哈工大现代控制理论基础第十一章 最优控制
最优控制 现代控制理论 教学PPT课件
第7章第3页
7.1.1宇宙飞船登月软着陆的实例
实例1：宇宙飞船若实现在月球表面实现软着陆，即登月舱到达月球表面时的速度为
零，要寻求登月舱发动机推力的最优变化率，使燃料消耗最少，以便在完成登月考察 任务后，登月舱有足够燃料离开月球与母舱会合，从而返回地球。
m(t) h(t) v(t)
u(t) g
M F h0 v0
如果泛函的变分存在，则
J ( x, x) J ( x x)
2021年4月30日
0
第7章第15页
求证 如果泛函的变分存在，则
J ( x, x) J ( x x)
0
证明 根据泛函变分的定义
J J (x0 x) J (x0 ) L(x0, x) r(x0, x)
由于 L( x0, x) 时关于 x 的连续线性泛函，故
J (C1x1(t) C2 x2 (t)) C1J ( x1(t)) C2J ( x2 (t)) ，且其增量可以表示为
J J ( x(t) x(t)) J ( x(t)) L( x(t), x(t)) r( x(t), x(t))
2021年4月30日
第7章第14页
其中，第一项是 x(t) 的连续线性泛函，第二项是关于 x(t) 的高阶无穷小，则称上式第
变分 x 表示U 中点 x(t) 与 x0 (t) 之间的差。由于 x 存在，必然引起泛函数值的变化，
并以 J (x x) 表示。其中 为参变数，其值 0 1。当 1时，得增加后的泛函值
J ( x x) ；当 0 时，得泛函原来的值 J (x) 。
若 泛 函 J ( x(t)) 对 于 任 何 常 数 C1 ， C2 及 任 何 x1(t) U ， x2 (t) U ， 都 有
最优控制理论
对于越来越多的复杂控制对象，一方面，人们所要求的控制性能不再单纯的局限于一两个指标；另一方面，上述各种优化方法，都是基于优化问题具有精确的数学模型基础之上的。但是许多实际工程问题是很难或不可能得到其精确的数学模型的。这就限制了上述经典优化方法的实际应用。随着模糊理论、神经网络等智能技术和计算机技术的发展。 近年来，智能式的优化方法得到了重视和发展。 (1)神经网络优化方法 人工神经网络的研究起源于1943年和Mc Culloch和Pitts的工作。在优化方面，1982年Hopfield首先引入Lyapuov能量函数用于判断网络的稳定性，提出了Hopfield单层离散模型；Hopfield和Tank又发展了Hopfield单层连续模型。1986年，Hopfield和Tank将电子电路与Hopfield模型直接对应，实现了硬件模拟；Kennedy和Chua基于非线性电路理论提出了模拟电路模型，并使用系统微分方程的Lyapuov函数研究了电子电路的稳定性。这些工作都有力地促进了对神经网络优化方法的研究。 根据神经网络理论，神经网络能量函数的极小点对应于系统的稳定平衡点，这样能量函数极小点的求解就转换为求解系统的稳定平衡点。随着时间的演化，网络的运动轨道在空间中总是朝着能量函数减小的方向运动，最终到达系统的平衡点——即能量函数的极小点。因此如果把神经网络动力系统的稳定吸引子考虑为适当的能量函数（或增广能量函数）的极小点，优化计算就从一初始点随着系统流到达某一极小点。如果将全局优化的概念用于控制系统，则控制系统的目标函数最终将达到希望的最小点。这就是神经优化计算的基本原理。 与一般的数学规划一样，神经网络方法也存在着重分析次数较多的弱点，如何与结构的近似重分析等结构优化技术结合，减少迭代次数是今后进一步研究的方向之一。 由于Hopfield模型能同时适用于离散问题和连续问题，因此可望有效地解决控制工程中普遍存在的混合离散变量非线性优化问题。 (2)遗传算法 遗传算法和遗传规划是一种新兴的搜索寻优技术。它仿效生物的进化和遗传，根据“优胜劣汰”原则，使所要求解决的问题从初始解逐步地逼近最优解。在许多情况下，遗传算法明显优于传统的优化方法。该算法允许所求解的问题是非线性的和不连续的，并能从整个可行解空间寻找全局最优解和次优解，避免只得到局部最优解。这样可以为我们提供更多有用的参考信息，以便更好地进行系统控制。同时其搜索最优解的过程是有指导性的，避免了一般优化算法的维数灾难问题。遗传算法的这些优点随着计算机技术的发展，在控制领域中将发挥越来越大的作用。 目前的研究表明，遗传算法是一种具有很大潜力的结构优化方法。它用于解决非线性结构优化、动力结构优化、形状优化、拓扑优化等复杂优化问题，具有较大的优势。 (3)模糊优化方法 最优化问题一直是模糊理论应用最为广泛的领域之一。 自从Bellman和Zadeh在 70年代初期对这一研究作出开创性工作以来，其主要研究集中在一般意义下的理论研究、模糊线性规划、多目标模糊规划、以及模糊规划理论在随机规划及许多实际问题中的应用。