导数复合函数求导法则(非常实用)(精选)
简单复合函数求导法则
简单复合函数求导法则根据链式法则，如果y是一个由u=g(x)和v=f(u)组成的复合函数，则复合函数y=f(g(x))的导数可以表示为：dy/dx = dy/du * du/dx其中，dy/du 是函数f对u的导数，du/dx 是函数g对x的导数。
下面我们将介绍一些常见的简单复合函数求导法则。
一、常数倍数法则如果 f(x) 是一个可导函数，而 c 是一个常数，则 cf(x) 的导数是c * f'(x)。
根据这个法则，我们可以推导出以下常见的函数求导法则。
二、和差法则如果f(x)和g(x)都是可导函数，则它们的和f(x)+g(x)的导数是f'(x)+g'(x)差f(x)-g(x)的导数是f'(x)-g'(x)。
三、乘积法则如果f(x)和g(x)都是可导函数，则它们的乘积f(x)g(x)的导数是f'(x)g(x)+f(x)g'(x)。
四、商法则如果f(x)和g(x)都是可导函数，且g(x)≠0，则它们的商f(x)/g(x)的导数是[f'(x)g(x)-f(x)g'(x)]/[g(x)]²。
如果f(u)是一个可导函数，而u=g(x)是一个可导的函数，则复合函数y=f(g(x))的导数是dy/dx = dy/du * du/dx = f'(u) * g'(x)。
这个法则是链式法则的核心，也是复合函数求导的关键。
对于指数函数 f(x) = a^x，其中 a 是一个正实数，则它的导数是f'(x) = (ln a) * a^x。
对于对数函数 f(x) = log_a(x)，其中 a 是一个正实数且a ≠ 1，则它的导数是 f'(x) = 1 / (x * ln a)。
这是一些常见的简单复合函数求导法则。
在实际应用中，我们经常会遇到更复杂的函数，需要根据特定函数的性质和结构来应用合适的求导法则。
掌握这些法则可以帮助我们更准确地计算各种复合函数的导数，并应用于相关问题的求解中。
复合函数导数公式及运算法则
复合函数导数公式及运算法则复合函数导数公式极其运算法则同学们还记得吗，如果不记得了，请往下看。
下面是由小编为大家整理的“复合函数导数公式及运算法则”，仅供参考，欢迎大家阅读。
复合函数导数公式.常用导数公式1.y=c(c为常数) y'=02.y=x^n y'=nx^(n-1)3.y=a^x y'=a^xlnay=e^x y'=e^x4.y=logax y'=logae/xy=lnx y'=1/x5.y=sinx y'=cosx6.y=cosx y'=-sinx7.y=tanx y'=1/cos^2x8.y=cotx y'=-1/sin^2x9.y=arcsinx y'=1/√1-x^210.y=arccosx y'=-1/√1-x^211.y=arctanx y'=1/1+x^212.y=arccotx y'=-1/1+x^2在推导的过程中有这几个常见的公式需要用到：1.y=f[g(x)],y'=f'[g(x)]•g'(x)『f'[g(x)]中g(x)看作整个变量，而g'(x)中把x看作变量』2.y=u/v,y'=u'v-uv'/v^23.y=f(x)的反函数是x=g(y)，则有y'=1/x'证：1.显而易见，y=c是一条平行于x轴的直线，所以处处的切线都是平行于x的，故斜率为0。
用导数的定义做也是一样的：y=c,⊿y=c-c=0,lim⊿x→0⊿y/⊿x=0。
2.这个的推导暂且不证，因为如果根据导数的定义来推导的话就不能推广到n为任意实数的一般情况。
在得到 y=e^x y'=e^x和y=lnx y'=1/x这两个结果后能用复合函数的求导给予证明。
3.y=a^x,⊿y=a^(x+⊿x)-a^x=a^x(a^⊿x-1)⊿y/⊿x=a^x(a^⊿x-1)/⊿x如果直接令⊿x→0，是不能导出导函数的，必须设一个辅助的函数β=a^⊿x-1通过换元进行计算。
复合函数的求导法则.
