牛顿—欧拉方程

牛顿-欧拉方程
欧拉方程(Euler equations)，是欧拉运动定律的定量描述，欧拉运动定律是牛顿运动定律的延伸，在牛顿发表牛顿运动定律超过半个世纪后，于1750年，欧拉才成功的用欧拉方程表述了该定律：
Ω⃗b=I b−1[M⃗⃗ b−Ω⃗b×( I b Ω⃗b)]
该方程是建立在角动量定理的基础上的描述刚体的旋转运动时刚体所受外力矩M与角加速度Ω′的关系式，大多时候可简写成:
Ωx′=[M x+(I yy−I zz)ΩyΩx]/I xx
Ωy′=[M y+(I zz−I xx)ΩxΩz]/I yy
Ωx′=[M z+(I zz−I yy)ΩxΩy]/I zz
其中，M x,M y,M z分别为刚体坐标系S b下三个轴的所受的外力矩，I xx,I yy,I zz分别为刚体三个坐标轴的转动惯量(刚体坐标系下S b)。

欧拉方程通常与牛顿的平移运动方程被一起写出，称为牛顿-欧拉方程(Newton-Euler equations)：
F(t)=ma(t)
M⃗⃗ b=Ω⃗b×( I b Ω⃗b)+ I b Ω⃗b
这里对牛顿的平移运动方程不赘述，只对欧拉方程进行讨论。

1.单质点角动量定理
质点旋转时，有动量定理：
F=d(mv ) dt
对两边叉乘质点位置矢量r：
r×F=r×d(mv ) dt
观察：
d(r×mv )
dt =r×
d(mv )
dt
+
dr
dt
×mv
因为：
dr
dt
×mv=v×mv=0故有：
d(r×mv )
dt =r×
d(mv )
dt
r×F=d(r×mv )
dt
定义角动量L⃗=r×mv，可以看出r×F为外力矩M⃗⃗ 故有单质点的角动量定理：
M⃗⃗ =dL⃗dt
2.刚体的角动量定理
定义刚体的角动量为：
L⃗G=∫L⃗i dm
其中：L⃗G下标G表示该向量为大地坐标系S G下的，L⃗i的下标i表示该向量为大地坐标S G下各个质量元的向量。

刚体旋转运动参考的惯性系是大地坐标系S G，不能把采用刚体的本身坐标系S b作为参考系，本身坐标系S b的提出只是方便我们某些量的分析与表述，如角速度Ω⃗b、惯性张量 I b 。

(这里需要特别说明的是因为刚体质量分布不均匀的原因，角动量的方向往往不与刚体角速度方向一致，这也是无力矩进动的原因，即很多时候刚体角速度不守恒但刚体的角动量守恒了，宏观来看就是因为要保证角动量和动量守恒所以才要产生内力作用使角速度变化达到守恒的效果。

)
由牛顿第三定律易知内力矩产生的角动量变化相抵，故有刚体的角动量定理：
M⃗⃗ G=dL⃗G dt
其中：M⃗⃗ G为外力矩
L⃗G=∫L⃗i dm=∫(r G×v G)dm=∫(r G×(Ω⃗G×r G))dm 把上式展开有：
L⃗G=I GΩ⃗G
其中：I G称为惯性矩阵
I G≝[I xx I xy I xz I yx I yy I yz I zx I zy I zz
]
I xx≝∫y2+z2dm I yy≝∫x2+z2dm I zz≝∫x2+y2dm I xy=I yx≝−∫xydm
I yz=I zy≝−∫yzdm
I zx=I xz≝−∫zxdm
刚体旋转时，I G是变化的，但刚体在刚体坐标系下S b的惯性矩阵I b不会变，且容易分析得到：
I G=RI b R T
其中：R为刚体坐标系下S b到大地坐标系S G的旋转矩阵。

3.欧拉方程的证明
在先证欧拉方程前，先给出几个刚体坐标系S b下的向量：
外力矩：M⃗⃗ b；惯性矩阵：I b；角速度：Ω⃗b
M⃗⃗ G=dL⃗G
dt
=
d(I GΩ⃗G)
dt
引入刚体坐标系的向量：
RM⃗⃗ b=d((RI b R T)(RΩ⃗b)
dt
旋转运动时：旋转矩阵R，刚体角速度Ω⃗b都为变量，只有I b为不变量。

故上式为：
R(t)M⃗⃗ b=R(t) I b Ω⃗b+R(t) I b Ω⃗b
R(t)M⃗⃗ b=R(t)Ω⃗b×( I b Ω⃗b)+R(t) I b Ω⃗b
两边乘上R T为：
M⃗⃗ b=Ω⃗b×( I b Ω⃗b)+ I b Ω⃗b
Ω⃗b=I b−1[M⃗⃗ b−Ω⃗b×( I b Ω⃗b)]
该式中所有量都为刚体坐标系S b的量，展开即为欧拉方程，I xy, I xy, I zx 都为0时即为前面所给出的欧拉方程，称为局部坐标系的欧拉方程。