2008年北京市高考数学试卷(理科)

2008年北京市高考数学试卷（理科）一、选择题（共8小题，每小题5分，满分40分）1．（5分）已知全集U=R，集合A={x|﹣2≤x＜3}，B={x|x＜﹣1或x≥4}，那么集合A∩B等于（）A．{x|﹣1＜x＜3}B．{x|x≤﹣1或x＞3}C．{x|﹣2≤x＜﹣1}D．{x|﹣1≤x＜3}2．（5分）若a=20.5，b=logπ3，c=log2sin，则（）A．a＞b＞c B．b＞a＞c C．c＞a＞b D．b＞c＞a3．（5分）“函数f（x）（x∈R）存在反函数”是“函数f（x）在R上为增函数”的（）A．充分而不必要条件B．必要而不充分条件C．充分必要条件D．既不充分也不必要条件4．（5分）若点P到直线x=﹣1的距离比它到点（2，0）的距离小1，则点P的轨迹为（）A．圆B．椭圆C．双曲线D．抛物线5．（5分）若实数x，y满足则z=3x+2y的最小值是（）A．0 B．1 C．D．96．（5分）已知数列{a n}对任意的p，q∈N*满足a p+q=a p+a q，且a2=﹣6，那么a10等于（）A．﹣165 B．﹣33 C．﹣30 D．﹣217．（5分）过直线y=x上的一点作圆（x﹣5）2+（y﹣1）2=2的两条切线l1，l2，当直线l1，l2关于y=x对称时，它们之间的夹角为（）A．30°B．45°C．60°D．90°8．（5分）如图，动点P在正方体ABCD﹣A1B1C1D1的对角线BD1上．过点P作垂直于平面BB1D1D的直线，与正方体表面相交于M，N．设BP=x，MN=y，则函数y=f（x）的图象大致是（）A． B． C． D．二、填空题（共6小题，每小题5分，满分30分）9．（5分）已知（a﹣i）2=2i，其中i是虚数单位，那么实数a=．10．（5分）已知向量与的夹角为120°，且，那么的值为．11．（5分）若展开式的各项系数之和为32，则n=，其展开式中的常数项为．（用数字作答）12．（5分）如图，函数f（x）的图象是折线段ABC，其中A，B，C的坐标分别为（0，4），（2，0），（6，4），则f（f（0））=；=．（用数字作答）13．（5分）已知函数f（x）=x2﹣cosx，对于[﹣，]上的任意x1，x2，有如下条件：①x1＞x2；②x12＞x22；③|x1|＞x2．其中能使f（x1）＞f（x2）恒成立的条件序号是．14．（5分）某校数学课外小组在坐标纸上，为学校的一块空地设计植树方案如下：第k棵树种植在点P k（x k，y k）处，其中x1=1，y1=1，当k≥2时，T（a）表示非负实数a的整数部分，例如T（2.6）=2，T（0.2）=0．按此方案，第6棵树种植点的坐标应为；第2009棵树种植点的坐标应为．三、解答题（共6小题，满分80分）15．（13分）已知函数f（x）=sin2ωx+sinωxsin（ωx+）（ω＞0）的最小正周期为π．（1）求ω的值；（2）求函数f（x）在区间[0，]上的取值范围．16．（14分）如图，在三棱锥P﹣ABC中，AC=BC=2，∠ACB=90°，AP=BP=AB，PC ⊥AC．（Ⅰ）求证：PC⊥AB；（Ⅱ）求二面角B﹣AP﹣C的大小；（Ⅲ）求点C到平面APB的距离．17．（13分）甲、乙等五名奥运志愿者被随机地分到A，B，C，D四个不同的岗位服务，每个岗位至少有一名志愿者．（Ⅰ）求甲、乙两人同时参加A岗位服务的概率；（Ⅱ）求甲、乙两人不在同一个岗位服务的概率；（Ⅲ）设随机变量ξ为这五名志愿者中参加A岗位服务的人数，求ξ的分布列．18．（13分）已知函数，求导函数f′（x），并确定f（x）的单调区间．19．（14分）已知菱形ABCD的顶点A，C在椭圆x2+3y2=4上，对角线BD所在直线的斜率为1．（Ⅰ）当直线BD过点（0，1）时，求直线AC的方程；（Ⅱ）当∠ABC=60°时，求菱形ABCD面积的最大值．20．