复合函数的求导法则是指对于一个复合函数而言，求导时
需要将自变量和函数进行分离，分别对自变量和函数求导，
再求和。
具体来说，复合函数的求导法则可以分为两种情况:
1. 直接求导法则
如果复合函数的内层函数是简单函数(即只包含一个自变
量的函数)，那么可以直接按照求导法则对内层函数进行求导，然后利用链式法则对外层函数进行求导。
例如，对于函数
f(x)=x^2+2x,求f(x)的导数，可以按照以下步骤进行:
f'(x) = (x^2 + 2x)' = (x^2)' + 2(x^2)'x = x^2 + 4x
其中，x^2的导数为2x,2x的导数为2,x的导数为1。
2. 间接求导法则
如果复合函数的内层函数是复合函数，那么需要先将内层
函数转化为简单函数，然后再按照求导法则对简单函数进行
求导。
例如，对于函数f(x)=sin(wx+b),求f(x)的导数，可
以按照以下步骤进行:
f'(x) = (sin(wx+b))' = (sin(wx+b))'w·cos(wx+b) + (sin(wx+b))'b·sin(wx+b) = w·cos(wx+b) + b·sin(wx+b)
其中，w为常数，表示角速度，cos(wx+b)为在wx+b方向
上的余弦函数，sin(wx+b)为在wx+b方向上的正弦函数。
简单复合函数的求导法则
2u
6 x 4 ; ux
u y y yu x
' ' x
3 ;
' x
, u 分析三个函数解析式以及导数 yu x, y
之间的关系:
19:27:48
复合函数的求导法则
定理 设函数 y = f (u)， u = (x) 均可导， 则复合函数 y = f ( (x)) 也可导. 且
( x) y f ( u ) y y u ， 或 x x u x
即：因变量对自变量求导,等于因变量对中间变 量求导,乘以中间变量对自变量求导. ( 链式法 则 ) 注意：
1、法则可以推广到两个以上的中间变量； 2、求复合函数的导数,关键在于分清函数的复合关系,合理选定 中间变量,明确求导过程中每次是哪个变量相对于哪个变量求导.
【解析】
复习检测
复习检测
复习检测
复习检测
例4、一个港口的某一观测点的水位在退潮的过程中， 水面高度y（单位：cm）。关于时间t（单位：s）的 函数为 y h(t ) 100 ，求函数在t=3时的导数，
2t 1
100 100 解：函数 y h(t ) f ( x) 是由函数 2t 1 x
并解释它的实际意义。
与
x (t ) 2t 1 复合而成的
yt h(t ) f ( x) (t )
100 200 2 x2 (2t 1) 2
将t=3代入 得：
200 它表示当t=3时，水面高度下降的速度为 cm/s。 49
200 h (3) 49
3 例2 求曲线y 3 (3x 2 1)在点（ 1， 4）处的切线方程。 练习
复合函数的导数
所以
yx yu ux 2u cos x 2sin x cos x.
例 3 设 y = etan x，求 y . 解 y = etan x 可以看成是由 y = eu，u = tan x 复合而成，所以
yx yu ux (eu )u (tan x)x
= elnx ·(ln x) e ln x 1
x
x 1 x 1 .
x
例 12 设 u x2 y2 z2 , 求证：
u x
2
u y
2
u z
2
1
.
证明
u x 2
x2
1 y2
z2
(x2
y2
z 2 )x
x
x
,
x2 y2 z2 u
同理，得
u y ,u z ,代等式左边得解 先用复合函数求导公式，再用加法求导公式，
然后又会遇到复合函数 1 x2 的求导.
[ln(x 1 x2 )]
1
( x 1 x2 )
x 1 x2
1
[1 ( 1 x2 )]
x 1 x2
x
1 1
x2
1
1. 1 x2
x 1
x2
例 11 设 y = sh x， 求 y .
解
y
(shx)
一、复合函数的求导法则
定理 2 设函数 y = f (u)， u = (x) 均可导， 则复合函数 y = f ( (x)) 也可导.