主要的研究方法是利用模糊集的a截集或确定模糊集的隶属函数将模糊规划问题转化为经典的规划问题来解决。 模糊优化方法与普通优化方法的要求相同，仍然是寻求一个控制方案（即一组设计变量），满足给定的约束条件，并使目标函数为最优值，区别仅在于其中包含有模糊因素。普通优化可以归结为求解一个普通数学规划问题，模糊规划则可归结为求解一个模糊数学规划(fuzzymathematicalprogramming)问题。包含控制变量、目标函数和约束条件，但其中控制变量、目标函数和约束条件可能都是模糊的，也可能某一方面是模糊的而其它方面是清晰的。例如模糊约束的优化设计问题中模糊因素是包含在约束条件（如几何约束、性能约束和人文约束等）中的。求解模糊数学规划问题的基本思想是把模糊优化转化为非模糊优化即普通优化问题。方法可分为两类：一类是给出模糊解（fuzzysolution）；另一类是给出一个特定的清晰解（crispsolution）。必须指出，上述解法都是对于模糊线性规划（fuzzylinearprogramming）提出的。然而大多数实际工程问题是由非线形模糊规划（fuzzynonlinearprogramming）加以描述的。于是有人提出了水平截集法、限界搜索法和最大水平法等，并取得了一些可喜的成果。 在控制领域中，模糊控制与自学习算法、模糊控制与遗传算法相融合，通过改进学习算法、遗传算法，按给定优化性能指标，对被控对象进行逐步寻优学习，从而能够有效地确定模糊控制器的结构和参数
现代控制理论知到章节答案智慧树2023年哈尔滨工程大学
现代控制理论知到章节测试答案智慧树2023年最新哈尔滨工程大学绪论单元测试1.经典控制理论以单变量线性定常系统作为主要的研究对象，以时域法作为研究控制系统动态特性的主要方法。
参考答案:错2.1892年俄国数学家李亚普诺夫发表了论文《运动稳定性的一般问题》，用严格的数学分析方法全面地论述了稳定性问题。
参考答案:对3.现代控制理论以多变量线性系统和非线性系统作为研究对象，以时域法，特别是状态空间方法作为主要的研究方法。
参考答案:对4.研究系统控制的一个首要前提是建立系统的数学模型，线性系统的数学模型主要有两种形式，即时间域模型和频率域模型。
参考答案:对5.下述描述中哪些作为现代控制理论形成的标志（）。
参考答案:最优控制中的Pontriagin极大值原理和Bellman动态规划;用于系统的整个描述、分析和设计过程的状态空间方法;随机系统理论中的Kalman滤波技术第一章测试1.输入输出描述是描述系统输入变量和输出变量关系的模型。
参考答案:对2.状态空间描述能完全表征系统的一切动力学特征。
参考答案:对3.系统的状态是指能够完全表征系统时间域行为的一个最小内部变量组。
参考答案:对4.系统的状态空间描述是唯一的。
参考答案:错5.坐标变换是指将系统在状态空间的一个基底上的表征，化为另一个基底上的表征。
参考答案:对6.当状态空间描述中的A矩阵有相同的特征值时，一定不能将其化成对角规范形。
参考答案:错7.并联组合系统的传递函数矩阵为各并联子系统的传递函数矩阵之和。
参考答案:对8.若两个子系统输出向量的维数相同，则可实现反馈连接。
参考答案:错9.线性定常系统线性非奇异变换后（）。
参考答案:系统的特征值不变10.考虑如图所示的串联组合系统，下列论述正确的是（）。
参考答案:串联组合后系统的状态方程为第二章测试1.一般线性系统状态方程的解由两部分组成，第一部分反映系统初态的影响，第二部分反映系统输入对状态的影响。
参考答案:对2.零初态响应指系统初始状态为零时，由系统输入单独作用所引起的运动。
《现代控制理论基础》课件
预测控制
预测控制是一种基于模型预测 未来系统行为的控制方法。
控制器
控制器是控制系统中的核心 组件，负责计算并施加控制 信号。
操作对象
控制系统的操作对象可以是 各种各样的设备或系统，了 解操作对象的特性是设计有 效控制策略的基础。
模型化
系统状态方程
通过建立系统状态方程，我们 可以描述控制系统的动态行为。
传递函数
传递函数是描述输入和输出之 间关系的数学表达式，常用于 分析系统的频率响应。
通过绘制根轨迹来分析系统的稳定性和性能。
2 Nyquist法
利用Nyquist图来评估系统的稳定性和抗干扰能力。
鲁棒性设计
扰动抑制
了解如何设计鲁棒控制器来抑制 系统中的扰动。
鲁棒控制
鲁棒控制是一种能够保持系统稳 定性和性能的控制策略。
H∞控制
H∞控制是一种能够优化系统鲁 棒性和性能的控制策略。
非线性控制
《现代控制理论基础》PPT课件
现代控制理论基础是一门关于控制系统的基本概念、模型化、控制器设计、 稳定性分析、鲁棒性设计、非线性控制和优化控制的课程。通过本课程的学 习，您将掌握现代控制理论的基础知识和思想，并能够运用所学知识解决实 际控制问题。
控制系统基本概念
控制过程