（13分）对于每项均是正整数的数列A：a1，a2，…，a n，定义变换T1，T1将数列A变换成数列T1（A）：n，a1﹣1，a2﹣1，…，a n﹣1；对于每项均是非负整数的数列B：b1，b2，…，b m，定义变换T2，T2将数列B各项从大到小排列，然后去掉所有为零的项，得到数列T2（B）；又定义S（B）=2（b1+2b2+…+mb m）+b12+b22+…+b m2．设A0是每项均为正整数的有穷数列，令A k+1=T2（T1（A k））（k=0，1，2，…）．（Ⅰ）如果数列A0为5，3，2，写出数列A1，A2；（Ⅱ）对于每项均是正整数的有穷数列A，证明S（T1（A））=S（A）；（Ⅲ）证明：对于任意给定的每项均为正整数的有穷数列A0，存在正整数K，当k≥K时，S（A k+1）=S（A k）．2008年北京市高考数学试卷（理科）参考答案与试题解析一、选择题（共8小题，每小题5分，满分40分）1．（5分）（2008•北京）已知全集U=R，集合A={x|﹣2≤x＜3}，B={x|x＜﹣1或x≥4}，那么集合A∩B等于（）A．{x|﹣1＜x＜3}B．{x|x≤﹣1或x＞3}C．{x|﹣2≤x＜﹣1}D．{x|﹣1≤x＜3}【分析】由题意全集U=R，集合A={x|﹣2≤x＜3}，B={x|x＜﹣1或x≥4}，根据交集的定义计算A∩B．【解答】解：∵集合A={x|﹣2≤x＜3}，B={x|x＜﹣1或x≥4}，∴集合A∩B={x|﹣2≤x＜﹣1}，故选C．2．（5分）（2008•北京）若a=20.5，b=logπ3，c=log2sin，则（）A．a＞b＞c B．b＞a＞c C．c＞a＞b D．b＞c＞a【分析】利用估值法知a大于1，b在0与1之间，c小于0．【解答】解：，由指对函数的图象可知：a＞1，0＜b＜1，c＜0，故选A3．（5分）（2008•北京）“函数f（x）（x∈R）存在反函数”是“函数f（x）在R上为增函数”的（）A．充分而不必要条件B．必要而不充分条件C．充分必要条件D．既不充分也不必要条件【分析】函数f（x）（x∈R）存在反函数，至少还有可能函数f（x）在R上为减函数，充分条件不成立；而必要条件显然成立【解答】解：“函数f（x）在R上为增函数”⇒“函数f（x）（x∈R）存在反函数”；反之取f（x）=﹣x（x∈R），则函数f（x）（x∈R）存在反函数，但是f（x）在R 上为减函数．故选B4．（5分）（2008•北京）若点P到直线x=﹣1的距离比它到点（2，0）的距离小1，则点P的轨迹为（）A．圆B．椭圆C．双曲线D．抛物线【分析】把直线x=﹣1向左平移一个单位变为x=﹣2，此时点P到直线x=﹣2的距离等于它到点（2，0）的距离，这就是抛物线的定义．【解答】解：因为点P到直线x=﹣1的距离比它到点（2，0）的距离小1，所以点P到直线x=﹣2的距离等于它到点（2，0）的距离，因此点P的轨迹为抛物线．故选D．5．（5分）（2008•北京）若实数x，y满足则z=3x+2y的最小值是（）A．0 B．1 C．D．9【分析】本题考查的知识点是线性规划，处理的思路为：根据已知的约束条件画出满足约束条件的可行域，再用角点法，求出目标函数的最大值．【解答】解：约束条件对应的平面区域如图示：由图可知当x=0，y=0时，目标函数Z有最小值，Z min=3x+2y=30=1故选B6．（5分）（2008•北京）已知数列{a n}对任意的p，q∈N*满足a p+q=a p+a q，且a2=﹣6，那么a10等于（）A．﹣165 B．﹣33 C．﹣30 D．﹣21=a p+a q，给任意的p，q∈N*，我们可以【分析】根据题目所给的恒成立的式子a p+q先算出a4，再算出a8，最后算出a10，也可以用其他的赋值过程，但解题的原理是一样的．【解答】解：∵a4=a2+a2=﹣12，∴a8=a4+a4=﹣24，∴a10=a8+a2=﹣30，故选C7．（5分）（2008•北京）过直线y=x上的一点作圆（x﹣5）2+（y﹣1）2=2的两条切线l1，l2，当直线l1，l2关于y=x对称时，它们之间的夹角为（）A．