且 或
或
证 设变量 x 有增量 x，相应地变量 u 有 增量 u，从而 y 有增量 y. 由于 u 可导，
所以lim u 0. x0
复合函数的导数及导数的运算法则
复合函数的导数及导数的运算法则复合函数是指由两个或多个函数组成的函数。
在求复合函数的导数时，需要使用链式法则，即将函数的导数作为求导的一部分。
设有两个函数f(x)和g(x)，假设y=f(g(x))是一个复合函数。
我们的目标是求解复合函数y=f(g(x))的导数dy/dx。
根据链式法则，dy/dx可以表示为：dy/dx = df(g(x))/dx根据上述公式，我们可以按照以下步骤求导：Step 1: 首先对f(g(x))进行求导，即求df(g)/dg。
Step 2: 然后对g(x)进行求导，即求dg(x)/dx。
Step 3: 最后将求导得到的结果相乘，即df(g)/dg * dg(x)/dx =dy/dx。
下面我们讨论一些常见的复合函数和它们的导数运算法则。
1. 复合函数的链式法则（Chain Rule）设有函数f(u)和g(x)，假设y=f(g(x))是一个复合函数。
根据链式法则，复合函数y=f(g(x))的导数可以表示为：dy/dx = f'(g(x)) * g'(x)其中，f'(u)和g'(x)分别表示f(u)和g(x)的导数。
例如，如果y=(2x+1)^3，则可以将它表示为y=u^3，其中u=2x+1、根据链式法则：dy/dx = 3u^2 * du/dx = 3(2x + 1)^2 * 2 = 6(2x + 1)^22.复合函数中的乘法法则如果复合函数中有乘法运算，则可以使用乘法法则来求导。
例如，如果y=x^2*e^x，则可以使用乘法法则来求导：dy/dx = (d/dx)(x^2) * e^x + x^2 * (d/dx)(e^x)对于每一项使用基本求导法则：dy/dx = 2x * e^x + x^2 * e^x3.复合函数中的除法法则如果复合函数中有除法运算，则可以使用除法法则来求导。
例如，如果y=(x^2+1)/(x-1)，则可以使用除法法则来求导：dy/dx = [(d/dx)(x^2 + 1)(x - 1) - (d/dx)(x - 1)(x^2 + 1)]/(x - 1)^2再对每一项使用基本求导法则：dy/dx = [(2x)(x - 1) - (x^2 + 1)]/(x - 1)^24.复合函数中的三角函数法则如果复合函数中包含三角函数，则可以使用三角函数法则来求导。
导数的复合求导法则
导数的复合求导法则导数的复合求导法则是微积分中的重要内容，它可以帮助我们计算含有复合函数的导数。
在复合函数中，一个函数嵌套在另一个函数内部，我们需要利用复合求导法则来计算这个复合函数的导数。
复合求导法则有两个部分：链式法则和指数法则。
一、链式法则：链式法则是计算复合函数导数的一种方法，它适用于函数嵌套的情况。
设有函数y=f(u)和u=g(x)，则复合函数y=f(g(x))的导数可以表示为：dy/dx = (dy/du) * (du/dx)其中，(dy/du)表示外函数f(u)对内函数u=g(x)的导数，(du/dx)表示内函数u=g(x)对自变量x的导数。
链式法则的推导过程如下：1.设复合函数为y=f(g(x))，其中u=g(x)。
2. 通过求导的定义，可以计算出dy/du，即外函数f(u)对内函数u=g(x)的导数。
3. 通过求导的定义，可以计算出du/dx，即内函数u=g(x)对自变量x的导数。
4. 接着，将dy/du和du/dx相乘即可得到复合函数y=f(g(x))的导数：dy/dx = dy/du * du/dx。
链式法则的一个重要应用是计算嵌套函数的高阶导数。
利用链式法则，我们可以推导出计算嵌套函数高阶导数的公式。
例如，对于二阶导数，我们可以将链式法则应用两次来计算。
二、指数法则：指数法则是计算含有指数函数的复合函数导数的一种方法。
指数函数是指以常数e为底的自然指数函数，例如f(x) = e^x。
对于指数函数e^x，其导数等于其本身。
即d(e^x)/dx = e^x。
当复合函数中出现指数函数时，我们可以利用指数法则来计算其导数。
指数法则有两种形式：1. 对于一般形式的复合函数：y = e^(g(x))，其中u = g(x)。
则该复合函数的导数为dy/dx = (e^(g(x))) * g'(x)。
2. 对于特殊情况：y = a^(g(x))，其中a为常数。
则该复合函数的导数为dy/dx = (a^(g(x))) * ln(a) * g'(x)。
微积分3.3 复合函数求导法则_OK
6
在熟练掌握链式法则后，不写出中间变量会更简便些。
例. 设 y xaa a xa aax (a 0), 求 y.