了解控制过程是理解控制系 统工作原理的重要一步。
1 反馈线性化
通过反馈线性化技术，我们可以设计控制器来稳定非线性系统。
2 滑模控制
滑模控制是一种鲁棒而有效的非线性控制方法。
3 非线性规划
非线性规划方法可以用来优化非线性系统的控制策略。
优化控制
最优化法
最优化法是一种通过优化目标 函数来设计最优控制策略的方 法。
非线性规划
现代控制理论最优控制课件
04 离散时间系统的最优控制
CHAPTER
离散时间系统的最优控制问题的描述
定义系统
离散时间系统通常由差分方程描述，包括状 态转移方程和输出方程。
确定初始状态
最优控制问题通常从一个给定的初始状态开 始，我们需要确定这个初始状态。
确定控制输入
在离散时间系统中，控制输入是离散的，我 们需要确定哪些控制输入是可行的。
工业生产领域
02 现代控制理论在工业生产领域中也得到了广泛的应用
，如过程控制、柔性制造等。
社会经济领域
03
现代控制理论在社会经济领域中也得到了广泛的应用
，如金融风险管理、能源调度等。
02 最优控制基本概念
CHAPTER
最优控制问题的描述
确定受控系统的状态和输入，以便在 给定条件下使系统的性能指标达到最 优。
LQR方法
利用LQR（线性二次调节器）设计最优控制 器。
线性二次最优控制的应用实例
经济巡航控制
在航空航天领域，通过线性二次最优控制实现燃料消 耗最小化。
电力系统控制
在电力系统中，利用线性二次最优控制实现稳定运行 和最小化损耗。
机器人控制
在机器人领域，通过线性二次最优控制实现轨迹跟踪 和避障等任务。
03
02
时变控制系统
04
非线性控制系统
如果系统的输出与输入之间存在 非线性关系，那么该系统就被称 为非线性控制系统。
这类系统的特点是系统的参数随 时间而变化。
静态控制系统
这类系统的特点是系统的输出与 输入之间没有时间上的依赖关系 。
发展历程
古典控制理论
这是最优控制理论的初级阶段，其研究的主 要对象是单输入单输出系统，主要方法是频 率分析法和根轨迹法。
《现代控制理论基础》PPT课件
11
20世纪20年代，电子技术得到了迅速发展，促进 了信息处理和自动控制及其理论的发展。
这 个 时 期 的 主 要 代 表 人 物 有 美 国 的 贝 尔 曼 （ R. Bellman）、原苏联的庞特里亚金和美籍匈牙利人卡尔曼 （R.E.Kalman）等人。
23
1965年，贝尔曼发表了“动态规划理论在控制过程中 的应用“一文，提出了寻求最优控制的动态规划法。
1958年，Kalman提出递推估计的自动化控制原理，奠 定了自校正控制器的基础。
5
二 控制理论的产生及其发展
6
自动控制思想及其实践可以说历史悠久。它是人类 在认识世界和改造世界的过程中产生的，并随着社会的 发展和科学水平的进步而不断发展。
人类发明具有“自动”功能的装置的历史可以追溯到 公元前14－11世纪的中国、埃及和巴比伦出现的铜壶滴 漏计时器。
公元前4世纪，希腊柏拉图（Platon,公元前47－公元 前347）首先使用了“控制论”一词。
27
例如，在20世纪70年代以来形成的大系统理论主要 是解决大型工程和社会经济中信号处理、可靠性控制等 综合最优的设计问题。
由于应用范围涉及越来越复杂的工程系统和社会、 经济、管理等非工程的人类活动系统，原有的理论方法 遇到了本质困难，大系统和社会发展逐渐转向“复杂系 统”的概念。
28
智能控制的发展始于20世纪60年代，它是一种能更好地 模仿人类智能的、非传统的控制方法。它突破了传统控制中 对象有明确的数学描述和控制目标是可以数量化的限制。它 所采用的理念方法主要是来自自动控制理论、人工智能、模 糊集和神经网络以及运筹学等学科分支。
现代控制理论 最优控制
[∗ + ]
=
=
由变分引理
[∗
+ ]ቕ
=
= ∗
=
得证
《现代控制理论》MOOC课程
6.2.2 无约束条件的变分问题(1)
6.2.2 无约束条件的变分问题
引理：如果函数() 在区间 ∈ [ , ]上是连Βιβλιοθήκη 的，而且对于只满足某些一般条件的任意
[ + ]
=
+ ]ቕ
=
∆ +
= lim
ቤ
∆→
∆
=
+ −
= lim
→
′
1
1 2
= lim { ඐ +
+}
2
→
2
− ∗
<
则称泛函 在∗ 处是连续的。
其中， , ∗ 表示在函数空间中 与∗ 之间的距离:
泛函的变分
, ∗ = max − ∗
≤≤
泛函 增量∆ 的线性主部称为泛函的一阶变分，简称泛函的变分，记作
选定的函数()有)()(
= , 则在区间 ∈ [ , ]上有： () ≡
一 欧拉方程
讨论一个固定端点时间，固定端点状态的无约束条件变分问题。
问题: 考虑泛函为
ሶ
= න [ , (),
]
ሶ
式中 在 ∈ [ , ]上连续， [ , (),
哈尔滨工业大学2010《现代控制理论基础》考试题B卷及答案
