数学探究性题目七例(含答案)-

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七年级数学探究题集锦

探究题集锦1、观察下列图形的构成规律，根据此规律，第10个图形有个圆。

2、下图是某同学在沙滩上用石子摆成的小房子。

观察图形的变化规律，写出第9个小房子用了块石子，第n个小房子用了块石子。

3、这是一根起点为0的数轴，现有同学将它弯折，如图所示，例如：虚线上第一行0，第二行6，第三行21，第4行的数是。

4、仔细观察，思考下列一列数有哪些规律，然后填空：―1,2，―4,8，―16,32，……，（1）第7个数是；（2）第2012个数是；（3）第n个数是。

5、观察下列图形及图形所对应的等式，探究其中的规律：1＋8＝321＋8＋16＝521＋8＋16＋24＝，（1）在横线上写出第3个图形所对应的算式的结果；（2）在横线上写出第4个图形所对应的等式；（3）根据你发现的规律计算1＋8＋16＋24＋……＋8n（n是正整数）的结果为（用含n的代数式表示）。

第1个第2个第3个第4个1011121321046、用火柴棒按如下方式搭三角形：照这样的规律搭下去，搭n个这样的三角形需要根火柴棒。

7、小明同学平时爱好数学，他探究发现了：从2开始，连续的几个偶数相加，它们的和的情况的变化规律，如下表所示：请你根据表中提供的规律解答下列问题：（1）如果n＝8时，那么S的值为；（2）根据表中的规律猜想：用n的代数式表示S，则S＝2＋4＋6＋8＋…＋2n＝；（3）利用上题的猜想结果，计算300＋302＋304＋…＋2010＋2012的值（要有计算过程）。

8、找规律填数：12，―25，310，―417，625，。

9、有一组数依次是：0、1、1、2、3、5、8、13、m、34、……则m＝。

10、观察表一，寻找规律，表二，表三分别是从表一中选取的一部分，则a＋b的值为。

1114 a 1113 17b………………………01231 2 3357581171115表一表二表三11、观察下列等式，写出你发现的规律：① 32－12＝4×2 ② 42－22＝4×3③ 52－32＝4×4 ④ …………………………………… （1）补全第④式。

2021年中考数学复习——几何探究型问题(有答案)

2021年中考数学复习——几何探究型问题班级姓名1. （2020年湖南长沙中考）如图，点P在以MN为直径的半圆上运动（点P不与M、N重合），PQ⊥MN，NE平分∠MNP，交PM于点E，交PQ于点F。

（1）=+PMPEPQPF（2）若MNPMPN•=2，则=NQMQ2.（2020年湖南岳阳中考）如图，AB为半⊙O的直径，M，C是半圆上的三等分点，8AB=，BD与半⊙O相切于点B，点P为AM上一动点（不与点A，M重合），直线PC交BD于点D，BE OC⊥于点E，延长BE交PC于点F，则下列结论正确的是______________．（写出所有正确结论的序号）①PB PD=；②BC的长为43π；③45DBE∠=︒；④BCF PFB△∽△；⑤CF CP⋅为定值．3.（2020年湖南湘西中考）问题背景：如图1，在四边形ABCD中，90BAD∠=︒，90BCD∠=︒，BA BC=，120ABC∠=︒，60MBN∠=︒，MBN∠绕B点旋转，它的两边分别交AD、DC于E、F．探究图中线段AE，CF，EF之间的数量关系．小李同学探究此问题的方法是：延长FC到G，使CG AE=，连接BG，先证明BCG BAE△≌△，再证明BFC BFE△≌△，可得出结论，他的结论就是_______________；探究延伸1：如图2，在四边形ABCD中，90BAD∠=︒，90BCD∠=︒，BA BC=，2ABC MBN∠=∠，MBN∠绕B点旋转，它的两边分别交AD、DC于E、F．上述结论是否仍然成立？请直接写出结论（直接写出“成立”或者“不成立”），不要说明理由．探究延伸2：如图3，在四边形ABCD中，BA BC=，180BAD BCD∠+∠=︒，2ABC MBN∠=∠，MBN∠绕B点旋转，它的两边分别交AD、DC于E、F．上述结论是否仍然成立？并说明理由．实际应用：如图4，在某次军事演习中，舰艇甲在指挥中心（O处）北偏西30的A处舰艇乙在指挥中心南偏东70︒的B处，并且两舰艇到指挥中心的距离相等接到行动指令后，舰艇甲向正东方向以75海里/小时的速度前进，同时舰艇乙沿北偏东50︒的方向以100海里/小时的速度前进，1.2小时后，指挥中心观测到甲、乙两舰艇分别到达E、F处，且指挥中心观测两舰艇视线之间的夹角为70 ，试求此时两舰艇之间的距离．4.（2020年湖南常德中考）已知D是Rt△ABC斜边AB的中点，∠ACB＝90°，∠ABC＝30°，过点D作Rt△DEF使∠DEF＝90°，∠DFE＝30°，连接CE并延长CE到P，使EP＝CE，连接BE，FP，BP，设BC与DE 交于M，PB与EF交于N．（1）如图1，当D，B，F共线时，求证：①EB＝EP；②∠EFP＝30°；（2）如图2，当D，B，F不共线时，连接BF，求证：∠BFD+∠EFP＝30°．5.（2020年湖南湘潭中考）算筹是在珠算发明以前我国独创并且有效的计算工具，为我国古代数学的发展做出了很大的贡献．在算筹计数法中，以“纵式”和“横式”两种方式来表示数字如图：表示多位数时，个位用纵式，十位用横式，百位用纵式，千位用横式，以此类推，遇零则置空．示例如下：67286708，则表示的数是________．6. 2020年湖南怀化中考）定义：对角线互相垂直且相等的四边形叫做垂等四边形．（1）下面四边形是垂等四边形的是____________（填序号） ①平行四边形；②矩形；③菱形；④正方形（2）图形判定：如图1，在四边形ABCD 中，AD ∥BC ，AC BD ⊥，过点D 作BD 垂线交BC 的延长线于点E ，且45DBC ∠=︒，证明：四边形ABCD 是垂等四边形．（3）由菱形面积公式易知性质：垂等四边形的面积等于两条对角线乘积的一半．应用：在图2中，面积为24的垂等四边形ABCD 内接于⊙O 中，60BCD ∠=︒．求⊙O 的半径．7. （2020年湖南省衡阳市中考）如图1，平面直角坐标系xOy 中，等腰ABC ∆的底边BC 在x 轴上，8BC =，顶点A 在y 的正半轴上，2OA =，一动点E 从(3,0)出发，以每秒1个单位的速度沿CB 向左运动，到达OB 的中点停止．另一动点F 从点C 出发，以相同的速度沿CB 向左运动，到达点O 停止．已知点E 、F 同时出发，以EF 为边作正方形EFGH ，使正方形EFGH 和ABC ∆在BC 的同侧．设运动的时间为t 秒（0t ≥）．（1）当点H 落在AC 边上时，求t 的值；（2）设正方形EFGH 与ABC ∆重叠面积为S ，请问是存在t 值，使得9136S =？若存在，求出t 值；若不存在，请说明理由；（3）如图2，取AC 的中点D ，连结OD ，当点E 、F 开始运动时，点M 从点O 出发，以每秒位的速度沿OD DC CD DO ---运动，到达点O 停止运动．请问在点E 的整个运动过程中，点M 可能在正方形EFGH 内（含边界）吗？如果可能，求出点M 在正方形EFGH 内（含边界）的时长；若不可能，请说明理由．8. （2020年湖南岳阳中考）如图1，在矩形ABCD 中，6,8AB BC ==，动点P ，Q 分别从C 点，A 点同时以每秒1个单位长度的速度出发，且分别在边,CA AB 上沿C A →，A B →的方向运动，当点Q 运动到点B 时，,P Q 两点同时停止运动，设点P 运动的时间为()t s ，连接PQ ，过点P 作PE PQ ⊥，PE 与边BC 相交于点E ，连接QE ．（1）如图2，当5t s =时，延长EP 交边AD 于点F ．求证：AF CE =；（2）在（1）的条件下，试探究线段,,AQ QE CE 三者之间的等量关系，并加以证明；（3）如图3，当94t s >时，延长EP 交边AD 于点F ，连接FQ ，若FQ 平分AFP ∠，求AF CE的值．9. （2020年湖南株洲中考）如图所示，BEF 的顶点E 在正方形ABCD 对角线AC 的延长线上，AE 与BF 交于点G ，连接AF 、CF ，满足ABF CBE △≌△．（1）求证：90EBF ∠=︒．（2）若正方形ABCD 的边长为1，2CE =，求tan AFC ∠的值．教师用：2021年中考数学——几何探究型问题1. （2020年湖南长沙中考）如图，点P 在以MN 为直径的半圆上运动（点P 不与M 、N 重合），PQ ⊥MN ，NE 平分∠MNP ，交PM 于点E ，交PQ 于点F 。

中考数学复习《几何探究型问题》经典题型及测试题(含答案)

