x 2＝﹣3D ．x 1＝2，x 2＝36．如果关于x 的一元二次方程20(a 0)++=≠ax bx c 有两个实数根，且其中一个根比另一个根大1，那么称这样的方程为“邻根方程”．若关于x 的方程210,(ax bx a b ++=是常数，0)a >是“邻根方程”，令28t a b =-，则t 的最大值为（ ） A．2B ．C ．4D ．2-7．一元二次方程2520x x -=的解是（ ） A ．10x =，225x =- B ．10x =，225x =C ．10x =252x =-D ．10x =，252x =8．某年级举行篮球比赛，赛制为单循环赛，即每一个球队都和其它的球队进行一场比赛，已知共举行了21场比赛，那么共有（ ）支队伍参加了比赛． A ．7B ．6C ．12D ．149．（2021·上海市川沙中学南校八年级期中）下列方程一定是一元二次方程的是（ ）A ．xy x y +=；B ．20x ++=；C ．220ax x +=；D ．()2521x x x x -=--．10．（2021·上海市川沙中学南校八年级期中）下列关于x 的二次三项式在实数范围内不能够因式分解的是（ ）A ．244x x -+；B ．22352x xy y --；C ．229y y -+；D ．21y -．二、填空题 11．（2021·上海松江·八年级期中）若等腰三角形的一边长是4，另两边的长是关于x 的方程260x x n -+=的两个根，则n 的值为______．12．（2021·上海市南洋模范中学八年级）已知三角形两边长分别是2和9，第三边的长为一元二次方程214480x x -+=的一个根，则这个三角形的周长为__________．13．（2021·上海市民立中学八年级）若关于x 的方程ax 2+bx +c ＝0（a ≠0）满足a ﹣b +c ＝0，称此方程为“天宫”方程．若方程a 2x 2﹣2021ax +1＝0（a ≠0）是“天宫”方程，求a 2+2022a +220211a a +﹣20211aa +的值是 ___．14．（2021·上海市泗塘中学八年级）若m 2x 3﹣（2x +1）2+（n ﹣3）x +5＝0是关于x 的一元二次方程，且不含x 的一次项，则m ＝___，n ＝___．15．（2021·上海市泗塘中学八年级）当x ＝___ ___．16．（2021·上海市实验学校八年级期中）若a ，b ，c 为等腰三角形的三边长且a ＝2，其中b ，c 是方程x 2﹣3x +m ＝0的两根．则m ＝__________________17．（2021·上海松江·八年级期中）已知关于x 的方程20(a 0)++=≠ax bx c 的两个根为12x =，23x =，则方程2(1)(1)0a x b x c ++++=的两根为________．18．（2021·上海杨浦·八年级期中）已知x ＝a 是关于x 的一元二次方程x 2+3x ﹣2＝0的根，则﹣2623a a-＝___．三、解答题19．（2021·上海市罗南中学八年级）解关于x 的一元二次方程()282--=x x mx ，其中m 是满足不等式组430530m m +>⎧⎨->⎩的整数．20．（2021·上海市泗塘中学八年级）已知一元二次方程（m +1）x 2+（2m ﹣3）x +（m ﹣2）＝0．（1）如果方程有一根x 1＝0，求m 的值和另一个根x 2． （2）如果方程有两个不相等的实数根，求m 的取值范围．21．（2021·a 是整数，试解关于x 的一元二次方程x 2﹣5＝x （ax ﹣2）﹣2．22．（2021·上海浦东新·八年级期中）要使关于x 的方程24(1)40ax a x a --+=有实数根，整数a 取得的最大值是多少？23．（2021·上海市第四中学八年级）如图，机器人利用吸盘爬大楼玻璃幕墙，要用8分钟的时间先垂直向上，再水平横行，最后垂直下行，完成如图矩形三边A →B →C →D 的行程，若上、下行速度都是3米/分钟，横行速度是4米/分钟，问如何安排上、下行和横行的时间，才能使矩形ABCD 的面积为72m 2，而且机器人走的路线较短？24．（2021·上海市进才中学北校八年级）阅读理解：法国数学家韦达在研究一元二次方程时有一项重大发现：如果一元二次方程5x 2+3x ﹣2＝0的两个根分别是x 1，x 2，那么x 1+x 2＝﹣ba，x 1x 2＝ca，以上定理称为韦达定理．例如：已知方程5x 2+3x ﹣2＝0的两根分别为x 1，x 2，则：x 1+x 2＝﹣b a ＝﹣35，x 1x 2＝c a ＝25-＝﹣25请阅读后，运用韦达定理完成以下问题：（1）已知方程4x 2﹣3x ﹣6＝0的两根分别为x 1，x 2，求x 1+x 2和x 1x 2的值． （2）已知方程x 2+3x ﹣5＝0的两根分别为x 1，x 2，求221211x x +的值． （3）当k 取何值时，关于x 的一元二次方程3x 2﹣2（3k +1）x +3k 2﹣1＝0的两个实数根互为倒数？25．（2021·上海松江·八年级期中）已知关于x 的方程2(1)(23)1m x m x m ++++=有两个相等的实数根，求m 的值及方程的根．26．（2021·上海同济大学附属存志学校八年级期中）已知关于x 的方程x 2+（2k ﹣1）x +k 2﹣3＝0，是否存在实数k ，使（2x 1﹣x 2）（2x 2﹣x 1）+20＝0成立？若存在，请求出实数k 的值；若不存在，请说明理由．27．（2021·上海同济大学附属存志学校八年级期中）若α为一元二次方程x 2﹣x +t ＝0的根；（1）则方程的另外一个根β＝ ，t ＝ ； （2）求α6+8β的值．（3）求作一个关于y 的一元二次方程，二次项系数为1，且两根分别为α2，β2． 28．（2021·上海市民办新竹园中学八年级）在实数范围内因式分解 （1）2442y y +-； （2）2235x xy y --．【期末压轴题】专题02：一元二次方程综合（解析版）学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________一、单选题1．关于x 的一元二次方程240x x k -+=有两个不相等的实数根，则实数k 的取值范围是（ ） A ．4k ≤ B ．4k <C ．4k ≥D ．4k >【标准答案】B 【思路点拨】由方程有两个不相等的实数根结合根的判别式，可得出★=36-4k ＞0，解之即可得出实数k 的取值范围． 【精准解析】★方程x 2-4x+k=0有两个不相等的实数根， ★★=（-4）2-4k=16-4k ＞0， 解得：k ＜4． 故选：B ． 【名师指导】此题考查根的判别式，牢记“当★＞0时，方程有两个不相等的实数根”是解题的关键．2．对于实数a 、b ，定义运算“★”：a★b=22()()a b a b b a a b ⎧-≤⎨-⎩＞，关于x 的方程（2x+1）★（2x -3）=t 恰好有两个不相等的实数根，则t 的取值范围是（ ） A ．t ＜154B ．t ＞154C ．t ＜174-D ．t ＞174-【标准答案】D 【思路点拨】分两种情况：★当2x+1≤2x -3成立时；★当2x+1＞2x -3成立时；进行讨论即可求解． 【精准解析】解：★当2x+1≤2x -3成立时，即1≤-3，矛盾；所以a≤b 时不成立； ★当2x+1＞2x -3成立时，即1＞-3，所以a ＞b 时成立； 则（2x -3）2-（2x+1）=t ， 化简得：4x 2-14x+8-t=0，该一元二次方程有两个不相等的实数根， ★=142-4×4×（8-t ）＞0； 解得：t ＞174-．【名师指导】本题考查了根的判别式：一元二次方程ax 2+bx+c=0（a≠0）的根与★=b 2-4ac 有如下关系：当★＞0时，方程有两个不相等的实数根；当★=0时，方程有两个相等的实数根；当★＜0时，方程无实数根．同时考查了新定义的运算．3．常凯申公司一月份利润是1万元，二月份、三月份平均每月增长10％，则第一季度的总利润是（ ） A ．（1＋10％）2万元：B ．（1＋10％）10％万元：C ．[（1＋10％）＋（1＋10％）2]万元：D ．[1＋（1＋10％）＋（1＋10％）2]万元．【标准答案】D 【思路点拨】首先表示出二月份的利润：1月份的利润×(1+10%)，再表示出三月份利润：2月份的利润×(1+10%)，然后把三个月的利润加起来即可． 【精准解析】解：由题意得：二月份的利润为：1×(1+10%)=(1+10%) 三月份的利润为：1×(1+10%)(1+10%)=(1+10%)2 故第一季度的利润为：1+(1+10%)+(1+10%)2万元. 故选：D ． 【名师指导】此题主要考查了一元二次方程的应用--增长率问题，若设变化前的量为a ，变化后的量为b ，平均变化率为x ，则经过两次变化后的数量关系为a(1±x)2=b ．得到三月份的产量的等量关系是解决本题的关键．4．（2021·上海闵行·八年级期末）用换元法解方程21x x ++21x x +=2时，若设21x x +=y ，则原方程可化为关于y 的方程是( ) A ．y 2﹣2y +1=0 B ．y 2+2y +1=0C ．y 2+y +2=0D ．y 2+y ﹣2=0【标准答案】A 【思路点拨】方程的两个分式具备倒数关系，设21x x +=y ，则原方程化为y+1y =2，再转化为整式方程y 2-2y+1=0即可求解． 【精准解析】 把21x x+=y 代入原方程得：y +1y =2，转化为整式方程为y 2﹣2y +1=0． 故选：A ．考查了换元法解分式方程，换元法解分式方程时常用方法之一，它能够把一些分式方程化繁为简，化难为易，对此应注意总结能用换元法解的分式方程的特点，寻找解题技巧． 5．一元二次方程x 2﹣5x +6＝0的解为（ ） A ．x 1＝2，x 2＝﹣3 B ．x 1＝﹣2，x 2＝3 C ．x 1＝﹣2，x 2＝﹣3 D ．x 1＝2，x 2＝3【标准答案】D 【思路点拨】利用因式分解法解方程． 【精准解析】解：（x ﹣2）（x ﹣3）＝0， x ﹣2＝0或x ﹣3＝0， ★x 1＝2，x 2＝3． 故选：D ． 【名师指导】本题考查了解一元二次方程-因式分解法：因式分解法就是利用因式分解求出方程的解的方法，这种方法简便易用，是解一元二次方程最常用的方法．6．如果关于x 的一元二次方程20(a 0)++=≠ax bx c 有两个实数根，且其中一个根比另一个根大1，那么称这样的方程为“邻根方程”．若关于x 的方程210,(ax bx a b ++=是常数，0)a >是“邻根方程”，令28t a b =-，则t 的最大值为（ ）A ．2B ．C ．4D ．2-【标准答案】C 【思路点拨】根据“邻根方程”的定义求出224b a a -=，代入28t a b =-进行配方求出最大值即可． 【精准解析】解：设1x 、2x 是方程210,(ax bx a b ++=是常数，0)a >的两根，解得，1x =，2x =★原方程是“邻根方程”1=1=224b a a ∴-= 224b a a ∴=+()22228844(2)4t a b a a a a a a ∴=-=-+=-+=--+★当a=2时，t 有最大值，最大值为4． 故选C. 【名师指导】本题考查一元二次方程，解题的关键是熟练运用一元二次方程的解法以及正确理解“邻根方程”的定义，本题属于中等题型．7．一元二次方程2520x x -=的解是（ ） A ．10x =，225x =- B ．10x =，225x =C ．10x =252x =-D ．10x =，252x =【标准答案】B 【思路点拨】利用提公因式分进行因式分解，再解方程，即可得到答案． 【精准解析】 解：x （5x -2）=0， x=0或5x -2=0， 所以10x =或225x =． 故选：B ． 【名师指导】本题考查了解一元二次方程-因式分解法：因式分解法就是利用因式分解求出方程的解的方法，这种方法简便易用，是解一元二次方程最常用的方法．8．某年级举行篮球比赛，赛制为单循环赛，即每一个球队都和其它的球队进行一场比赛，已知共举行了21场比赛，那么共有（ ）支队伍参加了比赛． A ．7B ．6C ．12D ．14【标准答案】A 【思路点拨】赛制为单循环形式（每两队之间都赛一场），x 个球队比赛总场数＝12x （x ﹣1），即可列方程求解． 【精准解析】解：设有x 个队，每个队都要赛（x ﹣1）场，但两队之间只有一场比赛，12x （x ﹣1）＝21，解得x ＝7或x ＝﹣6（舍去）． 故应邀请7支队伍参加比赛． 故选：A ． 【名师指导】本题主要考查了一元二次方程的应用，根据比赛场数与参赛队之间的关系为：比赛场数＝队数×（队数﹣1）÷2，进而得出方程是解题关键．9．（2021·上海市川沙中学南校八年级期中）下列方程一定是一元二次方程的是（ ）A ．xy x y +=；B ．20x ++=；C ．220ax x +=；D ．()2521x x x x -=--．【标准答案】B 【思路点拨】根据一元二次方程的定义，即只含有一个未知数，并且未知数的最高次数是2的整式方程是一元二次方程判断即可； 【精准解析】xy x y +=有两个未知数，不是一元二次方程，故A 错误；20x +是一元二次方程，故B 正确；220ax x +=中a 的取值不确定，故C 错误；()2521x x x x -=--化简后没有二次项，故D 错误；故选B ． 【名师指导】本题主要考查了一元二次方程的定义，准确分析判断是解题的关键．10．（2021·上海市川沙中学南校八年级期中）下列关于x 的二次三项式在实数范围内不能够因式分解的是（ ）A ．244x x -+；B ．22352x xy y --；C ．229y y -+；D ．21y -．【标准答案】C 【思路点拨】利用完全平方公式把A 分解，利用十字乘法把B 分解，再分别令229=0,y y -+21=0,y -再计算根的判别式，从而可判断C ，D ，从而可得答案. 