解 y aa xaa 1 a xa ln a a xa1 aax ln a a x ln a aa xaa 1 a xa 1 ln a xa1 aa x x (ln a)2
(3) y ln cos( e x ) 2x5 ;(4) y x 1 e 2x arcsin e x
key : (1) y 1 ; sin x cos x
(2) y 2 1 x2
(3) y tan(e x )) e x 2x5 ln 2 5 x4;
(4) y 1 e2x x e2x
例.证明：若f x为偶函数, 且f 0存在, 则f 0 0.
解 若f ( x)为偶函数，则f ( x) f ( x)
f (0) lim f ( x) f (0) lim f ( x) f (0)
x0
x0
x0 x 0
lim f ( x) f (0) lim f ( x) f (0) f (0)
当然若函数在分段点不连续，则一定不可 导，此时不必再用点导数定义式判断这点 的可导性了。
例
(
x)
x2
1
3x
x 0 ( x)在x 0点不连续，
x 0 故x 0点也是不可导13点。
例
求函数
y
ln
3
x2 1 x2
(x
2) 的导数.
解 y 1 ln( x2 1) 1 ln( x 2),
y
(ln
u)u
(arctanv
)v
x 2
x
1 u
1
1 v
2
1 2
高等数学入门——复合函数的求导法则
高等数学入门——复合函数的求导法则一、复合函数的定义在高等数学中，复合函数是由两个函数通过组合而成的新函数。
假设有两个函数f(x)和g(x)，则它们的复合函数可以表示为f(g(x))。
其中，g(x)是内层函数，f(x)是外层函数。
二、复合函数的求导法则对于复合函数f(g(x))，我们希望求出它的导数。
根据链式法则，复合函数的导数可以通过内层函数和外层函数的导数相乘来计算。
具体的求导法则如下：1. 内层函数求导：首先求出内层函数的导数g'(x)。
2. 外层函数求导：然后求出外层函数对内层函数的导数f'(g(x))。
3. 乘积求导：将内层函数的导数和外层函数对内层函数的导数相乘，即可求得复合函数的导数。
三、示例分析为了更好地理解复合函数的求导法则，我们来看一个具体的示例。
假设有两个函数f(x) = x^2和g(x) = 2x + 1，我们希望求出复合函数f(g(x))的导数。
求出内层函数g(x)的导数：g'(x) = 2然后，求出外层函数对内层函数的导数f'(g(x))：f'(g(x)) = 2g(x) = 2(2x + 1) = 4x + 2将内层函数的导数和外层函数对内层函数的导数相乘，得到复合函数的导数：[f(g(x))]'= f'(g(x)) * g'(x)= (4x + 2) * 2= 8x + 4因此，复合函数f(g(x))的导数为8x + 4。
四、总结通过以上示例分析，我们可以总结出复合函数的求导法则：1. 求出内层函数的导数。
2. 求出外层函数对内层函数的导数。
3. 将内层函数的导数和外层函数对内层函数的导数相乘，得到复合函数的导数。
复合函数的求导法则在微积分中具有重要的应用价值，它可以帮助我们计算复杂函数的导数。
通过理解和掌握复合函数的求导法则，我们可以更好地应用微积分知识解决实际问题。
希望本文能够对读者理解复合函数的求导法则有所帮助。
复合函数求导公式运算法则
复合函数求导公式运算法则1. 引言复合函数求导是微积分中的一个常见问题，它涉及到函数的复合运算和导数的求解。
在实际问题中，我们经常需要利用复合函数求导来解决各种复杂的计算问题。
本文将深入探讨复合函数求导的公式运算法则，帮助读者更好地理解和掌握这一重要的数学概念。
2. 复合函数的定义首先，我们回顾一下复合函数的定义。