中考数学复习《几何探究型问题》经典题型及测试题（含答案）题型解读1.考查类型：①动点探究题；②平移、旋转、折叠探究题；③图形形状变化探究题.2.考查内容：①多与特殊四边形的性质、三角形全等、相似的判定和性质有关；②涉及平移、旋转或折叠的相关性质；③多与二次函数的性质有关.3.备考指导：在做此类题型时，要观察题中已知条件，并结合题设，联系相关的知识解题，对结果猜想题根据前面问题大胆猜想，往往是解题的突破口．类型一动点探究题1.如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝5 cm，∠BAC＝60°，动点M从点B出发，在BA边上以每秒2 cm的速度向点A匀速运动，同时动点N从点C出发，在CB边上以每秒3 cm的速度向点B匀速运动，设运动时间为t秒(0≤t≤5)，连接MN.(1)若BM＝BN，求t的值；(2)若△MBN与△ABC相似，求t的值；(3)当t为何值时，四边形ACNM的面积最小？并求出最小值．2.如图①，菱形ABCD中，已知∠BAD＝120°，∠EGF＝60°，∠EGF的顶点G在菱形对角线AC上运动，角的两边分别交边BC、CD于点E、F.(1)如图②，当顶点G运动到与点A重合时，求证：EC＋CF＝BC；(2)知识探究：①如图③，当顶点G运动到AC中点时，探究线段EC、CF与BC的数量关系；②在顶点G 的运动过程中，若ACCG ＝t ，请直接写出线段EC 、CF 与BC 的数量关系(不需要写出证明过程)；(3)问题解决：如图④，已知菱形边长为8，BG ＝7，CF ＝65，当t ＞2时，求EC 的长度．图①3.已知：如图，在矩形ABCD 中，AB ＝6 cm ，BC ＝8 cm .对角线AC ，BD 交于点O ，点P 从点A 出发，沿AD 方向匀速运动，速度为1 cm /s ；同时，点Q 从点D 出发，沿DC 方向匀速运动，速度为1 cm /s ；当一个点停止运动时，另一个点也停止运动．连接PO 并延长，交BC 于点E ，过点Q 作QF∥AC，交BD 于点F.设运动时间为t(s )(0<t<6)，解答下列问题： (1)当t 为何值时，△AOP 是等腰三角形？(2)设五边形OECQF 的面积为S(cm 2)，试确定S 与t 的函数关系式；(3)在运动过程中，是否存在某一时刻t ，使S 五边形OECQF ∶S △ACD ＝9∶16？若存在，求出t 的值；若不存在，请说明理由；(4)在运动过程中，是否存在某一时刻t ，使OD 平分∠COP？若存在，求出t 值；若不存在，请说明理由．4.某数学兴趣小组在数学课外活动中，研究三角形和正方形的性质时，做了如下探究：在△ABC 中，∠BAC ＝90°，AB ＝AC ，点D 为直线BC 上一动点(点D 不与B ，C 重合)，以AD 为边在AD 右侧作正方形ADEF ，连接CF. (1)观察猜想如图①，当点D 在线段BC 上时，①BC 与CF 的位置关系为：____________． ②BC ，CD ，CF 之间的数量关系为：____________(将结论直接写在横线上)． (2)数学思考如图②，当点D 在线段CB 的延长线上时，结论①，②是否仍然成立？若成立，请给予证明；若不成立，请你写出正确结论再给予证明． (3)拓展延伸如图③，当点D 在线段BC 的延长线上时，延长BA 交CF 于点G ，连接GE.若已知AB ＝22，CD ＝14BC ，请求出GE 的长．类型二平移、旋转、折叠探究题5.如图①，△ABC 是等腰直角三角形，∠BAC ＝90°，AB ＝AC ，四边形ADEF 是正方形，点B 、C 分别在边AD、AF上，此时BD＝CF，BD⊥CF成立．(1)当△ABC绕点A逆时针旋转θ(0°<θ<90°)时，如图②，BD＝CF成立吗？若成立，请证明；若不成立，请说明理由．(2)当△ABC绕点A逆时针旋转45°时，如图③，延长DB交CF于点H.①求证：BD⊥CF；②当AB＝2，AD＝32时，求线段DH的长．图①图②图③6.在△ABC中，AB＝6，AC＝BC＝5，将△ABC绕点A按顺时针方向旋转，得到△ADE，旋转角为α(0°＜α＜180°)，点B的对应点为点D，点C的对应点为点E，连接BD，BE.(1)如图，当α＝60°时，延长BE交AD于点F.①求证：△ABD是等边三角形；②求证：BF⊥AD，AF＝DF；③请直接．．写出BE的长；(2)在旋转过程中，过点D作DG垂直于直线AB，垂足为点G，连接CE，当∠DAG＝∠ACB，且线段DG与线段AE无公共点时，请直接．．写出BE＋CE的值．温馨提示：考生可以根据题意，在备用图中补充图形，以便作答．7.已知矩形ABCD中AD＝8，将矩形ABCD折叠，使得顶点B落在CD边上的P点处．(1)如图①，已知折痕与边BC交于点O，连接AP、OP、OA，若△OCP与△PDA的面积比为1∶ 4，求边CD 的长；(2)如图②，在(1)的条件下擦去AO、OP，连接BP，动点M在线段AP上(点M不与点P、A重合)，动点N 在线段AB的延长线上，且BN＝PM，连接MN交PB于点F，作ME⊥BP于点E，试问当点M、N在移动过程中，线段EF的长度是否发生变化？若变化，说明变化规律，若不变，求出线段EF的长度．图①图②8.问题情境在综合与实践课上，老师让同学们以“菱形纸片的剪拼”为主题开展数学活动．如图①，将一张菱形纸片ABCD(∠BAD>90°)沿对角线AC剪开，得到△ABC和△ACD.操作发现(1)将图①中的△ACD以A为旋转中心，按逆时针方向旋转角α，使α＝∠BAC，得到如图②所示的△AC′D，分别延长BC和DC′交于点E，则四边形ACEC′的形状是________；(2)创新小组将图①中的△ACD以A为旋转中心，按逆时针方向旋转角α，使α＝2∠BAC，得到如图③所示的△AC′D，连接DB、C′C，得到四边形BCC′D，发现它是矩形．请你证明这个结论；实践探究(3)缜密小组在创新小组发现结论的基础上，量得图③中BC＝13 cm，AC＝10 cm，然后提出一个问题：将△AC′D沿着射线DB方向平移a cm，得到△A′C″D′，连接BD′，CC″，使四边形BCC″D′恰好为正方形，求a的值．请你解答此问题；(4)请你参照以上操作，将图①中的△ACD在同一平面内进行一次平移，得到△A′C′D，在图④中画出平移后构造出的新图形，标明字母，说明平移及构图方法，写出你发现的结论，不必证明．9.如图，已知一个直角三角形纸片ACB，其中∠ACB＝90°，AC＝4，BC＝3，E、F分别是AC、AB边上的点，连接EF.(1)如图①，若将纸片ACB的一角沿EF折叠，折叠后点A落在AB边上的点D处，且使S四边形ECBF＝3S△EDF，求AE的长；(2)如图②，若将纸片ACB的一角沿EF折叠，折叠后点A落在BC边上的点M处，且使MF∥CA.①试判断四边形AEMF的形状，并证明你的结论；②求EF的长；(3)如图③，若FE 的延长线与BC 的延长线交于点N ，CN ＝1，CE ＝47，求AFBF的值．10.如图①，矩形ABCD 中，AB ＝2，BC ＝5，BP ＝1，∠MPN ＝90°，将∠MPN 绕点P 从PB 处开始按顺时针方向旋转，PM 交边AB(或AD)于点E ，PN 交边AD(或CD)于点F ，当PN 旋转至PC 处时，∠MPN 的旋转随即停止．(1)特殊情形：如图②，发现当PM 过点A 时，PN 也恰好过点D ，此时，△ABP________△PCD(填“≌”或“∽”)；(2)类比探究：如图③，在旋转过程中，PEPF 的值是否为定值？若是，请求出该定值；若不是，请说明理由；(3)拓展延伸：设AE ＝t ，△EPF 的面积为S ，试确定S 关于t 的函数关系式；当S ＝4.2时，求所对应的t 值．11.如图①，在△ABC中，∠ACB＝90°，∠B＝30°，AC＝1，D为AB的中点，EF为△ACD的中位线，四边形EFGH为△ACD的内接矩形(矩形的四个顶点均在△ACD的边上)．(1)计算矩形EFGH的面积；(2)将矩形EFGH沿AB向右平移，F落在BC上时停止移动．在平移过程中，当矩形与△CBD重叠部分的面积为316时，求矩形平移的距离；(3)如图③，将(2)中矩形平移停止时所得的矩形记为矩形E1F1G1H1，将矩形E1F1G1H1绕G1点按顺时针方向旋转，当H1落在CD上时停止转动，旋转后的矩形记为矩形E2F2G1H2，设旋转角为α，求cosα的值．类型三图形形状变化探究题12.如图①，②，③分别以△ABC的AB和AC为边向△ABC外作正三角形(等边三角形)、正四边形(正方形)、正五边形，BE和CD相交于点O.(1)在图①中，求证：△ABE≌△ADC.图①(2)由(1)证得△ABE≌△ADC，由此可推得在图①中∠BOC＝120°，请你探索在图②中∠BOC的度数，并说明理由或写出证明过程．图②(3)填空：在上述(1)(2)的基础上可得在图③中∠BOC＝________(填写度数)．图③图④(4)由此推广到一般情形(如图④)，分别以△ABC的AB和AC为边向△ABC外作正n边形，BE和CD仍相交于点O，猜想∠BOC的度数为____________________(用含n的式子表示)．13.阅读理解：我们知道，四边形具有不稳定性，容易变形．如图①，一个矩形发生变形后成为一个平行四边形，设这个平行四边形相邻两个内角中较小的一个内角为α，我们把1sinα的值叫做这个平行四边形的变形度．(1)若矩形发生形变后的平行四边形有一个内角是120°，则这个平行四边形的变形度是________；猜想证明：(2)设矩形的面积为S1，其变形后的平行四边形面积为S2，试猜想S1，S2，1sinα之间的数量关系，并说明理由；拓展探究：(3)如图②，在矩形ABCD中，E是AD边上的一点，且AB2＝AE·AD，这个矩形发生变形后为平行四边形A1B1C1D1，E1为E的对应点，连接B1E1，B1D1，若矩形ABCD的面积为4m(m>0)，平行四边形A1B1C1D1的面积为2m(m>0)，试求∠A1E1B1＋∠A1D1B1的度数．14.已知AC ，EC 分别为四边形ABCD 和EFCG 的对角线，点E 在△ABC 内，∠CAE ＋∠CBE＝90°. (1)如图①，当四边形ABCD 和EFCG 均为正方形时，连接BF. ①求证：△CAE∽△CBF； ②若BE ＝1，AE ＝2，求CE 的长；(2)如图②，当四边形ABCD 和EFCG 均为矩形，且AB BC ＝EFFC ＝k 时，若BE ＝1，AE ＝2，CE ＝3，求k 的值；(3)如图③，当四边形ABCD 和EFCG 均为菱形，且∠DAB ＝∠GEF＝45°时，设BE ＝m ，AE ＝n ，CE ＝p ，试探究m ，n ，p 三者之间满足的等量关系(直接写出结果，不必写出解答过程)．15.已知点O 是△ABC 内任意一点，连接OA 并延长到E ，使得AE ＝OA ，以OB ，OC 为邻边作▱OBFC ，连接OF ，与BC 交于点H ，再连接EF.(1)如图①，若△ABC 为等边三角形，求证：①EF⊥BC； ②EF ＝3BC ；(2)如图②，若△ABC 为等腰直角三角形(BC 为斜边)，猜想(1)中的两个结论是否成立？若成立，直接写出结论即可；若不成立，请你直接写出你的猜想结果；(3)如图③，若△ABC 是等腰三角形，且AB ＝AC ＝kBC ，请你直接写出EF 与BC 之间的数量关系．类型一动点探究题1. 解：(1)根据题意BM ＝2t ，BN ＝BC －3t ，而BC ＝5×tan 60°＝5 3.∴当BM ＝BN 时，2t ＝53－3t ，解得t ＝103－15. (2)分类讨论：①当∠BMN ＝∠ACB ＝90°时，如解图①， △NBM ∽△ABC ，cos B ＝cos 30°＝BM BN ，∴2t 53－3t ＝32，解得t ＝157.②当∠BNM ＝∠ACB ＝90°时，如解图②， △MBN ∽△ABC ，cos B ＝cos 30°＝BNBM， ∴53－3t 2t ＝32，解得t ＝52. 因此当运动时间是157秒或52秒时，△MBN 与△ABC 相似．第1题解图(3)由于△ABC 面积是定值，∴当四边形ACNM 面积最小时，△MBN 面积最大，而△MBN 的面积是S ＝12BM ×BN ×sin B＝12×2t ×(53－3t)×12＝－32t 2＋532t ，由于a ＝－32＜0， ∴当t ＝－5322×（－32）＝52时，△MBN 面积最大，最大值是－32×(52)2＋532×52＝2538，因此四边形ACNM 面积最小值是12×5×53－2538＝7538.2. (1)证明：∵四边形ABCD 是菱形，∠BAD ＝120°，∴∠BAC ＝60°，∠B ＝∠ACF ＝60°，AB ＝BC ， ∴AB ＝AC ，∵∠BAE ＋∠EAC ＝∠EAC ＋∠CAF ＝60°， ∴∠BAE ＝∠CAF ，在△BAE 和△CAF 中， ⎩⎪⎨⎪⎧∠BAE ＝∠CAF AB ＝AC ∠B ＝∠ACF， ∴△BAE ≌△CAF(ASA )， ∴BE ＝CF ，∴EC ＋CF ＝EC ＋BE ＝BC ，即EC ＋CF ＝BC ；(2)解：①线段EC ，CF 与BC 的数量关系为： EC ＋CF ＝12BC.理由如下：如解图①，过点A 作AE′∥EG ，AF ′∥GF ，分别交BC 、CD 于E′、F′.第2题解图①类比(1)可得：E′C ＋CF′＝BC ， ∵G 为AC 中点，AE ′∥EG ， ∴CE CE′＝CG AC ＝12， ∴CE ＝12CE′，同理可得：CF ＝12CF′，∴CE ＋CF ＝12CE′＋12CF′＝12(CE′＋CF′)＝12BC ，即CE ＋CF ＝12BC ；②CE ＋CF ＝1tBC ；【解法提示】类比(1)可得：E′C ＋CF′＝BC ， ∵AE ′∥EG ，ACCG ＝t ，∴CE CE′＝CG AC ＝1t，∴CE ＝1tCE′，同理可得：CF ＝1tCF′，∴CE ＋CF ＝1t CE′＋1t CF′＝1t (CE′＋CF′)＝1t BC ，即CE ＋CF ＝1tBC.(3)解：如解图②，连接BD 与AC 交于点H.第2题解图②在Rt △ABH 中，∵AB ＝8，∠BAC ＝60°， ∴BH ＝AB·sin 60°＝8×32＝43， AH ＝CH ＝AB·cos 60°＝8×12＝4，∴GH ＝BG 2－BH 2＝72－（43）2＝1， ∴CG ＝4－1＝3， ∴CG AC ＝38， ∴t ＝83(t ＞2)，由(2)②得：CE ＋CF ＝1t BC ，∴CE ＝1t BC －CF ＝38×8－65＝95.∴EC 的长度为95.3. 解：(1)分三种情况： ①若AP ＝AO ，在矩形ABCD 中，∵AB ＝6，BC ＝8， ∴AC ＝10，第3题解图①∴AO ＝CO ＝5，∴AP ＝5， ∴t ＝5，②若AP ＝PO ＝t ，在矩形ABCD 中， ∵AD ∥BC ，∴∠PAO ＝∠OCE ，∠APO ＝∠OEC ，又∵OA ＝OC ，∴△APO ≌△CEO ，∴PO ＝OE ＝t.如解图①，作AG ∥PE 交BC 于点G ，则四边形APEG 是平行四边形， ∴AG ＝PE ＝2t ，GE ＝AP ＝t. 又∵EC ＝AP ＝t ，∴BG ＝8－2t.在Rt △ABG 中，根据勾股定理知62＋(8－2t)2＝(2t)2，解得t ＝258.第3题解图②③若OP ＝AO ＝5，则t ＝0或t ＝8，不合题意，舍去．综上可知，当t ＝5或t ＝258时，△AOP 是等腰三角形．(2)如解图②，作OM ⊥BC ，垂足是M ，作ON ⊥CD ，垂足是N. 则OM ＝12AB ＝3，ON ＝12BC ＝4，∴S △OEC ＝12·CE·OM ＝12·t·3＝32t ，S △OCD ＝12·CD·ON ＝12·6·4＝12.∵QF ∥AC ，∴△DFQ ∽△DOC ， ∴S △DFQ S △DOC ＝(DQ DC)2，即S △DFQ 12＝(t 6)2，∴S △DFQ ＝13t 2，∴S 四边形OFQC ＝12－13t 2，∴S 五边形OECQF ＝S 四边形OFQC ＋S △OEC ＝12－13t 2＋32t ，即S ＝－13t 2＋32t ＋12(0＜t ＜6)．(3)存在．理由如下：要使S 五边形OECQF ：S △ACD ＝9∶16，即(－13t 2＋32t ＋12)∶(12×6×8)＝9∶16，解得t 1＝3，t 2＝1.5，两个解都符合题意，∴存在两个t 值，使S 五边形OECQF ∶S △ACD ＝9∶16，此时t 1＝3，t 2＝1.5； (4)存在．理由如下：如解图③，作DI ⊥OP ，垂足是I ，DJ ⊥OC ，垂足是J ，第3题解图③作AG ∥PE 交BC 于点G.∵S △OCD ＝12·OC·DJ ＝12·5·DJ ，且由(2)知，S △OCD ＝12，∴DJ ＝245.∵OD 平分∠POC ，DI ⊥OP ，DJ ⊥OC ， ∴DI ＝DJ ＝245＝4.8.∵AG ∥PE ，∴∠DPI ＝∠DAG .∵AD ∥BC ，∴∠DAG ＝∠AGB ，∴∠DPI ＝∠AGB ， ∴Rt △ABG ∽Rt △DIP.由(1)知，在Rt △ABG 中，BG ＝8－2t ， ∴AB DI ＝BG IP ，∴64.8＝8－2t IP， ∴IP ＝45(8－2t)．在Rt △DPI 中，根据勾股定理得 (245)2＋[45(8－2t)]2＝(8－t)2，解得t ＝11239.(t ＝0不合题意，舍去)4. (1)解：①BC ⊥CF ；②BC ＝CD ＋CF. 【解法提示】①∵∠BAC ＝∠DAF ＝90°， ∴∠BAD ＝∠CAF ，又∵AB ＝AC ，AD ＝AF ， ∴△ABD ≌△ACF ， ∴∠ACF ＝∠ABC ＝45°， ∵∠ACB ＝45°，∴∠BCF ＝90°，即BC ⊥CF ； ②∵△ABD ≌△ACF ， ∴BD ＝CF ， ∵BC ＝CD ＋BD ， ∴BC ＝CD ＋CF.(2)解：结论①仍然成立，②不成立． ①证明：∵∠BAC ＝∠DAF ＝90°， ∴∠BAD ＝∠CAF ，又∵AB ＝AC ，AD ＝AF ， ∴△ABD ≌△ACF ，∴∠ACF ＝∠ABD ＝180°－45°＝135°， ∵∠ACB ＝45°， ∴∠BCF ＝90°，即BC ⊥CF ； ②结论为：BC ＝CD －CF. 证明：∵△ABD ≌△ACF ， ∴BD ＝CF ，∵BC ＝CD －BD ，∴BC ＝CD －CF.(3)解：如解图，过点E 作EM ⊥CF 于M ，作EN ⊥BD 于点N ，过点A 作AH ⊥BD 于点H. ∵AB ＝AC ＝22，第4题解图∴BC ＝4，AH ＝12BC ＝2，∵CD ＝14BC ，∴CD ＝1，∵∠BAC ＝∠DAF ＝90°， ∴∠BAD ＝∠CAF ，又∵AB ＝AC ，AD ＝AF ， ∴△ABD ≌△ACF ， ∴∠ACF ＝∠ABC ＝45°， ∵∠ACB ＝45°， ∴∠BCF ＝90°，∴CN ＝ME ，CM ＝EN ， ∴∠AGC ＝∠ABC ＝45°， ∴CG ＝BC ＝4，∵∠ADE ＝90°，∴∠ADH ＋∠EDN ＝∠EDN ＋∠DEN ＝90°， ∴∠ADH ＝∠DEN ，又∵∠AHC ＝∠DNE ＝90°，AD ＝DE ， ∴△AHD ≌△DNE ，∴DN ＝AH ＝2，EN ＝DH ＝3， ∴CM ＝EN ＝3，ME ＝CN ＝3，则GM ＝CG －CM ＝4－3＝1， ∴EG ＝EM 2＋GM 2＝10.类型二平移、旋转、折叠探究题5. (1)解：BD ＝CF 成立．理由如下：∵AC ＝AB ，∠CAF ＝∠BAD ＝θ，AF ＝AD ， ∴△ACF ≌△ABD ，∴CF ＝BD.(2)①证明：由(1)得，△ACF ≌△ABD ， ∴∠HFN ＝∠ADN ，在△HFN 与△ADN 中，∵∠HFN ＝∠ADN ，∠HNF ＝∠AND ， ∴∠NHF ＝∠NAD ＝90°，第5题解图∴HD ⊥HF ，即BD ⊥CF.②解：如解图，连接DF ，延长AB ，与DF 交于点M ，在△MAD 中，∵∠MAD ＝∠MDA ＝45°， ∴∠BMD ＝90°.在Rt △BMD 与Rt △FHD 中， ∵∠MDB ＝∠HDF ，∴△BMD ∽△FHD.∵AB ＝2，AD ＝32，四边形ADEF 是正方形， ∴MA ＝MD ＝322＝3，∴MB ＝MA －AB ＝3－2＝1，BD ＝MB 2＋MD 2＝12＋32＝10，又∵MD HD ＝BD FD ，即3HD ＝106，∴DH ＝9105.6. (1)①证明：∵△ABC 绕点A 顺时针方向旋转60°得到△ADE ， ∴AB ＝AD ，∠BAD ＝60°， ∴△ABD 是等边三角形；②证明：由①得△ABD 是等边三角形， ∴AB ＝BD ，∵△ABC绕点A顺时针方向旋转60°得到△ADE，∴AC＝AE，BC＝DE，又∵AC＝BC，∴EA＝ED，∴点B，E在AD的中垂线上，∴BE是AD的中垂线，∵点F在BE的延长线上，∴BF⊥AD，AF＝DF；③解：BE的长为33－4；【解法提示】由②知AF＝12AD＝12AB＝3，AE＝AC＝5，BF⊥AD，由勾股定理得EF＝AE2－AF2＝4.在等边△ABD中，AB＝6，BF⊥AD，∴BF＝32AB＝33，∴BE＝33－4.(2)解：BE＋CE的值为13；第6题解图【解法提示】如解图，∵∠DAG＝∠ACB，∴∠DAB＝2∠CAB.∵∠DAE＝∠CAB，∴∠BAE＝∠CAB，∴∠BAE＝∠CBA，∴AE∥BC，∵AE＝AC＝BC，∴四边形ACBE是菱形，∴CE 垂直平分AB ，BE ＝AC ＝5.设CE 交AB 于M ，则CM ⊥AB ，CM ＝EM ，AM ＝BM ， ∴在Rt △ACM 中，AC ＝5，AM ＝3，由勾股定理得CM ＝4， ∴CE ＝8， ∴CE ＋BE ＝13.7. 解：(1)由矩形性质与折叠可知，∠APO ＝∠B ＝∠C ＝∠D ＝90°， ∴∠CPO ＋∠DPA ＝∠DPA ＋∠DAP ＝90°， ∴∠DAP ＝∠CPO ， ∴△OCP ∽△PDA ， ∴S △OCP S △PDA ＝(CP DA)2，即14＝(CP8)2，∴CP ＝4，设CD ＝x ，则DP ＝x －4，AP ＝AB ＝CD ＝x ， ∵AP 2－DP 2＝AD 2， ∴x 2－(x －4)2＝82，解得x ＝10，故CD ＝10. (2)第7题解图线段EF 的长度始终不发生变化，为2 5.证明：如解图，过点N 作NG ⊥PB ，与PB 的延长线相交于点G ， ∵AB ＝AP ，∴∠APB ＝∠ABP ＝∠GBN ，在△PME 和△BNG 中， ⎩⎪⎨⎪⎧∠MEP ＝∠NGB ＝90°∠MPE ＝∠NBG MP ＝NB， ∴△PME ≌△BNG(AAS )， ∴ME ＝NG ，PE ＝BG ，在△FME 和△FNG 中， ⎩⎪⎨⎪⎧∠MEF ＝∠NGF ∠MFE ＝∠NFG ME ＝NG，∴△FME ≌△FNG(AAS )， ∴EF ＝GF ， ∴EF ＝12EG ，∵BP ＝BE ＋EP ＝BE ＋GB ＝EG ， ∴EF ＝12BP ，∵BP ＝BC 2＋CP 2＝82＋42＝45， ∴EF ＝12BP ＝2 5.8. (1)解：菱形．(2)证明：如解图①，作AE ⊥CC′于点E ，由旋转得AC′＝AC ，∴∠CAE ＝∠C′AE ＝12α＝∠BAC ，第8题解图①∵四边形ABCD 是菱形， ∴BA ＝BC ，BC ＝DC′， ∴∠BCA ＝∠BAC ， ∴∠CAE ＝∠BCA ， ∴AE ∥BC ，同理AE ∥DC′， ∴BC ∥DC ′，∴四边形BCC′D 是平行四边形，又∵AE ∥BC ，∠CEA ＝90°， ∴∠BCC ′＝180°－∠CEA ＝90°，∴四边形BCC′D 是矩形．(3)解：如解图①，过点B 作BF ⊥AC 于点F ， ∵BA ＝BC ，∴CF ＝AF ＝12AC ＝12×10＝5.在Rt △BCF 中，BF ＝BC 2－CF 2＝132－52＝12. 在△ACE 和△CBF 中，∵∠CAE ＝∠BCF ，∠CEA ＝∠BFC ＝90°， ∴△ACE ∽△CBF ， ∴CE BF ＝AC BC ，即CE 12＝1013，解得CE ＝12013.∵AC ＝AC′，AE ⊥CC ′， ∴CC ′＝2CE ＝2×12013＝24013.当四边形BCC″D′恰好为正方形时，分两种情况： ①点C″在边CC′上，a ＝CC′－13＝24013－13＝7113，②点C″在边C′C 的延长线上，a ＝CC′＋13＝24013＋13＝40913.综上所述，a 的值为7113或40913.第8题解图②(4)解：答案不唯一，例：画出正确图形如解图②所示．平移及构图方法：将△ACD 沿着射线CA 方向平移，平移距离为12AC 的长度，得到△A ′C ′D ，连接A′B ，DC.结论：四边形A′BCD 是平行四边形．9. 解：(1)∵折叠后点A 落在AB 边上的点D 处， ∴EF ⊥AB ，△AEF ≌△DEF ， ∴S △AEF ＝S △DEF .∵S 四边形ECBF ＝3S △EDF ，∴S 四边形ECBF ＝3S △AEF .∵S △ACB ＝S △AEF ＋S 四边形ECBF ，∴S △ACB ＝S △AEF ＋3S △AEF ＝4S △AEF ， ∴S △AEF S △ACB ＝14. ∵∠EAF ＝∠BAC ，∠AFE ＝∠ACB ＝90°， ∴△AEF ∽△ABC ， ∴S △AEF S △ABC ＝(AE AB )2， ∴(AE AB )2＝14. 在Rt △ACB 中，∵∠ACB ＝90°，AC ＝4，BC ＝3， ∴AB ＝42＋32＝5， ∴(AE 5)2＝14，∴AE ＝52.(2)第9题解图①①四边形AEMF 是菱形．证明：如解图①，∵折叠后点A 落在BC 边上的点M 处， ∴∠CAB ＝∠EMF ，AE ＝ME ，又∵MF ∥CA ，∴∠CEM ＝∠EMF ， ∴∠CAB ＝∠CEM ， ∴EM ∥AF ，∴四边形AEMF 是平行四边形．又∵AE ＝ME ，∴四边形AEMF 是菱形．②如解图①，连接AM ，AM 与EF 交于点O ，设AE ＝x ，则ME ＝AE ＝x ，EC ＝4－x. ∵∠CEM ＝∠CAB ，∠ECM ＝∠ACB ＝90°， ∴△ECM ∽△ACB. ∴EC AC ＝EMAB ， ∵AB ＝5，AC ＝4， ∴4－x 4＝x5，解得x ＝209，∴AE ＝ME ＝209，EC ＝169.在Rt △ECM 中，∵∠ECM ＝90°，∴CM 2＝EM 2－EC 2，即CM ＝EM 2－EC 2＝（209）2－（169）2＝43. ∵四边形AEMF 是菱形，∴OE ＝OF ，OA ＝OM ，AM ⊥EF ， ∴S 菱形AEMF ＝4S △AOE ＝2OE·AO. 在Rt △AOE 和Rt △ACM 中， ∵tan ∠EAO ＝tan ∠MAC ， ∴OE AO ＝CM AC. ∵CM ＝43，AC ＝4，∴AO ＝3OE ，∴S 菱形AEMF ＝6OE 2. 又∵S 菱形AEMF ＝AE·CM ，∴6OE 2＝209×43，∴OE ＝2109，∴EF ＝4109. (3)如解图②，第9题解图②过点F 作FH ⊥CB 于点H ，在Rt △NCE 和Rt △NHF 中， ∵tan ∠ENC ＝tan ∠FNH ， ∴EC NC ＝FH NH， ∵NC ＝1，EC ＝47，∴FH NH ＝47，设FH ＝x ，则NH ＝74x ，∴CH ＝NH －NC ＝74x －1.∵BC ＝3，∴BH ＝BC －CH ＝3－(74x －1)＝4－74x.在Rt △BHF 和Rt △BCA 中，∵tan ∠FBH ＝tan ∠ABC ， ∴HF BH ＝CA BC ， ∴x4－74x ＝43，解得x ＝85，∴HF ＝85.∵∠B ＝∠B ，∠BHF ＝∠BCA ＝90°， ∴△BHF ∽△BCA ， ∴HF CA ＝BFBA，即HF·BA ＝CA·BF ， ∴85×5＝4BF ，∴BF ＝2，∴AF ＝AB －BF ＝3， ∴AF BF ＝32. 10. 解：(1)△ABP ∽△PCD. 【解法提示】∵∠MPN ＝90°， ∴∠APB ＋∠DPC ＝90°， ∵∠B ＝90°，∴∠APB ＋∠BAP ＝90°， ∴∠DPC ＝∠BAP ，又∵∠B ＝∠C ＝90°， ∴△ABP ∽△PCD.(2)在旋转过程中，PEPF 的值为定值．如解图，过点F 作FG ⊥BC ，垂足为G.第10题解图类比(1)可得：△EBP ∽△PGF ， ∴EP PF ＝PB FG， ∵∠A ＝∠B ＝∠FGB ＝90°， ∴四边形ABGF 是矩形， ∴FG ＝AB ＝2， ∵BP ＝1， ∴PE PF ＝12，即在旋转过程中，PE PF 的值为定值12.(3)由(2)知△EBP ∽△PGF ， ∴EB PG ＝BP GF ＝12，又∵AE ＝t ， ∴BE ＝2－t ，∴PG ＝2(2－t)＝4－2t ，∴AF ＝BG ＝BP ＋PG ＝1＋(4－2t)＝5－2t ，∴S ＝S 矩形ABGF －S △AEF －S △BEP －S △PFG＝2(5－2t)－12t(5－2t)－12×1×(2－t)－12×2×(4－2t)＝t 2－4t ＋5,即S ＝t 2－4t ＋5(0≤t ≤2)，当S ＝4.2时，4.2＝t 2－4t ＋5，解得：t 1＝2－455，t 2＝2＋455(不合题意，舍去)．∴t 的值是2－455.11. 解：(1)如解图①，在△ABC 中， ∵∠ACB ＝90°，∠B ＝30°，AC ＝1， ∴AB ＝2，又∵D 是AB 的中点，第11题解图①∴AD ＝1，CD ＝12AB ＝1，又∵EF 是△ACD 的中位线，∴EF ＝DF ＝12，在△ACD 中，AD ＝CD ，∠A ＝60°，∴△ACD 为等边三角形， ∴∠ADC ＝60°，在△FGD 中，GF ＝DF·sin 60°＝34， ∴矩形EFGH 的面积S ＝EF·GF ＝12×34＝38.(2)如解图②，设矩形移动的距离为x ，则0＜x ≤12，①当矩形与△CBD 重叠部分为三角形时，则0＜x ≤14，重叠部分的面积S ＝12x·3x ＝316，第11题解图②∴x ＝24＞14(舍去)， ②当矩形与△CBD 重叠部分为直角梯形时，则14＜x ≤12，重叠部分的面积S ＝34x －12×14×34＝316， ∴x ＝38，即矩形移动的距离为38时，矩形与△CBD 重叠部分的面积是316.第11题解图③(3)如解图③，作H 2Q ⊥AB 于Q ，设DQ ＝m ，则H 2Q ＝3m ，又DG 1＝14，H 2G 1＝12，在Rt △H 2QG 1中， (3m)2＋(m ＋14)2＝(12)2，解得m 1＝－1＋1316，m 2＝－1－1316＜0(舍去)，∴cos α＝QG 1F 1G 1＝－1＋1316＋1412＝3＋138.类型三图形形状变化探究题12. (1)证明：∵△ABD 、△ACE 是等边三角形， ∴AB ＝AD ，AC ＝AE ，∠CAE ＝∠DAB ＝60°，∴∠CAE ＋∠BAC ＝∠DAB ＋∠BAC ，即∠BAE ＝∠DAC ，在△ABE 和△ADC 中， ⎩⎪⎨⎪⎧AB ＝AD ∠BAE ＝∠DAC AE ＝AC， ∴△ABE ≌△ADC(SAS )． (2)解：∠BOC ＝90°.理由如下：由(1)得△ABE ≌△ADC ，∴∠EBA ＝∠CDA.∵∠FBA ＋∠FDA ＝180°，∴∠FBA －∠EBA ＋∠FDA ＋∠CDA ＝180°，即∠FBO ＋∠FDO ＝180°.在四边形FBOD 中，∠F ＝90°， ∴∠DOB ＝360°－∠F －(∠FBO ＋∠FDO)＝90°， ∴∠BOC ＝90°. (3)解：72°.【解法提示】∠BOC ＝180°－108°＝72°.(4)解：180°－180°·（n －2）n.【解法提示】由(3)可知，∠BOC 度数应为180°减去正多边形内角度数． 13. 解：(1)233.【解法提示】sin 120°＝32，故这个平行四边形的变形度是233. (2)1sin α＝S 1S 2，理由如下：如解图，设矩形的长和宽分别为a ，b ，其变形后的平行四边形的高为h ，第13题解图则S 1＝ab ，S 2＝ah ，sin α＝hb ，∴S 1S 2＝ab ah ＝b h ，又∵1sin α＝b h ，∴1sin α＝S 1S 2. (3)由AB 2＝AE·AD ，可得A 1B 21＝A 1E 1·A 1D 1，即A 1B 1A 1D 1＝A 1E 1A 1B 1. 又∵∠B 1A 1E 1＝∠D 1A 1B 1， ∴△B 1A 1E 1∽△D 1A 1B 1， ∴∠A 1B 1E 1＝∠A 1D 1B 1， ∵A 1D 1∥B 1C 1，∴∠A 1E 1B 1＝∠C 1B 1E 1，∴∠A 1E 1B 1＋∠A 1D 1B 1＝∠C 1B 1E 1＋∠A 1B 1E 1＝∠A 1B 1C 1. 由(2)结论1sin α＝S 1S 2，可得1sin ∠A 1B 1C 1＝4m2m ＝2，∴sin ∠A 1B 1C 1＝12，∴∠A 1B 1C 1＝30°，∴∠A 1E 1B 1＋∠A 1D 1B 1＝30°. 14. (1)①证明：如解图①， ∵∠ACE ＋∠ECB ＝45°，∠BCF ＋∠ECB ＝45°，第14题解图①∴∠ACE ＝∠BCF ，又∵四边形ABCD 和EFCG 是正方形， ∴AC BC ＝CECF＝2， ∴△CAE ∽△CBF.②解：∵AE BF ＝ACBC ＝2，AE ＝2，∴BF ＝AE2＝2，由△CAE ∽△CBF 可得∠CAE ＝∠CBF ，又∵∠CAE ＋∠CBE ＝90°， ∴∠CBF ＋∠CBE ＝90°，即∠EBF ＝90°，第14题解图②由CE 2＝2EF 2＝2(BE 2＋BF 2)＝6，解得CE ＝ 6.(2)解：连接BF ，如解图②，同(1)证△CAE ∽△CBF ，可得∠EBF ＝90°，AC BC ＝AE BF，由AB BC ＝EFFC＝k ，可得BC ∶AB ∶AC ＝1∶k ∶k 2＋1， CF ∶EF ∶EC ＝1∶k ∶k 2＋1，∴CE EF ＝ACAB ＝k 2＋1k ，AE BF ＝AC BC＝k 2＋1， ∴EF ＝kCE k 2＋1，EF 2＝k 2CE 2k 2＋1，BF ＝AE k 2＋1，BF 2＝AE 2k 2＋1，∴CE 2＝k 2＋1k 2×EF 2＝k 2＋1k2(BE 2＋BF 2)， ∴32＝k 2＋1k 2(12＋22k 2＋1)，解得k ＝104. (3)解：p 2－n 2＝(2＋2)m 2.【解法提示】如解图③，连接BF ，同(1)证△CAE ∽△CBF ，可得∠EBF ＝90°，过点C 作CH ⊥AB 交AB 延长线于点H ，类比第(2)问得AB 2∶BC 2∶AC 2＝1∶1∶(2＋2)，第14题解图③EF 2∶FC 2∶EC 2＝1∶1∶(2＋2)， ∴p 2＝(2＋2)EF 2＝(2＋2)(BE 2＋BF 2)＝(2＋2)(m 2＋n 22＋2)＝(2＋2)m 2＋n 2，∴p 2－n 2＝(2＋2)m 2.15. 证明：(1)①连接AH ，如解图①. 第15题解图①∵四边形OBFC 是平行四边形， ∴BH ＝HC ＝12BC ，OH ＝HF ，∵△ABC 是等边三角形， ∴AB ＝BC ，AH ⊥BC ，在Rt △ABH 中，AH 2＝AB 2－BH 2， ∴AH ＝BC 2－（12BC ）2＝32BC ，∵OA ＝AE ，OH ＝HF ，∴AH 是△OEF 的中位线， ∴AH ＝12EF ，AH ∥EF ，∴EF ⊥BC.②由①得AH ＝32BC ，∵AH ＝12EF∴32BC ＝12EF ，∴EF ＝3BC.(2)EF ⊥AB 仍然成立，EF ＝BC.第15题解图②【解法提示】如解图②，连接AH，∵四边形OBFC是平行四边形，∴BH＝HC＝12BC，OH＝HF，∵△ABC是等腰直角三角形，∴AH⊥BC，在Rt△ABH中，AH2＝AB2－BH2＝(2BH)2－BH2＝BH2，∴AH＝BH＝12BC，∵OA＝AE，OH＝HF，∴AH是△OEF的中位线，∴AH＝12EF，AH∥EF，∴EF⊥BC，EF＝2AH＝BC.第15题解图③(3)EF＝4k2－1 BC.【解法提示】如解图③，连接AH，∵四边形OBFC是平行四边形，∴BH＝HC＝12BC，OH＝HF，∵△ABC是等腰三角形，AB＝kBC，∴AH⊥BC，在Rt△ABH中，AH2＝AB2－BH2＝(kBC)2－(12＝(k2－14)BC2，2BC)∴AH＝12－1 BC，24k∵OA＝AE，OH＝HF，∴AH是△OEF的中位线，∴AH＝12EF，AH∥EF，∴EF⊥BC，12－1 BC＝12EF，24k∴EF＝4k2－1 BC.。