【精准解析】解：()22442,x x x -+=-故A 不符合题意；()()22352=32,x xy y x y x y --+-故B 不符合题意； 令229=0,y y -+则4419320,=-⨯⨯=-<所以229y y -+在实数范围内不能分解，故C 符合题意；令21=0,y -则()2=4241160,b ac -=-⨯⨯-=>y ∴=12y y ∴==21=,y y y ⎛∴- ⎝⎭⎝⎭故D 不符合题意； 故选：C 【名师指导】本题考查的是因式分解，一元二次方程的解法，根的判别式，掌握利用公式法解一元二次方程，进而分解因式是解题的关键.二、填空题 11．（2021·上海松江·八年级期中）若等腰三角形的一边长是4，另两边的长是关于x 的方程260x x n -+=的两个根，则n 的值为______．【标准答案】8或9 【思路点拨】分4为等腰三角形的腰长和4为等腰三角形的底边长两种情况，再利用一元二次方程根的定义、根的判别式求解即可得． 【精准解析】解：由题意，分以下两种情况：（1）当4为等腰三角形的腰长时，则4是关于x 的方程260x x n -+=的一个根， 因此有24640-⨯+=n ， 解得8n =，则方程为2680x x -+=，解得另一个根为2x =，此时等腰三角形的三边长分别为2,4,4，满足三角形的三边关系定理；（2）当4为等腰三角形的底边长时，则关于x 的方程260x x n -+=有两个相等的实数根， 因此，根的判别式3640n ∆=-=， 解得9n =，则方程为2690x x -+=，解得方程的根为123x x ==，此时等腰三角形的三边长分别为3,3,4，满足三角形的三边关系定理； 综上，n 的值为8或9， 故答案为：8或9． 【名师指导】本题考查了一元二次方程根的定义、根的判别式、等腰三角形的定义等知识点，正确分两种情况讨论是解题关键．需注意的是，要检验三边长是否满足三角形的三边关系定理． 12．（2021·上海市南洋模范中学八年级）已知三角形两边长分别是2和9，第三边的长为一元二次方程214480x x -+=的一个根，则这个三角形的周长为__________．【标准答案】19【思路点拨】利用因式分解法可得方程的两根，那么根据三角形的三边关系，得到符合题意的边，进而求得三角形周长即可．【精准解析】解：解方程214480x x -+=得第三边的边长为6或8，依据三角形三边关系，不难判定边长2，6，9不能构成三角形，2，8，9能构成三角形， ★三角形的周长=2+8+9=19．故答案为：19．【名师指导】本题考查了解一元二次方程——因式分解法和三角形三边关系，求三角形的周长，不能盲目地将三边长相加起来，而应养成检验三边长能否成三角形的好习惯．13．（2021·上海市民立中学八年级）若关于x 的方程ax 2+bx +c ＝0（a ≠0）满足a ﹣b +c ＝0，称此方程为“天宫”方程．若方程a 2x 2﹣2021ax +1＝0（a ≠0）是“天宫”方程，求a 2+2022a +220211a a +﹣20211a a +的值是 ___． 【标准答案】2023-【思路点拨】利用新定义得到“天宫”方程的一个解为1x =-，则2202110a a ++=，然后利用整体代入的方法计算．【精准解析】解：★关于x 的方程ax 2+bx +c ＝0（a ≠0）满足a ﹣b +c ＝0，★“天宫”方程的一个解为1x =-，方程22202110(0)a x ax a -+=≠是“天宫”方程，2202110a a ∴++=，220211a a ∴+=-，212021a a +=-，220211a a +=-， ∴2220212022120211a a a a a a ++-++ 2220212021120211a a a a a a a =+++-++2202112021a a a a a=-++--- 111a a =-+-+ 12a a=+- 212a a+=- 20212a a-=- 20212=--2023=-．故答案为：2023-．【名师指导】本题考查一元二次方程的解：能使一元二次方程左右两边相等的未知数的值是一元二次方程的解．利用整体代入的方法计算是解决本题的关键．14．（2021·上海市泗塘中学八年级）若m 2x 3﹣（2x +1）2+（n ﹣3）x +5＝0是关于x 的一元二次方程，且不含x 的一次项，则m ＝___，n ＝___．【标准答案】0 7【思路点拨】首先把方程变为一元二次方程的一般形式2324(7)40m x x n x -+-+=，再根据题意可得20,70m n =-=，进而可得答案．【精准解析】解：m 2x 3﹣（2x +1）2+（n ﹣3）x +5＝0，整理得，2324(7)40m x x n x -+-+=，★为一元二次方程且不含x 的一次项，★20,70m n =-=，解得0,7m n ==，故答案为：0，7．【名师指导】此题主要考查了一元二次方程的一般形式，关键是掌握任何一个关于x 的一元二次方程经过整理，都能化成如下形式ax 2+bx +c =0（a ≠0）．15．（2021·上海市泗塘中学八年级）当x ＝___ ___．【标准答案】-1【思路点拨】把x x ++22410配方得：x +22(+1)8，即可解决．【精准解析】★x ≥22(+1)0★x +≥22(+1)88当x =-1时，x +22(+1)8=故答案为：-1，【名师指导】本题考查了配方法及求最小值，关键是配方．16．（2021·上海市实验学校八年级期中）若a ，b ，c 为等腰三角形的三边长且a ＝2，其中b ，c 是方程x 2﹣3x +m ＝0的两根．则m ＝__________________ 【标准答案】94或2 【思路点拨】分a 为底边长及a 为腰长两种情况考虑：当a 为底边长时，由根的判别式∆＝0可求出m 的值，将m 的值代入原方程解之可得出等腰三角形的两腰长，利用三角形的三边关系可确定m ＝94符合题意；当a 为腰长时，将a ＝2代入原方程可求出m 的值，将m 的值代入原方程解之可得出等腰三角形的底边长，利用三角形的三边关系可确定m ＝2符合题意．综上，此题得解．【精准解析】解：当a 为底边长时，∆＝（﹣3）2﹣4×1×m ＝0，解得：m ＝94， 此时原方程为x 2﹣3x +94＝0，解得：x 1＝x 2＝32． ★以2，32，32为长度的三边能组成三角形， ★m ＝94符合题意； 当a 为腰长时，将a ＝2代入原方程，得：4﹣6+m ＝0，解得：m ＝2，此时原方程为x 2﹣3x +2＝0，解得：x 1＝2，x 2＝1．★以2，2，1为长度的三边能组成三角形，★m ＝2符合题意．故答案为：94或2． 【名师指导】此题考查等腰三角形的性质，一元二次方程的根的判别式，解一元二次方程，以及三角形的三边关系，正确掌握各知识点并解决问题是解题的关键．17．（2021·上海松江·八年级期中）已知关于x 的方程20(a 0)++=≠ax bx c 的两个根为12x =，23x =，则方程2(1)(1)0a x b x c ++++=的两根为________．【标准答案】1x =或2x =【思路点拨】观察给出的两个方程可知：2和3也是关于1x +的方程2(1)(1)0a x b x c ++++=的两根，由此即可求得答案．【精准解析】解：根据题意可得：题目所给的两个方程的系数、结构都相同，★2和3也是关于1x +的方程2(1)(1)0a x b x c ++++=的两根，★12x +=或13x +=，解得：1x =或2x =，故答案为：1x =或2x =．【名师指导】本题考查了一元二次方程的解的定义，解决本题的关键是根据给出的方程特点，得到两个方程的解的关系．18．（2021·上海杨浦·八年级期中）已知x ＝a 是关于x 的一元二次方程x 2+3x ﹣2＝0的根，则﹣2623a a-＝___． 【标准答案】6-【思路点拨】把x a =代入已知方程，得到223a a =-，整体代入所求的代数式进行求值即可．【精准解析】解：★x ＝a 是关于x 的一元二次方程x 2+3x ﹣2＝0的根，★把x a =代入已知方程，则223a a =-， ★22266623a a a a-=-=--． 故答案为：6-．【名师指导】考查了一元二次方程的解，能使一元二次方程左右两边相等的未知数的值是一元二次方程的解．又因为只含有一个未知数的方程的解也叫做这个方程的根，所以，一元二次方程的解也称为一元二次方程的根．三、解答题19．（2021·上海市罗南中学八年级）解关于x 的一元二次方程()282--=x x mx ，其中m 是满足不等式组430530m m +>⎧⎨->⎩的整数． 【标准答案】0m =，方程的解为12x =，24x =-【思路点拨】通过解关于m 的不等式组以及一元二次方程的定义求得m 的值；然后利用因式分解法解关于x 的一元二次方程即可．【精准解析】解：430530m m +>⎧⎨->⎩①②， 由★得：34m >-， 由★得：53m <， ★不等式组430530m m +>⎧⎨->⎩解集是：3543m -<<， ∴整数m 的值为0或1；将()282--=x x mx 整理得：2(1)802m x x --=+，又★2(1)802m x x --=+是关于x 的一元二次方程，10m ∴-≠，即1m ≠，0m ∴=，∴关于x 的一元二次方程是2280x x +-=，即(2)(4)0x x -+=，20x ∴-=或40x +=，★12x =，24x =-．【名师指导】本题考查了解一元二次方程--因式分解法、一元二次方程的定义以及一元一次不等式组的整数解．注意一元二次方程的二次项系数不为零．20．（2021·上海市泗塘中学八年级）已知一元二次方程（m +1）x 2+（2m ﹣3）x +（m ﹣2）＝0．（1）如果方程有一根x 1＝0，求m 的值和另一个根x 2．（2）如果方程有两个不相等的实数根，求m 的取值范围．【标准答案】（1）2m =，213x =-；（2）178m <且1m ≠-． 【思路点拨】（1）将10x =代入一元二次方程解得m ，然后将m 代回原方程进行求解，即可得出方程的另一个根；（2）方程有两个不相等的实数根，根据一元二次方程根的判别式：240b ac =->，将方程的系数代入可得不等式，求解即可得出m 的取值范围．【精准解析】解：（1）将10x =代入一元二次方程可得：20m -=，解得：2m =，将2m =代回原方程()()()212320m x m x m ++-+-=可得：230x x +=，()310x x +=，解得：10x =，213x =-， 另一个根为：213x =-； （2）方程有两个不相等的实数根，根据一元二次方程根的判别式：240b ac =->，可得：()()()2234120m m m --+->， 解得：178m <， ()()()212320m x m x m ++-+-=为一元二次方程，★10m +≠，★1m ≠-， 综上可得：178m <且1m ≠-． 【名师指导】题目主要考查解一元二次方程的因式分解法和方程根的判别式以及求解不等式的解集，熟练掌握一元二次方程的解法及不等式的解法是解题关键．21．（2021·a 是整数，试解关于x 的一元二次方程x 2﹣5＝x （ax ﹣2）﹣2． 【标准答案】当0a =时，方程的根为11x =，23x =-；当2a =时，方程没有实数根．【思路点拨】先根据二次根式有意义求得a 的取值范围，进而可求得a 的整数值，再逐个代入一元二次方程求解即可，注意a ＝1时，方程不是一元二次方程，故a ＝1舍去．【精准解析】解：★210520a a +≥⎧⎨->⎩， 解得：0.5 2.5a -≤<，又★a 是整数，★0,1,2a =，当0a =时，方程为2522x x -=--，整理得：2230x x +-=，解得：11x =，23x =-，当1a =时，方程为22522x x x -=--，即522x -=--，此方程为一元一次方程，不符合题意，★1a =舍去，当2a =时，方程为225222x x x -=--，整理得：2230x x -+=，★224(2)41380b ac -=--⨯⨯=-<，★此方程没有实数根，综上所述，当0a =时，方程的根为11x =，23x =-；当2a =时，方程没有实数根．【名师指导】本题考查了二次根式有意义的条件以及一元二次方程的定义及解法，熟练掌握一元二次方程的解法是解决本题的关键．22．（2021·上海浦东新·八年级期中）要使关于x 的方程24(1)40ax a x a --+=有实数根，整数a 取得的最大值是多少？【标准答案】0a =【思路点拨】分0a =和0a ≠两种情况讨论，分别求出a 的取值，综合分析即可求解．【精准解析】解：当0a=时，关于x的方程为一元一次方程，40x=，解得0x=，满足条件；当0a≠时，关于x的方程为一元二次方程，2216(1)160a a∆=--≥，解得12a≤，★a是整数且0a≠，★1a=-；综上所述，0a=．【名师指导】本题考查了解一元一次方程和根据一元二次方程根的情况求字母取值，理解题意，分类讨论，熟知一元二次方程的根的判别式相关知识是解题关键．23．（2021·上海市第四中学八年级）如图，机器人利用吸盘爬大楼玻璃幕墙，要用8分钟的时间先垂直向上，再水平横行，最后垂直下行，完成如图矩形三边A→B→C→D的行程，若上、下行速度都是3米/分钟，横行速度是4米/分钟，问如何安排上、下行和横行的时间，才能使矩形ABCD的面积为72m2，而且机器人走的路线较短？【标准答案】应该安排上、下行和横行的时间分别为3分钟、3分钟、2分钟，能使得矩形ABCD的面积为72平方米，而且机器人走的路较短．【思路点拨】设安排机器人上行的时间为x分钟，则下行的时间也为x分钟，横行的时间为(8-2x)分钟，根据题意列出一元二次方程，求解再比较即可求解．