30°B．45°C．60°D．90°【分析】过圆心M作直线l：y=x的垂线交于N点，过N点作圆的切线能够满足条件，不难求出夹角为600．明白N点后，用图象法解之也很方便【解答】解：圆（x﹣5）2+（y﹣1）2=2的圆心（5，1），过（5，1）与y=x垂直的直线方程：x+y﹣6=0，它与y=x 的交点N（3，3），N到（5，1）距离是，两条切线l1，l2，它们之间的夹角为60°．故选C．8．（5分）（2008•北京）如图，动点P在正方体ABCD﹣A1B1C1D1的对角线BD1上．过点P作垂直于平面BB1D1D的直线，与正方体表面相交于M，N．设BP=x，MN=y，则函数y=f（x）的图象大致是（）A． B． C． D．【分析】只有当P移动到正方体中心O时，MN有唯一的最大值，则淘汰选项A、C；P点移动时，x与y的关系应该是线性的，则淘汰选项D．【解答】解：设正方体的棱长为1，显然，当P移动到对角线BD1的中点O时，函数取得唯一最大值，所以排除A、C；当P在BO上时，分别过M、N、P作底面的垂线，垂足分别为M1、N1、P1，则y=MN=M1N1=2BP1=2•xcos∠D1BD=2•是一次函数，所以排除D．故选B．二、填空题（共6小题，每小题5分，满分30分）9．（5分）（2008•北京）已知（a﹣i）2=2i，其中i是虚数单位，那么实数a=﹣1．【分析】直接化简方程，利用复数相等条件即可求解．【解答】解：a2﹣2ai﹣1=a2﹣1﹣2ai=2i，a=﹣1故答案为：﹣110．（5分）（2008•北京）已知向量与的夹角为120°，且，那么的值为0．【分析】由向量数量积公式进行计算即可．【解答】解：由题意知==2×4×4cos120°+42=0．故答案为0．11．（5分）（2008•北京）若展开式的各项系数之和为32，则n=5，其展开式中的常数项为10．（用数字作答）【分析】显然展开式的各项系数之和就是二项式系数之和，也即n=5；将5拆分成“前3后2”恰好出现常数项，C52=10．【解答】解：∵展开式的各项系数之和为32∴2n=32解得n=5=C5r x10﹣5r展开式的通项为T r+1当r=2时，常数项为C52=10．故答案为5，10．12．（5分）（2008•北京）如图，函数f（x）的图象是折线段ABC，其中A，B，C 的坐标分别为（0，4），（2，0），（6，4），则f（f（0））=2；=﹣2．（用数字作答）【分析】由函数的图象可知，，当0≤x≤2，f'（x）=﹣2，所以由导数的几何意义知=f'（1）=﹣2．【解答】解：∵f（0）=4，f（4）=2，f（2）=4，∴由函数的图象可知，，由导数的几何意义知=f′（1）=﹣2．答案：2；﹣2．13．（5分）（2008•北京）已知函数f（x）=x2﹣cosx，对于[﹣，]上的任意x1，x2，有如下条件：①x1＞x2；②x12＞x22；③|x1|＞x2．其中能使f（x1）＞f（x2）恒成立的条件序号是②．【分析】先研究函数的性质，观察知函数是个偶函数，由于f′（x）=2x+sinx，在[0，]上f′（x）＞0，可推断出函数在y轴两边是左减右增，此类函数的特点是自变量离原点的位置越近，则函数值越小，欲使f（x1）＞f（x2）恒成立，只需x1，到原点的距离比x2，到原点的距离大即可，由此可得出|x1|＞|x2|，在所给三个条件中找符合条件的即可．【解答】解：函数f（x）为偶函数，f′（x）=2x+sinx，当0＜x≤时，0＜sinx≤1，0＜2x≤π，∴f′（x）＞0，函数f（x）在[0，]上为单调增函数，由偶函数性质知函数在[﹣，0]上为减函数．当x12＞x22时，得|x1|＞|x2|≥0，∴f（|x1|）＞f（|x2|），由函数f（x）在上[﹣，]为偶函数得f（x1）＞f （x2），故②成立．∵＞﹣，而f（）=f（），∴①不成立，同理可知③不成立．