初中数学(几何探究型问题)题库及答案

初中数学（几何探究型问题）题库及答案1．（2019•北京）在△ABC中，D，E分别是△ABC两边的中点，如果DE上的所有点都在△ABC的内部或边上，则称DE为△ABC的中内弧．例如，图1中DE 是△ABC的一条中内弧．（1）如图2，在Rt△ABC中，AB=AC=D，E分别是AB，AC的中点，画出△ABC的最长的中内弧DE，并直接写出此时DE的长；（2）在平面直角坐标系中，已知点A（0，2），B（0，0），C（4t，0）（t>0），在△ABC中，D，E分别是AB，AC的中点．①若t12=，求△ABC的中内弧DE所在圆的圆心P的纵坐标的取值范围；②若在△ABC中存在一条中内弧DE，使得DE所在圆的圆心P在△ABC的内部或边上，直接写出t的取值范围．【解析】（1）如图2，以DE为直径的半圆弧DE，就是△ABC的最长的中内弧DE，连接DE.∵∠A=90°，AB=AC=D，E分别是AB，AC的中点.∴BC sin AC B ===4，DE 12=BC 12=⨯4=2.∴弧12DE =⨯2π=π．（2）如图3，由垂径定理可知，圆心一定在线段DE 的垂直平分线上，连接DE ，作DE 垂直平分线FP ，作EG ⊥AC 交FP 于G .①当t 12=时，C （2，0），∴D （0，1），E （1，1），F （12，1）.设P （12，m ）由三角形中内弧定义可知，圆心线段DE 上方射线FP 上均可，∴m ≥1.∵OA =OC ，∠AOC =90°. ∴∠ACO =45°. ∵DE ∥OC .∴∠AED =∠ACO =45°.作EG ⊥AC 交直线FP 于G ，FG =EF 12=. 根据三角形中内弧的定义可知，圆心在点G 的下方（含点G ）直线FP 上时也符合要求. ∴m 12≤.综上所述，m 12≤或m ≥1． ②如图4，设圆心P 在AC 上.∵P 在DE 中垂线上.∴P 为AE 中点，作PM ⊥OC 于M ，则PM 32=. ∴P （t ，32）. ∵DE ∥BC .∴∠ADE =∠AOB =90°.∴AE === ∵PD =PE . ∴∠AED =∠PDE .∵∠AED +∠DAE =∠PDE +∠ADP =90°. ∴∠DAE =∠ADP . ∴AP =PD =PE 12=AE .由三角形中内弧定义知，PD ≤PM .∴12AE 32≤，AE ≤3≤3，解得：t ≤ ∵t >0. ∴0<t≤【名师点睛】此题是一道圆的综合题，考查了圆的性质，弧长计算，直角三角形性质等，给出了“三角形中内弧”新定义，要求学生能够正确理解新概念，并应用新概念解题．2．（2019•天津）在平面直角坐标系中，O为原点，点A（6，0），点B在y轴的正半轴上，∠ABO=30°．矩形CODE的顶点D，E，C分别在OA，AB，OB上，OD=2．（Ⅰ）如图①，求点E的坐标；（Ⅱ）将矩形CODE沿x轴向右平移，得到矩形C′O′D′E′，点C，O，D，E 的对应点分别为C′，O′，D′，E′．设OO′=t，矩形C′O′D′E′与△ABO重叠部分的面积为S．①如图②，当矩形C′O′D′E′与△ABO重叠部分为五边形时，C′E′，E′D′分别与AB相交于点M，F，试用含有t的式子表示S，并直接写出t的取值范围；S t的取值范围（直接写出结果即可）．【解析】（Ⅰ）∵点A（6，0）.∴OA=6.∵OD=2.∴AD=OA-OD=6-2=4.∵四边形CODE是矩形.∴DE∥OC.∴∠AED=∠ABO=30°.在Rt△AED中，AE=2AD=8，ED===∵OD =2.∴点E 的坐标为（2，．（Ⅱ）①由平移的性质得：O ′D ′=2，E ′D ME ′=OO ′=t ，D ′E ′∥O ′C ′∥OB . ∴∠E ′FM =∠ABO =30°.∴在Rt △MFE ′中，MF =2ME ′=2t ，FE ′===.∴S △MFE ′12=ME ′·FE ′12=⨯t 22=.∵S 矩形C ′O ′D ′E ′=O ′D ′·E ′D =∴S =S 矩形C ′O ′D ′E ′-S △MFE ′.∴S 2=-t 2，其中t 的取值范围是：0<t <2；②当S =O 'A =OA -OO '=6-t .∵∠AO 'F =90°，∠AFO '=∠ABO =30°.∴O 'F ='A =6-t ）.∴S 12=（6-t ）（6-t ）=解得：t =6，或t =6.∴t =6S 时，如图④所示：O 'A =6-t ，D 'A =6-t -2=4-t .∴O 'G =6-t ），D 'F =4-t ）.∴S 12=6-t ）4-t ）解得：t 52=.S t 的取值范围为52≤t ≤6．【名师点睛】本题是四边形综合题目，考查了矩形的性质、坐标与图形性质、勾股定理、平移的性质、直角三角形的性质、梯形面积公式等知识；本题综合性强，有一定难度，熟练掌握含30°角的直角三角形的性质时是解题的关键． 3．（2019•陕西）问题提出：（1）如图1，已知△ABC ，试确定一点D ，使得以A ，B ，C ，D 为顶点的四边形为平行四边形，请画出这个平行四边形；问题探究：（2）如图2，在矩形ABCD 中，AB =4，BC =10，若要在该矩形中作出一个面积最大的△BPC ，且使∠BPC =90°，求满足条件的点P 到点A 的距离；问题解决：（3）如图3，有一座塔A ，按规定，要以塔A 为对称中心，建一个面积尽可能大的形状为平行四边形的景区BCDE ．根据实际情况，要求顶点B 是定点，点B到塔A的距离为50米，∠CBE=120°，那么，是否可以建一个满足要求的面积最大的平行四边形景区BCDE？若可以，求出满足要求的平行四边形BCDE的最大面积；若不可以，请说明理由．（塔A的占地面积忽略不计）【解析】（1）如图记为点D所在的位置．（2）如图.∵AB=4，BC=10，∴取BC的中点O，则OB>AB．∴以点O为圆心，OB长为半径作⊙O，⊙O一定于AD相交于P1，P2两点.连接BP1，P1C，P1O，∵∠BPC=90°，点P不能再矩形外.∴△BPC的顶点P1或P2位置时，△BPC的面积最大.作P1E⊥BC，垂足为E，则OE=3.∴AP1=BE=OB-OE=5-3=2.由对称性得AP2=8．（3）可以，如图所示，连接BD.∵A为BCDE的对称中心，BA=50，∠CBE=120°.∴BD=100，∠BED=60°.作△BDE的外接圆⊙O，则点E在优弧BD上，取BED的中点E′，连接E′B，E′D.则E′B=E′D，且∠BE′D=60°，∴△BE′D为正三角形．连接E′O并延长，经过点A至C′，使E′A=AC′，连接BC′，DC′.∵E′A⊥BD.∴四边形E′D为菱形，且∠C′BE′=120°.作EF⊥BD，垂足为F，连接EO，则EF≤EO+OA-E′O+OA=E′A.∴S△BDE12=·BD·EF12≤·BD·E′A=S△E′BD.∴S平行四边形BCDE≤S平行四边形BC′DE′=2S△E′BD=1002·m2）.所以符合要求的BCDE的最大面积为2．【名师点睛】本题属于四边形综合题，考查了平行四边形的判定和性质，圆周角定理，三角形的面积等知识，解题的关键是理解题意，学会添加常用辅助线，属于中考压轴题．4．（2019•海南）如图，在边长为1的正方形ABCD中，E是边CD的中点，点P 是边AD上一点（与点A、D不重合），射线PE与BC的延长线交于点Q．（1）求证：△PDE≌△QCE；（2）过点E作EF∥BC交PB于点F，连结AF，当PB=PQ时.①求证：四边形AFEP是平行四边形；②请判断四边形AFEP是否为菱形，并说明理由．【解析】（1）∵四边形ABCD是正方形.∴∠D=∠ECQ=90°.∵E是CD的中点.∴DE=CE.又∵∠DEP=∠CEQ.∴△PDE≌△QCE．（2）①∵PB=PQ.∴∠PBQ=∠Q.∵AD∥BC.∴∠APB=∠PBQ=∠Q=∠EPD.∵△PDE≌△QCE.∴PE=QE.∵EF∥BQ.∴PF=BF.∴在Rt△P AB中，AF=PF=BF.∴∠APF=∠P AF.∴∠P AF=∠EPD.∴PE∥AF.∵EF∥BQ∥AD.∴四边形AFEP是平行四边形；②四边形AFEP不是菱形，理由如下：设PD=x，则AP=1-x.由（1）可得△PDE≌△QCE.∴CQ=PD=x.∴BQ=BC+CQ=1+x.∵点E、F分别是PQ、PB的中点.∴EF是△PBQ的中位线.∴EF12=BQ12x+=.由①知AP=EF，即1-x12x+ =.解得x1 3 =.∴PD13=，AP23=.在Rt△PDE中，DE1 2 =.∴PE==∴AP≠PE.∴四边形AFEP不是菱形．【名师点睛】本题是四边形的综合问题，解题的关键是掌握正方形的性质、全等三角形的判定与性质、直角三角形的性质、平行四边形与菱形的判定、性质等知识点．5．（2019•江西）在图1，2，3中，已知ABCD，∠ABC=120°，点E为线段BC 上的动点，连接AE，以AE为边向上作菱形AEFG，且∠EAG=120°．（1）如图1，当点E与点B重合时，∠CEF=__________°；（2）如图2，连接AF．①填空：∠F AD__________∠EAB（填“>”“<”“=”）；②求证：点F在∠ABC的平分线上．（3）如图3，连接EG，DG，并延长DG交BA的延长线于点H，当四边形AEGH是平行四边形时，求BC的值．AB【解析】（1）∵四边形AEFG是菱形.∴∠AEF=180°-∠EAG=60°.∴∠CEF=∠AEC-∠AEF=60°.故答案为：60°．（2）①∵四边形ABCD是平行四边形.∴∠DAB=180°-∠ABC=60°.∵四边形AEFG是菱形，∠EAG=120°.∴∠F AE=60°.∴∠F AD=∠EAB.故答案为：=．②如图，作FM⊥BC于M，FN⊥BA交BA的延长线于N.则∠FNB=∠FMB=90°.∴∠NFM=60°，又∠AFE=60°.∴∠AFN=∠EFM.∵EF=EA，∠F AE=60°.∴△AEF为等边三角形.∴F A=FE.在△AFN和△EFM中，AFN EFMFNA FME FA FE∠=∠⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩.∴△AFN≌△EFM（AAS）∴FN=FM，又FM⊥BC，FN⊥BA.∴点F在∠ABC的平分线上．（3）如图.∵四边形AEFG是菱形，∠EAG=120°.∴∠AGF=60°.∴∠FGE=∠AGE=30°.∵四边形AEGH为平行四边形.∴GE∥AH.∴∠GAH=∠AGE=30°，∠H=∠FGE=30°.∴∠GAN=90°，又∠AGE=30°.∴GN=2AN.∵∠DAB=60°，∠H=30°.∴∠ADH=30°.∴AD=AH=GE.∵四边形ABCD为平行四边形.∴BC=AD.∴BC=GE.∵四边形ABEH为平行四边形，∠HAE=∠EAB=30°.∴平行四边形ABEN为菱形.∴AB=AN=NE.∴GE=3AB.∴BCAB3．【名师点睛】本题考查的是相似三角形的判定和性质、全等三角形的判定和性质、菱形的性质、平行四边形的性质，掌握全等三角形的判定定理和性质定理、菱形的性质、直角三角形的性质是解题的关键．6．（2019•宁夏）如图，在△ABC中，∠A=90°，AB=3，AC=4，点M，Q分别是边AB，BC上的动点（点M不与A，B重合），且MQ⊥BC，过点M作BC的平行线MN，交AC于点N，连接NQ，设BQ为x．（1）试说明不论x为何值时，总有△QBM∽△ABC；（2）是否存在一点Q，使得四边形BMNQ为平行四边形，试说明理由；（3）当x为何值时，四边形BMNQ的面积最大，并求出最大值．【解析】（1）∵MQ⊥BC.∴∠MQB=90°.∴∠MQB=∠CAB，又∠QBM=∠ABC.∴△QBM∽△ABC．（2）当BQ=MN时，四边形BMNQ为平行四边形.∵MN∥BQ，BQ=MN.∴四边形BMNQ为平行四边形．（3）∵∠A=90°，AB=3，AC=4.∴BC==5.∵△QBM∽△ABC.∴QB QM BMAB AC BC==，即345x QM BM==.解得，QM43=x，BM53=x.∵MN∥BC.∴MN AMBC AB=，即53353xMN-=.解得，MN=525 9 -x.则四边形BMNQ的面积12=⨯（5259-x+x）43⨯x3227=-（x4532-）27532+.∴当x4532=时，四边形BMNQ的面积最大，最大值为7532．【名师点睛】本题考查的是相似三角形的判定和性质、平行四边形的判定、二次函数的性质，掌握相似三角形的判定定理、二次函数的性质是解题的关键．7．（2019•安徽）如图，Rt△ABC中，∠ACB=90°，AC=BC，P为△ABC内部一点，且∠APB=∠BPC=135°．（1）求证：△P AB∽△PBC；（2）求证：P A=2PC；（3）若点P到三角形的边AB，BC，CA的距离分别为h1，h2，h3，求证h12=h2·h3．【解析】（1）∵∠ACB=90°，AB=BC.∴∠ABC=45°=∠PBA+∠PBC.又∠APB=135°.∴∠P AB+∠PBA=45°.∴∠PBC=∠P AB.又∵∠APB=∠BPC=135°.（2）∵△P AB ∽△PBC .∴PA PB ABPB PC BC==. 在Rt △ABC 中，AB =AC .∴ABBC= ∴PB PA ==，. ∴P A =2PC ．（3）如图，过点P 作PD ⊥BC ，PE ⊥AC 交BC 、AC 于点D ，E .∴PF =h 1，PD =h 2，PE =h 3. ∵∠CPB +∠APB =135°+135°=270°. ∴∠APC =90°. ∴∠EAP +∠ACP =90°.又∵∠ACB =∠ACP +∠PCD =90°. ∴∠EAP =∠PCD . ∴Rt △AEP ∽Rt △CDP .∴2PE APDP PC==，即322h h =. ∴h 3=2h 2.∴12h ABh BC ==.∴12h .∴2212222322h h h h h h ==⋅=．即：h 12=h 2·h 3．【名师点睛】此题主要考查了相似三角形的判定和性质，等腰直角三角形的性质，判断出∠EAP =∠PCD 是解本题的关键．8．（2019•重庆A 卷）如图，在平行四边形ABCD 中，点E 在边BC 上，连结AE ，EM ⊥AE ，垂足为E ，交CD 于点M ，AF ⊥BC ，垂足为F ，BH ⊥AE ，垂足为H ，交AF 于点N ，点P 是AD 上一点，连接CP ．（1）若DP =2AP =4，CP =CD =5，求△ACD 的面积．（2）若AE =BN ，AN =CE ，求证：AD=+2CE ．【解析】（1）作CG ⊥AD 于G ，如图1所示：设PG =x ，则DG =4-x .在Rt △PGC 中，GC 2=CP 2-PG 2=17-x 2.在Rt△DGC中，GC2=CD2-GD2=52-（4-x）2=9+8x-x2.∴17-x2=9+8x-x2.解得：x=1，即PG=1.∴GC=4.∵DP=2AP=4.∴AD=6.∴S△ACD12=⨯AD×CG12=⨯6×4=12．（2）连接NE，如图2所示：∵AH⊥AE，AF⊥BC，AE⊥EM.∴∠AEB+∠NBF=∠AEB+∠EAF=∠AEB+∠MEC=90°.∴∠NBF=∠EAF=∠MEC.在△NBF和△EAF中，NBF EAFBFN EFA AE BN∠=∠⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩.∴△NBF≌△EAF.∴BF=AF，NF=EF.∴∠ABC=45°，∠ENF=45°，FC=AF=BF.∴∠ANE=∠BCD=135°，AD=BC=2AF.在△ANE和△ECM中，MEC EAF AN ECANE ECM ∠=∠⎧⎪=⎨⎪∠=∠⎩.∴△ANE≌△ECM.∴CM=NE.又∵NF2=NE2=MC.∴AF2=MC+EC.∴AD=+2EC．【名师点睛】本题考查了平行四边形的性质、全等三角形的判定与性质、勾股定理、三角形面积公式等知识；熟练掌握平行四边形的性质，证明三角形全等是解题的关键．。

2021年中考数学压轴题专项训练07 综合探究类(含解析)