【精准解析】解：设安排机器人上行的时间为x分钟，则下行的时间也为x分钟，横行的时间为(8-2x)分钟，根据题意，得3x⨯4(8-2x)=72，整理，得x2-4x+3=0，解得：x1=1，x2=3，当x =1时，机器人走的路程为2×3×1+4×(8-2×1) =30(米)；当x =3时，机器人走的路程为2×3×3+4×(8-2×3)=26(米)；★26<30，★取x =3，从而8-2x =2，答：应该安排上、下行和横行的时间分别为3分钟、3分钟、2分钟，能使得矩形ABCD 的面积为72平方米，而且机器人走的路较短．【名师指导】本题考查了一元二次方程的应用，理清题中的数量关系并正确列得方程，是解题的关键． 24．（2021·上海市进才中学北校八年级）阅读理解：法国数学家韦达在研究一元二次方程时有一项重大发现：如果一元二次方程5x 2+3x ﹣2＝0的两个根分别是x 1，x 2，那么x 1+x 2＝﹣b a ，x 1x 2＝c a，以上定理称为韦达定理．例如：已知方程5x 2+3x ﹣2＝0的两根分别为x 1，x 2，则：x 1+x 2＝﹣b a ＝﹣35，x 1x 2＝c a ＝25-＝﹣25请阅读后，运用韦达定理完成以下问题：（1）已知方程4x 2﹣3x ﹣6＝0的两根分别为x 1，x 2，求x 1+x 2和x 1x 2的值．（2）已知方程x 2+3x ﹣5＝0的两根分别为x 1，x 2，求221211x x +的值． （3）当k 取何值时，关于x 的一元二次方程3x 2﹣2（3k +1）x +3k 2﹣1＝0的两个实数根互为倒数？【标准答案】（1）34，32-；（2）1925；（3）． 【思路点拨】（1）分别利用一元二次方程根与系数的关系求解即可．（2）先把所求的代数式变形为含有12x x +和12x x 的形式，然后利用根与系数的关系进行解答．（3）依据题意可得2123113k x x -==，解关于k 的一元二次方程即可． 【精准解析】解：（1）123344x x -+=-=，126342x x -==-； （2）123x x +=-，125x x =-， ∴222212*********121212()211(3)2(5)1925()()(5)x x x x x x x x x x x x ++---⨯-+====-； （3）关于x 的一元二次方程2232(31)310x k x k -++-=的两个实数根互为倒数，2123113k x x -∴==， 2313k ∴-=，解得k = 【名师指导】 本题主要考查了根与系数的关系及解一元二次方程，根与系数的关系中，12b x x a +=-，12c x x a=中a 、b 、c 所表示的意义是解题的关键． 25．（2021·上海松江·八年级期中）已知关于x 的方程2(1)(23)1m x m x m ++++=有两个相等的实数根，求m 的值及方程的根． 【标准答案】1312m =-，125x x ==． 【思路点拨】首先根据原方程根的情况，利用根的判别式求出m 的值，即可确定原一元二次方程，进而可求出方程的根．【精准解析】解：将原方程变形移项得：2(1)(23)10m x m x m ++++-=，关于x 的方程2(1)(23)10m x m x m ++++-=有两个相等的实数根，∴240b ac -=， ★1,23,1a m b m c m =+=+=-，★2(23)4(1)(1)0m m m +-+-=， 解得：1312m =-， 当1312m =-时，方程为21525012612x x -+-=， 整理，得：210250x x -+=，2(5)0x ∴-=，解得125x x ==．【名师指导】此题考查了根的判别式，一元二次方程根的情况与判别式24b ac -的关系：（1）24b ac -0>⇔方程有两个不相等的实数根；（2）24b ac -0=⇔方程有两个相等的实数根；（3）24b ac -0<⇔方程没有实数根．也考查了一元二次方程的解法．26．（2021·上海同济大学附属存志学校八年级期中）已知关于x 的方程x 2+（2k ﹣1）x +k 2﹣3＝0，是否存在实数k ，使（2x 1﹣x 2）（2x 2﹣x 1）+20＝0成立？若存在，请求出实数k的值；若不存在，请说明理由．【标准答案】存在，1k =或-9【思路点拨】先计算一元二次方程根的判别式，进而根据根与系数的关系求得1212,x x x x +的值，代入等式，结合判别式即可求得k 的值．【精准解析】存在，理由如下，x 2+（2k ﹣1）x +k 2﹣3＝0，∴21,21,3a b k c k ==-=-2224(21)4(3)413b ac k k k ∆=-=---=-+当0∆≥，即134k ≤时， 2121212,3b c x x k x x k a a∴+=-=-==- （2x 1﹣x 2）（2x 2﹣x 1）+20＝0即22121212422200x x x x x x --++=()2121220290x x x x ∴-++=()22202129270k k --+-= 解得11k =,29k =-134k ≤ 1k ∴=或-9【名师指导】本题考查了解一元二次方程，一元二次方程根与系数的关系，根的判别式，理解根与系数的关系在一元二次方程有实根的情况下使用是解题的关键．27．（2021·上海同济大学附属存志学校八年级期中）若α为一元二次方程x 2﹣x +t ＝0的根；（1）则方程的另外一个根β＝ ，t ＝ ；（2）求α6+8β的值．（3）求作一个关于y 的一元二次方程，二次项系数为1，且两根分别为α2，β2．【标准答案】（1；1-；（2）98+（3）2310y y -+= 【思路点拨】（1）根据根于系数的关系列式计算即可；（2）由幂的乘方运算，完全平方式的运算法则计算即可；（3）由根与系数的关系计算出相关数值，即可写出满足题意的一元二次方程．【精准解析】解：（1）★α和β是一元二次方程的两个根★1αβ+=，t αβ=又★α★1β==，414t -==-1- （2）68αβ+★66α=⎝⎭(662=((426566464++===94=+884β==-★68αβ+94498=+-=+（3）★22α=⎝⎭，22β==⎝⎭★221234αβ+=+==2216116αβ===⎝⎭⎝⎭ ★关于y 的一元二次方程为：2310y y -+=【名师指导】本题考查一元二次方程根与系数的关系，幂的乘方，完全平方式等相关知识点，牢记知识点并能够灵活应用是解题关键．28．（2021·上海市民办新竹园中学八年级）在实数范围内因式分解（1）2442y y +-；（2）2235x xy y --．【标准答案】（1）(2121y y ++；（2）3x x y ⎛⎫⎛⎫ ⎪⎪ ⎪⎪⎝⎭⎝⎭【思路点拨】（1）先拆项，再根据完全平方公式变形，最后根据平方差公式分解即可； （2）首先解方程得出方程的根进而分解因式．【精准解析】解：（1）2442y y +-=24413y y ++-=()2213y +-=(2121y y ++；（2）令2235x xy y --=0，()()22254337y y y =--⨯⨯-=△，★x★x x ，★2235x xy y --=3x y x y ⎛⎫⎛⎫ ⎪⎪ ⎪⎪⎝⎭⎝⎭． 【名师指导】此题主要考查了在实属范围内分解因式，正确求出方程的根是解题关键．。
沪科版八年级一元二次方程的解法综合练习题及应用题
一元二次方程概念一、选择题1．在下列方程中，一元二次方程的个数是（）．①3x2+7=0 ②ax2+bx+c=0 ③（x-2）（x+5）=x2-1 ④3x2-5x=0A．1个B．2个C．3个D．4个2．方程2x2=3（x-6）化为一般形式后二次项系数、•一次项系数和常数项分别为（）．A．2，3，-6 B．2，-3，18 C．2，-3，6 D．2，3，6 3．px2-3x+p2-q=0是关于x的一元二次方程，则（）．A．p=1 B．p>0 C．p≠0 D．p为任意实数二、填空题1．方程3x2-3=2x+1的二次项系数为________，一次项系数为_________，常数项为_________．2．一元二次方程的一般形式是__________．3．关于x的方程（a-1）x2+3x=0是一元二次方程，则a的取值范围是______．三、综合提高题1．a满足什么条件时，关于x的方程a（x2+x）（x+1）是一元二次方程？2．关于x的方程（2m2+m）x m+1+3x=6可能是一元二次方程吗？为什么？一元二次方程的根一、选择题1．方程x（x-1）=2的两根为（）．A．x1=0，x2=1 B．x1=0，x2=-1 C．x1=1，x2=2 D．x1=-1，x2=2 2．方程ax（x-b）+（b-x）=0的根是（）．A．x1=b，x2=a B．x1=b，x2=1aC．x1=a，x2=1aD．x1=a2，x2=b2 3．已知x=-1是方程ax2+bx+c=0的根（b≠0）（）．A．1 B．-1 C．0 D．2二、填空题1．如果x2-81=0，那么x2-81=0的两个根分别是x1=____，x2=_______．2．已知方程5x2+mx-6=0的一个根是x=3，则m的值为________．3．方程（x+1）2x+1）=0，那么方程的根x1=______；x2=________．三、综合提高题1．如果x=1是方程ax2+bx+3=0的一个根，求（a-b）2+4ab的值．2．如果关于x的一元二次方程ax2+bx+c=0（a≠0）中的二次项系数与常数项之和等于一次项系数，求证：-1必是该方程的一个根．一元二次方程-----根的判别式一、选择题1.一元二次方程x2-ax+1=0的两实数根相等，则a的值为（）．A．a=0 B．a=2或a=-2C．a=2 D．a=2或a=02．已知k≠1，一元二次方程（k-1）x2+kx+1=0有根，则k的取值范围是（）．A．k≠2 B．k>2 C．k<2且k≠1 D．k为一切实数二、填空题1．已知方程x2+px+q=0有两个相等的实数，则p与q的关系是_______．2．不解方程，判定2x2-3=4x的根的情况是______3．已知b≠0，不解方程，试判定关于x的一元二次方程x2-（2a+b）x+（a+ab-2b2）•=0的根的情况是________．三、综合提高题1．不解方程，试判定下列方程根的情况．（1）2+5x=3x2（2）x2-（2．当c<0时，判别方程x2+bx+c=0的根的情况．3．不解方程，判别关于x的方程x2-2kx+（2k-1）=0的根的情况．4．某集团公司为适应市场竞争，赶超世界先进水平，每年将销售总额的8%作为新产品开发研究资金，该集团2000年投入新产品开发研究资金为4000万元，2002年销售总额为7.2亿元，求该集团2000年到2002年的年销售总额的平均增长率．例1、利用因式分解法解下列方程(x－2) 2＝(2x-3)2 042=-xx3(1)33x x x+=+x2()()0165852=+---xx例2、利用开平方法解下列方程51)12(212=-y4（x-3）2=25 24)23(2=+x例3、利用配方法解下列方程220x -+= 012632=--x x7x=4x 2+2 01072=+-x x例4、利用公式法解下列方程－3x 2＋22x －24＝0 2x （x －3）=x －3 3x 2+5(2x+1)=0课后练习1、方程2x 2-3x+1=0化为(x+a)2=b 的形式,正确的是 ( )A 、 23162x ⎛⎫-= ⎪⎝⎭B 、2312416x ⎛⎫-= ⎪⎝⎭ C 、231416x ⎛⎫-= ⎪⎝⎭D 、都不对2、用__________________法解方程(x-2)2=4比较简便。
一元二次方程综合提高训练卷(20大题)
一元二次方程综合提高训练卷（20大题）1．先化简，再求值：(a−2aa+1)÷a2−2a+1a2−1−a2，其中a是方程x2−x−72=0的解．2．某商场销售一批名牌衬衫，平均每天可售出20件，每件盈利44元，为了扩大销售，尽快减少库存，商场决定采取适当的降价措施，经调查发现，如果每件衬衫降价1元，商场每天可多售5件．若商场平均每天要盈利1600元，每件衬衫应降价多少元？3．已知关于x的一元二次方程x2﹣（m+1）x+14m2+1＝0的两根是一个矩形两邻边的长．（1）m取何值时，方程有两个正实数根．（2）当矩形的对角线长为√5时，求m的值．4．已知关于x的一元二次方程x2+（4m+1）x+2m﹣1＝0；（1）求证：不论m任何实数，方程总有两个不相等的实数根；（2）若方程的两根为x1、x2且满足1x1+1x2=−12，求m的值．5．等腰△ABC的直角边AB＝BC＝10cm，点P、Q分别从A、C两点同时出发，均以1cm/秒的相同速度做直线运动，已知P沿射线AB运动，Q沿边BC的延长线运动，PQ与直线AC相交于点D．设P点运动时间为t，△PCQ的面积为S．（1）求出S关于t的函数关系式；（2）当点P运动几秒时，S△PCQ＝S△ABC？（3）作PE⊥AC于点E，当点P、Q运动时，线段DE的长度是否改变？证明你的结论．6．每年的3月8日是国际劳动妇女节，是世界各国妇女争取和平、平等、发展的节日，沙坪坝某商店抓住这一机会，将A 、B 两种巧克力进行降价促销活动，在这一天前来购买这两种巧克力的顾客共有400名，每名顾客均购买了一盒巧克力，其中A 、B 两种的巧克力的销售单价分别为90元和50元．（1）若选择购买B 种巧克力的人数不超过购买A 种巧克力数的0.6倍．求至少有多少人选择购买A 种巧克力？（2）“七夕”节是中国的情人节，该商店估计当天购买巧克力的人会比较多，于是提高了A 种巧克力的售价，结果发现“七夕”节当天前来购买巧克力的顾客人数出现了下降，经统计发现与（1）问中选择A 种巧克力的人数最少时相比，A 种巧克力每上涨3元，购买A 种巧克力的人数会下降5人，同时购买B 种巧克力的人数也下降3人，但是B 种巧克力的售价没变，最终“七夕”节期间两种巧克力的总销售额与（1）问中选择A 种巧克力的顾客最少时的两种巧克力的总销售额持平，求“七夕”节当天A 种巧克力的售价．