设有两个函数f(f)和f(f)，则它们的复合函数f(f)=f[f(f)]定义为先对f应用f(f)，然后再将结果代入f(f)中得到的函数。
复合函数的符号通常表达为f(f)=f(f(f))。
3. 复合函数求导的基本公式接下来，我们将介绍复合函数求导的基本公式。
设有复合函数f(f)=f(f(f))，则它的导数可以表示为：$$ F'(x) = f'(g(x)) \\cdot g'(x) $$这个公式是复合函数求导的基本规律，它表明了复合函数的导数等于外层函数在内层函数的导数点乘上内层函数的导数。
4. 复合函数求导的具体运算法则在实际应用中，我们经常会遇到更加复杂的复合函数，此时需要灵活运用复合函数求导的公式和法则。
以下是一些常见的复合函数求导法则：4.1. 链式法则链式法则是复合函数求导的核心法则之一，它适用于多层复合函数的求导计算。
链式法则表述为：若f=f(f)，f=f(f)，则有$\\frac{dy}{dx}=\\frac{dy}{du} \\cdot\\frac{du}{dx}$。
这个法则可以推广到多个函数相互嵌套的情况，帮助我们简化复杂函数的导数计算。
4.2. 反函数法则当我们需要求解复合函数的反函数的导数时，可以利用反函数的求导法则。
设有函数f=f(f)，如果f与f有反函数f=f(f)的关系，那么有$\\frac{dx}{dy} =\\frac{1}{\\frac{dy}{dx}}$。
这个法则对于一些特定的函数反函数求导问题非常有用。
4.3. 高阶导数的求导法则在某些情况下，我们需要计算复合函数的高阶导数，即导数的导数。
简单复合函数的求导法则精华版
1 f ( ) x
×
1 1 2 f ( ) x x
( x 2 1 ) f
2x x2 1
小结
＊ 复合函数求导公式： f ( x ) f (u ) ( x ) 关键：分清函数的复合关系，合理选定中间变量。 利用复合函数的求导公式可以求抽象函数的导数。 ＊ 抽象复合函数的导数： 对于抽象复合函数的求导, 要从其形式上把握其 结构特征，找出中间变量；另外要充分运用复合关
100 y h(t ) 2t 1 求其在 t 3 时的导数，并解释其意义。解析
例4 求列函数的导数：
(1) y f ( x )
2
( 2) y f (sin x )
前面所求的都是具体的复合函数的导数，而此题 中的对应法则 f 是未知的，是抽象的复合函数。它们
的导数如何求得？？
知识回顾
1、导数公式表
函数 导函数
y c(c是常数）
y x (为实数）
y a x (a 0, a 1)
y 0 y x 1
y a x ln a
ye
x
y e x
y 1 x ln a 1 y x
y log a x (a 0, a 1)
y ln x
y sin x
y cos x
Title
y cos x
y sin x
y 1 cos 2 x
1 sin 2 x
y tan x
y cot x
y
＊ 导数的加减法法则： f ( x) g ( x) f ( x ) g ( x)
分运用复合关系的求导法则。
解： （1）函数是由 y f (u ) 与 u ( x ) x 2复合而成的， 由复合函数的求导法则知：
一句话总结复合函数求导法
一句话总结复合函数求导法
复合函数求导法是微积分中的重要概念，它描述了两个函数复合后求导的方法。
下面列举了十个关于复合函数求导法的总结：
1. 复合函数的求导法则：对于复合函数f(g(x))，其导数等于外层函数f'(g(x))乘以内层函数g'(x)。
2. 复合函数求导的链式法则：对于复合函数f(g(x))，其导数等于
f'(g(x))乘以g'(x)。
3. 复合函数求导的应用：复合函数求导法可以用于求解复杂函数的导数，如指数函数、对数函数等。
4. 复合函数求导的基本思想：将复合函数视为两个函数的组合，先求内层函数的导数，再求外层函数的导数。