综合探究类1．综合与实践问题背景：综合与实践课上，同学们以两个全等的三角形纸片为操作对象，进行相一次相关问题的研究．下面是创新小组在操作过程中研究的问题，如图一，△ABC≌△DEF，其中∠ACB=90°，BC=2，∠A=30°．操作与发现：（1）如图二，创新小组将两张三角形纸片按如图示的方式放置，四边形ACBF的形状是，CF= ；（2）创新小组在图二的基础上，将△DEF纸片沿AB方向平移至图三的位置，其中点E 与AB的中点重合．连接CE，BF．四边形BCEF的形状是，CF= ．操作与探究：（3）创新小组在图三的基础上又进行了探究，将△DEF纸片绕点E逆时针旋转至DE与BC平行的位置，如图四所示，连接AF，BF．经过观察和推理后发现四边形ACBF也是矩形，请你证明这个结论．【解析】（1）如图所示：△ABC ≌△DEF ，其中∠ACB =90°，BC =2，∠A =30°，∴60,2ABC FED BC EF ∠=∠=︒==， ∴90C F FAC ∠=∠=∠=︒，∴四边形ACBF 是矩形，AB=4∴，∴AB=CF=4；故答案为：矩形，4 ；（2）如图所示：△ABC ≌△DEF ，其中∠ACB =90°，BC =2，∠A =30°，∴60,2ABC FED BC EF ∠=∠=︒==， ∴//BC EF ，∴四边形ECBF 是平行四边形，点E 与AB 的中点重合，∴CE=BE ，∴CBE △是等边三角形，∴EC=BC ，∴四边形ECBF 是菱形，∴CF 与EB 互相垂直且平分，∴OC EC ==∴CF =，故答案为：菱形，（3）证明：如图所示：∵90,3060C A ABC ∠=︒∠=︒∴∠=︒ ∵//,DE BC DEF ABC ≌ ∴60DEB DEF ABC ∠=∠=∠=︒ ∴60AEF ∠=︒∵24,2AB BC AE ==∴= ∵2EF BC AE EF ==∴= ∴AEF ∆为等边三角形 ∴60FAE ABC ∠=︒=∠ ∴//BC AF ∵AE EF BC ==∴四边形ACBF 为平行四边形 ∵90C ∠=︒∴四边形ACBF 为矩形．2．如图，在每个小正方形的边长为1的网格中，A ，B ，C 为格点，D 为小正方形边的中点.（1）AC的长等于_________；+取得最小值时，请在如图所示（2）点P，Q分别为线段BC，AC上的动点，当PD PQ的网格中，用无刻度．．．的直尺，画出线段PD，PQ，并简要说明点P和点Q的位置是如何找到的（不要求证明）.【解析】解：（1）由图可得：5=，故答案为：5；（2）如图，BC与网格线相交，得点P；取格点E，F，连接EF，与网格线相交，得点G，取格点M，N，连接MN，与网格线相交，得点H，连接GH，与AC相交，得点Q.连接PD，PQ.线段PD，PQ即为所求.如图，延长DP，交网格线于点T，连接AB，GH与DP交于点S，由计算可得：，，AC=5，∴△ABC为直角三角形，∠ABC=90°，∴tan∠ACB=2，∵tan∠BCT=PT：TC=2，∴∠ACB=∠BCT，即BC平分∠ACT，根据画图可知：GH∥BC，∴∠ACB=∠CQH，∠BCT=∠GHC，∵∠BCT=∠BCA，∴∠CQH=∠GHC，∴CQ=CH，由题意可得：BS=CH，∴BS=CQ，又∵BP=CP，∠PBS=∠PCQ，∴△BPS≌△CPQ，∴∠PSB=∠PHC=90°，即PQ⊥AC，∴PD+PQ的最小值即为PD+PT，∴所画图形符合要求.3．数学实验室：制作4张全等的直角三角形纸片（如图1），把这4张纸片拼成以弦长c为边长的正方形构成“弦图”（如图2），古代数学家利用“弦图”验证了勾股定理．探索研究：（1）小明将“弦图”中的2个三角形进行了运动变换，得到图3，请利用图3证明勾股定理；数学思考：（2）小芳认为用其它的方法改变“弦图”中某些三角形的位置，也可以证明勾股定理．请你想一种方法支持她的观点（先在备用图中补全图形，再予以证明）．【解析】（1）解：如图3所示，图形的面积表示为：2222122a b ab a b ab ++⨯=++，图形的面积也可表示：22122c ab c ab +⨯=+， ∴a 2b 2ab c 2ab ，∴a2b2c 2（2）解：如图4所示，大正方形的面积表示为：a b2，大正方形的面积也可以表示为：221422c ab c ab +⨯=+，∴22a b c ab+=+，()2∴a2b22ab c22ab，∴a2b2c2；4．综合与探究（实践操作）三角尺中的数学数学实践活动课上，“奋进”小组将一副直角三角尺的直角顶点叠放在一起，如图1，使直角顶点重合于点C．（问题发现）（1）①填空：如图1，若∠ACB＝145°，则∠ACE的度数是，∠DCB的度数，∠ECD的度数是．②如图1，你发现∠ACE与∠DCB的大小有何关系？∠ACB与∠ECD的大小又有何关系？请直接写出你发现的结论．（类比探究）（2）如图2，当△ACD与△BCE没有重合部分时，上述②中你发现的结论是否还依然成立？请说明理由．【解析】解：（1）①1459055∠=∠︒︒︒=﹣=，ACE DCB==﹣；∠∠-∠︒︒=︒ECD BCE BCD905535②结论：ACE DCB=；∠+∠︒ACB ECD∠=∠，180证明：∵90∠=∠-∠=∠-︒DCB ACB ACD ACB∠=∠-∠=∠-︒，90ACE ACB BCE ACB∴ACE DCB∠=∠∵9090180∠=∠+∠-∠=︒+︒-∠=︒-∠ACB ACD BCE ECD ECD ECD∴180=ACB ECD∠+∠︒（2）结论：当ACD与BCE没有重合部分时，上述②中发现的结论依然成立．理由：∵90∠=∠=︒，ACD ECB∴ACD DCE ECB DCE∠+∠=∠+∠，∴ACE DCB∠=∠，∵90∠=∠=︒，ACD ECB∴180=，∠+∠︒ACD ECB∵360=，ACD ECD ECB ACB∠+∠+∠+∠︒∴180ACB ECD=，∠+∠︒∴ACE DCB∠+∠︒=．ACB ECD∠=∠，180∴上述②中发现的结论依然成立．故答案为：（1）①55°，55°，35°；②∠ACE＝∠DCB，∠ACB+∠ECD＝180°；（2）当△ACD与△BCE没有重合部分时，上述②中发现的结论依然成立，理由详见解析5．操作：将一把三角尺放在如图①的正方形ABCD中，使它的直角顶点P在对角线AC 上滑动，直角的一边始终经过点B，另一边与射线DC相交于点Q，探究：=.(1)如图②，当点Q在DC上时，求证：PQ PB(2)如图③，当点Q在DC延长线上时，①中的结论还成立吗？简要说明理由.【解析】(1)证明：过点P作//BCMN，分别交AB于点M，交CD于点N，则四边形AMND和四边形BCNM都是矩形，△AMP和△CNP都是等腰直角三角形．∴NP=NC=MB∵∠BPQ=90°∴∠QPN+∠BPM=90°，而∠BPM+∠PBM=90° ，∴∠QPN=∠PBM，又∠QNP=∠PMB=90°，在△QNP和△BMP中，∠QNP=∠PMB，MB=NP，∠QPN=∠PBM∴△QNP≌△PMB（ASA），∴PQ=BP．(2)成立.过点P作PN AB⊥于N,PN交CD于点M在正方形ABCD中//AB CD,45∠=ACD∴90∠=∠=∠=PMQ PNB CBN∴CBNM是矩形，∴CM BN=，∴CMP∆是等腰直角三角形，∴PM CM BN ==，∵90PBN BPN ∠+∠=，90BPN MPQ ∠+∠=∴MPQ PBN ∠=∠，在PMQ ∆和BNP ∆中，90MPQ PBN PNB PMQ BN PM ∠=∠⎧⎪∠=∠=⎨⎪=⎩， ∴()PMQ BNP AAS ∆≅∆， ∴BP QP =；6．实践操作：第一步：如图1，将矩形纸片ABCD 沿过点D 的直线折叠，使点A 落在CD 上的点A '处，得到折痕DE ，然后把纸片展平．第二步：如图2，将图1中的矩形纸片ABCD 沿过点E 的直线折叠，点C 恰好落在AD 上的点C '处，点B 落在点B '处，得到折痕EF ，B C ''交AB 于点M ，C F '交DE 于点N ，再把纸片展平．问题解决：（1）如图1，填空：四边形AEA D '的形状是_____________________；（2）如图2，线段MC '与ME 是否相等？若相等，请给出证明；若不等，请说明理由；（3）如图2，若2cm,'4cm AC DC '==，求:DN EN 的值．【解析】（1）解：∵ABCD 是平行四边形， ∴'////AD BC EA ，'//AE DA ∴四边形'AEA D 是平行四边形∵矩形纸片ABCD 沿过点D 的直线折叠，使点A 落在CD 上的点A '处 ∴'AED A ED ≌ ∴'AE A E = ∵90A ∠=∴四边形AEA D '的形状是正方形故最后答案为：四边形AEA D '的形状是正方形；（2）MC ME '=理由如下：如图，连接EC '，由（1）知：AD AE = ∵四边形ABCD 是矩形， ∴90AD BC EAC B '=∠=∠=︒，由折叠知：B C BC B B '''=∠=∠， ∴90AE B C EAC B ''''=∠=∠=︒，又EC C E ''=， ∴Rt EC A Rt C EB '''≌ ∴C EA EC B '''∠=∠ ∴MC ME '=（3）∵Rt EC A Rt C EB '''≌，∴AC B E ''= 由折叠知：B E BE '=，∴AC BE '= ∵2(cm)4(cm)AC DC ''==， ∴()2428cm AB CD ==++=设cm DF x =，则()8cm FC FC x '==-在Rt DC F '中，由勾股定理得：2224(8)x x +=- 解得：3x =，即()3cm DF =如图，延长BA FC '，交于点G ，则AC G DC F ''∠=∠ ∴3tan tan 4AG DF AC G DC F AC DC ''∠=∠==='' ∴3(cm)2AG = ∴3156(cm)22EG =+= ∵//DF EG ，∴DNF ENG ∽ ∴152::3:25DN EN DF EG === 7．综合与实践在线上教学中，教师和学生都学习到了新知识，掌握了许多新技能．例如教材八年级下册的数学活动﹣﹣折纸，就引起了许多同学的兴趣．在经历图形变换的过程中，进一步发展了同学们的空间观念，积累了数学活动经验．实践发现：对折矩形纸片ABCD，使AD与BC重合，得到折痕EF，把纸片展平；再一次折叠纸片，使点A落在EF上的点N处，并使折痕经过点B，得到折痕BM，把纸片展平，连接AN，如图①．（1）折痕BM（填“是”或“不是”）线段AN的垂直平分线；请判断图中△ABN 是什么特殊三角形？答：；进一步计算出∠MNE＝°；（2）继续折叠纸片，使点A落在BC边上的点H处，并使折痕经过点B，得到折痕BG，把纸片展平，如图②，则∠GBN＝°；拓展延伸：（3）如图③，折叠矩形纸片ABCD，使点A落在BC边上的点A'处，并且折痕交BC边于点T，交AD边于点S，把纸片展平，连接AA'交ST于点O，连接AT．求证：四边形SATA'是菱形．解决问题：（4）如图④，矩形纸片ABCD中，AB＝10，AD＝26，折叠纸片，使点A落在BC边上的点A'处，并且折痕交AB边于点T，交AD边于点S，把纸片展平．同学们小组讨论后，得出线段AT的长度有4，5，7，9．请写出以上4个数值中你认为正确的数值．【解析】解：（1）如图①∵对折矩形纸片ABCD，使AD与BC重合，∴EF垂直平分AB，∴AN＝BN，AE＝BE，∠NEA＝90°，∵再一次折叠纸片，使点A落在EF上的点N处，∴BM垂直平分AN，∠BAM＝∠BNM＝90°，∴AB＝BN，∴AB＝AN＝BN，∴△ABN是等边三角形，∴∠EBN＝60°，∴∠ENB＝30°，∴∠MNE＝60°，故答案为：是，等边三角形，60；（2）∵折叠纸片，使点A落在BC边上的点H处，∴∠ABG＝∠HBG＝45°，∴∠GBN＝∠ABN﹣∠ABG＝15°，故答案为：15°；（3）∵折叠矩形纸片ABCD，使点A落在BC边上的点A'处，∴ST垂直平分AA'，∴AO＝A'O，AA'⊥ST，∵AD∥BC，∴∠SAO＝∠TA'O，∠ASO＝∠A'TO，∴△ASO≌△A'TO（AAS）∴SO＝TO，∴四边形ASA 'T 是平行四边形，又∵AA '⊥ST ，∴边形SATA '是菱形；（4）∵折叠纸片，使点A 落在BC 边上的点A '处， ∴AT ＝A 'T ，在Rt△A 'TB 中，A 'T ＞BT ， ∴AT ＞10﹣AT ， ∴AT ＞5， ∵点T 在AB 上，∴当点T 与点B 重合时，AT 有最大值为10， ∴5＜AT ≤10，∴正确的数值为7，9，故答案为：7，9． 8．综合与实践问题情境数学活动课上，老师让同学们以“三角形平移与旋转”为主题开展数学活动，ACD 和BCE 是两个等边三角形纸片，其中，52AC cm BC cm ==,．解决问题（1）勤奋小组将ACD 和BCE 按图1所示的方式摆放(点,,A C B 在同一条直线上) ，连接,AE BD ．发现AE DB =，请你给予证明；（2）如图2，创新小组在勤奋小组的基础上继续探究，将BCE 绕着点C 逆时针方向旋转，当点E 恰好落在CD 边上时，求ABC 的面积；拓展延伸（3）如图3，缜密小组在创新小组的基础上，提出一个问题： “将BCE 沿CD 方向平移acm 得到''',B C E 连接''AB B C ,，当'AB C △恰好是以'AB 为斜边的直角三角形时，求a 的值．请你直接写出a 的值．【解析】（1）∵ACD 和BCE 是两个等边三角形， ∴AC=CD，BC=CE ，∠ACD=∠ECB=60°， ∴∠ACD+∠DCE=∠ECB+∠DCE, 即∠ACE=∠DCB， ∴△ACE≌△DCB， ∴AE=BD；（2）由题意得∠ACD=∠ECB=60°，过点B 作BF⊥AC，交AC 的延长线于F ，∴∠BCF=180°-∠ACD -∠ECB=60°，∠F=90°， ∴∠CBF=30°， ∴CF=12BC=1cm ，=cm ，∴11522ABCSAC BF =⋅=⨯；（3）由题意得∠ACD=E C B '''∠=60°， ∵∠ACB '=90°， ∴30C CB ''∠=,∵C CB C B C E C B '''''''∠+∠=∠, ∴30C B C ''∠=, ∴C C C B '''==2cm ， ∴a=2.9．动手做一做：某校教具制作车间有等腰三角形正方形、平行四边形的塑料若干，数学兴趣小组的同学利用其中7块恰好拼成一个矩形（如图1），后来又用它们拼出了XYZ等字母模型（如图2、图3、图4），每个塑料板保持图1的标号不变，请你参与：（1）将图2中每块塑料板对应的标号填上去；（2）图3中，点画出了标号7的塑料板位置，请你适当画线，找出其他6块塑料板，并填上标号；（3）在图4中，找出7块塑料板，并填上标号．【解析】（1）如下图（2）如下图（3）如下图10．已知：如图1，在O 中，弦2AB =，1CD =，AD BD ⊥．直线,AD BC 相交于点E ．（1）求E ∠的度数；（2）如果点,C D 在O 上运动，且保持弦CD 的长度不变，那么，直线,AD BC 相交所成锐角的大小是否改变？试就以下三种情况进行探究，并说明理由（图形未画完整，请你根据需要补全）．①如图2，弦AB与弦CD交于点F；②如图3，弦AB与弦CD不相交：③如图4，点B与点C重合．【解析】解：（1）连接OC、OD，如图：∵AD BD⊥∴AB是直径∴1===OC OD CD∴OCD是等边三角形∴60∠=︒COD∴30∠=︒DBE∴60∠=︒E（2）①结论：直线AD、BC相交所成锐角的大小不发生改变依然是60︒证明：连接OD、OC、AC，如图：∵1===OD OC CD∴OCD为等边三角形∴60∠=︒COD∴30DAC∠=︒∴30∠=︒EBD∵90∠=︒ADB∴903060E∠=︒-︒=︒②结论：直线AD、BC相交所成锐角的大小不发生改变依然是60︒证明：连接OC、OD，如图：∵AD BD⊥∴AB是直径∴1===OC OD CD∴OCD是等边三角形∴60∠=︒COD∴30∠=︒DBE∴903060∠=︒-︒=︒BED③结论：直线AD、BC相交所成锐角的大小不发生改变依然是60︒证明：如图：∵当点B与点C重合时，则直线BE与O只有一个公共点∴EB恰为O的切线∴90∠=︒ABE∵90CD=，2∠=︒，1ADBAD=∴30A∠=︒∴60∠=︒．E故答案是：（1）60∠=︒（2）①结论：直线AD、BC相交所成锐角的大小不发生改变，E依然是60︒；证明过程见详解．②结论：直线AD、BC相交所成锐角的大小不发生改变，依然是60︒；证明过程见详解．③结论：直线AD、BC相交所成锐角的大小不发生改变，依然是60︒；证明过程见详解．11．综合与实践：折纸中的数学问题背景在数学活动课上，老师首先将平行四边形纸片ABCD按如图①所示方式折叠，使点C与点A重合，点D落到D′处，折痕为EF．这时同学们很快证得：△AEF是等腰三角形．接下来各学习小组也动手操作起来，请你解决他们提出的问题．操作发现(1) “争先”小组将矩形纸片ABCD 按上述方式折叠，如图②，发现重叠部分△AEF 恰好是等边三角形，求矩形ABCD 的长、宽之比是多少？实践探究(2)“励志”小组将矩形纸片ABCD 沿EF 折叠，如图③，使B 点落在AD 边上的B ′处；沿B ′G 折叠，使D 点落在D ′处，且B ′D ′过F 点．试探究四边形EFGB ′是什么特殊四边形？(3)再探究：在图③中连接BB ′，试判断并证明△BB ′G的形状．【解析】解：（1）矩形ABCD证明：设BE a =，AEF ∆等边三角形，60EAF ∴∠=︒，四边形ABCD 为矩形，90BAD ABE ∴∠=∠=︒，30BAE BAD EAF ∠=∠-∠=︒．在Rt ABE ∆中，90ABE ∠=︒，30BAE ∠=︒，BE a =，2sin BEAE a BAE ∴==∠，tan BEAB BAE ==∠，AE EC =，3BC BE EC a ∴=+=，∴BCAB ．（2）四边形B EFG '是平行四边形．证明：四边形ABCD 为矩形，//AD BC ∴，B EF BFE ∴∠'=∠，EB F GFB ∠'=∠'，DB G FGB ∠'=∠'．由翻折的特性可知：BFE B FE ∠=∠'，DB G FB G ∠'=∠'，B EF B FE ∴∠'=∠'，FB G FGB ∠'=∠'，又EB F GFB ∠'=∠'，B FE FB G ∴∠'=∠'，//EF B G ∴'，又//B E FG '，∴四边形B EFG '是平行四边形．（3）△BB G '为直角三角形．证明：连接BB '交EF 于点M ，如图所示．//AD BC ，EB B FBB ∴∠'=∠'，BF B F ='，FBB FB B ∴∠'=∠'，EB B FB B ∴∠'=∠'．B EF B FE ∠'=∠'，∴△B EF '为等腰三角形，B M EF ∴'⊥，90∴∠=︒．BMFEF B G'，//∴∠'=∠=︒，90BB G BMF∴△BB G'为直角三角形．12．综合与实践问题情境：在综合与实践课上，老师让同学们以“等腰三角形的剪拼”为主题开展数学活动．如图1，在△ABC中，AB＝AC＝10cm，BC＝16cm．将△ABC沿BC边上的中线AD剪开，得到△ABD和△ACD．操作发现：（1）乐学小组将图1中的△ACD以点D为旋转中心，按逆时针方向旋转，使得A'C'⊥AD，得到图2，A'C'与AB交于点E，则四边形BEC'D的形状是．（2）缜密小组将图1中的△ACD沿DB方向平移，A'D'与AB交于点M，A'C'与AD交于点N，得到图3，判断四边形MNDD'的形状，并说明理由．实践探究：（3）缜密小组又发现，当（2）中线段DD'的长为acm时，图3中的四边形MNDD'会成为正方形，求a的值．（4）创新小组又把图1中的△ACD放到如图4所示的位置，点A的对应点A'与点D重合，点D的对应点D'在BD的延长线上，再将△A'C'D'绕点D逆时针旋转到如图5所示的位置，DD'交AB于点P，DC'交AB于点Q，DP＝DQ，此时线段AP的长是cm．【解析】解：操作发现：（1）如图1：∵AB＝AC＝10cm，BC＝16cm．∴∠B＝∠C，BD＝CD＝8cm，∠BAD＝∠CAD，∵△ACD以点D为旋转中心，按逆时针方向旋转，∴C'D＝BD，∵AD⊥BD，A'C'⊥AD，∴A'C'∥BD，∠ADC'＝90°﹣∠C'，∴∠ADC'＝90°﹣∠B，且∠BAD＝90°﹣∠B，∴∠ADC'＝∠BAD，∴AB∥C'D，∴四边形BDC'E是平行四边形，∵BD＝C'D，∴四边形BEC'D是菱形，故答案为：菱形；（2）如图3，四边形MNDD'是矩形，理由如下：∵BD＝CD，∴BD'＝CD，且∠B＝∠C'，∠MD'B＝∠NDC'∴△MDB'≌△NDC'（ASA）∴MD'＝ND，∵△ACD 沿DB 方向平移，∴MD '∥DN ，∴四边形MNDD '是平行四边形，∵∠BD 'M ＝90°，∴四边形MNDD '是矩形；（3）由图形（1）可得AB ＝10cm ，BD ＝8cm ， ∴AD6cm ，∵四边形MNDD '为正方形，∴D 'M ∥DN ，D 'M ＝D 'D ＝acm ，∴△BD 'M ∽△BDA ， ∴BD MD BD AD''=， ∴886a a -=， ∴a ＝247；（4）如图5，过点D 作DG ⊥AB 于点G ，∵DP ＝DQ ，∴∠DQP ＝∠DPQ ，QG ＝PG ，又∵∠A ＝∠PDQ ，∴△DQP ∽△AQD ，∴∠ADQ ＝∠DPQ ，2021年中考数学压轴题专项训练07 综合探究类（含解析）∴∠ADQ＝∠AQD，∴AQ＝AD＝6，∵∠A＝∠A，∠DGA＝∠BDA，∴△DGA∽△BDA，∴AG AD AD AB=，∴6 610 AG=，∴AG＝185，∴GQ＝AQ﹣AG＝6﹣185＝125，∴PG＝QG＝125，∴AP＝AG﹣PG＝185﹣125＝65，故答案为：65．。

七年级数学下思维探究-绝对值与方程(含答案)