哈工大2010年春季学期现代控制理论基础 试题B 答案一．（本题满分10分）请写出如图所示电路当开关闭合后系统的状态方程和输出方程。
其中状态变量的设置如图所示，系统的输出变量为流经电感2L 的电流强度。
【解答】根据基尔霍夫定律得：11132223321L x Rx x u L x Rx x Cxx x ++=⎧⎪+=⎨⎪+=⎩ 改写为1131112232231211111R x x x uL L L R x x x L L x x x C C ⎧=--+⎪⎪⎪=-+⎨⎪⎪=-⎪⎩，输出方程为2y x =写成矩阵形式为[]111112222331231011000110010RLL x x L R x x u L L x x C C x y x x ⎧⎡⎤--⎡⎤⎪⎢⎥⎢⎥⎪⎢⎥⎡⎤⎡⎤⎢⎥⎪⎢⎥⎢⎥⎢⎥=-+⎢⎥⎪⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎪⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎪⎣⎦⎣⎦⎢⎥⎢⎥⎨⎢⎥-⎣⎦⎢⎥⎪⎣⎦⎪⎡⎤⎪⎢⎥⎪=⎢⎥⎪⎢⎥⎪⎣⎦⎩二．（本题满分10分）单输入单输出离散时间系统的差分方程为(2)5(1)3()(1)2()y k y k y k r k r k ++++=++回答下列问题：（1）求系统的脉冲传递函数； （2）分析系统的稳定性；（3）取状态变量为1()()x k y k =，21()(1)()x k x k r k =+-，求系统的状态空间表达式； （4）分析系统的状态能观性。
【解答】（1）在零初始条件下进行z 变换有：()()253()2()z z Y z z R z ++=+系统的脉冲传递函数：2()2()53Y z z R z z z +=++ （2）系统的特征方程为2()530D z z z =++=特征根为1 4.3z =-，20.7z =-，11z >，所以离散系统不稳定。
（3）由1()()x k y k =，21()(1)()x k x k r k =+-，可以得到21(1)(2)(1)(2)(1)x k x k r k y k r k +=+-+=+-+由已知得(2)(1)2()5(1)3()y k r k r k y k y k +-+=-+-112()5(1)3()r k x k x k =-+-[]212()5()()3()r k x k r k x k =-+-123()5()3()x k x k r k =--- 于是有：212(1)3()5()3()x k x k x k r k +=--- 又因为12(1)()()x k x k r k +=+所以状态空间表达式为[]112212(1)()011()(1)35()3()()10()x k x k r k x k x k x k y k x k ⎧+⎡⎤⎡⎤⎡⎤⎡⎤=+⎪⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥+---⎣⎦⎣⎦⎪⎣⎦⎣⎦⎨⎡⎤⎪=⎢⎥⎪⎣⎦⎩（4）系统矩阵为0135⎡⎤=⎢⎥--⎣⎦G ，输出矩阵为[]10=c ，[][]01100135⎡⎤==⎢⎥--⎣⎦cG 能观性矩阵为o 1001⎡⎤⎡⎤==⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦c Q cG ，o rank 2=Q ，系统完全能观。
最优控制课后习题答案
最优控制课后习题答案最优控制课后习题答案最优控制是现代控制理论中的重要分支，它研究如何在给定约束条件下，使系统的性能指标达到最优。
在最优控制的学习过程中，课后习题是巩固理论知识、培养解决问题能力的重要环节。
本文将为大家提供一些最优控制课后习题的答案，希望能对大家的学习有所帮助。
1. 线性二次型最优控制问题考虑一个线性时不变系统，其状态方程和性能指标分别为：$$\begin{align*}\dot{x}(t) &= Ax(t) + Bu(t) \\J(u) &= \int_{0}^{T} (x^T(t)Qx(t) + u^T(t)Ru(t))dt\end{align*}$$其中，$x(t)$为系统的状态向量，$u(t)$为控制输入向量，$A$和$B$为系统矩阵，$Q$和$R$为正定矩阵，$T$为最优控制的时间段。
求解该问题的最优控制输入$u^*(t)$。
答案：根据最优控制的原理，最优控制输入$u^*(t)$满足以下的最优性条件：$$\begin{align*}\frac{\partial J}{\partial u}(u^*(t)) &= 2R u^*(t) + 2B^T P(t)x(t) = 0 \\\dot{P}(t) &= -PA - A^T P - Q + PBR^{-1}B^T P\end{align*}$$其中，$P(t)$为状态向量的共轭变量矩阵。