7．西南大学银翔实验中学第二届缤纷科技节于2019年5月份隆重举行，主题：绿色体验•成长﹣玩出你的稀缺竞争力”，本届缤纷科技节有展示类、体验类、竞赛类共40多个项目.4月份，学校对活动中所需物品统一购，其中某一体验类项目需要A 、B 两种材料，已知A 种材料单价32元/套，B 种材料单价24元/套，活动需要A 、B 两种材料共50套计划购买A 、B 两种材料总费用不超过1392元． （1）若按计划采购，最多能购买A 种材料多少套？（2）在实际来购过程中，受多方面因素的影响，与（1）中最多购买A 种材料的计划相比，实际采购A 种材料数量的增加了34a %，B 种材料的数量减少413a %（A 、B 材料的数量均为整数），实际采购A 种材料的单价减少了38a %，B 种材料的单价增加112a %，且实际总费用比按（1）中最多购买A 种材料的总费用多了16元，求a ．8．已知关于x 的一元二次方程x 2+3x ﹣m ＝0有实数根． （1）求m 的取值范围（2）若两实数根分别为x 1和x 2，且x 12+x 22=11，求m 的值．9．如图，四边形ACDE是证明勾股定理时用到的一个图形，a，b，c是Rt△ABC和Rt△BED 边长，易知AE=√2c，这时我们把关于x的形如ax2+√2cx+b=0的一元二次方程称为“勾系一元二次方程”．请解决下列问题：（1）写出一个“勾系一元二次方程”；（2）求证：关于x的“勾系一元二次方程”ax2+√2cx+b=0必有实数根；（3）若x＝﹣1是“勾系一元二次方程”ax2+√2cx+b=0的一个根，且四边形ACDE 的周长是6√2，求△ABC面积．10．已知关于x的方程（m2﹣1）x2﹣3（3m﹣1）x+18＝0有两个正整数根（m是正整数）．△ABC的三边a、b、c满足c=2√3，m2+a2m﹣8a＝0，m2+b2m﹣8b＝0．求：（1）m的值；（2）△ABC的面积．11．阅读下列材料：求函数y=3x2+2xx2+x+0.25的最大值．解：将原函数转化成x的一元二次方程，得(y−3)x2+(y−2)x+14y=0．∵x为实数，∴△=(y−2)2−4(y−3)×14y=−y+4≥0，∴y≤4．因此，y的最大值为4．根据材料给你的启示，求函数y=3x2+x+2x2+2x+1的最小值．12．端午节期间，某食品店平均每天可卖出300只粽子，卖出1只粽子的利润是1元．经调查发现，零售单价每降0.1元，每天可多卖出100只粽子．为了使每天获取的利润更多，该店决定把零售单价下降m（0＜m＜1）元．（1）零售单价下降m元后，该店平均每天可卖出只粽子，利润为元．（2）在不考虑其他因素的条件下，当m定为多少时，才能使该店每天获取的利润是420元并且卖出的粽子更多？13．菜农李伟种植的某蔬菜计划以每千克5元的单价对外批发销售，由于部分菜农盲目扩大种植，造成该蔬菜滞销．李伟为了加快销售，减少损失，对价格经过两次下调后，以每千克3.2元的单价对外批发销售．（1）求平均每次下调的百分率；（2）小华准备到李伟处购买5吨该蔬菜，因数量多，李伟决定再给予两种优惠方案以供选择：方案一：打九折销售；方案二：不打折，每吨优惠现金200元．试问小华选择哪种方案更优惠，请说明理由．14．观察下面方程的解法x4﹣13x2+36＝0解：原方程可化为（x2﹣4）（x2﹣9）＝0∴（x+2）（x﹣2）（x+3）（x﹣3）＝0∴x+2＝0或x﹣2＝0或x+3＝0或x﹣3＝0∴x1＝2，x2＝﹣2，x3＝3，x4＝﹣3你能否求出方程x2﹣3|x|+2＝0的解？15．在前面的学习中，我们通过对同一面积的不同表达和比较，根据图1和图2发现并验证了平方差公式和完全平方公式．这种利用面积关系解决问题的方法，使抽象的数量关系因几何直观而形象化．【研究速算】提出问题：47×43，56×54，79×71，…是一些十位数字相同，且个位数字之和是10的两个两位数相乘的算式，是否可以找到一种速算方法？几何建模：用矩形的面积表示两个正数的乘积，以47×43为例：（1）画长为47，宽为43的矩形，如图3，将这个47×43的矩形从右边切下长40，宽3的一条，拼接到原矩形上面．（2）分析：原矩形面积可以有两种不同的表达方式：47×43的矩形面积或（40+7+3）×40的矩形与右上角3×7的矩形面积之和，即47×43＝（40+10）×40+3×7＝5×4×100+3×7＝2021．用文字表述47×43的速算方法是：十位数字4加1的和与4相乘，再乘以100，加上个位数字3与7的积，构成运算结果．归纳提炼：两个十位数字相同，并且个位数字之和是10的两位数相乘的速算方法是（用文字表述）．【研究方程】提出问题：怎样图解一元二次方程x2+2x﹣35＝0（x＞0）？几何建模：（1）变形：x（x+2）＝35．（2）画四个长为x+2，宽为x的矩形，构造图4（3）分析：图中的大正方形面积可以有两种不同的表达方式，（x+x+2）2或四个长x+2，宽x的矩形面积之和，加上中间边长为2的小正方形面积．即（x+x+2）2＝4x（x+2）+22∵x（x+2）＝35∴（x+x+2）2＝4×35+22∴（2x+2）2＝144∵x＞0∴x＝5归纳提炼：求关于x的一元二次方程x（x+b）＝c（x＞0，b＞0，c＞0）的解．要求参照上述研究方法，画出示意图，并写出几何建模步骤（用钢笔或圆珠笔画图，并注明相关线段的长）【研究不等关系】提出问题：怎样运用矩形面积表示（y+3）（y+2）与2y+5的大小关系（其中y＞0）？几何建模：（1）画长y+3，宽y+2的矩形，按图5方式分割（2）变形：2y+5＝（y+3）+（y+2）（3）分析：图5中大矩形的面积可以表示为（y+3）（y+2）；阴影部分面积可以表示为（y+3）×1，画点部分的面积可表示为y+2，由图形的部分与整体的关系可知（y+3）（y+2）＞（y+3）+（y+2），即（y+3）（y+2）＞2y+5归纳提炼：当a＞2，b＞2时，表示ab与a+b的大小关系．根据题意，设a＝2+m，b＝2+n（m＞0，n＞0），要求参照上述研究方法，画出示意图，并写出几何建模步骤（用钢笔或圆珠笔画图并注明相关线段的长）16．若x1，x2是关于x的方程x2+bx+c＝0的两个实数根，且|x1|+|x2|＝2|k|（k是整数），则称方程x2+bx+c＝0为“偶系二次方程”．如方程x2﹣6x﹣27＝0，x2﹣2x﹣8＝0，x2+3x−274=0，x2+6x﹣27＝0，x2+4x+4＝0，都是“偶系二次方程”．（1）判断方程x2+x﹣12＝0是否是“偶系二次方程”，并说明理由；（2）对于任意一个整数b，是否存在实数c，使得关于x的方程x2+bx+c＝0是“偶系二次方程”，并说明理由．17．已知关于x的一元二次方程x2﹣（2k+1）x+k2+2k＝0有两个实数根x1，x2．（1）求实数k的取值范围；（2）是否存在实数k使得x1•x2﹣x12﹣x22≥0成立？若存在，请求出k的值；若不存在，请说明理由．18．“关爱留守儿童，关注农民工子弟教育”已逐渐成为政府以及社会关心的一大民生问题，下表是某电视台2011年一民生栏目组调查的数据：类别现状户数比例A父母常年在外打工，孩子留在老家由老人照顾200B父母常年在外打工，孩子带在身边10%C父母就近在城镇打工，晚上回家照顾孩子25%D父母在家务农，并照顾孩子15%（1）请将统计表中的空缺数据填写完整；（2）若2013年此电视台民生栏目组再次抽查，样本容量不变，但B类所占比例提高到了12.1%，求B类户数平均每年的增长率．19．已知关于x的一元二次方程x2﹣（2k+1）x+k2+k＝0．（1）求证：方程有两个不相等的实数根；（2）若△ABC的两边AB，AC的长是这个方程的两个实数根．第三边BC的长为5，当△ABC是等腰三角形时，求k的值．20．已知：如图，在△ABC中，∠B＝90°，AB＝5cm，BC＝7cm．点P从点A开始沿AB 边向点B以1cm/s的速度移动，点Q从点B开始沿BC边向点C以2cm/s的速度移动．（1）如果P，Q分别从A，B同时出发，那么几秒后，△PBQ的面积等于6cm2？（2）如果P，Q分别从A，B同时出发，那么几秒后，PQ的长度等于5cm？（3）在（1）中，△PQB的面积能否等于8cm2？说明理由．。
第17章一元二次方程(基础、常考、易错、压轴)分类专项训练(解析版)
第17章一元二次方程（基础、常考、易错、压轴）分类专项训练【基础】一、单选题1．（2022·上海·八年级期末）下列关于x 的方程一定有实数根的是（ ）A ．0x a -=B ．210ax -=C ．10ax -=D ．20x a -=【答案】A【分析】分别根据方程的解得定义，从a 的取值出发进行判断．【详解】解：A 、0x a -=有实数解x a =，故符合；B 、210ax -=，当a=0时，等式不成立，即方程无实数解，故不符合；C 、10ax -=，当a=0时，等式不成立，即方程无实数解，故不符合；D 、20x a -=，当a ＜0时，等式不成立，即方程无实数解，故不符合；故选A ．【点睛】本题考查了方程的解，解题的关键是理解方程的解的定义，对a 值进行取值验证．2．（2022·上海松江·八年级期末）某果园今年栽种果树300棵，现计划扩大种植面积，使今后两年的栽种量都比前一年增长一个相同的百分数，这样三年（包括今年）的总栽种量为2100棵．若这个百分数为x ，则由题意可列方程为（ ）A ．2300(1)2100x +=B ．2300300(1)2100x ++=C ．2300(1)300(1)2100x x +++-D ．2300300(1)300(1)2100x x ++++=【答案】D【分析】先表示出各年栽种果树棵数，进而列出方程即可．【详解】解：设这个百分数为x ，今年栽种果树300棵，第二年栽种果树300（1+x ）棵，第三年栽种果树300（1+x ）2棵，根据题意列方程得，300+300（1+x ）+300（1+x ）2＝2100，故选：D ．【点睛】此题主要考查了一元二次方程的应用，分别表示出各年的栽种数量是解题关键．3．（2022·上海徐汇·八年级期末）下列方程中，没有实数根的是（ ）A ．2310x x --=B ．230x x -=C ．2210x x -+=D ．2230x x -+=【答案】D【分析】利用一元二次方程根的判别式，即可求解．【详解】解：A 、()()2341130D =--´-=> ，所以方程有两个不相等的实数根，故本选项不符合题意；B 、()234090D =--´=>，所以方程有两个不相等的实数根，故本选项不符合题意；C 、()22410D =--´=，所以方程有两个相等的实数根，故本选项不符合题意；D 、()224380D =--´=-<，所以方程没有的实数根，故本选项符合题意；故选：D【点睛】本题主要考查了一元二次方程根的判别式，熟练掌握二次函数()20y ax bx c a =++¹ ，当240b ac D =-> 时，方程有两个不相等的实数根；当240b ac D =-= 时，方程有两个相等的实数根；当240b ac D =-< 时，方程没有实数根是解题的关键．4．（2022·上海市刘行新华实验学校八年级阶段练习）关于x 的方程220x kx k -+-=，下列说法中正确的是（ ）A ．有两个不相等的实数根B ．有两个相等的实数根C ．没有实数根D ．无法确定【答案】A【分析】计算出Δ=（-k ）2-4×1×（k -2）=（k -2）2+4＞0即可得出结论．【详解】解：Δ=（-k ）2-4×1×（k -2）=（k -2）2+4＞0，所以方程有两个不相等的实数根．故选：A ．【点睛】本题主要考查根的判别式，一元二次方程ax 2+bx +c =0（a ≠0）的根与Δ=b 2-4ac 有如下关系：①当Δ＞0时，方程有两个不相等的实数根；②当Δ=0时，方程有两个相等的实数根；③当Δ＜0时，方程无实数根．二、填空题5．（2022·上海市刘行新华实验学校八年级阶段练习）若方程3x 2－5x －2=0有一个根是a ，则6a 2－10a 的值为______【答案】4【分析】根据一元二次方程的解的定义，将x =a 代入方程3x 2-5x -2=0，列出关于a 的一元二次方程，通过变形求得3a 2-5a 的值后，将其整体代入所求的代数式并求值即可．【详解】解：∵方程3x2-5x-2=0的一个根是a，∴3a2-5a-2=0，∴3a2-5a=2，∴6a2-10a=2（3a2-5a）=2×2=4．故答案是：4．【点睛】此题主要考查了方程解的定义．此类题型的特点是，利用方程解的定义找到相等关系，再把所求的代数式化简后整理出所找到的相等关系的形式，再把此相等关系整体代入所求代数式，即可求出代数式的值．6．（2022·上海·八年级期中）现代互联网技术的广泛应用，催生了快递行业的高速发展，某快递公司今年3月份和5月份完成投送的快递件数分别是20万件和24.2万件，假设该公司每月投送快递件数的增长率相等，那么该公司每月的增长率是_____．【答案】10%【分析】设该快递公司投递快递总件数的月平均增长率为x，根据今年3月份和5月份完成投递的快递总件数分别为20万件和24.2万件即可得出关于x的一元二次方程，解之取其正值即可得出结论．【详解】解：设该快递公司投递快递总件数的月平均增长率为x，由题意，得20（1+x）2=24.2，解得：x1=10%，x2=-210%（不合题意舍去）．答：该快递公司投递快递总件数的月平均增长率为10%．故答案是：10%．【点睛】本题考查了一元二次方程的应用，解题的关键是：根据3月份与5月份完成投递的快递总件数之间的关系列出关于x的一元二次方程．7．（2022·上海市崇明区横沙中学八年级期末）方程22x x=的解是________．8．（2022·上海市罗星中学八年级期末）方程222x x x -=-的根是______．