导体周围电场线的图

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China
一、导体周围电场的模拟（精确法）
（一）介绍精确法画电场线的方法
电势
Ur
r
4
0
r
r
V
电场强度
E x_, y_ :
y x
U U
将电场强度所在的直角坐标系（x，y） 变换到相空间（ ， ）
f
E x, y . y
列出微分方程
第二项是偶极子的电势，相当于V内电荷都集中在O点处偶极子时在P点所产生的势； 第三项是体系的四极距的电势，相当于V内电荷都集中在O点处四极距时在P点所产生的势； ………… 第n项是体系的 2n 极距的电势，相当于V内电荷都集中在O点处 2n 极距时在P点所产生的势；
（二）具体方法
点电荷电场线图
U (r ) qr 4 0 r 2 1
局限性
一般情况下无法通过计 算积分得到电势的 解析表达式，从而 限制了它的使用
精确法
叠加法
表示电场线较粗略，存 在一定误差
四、深刻意义—— 不对称之中常蕴含着对称之美
1、镜像法
接地导体球A和点电荷Q相互作用时，导体球上的感应电荷是不均匀分布的， 但它的电荷可以通过一个与Q关于A对称的点电荷来等效
Up
x2
y2 , x, a
bx ay a2 b2 ab
2
U3
Up
x
a
2
y2 ,
x
a
2
y2
,
a2
b2
图5
6、圆环周围的电场线和等势线图（在经过轴线的平面上的投影）
2 EllipticK U 1 x
2 4x 1 x 2 y2
2 EllipticK 1 x
2
4x 1 x 2 y2
y2
y2
图6
二、多极矩叠加应用
从两图对比可以发现它们之间存在惊人的相似之处。叠加图在 等势面上的正交性如此之好，令人惊叹！
2、模拟带电导体球和点电荷作用时的电场线图
类似椭球面中的叠加法，只是偶极子中p与x轴的交角取
=
（椭球面中取 3 / 2
）
（叠加图）
（精确图）
此图也有很好的相似性，但可看出叠加法在模拟（2，0）处点电荷时，没有 收敛到（2，0）点，原因在于此处只叠加到了四极距；但是很明显它已经有了 收敛回正 x 轴上某个点的趋势。我们可以乐观的估计叠加上八极 距后模拟的精确度会大大提高。
三、精确法和叠加法求导体周围的电场的比较
优势
1、较精确地计算出每 一点的电势、电场 2、模拟出来的电场线 较光滑 1、当导体电荷分布的 对称性不理想（无 法得到电势解析表 达式——精确法的 局限性）时，它可 以发挥巨大作用 2、能大致表示出电场 变化的趋势，把一 些原本较复杂的导 体周围电场问题简 化
图2
3、带电导体球和点电荷相互作用时的电场线图
U 1 x k
2
1 k y2 x 1 k
2
y2
s x2
1 k y2 1
2
（s=Q/q;k=d/r取s=1;k=2） Q表示导体所带电荷
q表示点电荷的电量
（后同）
图3
4、带电直导线和带电导体球作用的电场线图
U Log x k
2
y2
Log
x
1 k
2
y2
s Log
A
Q
2、傅立叶分析变换
一般情况下，很多信号都是非周期、没有明显规则的，但是可以 通过Fourier分析用一些周期函数叠加得到。
作 Fourier 展开 （取前 300项近 似）
完 美 再 现！
五、构想和展望
1.如能加上八极距、十六极距等近似效果会更好 2.平面图在很大程度上限制了电场线的完整表达，如能用三维立体图 来展现电场线会更好 3.还可以绘制电介质在电场中极化时的电场线图，或磁场的磁力线图等 4. EquationTrekker 是Wolfram 公司2004年11月推出的新版本 MATHEMATICA® 5.1 中新功能，故对其使用和功能不是很熟悉， 做出的图不是很美观、很对称
（一）理论背景
电势的展开：

1 4 0 R
i
ei
i

1 4 0
r r r e r r r r
i i i i i
1
1 1
1

0
1 2
（
表示前后张量完全缩并）
其中各项物理意义：
第一项是一个点电荷的电势，相当于V内电荷都集中在O点时在P点所产生的势；
不对称中的对称
——导体周围电场的模拟以及多极矩叠加应用
化学物理系 邹思睿 PB03206041 指导老师：郝志东
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引 言
想必大家对《电场线之美》中那些点电 荷系统优美的电场线图还记忆犹新吧，那 导体周围的电场又是什么样的呢？其中又 有什么内在的规律呢？本文将对其进行一 番探索· · ·· · ·
C×电偶极子电场线图
U (r ) pr 4 0 r 3 1
D×四极距电场线图
U (r ) 1 3ql2 cos2 40 r3
+
+
C，D表示不同电势展开时的系数（常数）
导体周围电场线图
... =
（三）应用举例
1、模拟椭球面导体周围的电场线图
3 2
（叠加图）
（精确图）
六、参考资料
1．《经典电动力学》 蔡圣善 科大天文与应用物理系 2．《电动力学》 虞福春 北京大学出版社 3．《符号计算系统mathematica教程》 张韵华 科学出版社
4．《电磁学》 张玉民 中国科技大学出版社 科学出版社
5．《电磁学千题解》 张之翔 科学出版社
七、感谢
谢谢郝轶聃，沈明民师兄为我出谋划策， 谢谢沈激，陈子瑜老师热情地为我提供场所， 谢谢郝志东，叶邦角，程福臻老师指点论文， 谢谢廖瞻迪，虞堂清，周磊，刘妍的帮助和鼓励， 耐心地给我讲解一些高深的理论，是你们 是你们使我有了写下去的动力！ 是你们使我的论文更上一层楼！ 是你们让我感到科大的温暖和人情味！ 让我对物理和数学有了更浓厚的兴趣！
x2
y2
（s=Q/q;k=d/r，取s=1;k=2）
图4
5、形如“A”字的均匀线带电体周围的电场线和等势线图 （在“A”所在平面上的投影）
Up r_, z_, L_ : Log L z L2 r2
bx
2Lz
ay a2 b2
Log
ab
2
L
z
L2
r2
2Lz
U1
Up
x
a
2
y2 ,
x
a
2
y2
,
a2
b2
U2
equ
,
,x
f
利用MATHEMATICA® 5.1软件画出相图（即电场线图）
SHOW
（二）导体周围电场线的图
1．带电导体椭球面周围的电场线图
U
Log
x x
1 1
x x
1 1
2 2
y2 y2
图1
2．接地导体球和点电荷相互作用时的电场线图
U
1 x k
2
1 k y2 x 1 k
2
y2
其中 k=d/r，k=2 d 表示点电荷到球心的距 离 r 表示球的半径 （后同）