通过求解上述的代数方程和微分方程，可以得到最优控制输入$u^*(t)$和状态向量的共轭变量矩阵$P(t)$。
2. 非线性最优控制问题考虑一个非线性系统，其状态方程和性能指标分别为：$$\begin{align*}\dot{x}(t) &= f(x(t), u(t)) \\J(u) &= \int_{0}^{T} g(x(t), u(t)) dt\end{align*}$$其中，$f(x(t), u(t))$为非线性函数，$g(x(t), u(t))$为性能指标函数。
现代控制理论基础教学大纲.doc
《现代控制理论基础》教学大纲课程编码：T1040031课程名称：现代控制理论基础课程英文名称：Modern Control Theory总学时：44 讲课学时： 36 习题课学时：0 实验学时：8 上机学时：12 开课单位：航天学院控制科学与工程系控制理论及应用教研室开课对象：控制类专业本科生预修课程：电路原理、电子技术和电机方面的有关课程；复变函数和线性代数教材：《自动控制原理》李友善主编，国防工业出版社，2005年国防科工委“十五”规划教材《自动控制原理》（下册）裴润、宋申民、王彤编哈尔滨工业大学出版2006年参考书：《现代控制理论》（第2版）刘豹主编机械出版社2000年《现代控制工程》（第三版）Ogata著电子出版社2000年《自动控制原理》（第四版）胡寿松主编，科学出版社，2001年《Linear Control System Analysis and Design》（第四版）清华大学出版社，2000年一、本课程的教学目的和要求及其在教学中的地位：通过本课程的学习使学生了解现代控制理论的基本内容、自动控制系统的状态空间分析方法，掌握综合线性系统的原理和方法以及最优控制的基本理论，对现代控制理论有全面的掌握，对系统辩识、最优控制、计算机控制的理论有深入了解。
掌握非线性系统的稳定性及其理论，掌握线性和非线性系统稳定性的基本分析方法。
二、本课程的主要教学内容、各章节内容及其学时安排本课程是《自动控制原理I》课程的继续，前8章在《自动控制原理I》课中讲。
第九章线性系统状态空间分析法(12学时)1．状态空间的基本概念2．控制系统状态空间表达式3．线性定常系统的分析4．线性时变系统的分析5．线性离散系统的分析6. 线性状态方程的离散化第十章李雅普诺夫稳定性分析（8学时）1. 李雅普诺夫意义下的稳定性2. 判别系统稳定性的李雅普诺夫方法3. 应用李雅普诺夫方法分析线性系统稳定性4. 应用李雅普诺夫方法分析非线性系统稳定性第十一章线性系统的状态空间综合法（10学时）1. 线性系统的能控性和能观性2. 线性系统的结构分析3. 线性系统的状态反馈和输出反馈4. 线性系统的状态观测器5. 线性系统的解耦6. 线性系统的实现第十二章最优控制（6学时）1. 最优控制的一般提法2. 应用变分法求解无约束问题的最优控制3. 极小值原理4. 线性二次型最优控制问题5. 动态规划三、其他教学环节安排：1、实验内容(8学时)(1) 数字控制系统实验（4学时）a. 数字控制系统的基本组成b. 数字控制系统的设计(2) 现代控制理论实验（4学时）a. 控制系统状态空间分析法计算机辅助设计b. 二阶倒立摆实验2、上机：课外学时：20四、考试权重：平时成绩20％；期末成绩80％。
现代控制理论CA14-最优控制资料
m(t) ku(t)
边界条件
h(0) h0, v(0) v0, m(0) m0 M F
h(t f ) 0, v(t f ) 0
控制约束 0 u(t) umax
性能指标
J m(t f )
燃料消耗量 为最少
最优控制问题的组成
• 系统数学模型（状态方程） • 边界条件（初态和末态） • 容许控制（控制向量的取值范围） • 性能指标
曲线满足运动微分方程
f (x, x,t) 0
极值轨线x(t)满足如下欧拉方程
L d L 0 x dt x
L(x, x,,t) g(x, x,t) T (t) f (x, x,t)
约束 方程
例 人造地球卫星姿态控制系统
x
0 0
1 0
x
0 1
u
J 1 2 uபைடு நூலகம்dt 20
求使性能泛函取极值的极值轨线和极值控 制
状态调节器
对于运行于某一平衡状态的系 统，在受到扰动偏离原平衡状 态时，使系统恢复到原平衡状 态附近时要求的性能。
J
1 2
xT
(t f
)Fx(t f
)
1 2
tf [xTQx(t) uT (t)Ru(t)]dt
t0
末态偏差
状态偏差
控制能量
输出跟踪系统
J
1 2
eT
(t f
)Fe(t f
)
1 2
tf [eTQe(t) uT (t)Ru(t)]dt
14 .3 极小值原理
应用经典变分法解最优控制问题， 要求控制向量不受任何约束.