【答案】121,2x x ==【分析】根据因式分解法解一元二次方程即可求解．【详解】解：222x x x -=-，()()220x x x ---=，()()120x x --=，解得121,2x x ==．故答案为：121,2x x ==．【点睛】本题考查了因式分解法解一元二次方程，掌握解一元二次方程的方法是解题的关键．9．（2022·上海市罗南中学八年级阶段练习）用换元法解分式方程222232x x x x x x+=++时，如果设22x y x x=+，那么原方程化为关于y 的整式方程是_______________．10．（2022·上海市刘行新华实验学校八年级阶段练习）已知k 是方程2201810x x -+=的一个根，那么1kk +=______；2220182017k 1k k -++______．11．（2022·上海市崇明区横沙中学八年级期末）如果关于x的方程22(21)0x m x m--+=有两个不相等的实数根，那么m的取值范围是________．【答案】14m<##0.25m<12．（2022·上海市崇明区横沙中学八年级期末）如果m 是方程2340x x --=的一个根，那么代数式226m m -的值为________．【答案】8【分析】由方程的解的定义可知2340m m --=，即234m m -=．将226m m -变形为22(3)m m -，再整体代入求值即可．【详解】∵m 是方程2340x x --=的一个根，∴2340m m --=，∴234m m -=，∴22262(3)248m m m m -=-=´=．故答案为：8【点睛】本题考查一元二次方程的解的定义，代数式求值．利用整体代入的思想是解题关键．13．（2022·上海·八年级期末）疫情期间，某快递公司推出无接触配送服务，第一周的订单数是5万件，第三周的订单数比第一周增加2.8万件，如果设平均每周订单数的增长率为x ，那么符合题意的方程是 ___．【答案】5（1+x ）2=5+2.8【分析】根据该快递公司第一周及第三周订单总件数，即可得出关于x 的一元二次方程，此题得解．【详解】解：设平均每周订单数的增长率为x ，根据题意得：5（1+x ）2=5+2.8，故答案为：5（1+x ）2=5+2.8．【点睛】本题考查了由实际问题抽象出一元二次方程，找准等量关系，找到等量关系是正确列出一元二次方程的关键．三、解答题14．（2022·上海·八年级专题练习）自“双减”政策推行以来，基层教师的工作时间持续增加，已知第一周平均工作时长为40小时，到第三周时，教师周工作时间为48.4小时，若这几周工作时间的增长率相同，求这个增长率．【答案】这个增长率为10%【分析】设这几周工作时间的增长率为x ，根据题意列方程求解即可．【详解】解：设这几周工作时间的增长率为x ，由题意可得：240(1)48.4x +=解得10.1x =，2 2.1x =-（舍去）答：这个增长率为10%【点睛】此题考查了一元二次方程的应用，解题的关键是理解题意找到等量关系，列出方程．15．（2022·上海·八年级专题练习）为加快新旧动能转换，提高公司经济效益，某公司决定对近期研发出的一种电子产品进行降价促销，使生产的电子产品能够及时售出，根据市场调查：这种电子产品销售单价定为200元时，每天可售出300个；若销售单价每降低1元，每天可多售出5个．已知每个电子产品的固定成本为100元，问这种电子产品降价后的销售单价为多少元时，公司每天可获利32000元？【答案】销售单价为180元时，公司每天可获利32000元【分析】根据题意设降价后的销售单价为x 元，由题意得到1003005200[32000]x x -+-（）（）＝，则可得到答案.【详解】解：设降价后的销售单价为x 元，则降价后每天可售出3005200[]x +-（）个，依题意，得：1003005200[32000]x x -+-（）（）＝，整理，得：2360324000x x +﹣＝，解得：12180x x ＝＝．180200＜，符合题意．答：这种电子产品降价后的销售单价为180元时，公司每天可获利32000元．【点睛】本题考查一元二次方程的实际应用，解题的关键是熟练掌握一元二次方程的实际应用.16．（2022·上海市罗南中学八年级阶段练习）已知2x =是关于x 的方程320x x ax --=的一个根，求a 的值并解此方程．【答案】1232021a x x x ====-，，，【分析】将2x =代入即可求出a 的值，再利用因式分解法求方程的解．【详解】解：将2x =代入320x x ax --=得：8420a --=，解得2a =，∴原方程为：3220x x x --=，∴(2)(1)0x x x -+=，∴123021x x x ===-，，．【点睛】本题考查方程的解，因式分解法解方程，熟练运用因式分解是解题的关键．17．（2022·上海市刘行新华实验学校八年级阶段练习）关于x 的一元二次方程()2104k kx k x +++=．(1)若该方程有两个不相等的实数根，求k 的取值范围；(2)若该方程有两个相等的实数根，求该方程的解．18．（2022·上海市刘行新华实验学校八年级阶段练习）解方程：2132-+=x x x 【答案】x 1=2，x 2=-0.5．【分析】先整理为一般式，再利用因式分解法求解可得．【详解】解：将方程整理为一般式为2x 2-3x -2=0，∵（x-2）（2x+1）=0，∴x-2=0或2x+1=0，解得x1=2，x2=-0.5．【点睛】本题主要考查解一元二次方程的能力，熟练掌握解一元二次方程的几种常用方法：直接开平方法、因式分解法、公式法、配方法，结合方程的特点选择合适、简便的方法是解题的关键．19．（2022·上海市崇明区横沙中学八年级期末）解方程：21320 32x x-++-=20．（2022·上海·八年级专题练习）去年某商店第一季度营业额为120万元，第二季度的营业额比第一季度增长了25%，第三、第四季度营业额的增长率相同，且第四季度的营业额为216万元．求：（1）该店第二季度的营业额；（2）该店第三、第四季度营业额的增长率．（2）设该店第三、第四季度营业额的增长率为x ，150（1＋x ）2＝216，解得x 1＝0.2，x 2＝﹣2.2（舍去），答：该店第三、第四季度营业额的增长率是20%．【点睛】本题主要考查了一元二次方程的应用，明确题意，准确得到等量关系是解题的关键．21．（2022·上海·八年级专题练习）如图，某建筑工程队在一堵墙边上用20米长的铁栏围成一个面积为60平方米的长方形仓库，已知可利用的墙长是11米，铁栅栏只围三边，且在正下方要造一个2米宽的门．问：以上要求所围成长方形的两条邻边的长分别是多少米？【答案】仓库的长与宽分别为10米和6米【分析】仓库的宽为x 米，则可以知道该仓库的长为：()2022222x x -+=-米，然后根据长方形面积公式列出方程求解即可．【详解】解：设仓库的宽为x 米，根据题意，可以知道该仓库的长为：()2022222x x -+=-米由题意可列出方程：()22260x x -=整理，得211300x x -+=，解方程，得15=x ，26x =，当5x =时，长=22212x -=，不合题意舍去，当6x =时，长=22210x -=，符合题意，答：仓库的长与宽分别为10米和6米．【点睛】本题主要考查了一元二次方程的应用，解题的关键在于能够准确根据题意列出方程求解．22．（2022·上海·八年级专题练习）某纸箱厂要生产一批无盖纸盒，购进了长为20厘米，宽为16厘米的长方形硬纸板，将硬纸板的四个角剪掉四个小正方形（如图所示），剩下的部分正好做成无盖纸盒（不计损耗），若纸盒的底面面积为140平方厘米，则剪下的小正方形的边长是多少厘米？【答案】3厘米【分析】根据题意设小正方形的边长为x ，则底面为长为()202x -厘米，宽为()162x -厘米的长方形，根据其面积为140平方厘米，建立一元二次方程，解方程求解即可，并根据条件取舍结果．【详解】解：设设小正方形的边长为x ，根据题意得：()202x -()162x -140=解得123,15x x ==Q 宽为()162x -0>解得4x <3x \=答：剪下的小正方形的边长是3厘米【点睛】本题考查了一元二次方程的应用，根据题意列出一元二次方程是解题的关键．23．（2022·上海·八年级专题练习）制造一种产品，原来每件成本价500元，销售价625元，经市场预测，两个月后销售价将下降15.2%，为保证利润不变，必须降低成本，问平均每个月下降成本的百分比是多少？【答案】平均每个月下降成本的百分比是10%．【分析】设平均每个月成本下降x ，分别表示出下降后的售价及成本即可列出方程求解．【详解】解：设平均每个月成本下降x ，根据题意得：625（1-15.2%）-500（1-x ）2=625-500，解得：x =-1.9（舍去）或x =0.1=10%，答：平均每个月下降成本的百分比是10%．【点睛】本题考查了一元二次方程的应用，解题的关键是表示出下降后的成本和售价，难度不大．24．（2022·上海·八年级期中）如图，在一块长为30米，宽为20米的长方形空地上，建两幢底部是长方形的小楼房，其余部分铺设草坪．要求这些草坪的宽都相等，并且两幢小楼房的底部面积的和与草坪的面积的比是1:3，求草坪的宽度．25．（2022·上海·八年级专题练习）如图，根据防疫的相关要求，学生入校需晨检，体温超标的同学须进入临时隔离区进行留观．我校要建一个面积为10平方米的长方形临时隔离区，隔离区的一面利用学校边墙（墙长4.5米），其它三面用防疫隔离材料搭建，与墙垂直的一边还要开一扇1米宽的进出口（不需材料），共用防疫隔离材料8米，求这个隔离区的长和宽分别是多少米？【答案】隔离区的长为4米和宽2.5米【常考】一、单选题1．（2021·上海·八年级期中）下列方程中，是一元二次方程的是（ ）A．ax2+bx+c＝0B．4x21＝0C．x2+4＝0D．3x2+x+1x＝02．（2021·上海·八年级期中）下列方程中，属于一元二次方程的是（）A．2356x x-=B．120x-=C．224x y+=D．610x+=【答案】A【分析】根据一元二次方程的定义逐一判断即可，只有一个未知数且未知数最高次数为2的整式方程叫做一元二次方程．二、填空题3．（2020·上海市格致初级中学八年级期中）某校八年级举行足球比赛，每个班级都要和其他班级比赛一次，结果一共进行了6场比赛，则八年级共有_____个班级．4．（2021·上海·八年级期中）若关于x 的方程()211270aa x x +-+-=是一元二次方程，则=a ___________．【答案】1-【分析】根据一元二次方程的定义得到由此可以求得a 的值．【详解】∵关于x 的方程（a ﹣1）xa 2+1﹣7＝0是一元二次方程，∴a 2+1＝2，且a ﹣1≠0，解得，a ＝﹣1．故答案为﹣1．【点睛】本题考查了一元二次方程的概念．只有一个未知数且未知数最高次数为2的整式方程叫做一元二次方程，一般形式是ax2+bx+c=0（且a≠0）．三、解答题5．（2020·上海市格致初级中学八年级期中）用配方法解方程：x2＝4．6．（2022·上海·八年级专题练习）解方程：2-=-x x31213二次方程，一定要注意舍去不合理的根．【易错】一．选择题（共4小题）1．（2021秋•崇明区校级期末）下列方程中，属于一元二次方程的是（ ）A．32x﹣1＝0B．x+＝3C．x2＝（x﹣2）（x+1）D．（x﹣2）（x+2）+4＝0【分析】根据一元二次方程的定义判断即可．【解答】解：A．32x﹣1＝0，是一元一次方程，故A不符合题意；B．是分式方程，故B不符合题意；C．方程整理可得x+2＝0，是一元一次方程，故C不符合题意；D．（x﹣2）（x+2）+4＝0是一元二次方程，故D符合题意；故选：D．【点评】本题考查了一元二次方程的定义，能熟记一元二次方程的定义是解此题的关键，注意：只含有一个未知数，并且所含未知数的项的最高次数是2的整式方程，叫一元二次方程．2．（2021秋•普陀区校级期中）若方程（m﹣1）x2+x＝1是关于x的一元二次方程，则m的取值范围是（ ）A．m≠1B．m≥0C．m≥0且m≠1D．m为任何实数【分析】一元二次方程的一般形式是：ax2+bx+c＝0（a，b，c是常数且a≠0）特别要注意a≠0的条件．结合二次根式有意义的条件，被开方数是非负数即可求得．【解答】解：根据题意得：解得：m≥0且m≠1．故选：C．【点评】本题主要考查两个知识点：一元二次方程的定义和二次根式有意义的条件，特别要注意二次项系数a≠0这一条件，当a＝0时，上面的方程就不是一元二次方程了．3．（2021春•浦东新区校级月考）若x＝1是方程（k﹣1）x2+（k2﹣1）x﹣k+1＝0的一个根，则k值满足（ ）A．k＝±1B．k＝1C．k＝﹣1D．k≠±1【分析】方程的根就是能够使方程左右两边相等的未知数的值；利用这一知识点求出未知字母系数后，要善于观察未知数的系数；将x＝1代入原方程即可解得k的值．【解答】解：把x＝1代入方程（k﹣1）x2+（k2﹣1）x﹣k+1＝0，可得k﹣1+k2﹣1﹣k+1＝0，即k2＝1，解得k＝﹣1或1；但当k＝1时k﹣1和k2﹣1均等于0，故应舍去；所以，取k＝﹣1；故选：C．【点评】此题应特别注意求出未知字母系数的值后，要代入原方程看是否符合题意．4．（2021春•浦东新区月考）某农机厂四月份生产零件50万个，第二季度共生产零件182万个．设该厂五、六月份平均每月的增长率为x，那么x满足的方程是（ ）A．50（1+x）2＝182B．50+50（1+x）+50（1+x）2＝182C．50（1+2x）＝182D．50+50（1+x）+50（1+2x）＝182【分析】主要考查增长率问题，一般增长后的量＝增长前的量×（1+增长率），如果该厂五、六月份平均每月的增长率为x，那么可以用x分别表示五、六月份的产量，然后根据题意可得出方程．