故答案是②．故应填②14．（5分）（2008•北京）某校数学课外小组在坐标纸上，为学校的一块空地设计植树方案如下：第k棵树种植在点P k（x k，y k）处，其中x1=1，y1=1，当k≥2时，T（a）表示非负实数a的整数部分，例如T（2.6）=2，T（0.2）=0．按此方案，第6棵树种植点的坐标应为（1，2）；第2009棵树种植点的坐标应为（4，402）．【分析】由题意可知，数列x n为1，2，3，4，5，1，2，3，4，5，1，2，3，4，5，…；数列{y n}为1，1，1，1，1，2，2，2，2，2，3，3，3，3，3，4，4，4，4，4，…由此入手能够得到第6棵树种植点的坐标和第2009棵树种植点的坐标．【解答】解：∵组成的数列为0，0，0，0，1，0，0，0，0，1，0，0，0，0，1…，k=2，3，4，5，…一一代入计算得数列x n为1，2，3，4，5，1，2，3，4，5，1，2，3，4，5，…即x n的重复规律是x5n+1=1，x5n+2=2，x5n+3=3，x5n+4=4，x5n=5．n∈N*．数列{y n}为1，1，1，1，1，2，2，2，2，2，3，3，3，3，3，4，4，4，4，4，…即y n的重复规律是y5n+k=n，0≤k＜5．∴由题意可知第6棵树种植点的坐标应为（1，2）；第2009棵树种植点的坐标应为（4，402）．三、解答题（共6小题，满分80分）15．（13分）（2008•北京）已知函数f（x）=sin2ωx+sinωxsin（ωx+）（ω＞0）的最小正周期为π．（1）求ω的值；（2）求函数f（x）在区间[0，]上的取值范围．【分析】（Ⅰ）先根据倍角公式和两角和公式，对函数进行化简，再利用T=，进而求得ω（Ⅱ）由（Ⅰ）可得函数f（x）的解析式，再根据正弦函数的单调性进而求得函数f（x）的范围．【解答】解：（Ⅰ）==．∵函数f（x）的最小正周期为π，且ω＞0，∴，解得ω=1．（Ⅱ）由（Ⅰ）得．∵，∴，∴．∴，即f（x）的取值范围为．16．（14分）（2008•北京）如图，在三棱锥P﹣ABC中，AC=BC=2，∠ACB=90°，AP=BP=AB，PC⊥AC．（Ⅰ）求证：PC⊥AB；（Ⅱ）求二面角B﹣AP﹣C的大小；（Ⅲ）求点C到平面APB的距离．【分析】（Ⅰ）欲证PC⊥AB，取AB中点D，连接PD，CD，可先证AB⊥平面PCD，欲证AB⊥平面PCD，根据直线与平面垂直的判定定理可知只需证AB与平面PCD 内两相交直线垂直，而PD⊥AB，CD⊥AB，又PD∩CD=D，满足定理条件；（Ⅱ）取AP中点E．连接BE，CE，根据二面角平面角的定义可知∠BEC是二面角B﹣AP﹣C的平面角，在△BCE中求出此角即可；（Ⅲ）过C作CH⊥PD，垂足为H，易知CH的长即为点C到平面APB的距离，在Rt△PCD中利用勾股定理等知识求出CH即可．【解答】解：（Ⅰ）取AB中点D，连接PD，CD．∵AP=BP，∴PD⊥AB．∵AC=BC，∴CD⊥AB．∵PD∩CD=D，∴AB⊥平面PCD．∵PC⊂平面PCD，∴PC⊥AB．（Ⅱ）∵AC=BC，AP=BP，∴△APC≌△BPC．又PC⊥AC，∴PC⊥BC．又∠ACB=90°，即AC⊥BC，且AC∩PC=C，∴BC⊥平面PAC．取AP中点E．连接BE，CE．∵AB=BP，∴BE⊥AP．∵EC是BE在平面PAC内的射影，∴CE⊥AP．∴∠BEC是二面角B﹣AP﹣C的平面角．在△BCE中，BC=2，，CE=cos∠BEC=．∴二面角B﹣AP﹣C的大小arccos．（Ⅲ）由（Ⅰ）知AB⊥平面PCD，∴平面APB⊥平面PCD．过C作CH⊥PD，垂足为H．∵平面APB∩平面PCD=PD，∴CH⊥平面APB．∴CH的长即为点C到平面APB的距离．由（Ⅰ）知PC⊥AB，又PC⊥AC，且AB∩AC=A，∴PC⊥平面ABC．∵CD⊂平面ABC，∴PC⊥CD．在Rt△PCD中，，，∴．∴．∴点C到平面APB的距离为．17．