为解决控制有约束的变分问题， 庞特里亚金提出并证明了极小值原理， 能够应用于控制变量受边界限制的情 况。
现代控制理论_哈尔滨工程大学中国大学mooc课后章节答案期末考试题库2023年
现代控制理论_哈尔滨工程大学中国大学mooc课后章节答案期末考试题库2023年1.已知线性定常系统如下所示，下面说法错误的是（）【图片】参考答案:引入状态反馈后，不改变系统的能观测性。
2.串联组合系统的传递函数矩阵为各串联子系统的传递函数矩阵之和。
参考答案:错误3.在最优控制问题中，如果系统的性能指标是状态变量和控制变量的二次型函数，则称为线性二次型最优控制问题，简称LQ（Linear Quadratic）问题。
参考答案:错误4.用不大的控制能量，使系统输出尽可能保持在零值附近，这类问题称为输出调节器问题。
参考答案:正确5.研究系统控制的一个首要前提是建立系统的数学模型，线性系统的数学模型主要有两种形式，即时间域模型和频率域模型。
参考答案:正确6.现代控制理论以多变量线性系统和非线性系统作为研究对象，以时域法，特别是状态空间方法作为主要的研究方法。
参考答案:正确7.1892年俄国数学家李亚普诺夫发表了论文《运动稳定性的一般问题》，用严格的数学分析方法全面地论述了稳定性问题。
参考答案:正确8.经典控制理论以单变量线性定常系统作为主要的研究对象，以时域法作为研究控制系统动态特性的主要方法。
参考答案:错误9.下述描述中哪些作为现代控制理论形成的标志（）参考答案:用于系统的整个描述、分析和设计过程的状态空间方法._最优控制中的Pontriagin极大值原理和Bellman动态规划。
_随机系统理论中的Kalman 滤波技术。
10.内部稳定性表现为系统的零初态响应，即在初始状态恒为零时，系统的状态演变的趋势。
参考答案:错误11.系统矩阵A所有特征值均具有负实部是线性时不变系统渐近稳定的充要条件。
参考答案:正确12.从物理直观性看，能观测性研究系统内部状态“是否可由输入影响的问题”。
参考答案:错误13.由系统结构的规范分解所揭示，传递函数矩阵一般而言只是对系统结构的不完全描述，只能反映系统中的能控能观测部分.参考答案:正确14.下面论述正确的是（）参考答案:李亚普诺夫意义下渐近稳定等同于工程意义下稳定。
《现代控制理论》课程教案
《现代控制理论》课程教案第一章：绪论1.1 课程简介介绍《现代控制理论》的课程背景、意义和目的。
解释控制理论在工程、科学和工业领域中的应用。
1.2 控制系统的基本概念定义控制系统的基本术语，如系统、输入、输出、反馈等。
解释开环系统和闭环系统的区别。
1.3 控制理论的发展历程概述控制理论的发展历程，包括经典控制理论和现代控制理论。
介绍一些重要的控制理论家和他们的贡献。
第二章：数学基础2.1 线性代数基础复习向量、矩阵和行列式的基本运算。
介绍矩阵的特殊类型，如单位矩阵、对角矩阵和反对称矩阵。
2.2 微积分基础复习微积分的基本概念，如极限、导数和积分。
介绍微分方程和微分方程的解法。
2.3 复数基础介绍复数的基本概念，如复数代数表示、几何表示和复数运算。
解释复数的极坐标表示和欧拉公式。
第三章：控制系统的基本性质3.1 系统的稳定性定义系统的稳定性，并介绍判断稳定性的方法。
解释李雅普诺夫理论在判断系统稳定性中的应用。
3.2 系统的可控性定义系统的可控性，并介绍判断可控性的方法。
解释可达集和可观集的概念。
3.3 系统的可观性定义系统的可观性，并介绍判断可观性的方法。
解释观测器和状态估计的概念。
第四章：线性系统的控制设计4.1 状态反馈控制介绍状态反馈控制的基本概念和设计方法。
解释状态观测器和状态估计在控制中的应用。
4.2 输出反馈控制介绍输出反馈控制的基本概念和设计方法。
解释输出反馈控制对系统稳定性和性能的影响。
4.3 比例积分微分控制介绍比例积分微分控制的基本概念和设计方法。
解释PID控制在工业控制系统中的应用。
第五章：非线性控制理论简介5.1 非线性系统的特点解释非线性系统的定义和特点。
介绍非线性系统的常见类型和特点。
5.2 非线性控制理论的方法介绍非线性控制理论的基本方法，如反馈线性化和滑模控制。
解释非线性控制理论在实际应用中的挑战和限制。
5.3 案例研究：倒立摆控制介绍倒立摆控制系统的特点和挑战。
解释如何应用非线性控制理论设计倒立摆控制策略。
现代控制理论 最优控制11
得证。
§6－2.2 无约束条件的变分问题
引理：如果函数 F (t )在区间 [t0 , t f ]上是连续的，而且对于只满
§6－1 最优控制问题的一般提法
4. 性能指标 tf （1）积分型性能指标： J L[ x(t ), u (t ), t ]dt t0 反映控制过程中对系统性能的要求。
（2）终值型性能指标： J [ x(t f ), t f ] 反映了系统状态在终端时刻的性能。