【解答】解：依题意得五、六月份的产量为50（1+x）、50（1+x）2，∴50+50（1+x）+50（1+x）2＝182．故选：B．【点评】增长率问题，一般形式为a（1+x）2＝b，a为起始时间的有关数量，b为终止时间的有关数量．二．填空题（共4小题）5．（2021秋•普陀区校级月考）关于x的方程（m﹣3）x+（m﹣2）x+5＝0是一元二次方程，则m的值为 ﹣3 ．【分析】本题根据一元二次方程的定义解答，一元二次方程必须满足四个条件：（1）未知数的最高次数是2；（2）二次项系数不为0；（3）是整式方程；（4）只含有一个未知数．【解答】解：∵关于x的方程（m﹣3）x+（m﹣2）x+5＝0是一元二次方程，∴，解得m＝﹣3．故答案为：﹣3．【点评】本题利用了一元二次方程的概念．只有一个未知数且未知数最高次数为2的整式方程叫做一元二次方程，一般形式是ax2+bx+c＝0（且a≠0）．特别要注意a≠0的条件．这是在做题过程中容易忽视的知识点．6．（2021秋•浦东新区校级月考）关于x的方程（m+5）x2﹣2mx﹣4＝0是一个一元二次方程，那么m的取值范围是 m≠﹣5 ．【分析】根据一元二次方程的定义可得m+5≠0，再解不等式即可．【解答】解：由关于x的方程（m+5）x2﹣2mx﹣4＝0是一个一元二次方程，得m+5≠0，解得m≠﹣5．故答案为：m≠﹣5．【点评】本题考查了一元二次方程的定义，能熟记一元二次方程的定义是解此题的关键，注意：只含有一个未知数，并且所含未知数的项的最高次数是2的整式方程，叫一元二次方程．7．（2021秋•宝山区校级月考）当m ≠2 时，关于x的方程mx2+4x＝2x2﹣mx+6是一元二次方程．【分析】根据一元二次方程的定义（含有一个未知数，并且含有未知数的项的最高次数是2的整式方程叫一元二次方程）进行解答即可．【解答】解：mx2+4x＝2x2﹣mx+6，mx2+4x﹣2x2+mx﹣6＝0，（m﹣2）x2+（m+4）x﹣6＝0，∵关于x的方程mx2+4x＝2x2﹣mx+6是一元二次方程，∴m﹣2≠0，解得m≠2．故答案为：≠2．【点评】本题考查了一元二次方程的定义，解题时，要注意两个方面：1、一元二次方程包括三点：①是整式方程，②只含有一个未知数，③所含未知数的项的最高次数是2；2、一元二次方程的一般形式是ax2+bx+c＝0（a≠0）．8．（2022•普陀区二模）如果关于x的方程（x﹣1）2＝m没有实数根，那么实数m的取值范围是 m＜0 ．【分析】根据负数没有平方根，即可解答．【解答】解：如果关于x的方程（x﹣1）2＝m没有实数根，那么实数m的取值范围是：m＜0，故答案为：m＜0．【点评】本题考查了解一元二次方程﹣直接开平方法，熟练掌握负数没有平方根是解题的关键．三．解答题（共2小题）9．（2022春•宝山区校级月考）解关于x的方程：mx2+4＝3（1﹣x2）（m≠﹣3）．【分析】先把方程变形为x2＝，然后讨论当m＞﹣3时，方程没有实数解；当m＜﹣3时，利用直接开平方法解方程，即可解答．【解答】解：mx2+4＝3（1﹣x2），mx2+4＝3﹣3x2，（m+3）x2＝﹣1，x2＝，当m＞﹣3时，方程没有实数解；当m＜﹣3时，x＝±＝±，∴m1＝，m2＝﹣．【点评】本题考查了一元二次方程的定义，解一元二次方程﹣直接开平方法，熟练掌握解一元二次方程﹣直接开平方法是解题的关键．10．（2021秋•虹口区校级期末）解关于x的方程：a2（x2﹣x+1）﹣a（x2﹣1）＝（a2﹣1）x．【分析】按x的降幂排列整理方程，根据字母系数的取值分类讨论求解．【解答】解：整理方程得（a2﹣a）x2﹣（2a2﹣1）x+（a2+a）＝0．（1）当a2﹣a≠0，即a≠0，1时，原方程为一元二次方程，[ax﹣（a+1）][（a﹣1）x﹣a]＝0，x1＝，x2＝；（2）当a2﹣a＝0时，原方程为一元一次方程，当a＝0时，x＝0；当a＝1时，x＝2．【点评】考查运用分类讨论的思想解字母系数的方程，难度适中．【压轴】一．填空题（共2小题）1．（2021•上海模拟）对于实数a，b，定义运算“*”：a*b＝．例如4*2，因为4＞2，所以4*2＝42﹣4×2＝8．若x1，x2是一元二次方程x2﹣5x+6＝0的两个根，则x1*x2＝ 3或﹣3 ．【分析】首先解方程x2﹣5x+6＝0，再根据a*b＝，求出x1*x2的值即可．【解答】解：∵x1，x2是一元二次方程x2﹣5x+6＝0的两个根，∴（x﹣3）（x﹣2）＝0，解得：x＝3或2，①当x1＝3，x2＝2时，x1*x2＝32﹣3×2＝3；②当x1＝2，x2＝3时，x1*x2＝3×2﹣32＝﹣3．故答案为：3或﹣3．【点评】此题主要考查了因式分解法解一元二次方程以及利用材料分析解决新问题，根据已知进行分类讨论是解题关键．2．（2021秋•浦东新区期中）已知关于x的方程x2﹣（a+2）x+a﹣2b＝0的判别式等于0，且x＝是方程的根，则a+b的值为 ．【分析】由Δ＝[﹣（a+2）]2﹣4×（a﹣2b）＝0得一关于a，b的方程，再将x＝代入原方程又得一关于a，b的方程．联立两个方程组成方程组，解方程组即可求出a、b的值．【解答】解：由题意可得：Δ＝[﹣（a+2）]2﹣4×（a﹣2b）＝0，即a2+8b+4＝0，再将x＝代入原方程得：2a﹣8b﹣3＝0，根据题意得：两方程相加可得a2+2a+1＝0，解得a＝﹣1，把a＝﹣1代入2a﹣8b﹣3＝0中，可得b＝，则a+b＝．故填空答案为．【点评】此题考查了根的判别式，以及方程的解的定义，把求未知系数的问题转化为解方程组的问题．二．解答题（共6小题）3．（2021秋•奉贤区校级期中）关于x的一元二次方程mx2﹣（3m﹣1）x+2m﹣1＝0，其根的判别式的值为1，求m的值及该方程的解．【分析】由一元二次方程的Δ＝b2﹣4ac＝1，建立m的方程，求出m的解后再化简原方程并求解．【解答】解：由题意知，m≠0，Δ＝b2﹣4ac＝[﹣（3m﹣1）]2﹣4m（2m﹣1）＝1∴m1＝0（舍去），m2＝2，∴原方程化为：2x2﹣5x+3＝0，解得，x1＝1，x2＝3/2．【点评】本题考查了一元二次方程根的判别式的应用．切记不要忽略一元二次方程二次项系数不为零这一隐含条件．4．（2021秋•徐汇区校级期中）如果关于x的方程mx2﹣2（m+2）x+m+5＝0没有实数根，试判断关于x的方程（m﹣5）x2﹣2（m﹣1）x+m＝0的根的情况．【分析】根据题意：要使方程mx2﹣2（m+2）x+m+5＝0没有实数根，必有Δ＜0，解可得m的取值范围，将其代入方程（m﹣5）x2﹣2（m﹣1）x+m＝0的Δ公式中，判断Δ的取值范围，即可得出答案．【解答】解：①∵当m≠0时，方程mx2﹣2（m+2）x+m+5＝0没有实数根，∴Δ＝[﹣2（m+2）]2﹣4m（m+5）＝4（m2+4m+4﹣m2﹣5m）＝4（4﹣m）＜0．∴m＞4．对于方程（m﹣5）x2﹣2（m﹣1）x+m＝0．当m＝5时，方程有一个实数根；当m≠5时，Δ1＝[﹣2（m﹣1）]2﹣4m（m﹣5）＝12m+4．∵m＞4，∴Δ1＝12m+4＞0，方程有两个不相等的实数根．②当m＝0时，方程mx2﹣2（m+2）x+m+5＝0有实数根，不符合题意，答：当m＝5时，方程（m﹣5）x2﹣2（m﹣1）x+m＝0有一个实数根；当m＞4且m≠5时，此方程有两个不相等的实数根．【点评】主要考查一元二次方程根与系数之间的关系及根的情况的判断公式的使用；要求学生熟练掌本题易错点是忽视对第二个方程是否是一元二次方程进行讨论，这个方程可能是一元一次方程．5．（2022春•金山区校级期中）某经销店为厂家代销一种新型环保水泥，当每吨售价为260元时，月销售量为45吨，每售出1吨这种水泥共需支付厂家费用和其他费用共100元．该经销店为扩大销售量、提高经营利润，计划采取降价的方式进行促销，经市场调查发现，当每吨售价每下降10元时，月销售量就会增加7.5吨．（1）填空：当每吨售价是240元时，此时的月销售量是 60 吨；（2）该经销店计划月利润为9000元而且尽可能地扩大销售量，则售价应定为每吨多少元？【分析】（1）因为每吨售价每下降10元时，月销售量就会增加7.5吨，可求出当每吨售价是240元时，此时的月销售量是多少吨．（2）设当售价定为每吨x元时，根据当每吨售价为260元时，月销售量为45吨，每售出1吨这种水泥共需支付厂家费用和其他费用共100元，当每吨售价每下降10元时，月销售量就会增加7.5吨，且该经销店计划月利润为9000元而且尽可能地扩大销售量，以9000元作为等量关系可列出方程求解．【解答】解：（1）45+×7.5＝60；（2分）（2）设当售价定为每吨x元时，由题意，可列方程（x﹣100）（45+×7.5）＝9000．（2分）化简得x2﹣420x+44000＝0．解得x1＝200，x2＝220．（6分）当售价定为每吨200元时，销量更大，所以售价应定为每吨200元．【点评】本题考查理解题意能力，关键是找出降价10元，却多销售7.5吨的关系，从而列方程求解．6．（2021秋•徐汇区校级期末）已知关于x的一元二次方程有两个不相等的实数根，求k的取值范围．【分析】一元二次方程有两个不相等的实数根，则Δ＝b2﹣4ac＞0，结合一元二次方程的定义，求出k 的取值范围．【解答】解：由题意得：1﹣2k≠0即k≠，k+1≥0，即k≥﹣1Δ＝b2﹣4ac＝（﹣2）2﹣4×（1﹣2k）×（﹣1）＝8﹣4k＞0，综合所述，得﹣1≤k＜2且，【点评】1、一元二次方程根的情况与判别式△的关系：（1）Δ＞0⇔方程有两个不相等的实数根；（2）Δ＝0⇔方程有两个相等的实数根；（3）Δ＜0⇔方程没有实数根2、切记不要忽略一元二次方程二次项系数不为零这一隐含条件．7．（2021秋•金山区校级期中）如图，某工程队在工地互相垂直的两面墙AE、AF处，用180米长的铁栅栏围成一个长方形场地ABCD，中间用同样材料分割成两个长方形．已知墙AE长120米，墙AF长40米，要使长方形ABCD的面积为4000平方米，问BC和CD各取多少米？【分析】设BC＝x米，则CD＝（180﹣2x）米，然后根据长方形的面积公式列出方程求解即可．【解答】解：设BC＝x米，则CD＝（180﹣2x）米．由题意，得：x（180﹣2x）＝4000，整理，得：x2﹣90x+2000＝0，解得：x＝40或x＝50＞40（不符合题意，舍去），∴180﹣2x＝180﹣2×40＝100＜120（符合题意）．答：BC＝40米，CD＝100米．【点评】本题考查了一元二次方程的应用，解题的关键是用x表示CD的长，然后根据长方形的面积公式列出方程．8．（2020秋•浦东新区校级期中）某公司投资新建了一商场，共有商铺30间．据预测，当每间的年租金定为10万元时，可全部租出．每间的年租金每增加5000元，少租出商铺1间．该公司要为租出的商铺每间每年交各种费用1万元，未租出的商铺每间每年交各种费用5000元．（1）当每间商铺的年租金定为13万元时，能租出多少间？（2）当每间商铺的年租金定为多少万元时，该公司的年收益（收益＝租金﹣各种费用）为275万元？【分析】（1）直接根据题意先求出增加的租金是6个5000，从而计算出租出多少间；。
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一元二次方程提高题（八年级）一．选择题（共6小题）1．一元二次方程2x2﹣（m+1）x+1=x（x﹣1）化成一般形式后二次项的系数为1，一次项的系数为﹣1，则m的值为（）A．﹣1 B．1 C．﹣2 D．22．满足（n2﹣n﹣1）n+2=1的整数n有几个（）A．4个 B．3个 C．2个 D．1个3．已知关于x的一元二次方程x2+ax+b=0有一个非零根﹣b，则a﹣b的值为（）A．1 B．﹣1 C．0 D．﹣24．关于x的方程m（x+h）2+k=0（m，h，k均为常数，m≠0）的解是x1=﹣3，x2=2，则方程m（x+h﹣3）2+k=0的解是（）A．x1=﹣6，x2=﹣1 B．x1=0，x2=5 C．x1=﹣3，x2=5 D．x1=﹣6，x2=25．x1、x2是一元二次方程3（x﹣1）2=15的两个解，且x1＜x2，下列说法正确的是（）A．x1小于﹣1，x2大于3 B．x1小于﹣2，x2大于3C．x1，x2在﹣1和3之间D．x1，x2都小于36．已知α是一元二次方程x2﹣x﹣1=0较大的根，则下面对α的估计正确的是（）A．0＜α＜1 B．1＜α＜1.5 C．1.5＜α＜2 D．2＜α＜3二．填空题（共11小题）7．已知关于x的方程是一元二次方程，则m=．8．关于x的两个方程x2﹣x﹣2=0与有一个解相同，则a=．9．当k取值为时，关于x的方程x2+kx﹣1=0与x2+x+（k﹣2）=0只有一个相同的实数根．10．在实数范围内定义运算“☆”，其规则为：a☆b=a2﹣b2，则方程（4☆3）☆x=13的解为x=．11．方程x2﹣|x|﹣1=0的根是．12．三角形的每条边的长都是方程x2﹣7x+10=0的根，则三角形的周长是．13．已知实数x满足，则=．14．关于x的一元二次方程（m﹣1）x2﹣mx+1=0有两个不相等的实数根，则m 的取值范围是．15．已知m、n是方程x2﹣2002x+2003=0的两根，则（n2﹣2003n+2004）与（m2﹣2003m+2004）的积是．16．设有x家公司参加一次商品交易会，每两家之间都签订一份合同，所有公司共签订45份合同，列方程得．17．如图，在宽为20m，长为32m的矩形地面上修筑同样宽的道路（图中阴影部分），余下的部分种上草坪．要使草坪的面积为540m2，求道路的宽．如果设小路宽为x，根据题意，所列方程为．三．解答题（共12小题）18．用直接开平方法解下列方程（1）（3x﹣2）（3x+2）=8．（2）（5﹣2x）2=9（x+3）2．（3）﹣6=0 （4）（x﹣m）2=n．（n为正数）19．已知x3﹣a+3x﹣10=0和x3b﹣4+6x+8=0都是一元二次方程，求的值．20．先化简，再求值：，其中a是方程的解．21．设关于x的二次方程（k2﹣6k+8）x2+（2k2﹣6k﹣4）x+k2=4的两根都是整数．