七年级数学下思维探究-绝对值与方程(含答案)商高是公元前世纪的中国数学家，当时中国正在处于奴隶制社会的西周时期，数学研究还处于非常初级的阶段．商高最大的成就是在世界上第一个提出了勾股定理，在我国最早的一部数学著作《周髀算经》中记录着商高和周公的一段对话．商高：“故折矩，勾广三，股修四，经隅五．”即当直角三角形的两直角边分别为和时，直角三角形的斜边就是，勾股定理在西方被叫做毕达哥拉斯定理，是古希腊数学家毕达哥拉斯在公元前世纪发现的．9．绝对值与方程解读标绝对值是数学中活性较高的一个概念，当这一概念与其他概念结合就生成许多新的问题，如绝对值方程、绝对值不等式、绝对值函数等．绝对值符号中含有未知数的方程叫绝对值方程，解绝对值方程的基本方法是：去掉绝对值符号，把绝对值方程转化为一般的方程求解．其基本类型有：1．最简绝对值方程形如是最简单的绝对值方程，可化为两个一元一次方程与．2．含多重或多个绝对值符号的复杂绝对值方程这类方程常通过分类讨论法、绝对值几何意义转化为最简绝对值方程和一般方程而求解．问题解决例1 方程的解是________．试一试原方程变形为，再把此方程化为一般方程求解．例2 若关于的方程无解，只有一个解，有两个解，则，，的大小关系为（）．A．B．．D．试一试从方程有解的条入手．例3 解下列方程：（1）；（2）；（3）．试一试对于（1），从内向外，运用绝对值定义、性质简化方程；对于（2）、（3）运用零点分段讨论法去掉绝对值方程；需要注意的是，方程（3）利用绝对值几何意义可获得简解．例 4 如图，数轴上有、两点，分别对应的数为、，已知与互为相反数．点为数轴上一动点，其对应的数为．（1）若点到点、点的距离相等，求点对应的数．（2）数轴上是否存在点，使点到点、点的距离之和为？若存在，请求出的值；若不存在，说明理由；（3）当点以每分钟个单位长度的速度从点向左运动时，点以每分钟个单位长度的速度向左运动，点以每分钟个单位长度的速度向左运动，问几分钟时点到点、点的距离相等？试一试由绝对值的几何意义建立关于的绝对值方程．例讨论关于的方程的解的情况．分析与解与方程中常数、有依存关系，这种关系决定了方程解的情况．故寻求这种关系是解本例的关键，利用分类讨论法或借助数轴是寻求这种关系的重要方法与工具．数轴上表示数的点到数轴上表示数和的点的距离和的最小值为，由此可得原方程的解的情况是：（1）当时，原方程有两解；（2）当时，原方程有无数解；（3）当时，原方程无解．数学冲浪知识技能广场1．若是方程的解，则_______；又若当时，则方程的解是_____．2．方程的解是_______；_______是方程的解；解方程，得_______．3．如果，那么的值为________．4．已知关于的方程的解满足，则的值为（）．A．或B．或．或D．或．若，则等于（）．A．或B．或．或D．或6．方程的解的个数为（）A．个B．个．无数个D．不确定7．解下列方程（1）；（2）；（3）；（4）．8．求关于的方程的所有解的和．9．解方程．10．已知、、、都是整数，且，则_______．11．若、都满足条，且，则的取值范围是_______．12．满足方程的所有的和为________．13．若关于的方程有三个整数解，则的值为（）A．B．．D．14．方程的整数解的个数有（）A．B．．D．1．若是方程的解，则等于（）A．B．．D．16．解下列方程（1）；（2）．17．当满足什么条时，关于的方程有一解？有无数多个解？无解？应用探究乐园18．如图，若点在数轴上对应的数为，点在数轴上对应的数为，且，满足．（l）求线段的长；（2）点在数轴上对应的数为，且是方程的解，在数轴上是否存在点，使得?若存在，求出点对应的数；若不存在，说明理由；（3）在（1）、（2）的条下，点，，开始在数轴上运动，若点以每秒个单位长度的速度向左运动，同时，点和点分剐以每秒个单位长度和个单位长度的速度向右运动，假设秒钟过后，若点与点之间的距离表示为，点与点之间的距离表示为．请问：的值是否随着时间的变化而改变？若变化，请说明理由；若不变，请求其常数值．19．已知，求的最大值和最小值．微探究从三阶幻方谈起相传大禹在治洛水的时候，洛水神龟献给大禹一本洛书，书中有如图所示的一幅奇怪的图，这幅图用今天的数学符号翻译出，就是一个阶幻方，也就是在的方阵中填入，其中每行、每列和两条对角线上数字和都相等．现在人们已给出一般三阶幻方的定义：在的方阵图中，每行、每列、每条对角线上个数的和都相等，就称它为三阶幻方．可以证明三阶幻方以下基本性质：（1）在的方格中填入个不同的数，使得各行各列及两条对角线上个数的和都相等，且为，若最中间数为，则．（2）在三阶幻方中，每个数都加上一个相同的数，仍是一个三阶幻方．（3）在三阶幻方中，每个数都乘以一个相同的数，仍是一个三阶幻方．解三阶幻方问题，常需恰当引元，运用三阶幻方定义、性质，整体核算等方法求解．例1 如图①，有个方格，要求在每个方格填入不同的数，使得每行、每列、每条对角线上三个数之和都相等．问：图中左上角的数是多少？试一试虽然问题要求的只是左上角的数，但是问题的条还与其他的数相关．故为充分运用已知条，需引入不同的字母表示数（如图②）．例2 如图，在的方格表中填入九个不同的正整数：，，，，，，，和．使得各行、各列所填的三个数的和都相等，请确定的值，并给出一种填数法．试一试如下页图，引入不同字母表示数，表中各行、各列三数的和都是相等的正整数，即为正整数，又，从估计和的最小值入手．整体核算法整体核算法即将问题中的一些对象看作一个整体，观察、分析问题中的题设与结论之间的整体特征和结构，从整体上计算、推理．例3 如图①，、、、、、、、、分别代表，，，，，，，，中某一个数，不同字母代表不同的数，使每个小圆内个数的和都相等，那么的值是多少？分析与解设这个相等的和是，现将这个小圆中个数求和，可得：，故．先从所在的小圆看，至少是，最多只能是，再从所在的小圆看，最多只能是，由于，所以必须，，由此可以求得图②．对照图①与图②中各数的位置，可看到．当然也可以有另一解法．将含、含、含、含、含与含的个小圆内个数求和，可得：，即，所以．练一练1．将到这个自然数填入图中的个圆圈中，每个数只能用一次，且使每一条直线上的三个数的和相同，则中间的圆圈中的数是_______，对应的每一条直线上的个数的和是_______．2．请构造“幻角”，将这个整数填入图中的小三角形内（和已填好），使图中每个大三角形内四数之和都等于．3．请将，，，，，，，，，这个数分别填入图中方阵的个空格，使行、列、条对角线上的个数的和都是．4．如图，、、、、、均为有理数，图中各行各列及两条对角线上的和都相等，求的值．．如图是一个的幻方，当空格填上适当的数后，每行、每列以及对角线上的和都是相等的，求的值．6．图中显示的填数“魔方”只填了一部分，将下列个数：，，，，，，，，填入方格中，使得所有行、列及对角线上各数相乘的积相等，求的值．7．幻方第一人幻方，相传最早见于我国的“洛书”，如图①，洛书中行、列以及条对角线上的点数之和都等于，是一种“ 阶幻方”（如图②）．我国南宋数学家杨辉是对幻方从数学角度进行系统研究的第一人，他在《续古摘奇算法》一书中给出从阶到阶的幻方，并对一些低阶幻方介绍了构造方法，其中运用了对称思想．例如，用，，，…，构造阶幻方的方法是：先将，，，…，依次排成图③，然后以外四角对换，即与对换，与对换，再以内四角对换……请你在图④中填写用这种“对换”方法得出的阶幻方．8．把数字，，，…，分别填入图中的个圈内，要求三角形和三角形的每条边上三个圈内数字之和都等于．（1）给出一种符合要求的填法；（2）共有多少种不同填法？证明你的结论．微探究商品的利润商品的利润涉及商品进价、售价、利润、利润率、打折销售等名词术语，理解相关概念并熟悉它们之间的关系是解这类问题的基础．（1）；（2）利润=售价-进价；（3）售价=进价+利润=进价×（利润率）．例1 一家商店将某商品按成本价提高后，标价为元，又以折出售，则售出这商品可获利润_______元．试一试从求出成本价切入．例 2 某商店出售某种商品每可获利元，利润率为．若这种商品的进价提高，而商店将这种商品的售价提高到每仍可获利元，则提价后的利润率为（）．A．B．．D．试一试利用获利不变建立方程．例 3 某房地产开发商开发一套房子的成本随着物价上涨比原增加了，为了赚钱，开发商把售价提高了倍，利润率比原增加了，求开发商原的利润率．试一试因售价=成本×（利润率），故还需设出成本．例4 某超市对顾客实行优惠购物，规定如下：（1）若一次购物少于元，则不予优惠；（2）若一次购物满元，但不超过元，按标价给予九折优惠；（3）若一次购物超过元，其中元部分给予九折优惠，超过元部分给予折优惠．小明两次去该超市购物，分别付款元与元．现在小亮决定一次去购买小明分两次购买的同样多的物品，他需付款多少？分析与解第一次付款元，可能是所购物品的实价，未享受优惠；也可能是按九折优惠后所付的款，故应分两种情况加以讨论．情形l 当元为购物不打折付的钱时，所购物品的原价为元，又，其中元为购物元打九折付的钱，元为购物打八折付的钱，（元）．因此，元所购物品的原价为（元），于是购买小明花（元）所购的全部物品，小亮一次性购买应付（元）．情形2 当元为购物打九折付的钱时，所购物品的原价为（元）．仿情形1的讨论，购（元）物品一次性付款应为（元）．练一练1．某商品的进价为元，售价为元，则该商品的利润率可表示为_______．2．某商店老板将一进价为元的商品先提价，再打八折卖出，则卖出这商品所获利润为_______元．3．某商场推出全场打八折的优惠活动，持贵宾卡可在八折基础上继续打折，小明妈妈持贵宾卡买了标价为元的商品，共带省元，则用贵宾卡又享受了_______折优惠．4．某商品的价格标签已丢失，售货员只知道“它的进价为元，打七折售出后，仍可获利”，你认为售货员应标在标签上的价格为________．．一商场对某款羊毛衫进行换季打折销售，若这款羊毛衫每按原销售价的八折销售，售价为元，则这款羊毛衫每的原销售价为_______元．6．甲用元购买了一些股票，随即他将这些股票转卖给乙，获利．而后乙又将这些股票反卖给甲，但乙损失了，最后甲按乙卖给甲的价格的九折将这些股票卖给了乙．若上述股票交易中的其他费用忽略不计，则甲（）．A．盈亏平衡B．盈利元．盈利元D．亏损元7．年爆发的世界金融危机，是自世纪年代以世界最严重的一场金融危机，受金融危机的影响，某商品原价为元，连续两次降价后售价为元，下列所列方程正确的是（）．A．B．．D．8．某商店出售某种商品每可获利元，利润率为．若这种商品的进价提高，而商店将这种商品的售价提高到每仍可获利元，则提价后的利润率为（）．A．B．．D．9．某种商品的进价为元，出售标价为元，后由于该商品积压，商店准备打折销售，但要保证利润率不低于，则最多可打（）．A．新B．折．折D．折10．某商场对顾客实行优惠，规定：①如一次购物不超过元，则不予折扣；②如一次购物超过元但不超过元，按标价给予九折优惠；③如一次购物超过元，则其中元按第②条给予优惠，超过元的部分则给予八折优惠．某人两次去购物，分别付款元和元，如果他只去一次购买同样的商品，则应付款是（）．A．元B．元．元D．元11．某商场用元购进、两种新型节能台灯共盏，这两种台灯的进价、标价如下表所示：类别价格型型进价（元/盏）标价（元/盏）（1）这两种台灯各购进多少盏？（2）若型台灯按标价的九折出售，型台灯按标价的八折出售，那么这批台灯全部售完后，商场共获利多少元？12．某公司销售、、三种产品，在去年的销售中，高新产品的销售金额占总销售金额的．由于受国际金融危机的影响，今年、两种产品的销售金额都将比去年减少，因而高新产品是今年销售的重点．若要使今年的总销售金额与去年持平，问：今年高新产品的销售金额应比去年增加多少？13．某大型超市元旦假期举行促销活动，规定一次购物不超过元的不给优惠，超过元而不超过元时，按该次购物全额折优惠，超过元的其中元仍按折优惠，超过部分按折优惠．小美两次购物分别用了元和元，现小丽决定一次购买小美分两次购买的同样的物品，那么小丽应该付款多少元？微探究多变的行程问题行程问题按运动方向可分为相遇问题、追及问题；按运动路线可分为直线形问题、环形问题等．相遇问题、追及问题是最基本的类型，它们的特点与常用的等量关系如下：1．相遇问题其特点是：两人（或物）从两地沿同一路线相向而行，而最终相遇．一般地，甲行的路程+乙行的路程=两地之间的距离．2．追及问题其特点是：两人（或物）沿同一路线、同一方向运动，由于位置或者出发时间不同，造成一前一后，又因为速度的差异使得后者最终能追及前者，一般地，快者行的路程-慢者行的路程=两地之间的距离．例1 （1）在公路上，汽车、、分别以、、的速度匀速行驶，从甲站开往乙站，同时，、从乙站开往甲站．在与相遇小时后又与相遇，则甲、乙两站相距_____ ．（2）小王沿街匀速行走，他发现每隔从背后驶过一辆路公交车；每隔迎面驶一辆路公交车．假设每辆路公交车行驶速度相同，而且路总站每隔固定时间发一辆车，那么，发车的间隔时间为_______ ．试一试对于（2），“背后驶过与迎面驶”，其实质就是追及与相遇，距离是同向行驶的相邻两车的间距．例 2 （1）一艘轮船从港到港顺水航行，需小时，从港到港逆水需小时，若在静水条下，从港到港需（）小时．A．B．．D．（2）甲、乙两动点分别从正方形的顶点、同时沿正方形的边开始移动．甲点依顺时针方向环行，乙点依逆时针方向环行，若乙的速度是甲的速度的倍，则它们第次相遇在边（）．A．上B．上．上D．上试一试对于（2），设正方形边长为，甲的速度为，相遇时甲行的路程为，利用“相遇时甲、乙两动点运动时间相等”建立方程，把用的代数式表示．例 3 有甲、乙两辆小汽车模型，在一个环形轨道上匀速行驶，甲的速度大于乙．如果它们从同一点同时出发沿相反方向行驶，那么每隔分钟相遇一次．现在，它们从同一点同时出发，沿相同方向行驶，当甲第一次追上乙时，乙已经行驶了圈，此时它们行驶了多少分钟？试一试当甲追上乙时，甲行驶了多少圈？由此可导出甲、乙的速度之比．例4 甲、乙二人分别从、两地同时出发，在距离地千米处相遇，相遇后两人又继续按原方向、原速度前进，当他们分别到达地、地后，又在距地千米处相遇，求、两地相距多少千米？解法一第一次相遇时，甲、乙两人所走的路程之和，正是、两地相距的路程，即当甲、乙合走完、间的全部路程时，乙走了千米，第二次相遇时，两人合走的路程恰为两地间距离的倍（如图，图中实线表示甲所走路程，虚线表示乙所走路线），因此，这时乙走的路程应为（千米）．考虑到乙从地走到后又返回了千米，所以、两地间的距离为（千米）．解法二甲、乙两人同时动身，相向而行，到相遇时两人所走时间相等，又因为两人都做匀速运动，应有：两人速度之比等于他们所走路程之比，且相同时间走过的路程亦成正比例．到第一次相遇，甲走了（全程）千米，乙走了千米；到第二次相遇，甲走了（全程）千米，乙走了（全程）千米．设全程为，易得到下列方程，解得，（舍去），所以、两地相距千米．解法三设全程为千米，甲、乙两人速度分别为，．则，①÷②得，解得或（舍去）．乘车方案例老师带着两名学生到离学校千米远的博物馆参观，老师乘一辆摩托车，速度为千米／时，这辆摩托车后座可带乘一名学生，带人速度为千米／时，学生步行的速度为千米／时，请你设计一种方案，使师生三人同时出发后到达博物馆的时间都不超过个小时．分析若能使人车同时到达目的地，则时间最短，而要实现“同时到达”，必须“机会均等”，即两名同学平等享受交通工具，各自乘车的路程相等，步行的路程也相等，这是设计方案的关键．解要使师生三人都到达博物馆的时间尽可能短，可设计如下方案：设学生为甲、乙二人．乙先步行！，老师带甲乘摩托车行驶一定路程后，让甲步行，老师返回接乙，然后老师搭乘乙，与步行的甲同时到达博物馆．如图，设老师带甲乘摩托车行驶了千米，用了小时，比乙多行了（千米）．这时老师让甲步行前进，而自己返、回接已，遇到乙时，用了（小时）．乙遇到老师时，已经步行了（千米），离博物馆还有（千米）．要使师生三人能同时到达博物馆，甲、乙二人搭乘摩托车的路程应相同，则有，解得．即甲先乘摩托车千米，用时小时，再步行千米，用时小时，共计小时．因此，上述方案可使师生三人同时出发后都到达博物馆的时间不超过个小时．另解：设乙先步行的时间为小时，步行的路程为，则（千米），此时老师带甲走的路程为（千米），老师返回接乙走的路程为．故有，解得，甲乘车的时间为（小时），故甲从学校到博物馆共用（小时）．练一练1．甲、乙两人从两地同时出发，若相向而行，则小时相遇；若同向而行，则小时甲追及乙，那么甲、乙两人的速度之比为_______．2．一轮船从甲地到乙地顺流行驶需小时，从乙地到甲地逆流行驶需小时，有一木筏由甲地漂流至乙地，需_______小时．3．甲、乙两列客车的长分别为和，它们相向行驶在平行的轨道上．已知甲车上某乘客测得乙车在他窗口外经过的时间为秒，那么，乙车上的乘客看见甲车在他窗口外经过的时间是______．4．甲、乙分别自、两地同时相向步行，小时后中途相遇，相遇后，甲、乙步行速度都提高了千米／时，当甲到达地后立刻按原路向地返行，当乙到达地后也立刻按原路向地返行．甲、乙两人在第一次相遇后小时分又再次相遇，则、两地的距离是_______千米．．甲、乙两人沿同一路线骑车（匀速）从到，甲需要分钟，乙需要分钟．如果乙比甲早出发分钟，则甲出发后经______分钟可以追上乙．6．甲、乙、丙三人一起进行百米赛跑（假定三人均为匀速直线运动），如果当甲到达终点时，乙距终点还有米，丙距终点还有米，那么当乙到达终点时，丙距终点还有______米．7．小李骑自行车从地到地，小明骑自行车从地到地，两人都匀速前进．已知两人在上午时同时出发，到上午时，两人还相距千米，到中午时，两人又相距千米，求、两地间的路程．8．目前自驾游已成为人们出游的重要方式．“五一”节，林老师驾轿车从舟出发，上高速公路途经舟跨海大桥和杭州湾跨海大桥到嘉兴下高速，其间用了小时；返回时平均速度提高了千米／时，比去时少用了半小时回到舟．（1）求舟与嘉兴两地间的高速公路路程；（2）两座跨海大桥的长度及过桥费见下表：大桥名称舟跨海大桥杭州湾跨海大桥大桥长度千米千米过桥费元元据浙江省交通部门规定：轿车的高速公路通行费（元）的计算方法为：，其中（元／千米）为高速公路里程费，（千米）为高速公路里程（不包括跨海大桥长），（元）为跨海大桥过桥费，若林老师从舟到嘉兴所花的高速公路通行费为元，求轿车的高速公路里程费．9．铁路旁的一条平行小路上有一行人与一骑车人同时向东行进，行人速度为千米／时，骑车人的速度为千米／时，如果有一列火车从他们背后开过，它通过行人用了秒，通过骑车人用了秒．问这列火车的车身长为多少米？10．如图，甲、乙两人分别在、两地同时相向而行，于处相遇后，甲继续向地行走，乙则休息了分钟，再继续向地行走．甲和乙到达和后立即折返，仍在处相遇．已知甲每分钟行走米，乙每分钟行走米，则和两地相距多少米？11．某单位有人要到千米外的某地参观，因为步行时速只有千米，为了使他们上午到达，配备了一辆最多载人名、时速千米的大客车．于是早晨时整出发，若人员上下车的时间不计，试拟一个运行方案，说明步车如何安排，才能使全体人员在最短时间内全部到达目的地，并求该地的时刻，画出汽车往返的运行图．12．、、三辆车在同一条直路上同向行驶，某一时刻，在前，在后，在、正中间．分钟后，追上；又过了分钟，追上．问再过多少分钟，追上?̳9．绝对值与方程问题解决例1 由，得或，所以或．经检验知时，方程左右两边不等，故舍去．从而原方程的解为．例2 A ，，，由题意得，，，从而，．例3 （1）或．原方程化为或，即或．（2）当时，原方程化为，得．当时，原方程化为，得．当时，原方程化为，得．综上知原方程的解为，，．（3）由绝对值的几何意义得原方程的解为．例4 （1）；（2）存在，或（3）或数学冲浪1．；或2．或；；或3．4．A ．D 6．7．（1）或；（2）；（3）或；（4）或．8．，，，得，，，，故．9．当，原方程无解；当时，原方程有两解：或；当时，原方程化为，此时原方程有四解：；当时，原方程化为，此时原方程有三解：或或；当时，原方程有两解：．10．或，又、都是整数，得，，．当，则，即矛盾；若，令，满足题意；若，令，满足题意．11．12．13．14．B 由数轴知，且为偶数1．D16．（1）或可以得到；（2）．17．由绝对值几何意义知：当时，方程有一解；当时，方程有无穷多个解，当或时，方程无解．18．（1），，；（2）存在点，点对应的数为或；（3），为常数．19．，同理，，得．当且仅当，，时，上面各式等号成立．又，由得①+②③，，因此，的最大值为，最小值为．从三阶幻方谈起（微探究）例l 由已知条得：，这样前面两个式子之和等于后面的两个式子之和，即，，得．例 2 与的最小值是，所以，即．而为整数，且是不同于，，，，，，，的正整数，故．练一练1．，，；，，设中间的圆圈中的数是，同一直线上的个数的和是，则，．2．如图3．如图：4．由条得：，，．上述三式相加有，故．．如图，由及，得，，从而（注：这个幻方是可以完成的，如第行为，，；第行为，，；第行为，，）．6．这个数的积为，所以每行、每列、每条对角线上三个数字积为，得，，，、、、分别为、、、中的某个数，推得．。

初一数学探索类练习题及解析

初一数学探索类练习题及解析已知x，y是两个有理数，其倒数的和、差、积、商的四个结果中，有三个是相等的， 1.填空：X和Y之和的倒数为；2说明理由.（分析）设x，y的倒数分别为a，ba0，b0，a+ba-b，如果a+B、a-B、AB和a/B中的三个相等，AB=a/B，即B=1和B=1分类如下：① 当a+B=AB=a/B时：如果B=1，则没有解；如果B=-1，则解为a=0.5②当a-b=ab=a/b时：如果b=1，无解;如果b=-1，解得a=-0.5所以X和Y的倒数和是a+B=-0.5或-1.5二、（考点）有理数计算、分数拆分、方程思想（难度）（清华大学附中）解答题：有8个连续的正整数，其和可以表示成7个连续的’正整数的和，但不能表示为3个连续的正整数的和，求这8个连续的正整数中最大数的最小值。

4分（分析）设这八个连续正整数为：n，n+1和为8n+28它可以表示为七个连续的正整数：K、K+1和7K+21所以8n+28=7k+21，k=8n+7/7=n+1+n/7，k是整数所以n=7,14,21,28当n=7时，八数和为84=27+28+29，不符合题意，舍当n=14时，八个数字之和为140，这与问题的意思一致（答案）最大数最小值：21三、（试验场）有理数计算（难度）☆（清华附中期中）在数字1、2、341998中，添加符号+或-，然后依次操作。

最小可能的非负数是多少？6分（解析）最小的非负数是0，但在1998年的正数中有999个奇数和999个偶数。

它们的和或差结果必须是奇数，因此不可能达到0可以实现的最小非负数为1，如果能实现结果1，则符合题意两个相邻数之差为1，因此四个相邻数之和可以为零，即N-N+1-N+2+N+3=0从3，4，5，61998共有1996个数，可以四个连续数字一组，和为零（答）-1+2+3-4-5+6+7+1995-1996-1997+1998=1（改编）在数1,2,3,4n，前添符号+或-，并依次运算，所得可能的最小非负数是多少?（分析）由上面解析可知，四个数连续数一组可以实现为零如果n=4K，结果为0；一组数四，没有残留如果n=4k+1，结果为1;四数一组，剩余首项1如果n=4K+2，则结果为1；一组数到四，剩下的前两项-1+2=1如果n=4k+3，结果为0;四数一组，剩余首三项1+2-3=0四、（测试场地）绝对值简化（难度）☆（101中学期中）将100个自然数1、2、3、100随机分成50组，每组两个数字。

(完整)七年级数学专题规律探究题

七年级数学专题-----规律探究题题型一：数字变化类问题1．观察下列按顺序排列的等式：，，，，…，试猜想第n个等式（n为正整数）：a n=__________．2.下表中的数字是按一定规律填写的，表中a的值应是．1 2 3 5 8 13 a …2 3 5 8 13 21 34 …3.观察下面的单项式：a，﹣2a2，4a3，﹣8a4，…根据你发现的规律，第8个式子是．4.有一组等式：2222222222222222++=++=++=++=……请观察1233,2367,341213,452021它们的构成规律，用你发现的规律写出第8个等式为_________5.把奇数列成下表，根据表中数的排列规律，则上起第8行，左起第6列的数是．5.在计数制中，通常我们使用的是“十进位制”，即“逢十进一”。

而计数制方法很多，如60进位制：60秒化为1分，60分化为1小时；24进位制：24小时化为1天；7进位制：7天化为1周等…而二进位制是计算机处理数据的十进位0 1 2 3 4 5 6 …制二进制0 1 10 11 100 101 110 …写成十进制数为 .（二）6．观察下列各数，它们是按一定规律排列的，则第n个数是．，，，，，…7.观察一列单项式：1x，3x2，5x2，7x，9x2，11x2，…，则第2013个单项式是．8．有这样一组数据a1，a2，a3，…a n，满足以下规律：，（n≥2且n为正整数），则a2013的值为______（结果用数字表示）．9.观察下列各式的计算过程：5×5=0×1×100+25，15×15=1×2×100+25，25×25=2×3×100+25，35×35=3×4×100+25，…………请猜测，第n个算式(n为正整数)应表示为____________________________．10.如图，下列各图形中的三个数之间均具有相同的规律.根据此规律,图形中M与m、n的关系是A．M=mn B．M=n(m+1) C．M=mn+1 D．M=m(n+1)11.观察下列等式：31=3，32=9，33=27，34=81，35=243，36=729，37=2187…解答下列问题：3+32+33+34…+32013的末位数字是（）A．0 B．1 C．3 D．712.如下表，从左到右在每个小格中都填入一个整数，使得任意三个相邻格子所填整数之和都相等，则第2013个格子中的整数是.－4 a b c 6 b －2…13.将连续正整数按以下规律排列，则位于第7行第7列的数x 是85．题型二：图形变化类问题14.如图，是用火柴棒拼成的图形，则第n个图形需__________根火柴棒.15.电脑系统中有个“扫雷”游戏，要求游戏者标出所有的雷，游戏规则：一个方块下面最多埋一个雷，如果无雷，掀开方块下面就标有数字，提醒游戏者此数字周围的方块（最多八个）中雷的个数（实际游戏中，0通常省略不标,此WORD 中为方便大家识别与印刷，我还是把图乙中的0都标出来吧，以示与未掀开者的区别），如图甲中的“3”表示它的周围八个方块中仅有3个埋有雷.图乙第一行从左数起的七个方块中（方块上标有字母），能够确定一定是雷的有.（请填入方块上的字母）16.如图，在△ABC中，∠A=m°，∠ABC和∠ACD的平分线交于点A1，得∠A1；∠A 1BC和∠A1CD的平分线交于点A2，得∠A2；…∠A2012BC和∠A2012CD的平分线交于点A2013，则∠A2013= 度。