（13分）（2008•北京）甲、乙等五名奥运志愿者被随机地分到A，B，C，D 四个不同的岗位服务，每个岗位至少有一名志愿者．（Ⅰ）求甲、乙两人同时参加A岗位服务的概率；（Ⅱ）求甲、乙两人不在同一个岗位服务的概率；（Ⅲ）设随机变量ξ为这五名志愿者中参加A岗位服务的人数，求ξ的分布列．【分析】（Ⅰ）甲、乙两人同时参加A岗位服务，则另外三个人在B、C、D三个位置进行全排列，所有的事件数是从5个人中选2个作为一组，同其他3人共4个元素在四个位置进行排列．（Ⅱ）总事件数同第一问一样，甲、乙两人不在同一个岗位服务的对立事件是甲、乙两人同时参加同一岗位服务，即甲、乙两人作为一个元素同其他三个元素进行全排列．（Ⅲ）五名志愿者中参加A岗位服务的人数ξ可能的取值是1、2，ξ=2”是指有两人同时参加A岗位服务，同第一问类似做出结果．写出分布列．【解答】解：（Ⅰ）记甲、乙两人同时参加A岗位服务为事件E A，总事件数是从5个人中选2个作为一组，同其他3人共4个元素在四个位置进行排列C52A44．满足条件的事件数是A33，那么，即甲、乙两人同时参加A 岗位服务的概率是．（Ⅱ）记甲、乙两人同时参加同一岗位服务为事件E，满足条件的事件数是A44，那么，∴甲、乙两人不在同一岗位服务的概率是．（Ⅲ）随机变量ξ可能取的值为1，2．事件“ξ=2”是指有两人同时参加A岗位服务，则．∴，ξ的分布列是ξ12P18．（13分）（2008•北京）已知函数，求导函数f′（x），并确定f（x）的单调区间．【分析】根据函数的求导法则进行求导，然后由导数大于0时原函数单调递增，导数小于0时原函数单调递减可得答案．【解答】解：==．令f'（x）=0，得x=b﹣1．当b﹣1＜1，即b＜2时，f'（x）的变化情况如下表：x（﹣∞，b﹣1）b﹣1（b﹣1，1）（1，+∞）f′（x）﹣0+﹣当b﹣1＞1，即b＞2时，f'（x）的变化情况如下表：x（﹣∞，1）（1，b﹣1）b﹣1（b﹣1，+∞）f′（x）﹣+0﹣所以，当b＜2时，函数f（x）在（﹣∞，b﹣1）上单调递减，在（b﹣1，1）上单调递增，在（1，+∞）上单调递减．当b＞2时，函数f（x）在（﹣∞，1）上单调递减，在（1，b﹣1）上单调递增，在（b﹣1，+∞）上单调递减．当b﹣1=1，即b=2时，，所以函数f（x）在（﹣∞，1）上单调递减，在（1，+∞）上单调递减．19．（14分）（2008•北京）已知菱形ABCD的顶点A，C在椭圆x2+3y2=4上，对角线BD所在直线的斜率为1．（Ⅰ）当直线BD过点（0，1）时，求直线AC的方程；（Ⅱ）当∠ABC=60°时，求菱形ABCD面积的最大值．【分析】（Ⅰ）由题意得直线BD的方程，根据四边形ABCD为菱形，判断出AC ⊥BD．于是可设出直线AC的方程与椭圆的方程联立，根据判别式大于0求得n 的范围，设A，C两点坐标分别为（x1，y1），（x2，y2），根据韦达定理求得x1+x2和x1x2，代入直线方程可表示出y1+y2，进而可得AC中点的坐标，把中点代入直线y=x+1求得n，进而可得直线AC的方程．（Ⅱ）根据四边形ABCD为菱形判断出∠ABC=60°且|AB|=|BC|=|CA|．进而可得菱形ABCD的面积根据n的范围确定面积的最大值．【解答】解：（Ⅰ）由题意得直线BD的方程为y=x+1．因为四边形ABCD为菱形，所以AC⊥BD．于是可设直线AC的方程为y=﹣x+n．由得4x2﹣6nx+3n2﹣4=0．因为A，C在椭圆上，所以△=﹣12n2+64＞0，解得．设A，C两点坐标分别为（x1，y1），（x2，y2），则，，y1=﹣x1+n，y2=﹣x2+n．所以．所以AC的中点坐标为．由四边形ABCD为菱形可知，点在直线y=x+1上，所以，解得n=﹣2．所以直线AC的方程为y=﹣x﹣2，即x+y+2=0．（Ⅱ）因为四边形ABCD为菱形，且∠ABC=60°，所以|AB|=|BC|=|CA|．所以菱形ABCD的面积．由（Ⅰ）可得，所以．