求满足条件的所有整数k的值．22．关于x的一元二次方程为（m﹣1）x2﹣2mx+m+1=0．（1）求出方程的根；（2）m为何整数时，此方程的两个根都为正整数？23．对于一元一次方程ax2+bx+c=0（a≠0）的两根为x1，x2，根据一元二次方程的解的概念知：ax2+bx+c=a（x﹣x1）（x﹣x2）=0．即ax2+bx+c=a（x﹣x1）（x﹣x2）这样我们可以在实数范围内分解因式．例：分解因式2x2+2x﹣1解：∵2x2+2x﹣1=0的根为即，∴=试仿照上例在实数范围内分解因式：3x2﹣5x+1．24．请先阅读例题的解答过程，然后再解答：解方程3x（x+2）=5（x+2）时，先将方程变形为3x（x+2）﹣5（x+2）=0，这个方程左边可以分解成两个一次因式的积，所以方程变形为（x+2）（3x﹣5）=0．我们知道，如果两个因式的积等于0，那么这两个因式中至少有一个等于0；反过来，如果两个因式有一个等于0，它们的积等于0．因此，解方程（x+2）（3x﹣5）=0，就相当于解方程x+2=0或3x﹣5=0，得到原方程的解为x1=﹣2，x2=．根据上面解一元二次方程的过程，王力推测：a﹒b＞0，则有或，请判断王力的推测是否正确？若正确，请你求出不等式＞0的解集，如果不正确，请说明理由．25．当a是什么整数时，ax2﹣8x+7=0与x2﹣4ax+4a2﹣4a﹣5=0的根都是整数？26．用两种方法解答：已知m、n是关于x的方程x2+（p﹣2）x+1=0两个实数根，求代数式（m2+mp+1）（n2+np+1）的值．27．已知关于x的方程（m2﹣1）x2﹣3（3m﹣1）x+18=0有两个正整数根（m是正整数）．△ABC的三边a、b、c满足，m2+a2m﹣8a=0，m2+b2m﹣8b=0．求：（1）m的值；（2）△ABC的面积．28．已知x1、x2是方程4x2﹣（3m﹣5）x﹣6m2=0的两根，且，求m的值．29．如图，四边形ACDE是证明勾股定理时用到的一个图形，a，b，c是Rt△ABC 和Rt△BED边长，易知，这时我们把关于x的形如的一元二次方程称为“勾系一元二次方程”．请解决下列问题：（1）写出一个“勾系一元二次方程”；（2）求证：关于x的“勾系一元二次方程”必有实数根；（3）若x=﹣1是“勾系一元二次方程”的一个根，且四边形ACDE 的周长是6，求△ABC面积．30.某商店从厂家以每件18元的价格购进一批商品，该商品可以自行定价，据市场调查，该商品的售价与销售量的关系是：若每件售价a元，则可卖出(a件，但物价部门限定每件商品加价不能超过进货价的25%，如果商店10320)计划要获利400元，则每件商品的售价应定为多少元？一元二次方程提高题（八年级）参考答案与试题解析一．选择题（共6小题）1．（2012秋•渠县校级月考）一元二次方程2x2﹣（m+1）x+1=x（x﹣1）化成一般形式后二次项的系数为1，一次项的系数为﹣1，则m的值为（）A．﹣1 B．1 C．﹣2 D．2【分析】整理为一般形式后，根据一次项的系数为﹣1，列方程求解即可．【解答】解：整理得：x2﹣mx+1=0，∵一次项的系数为﹣1，∴﹣m=﹣1，解得：m=1，故选B．【点评】解决本题的关键是得到整理后的相关式子．在一般形式中ax2叫二次项，bx叫一次项，c是常数项．其中a，b，c分别叫二次项系数，一次项系数，常数项．2．（2012•浙江校级自主招生）满足（n2﹣n﹣1）n+2=1的整数n有几个（）A．4个 B．3个 C．2个 D．1个【分析】因为1的任何次幂为1，﹣1的偶次幂为1，非0数的0次幂为1，所以应分三种情况讨论n的值．【解答】解：（1）n2﹣n﹣1=1，解得：n=2或n=﹣1；（2），解得：n=0；（3），解得：n=﹣2．故选：A．【点评】本题比较复杂，解答此题时要注意1的任何次幂为1，﹣1的偶次幂为1，非0数的0次幂为1，三种情况，不要漏解．3．（2014•菏泽）已知关于x的一元二次方程x2+ax+b=0有一个非零根﹣b，则a ﹣b的值为（）A．1 B．﹣1 C．0 D．﹣2【分析】由于关于x的一元二次方程x2+ax+b=0有一个非零根﹣b，那么代入方程中即可得到b2﹣ab+b=0，再将方程两边同时除以b即可求解．【解答】解：∵关于x的一元二次方程x2+ax+b=0有一个非零根﹣b，∴b2﹣ab+b=0，∵﹣b≠0，∴b≠0，方程两边同时除以b，得b﹣a+1=0，∴a﹣b=1．故选：A．【点评】此题主要考查了一元二次方程的解，解题的关键是把已知方程的根直接代入方程进而解决问题．4．（2014•内江）关于x的方程m（x+h）2+k=0（m，h，k均为常数，m≠0）的解是x1=﹣3，x2=2，则方程m（x+h﹣3）2+k=0的解是（）A．x1=﹣6，x2=﹣1 B．x1=0，x2=5 C．x1=﹣3，x2=5 D．x1=﹣6，x2=2【分析】利用直接开平方法得方程m（x+h）2+k=0的解x=﹣h±，则﹣h﹣=﹣3，﹣h+=2，再解方程m（x+h﹣3）2+k=0得x=3﹣h±，所以x1=0，x2=5．【解答】解：解方程m（x+h）2+k=0（m，h，k均为常数，m≠0）得x=﹣h±，而关于x的方程m（x+h）2+k=0（m，h，k均为常数，m≠0）的解是x1=﹣3，x2=2，所以﹣h﹣=﹣3，﹣h+=2，方程m（x+h﹣3）2+k=0的解为x=3﹣h±，所以x1=3﹣3=0，x2=3+2=5．故选：B．【点评】本题考查了解一元二次方程﹣直接开平方法：形如x2=p或（nx+m）2=p （p≥0）的一元二次方程可采用直接开平方的方法解一元二次方程．如果方程化成x2=p的形式，那么可得x=±；如果方程能化成（nx+m）2=p（p≥0）的形式，那么nx+m=±．5．（2014•枣庄）x1、x2是一元二次方程3（x﹣1）2=15的两个解，且x1＜x2，下列说法正确的是（）A．x1小于﹣1，x2大于3 B．x1小于﹣2，x2大于3C．x1，x2在﹣1和3之间D．x1，x2都小于3【分析】利用直接开平方法解方程得出两根进而估计无理数的大小得出答案．【解答】解：∵x1、x2是一元二次方程3（x﹣1）2=15的两个解，且x1＜x2，∴（x﹣1）2=5，∴x﹣1=±，∴x2=1+＞3，x1=1﹣＜﹣1，故选：A．【点评】此题主要考查了直接开平方法解方程以及估计无理数的大小，求出两根是解题关键．6．（2014•荆州）已知α是一元二次方程x2﹣x﹣1=0较大的根，则下面对α的估计正确的是（）A．0＜α＜1 B．1＜α＜1.5 C．1.5＜α＜2 D．2＜α＜3【分析】先求出方程的解，再求出的范围，最后即可得出答案．【解答】解：解方程x2﹣x﹣1=0得：x=，∵a是方程x2﹣x﹣1=0较大的根，∴a=，∵2＜＜3，∴3＜1+＜4，∴＜＜2，故选：C．【点评】本题考查了解一元二次方程，估算无理数的大小的应用，题目是一道比较典型的题目，难度适中．二．填空题（共11小题）7．（2011•东台市校级模拟）已知关于x的方程是一元二次方程，则m=﹣2．【分析】根据一元二次方程式的定义可得m2﹣m﹣4=2，m﹣3≠0，求m的解即可．【解答】解：由题意可得m2﹣m﹣4=2，且m﹣3≠0，解得m=﹣2．故答案为：﹣2．【点评】本题考查了一元二次方程的定义，一元二次方程必须满足四个条件：（1）未知数的最高次数是2；（2）二次项系数不为0；（3）是整式方程；（4）含有一个未知数．解答时要先观察方程特点，再依据以上四个方面的要求进行有针对性的判断和计算．8．（2007•呼和浩特）关于x的两个方程x2﹣x﹣2=0与有一个解相同，则a=﹣5．【分析】一元二次方程的根就是一元二次方程的解，就是能够使方程左右两边相等的未知数的值，即用这个数代替未知数所得式子仍然成立；先解方程x2﹣x﹣2=0，将它的根分别代入方程，去掉不符合题意的根，求出a的值．【解答】解：解方程x2﹣x﹣2=0得：x=2或﹣1；把x=2或﹣1分别代入方程，当x=2时x﹣2=0，方程不成立；当x=﹣1时，得到，解得a=﹣5．【点评】本题考查的是一元二次方程的根即方程的解的定义；本题注意分式方程中分母不为0．9．（2013秋•渝水区校级月考）当k取值为0时，关于x的方程x2+kx﹣1=0与x2+x+（k﹣2）=0只有一个相同的实数根．【分析】两个方程有一个相同的实数根，则设相同的实数根为a，代入到两方程进行解答，可求出k的值．求出k值后要验证两方程是否是只有一个相同的实数根．【解答】解：设相同实根是a 则a2+ka﹣1=0，a2+a+k﹣2=0 相减得（k﹣1）a﹣1﹣k+2=0，即（k﹣1）a=k﹣1若k=1，则两个方程都是x2+x﹣1=0，有两个相同的根，不合题意所以k不等于1．所以a==1 即相同实根是x=1，代入方程12+k×1﹣1=0，k=0，符合k为非负数，所以k=0．故答案为：0．【点评】考查了一元二次方程的解，此题有两个关键点，一个是要设出两个方程的相同实数根，代入运算．另外一根为验证所求得的k值是否符合题意．为易错题．10．（2008•孝感）在实数范围内定义运算“☆”，其规则为：a☆b=a2﹣b2，则方程（4☆3）☆x=13的解为x=±6．【分析】按照题中给出的规则运算．其规则为：a☆b=a2﹣b2．【解答】解：其规则为：a☆b=a2﹣b2，则方程（4☆3）☆x=13解的步骤为：（42﹣32）☆x=13，7☆x=13，49﹣x2=13，x2=36，∴x=±6．【点评】此题是典型的新定义题型，解题的关键是要根据所给的规则把数或字母代入相应的位置，进行计算．该题中用到了直接开平方法解方程，所以要熟悉直接开平方法．11．（2011春•桐城市月考）方程x2﹣|x|﹣1=0的根是或．【分析】分x＞0和x＜0两种情况进行讨论，当x＞0时，方程x2﹣x﹣1=0；当x ＜0时，方程x2+x﹣1=0；分别求符合条件的解即可．【解答】解：当x＞0时，方程x2﹣x﹣1=0；∴x=；当x＜0时，方程x2+x﹣1=0；∴x=，∴x=；故答案为或．【点评】本题考查了一元二次方程的解法﹣公式法，要特别注意分类讨论思想的运用．12．（2013•瑞昌市校级模拟）三角形的每条边的长都是方程x2﹣7x+10=0的根，则三角形的周长是12或6或15．【分析】方程左边的多项式利用十字相乘法分解因式后，利用两数相乘积为0，两因式中至少有一个为0转化为两个一元一次方程来求出解，利用三角形的三边关系判断，求出三角形周长即可．【解答】解：方程x2﹣7x+10=0，分解因式得：（x﹣2）（x﹣5）=0，解得：x=2或x=5，三角形三边长为2，2，5（舍去）；2，5，5；2，2，2；5，5，5，则周长为12或6或15．故答案为：12或6或15【点评】此题考查了解一元二次方程﹣因式分解法，利用此方法解方程时，首先将方程整理为一般形式，然后利用两数相乘积为0，两因式中至少有一个为0转化为两个一元一次方程来求解．13．（2012•金牛区三模）已知实数x满足，则=3．【分析】先设=y，代入后化为整式方程求解，即可求出答案．【解答】解：设=y，则原方程可变形为y2﹣y=6，解得y1=﹣2，y2=3，当y1=﹣2时，=﹣2，∵△=b2﹣4ac＞0∴此方程无解，当y2=3时，=3，∵△=b2﹣4ac＞0∴此方程有解，∴=3；故答案为：3．【点评】此题考查了用换元法解分式方程，是常用方法之一，它能够使方程化繁为简，化难为易，因此对能用此方法解的分式方程的特点应该加以注意，并要能够熟练变形整理．14．（2009•鄂尔多斯）关于x的一元二次方程（m﹣1）x2﹣mx+1=0有两个不相等的实数根，则m的取值范围是m≠2且m≠1．【分析】若一元二次方程有两不等实数根，则根的判别式△=b2﹣4ac＞0，建立关于m的不等式，求出m的取值范围．还要注意二次项系数不为0．【解答】解：∵方程为一元二次方程，∴（m﹣1）≠0，即m≠1，∵方程有两个不相等实数根，∴△=（﹣m）2﹣4（m﹣1）=（m﹣2）2＞0，∴m≠2，综合得m≠1且m≠2．故答案为：m≠1且m≠2．【点评】总结：（1）一元二次方程根的情况与判别式△的关系：①△＞0⇔方程有两个不相等的实数根；②△=0⇔方程有两个相等的实数根；③△＜0⇔方程没有实数根．（2）一元二次方程的二次项系数不为0．15．（2005•盐亭县校级模拟）已知m、n是方程x2﹣2002x+2003=0的两根，则（n2﹣2003n+2004）与（m2﹣2003m+2004）的积是2．【分析】由题意得m2﹣2002m+2003=0则m2=2002m﹣2003；n2﹣2002n+2003=0，则n2=2002n﹣2003．而（n2﹣2003n+2004）×（m2﹣2003m+2004）=（2002n﹣2003﹣2003n+2004）（2002m﹣2003﹣2003m+2004）=（﹣n+1）（﹣m+1）=mn ﹣（m+n）+1，然后利用根与系数的关系即可求出其值．【解答】解：由题意得m2﹣2002m+2003=0，则m2=2002m﹣2003；又n2﹣2002n+2003=0，则n2=2002n﹣2003，∴（n2﹣2003n+2004）×（m2﹣2003m+2004）=（2002n﹣2003﹣2003n+2004）（2002m﹣2003﹣2003m+2004）=（﹣n+1）（﹣m+1）=mn﹣（m+n）+1=2003﹣2002+1=2．故填空答案：2．【点评】如果是这个方程的根，就一定适合这个方程；此题还利用根与系数的关系将所求代数式化简，然后才能利用根与系数的关系求出题目结果．16．（2014秋•武平县校级月考）设有x家公司参加一次商品交易会，每两家之间都签订一份合同，所有公司共签订45份合同，列方程得x（x﹣1）=45．【分析】根据每两家签订一份合同，共x家参与可知签订的合同数为：x（x﹣1），然后根据已知条件等于45即可列出方程．【解答】解：依题意得签订的合同数为1+2+3+…+x﹣1，∴x（x﹣1）=45．故填空答案：x（x﹣1）=45．