（3）复合型性能指标： J [ x(t f ), t f ] L[ x(t ), u (t ), t ]dt t0 反映了控制过程和终端时刻对系统性能的要求。 若：[ x(t f ), t f ]、L[ x(t ), u (t ), t ] 为二次型函数，则复合型性能指 标可表示为二次型性能指标： 1 T 1 tf T J x (t f ) Px(t f ) [ x (t )Qx (t ) u T (t ) Ru (t )]dt 2 2 t0
足某些一般条件的任意选定的函数 (t )有
则在区间 [t0 , t f ]上有： F (t ) 0
t
tf
0
F (t ) (t ) dt 0
一. 欧拉方程
(t ), t ]dt 问题: 考虑泛函为 J [ x(t )] L[ x(t ), x
t0 tf
讨论一个固定端点时间，固定端点状态的无约束条件变分问题。
则称泛函 J [ x(t )] 在 x(t ) x* (t ) 有极小值或极大值。
2. 泛函极值定理
《现代控制理论》课程教案
《现代控制理论》课程教案一、教学目标1. 了解自动控制的基本概念、原理和方法。
2. 掌握线性系统的状态空间分析、传递函数分析和频率响应分析。
3. 熟悉现代控制理论的主要内容，包括最优控制、鲁棒控制和自适应控制等。
4. 学会运用现代控制理论解决实际工程问题。
二、教学内容1. 自动控制的基本概念：开环控制与闭环控制、稳定性、稳态误差、性能指标等。
2. 线性系统的数学模型：差分方程、微分方程、状态空间方程。
3. 状态空间分析：系统的可控性、可观测性、稳定性和性能分析。
4. 传递函数分析：劳斯-赫尔维茨准则、奈奎斯特准则、频率响应分析。
5. 最优控制：线性二次调节器、庞特里亚金最小原理、动态规划。
三、教学方法1. 讲授：讲解基本概念、原理和方法，结合实际案例进行分析。
2. 互动：提问、回答问题，引导学生思考和讨论。
3. 练习：课后作业、小测验，巩固所学知识。
4. 项目：分组完成控制系统设计项目，提高实际应用能力。
四、教学资源1. 教材：《现代控制理论》，作者：宋志坚。
2. 课件：PowerPoint演示文稿。
3. 辅助软件：MATLAB，用于分析和设计控制系统。
五、教学评价1. 平时成绩：课堂表现、作业、小测验（30%）。
2. 项目成绩：分组完成的项目（30%）。
3. 期末考试成绩：闭卷考试（40%）。
六、教学安排1. 课时：总共32课时，每课时45分钟。
2. 授课方式：课堂讲授与实践相结合。
3. 授课进度安排：自动控制的基本概念（2课时）线性系统的数学模型（3课时）状态空间分析（5课时）传递函数分析（4课时）最优控制（5课时）鲁棒控制与自适应控制（5课时）控制系统应用案例分析（2课时）七、教学案例1. 案例一：温度控制系统描述：某实验室需要保持恒定的温度，当温度超过设定值时，启动空调降温；当温度低于设定值时，启动暖气升温。
教学目的：分析系统的稳定性、可控性和可观测性，设计合适的控制器。
2. 案例二：无人驾驶汽车控制系统描述：无人驾驶汽车需要实现路径跟踪、速度控制和避障等功能。
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11.1.1 最优控制问题的两个例子
[例1] 飞船的月球软着陆问题。 如图所示，飞船 靠其发动机产生一个与月球重力方向相反的推力 ， 使得飞船到月球表面时速度为零， 即实现软着陆。 要求设计推力函数 ，使得发动机燃料消耗最少。
月球
[解]
设飞船的质量为 ， 其高度和垂直速度分别为 和 ，月球的重力加速度为常数 ，飞船的自身 质量及所带燃料分别为 和 。
其中， 目标集 可表示为 性能指标 可表示为 其中 和 为连续可导的标量函数。
11.2 应用变分法求解无约束条件 的最优控制问题
11.2.1 泛函与变分
一. 泛函与泛函算子
所谓泛函，简单地说就是函数的函数，定义如下：
设
为给定的某类函数，如果对于这类函数中的
每一个函数，有某个数 与之相对应， 则称 为这类
哈工大现代控制理论基 础第十一章 最优控制
2020年4月24日星期五
11.1 最优控制问题的一般提法
最优控制研究的主要问题： 根据已建立的被控 对象的数学模型， 选择一个容许控制律， 使得被控 对象按照预定的规律运动，并使某一个性能指标达到 最大或最小。
从数学的观点来看， 最优控制问题是求解一类 带有约束条件的泛函极值问题， 属于变分学范畴。
经典的变分法只能解决控制无约束的问题， 即容许控制属于开集的一类最优控制问题。 然而， 工程中的控制常常是有约束的， 即容许控制是属于 闭集的。为了解决这个问题， 20世纪50年代，美国 学者贝尔曼和苏联科学院院士庞德里亚金分别独立 地拓展了经典变分法， 分别给出了动态规划方法和 极大值原理。 它们构成了最优控制的理论基础。
证明略
泛函变分的规则 泛函的变分是一种线性映射， 满足下列性质：
1 2 3 4
[例4] 已知连续泛函为
其中 和 为标量函数，试求泛函的变分。 [解]
