函数的单调性与凸性的判别方法

高等数学教学样板教案

授课次序09

教 学 基 本 指 标

教学课题 函数的单调性与凸性的判别方法 课的类型 新知识课 教学方法 讲授

教学手段 演示

教学重点 掌握函数单调性的判别法、凸性判别方法

教学难点

利用函数的单调性可以确定某些方程实根的个数和证明不等式

教 学 基 本 内 容

第九节 函数的单调性与凸性的判别方法

一、函数单调性的判别法

1、()[,](,),()[,]()()0(0)f x C a b D a b f x a b f x '∈⇒≥≤ 在。 证：不妨设()[,]f x a b 在，0

0,0

()()()lim

0,0

x x f x x f x f x x x ∆→≥∆>⎧+∆-'=⎨

≤∆<∆⎩。 2、函数单调性判别法：设()[,](,)f x C a b D a b ∈ ，那么 ⑴如果(,)x a b ∀∈，有()0f x '>，则()f x 在[,]a b ； ⑵如果(,)x a b ∀∈，有()0f x '<，则()f x 在[,]a b 。 证:),,(,21b a x x ∈∀,21x x <且应用拉氏定理,得

)())(()()(211212x x x x f x f x f <<-'=-ξξ

,012>-x x ,0)(),(>'x f b a 内，若在,0)(>'ξf 则).()(12x f x f >∴ .],[)(上单调增加在b a x f y =∴

,0)(),(<'x f b a 内，若在,0)(<'ξf 则).()(12x f x f <∴.],[)(上单调减少在b a x f y =∴

注意：①[,]a b I →，结论仍成立；

②,()0(0)x I f x '∈≥≤且只有个别点处()0f x '=，则在I 上()()f x 。 例1、判定sin y x x =-在[0,2]π上的单调性。

备注栏

解：在(0,2)π内1cos 0y x '=->，故sin y x x =-在[0,2]π上 。 例2、讨论1x y e x =--的单调性。

解: :(,)D -∞+∞ ，且1x y e '=-。,)0,(内在-∞,0<'y x y e ∴=-x-1在(,0]-∞ ；

,),0(内在+∞,0>'y x y e ∴=-x-1在[0,)+∞ 。

注意:函数的单调性是一个区间上的性质，要用导数在这一区间上的符号来判定，而不能用一点处的导数符号来判别一个区间上的单调性．

3、单调区间求法

问题；如上例，函数在定义区间上不是单调的，但在各个部分区间上单调。定义；若函数在其定义域的某个区间内是单调的，则该区间称为函数的单调区间。关键：导数等于零的点和不可导点，可能是单调区间的分界点.

求法：用()0f x '=及()f x '不存在的点来划分()f x 的定义区间，然后判断区间内导数的符号。

例3、32

()(25).f x x x =-确定函数的单调区间

解:).,(:+∞-∞D 213331010101

(),(0)333x f x x x x x

--'=-=⋅≠

当0x =时，导数不存在；当1x =时，()0f x '=。

用0x =及1x =将(),-∞+∞划分为三部分区间：(,0],[0,1],[1,)-∞+∞。

现将每个部分区间上导数的符号与函数单调性列表如下：

x (,0)-∞ 0

(0,1)

1

(1,)+∞

()f x ' +

不存在

-

+

()f x

例4、()cos .f x x x =+判断函数的单调性

解:).,(:+∞-∞D ()1sin 0f x x '=-≥，其中等号仅在点2()2

x k k Z π

π=+

∈处成立，故

()f x 在每个区间[2,2(1)]22

k k π

π

ππ+

++上增加，从而在(,)-∞+∞内增加。 注意：区间内个别点导数为零，不影响区间的单调性。 例5、当0x >时，试证ln(1)x x >+成立。 证；设()ln(1)f x x x =-+，则()1x

f x x

'=

+。

()[0,)(0,)()0,f x C D f x '∈+∞+∞> ，

[0,)∴+∞ 在；

又(0)0f = ，∴当0x >时，,0)1ln(>+-x x 即ln(1)x x >+。

小结：

1、单调性的判别是拉格朗日中值定理的重要应用；

2、定理中的区间换成其它有限或无限区间，结论仍然成立；

3、应用：利用函数的单调性可以确定某些方程实根的个数和证明不等式。

思考题:若0)0(>'f ，是否能断定)(x f 在原点的充分小的邻域内单调递增？ 练习题

1、研究()arctan f x x x =-的单调性。

2、确定222

1

x x y x -+=-的单调区间。

3、证明下列不等式：若0>x ，则31tan (0)32

x x x x π>+<<。

二、函数的凸性及其判别法

1、定义：设()()f x C I ∈。如果对1212,()x x I x x ∀∈≠，对任一(0,1)λ∈，总有

1212[(1)](1)()()f x x f x f x λλλλ-+<-+，则称()f x 在I 内是凸的；如果对

1212,()x x I x x ∀∈≠，对任一(0,1)λ∈，总有1212[(1)](1)()()f x x f x f x λλλλ-+>-+，则称

()f x 在I 内是凹的。注意：①如果()f x 在I 内是凸（凹）的，则()f x -在I 内是凹（凸）的；

②如果()f x 在I 内是凸（凹）的，则()f x 的图形是向下（上）凸的。2、函数凸性判别法1：设()()f x D I ∈，且导函数()f x '在I 内增加（减少），那么()f x 在I 内是凸（凹）的。

函数凸性判别法2：若x I ∀∈，()0f x ''>，则()f x 在I 内是凸的；若x I ∀∈，()0f x ''<，则()f x 在I 内是凹的。

例1、讨论3y x =的凸性。解：,32

x y =' ,6x y =''

当0x <时，0y ''<，3

y x ∴=在(,0)-∞内是凹的；