5. 复合函数求导的步骤：首先求内层函数的导数，然后求外层函数的导数，最后将两个导数相乘。
6. 复合函数求导的注意事项：在求导过程中，需要注意函数的定义域和导数的存在性。
7. 复合函数求导的例子：例如，对于复合函数f(g(x))=sin(x^2)，其导数等于2x*cos(x^2)。
8. 复合函数求导的推广：复合函数求导法可推广到多个函数的复合，依然使用链式法则进行求导。
9. 复合函数求导与反函数求导的关系：复合函数求导与反函数求导是相互关联的，可以通过链式法则进行推导。
10. 复合函数求导与高阶导数的关系：复合函数求导法可以推广到
高阶导数的计算，依然使用链式法则进行推导。
通过上述总结，可以清晰地了解复合函数求导法的基本原理和应用方法。
掌握这一知识点对于解决复杂函数求导问题非常重要，有助于进一步理解微积分的概念和方法。
希望上述内容能对你有所帮助！。
复合函数的求导法则
复合函数的求导法则在微积分学中，复合函数是指由两个或更多个函数组合而成的函数。
复合函数的求导法则是研究如何求解复合函数的导数，也即是求解复合函数的导函数的方法。
为了更好地理解复合函数的求导法则，我们首先需要了解两个基本的导数法则：链式法则和乘积法则。
一、链式法则链式法则是求解复合函数的导数时经常使用的法则。
它是由微积分学家利用导数的定义和复合函数的定义推导出来的。
设有复合函数 y = f(g(x))，其中 f(x) 和 g(x) 分别是函数 f 和 g 的导函数，则复合函数的导数可以表示为：dy/dx = df/dg * dg/dx链式法则的一般形式是：若 y = f(u)，u = g(x)，则有 dy/dx = dy/du * du/dx根据链式法则，我们可以通过求解每个函数的导函数，然后按照乘法法则相乘来求得复合函数的导函数。
二、乘积法则乘积法则是求解多个函数相乘的导数的法则。
如果我们有两个函数u(x) 和 v(x)，它们的导数分别为 du/dx 和 dv/dx，那么它们的乘积的导数可以表示为：d(uv)/dx = u * (dv/dx) + v * (du/dx)根据乘积法则，我们可以求得复合函数的导函数。
接下来，我们将通过一些例子来说明如何应用链式法则和乘积法则来求解复合函数的导函数。
例子1：y = sin(2x^2 + 5x)这是一个复合函数，其中 f(x) = sin(x) 和 g(x) = 2x^2 + 5x。
我们首先求解 g(x) 的导函数：g'(x) = d(2x^2 + 5x)/dx = 4x + 5然后求解 f(g(x)) 的导函数：df/du = cos(u) （sin(x) 的导函数）du/dx = g'(x) = 4x + 5所以，根据链式法则，dy/dx = dy/du * du/dx = cos(u) * (4x + 5) = (4x + 5) *cos(2x^2 + 5x)例子2：y = (2x + 3)^3这是一个复合函数，其中 f(x) = x^3 和 g(x) = 2x + 3。
复合函数的求导法则
3.3 复合函数的导数
第三章 导数与微分
第三节 复合函数的导数
第三节 复合函数的导数
y sin 2x , 求 y.
猜想 y sin u
u 2x 复合而成
从复合函数出发 进行求解
第三节 复合函数的导数
ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ
定理 设 u = (x) 在点 x 处可导, y = f (u) 在对应
dy 20u19 du 3
du
dx
y dy du 20u19 3 du dx
60(1 3x)19
先分解
求导相乘 回代
练 判断： 已知y ex , 则 y ex.