【点评】本题考查了列一元二次方程解实际问题的运用，一元二次方程的解法的运用，解答时根据单循环问题的数量关系建立方程是关键．17．（2014秋•蓟县期中）如图，在宽为20m，长为32m的矩形地面上修筑同样宽的道路（图中阴影部分），余下的部分种上草坪．要使草坪的面积为540m2，（32﹣x）=540．求道路的宽．如果设小路宽为x，根据题意，所列方程为（20﹣x）【分析】设小路宽为x米，利用平移把不规则的图形变为规则图形，如此一来，所有草坪面积之和就变为了（32﹣x）（20﹣x）米2，进而即可列出方程，求出答案．【解答】解：利用平移，原图可转化为右图，设小路宽为x米，根据题意得：（20﹣x）（32﹣x）=540．故答案为：（20﹣x）（32﹣x）=540．【点评】此题主要考查了由实际问题抽象出一元二次方程，这类题目体现了数形结合的思想，需利用平移把不规则的图形变为规则图形，进而即可列出方程，求出答案．另外还要注意解的合理性，从而确定取舍．三．解答题（共12小题）18．（2014•沈阳校级模拟）用直接开平方法解下列方程（1）（3x﹣2）（3x+2）=8．（2）（5﹣2x）2=9（x+3）2．（3）﹣6=0（4）（x﹣m）2=n．（n为正数）【分析】（1）计算整理，进一步利用直接开平方解方程；（2）直接开方，再按解一元一次方程的方法求解即可；（3）先移项，方程两边都乘3除以2，再直接开方；（4）直接开方得出答案即可．【解答】解：（1）（3x﹣2）（3x+2）=89x2﹣4=8x2=x=±解得：x1=，x2=﹣；（2）（5﹣2x）2=9（x+3）25﹣2x=3（x+3），5﹣2x=﹣3（x+3）解得：x1=﹣，x2=﹣14；（3）﹣6=0（x﹣4）2=9x﹣4=±3解得：x1=1，x2=7；（4）（x﹣m）2=nx﹣m=±解得：x1=m+，x2=m﹣．【点评】此题主要考查了直接开方法求一元二次方程的解，解这类问题要移项，把所含未知数的项移到等号的左边，把常数项移项等号的右边，化成x2=a（a≥0）的形式，利用数的开方直接求解．19．（2013秋•望城县期末）已知x3﹣a+3x﹣10=0和x3b﹣4+6x+8=0都是一元二次方程，求的值．【分析】因为x3﹣a+3x﹣10=0和x3b﹣4+6x+8=0都是一元二次方程，所以3﹣a=2．即：a=1；3b﹣4=2，即b=2．把a=1，b=2代入上式就可转化为利用平方差公式进行计算．【解答】解：3﹣a=2．即：a=1；3b﹣4=2，即b=2，=[]20022=（a﹣b）20022，把a=1，b=2代入，原式=（1﹣2）2002（1+）2=（1+）2=3+2．【点评】本题解决的关键是根据一元二次方程的定义求出a，b的值，然后逆用了积的乘方的运算性质．20．（2013•重庆模拟）先化简，再求值：，其中a 是方程的解．【分析】根据题意先解方程求出a﹣a2的值，然后把代数式化简，再把a﹣a2的值代入即可．【解答】解：∵a是方程的解，∴a2﹣a﹣=0，∴a﹣a2=﹣={}÷﹣a2=÷﹣a2=×﹣a2=a﹣a2，∴代数式的值为﹣．【点评】此题主要考查了方程解的定义和分式的运算，此类题型的特点是，利用方程解的定义找到相等关系，再把所求的代数式化简后整理出所找到的相等关系的形式，再把此相等关系整体代入所求代数式，即可求出代数式的值．21．设关于x的二次方程（k2﹣6k+8）x2+（2k2﹣6k﹣4）x+k2=4的两根都是整数．求满足条件的所有实数k的值．【分析】求出二根x1=，x2=，从中消去k得x1x2+3x1+2=0，分解得x1（x2+3）=﹣2．借助方程组得k=6，3，．【解答】解：原方程可化为（k﹣4）（k﹣2）x2+（2k2﹣6k﹣4）x+（k﹣2）（k+2）=0，[（k﹣4）x+（k﹣2）][（k﹣2）x+（k+2）]=0．∵（k﹣4）（k﹣2）≠0∴x1=，x2=；∴k﹣4=（x1≠﹣1）①k﹣2=（x2≠﹣1）②由①②消去k，得x1•x2+3x1+2=0．∴x1（x2+3）=﹣2．由于x1，x2都是整数．∴，，，即，，∴k=6，3，．经检验，k=6，3，满足题意．【点评】本题方程整理成关于x的一元二次方程的一般形式后，二次项系数不为0 是隐含的条件，应考虑．将参数k用方程两根表示并最终消去参数k是解题的关键．22．（2013•南充）关于x的一元二次方程为（m﹣1）x2﹣2mx+m+1=0．（1）求出方程的根；（2）m为何整数时，此方程的两个根都为正整数？【分析】（1）利用求根公式x=解方程；（2）利用（1）中x的值来确定m的值．【解答】解：（1）根据题意，得m≠1．∵a=m﹣1，b=﹣2m，c=m+1，∴△=b2﹣4ac=（﹣2m）2﹣4（m﹣1）（m+1）=4，则x1==，x2=1；（2）由（1）知，x1==1+，∵方程的两个根都为正整数，∴是正整数，∴m﹣1=1或m﹣1=2，解得m=2或3．即m为2或3时，此方程的两个根都为正整数．【点评】本题考查了公式法解一元二次方程．要会熟练运用公式法求得一元二次方程的解．23．（2013秋•山阳县校级期中）对于一元一次方程ax2+bx+c=0（a≠0）的两根为x1，x2，根据一元二次方程的解的概念知：ax2+bx+c=a（x﹣x1）（x﹣x2）=0．即ax2+bx+c=a（x﹣x1）（x﹣x2）这样我们可以在实数范围内分解因式．例：分解因式2x2+2x﹣1解：∵2x2+2x﹣1=0的根为即，∴=试仿照上例在实数范围内分解因式：3x2﹣5x+1．【分析】认真阅读材料，运用求根公式解得对应方程3x2﹣5x+1=0的解，再仿照材料中的例题分解因式．【解答】解：∵3x2﹣5x+1=0的根为即，∴=．【点评】本题主要考查了用求根公式法分解因式．要认真阅读材料，熟练运用求根公式解得对应方程的解，根据材料中给出的方法分解因式．从阅读材料中获取所需的解题方法是需要掌握的基本能力．24．（2004•乌鲁木齐）请先阅读例题的解答过程，然后再解答：代数第三册在解方程3x（x+2）=5（x+2）时，先将方程变形为3x（x+2）﹣5（x+2）=0，这个方程左边可以分解成两个一次因式的积，所以方程变形为（x+2）（3x ﹣5）=0．我们知道，如果两个因式的积等于0，那么这两个因式中至少有一个等于0；反过来，如果两个因式有一个等于0，它们的积等于0．因此，解方程（x+2）（3x﹣5）=0，就相当于解方程x+2=0或3x﹣5=0，得到原方程的解为x1=﹣2，x2=．根据上面解一元二次方程的过程，王力推测：a﹒b＞0，则有或，请判断王力的推测是否正确？若正确，请你求出不等式＞0的解集，如果不正确，请说明理由．【分析】先根据利用因式分解法求方程根的方法判断出王力的推测是正确的，再根据其范例及不等式的性质列出不等式组，求出其解集即可．【解答】解：王力的推测是正确的．∴∴（1）或（2）解不等式组（1）得：x；解不等式组（2）得：x；∴不等式的解集是x或x．【点评】此题是一道材料分析题，考查了同学们的阅读理解能力．对于分是不等式，应当根据“两数相除，同号得正”进行分析．25．（2015秋•简阳市期中）当a是什么整数时，ax2﹣8x+7=0与x2﹣4ax+4a2﹣4a ﹣5=0的根都是整数？【分析】这两个一元二次方程都有解，因而根与判别式△≥0，即可得到关于a 不等式，从而求得a的范围，再根据a是整数，即可得到a的可能取到的几个值，然后对每个值进行检验，是否符合使两个一元二次方程的解都是整数即可确定a 的值．【解答】解：∵关于x的一元二次方程ax2﹣8x+7=0与x2﹣4ax+4a2﹣4a﹣5=0有解，则a≠0，∴△≥0ax2﹣8x+7=0，∴△=64﹣28a≥0，即a≤；x2﹣4ax+4a2﹣4a﹣5=0，△=16a2﹣16a2+16a+20≥0，∴4a+5≥0，a≥﹣；∴﹣≤a≤，而a是整数，∴a=﹣1，a=0（舍去），a=1，a=2，①当a=﹣1时，方程ax2﹣8x+7=0为x2﹣8x+7=0，方程的解是x1=7，x2=1；x2﹣4ax+4a2﹣4a﹣5=0即x2+4x+3=0，方程的解是x1=﹣3，x2=﹣1；②当a=1时，方程ax2﹣8x+7=0为x2﹣8x+7=0，方程的解是x1=7，x2=1；x2﹣4ax+4a2﹣4a﹣5=0即x2﹣4x﹣5=0，方程的解是x1=﹣1，x2=5；③当a=2时，方程ax2﹣8x+7=0为2x2﹣8x+7=0，此时方程的解不为整数，故a=2舍去；综合上述：当a是﹣1或1时，ax2﹣8x+7=0与x2﹣4ax+4a2﹣4a﹣5=0的根都是整数．【点评】解答此题要知道一元二次方程根的情况与判别式△的关系，首先根据根的判别式确定a的范围是解决本题的关键．26．（2001•宁夏）用两种方法解答：已知m、n是关于x的方程x2+（p﹣2）x+1=0两个实数根，求代数式（m2+mp+1）（n2+np+1）的值．【分析】本题主要是利用韦达定理来计算．已知m、n是关于x的方程x2+（p﹣2）x+1=0两个实数根，有四个等式可供使用：m+n=2﹣p①，mn=1②，m2+（p ﹣2）m+1=0③，n2+（p﹣2）n+1=0④．通过变形方法，合理地选择解题方法．【解答】解：∵m、n是x2+（p﹣2）x+1=0的根，∴m+n=2﹣p，mn=1．方法一：m2+（p﹣2）m+1=0，n2+（p﹣2）n+1=0．即m2+pm+1=2m，n2+pn+1=2n．原式=2m×2n=4mn=4．方法二：（m2+mp+1）（n2+np+1）=（m2+mp）（n2+np）+m2+mp+n2+np+1=m2n2+m2np+mpn2+mnp2+m2+mp+n2+np+1=1+mp+np+p2+m2+n2+mp+np+1=2+p2+m2+n2+2（m+n）p=2+p2+m2+n2+2（2﹣p）p=2+p2+m2+n2+4p﹣2p2=2+（m+n）2﹣2mn+4p﹣2p2+p2=2+（2﹣p）2﹣2+4p﹣2p2+p2=4﹣4p+p2+4p﹣p2=4．【点评】本题主要是通过根与系数的关系来求值．注意把所求的代数式转化成m+n=2﹣p，mn=1的形式，正确对所求式子进行变形是解题的关键．27．（2015•黄冈中学自主招生）已知关于x的方程（m2﹣1）x2﹣3（3m﹣1）x+18=0有两个正整数根（m是正整数）．△ABC的三边a、b、c满足，m2+a2m﹣8a=0，m2+b2m﹣8b=0．求：（1）m的值；（2）△ABC的面积．【分析】（1）本题可先求出方程（m2﹣1）x2﹣3（3m﹣1）x+18=0的两个根，然后根据这两个根都是正整数求出m的值．（2）由（1）得出的m的值，然后将m2+a2m﹣8a=0，m2+b2m﹣8b=0．进行化简，得出a，b的值．然后再根据三角形三边的关系来确定符合条件的a，b的值，进而得出三角形的面积．【解答】解：（1）∵关于x的方程（m2﹣1）x2﹣3（3m﹣1）x+18=0有两个正整数根（m是整数）．∵a=m2﹣1，b=﹣9m+3，c=18，∴b2﹣4ac=（9m﹣3）2﹣72（m2﹣1）=9（m﹣3）2≥0，设x1，x2是此方程的两个根，∴x1•x2==，∴也是正整数，即m2﹣1=1或2或3或6或9或18，又m为正整数，∴m=2；（2）把m=2代入两等式，化简得a2﹣4a+2=0，b2﹣4b+2=0当a=b时，当a≠b时，a、b是方程x2﹣4x+2=0的两根，而△＞0，由韦达定理得a+b=4＞0，ab=2＞0，则a＞0、b＞0．①a≠b，时，由于a2+b2=（a+b）2﹣2ab=16﹣4=12=c2故△ABC为直角三角形，且∠C=90°，S=．△ABC②a=b=2﹣，c=2时，因＜，故不能构成三角形，不合题意，舍去．③a=b=2+，c=2时，因＞，故能构成三角形．S△ABC=×（2）×=综上，△ABC的面积为1或．【点评】本题考查了一元二次方程根与系数的关系以及勾股定理等知识点，本题中分类对a，b的值进行讨论，并通过计算得出三角形的形状是解题的关键．28．（2010•山东模拟）已知x1、x2是方程4x2﹣（3m﹣5）x﹣6m2=0的两根，且，求m的值．【分析】首先根据根与系数的关系可以得到两根之和与两根之积用m表示的形式，也可以根据两根之积得到x1x2≤0，从而可以去掉已知等式的绝对值符号，然后结合根与系数的关系即可求出m的值．【解答】解：∵a=4，b=5﹣3m，c=﹣6m2，∴△=（5﹣3m）2+4×4×6m2=（5﹣3m）2+96m2，∵5﹣3m=0与m=0不能同时成立．△=（5﹣3m）2+96m2＞0则：x1x2≤0，又∵，∴，又∵，，∴，∴，解得：m1=1，m2=5．【点评】此题主要考查了一元二次方程的根与系数的关系，将根与系数的关系与代数式变形相结合解题是一种经常使用的解题方法．29．（2016•濉溪县三模）如图，四边形ACDE是证明勾股定理时用到的一个图形，a，b，c是Rt△ABC和Rt△BED边长，易知，这时我们把关于x的形如的一元二次方程称为“勾系一元二次方程”．请解决下列问题：（1）写出一个“勾系一元二次方程”；（2）求证：关于x的“勾系一元二次方程”必有实数根；（3）若x=﹣1是“勾系一元二次方程”的一个根，且四边形ACDE 的周长是6，求△ABC面积．【分析】（1）直接找一组勾股数代入方程即可；（2）通过判断根的判别式△的正负来证明结论；（3）利用根的意义和勾股定理作为相等关系先求得c的值，根据完全平方公式求得ab的值，从而可求得面积．【解答】（1）解：当a=3，b=4，c=5时勾系一元二次方程为3x2+5x+4=0；（2）证明：根据题意，得△=（c）2﹣4ab=2c2﹣4ab∵a2+b2=c2∴2c2﹣4ab=2（a2+b2）﹣4ab=2（a﹣b）2≥0即△≥0∴勾系一元二次方程必有实数根；（3）解：当x=﹣1时，有a﹣c+b=0，即a+b=c∵2a+2b+c=6，即2（a+b）+c=6∴3c=6∴c=2∴a2+b2=c2=4，a+b=2∵（a+b）2=a2+b2+2ab∴ab=2∴S=ab=1．△ABC【点评】此类题目要读懂题意，根据题目中所给的材料结合勾股定理和根的判别式解题．。