所以当n=0时，菱形ABCD的面积取得最大值．20．（13分）（2008•北京）对于每项均是正整数的数列A：a1，a2，…，a n，定义变换T1，T1将数列A变换成数列T1（A）：n，a1﹣1，a2﹣1，…，a n﹣1；对于每项均是非负整数的数列B：b1，b2，…，b m，定义变换T2，T2将数列B各项从大到小排列，然后去掉所有为零的项，得到数列T2（B）；又定义S（B）=2（b1+2b2+…+mb m）+b12+b22+…+b m2．设A0是每项均为正整数的有穷数列，令A k+1=T2（T1（A k））（k=0，1，2，…）．（Ⅰ）如果数列A0为5，3，2，写出数列A1，A2；（Ⅱ）对于每项均是正整数的有穷数列A，证明S（T1（A））=S（A）；（Ⅲ）证明：对于任意给定的每项均为正整数的有穷数列A0，存在正整数K，当k≥K时，S（A k+1）=S（A k）．【分析】（Ⅰ）由A0：5，3，2，求得T1（A0）再通过A k+1=T2（T1（A k））求解．（Ⅱ）设有穷数列A求得T1（A）再求得S（T1（A）），由S（A）=2（a1+2a2++na n）+a12+a22++a n2，两者作差比较．（Ⅲ）设A是每项均为非负整数的数列a1，a2，a n．在存在1≤i＜j≤n，有a i≤a j时条件下，交换数列A的第i项与第j项得到数列B，在存在1≤m＜n，使得a m+1=a m+2═a n=0时条件下，若记数列a1，a2，…，a m为C，A k+1=T2（T1（A k））s（A k+1）≤S（T1（A k））．由S（T1（A k））=S（A k），得到S（A k+1）≤S（A k）．S（A k）是大于2的整数，所以经过有限步后，必有S（A k）=S（A k+1）=S（A k+2）=0．【解答】解：（Ⅰ）解：A0：5，3，2，T1（A0）：3，4，2，1，A1=T2（T1（A0））：4，3，2，1；T1（A1）：4，3，2，1，0，A2=T2（T1（A1））：4，3，2，1．（Ⅱ）证明：设每项均是正整数的有穷数列A为a1，a2，a n，则T1（A）为n，a1﹣1，a2﹣1，a n﹣1，从而S（T1（A））=2[n+2（a1﹣1）+3（a2﹣1）++（n+1）（a n﹣1）]+n2+（a1﹣1）2+（a2﹣1）2++（a n﹣1）2．又S（A）=2（a1+2a2++na n）+a12+a22++a n2，所以S（T1（A））﹣S（A）=2[n﹣2﹣3﹣﹣（n+1）]+2（a1+a2++a n）+n2﹣2（a1+a2++a n）+n=﹣n（n+1）+n2+n=0，故S（T1（A））=S（A）．（Ⅲ）证明：设A是每项均为非负整数的数列a1，a2，a n．当存在1≤i＜j≤n，使得a i≤a j时，交换数列A的第i项与第j项得到数列B，则S（B）﹣S（A）=2（ia j+ja i﹣ia i﹣ja j）=2（i﹣j）（a j﹣a i）≤0．=a m+2═a n=0时，若记数列a1，a2，a m为C，当存在1≤m＜n，使得a m+1则S（C）=S（A）．所以S（T2（A））≤S（A）．从而对于任意给定的数列A0，由A k+1=T2（T1（A k））（k=0，1，2，）可知S（A k）≤S（T1（A k））．+1又由（Ⅱ）可知S（T1（A k））=S（A k），所以S（A k+1）≤S（A k）．即对于k∈N，要么有S（A k）=S（A k），要么有S（A k+1）≤S（A k）﹣1．+1因为S（A k）是大于2的整数，所以经过有限步后，必有S（A k）=S（A k+1）=S（A k+2）=0．）=S（A）即存在正整数K，当k≥K时，S（A k+1参与本试卷答题和审题的老师有：zhiyuan；wdlxh；wzj123；豫汝王世崇；涨停；qiss；minqi5；zlzhan；xintrl；wsj1012；zhwsd；wodeqing（排名不分先后）菁优网2017年2月4日。