A.正确
B.错误
由外向内 层层求导 靠近x叫内层，远离x叫外层
y sin ax y cos( ax ) a
y e5x
y arctan1 x
y e(5x) 5
y
1
1 (1
)2
(
1 x2
)
x
复合函数求导法则可推广到多个中间变量的情形：
三个可导函数 y f (u)， u (v) ， v (v) ， 复合而成的复合函数 y f (( (x))) 也可导，且
d y d y d u d v f (u) (v) (x)
点 u ( u = (x) ) 处也可导, 复合函数 y = f ( (x))
在 U(x) 内有定义, 则 y = f ( (x)) 在点 x 处可导,
且
( f ((x))) f ((x))(x) 或
d d
y x
d d
y u
d d
u x
复合函数求导法则
y' x 3e
u 3 x 1
y' x 3e
求下列复合函数的导数
y ln u, u = 1 + x
1 y 'u , u ' x 2 x u 2x y'x u 2x y'x 2 1 x
2. y = ln(1 + x )
2
1.先分解
2
2.分别求导 3. 求积 4. 还原
21
解:y = e , u = 2x
y'u e , u'x 2
y' x 2e
u
y'x 2e
2x
4. 还原
24
求下列复合函数的导数
ya
u
x
解：y e
u
lna
x
1.先分解
e
x lna
y e , u x ln a
2.分别求导 3. 求积
y'u e , u'x ln a
求下列复合函数的导数
3. y = sin(4 x - 5)
2
1.先分解
2
解:y = sin u, u = 4x - 5
y'u cosu, u'x 8x y'x 8x cosu
2.分别求导
3. 求积 4. 还原
y'x 8x cos(4x 5)
2
22
求下列复合函数的导数
. y sin x (sin x)
y'x e ln a
u
公式： a ' a ln a x ln a x y'x e ln a a ln a
高考数学复合函数求导公式总结
高考数学复合函数求导公式总结高考数学中，复合函数求导是一个重要的知识点。
在解题过程中，掌握求导的公式和方法，可以大大减少解题的时间和复杂度。
下面我将总结高考数学中常见的复合函数求导公式。
一、基本复合函数求导法则1.基本求导法则对于单个函数的求导，我们可以用基本求导法则来求解。
例如，对于常数函数 f(x) = c (c为常数)，其导函数为 f'(x) = 0。
而对于多项式函数 f(x) = x^n (n为自然数)，其导函数为 f'(x) = nx^(n-1)。
另外，对于指数函数 f(x) = e^x，其导函数为 f'(x) = e^x。
在求导时，还需要注意链式法则和乘积法则等。
2.复合函数求导法则复合函数是由一个函数的输出作为另一个函数的输入而形成的函数。
在求复合函数的导数时，我们需要先求外函数的导数，然后再乘上内函数的导数。
例如，对于复合函数f(g(x))，其导数可以通过以下公式求解：[f(g(x))]′=f′(g(x))g′(x)这个公式称为复合函数求导的链式法则。
二、特殊复合函数求导公式1.反函数设y=f(x)是x=g(y)的反函数，则有以下公式：[g(f(x))]′=[f'(x)]⁻¹2.自然对数函数的复合设 y = ln(u)，则有以下公式：[ln(u)]′= u' / u3.幂函数的复合设y=u^v，其中u是关于x的函数，v是关于x的函数，则有以下公式：[u^v]′= v' u^(v-1) + v ln(u)u^v u'其中v'是v的导数，u'是u的导数。
4.指数函数的复合设y=a^u，其中a是常数，u是关于x的函数，则有以下公式：[a^u]′= ln(a) a^u u'其中u'是u的导数。
5.对数函数的复合设 y = log_a(u)，其中 a 是常数，u 是关于 x 的函数，则有以下公式：[log_a(u)]′= 1 / (ln(a) u) u'其中u'是u的导数。
复合函数求导数的四步
复合函数求导数的四步
复合函数求导法则如下：
一般地，对于函数y=f(u)和u=g(ⅹ)复合而成的函数y=f(g(ⅹ))，它的导数与函数y=f(u)，u=g(x)的导数间的关系为yⅹ＇=yu＇·u ⅹ＇，即y对x的导数等于y对u的导数与u对x导数的乘积。
总的公式f'[g(x)]=f'(g)×g'(x)
比如说：求ln(x+2)的导函数
[ln(x+2)]'=[1/(x+2)] 【注：此时将(x+2)看成一个整体的未知数x'】×1【注：1即为(x+2)的导数】
复合函数求导的步骤:
1、分层：选择中间变量，写出构成它的内，外层函数。
2、分别求导：分别求各层函数对相应变量的导数。
3、相乘：把上述求导的结果相乘。
4、变量回代：把中间变量回代。
主要方法：
先对该函数进行分解，分解成简单函数，然后对各个简单函数求导，最后将求导后的结果相乘，并将中间变量还原为对应的自变量。
例如，复合函数求导。
求复合函数的导数注意:
1、分解的函数通常为基本初等函数。
2、求导时分清是对哪个变量求导。
3、计算结果尽量简单。
4、对含有三角函数的函数求导，往往需要利用三角恒等变换公式，对函数式进行化简，使函数的种类减少，次数降低，结构尽量简单，从而便于求导。
5、分析待求导的函数的运算结构，弄清函数是由哪些基本初等函数通过何种运算而构成的，确定所需的求导公式。