四. 泛函的极值
[定义] 给定泛函
及其定义域中的一个变量
，如果对于任何一个与 接近的变量
都有
ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ
则称泛函
在 上达到一个相对的极大值。
如果上述关系对于定义域中的所有 均成立，则称
这里的 和 均为对角线矩阵。
上述性能指标的第一项表示末端时刻导弹与目标距 离的一种度量， 该距离常称为脱靶量； 第二项表示 控制过程消耗的能量。
11.1.2 最优控制的一般提法
设被控系统的状态方程及初始条件为
目标集为 ，求取一个容许控制 使受控系统由给定初始条件出发，在末端时刻 将系统的状态转移到目标集 ， 并使性能指标 达到最小。
[例2] 空对空导弹拦截。 假定导弹与目标的运动 发生在同一平面， 即假设导弹能产生足够大的铅垂 方向的升力，以抵消其自身的重力； 假定导弹推力 方向与其速度方向一致， 目标常速、定航向飞行。 这种假定并非过分限制， 实际上，导弹按此种假设
下所形成的控制律飞行， 直至接收到关于目标下一
次新的测量为止，根据新的测量再形成新的控制律， 这样反复进行，直至击中目标。 当量测采样间隔充 分小时， 关于目标常速、定航向的假设离实际情况 相差并不太远。
则宗量的变分定义为
为宗量，
设
是线性赋范空间 上的连续泛函，
若其增量可表示为
式中 则
关于 关于
的线性连续泛函； 的高节无穷小。
称为泛函
的变分。
上式说明泛函变分就是泛函增量的线性主部。
当一个泛函具有变分时， 也称为该泛函可微。
[定理1] 设
是线性赋范空间 上的连续泛函，
若在
处
可微，其中
，则
的变分为：
等价于下述泛函
拉格朗日乘子
（3） 的无条件极值问题。 拉格朗日函数 [例5] 设卫星姿态控制系统的简化状态方程为
指标泛函取为 边界条件为 试求使指标泛函取极值的轨线 和极值控制 。
[解] 这是一个有等式约束的泛函极值问题。 拉格朗日标量函数为
欧拉方程为
解得
其中 和 为待定常数。 由状态方程可得
则称
为 到 的泛函算子，记作：
为了对泛函进行运算，经常要求泛函 且有连续性的。
是线性
二. 线性泛函与连续泛函
如果对于任意常数 与 和 的任何变元 和 ，有
定义域中
则称
为线性泛函。
对于任意给定的正数 , 如果存在正数 ， 当
时， 有
则称
是在 处具有 阶接近度的连续泛函。
三. 泛函的变分
设
为连续泛函，
解得
其中 和 为待定常数。 将边界条件
代入可得
其中
零升力阻力系数，可以看作是常数 大气密度，也可以看作是常数 导弹的参考面积 将 和 看作是两个独立的控制变量时， 导弹 的运动方程为
取状态变量为 取控制变量为
令 则可得状态方程
这个问题可以归纳为：导弹从已知的初始状态
出发， 通过选择适当的控制律
及
，使得在末端时刻 尽可能地接
近目标， 同时，尽可能地节省控制能量。 为此，取性能指标为
[解] 在上述假设下目标的运动方程为
目标的位置坐标， 目标的线速度， 目标运动方向与 轴的夹角，
设 为导弹的质量，
为导弹在坐标平
面内的坐标， 表示导弹的速度， 与 轴的 夹角为 ， 表示导弹的侧向控制力。 如果用 表示推进剂秒流量， 可作为一个控制量， 则纵向 推力为 ， 其中 为常数。 设 表示导弹的 阻力因子， 且
函数的泛函，记为
。
函数类
称为泛函 的定义域。
[例3] 函数的定积分是一个泛函。设
每给定一个函数 对应。
，就有一个定积分值 与之相
在最优控制问题中， 若取如下形式的积分型性 能指标
则 的数值取决于 维向量函数 ， 因此上式 是一种积分型指标泛函。
设 为 维线性赋范空间， 为实数集，若存 在一一对应关系
考虑积分型泛函
其中
上的 维连续可微函数 关于其所有变元连续可微的 标量函数。
初始时刻，对应状态为 末端时刻，对应状态为
[定理3] 泛函 欧拉方程
在 处取得极值的必要条件为
和横截条件
对于最优解 证明略
成立。
11.2.3 泛函的条件极值
考虑积分型泛函
在约束条件
下的条件极值问题。
（1） （2）
[定理4] 泛函（1）在约束条件（2）下的极值问题
设从 时刻飞船开始进入软着陆过程， 以竖直向上为参考正方向， 可写出运动方程为
其中 为常数。 控制飞船从初始状态为
到某一时刻 实现软着陆，即
控制过程中，推力 最大推力 ， 即
不能超过发动机所能提供的
最优控制问题可以描述为： 在满足控制约束的条件 下，寻求发动机推力 ，使飞船的燃料消耗最小，
也就是使得 时刻飞船的质量 为最大， 即
泛函
在 上达到其定义域中的一个绝对极
大值。
极小值的定义完全类似，只是不等号变向。
当 与 具有零阶接近度， 即
很小时， 相应的极值称为强极值；当 与
具有一阶接近度，即
及
均很小时， 相应的极值称为弱极值。
[定理2] 如果具有变分的泛函
在
达到极值， 则
沿着 的变分
证明略
上 为零。
11.2.2 欧拉方程