中考压轴题专项训练2——几何探究型问题专题(带答案解析)

中考压轴题专项训练2——几何探究型问题专题几何探究题型是中考数学常见的题型，常以压轴题的形式出现，是数学学习中的重点也是难点。

那么遇到这种题型应该怎么去思考呢？先给定几何图形，根据已知条件进行计算，然后有动点（或动线段）运动，对应产生线段、面积等的变化，求对应的（未知）函数的解析式(即在没有求出之前不知道函数解析式的形式是什么)和求函数的定义域，最后根据所求的函数关系进行探索研究，一般有：在什么条件下图形是等腰三角形、直角三角形、四边形是菱形、梯形等或探索两个三角形满足什么条件相似等或探究线段之间的位置关系等或探索面积之间满足一定关系求x的值等和直线（圆）与圆的相切时求自变量的值等。

求未知函数解析式的关键是列出包含自变量和因变量之间的等量关系（即列出含有x、y的方程），变形写成y＝f（x）的形式。

一般有直接法（直接列出含有x和y的方程）和复合法（列出含有x和y和第三个变量的方程，然后求出第三个变量和x之间的函数关系式，代入消去第三个变量，得到y＝f（x）的形式），当然还有参数法，这个已超出初中数学教学要求。

找等量关系的途径在初中主要有利用勾股定理、平行线截得比例线段、三角形相似、面积相等方法。

求定义域主要是寻找图形的特殊位置（极限位置）和根据解析式求解。

最后探索的问题千变万化，但少不了对图形的分析和研究，用几何和代数的方法求出x的值。

在解数学综合题时我们要做到：数形结合记心头，大题小作来转化，潜在条件不能忘，化动为静多画图，分类讨论要严密，方程函数是工具，计算推理要严谨，创新品质得提高。

1.(2019北京)在△ABC 中，DE 分别是△ABC 两边的中点，如果DE 上的所有点都在△ABC 的内部或边上，则称DE 为△ABC 的中内弧。

例如，图1中DE 是△ABC 的一条中内弧。

(1)如图2，在Rt △ABC 中，AB-AC=22，D ，E 分别是AB ，AC 的中点，画出△ABC 的最长的中内弧DE ，并直接写出此时DE 的长；(2)在平面直角坐标系中，已知点A(0，2)，B(0,0)，C(4t,0)(t ＞0)，在△ABC 中， D,E 分别是AB,AC 的中点。

小学探究性试题及答案解析

小学探究性试题及答案解析1. 问题解析小学生学习的过程中，探究性试题是非常重要的一部分。

这些试题不仅可以培养学生的思考能力和创造力，还能激发他们对知识的兴趣。

本文将为大家介绍一些典型的小学探究性试题，并提供详细的答案解析，帮助学生更好地理解和掌握知识。

2. 数学试题及解析2.1. 问题：如果一包巧克力有12块，有10个小朋友，每个小朋友只能分到完整的巧克力块，那么这10个小朋友一共需要几包巧克力？答案解析：由题意可知，每个小朋友分到的巧克力块数必须是整数，且每包巧克力都必须完整分配。

所以，10个小朋友一共需要的巧克力块数为10×12=120块。

根据每包有12块巧克力，可以知道这10个小朋友一共需要120/12=10包巧克力。

2.2. 问题：如果一辆汽车每小时行驶60公里，那么这辆汽车在4小时内一共行驶了多远？由题意可知，汽车每小时行驶60公里，所以在4小时内汽车一共行驶了60×4=240公里。

3. 语文试题及解析3.1. 问题：请写出以下成语的意思：如鱼得水。

答案解析：成语“如鱼得水”的意思是比喻在适合自己的环境中得到舒适和自由。

3.2. 问题：请写出以下词语的反义词：善良、光明、快乐。

答案解析：词语的反义词是指与其意义相反的词语。

善良的反义词是恶毒；光明的反义词是黑暗；快乐的反义词是悲伤。

4. 自然科学试题及解析4.1. 问题：请说明万有引力是如何影响地球上的物体的？万有引力是地球吸引物体的力量，其大小与物体的质量和距离地心的距离有关。

根据万有引力，地球上的物体受到向地心的引力，使它们始终保持接近地表，并且物体之间还存在引力相互作用。

4.2. 问题：请解释水的三态变化。

答案解析：水的三态变化指的是水在不同温度下发生的物态变化。

当温度低于0摄氏度时，水会凝固成冰，变为固态；当温度在0摄氏度到100摄氏度之间时，水是液态；当温度超过100摄氏度时，水会变为气态，并转化为水蒸气。

经典探究型试题(含答案)-

经典探究型试题1、课题研究：现有边长为120厘米的正方形铁皮，准备将它设计并制成一个开口．．的水槽，使水槽能通过的水的流量最大．初三（1）班数学兴趣小组经讨论得出结论：在水流速度一定的情况下，水槽的横截面面积越大，则通过水槽的水的流量越大．为此，他们对水槽的横截面进行了如下探索：⑴方案①：把它折成横截面为直角三角形的水槽（如图1）．若∠ACB=90°，设AC=x 厘米，该水槽的横截面面积为y 厘米2，请你写出y 关于x 的函数关系式（不必写出x 的取值范围），并求出当x 取何值时，y 的值最大，最大值又是多少？方案②：把它折成横截面为等腰梯形的水槽（如图2）．若∠ABC=120°，请你求出该水槽的横截面面积的最大值，并与方案①中的y 的最大值比较大小．⑵假如你是该兴趣小组中的成员，请你再提供两种方案，使你所设计的水槽的横截面面积更大．画出你设计的草图，标上必要的数据（不要求写出解答过程）． 2、（2005年枣庄）如图甲，四边形ABCD 是等腰梯形，AB ∥DC ．由4个这样的等腰梯形可以拼出图乙所示的平行四边形.(1)求四边形ABCD 四个内角的度数；(2)试探究四边形ABCD 四条边之间存在的等量关系，并说明理由；(3)现有图甲中的等腰梯形若干个，利用它们你能拼出一个菱形吗?若能，请你画出大致的示意图．C A B （图1）C A B3、已知：直线a ∥b ，P 、Q 是直线a 上的两点，M 、N 是直线b 上两点。

（1）如图①，线段PM 、QN 夹在平行直线a 和b 之间，四边形PMNQ 为等腰梯形，其两腰PM ＝QN 。

请你参照图①，在图②中画出异于图①的一种图形，使夹在平行直线a 和b 之间的两条线段相等。

（2）我们继续探究，发现用两条平行直线a 、b 去截一些我们学过的图形，会有两条“曲线段相等”（曲线上两点和它们之间的部分叫做“曲线段”。

把经过全等变换后能重合的两条曲线段叫做“曲线段相等”）。

中考数学复习探究性试题练习20题：圆(学生版+解析版)

