有理数的乘方例题与讲解

有理数的乘方

基础知识，基本技能

1．乘方的意义

(1)乘方的定义

求n

个相同因数a 的积的运算叫做乘方，乘方的结果叫做幂．如图，a 叫做底数，n 叫做指数，a n 读作：a 的n 次幂(a 的n 次方)．

乘方是一种特殊的乘法运算(因数相同)，幂是乘方运算的结果；乘方的底数是

相同因数，指数是相同因数的个数．

(2)乘方的意义

a n 表示n 个a 相乘． 即a n ＝n a

a a a a ⨯⨯⨯⋯⨯1442443个.

如：(－2)3＝(－2)×(－2)×(－2)表示3个(－2)相乘．

释疑点 (－a )n 与－a n 的区别

①(－a )n 表示n 个－a 相乘，底数是－a ，指数是n ，读作：－a 的n 次方；②－a n 表示n 个a 乘积的相反数，底数是a ，指数是n ，读作：a 的n 次方的相反数． 如：(－3)3底数是－3，指数是3，读作负3的3次方，表示3个(－3)相乘．(－3)3＝(－3)×(－3)×(－3)＝－27.

－33底数是3，指数是3，读作3的3次方的相反数．－33＝－(3×3×3)＝－27.

(3)乘方的书写

①一个数可以看成这个数本身的一次方．如5就是51，通常指数1省略不写． ②负数或分数做底数时，应用括号把负数或分数括起来，再在其右上角写指

数，指数应写小一点．如(－1)2不能写成－12，⎝ ⎛⎭

⎪⎫322不能写成322. 【例1】 填空：(1)式子(－1.2)10表示__________，其中底数是__________，指数是__________．

(2)120137111777⎛⎫- ⎪⎝⎭

⎛⎫⎛⎫⎛⎫-⨯-⨯⋯⨯- ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭

14444244443个写成乘方的形式是__________，读作__________． 解析：(1)乘方表示几个相同因数的积，相同的因数是底数，指数即相同因数

的个数；(2)把n 个相同因数的积写成乘方的形式，相同因数写成底数，本题中⎝ ⎛⎭

⎪⎫－17是底数，相同因数的个数2 013写成指数．

答案：(1)10个－1.2相乘 －1.2 10

(2)⎝ ⎛⎭⎪⎫－17 2 013 负17的2 013次幂⎝ ⎛⎭

⎪⎫或负17的2 013次方 2．乘方运算的符号法则

乘方运算的符号法则 乘方运算就是根据乘方的意义把它转化为乘法进行计算．如：33＝3×3×3＝27. ①正数的任何次幂都是正数；

②负数的奇次幂是负数；

③负数的偶次幂是正数；

④0的奇次幂、偶次幂都是0.

任何一个有理数的偶次幂都是非负数，即a 2n ≥0(n 为正整数)；若用n 表示正整数，则2n 表示偶数，而用(2n ＋1)表示奇数，则(－1)2n ＝1，(－1)2n ＋1＝－1.

【例2】 下列说法不正确的是( )．

A ．(－2)2 013是负数

B ．－4200是正数

C ．0的任何次幂(指数不为0)都等于它本身

D ．－1的38次幂等于它的相反数

解析：－4200表示4的200次方的相反数，是负数，故B 错误．

答案：B

基本方法，基本能力

3．有理数乘方的运算

乘方运算的方法如下：

与有理数的加、减、乘、除四种运算一样，有理数的乘方也是一种运算，其运算的方法是：

①确定幂的符号；

②进行乘法的运算．

析规律 对于乘方的理解

①乘方是一种运算，是特殊的乘法(因数相同的乘法运算)，幂是乘方运算的结果．

②因为a n 表示n 个a 相乘，所以可以利用有理数的乘法进行乘方运算，即将乘方转化成乘法运算．

4．绝对值与乘方非负性的综合运用

(1)平方、立方及平方的非负性

在a n 中，若n ＝2，则为a 2，读作a 的2次幂，也读作a 的平方；当n ＝3时，a 3可读作a 的3次方，也可读作a 的立方．平方、立方是乘方中最常见的．

①根据乘方与乘法的关系可知：正数的平方是正数，负数的平方也是正数，0的平方等于0.也就是任何一个有理数的平方都是非负数．

②平方等于它本身的数：0,1；立方等于它本身的数：0,1，－1.

(2)绝对值的非负性

任何一个数的绝对值都是非负数，即|a |≥0.

(3)非负数的性质

性质：若几个非负数的和等于0，则这几个非负数都等于0.

比如：若|a |＋b 2＝0，则a ＝0，且b ＝0.

【例3】 计算：

(1)(－2)4；(2)－34；(3)⎝ ⎛⎭

⎪⎫453；

(4)⎝ ⎛⎭⎪⎫－1232；(5)－472；(6)(－1)2 014. 分析：根据乘方的意义和符号法则求解．(1)(－2)4表示4个(－2)相乘；(2)－

34表示34的相反数；(3)⎝ ⎛⎭⎪⎫453表示3个45相乘；(4)⎝ ⎛⎭⎪⎫－1232表示2个⎝ ⎛⎭

⎪⎫－53相乘；(5)－47

2表示4除以7的2次方的相反数；(6)(－1)2 014表示2 014个(－1)相乘． 解：(1)(－2)4＝(－2)×(－2)×(－2)×(－2)＝16；

(2)－34＝－(3×3×3×3)＝－81；

(3)⎝ ⎛⎭

⎪⎫453＝45×45×45＝64125； (4)⎝ ⎛⎭⎪⎫－1232＝⎝ ⎛⎭⎪⎫－53×⎝ ⎛⎭

⎪⎫－53＝259； (5)－472＝－47×7

＝－449； (6)(－1)2 014＝()()()()

20141111--⨯-⨯⋯⨯-144424443

个＝1. 【例4－1】 下列说法正确的有( )．

①负数的平方是负数；②正数的平方是正数；③平方是它本身的数是0和1；④1的立方等于它本身；⑤－1的平方等于它的倒数；⑥任何一个有理数的平方都是非负数．

A ．3个

B ．4个

C ．5个

D ．2个

① × 乘方是特殊的乘法运算，两数相乘，同号得正，异号

得负，故①，②都为正数

② √ ③ √ 0的平方等于0,1的平方等于1

④ √ 1的立方是1

⑤ × －1的平方是1，－1的倒数是－1，所以不相等

⑥ √ 0的平方是0，正数和负数的平方都是正数

【例4－2】 若x ，y 为有理数，且(5－x )4＋|y ＋5|＝0，则⎝ ⎛⎭

⎪⎫x y 2 013的值为( )． A ．1 B ．－1 C ．2 D ．－2

解析：因为(5－x )4和|y ＋5|都是非负数，且(5－x )4＋|y ＋5|＝0，所以由非负数的性质得(5－x )4＝0，|y ＋5|＝0，即5－x ＝0，y ＋5＝0.解得x ＝5，y ＝－5.

所以⎝ ⎛⎭⎪⎫x y 2 013＝⎝ ⎛⎭

⎪⎫5－5 2 013＝(－1)2 013＝－1.故选B. 答案：B

思维拓展，创新应用

5．有理数乘方规律探究及应用

(1)有理数乘方规律探究

①观察给出的一组数字或式子，分析所包含的乘方运算，结合连续偶数、连续奇数等知识，探究其中的规律．