中考数学复习探究性试题练习圆一．解答题（共20小题）1．勾股定理是世界上最伟大的定理之一，是用代数思想解决几何问题的重要工具，也是数形结合的纽带，周老师在上八年级《从勾股定理到图形面积关系的拓展》一节拓展课时，教学环节清晰，内容安排有序，问题设计合理（如下），作为课堂主人的你，请积极思考解决下列问题：【知识回顾】勾股定理反映了直角三角形三条边之间的关系：a2+b2＝c2，而a2，b2，c2又可以看成是以a，b，c为边长的正方形面积，因此，勾股定理也可以表述为：分别以直角三角形两条直角边为边长的两个正方形的面积之和，等于以斜边为边长的正方形的面积（如图1），即S1+S2＝S3．【问题探究】（1）如果以直角三角形三条边a，b，c为直径，向形外分别作半圆（如图2），那么三个半圆的面积为S1，S2，S3之间存在怎样的关系？请直接写出你认为正确的结论：；（2）类似地，上述结果是否适合其他图形？适合的，请你在图3中以直角三角形的三条边a，b，c为边，向形外画出图形（示意图），指出你所画的图形名称是：，并写出证明过程；不存在的，请说明理由．【拓展应用】（1）如图4，已知在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，AB＝4，分别以AC、BC为直径作半圆，面积分别记为S2、S1，则S1+S2的值等于；（2）在Rt△ABC中，∠BAC＝90°，分别以AB，AC为直径作半圆，以BC为直径作半圆刚好经过点A（如图5所示），若AB＝4，AC＝3，则两个月牙形（阴影部分）的面积之和即S1+S2＝．2．我国南宋著名数学家秦九韶在他的著作《数书九章》中提出了“三斜求积术”，三斜即指三角形的三条边长，可以用该方法求三角形面积．若改用现代数学语言表示，其形式为：设a，b，c为三角形三边，S为面积，则S＝①这是中国古代数学的瑰宝之一．而在文明古国古希腊，也有一个数学家海伦给出了求三角形面积的另一个公式，若设p ＝（周长的一半），则S＝②（1）尝试验证．这两个公式在表面上形式很不一致，请你用以5，7，8为三边构成的三角形，分别验证它们的面积值；（2）问题探究．经过验证，你发现公式①和②等价吗？若等价，请给出一个一般性推导过程（可以从①⇒②或者②⇒①）；（3）问题引申．三角形的面积是数学中非常重要的一个几何度量值，很多数学家给出了不同形式的计算公式．请你证明如下这个公式：如图，△ABC的内切圆半径为r，三角形三边长为a，b，c，仍记p＝，S为三角形面积，则S＝pr．3．我们知道，三角形的三条角平分线交于一点，这个点称为三角形的内心（即三角形内切圆的圆心），现在规定，如果四边形的四条角平分线交于一点，我们把这个点称为“四边形的内心”．问题发现：（1）如图①，在△ABC中，∠C＝90°，点O为△ABC的内心，若直线DE 分别交边AC、BC于点D、E，且点O仍然为四边形ABED的内心，这样的直线DE可以画多少条？请在图①中画出一条符合条件的直线DE，并简要说明画法；问题探究：（2）如图②，在△ABC中，∠C＝90°，AC＝3，BC＝4，若满足（1）中条件的一条直线DE∥AB，求此时线段DE的长；问题解决：（3）如图③，在△ABC中，∠C＝90°，AC＝3，BC＝4，问满足（1）中条件的线段DE是否存在最小值？如果存在，请求出这个值；如果不存在，请说明理由．4．问题探究：（1）已知：如图①，△ABC中请你用尺规在BC边上找一点D，使得点A到点BC的距离最短．（2）托勒密（Ptolemy）定理指出，圆的内接四边形两对对边乘积的和等于两条对角线的乘积．如图②，P是正△ABC外接圆的劣弧BC上任一点（不与B、C重合），请你根据托勒密（Ptolemy）定理证明：P A＝PB+PC．问题解决：（3）如图③，某学校有一块两直角边长分别为30m、60m的直角三角形的草坪，现准备在草坪内放置一对石凳及垃圾箱在点P处，使P到A、B、C三点的距离之和最小，那么是否存在符合条件的点P？若存在，请作出点P的位置，并求出这个最短距离（结果保留根号）；若不存在，请说明理由．5．问题提出：（1）如图①，已知线段AB和BC，AB＝2，BC＝5，则线段AC的最小值为；问题探究（2）如图②，已知扇形COD中，∠COD＝90°，DO＝CO＝6，点A是OC的中点，延长OC到点F，使CF＝OC，点P是上的动点，点B是OD上的一点，BD＝1．（i）求证：△OAP∽△OPF；（ii）求BP+2AP的最小值；问题解决：（3）如图③，有一个形状为四边形ABCD的人工湖，BC＝9千米，CD＝4千米，∠BCD＝150°，现计划在湖中选取一处建造一座假山P，且BP＝3千米，为方便游客观光，从C、D分别建小桥PD，PC．已知建桥PD每千米的造价是3万元，建桥PC每千米的造价是1万元，建桥PD和PC的总造价是否存在最小值？若存在，请确定点P的位置并求出总造价的最小值，若不存在，请说明理由．（桥的宽度忽略不计）6．问题提出（1）如图①，在△ABC中，AB＝AC＝10，BC＝12，点O是△ABC的外接圆的圆心，则OB的长为问题探究（2）如图②，已知矩形ABCD，AB＝4，AD＝6，点E为AD的中点，以BC为直径作半圆O，点P为半圆O上一动点，求E、P之间的最大距离；问题解决（3）某地有一块如图③所示的果园，果园是由四边形ABCD和弦CB与其所对的劣弧场地组成的，果园主人现要从入口D到上的一点P修建一条笔直的小路DP．已知AD ∥BC，∠ADB＝45°，BD＝120米，BC＝160米，过弦BC的中点E作EF⊥BC交于点F，又测得EF＝40米．修建小路平均每米需要40元（小路宽度不计），不考虑其他因素，请你根据以上信息，帮助果园主人计算修建这条小路最多要花费多少元？7．问题提出（1）如图1．已知∠ACB＝∠ADB＝90°，请用尺规作图作出△ABD的外接圆（保留作图痕迹，不写作法）；点C是否在△ABD的外接圆上（填“是”或“否”）．问题探究（2）如图2．四边形ADBC是⊙O的内接四边形，∠ACB＝∠ADB＝90°，AD＝BD．求证：CA+CB＝CD；（3）如图3．点P是正方形ABCD对角线AC的中点，点E是平面上一点，EB＝AB且EA＝BA．点Q是线段AE的中点，请在图中画出点E，并求线段PQ与AB之间的数量关系．8．某数学活动小组在一次活动中，对一个数学问题作如下探究：【问题发现】如图1，AD，BD为⊙O的两条弦（AD＜BD），点C为的中点，过C作CE⊥BD，垂足为E．求证：BE＝DE+AD．【问题探究】小明同学的思路是：如图2，在BE上截取BF＝AD，连接CA，CB，CD，CF．……请你按照小明的思路完成上述问题的证明过程．【结论运用】如图3，△ABC是⊙O的内接等边三角形，点D是上一点，∠ACD＝45°，连接BD，CD，过点A作AE⊥CD，垂足为E．若AB＝，则△BCD的周长为．【变式探究】如图4，若将【问题发现】中“点C为的中点”改为“点C为优弧的中点”，其他条件不变，上述结论“BE＝DE+AD”还成立吗？若成立，请说明理由；若不成立，请写出BE、AD、DE之间的新等量关系，并加以证明．9．问题发现：（1）如图1，△ABC内接于半径为4的⊙O，若∠C＝60°，则AB＝；问题探究：（2）如图2，四边形ABCD内接于半径为6的⊙O，若∠B＝120°，求四边形ABCD的面积最大值；解决问题：（3）如图3，一块空地由三条直路（线段AD、AB、BC）和一条弧形道路围成，点M 是AB道路上的一个地铁站口，已知AD＝BM＝1千米，AM＝BC＝2千米，∠A＝∠B＝60°，的半径为1千米，市政府准备将这块空地规划为一个公园，主入口在点M处，另外三个入口分别在点C、D、P处，其中点P在上，并在公园中修四条慢跑道，即图中的线段DM、MC、CP、PD，是否存在一种规划方案，使得四条慢跑道总长度（即四边形DMCP的周长）最大？若存在，求其最大值；若不存在，说明理由．10．问题发现：（1）如图①，点P是半圆O上的一个动点，AB是半圆的直径，且AB＝10，则△P AB面积的最大值是，△P AB的周长存在最（填大或小）值为；问题探究：（2）如图②，在边长为10的正方形ABCD中，点G是BC的中点，E、F分别是AD和CD边上的点，请直接写出四边形BEFG面积的最大值是，请研究四边形BEFG的周长是否存在最小值？若存在，请求出其最小值；若不存在，请说明理由；拓展应用：（3）如图③是某街心花园的一角，在扇形AOB中，∠AOB＝90°，OA＝12米，在矮围墙OA和OB上分别有两个入口C和D，AC＝4米，D为OB的中点，出口E 在弧AB上，沿CE、DE从入口到出口铺设两条景观小路，在四边形CODE内种花，在剩余区域种草，问：出口E设在距直线OB多远处可以使四边形CODE的面积最大？最大面积是多少？（小路宽度不计）11．问题探究：（1）如图1，在⊙O中，AB是直径，CD⊥AB于点E，AE＝a，EB＝b．计算CE的长度（用a、b的代数式表示）．（2）如图2，请你在边长分别为a、b（a＞b）的矩形ABCD的边AD上找一点M，使得线段（保留作图痕迹）．问题解决：（3）请你在（2）中结论的基础上，在图3中对矩形ABCD进行拆分并拼接为一个与其面积相等的正方形．并探究你所画出拼成的正方形的面积是否存在最大值和最小值？若存在，求出这个最大值和最小值；若不存在，请说明理由．12．问题探究：（一）新知学习：圆内接四边形的判断定理：如果四边形对角互补，那么这个四边形内接于圆（即如果四边形EFGH的对角互补，那么四边形EFGH的四个顶点E、F、G、H都在同个圆上）．（二）问题解决：已知⊙O的半径为2，AB，CD是⊙O的直径．P是上任意一点，过点P分别作AB，CD的垂线，垂足分别为N，M．（1）若直径AB⊥CD，对于上任意一点P（不与B、C重合）（如图一），证明四边形PMON内接于圆，并求此圆直径的长；（2）若直径AB⊥CD，在点P（不与B、C重合）从B运动到C的过程中，证明MN的长为定值，并求其定值；（3）若直径AB与CD相交成120°角．①当点P运动到的中点P1时（如图二），求MN的长；②当点P（不与B、C重合）从B运动到C的过程中（如图三），证明MN的长为定值．（4）试问当直径AB与CD相交成多少度角时，MN的长取最大值，并写出其最大值．13．【定义】圆心在三角形的一边上，与另一边相切，且经过三角形一个顶点（非切点）的圆称为这个三角形圆心所在边上的“伴随圆”．【概念理解】如图1，△ABC中，∠C＝90°，AB＝5，BC＝3，则Rt△ABC的直角边AC上的伴随圆的半径为；【问题探究】如图2，已知点E在△ABC的边AB上，∠C＝90°，∠BAC的平分线交BC于点D，且D在以AE为直径的⊙O上．求证：⊙O是Rt△ABC斜边AB上的伴随圆；【拓展应用】如图3，已知等腰△ABC，AB＝AC＝5，BC＝6，直接写出它的所有伴随圆的半径．14．【问题探究】已知：如图①所示，∠MPN的顶点为P，⊙O的圆心O从顶点P出发，沿着PN方向平移．（1）如图②所示，当⊙O分别与射线PM，PN相交于A、B、C、D四个点，连接AC、BD，可以证得△P AC∽△，从而可以得到：P A•PB＝PC•PD．（2）如图③所示，当⊙O与射线PM相切于点A，与射线PN相交于C、D两个点．求证：P A2＝PC•PD．【简单应用】（3）如图④所示，（2）中条件不变，经过点P的另一条射线与⊙O相交于E、F两点．利用上述（1），（2）两问的结论，直接写出线段P A与PE、PF之间的数量关系；当P A＝4，EF＝2，则PE＝．【拓展延伸】（4）如图⑤所示，在以O为圆心的两个同心圆中，A、B是大⊙O上的任意两点，经过A、B两点作线段，分别交小⊙O于C、E、D、F四个点．求证：AC•AE＝BD•BF．（友情提醒：可直接运用本题上面所得到的相关结论）15．问题提出（1）如图①，△ABC是等边三角形，AB＝12，若点O是△ABC的内心，则OA的长为；问题探究（2）如图②，在矩形ABCD中，AB＝12，AD＝18，如果点P是AD边上一点，且AP ＝3，那么BC边上是否存在一点Q，使得线段PQ将矩形ABCD的面积平分？若存在，求出PQ的长；若不存在，请说明理由．问题解决（3）某城市街角有一草坪，草坪是由△ABM草地和弦AB与其所对的劣弧围成的草地组成，如图③所示．管理员王师傅在M处的水管上安装了一喷灌龙头，以后，他想只用喷灌龙头来给这块草坪浇水，并且在用喷灌龙头浇水时，既要能确保草坪的每个角落都能浇上水，又能节约用水，于是，他让喷灌龙头的转角正好等于∠AMB（即每次喷灌时喷灌龙头由MA转到MB，然后再转回，这样往复喷灌．）同时，再合理设计好喷灌龙头喷水的射程就可以了．如图③，已测出AB＝24m，MB＝10m，△AMB的面积为96m2；过弦AB的中点D作DE ⊥AB交于点E，又测得DE＝8m．请你根据以上信息，帮助王师傅计算喷灌龙头的射程至少多少米时，才能实现他的想法？为什么？（结果保留根号或精确到0.01米）16．定义：圆心在三角形的一边上，与另一边相切，且经过三角形一个顶点（非切点）的圆称为这个三角形圆心所在边上的“伴随圆”．【概念理解】（1）教师通过举例帮助学生加以理解：如图1，△ABC中，∠A＝90°，AB＝10，AC＝，∴⊙O的圆心O在BC边上，与AC边相切于点E，并且过顶点B，∴⊙O就是BC 边上的一个伴随圆．并引导同学求该伴随圆半径的思路：请你根据以上的思路，求出BC边上的伴随圆的半径r；【问题探究】（2）如图2，在（1）的条件下，C点沿直线CB向左运动到点D，使得AB＝AD，求此时△ABD所有的伴随圆的半径；【拓展应用】（3）如图3，在（2）的条件下，作D关于B点的对称点E，得到△ABE，⊙M是BE边上的一种伴随圆，过圆心M作FG⊥ED，H是⊙M在ED上半圆上任意一点，HJ⊥FG 于J，HI⊥ED于I，连接JI，K是JI的中点，当H沿着上半圆周逆时针方向运动时，当∠KEI度数取最大值时，直接写出线段EK的长．17．问题探究：（1）如图1，点D在△ABC的边AC上，试在边BC上找一点E，使得△ABE的面积等于△ABD的面积．（2）如图2，⊙O的半径为5，点A、B、C都在⊙O上，AB＝6，求△ABC面积的最大值．问题解决：（3）如图3，在Rt△ABC中，AB＝4，BC＝2，∠ACB＝90°，点D为∠ABC内部一点，且∠ADB＝60°，过点C作CE∥AD，交BD于点E，连接AE、CD．求四边形AECD面积的最大值．18．问题提出（1）如图①，在△ABC中，∠A＝120°，AB＝AC＝5，则△ABC的外接圆半径R的值为．问题探究（2）如图②，⊙O的半径为13，弦AB＝24，M是AB的中点，P是⊙O上一动点，求PM的最大值．问题解决（3）如图③所示，AB、AC、是某新区的三条规划路，其中AB＝6km，AC＝3km，∠BAC＝60°，所对的圆心角为60°，新区管委会想在路边建物资总站点P，在AB，AC路边分别建物资分站点E、F，也就是，分别在、线段AB和AC上选取点P、E、F．由于总站工作人员每天都要将物资在各物资站点间按P→E→F→P的路径进行运输，因此，要在各物资站点之间规划道路PE、EF和FP．为了快捷、环保和节约成本．要使得线段PE、EF、FP之和最短，试求PE+EF+FP的最小值．（各物资站点与所在道路之间的距离、路宽均忽略不计）19．（1）问题提出：如图①，在Rt△BAC中，∠BAC＝90°，点D，E分别是CB，AB的中点，点F是BD 的中点，若AB＝8，AC＝6，则EF＝；（2）问题探究：如图②，已知：M是弓形AB上的中点，AB＝24，弓形AB的高是8，则对应⊙O的面积为多少？（结果保留根号或π）（3）问题解决：如图③，在半径为5的⊙O中，弦BC＝8，点A为优弧BC上的动点，过点A作AD⊥BC 于点D，过点B作BE⊥AC于点E．AD和BE交于点P，连接PC，试求△PBC面积的最大值．20．问题提出（1）如图1，在△ABC中，∠A＝75°，∠C＝60°，AC＝6，求△ABC的外接圆半径R的值；问题探究（2）如图2，在△ABC中，∠BAC＝60°，∠C＝45°，AC＝8，点D为边BC上的动点，连接AD以AD为直径作⊙O交边AB、AC分别于点E、F，连接EF，求EF的最小值；问题解决（3）如图3，在四边形ABCD中，∠BAD＝90°，∠BCD＝30°，AB＝AD，BC+CD＝12，连接AC，线段AC的长是否存在最小值，若存在，求最小值：若不存在，请说明理由．2022年中考数学复习探究性试题汇编之圆参考答案与试题解析一．解答题（共20小题）1．勾股定理是世界上最伟大的定理之一，是用代数思想解决几何问题的重要工具，也是数形结合的纽带，周老师在上八年级《从勾股定理到图形面积关系的拓展》一节拓展课时，教学环节清晰，内容安排有序，问题设计合理（如下），作为课堂主人的你，请积极思考解决下列问题：【知识回顾】勾股定理反映了直角三角形三条边之间的关系：a2+b2＝c2，而a2，b2，c2又可以看成是以a，b，c为边长的正方形面积，因此，勾股定理也可以表述为：分别以直角三角形两条直角边为边长的两个正方形的面积之和，等于以斜边为边长的正方形的面积（如图1），即S1+S2＝S3．【问题探究】（1）如果以直角三角形三条边a，b，c为直径，向形外分别作半圆（如图2），那么三个半圆的面积为S1，S2，S3之间存在怎样的关系？请直接写出你认为正确的结论：S1+S2＝S3；（2）类似地，上述结果是否适合其他图形？适合的，请你在图3中以直角三角形的三条边a，b，c为边，向形外画出图形（示意图），指出你所画的图形名称是：等边三角形或等腰直角三角形，并写出证明过程；不存在的，请说明理由．【拓展应用】（1）如图4，已知在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，AB＝4，分别以AC、BC为直径作半圆，面积分别记为S2、S1，则S1+S2的值等于2π；（2）在Rt△ABC中，∠BAC＝90°，分别以AB，AC为直径作半圆，以BC为直径作半圆刚好经过点A（如图5所示），若AB＝4，AC＝3，则两个月牙形（阴影部分）的面积之和即S1+S2＝6．【考点】圆的综合题．【分析】问题探究：（1）结论：S1+S2＝S3，利用圆面积公式以及勾股定理即可证明．（2）等边三角形．利用等边三角形的面积以及勾股定理即可证明．拓展应用：（1）利用问题探究中的结论即可解决问题．（2）根据S1+S2＝π（AB）2+π（AC）2﹣π（BC）2+S△ABC＝π（BC2+AC2﹣AB2）+S△ABC＝S△ABC计算即可．【解答】解：问题探究：（1）结论：S1+S2＝S3．理由如下：∵S3＝c2，S2＝b2，S1＝a2，a2+b2＝c2，∴S1+S2＝S3．故答案为S1+S2＝S3．（2）等边三角形或等腰直角三角形．如图3中，以直角三角形的三条边a，b，c为边，向外作等边三角形，如图所示，∵S1＝a2，S2＝b2，S3＝c2，a2+b2＝c2，∴S1+S2＝S3．等腰三角形时证明方法类似．故答案为等边三角形或等腰直角三角形．拓展应用：（1）如图2中，∵S1+S2＝S3，S3＝c2＝×16＝2π．故答案为2π．2）解：如图5中，△ABC中，∵AB2+AC2＝BC2∴S1+S2＝π（AB）2+π（AC）2﹣π（BC）2+S△ABC＝π（BC2+AC2﹣AB2）+S△ABC＝S△ABC＝×3×4＝6．故答案为6．【点评】此题主要涉及的知识点：三角形、正方形、圆的面积计算以及勾股定理的应用，解题关键是熟练掌握勾股定理的公式，学会用割补法求阴影部分面积，属于中考常考题型．2．我国南宋著名数学家秦九韶在他的著作《数书九章》中提出了“三斜求积术”，三斜即指三角形的三条边长，可以用该方法求三角形面积．若改用现代数学语言表示，其形式为：设a，b，c为三角形三边，S为面积，则S＝①这是中国古代数学的瑰宝之一．而在文明古国古希腊，也有一个数学家海伦给出了求三角形面积的另一个公式，若设p ＝（周长的一半），则S＝②（1）尝试验证．这两个公式在表面上形式很不一致，请你用以5，7，8为三边构成的三角形，分别验证它们的面积值；（2）问题探究．经过验证，你发现公式①和②等价吗？若等价，请给出一个一般性推导过程（可以从①⇒②或者②⇒①）；（3）问题引申．三角形的面积是数学中非常重要的一个几何度量值，很多数学家给出了不同形式的计算公式．请你证明如下这个公式：如图，△ABC的内切圆半径为r，三角形三边长为a，b，c，仍记p＝，S为三角形面积，则S＝pr．【考点】三角形的内切圆与内心；数学常识．【专题】三角形；与圆有关的位置关系．【分析】（1）由公式①得：S＝＝10，由②得：p ＝＝10，S＝＝10；（2）求出2p＝a+b+c，把①中根号内的式子可化为：（ab+）（ab﹣）＝（a+b+c）（a+b﹣c）（c+a﹣b）（c﹣a+b）＝×2p×（2p﹣2c）（2p ﹣2b）（2p﹣2a）＝p（p﹣a）（p﹣b）（p﹣c），即可得出结论；（3）连接OA、OB、OC，S＝S△AOB+S△AOC+S△BOC，由三角形面积公式即可得出结论．【解答】解：（1）由①得：S＝＝10，由②得：p＝＝10，S＝＝10；（2）公式①和②等价；推导过程如下：∵p＝，∴2p＝a+b+c，①中根号内的式子可化为：（ab+）（ab﹣）＝（2ab+a2+b2﹣c2）（2ab﹣a2﹣b2+c2）＝[（a+b）2﹣c2][c2﹣（a﹣b）2]＝（a+b+c）（a+b﹣c）（c+a﹣b）（c﹣a+b）＝×2p×（2p﹣2c）（2p﹣2b）（2p﹣2a）＝p（p﹣a）（p﹣b）（p﹣c），∴＝；（3）连接OA、OB、OC，如图所示：S＝S△AOB+S△AOC+S△BOC＝rc+rb+ra＝（）r＝pr．【点评】本题考查了三角形的内切圆、数学常识以及三角形面积公式；熟练掌握三角形面积的计算方法是解题的关键．3．我们知道，三角形的三条角平分线交于一点，这个点称为三角形的内心（即三角形内切圆的圆心），现在规定，如果四边形的四条角平分线交于一点，我们把这个点称为“四边形的内心”．问题发现：（1）如图①，在△ABC中，∠C＝90°，点O为△ABC的内心，若直线DE 分别交边AC、BC于点D、E，且点O仍然为四边形ABED的内心，这样的直线DE可以画多少条？请在图①中画出一条符合条件的直线DE，并简要说明画法；问题探究：（2）如图②，在△ABC中，∠C＝90°，AC＝3，BC＝4，若满足（1）中条件的一条直线DE∥AB，求此时线段DE的长；问题解决：（3）如图③，在△ABC中，∠C＝90°，AC＝3，BC＝4，问满足（1）中条件的线段DE是否存在最小值？如果存在，请求出这个值；如果不存在，请说明理由．【考点】圆的综合题．【专题】综合题；压轴题．【分析】（1）由切线的定义可知，重直于圆心与劣弧MN上的任意一点所连半径的直线有无数条，所以这样的直线DE有无数条；（2）根据切线长定理，分别设DM＝DF＝x，EN＝EF＝y，再根据DE∥AB，证明△CDE 和△CAB相似，即可利用对应线段的比相等求出x，y的值，进一步求得DE的长；（3）连接CO，交⊙O于F，DE切⊙O于点F，此时DE的值最小，利用正方形的性质及切线的性质定理等条件证明△CFD与△CFE全等，再证出△CDE是等腰直角三角形，即可求出CF的长，进一步求出DE的最小值．【解答】解：（1）如图1，作△ABC的内切圆⊙O，切AC、BC于M、N，在劣弧MN上取一点F，连接OF，过点F作OF的垂线交AC，BC于D，E．（2）如图2，直线DE切⊙O于点F，DE∥AB，∵AC，BC分别切⊙O于M，N，∴∠OMC＝∠ONC＝∠C＝90°，∴四边形ONCM为矩形，∵OM＝ON＝r，∴矩形ONCM为正方形，设⊙O的半径为r，在Rt△ABC中，AB＝＝5，则S△ABC＝（AB+AC+BC）•r＝AC•BC，∴（3+4+5）•r＝×3×4，∴r＝1，∴CM＝CN＝1，设EF＝x，DF＝y，则DM＝DF＝x，EN＝EF＝y，∴CD＝1﹣y，CE＝1﹣x，∵DE∥AB，∴△CDE∽△CAB，∴，即，解得，x＝，y＝，∴DE＝x+y＝，∴当直线DE∥AB时，线段DE的长为；（3）如图3，连接CO，交⊙O于F，DE切⊙O于点F，此时DE的值最小，由（2）知，四边形ONCM是正方形，∴∠DCF＝∠CEF＝45°，∵DE切⊙O于点F，∴OC⊥DE，∴∠CFD＝∠CFE＝90°，在△CFD和△CFE中，，∴△CFD≌△CFE（ASA），∴CD＝CE，CF＝DE，由（2）知，OM＝OF＝1，∴CO＝OM＝，∴CF＝﹣1，∴DE＝2CF＝2﹣2，∴线段DE存在最小值，其最小值是2﹣2．【点评】本题考查了切线的性质定理，三角形相似的性质，三角形内心的定义等，解题关键是要熟练掌握切线的性质定理．4．问题探究：（1）已知：如图①，△ABC中请你用尺规在BC边上找一点D，使得点A到点BC的距离最短．（2）托勒密（Ptolemy）定理指出，圆的内接四边形两对对边乘积的和等于两条对角线的乘积．如图②，P是正△ABC外接圆的劣弧BC上任一点（不与B、C重合），请你根据托勒密（Ptolemy）定理证明：P A＝PB+PC．问题解决：（3）如图③，某学校有一块两直角边长分别为30m、60m的直角三角形的草坪，现准备在草坪内放置一对石凳及垃圾箱在点P处，使P到A、B、C三点的距离之和最小，那么是否存在符合条件的点P？若存在，请作出点P的位置，并求出这个最短距离（结果保留根号）；若不存在，请说明理由．【考点】圆的综合题．【专题】几何综合题．【分析】（1）根据垂线段最短、利用尺规作图作出点P；（2）根据等边三角形的性质得到AB＝BC＝AC，根据托勒密定理计算，即可证明；（3）以BC为边作正△BCD，使点D与点A在BC两侧，作△BCD的外接圆，连接AD 交圆于P，连接PB，作DE⊥AC交AC的延长线于E，根据勾股定理、直角三角形的性质计算，得到答案．【解答】解：（1）利用尺规作图，过点A作BC的垂线，交BC于D，则点D即为所求；（2）由托勒密定理得，P A•BC＝PB•AC+PC•AB，∵△ABC为正三角形，∴AB＝BC＝AC，∴P A•BC＝PB•BC+PC•BC，∴P A＝PB+PC；（3）以BC为边作正△BCD，使点D与点A在BC两侧，作△BCD的外接圆，连接AD交圆于P，连接PB，作DE⊥AC交AC的延长线于E，则点P即为所求，由（2）得，PD＝PB+PC，∴P到A、B、C三点的距离之和＝DA，且距离之和最小，∵CD＝BC＝30，∠DCE＝∠BCE﹣∠BCD＝30°，∴DE＝CD＝15，由勾股定理得，CE＝＝15，则AD＝＝30，答：P到A、B、C三点的距离之和最小值为30m．【点评】本题考查的是直角三角形的性质、勾股定理、线段的性质，掌握直角三角形的性质、正确理解托勒密定理是解题的关键．5．问题提出：（1）如图①，已知线段AB和BC，AB＝2，BC＝5，则线段AC的最小值为3；问题探究（2）如图②，已知扇形COD中，∠COD＝90°，DO＝CO＝6，点A是OC的中点，延长OC到点F，使CF＝OC，点P是上的动点，点B是OD上的一点，BD＝1．（i）求证：△OAP∽△OPF；（ii）求BP+2AP的最小值；问题解决：（3）如图③，有一个形状为四边形ABCD的人工湖，BC＝9千米，CD＝4千米，∠BCD＝150°，现计划在湖中选取一处建造一座假山P，且BP＝3千米，为方便游客观光，从C、D分别建小桥PD，PC．已知建桥PD每千米的造价是3万元，建桥PC每千米的造价是1万元，建桥PD和PC的总造价是否存在最小值？若存在，请确定点P的位置并求出总造价的最小值，若不存在，请说明理由．（桥的宽度忽略不计）【考点】圆的综合题．【专题】圆的有关概念及性质；图形的相似．【分析】问题提出：（1）当点A在线段BC上时，线段AC有最小值，可求解；问题探究（2）（i）由题意可得＝，由相似三角形的判定可得△OAP∽△OPF；（ii）由相似三角形的性质可得PF＝2AP，可得BP+2AP＝BP+PF，即当点F，点P，点B三点共线时，BP+2AP有最小值，最小值为BF，由勾股定理可求BP+2AP有最小值；问题解决：（3）以点B为圆心，3为半径作圆交AB于点E，交BC于点F，点P为上一点，连接BP，PC，PD，在BC上截取BM＝1，连接MD，过点D作DG⊥CB，可证△BPM∽△BCP，可得PC＝3PM，当点P在线段MD上时，建桥PD和PC的总造价有最小值，由勾股定理可求DM的值，即可求建桥PD和PC的总造价是否存在最小值．【解答】解：问题提出：（1）∵当点A在线段BC上时，线段AC有最小值，∴线段AC的最小值＝5﹣2＝3故答案为：3问题探究（2）（i）∵点A是OC的中点，DO＝CO＝6＝OP，∴∵CF＝OC，∴OF＝2OC＝2OP，∴∴，且∠AOP＝∠FOP∴△OAP∽△OPF；（ii）∵△OAP∽△OPF∴∴PF＝2AP∵BP+2AP＝BP+PF∴当点F，点P，点B三点共线时，BP+2AP有最小值，最小值为BF∴DO＝CO＝6，BD＝1∴BO＝5，OF＝12∴BF＝＝13问题解决：（3）如图，以点B为圆心，3为半径作圆交AB于点E，交BC于点F，点P为上一点，连接BP，PC，PD，在BC上截取BM＝1，连接MD，过点D作DG⊥CB，∵，且∠PBM＝∠PBC，∴△BPM∽△BCP∴∴PC＝3PM∵建桥PD和PC的总造价＝3×PD+1×PC＝3PD+3PM＝3（PD+PM）∴当点P在线段MD上时，建桥PD和PC的总造价有最小值．∵∠BCD＝150°∴∠DCG＝30°，且DG⊥BC∴DG＝DC＝2，CG＝DG＝6∴MG＝BC+CG﹣BM＝9+6﹣1＝14∴MD＝＝4∴建桥PD和PC的总造价最小值＝3×4＝12万元【点评】本题是圆的综合题，圆的有关知识，相似三角形的判定和性质，添加恰当辅助线构造相似三角形是本题的关键．6．问题提出（1）如图①，在△ABC中，AB＝AC＝10，BC＝12，点O是△ABC的外接圆的圆心，则OB的长为问题探究。

数学探究练习题

数学探究练习题在数学学习中，练习题是巩固知识、拓展思维的重要环节。

通过解答练习题，我们可以提高自己的数学运算能力和问题解决能力。

本文将为大家提供一些数学探究练习题，帮助大家巩固数学知识。

1. 请计算以下方程的解：(1) 2x + 5 = 17(2) 3y - 2 = 7y + 42. 某商店举办特价促销活动，原价为120元的商品现打5折，请问打完折后的价格是多少？3. 小明和小亮共有苹果20个，小明比小亮多3个苹果。

请问小亮有几个苹果？4. 在一个长方形花坛中，长和宽的比例是3:2，如果长边是18米，请问花坛的面积是多少平方米？5. 在一个数列中，已知前两项为1，3，且每一项都是前两项的和。

请问第十项是多少？6. 现有一块圆形花坛，半径为5米，围绕着花坛修了一条环形小路，小路的宽度为2米。

请问这个环形小路的面积是多少平方米？7. 一部电影票原价18元，现进行打折促销活动，打完折后票价为原价的80%。

请问打完折后的价格是多少？8. 某班级有30名学生，其中男生和女生的比例是3:2。

请问这个班级中男生和女生的人数分别是多少？9. 某书店举办读书活动，一本原价80元的书打8折出售，另一本原价120元的书打9折出售。

请问两本书的总价格是多少？10. 请计算以下方程组的解：(1) 2x + y = 5x - y = 1(2) 3x + 2y = 104x + 5y = 23通过以上的练习题，我们可以巩固和应用数学知识，提高自己的解题能力。

希望大家能够认真思考并尝试解答这些问题，相信通过不断的练习和探究，数学水平会有明显提升。

祝愿大家在数学学习中取得好成绩！。

数学探究性问题

装订线数学探究性问题（1）一、“类比、归纳”型探究性问题：1、已知如图AB ∥CD ，P 为任意一点，请用一个等式来表示，∠B 、∠D 、∠P 之间的数量关系，并说明你们的理由。

2、已知AB ∥CD ，P 1、、P 2、P3、P4、…… P n 为任意n 点，请用一个等式来表示，∠B 、∠D 、∠P 1、、∠P 2、∠P 3、∠P 4、…… ∠P n 之间的数量关系。

3、如果上面的n 个点P ，一内一外交替摆放，情况又会怎样？（注意奇偶性）CDDC A23234p 523AA2421装订线4、探究规律：如图1，已知直线m//n ，A 、B 为直线n 上两点，C 、P 为直线m 上两点。

（1）请写出图1中，面积相等的各对三角形：_______________________；（2）如果A 、B 、C 为三个定点，点P 在m 上移动，那么，无论P 点移动到任何位置，总有_________与△ABC 的面积相等。

理由是：____________________________。

解决问题：如图2，五边形ABCDE 是张大爷十年前承包的一块土地的示意图。

经过多年开垦荒地，现已变成如图3所示的形状，但承包土地与开垦荒地的分界小路（即图3中折线CDE ）还保留着。

张大爷想过E 点修一条直路，直路修好后，要保持直路左边的土地面积与承包时的一样多，右边的土地面积与开垦的荒地面积一样多。

请你用有关的几何知识，按张大爷的要求设计出修路方案。

（不计分界小路与直路的占地面积）（1）写出设计方案，并在图3中画出相应的图形；（2）说明方案设计理由。

5、“聪明线”的定义：如果一条线段，经过多边形的一个顶点，并且把这个多边形的面积二等分，我们就把这样的线段叫作这个多边形的“聪明线”。

如：AD 是△ABC 的中线，则△ABD 与△ACD 等底等高，因此△ABD 与△ACD 的面积相等，线段AD 就是 △ABC 的“聪明线” 。

七年级数学探究题

七年级数学探究题一、有理数运算探究题1. 探究规律：- 计算：1 - (1)/(2)=(1)/(2)；1-(1)/(2)-(1)/(4)=1 - ((1)/(2)+(1)/(4)) = 1-(3)/(4)=(1)/(4)；1-(1)/(2)-(1)/(4)-(1)/(8)=1-((1)/(2)+(1)/(4)+(1)/(8)) = 1 - (7)/(8)=(1)/(8)。

- 猜想：1-(1)/(2)-(1)/(4)-(1)/(8)-·s-(1)/(2^n)=___。

- 解析：- 通过前面的计算可以发现规律。

每次计算都是1减去后面分数之和，而后面分数之和的分母是最后一个分数的分母，分子比分母小1。

- 对于1-(1)/(2)-(1)/(4)-(1)/(8)-·s-(1)/(2^n)，结果应该是(1)/(2^n)。

2. 若a = (1)/(1×2)+(1)/(2×3)+(1)/(3×4)+·s+(1)/(2019×2020)，求a的值。

- 解析：- 先分析每一项的规律，(1)/(n(n + 1))=(1)/(n)-(1)/(n + 1)。

- 那么a=<=ft(1-(1)/(2))+<=ft((1)/(2)-(1)/(3))+<=ft((1)/(3)-(1)/(4))+·s+<=ft((1)/(2019)-(1)/(2020))。

- 可以发现中间项都可以消去，最后a = 1-(1)/(2020)=(2019)/(2020)。

二、整式探究题3. 探究(a + b)^2=a^2 + 2ab + b^2与(a - b)^2=a^2-2ab + b^2的关系。

- 解析：- 把(a - b)^2中的-b看作一个整体，(a - b)^2=[a+(-b)]^2。

- 根据(a + b)^2=a^2 + 2ab + b^2，可得[a+(-b)]^2=a^2+2a(-b)+(-b)^2=a^2 - 2ab + b^2。

数学探究中考试题及答案

数学探究中考试题及答案[注意：由于字数限制的限制，以下文章只能给出部分中考试题及答案。

请根据需要适当补充或缩减字数以满足你的要求]数学探究中考试题及答案一、选择题1. 下列哪个数是有理数？a) √2b) πc) -0.5d) e【答案】c) -0.52. 若正方体的体积为64立方厘米，那么它的边长是多少？a) 4b) 6c) 8d) 10【答案】b) 63. 已知两根实数方程x² - px + 2 = 0的和与积分别为3和2，则p的值是多少？a) -1b) 0c) 2d) 4【答案】d) 44. 某种手机品牌在一年内的销售量增长率为20%，若今年销售量为100万部，则去年销售量为多少？a) 80万部b) 83.3万部c) 85万部d) 90万部【答案】b) 83.3万部5. 已知函数f(x) = 2x² - 3x + k与x轴有两个交点，则k的取值范围是什么？a) k < -2/3b) k > -2/3c) k < 2/3d) k > 2/3【答案】a) k < -2/3二、填空题1. 已知A = {x | -2 ≤ x ≤ 3}，B = {y | y = 2x + 1}，则A与B的交集是___________。

【答案】A与B的交集是{-2, -1, 0, 1, 2, 3}。

2. 若x + 5 = 8 - 2x，则x的值为___________。

【答案】x = 1.5。

3. 若二次函数y = ax² + bx + c的图象与x轴有两个交点且顶点在直线y = 3x + 2上，则a、b、c的值分别是___________。

【答案】a = 2, b = -6, c = 6。

4. 若函数f(x)的定义域为[-2, 3]，且f(x) = x² - 4x + 3，则f(x)的值域为___________。

【答案】f(x)的值域为[-2, 2]。

(完整版)中考数学题型归纳——探究题参考答案

s in t h e i r e g o o d f o 2）仿照上述数形结合的思想方法，设计相关图形，求1＋3＋．（本小题满分10分））………………………………………………………3′）∵AP=AD=，又∵PD=AD-AP=AD=，领航教育中学辅导专用∴ S△PBC=S四边形ABCD-S △ABP-S△CDP=S四边形ABCD-S△ABD-S△CDA=S四边形ABCD-（S四边形ABCD-S△DBC）-（S四边形ABCD-S△ABC）=S△DBC+S△ABC∴S△PBC=S △DBC+S△ABC；（3）S△PBC=S△DBC+S△ABC；（4）S△PBC=S△DBC+S△ABC；∵AP=AD，△ABP和△ABD的高相等，∴S△ABP=S△ABD又∵PD=AD-AP=AD，△CDP和△CDA的高相等，∴S△CDP=S△CDA，∴S△PBC=S四边形ABCD-S△ABP-S△CDP=S四边形ABCD-S△ABD-S△CDA=S四边形ABCD-（S四边形ABCD-S△DBC）-（S四边形ABCD-S△ABC）=S△DBC+S△ABC，∴S△PBC=S△DBC+S△ABC问题解决：S△PBC=S△DBC+S△ABC。

in th ei r be i n g a r e g o o df o r s o领航教育中学辅导专用问题解决：猜想1：是否可以同时用正方形、正八边形两种正多边形组合进行平面镶嵌？分析：我们可以将此问题转化为数学问题来解决、从平面图形的镶嵌中可以发现，解决问题的关键在于分析能同时用于完整镶嵌平面的两种正多边形的内角特点．具体地说，就是在镶嵌平面时，一个顶点周围围绕的各个正多边形的内角恰好拼成一个周角．验证1：在镶嵌平面时，设围绕某一点有x 个正方形和y 个正八边形的内角可以拼成一个周角．根据题意，可得方程：90x+，整理得：2x+3y=8，我们可以找到惟一一组适合方程的正整数解为．结论1：镶嵌平面时，在一个顶点周围围绕着1个正方形和2个正八边形的内角可以拼成一个周角，所以同时用正方形和正八边形两种正多边形组合可以进行平面镶嵌．猜想2：是否可以同时用正三角形和正六边形两种正多边形组合进行平面镶嵌？若能，请按照上述方法进行验证，并写出所有可能的方案；若不能，请说明理由．验证2：_______；结论2：_______．上面，我们探究了同时用两种不同的正多边形组合镶嵌平面的部分情况，仅仅得到了一部分组合方案，相信同学们用同样的方法，一定会找到其它可能的组合方案．问题拓广：请你仿照上面的研究方式，探索出一个同时用三种不同的正多边形组合进行平面镶嵌的方案，并写出验证过程．猜想3：_______；验证3：_______；结论3：_______．解：用正六边形来镶嵌平面，在一个顶点周围应该围绕着3个正六边形的内角．（1分）验证2：在镶嵌平面时，设围绕某一点有a 个正三角形和b 个正六边形的内角可以拼成一个周角，根据题意，可得方程：60a+120b=360．整理得：a+2b=6，可以找到两组适合方程的正整数解为和．（3分）结论2：镶嵌平面时，在一个顶点周围围绕着2个正三角形和2个正六边形的内角或者围绕着4个正三角形和1个正六边形的内角可以拼成一个周角，所以同时用正三角形和正六边形两种正多边形组合可以进行平面镶嵌．（5分）猜想3：是否可以同时用正三角形、正方形和正六边形三种正多边形组合进行平面镶嵌？（6分）验证3：在镶嵌平面时，设围绕某一点有m 个正三角形、n 个正方形和c 个正六边形的内角可以拼成一个周角．根据题意，可得方程：60m+90n+120c=360，可以找到惟一一组适合方程的正整数解为．（：镶嵌平面时，在一个顶点周围围绕着1个正三角形、garegoodfora t i m e a n d A l l th i n g s i n th e（2012·青岛）23．（10分）问题提出：以n 边形的n 个顶点和它内部的（m+n ）个点作为顶点，可把原n 边形分割成多少个互不重叠的小三角形？问题探究：为了解决上面的问题，我们将采取一般问题特殊性的策略，先从简单和具体的情形入手：探究一：以△ABC 的三个顶点和它内部的1个点P ，共4个点为顶点，可把e a n d Al l th i n gs in th ei r b e i n g a r e g o o d f o r s o 领航教育中学辅导专用实际应用：以八边形的8个顶点和它内部的2012个点，共2020个顶点，可把八边形分割成多少个互不重叠的小三角形？（要求列式计算）解：探究三：如图，三角形内部的三点共线与不共线时都分成了7部分，故答案为：7；分割示意图（答案不唯一）探究四：三角形内部1个点时，共分割成3部分，3=3+2（1﹣1），三角形内部2个点时，共分割成5部分，5=3+2（2﹣1），三角形内部3个点时，共分割成7部分，7=3+2（3﹣1），…，所以，三角形内部有m 个点时，3+2（m ﹣1）或2m+1；…4分探究拓展：四边形的4个顶点和它内部的m 个点，则分割成的不重叠的三角形的个数为：4+2（m ﹣1）或2m+2；…6分问题解决：n+2（m ﹣1）或2m+n ﹣2；…8分实际应用：把n=8，m=2012代入上述代数式，得2m+n ﹣2，=2×2012+8﹣2，=4024+8﹣2，=4030．…10分atimengsintheirt h ei r be i ng ar eg oo d f o r s o 领航教育中学辅导专用几何建模：（1）变形：x （x+2）=35．（2）画四个长为x+2，宽为x 的矩形，构造图4（3）分析：图中的大正方形面积可以有两种不同的表达方式，（x+x+2）2或四个长x+2，宽x 的矩形面积之和，加上中间边长为2的小正方形面积．即（x+x+2）2=4x （x+2）+22∵x （x+2）=35∴（x+x+2）2=4×35+22∴（2x+2）2=144∵x ＞0∴x=5归纳提炼：求关于x 的一元二次方程x （x+b ）=c （x ＞0，b ＞0，c ＞0）的解．要求参照上述研究方法，画出示意图，并写出几何建模步骤（用钢笔或圆珠笔画图，并注明相关线段的长）【研究不等关系】提出问题：怎样运用矩形面积表示（y+3）（y+2）与2y+5的大小关系（其中y ＞0）？几何建模：（1）画长y+3，宽y+2的矩形，按图5方式分割（2）变形：2y+5=（y+3）+（y+2）（3）分析：图5中大矩形的面积可以表示为（y+3）（y+2）；阴影部分面积可以表示为（y+3）×1，画点部分部分的面积可表示为y+2，由图形的部分与整体的关系可知（y+3）（y+2）＞（y+3）+（y+2），即（y+3）（y+2）＞2y+5归纳提炼：当a ＞2，b ＞2时，表示ab 与a+b 的大小关系．根据题意，设a=2+m ，b=2+n （m ＞0，n ＞0），要求参照上述研究方法，画出示意图，并写出几何建模步骤（用钢笔或圆珠笔画图并注明相关线段的长）be i n g a r e g o o df o r s o 解：【研究速算】归纳提炼：十位数字加1的和与十位数字相乘，再乘以100，加上两个个位数字的积，构成运算结果．【研究方程】归纳提炼：画四个长为x+b ，宽为x 的矩形，构造答图1，则图中的大正方形面积可以有两种不同的表达方式：（x+x+b ）2或四个长为x+b ，宽为x 的矩形面积之和，加上中间边长为b 的小正方形面积．即：（x+x+b ）2=4x （x+b ）+b 2∵x （x+b ）=c ，∴（x+x+b ）2=4c+b 2∴（2x+b ）2=4c+b 2∵x ＞0，∴x=．e an d Al l th i n gs in th ei r be i ng a r e g o o d f o r so 【研究不等关系】归纳提炼：（1）画长为2+m ，宽为2+n 的矩形，并按答图2方式分割．（2）变形：a+b=（2+m ）+（2+n ）（3）分析：图中大矩形面积可表示为（2+m ）（2+n ），阴影部分面积可表示为2+m与2+n 的和．由图形的部分与整体的关系可知，（2+m ）（2+n ）＞（2+m ）+（2+n ），即ab ＞a+b ．（2014·青岛）23．（10分）数学问题：计算+++…+（其中m ，n 都是正整数，且m≥2，n≥1）．探究问题：为解决上面的数学问题，我们运用数形结合的思想方法，通过不断地分割一个面积为1的正方形，把数量关系和几何图形巧妙地结合起来，并采取一般问题特殊化的策略来进行探究．探究一：计算+++…+．第1次分割，把正方形的面积二等分，其中阴影部分的面积为；第2次分割，把上次分割图中空白部分的面积继续二等分，阴影部分的面积之和为+；第3次分割，把上次分割图中空白部分的面积继续二等分，…；…第n 次分割，把上次分割图中空白部分的面积最后二等分，所有阴影部分的面积之和为+++…+，最后空白部分的面积是．eandAllthingsintheirbeingaregoodforso领航教育中学辅导专用根据第n次分割图可得等式：+++…+=1﹣．探究二：计算+++…+．第1次分割，把正方形的面积三等分，其中阴影部分的面积为；第2次分割，把上次分割图中空白部分的面积继续三等分，阴影部分的面积之和为+；第3次分割，把上次分割图中空白部分的面积继续三等分，…；…第n次分割，把上次分割图中空白部分的面积最后三等分，所有阴影部分的面积之和为+ ++…+，最后空白部分的面积是．根据第n次分割图可得等式：+++…+=1﹣，两边同除以2，得+++…+=﹣．探究三：计算+++…+．（仿照上述方法，只画出第n次分割图，在图上标注阴影部分面积，并写出探究过程）a ti m e dAl l th 解决问题：计算+++…+．次分割图，在图上标注阴影部分面积，并完成以下填空）次分割图可得等式：　所以，+++…+= +++…+．其中阴影部分的面积为；次分割，把上次分割图中空白部分的面积继续四等分，阴影部分的面积之和为；次分割，把上次分割图中空白部分的面积继续四等分，次分割，把上次分割图中空白部分的面积最后四等分，所有阴影部分的面积之和为：+++…+，最后的空白部分的面积是，次分割图可得等式：+++…+=1﹣，l l thi n g s i n t h ei r b e i n ga r e g o o d f o r s o 领航教育中学辅导专用两边同除以3，得+++…+=﹣；解决问题：+++…+=1﹣，+++…+=﹣；故答案为：+++…+=1﹣，﹣；拓广应用：+++…+，=1﹣+1﹣+1﹣+ (1)，=n ﹣（+++…+），=n ﹣（﹣），=n ﹣+．。

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数学探究性题目七例1．时钟上的数学我们每个同学家里都有大大小小的钟，绝大部分钟都有时针、分针、秒针，时时刻刻都可以听到它们不停的“滴答、滴答”走动的声音，当然他们的走动有快有慢，秒针最快，时针最慢，不知你有没有注意到它们之间的一些数学关系？为了使问题简单起见，我们假设所讨论的时钟只有时针和分针。

问题：在一天之内时针和分针重合多少次？每次发生在什么时候？什么时候两针互相垂直？什么时候两针在一条直线上？如果时针和分针交换它还能表示某一时刻的时间么？希望大家在解决以上问题之后讨论一下是否还有其他有趣的问题。

2．揭穿转摊的骗术在车站，码头附近有时会看到一些碰运气、赌输赢的地摊，这些地摊大多引诱来往过路旅客，用骗术骗取他们的钱财。

转摊就是其中之一。

摊主在一个固定的圆盘上划出若干扇形区域，并顺次标上号码1，2，3，4，5，6，。

，在每一奇数扇区上放上值钱的物品，如名酒，中华香烟等，而在每一个偶数区域上放着廉价的物品，如糖块，小食品等。

圆盘中心安装一根可以转动的轴，轴的顶端有一根悬臂，臂端吊一根线，线头上系一根针。

你如果付给摊主一元钱，就可以随便转动一次，当悬臂停止转动时，针就停在某一区域，按照摊主制订的规则，这一格上的数是几，就从下一格起，按顺时针方向数出几，最后数到哪一格，那一格中的物品就归你，例如：当针指向“6”时，就要从“7”数起，顺时针方向数出“6”，最后应该数到“12”这一格。

参加这种赌博的人认为，圆盘中奇数、偶数格占一半，输赢得机会各占一半，于是就去碰碰运气，然而，不管转多少次，最后总是数到偶数区域中，你只能用自己的很多钱换来几粒糖果等廉价物品。

为什么大家的“运气”都这样不好，你能用数学知识解开这个迷吗？类似的还有1．音乐教室里有7排座位，每排7把椅子，每把椅子上坐一名学生，教师每月都要将座位调换一次，张明同学提出建议：每次交换时，每一名同学都必须与她相邻（前、后、左、右）的某一个同学交换位置，以示公平。

教师告诉他，这样交换座位不可能做到，你能解释其中的原因吗？2．机灵的小白鼠大花猫是捕鼠能手，每天能抓到不少老鼠，但它在吃老鼠以前先要叫老鼠列队报数，第一批吃掉报单数的；剩下的重新报数，第二批大花猫仍然吃掉单数；第三批也是如此。

最后剩下的一只老鼠可以被保留，与第二天抓来的老鼠一起重新排队报数。

后来，发现了一件极有趣的事情，大花猫发现，一连好几天，最后被留下的总是一只机灵的小白鼠。

大花猫问小白鼠：“你想了什么办法，能每天都留下呢？”小白鼠说：“尊敬的大花猫先生，每天排队前我都先数一数你抓到了多少只老鼠，然后，我站在一个相应的位置，就可以留下来了。

”大花猫听了小白鼠的详细回答，很感慨地说：“没想到害人的老鼠里居然也有你这样聪明的小白鼠呀！”小白鼠行了个礼，恭敬地说：“尊敬的大花猫先生，不瞒您说，我并不是害人的老鼠，我是从科学家的实验室了溜出来玩的，你放我回去，好吗？”大花猫高兴的放它回去，临别的时候，大花猫还感谢小白鼠给它上了一堂生动的数学课呢！你知道吗，小白鼠每天应站在什么位置才能不被大花猫吃掉？3．直觉并不一定可靠一个唱片商店里，每天准备两种唱片，其中30张老式硬唱片，一元钱可卖两张，另外30张一元可卖三张，有一天，这60张唱片全卖完了，前30张卖了15元，后30张卖了10元，总共卖了25元。

第二天，老板又拿出与昨天一样的60张唱片，售货员想：何必自找麻烦，分开来买呢？何不把这60张唱片混在一起，按两元钱五张来卖，还不是一回事。

商店关门时，60张唱片全按两元钱五张卖出去了，可是，售货员点钱时，发现只卖了24元，而不是25元，这使他很吃惊，这一元钱到哪里去了？我并没有给顾客找错钱啊？看来把两种唱片放在一起，按五张两元的卖法，和分开来一种卖两张一元，另一种三张一元，两种卖法并不相同。

由于两者之间的差别很小，以至于很难发现。

问题出在哪里了？现在让我们再看一个问题，在桌子上放着同样大小的两只玻璃杯，一杯装着红果汁，一杯装着桔子汁，两个杯子里的液体一样多。

小华问小红：“如果我用小勺从第一个杯子中舀出一勺红果汁，倒入第二个杯子中，搅匀后，再从第二个杯子中舀一勺混合液，倒回第一个杯子中，那么这时是红果汁中的桔子汁多呢？还是桔子汁中的红果汁多呢？”“当然是红果汁中的桔子汁多了！”小红很有理由地说：“因为你倒入桔子汁中的是一勺纯红果汁，而倒回去的是一勺两者都有的混合液。

”你认为小红的回答正确吗？4. 设计方案（字母表示数的功劳）某公司计划砌一个如图（1）喷水池，后来有人建议改为如图（2）的形状且外圆直径不变，只是担心原来备好的材料不够，如果把这个问题向你提出，你将如何回答呢？或许你会大驾亲临现场，量一量直径，在算一算周长，最后做出结论。

思考1：如果把三个小圆改为几个小圆，又会有什么结果呢？思考2：如果把图1中的两个圆池改成一个大圆池，如图3，用料相同，大圆池的直径与两个小圆池的直径有什么关系？思考3：如果在图3这个大圆池外面一米远处建一个不锈钢防护栏（图4）这个防护栏的周长比大圆池的周长长多少米？思考4：如果把地球的赤道看成一个圆，假设在地球赤道上有一个铁箍，现在要把铁箍向外扩张一米，需增加多长的铁丝？5．“鬼迷路”现象三个旅行家在一个雪夜里为了抄近路放弃了大路，从宽4千米的山谷中穿过，他们走了很久，按时间计算应该到达目的地了，但每次总是莫名奇妙的回到出发点附近，最后不得不在山谷中坐等天明，这就是迷信中所说的“鬼迷路”。

你能用数学知识解开这个迷吗？6．燃气站的最佳位置在公路沿线的同一侧有100户居民，根据居民的要求要设置一个燃气供应站，要使100户居民到供应站的距离之和最小。

请你用数学知识设计这个供应站的位置。

7．校运会的名次在某学校举行的一次运动会上，初中各班的成绩如下：（1）尽可能多的设计各种班级总分的记分原则，确定各班的总分名次。

（2）试比较你设计的各种记分原则的优劣。

数学探究形题目的答案1．时钟上的数学答案：这类问题实际上是分针追时针的追击问题，它的公式是：t= ，S=60（格），分针速度：V1=1格/分，时针速度：V2= 格/分，所以，计算得到t=65 分，根据以上计算，每隔65 分时针和分针重合一次。

即，从12点开始，每经过65 分，时针与分针重合一次，全天共重合。

问题2：时针和分针垂直方法一样：S=30格(这时两针垂直)，分针速度：V1=1格/分，时针速度：V2= 格/分，t= = 分所以：，所以一天中共发生垂直44次。

问题3：如果时针与分针调换后，能否正确表示时间？答案是否定的，除了两针重合时能正确表示时间外，表针在其它位置均无法表示时间。

2. 揭穿转摊的骗术如果转到奇数格，那么下一个格就为偶数，从偶数格开始按顺时针方向数奇数个；·偶数+奇数-1=奇数-1=偶数；·如果转到偶数格，那么下一个格就为奇数，从奇数格开始按顺时针方向数偶数个；·奇数+偶数-1=奇数-1=偶数；提出问题：如果按逆时针方向转动，此结论是否成立？·如果转到了奇数格，那么下一个格就为偶数，从偶数格开始按逆时针数奇数个；·偶数-奇数+1=奇数+1=偶数；·如果转到了偶数格，那么下一个格就为奇数，从奇数格开始按逆时针数偶数个；·奇数-偶数+1=奇数+1=偶数；·可见，无论按顺时针还是逆时针转，最后的结果一定都为偶数。

类似问题答案举例：1. 音乐教室里有7排椅子，每排7把，每把椅子上坐着一个学生，老师每月都要将座位调换一次。

张明同学向老师提建议，每次交换时，每个同学都必须与他相邻（前、后、左、右）的某一个学生交换座位，以示公平。

老师告诉他，这样交换座位不可能做到。

为了便于分析，我们可借助于下图，且用黑白染色帮助分析。

我们把每一个黑、白格看作是一个座位。

从图中可知，已在黑格“座位”上的同学要换到白格上；已在白格“座位”上的同学要换到黑格上。

因此，要使每人换为邻座位，必须黑、白格数相等。

从上图可知：黑格有25个，白格有24个，25≠24，因此，不可能使每个座位的人换为邻座位。

2. 机灵的小白鼠答案：每天首次排队时站在第2k位置上的老鼠就不会被大花猫吃掉。

2k是小于首次排队老鼠总数的最大的数。

解法：将老鼠进行编号1、2、3、...，并按从小到大顺序排队。

此时，老鼠的编号与老鼠站位号有一一对应关系。

假设老鼠的编号为X，老鼠的站位号为Y，X和Y都是自然数。

则首次排队时，老鼠的编号与老鼠站位号的对应关系是：X=Y。

X 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 …Y 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 …大花猫第1次吃掉报单数的老鼠，剩下报双数的老鼠，也就是吃掉站在奇数位上的老鼠，留下站在偶数位上的老鼠。

当重新排队时，剩下老鼠的编号不变，但它的站位号发生了变化，其一一对应的关系为：X=2Y。

X 2 4 6 8 10 …Y 1 2 3 4 5 …大花猫第2次吃掉报单数的老鼠，剩下报双数的老鼠。

当重新排队时，剩下老鼠的编号仍然不变，它的站位号又发生了变化，一一对应关系也变为：X=4Y，即X=22Y。

X 4 8 12 16 20 24 …Y 1 2 3 4 5 6 …大花猫第3次吃掉报单数的老鼠，剩下报双数的老鼠。

当重新排队报数时，老鼠的编号仍然不变，它的站位号又发生了变化，一一对应关系变为：X=8Y，也就是X=23Y。

X 8 16 24 32 …Y 1 2 3 4 ...以此类推，当大花猫第4次吃掉报单数的老鼠，剩下报双数的老鼠。

重新排队后，老鼠编号和站位号之间的对应关系为：X=16Y，也就是X=24Y。

第5次后，老鼠编号和站位号之间的对应关系为：X=25Y。

第6次后，老鼠编号和站位号之间的对应关系为：X=26Y。

…第n次后，X=2n Y。

可见，每次大花猫吃掉报单数老鼠，重新排队后，X与Y之间的关系按2的指数增长。

当最后剩下1个老鼠时，它站位号是1，编号是2K，k是大花猫吃老鼠的总次数。

由于首次排队时，老鼠的编号和它的站位号相同（X=Y），所以，最后剩下的那个老鼠首次排队时站在第2K位上。

每天首次排队时站在第2K位置上的老鼠就不会被大花猫吃掉。

2K是小于首次排队老鼠总数的最大的数。

3. 直觉并不一定可靠为什么出现这种情况呢？这时，我们对此作一个分析。

贵的唱片是一元钱两张，即每张元；便宜的唱片是一元钱三张，即每张元，则唱片的平均价格是每张元。

第二天，把两种唱片合在一起，每五张卖两元，每张唱片的价格就变成了2÷5＝元。

比第一天唱片的平均价格少了＝元。

60张唱片正好少了一元钱。

类似问题答案举例：答案：一样多。

我们考察第二次那匙桔子水，因为它和第一匙体积相等，都设为m。

假设这匙混合液中红果汁所占体积为n，那么倒入第一杯红果汁的桔子水的体积为m-n。