《常微分方程》题库计算题

58、 x x sin at, a 0
59、 2y 5y cos2 x
60、 y 4y xsin 2x
61、 y 2y 3 4sin 2x
62、 y 2y 2y 4ex cos x
63、 y 9y 18cos3x 30sin 3x
64、 x x sin t cos 2t
y2
dy3 dx
2 y3
(1) (2) 的通解。 (3)
dy
78、
dx dz
5y 4y
4z 5z
dx
dx
79、
dt dy
dt
3x 5x
4y 2y
80、
2x 3x
5 4
y y
4y 2x
x y
《常微分方程》计算题及答案 25
计算题答案
１、解：对应的齐次方程 y 2xy 0 的通解为 y cex2
从而 y1 e-x 故方程的通解为 y Y y1 c1ex c2e-2x e-x
16、解：对应的齐次方程特征方程为2+-2=0 解得=1,-2 对应的齐次方程通解为
Y c1ex c2e2x
设方程的一个特征解为 y1 Aex
代入解得 A 3 2
从而
y1
3 2
ex
故方程的通解为
y
Y
《常微分方程》计算题及答案 22
52、 y 3y 3y y ex (x 5)
53、 y 3y 2sin x cos x
54、 x 2kx 2k2x 5k2 sin kt (k 0)
55、 y y sin x cos x
56、 y 2y 2y ex cos x
57、 y 2y 10y ex cos 2x
42、 y(4) 4y 8y 8y 3y 0
43、 y(4) 4y 6y 4y y 0 44、 y y xex
45、 2y 3y y 4 ex 46、 y 2y 4y (x 2)e3x 47、 x 6x 13x et (t2 5t 2)
48、 x x et 49、 s 2as a2s et 50、 x 4x 4x et e2t 1 51、 y 4y 1 0
65、 x 2x 2x tet cost
66、求微分方程 y 2 ( y)2 0 的通解。 1 y
67、求 y 1 y xex cos x 的通解。 x
68、求微分方程
y
y x
y x2
0 来自百度文库通解。
69、求微分方程 xyy x( y)2 yy 0 的通解。
70、求微分方程 y 3y 2y ex sin x 的通解。
31、
xdx ydy ydx xdy 1 x2 y2 x2 y2
32、 (1
x
ey
)dx
x
ey
1
x y
dy
0
33、
dy dx
x y 1 x y2 3
34、 (x4 y4)dx xy3dy 0
35、 (2xy2 y)dx y2 y x dy 0
36、 y3 y 1 0 37、 y y y y 0 38、 y 2y 3y 10y 0 39、 y(4) y 0 40、 y(6) 2y(4) y 2y 0 41、 y(4) y 0
6、试用逐次逼近法求方程 dy x y 2 通过点(1,0)的第二次近似解。 dx
7、求解方程 y y 2y 2ex 的通解
8、求方程组
dx dt dy dt
2x y 3x 4y
的通解
9、求解微分方程 xy 2y 2x4
10、试用逐次逼近法求方程 dy x y 2 通过(0,0)的第三次近似解. dx
x
[t
0
y12 (t)]dt
x2 2
x5 20
y3(x) y0
x
[t
0
y22 (t)]dt
x2 2
x5 20
x8
160
x11 4400
3、解：对应的齐次方程为 y y - 2y 0
特征方程为 2 + 2 0 解得 1,-2
对应的齐次方程通解为
Y c1ex c2e2x
设方程的一个特征解为 y1 Aex
原方程组的通解为
y
x c1et c1et
c2e2t 2c2e2t
13、解：方程化为 y y 1 ex x
对应的齐次方程 y - y 0 的通解为 y cex
用常数变易法，可设非齐次方程的通解为 y c(x)ex
代入方程得 c(x) 1 因此有 c(x) ln | x | c x
y2 ( x)
x5 20
x3 6
x2 2
x 4
11 30
。
7、解：对应的齐次方程为 y y - 2y 0
特征方程为 2 + 2 0 ，得 1,-2 对应的齐次方程通解为
Y c1ex c2e-2x 设方程的一个特征解为 y1 Ae-x
则 y1 Ae-x , y1 Ae-x
代入解得 A -1，而 y1 -e-x
75、利用代换 y u 将方程 ycos x 2ysin x 3y cos x ex 化简，并求出原方程的 cos x
通解。
76、求下列线性微分方程组
dx
dt dy
2x 2x
4y 2y
4e2t
(1) (2)
dt
dy1
dx
2 y1
2 y2
77、解下列微分方程组
dy2 dx
y2
x
y 2 2 y 1
25、
dy dx
1 2x x2
y
1
0
26、 y ln ydx (x ln y)dy 0
27、 y
y
2y ln y y x
28、 dy y2 x dx 2xy
29、 2xydx (x2 y2)dy 0
30、 y dx ( y3 ln x)dy 0 x
原方程组的通解为
y
x c1et c1et
c2e2t 2c2e2t
《常微分方程》计算题及答案 26
5、解：对应的齐次方程 y 2xy 0 的通解为 y cex2
用常数变易法，可设非齐次方程的通解为 y c(x)ex2
代入方程 y 2xy 4x 得 c(x) 4ex2 x 因此有 c(x) 2ex2 c
71、求微分方程
y 4y
4y
1 x2
e2x
的通解。
72、求方程 y 4y 5y e2x csc x 的通解。
73、求微分方程 x2 y 2xy 2y 0 的通解。
74、求微分方程 x2 y 2xy 2y x2 2 的通解。
《常微分方程》计算题及答案 23
《常微分方程》计算题及答案 24
11、求解方程 y y 2y 4ex 的通解
dx
12、求方程组
dt dy
x x
y y
的通解
dt
13、求解微分方程x(y0 ¡ y) = ex
14、试用逐次逼近法求方程 dy y2 x2 通过点(0,0)的第三次逼近解. dx
15、求解方程 y y 2y 2ex 的通解
16、求解方程 y y 2y 3ex 的通解
故方程的通解为 y Y y1 c1ex c2e-2x e-x
8、解：由方程解出 y，得 y x 2 1 p x ， 代入 dx 1 dy 得 dx dp 即 p cx
2x 2p
p
xp
故通解为 y c (x2 1) 1
2
2c
9、解：方程化为 y 2 y 2x3 x
对应的齐次方程 y 2 y 0 的通解为 y=cx2 (4¹) x
因此，第三次近似解为
y3(x)
x 0
t 2
t3 3
t7 63
2
dt
x15 59535
2x11 2079
x7 63
x3 3
15、解：对应的齐次方程特征方程为 2 + 2=0 解得=1,-2
对应的齐次方程通解为 Y c1ex c2e-2x 设方程的一个特征解为 y1 Ae-x 代入解得 A 1
所以原方程的通解为 y ex (ln | x | c)
14、解：取 y0 (x) 0,
yn (x) y0 (x)
x
[t
0
y2n1(t)]dt
则 y1(x)
x t 2dt x3
0
3
y2 (x)
x 0
t 2
t3 3
2
dt
x3 3
x7 63
《常微分方程》计算题及答案 28
则 y1 Aex , y1 Aex
代入解得 A 2
从而 y1 2ex 故方程的通解为 y c1ex c2e2x 2ex
12、解：它的系数矩阵是
A
0 2
1 1
1
特征方程 | A E|
0
2 1
或为2-4-5=0
（2¹）
特征根1=-1, 2=5 原方程对应于1 =5 的一个特解为 y1=e5t, x1=e5t 对应于2=-1 的一个特解为 y2= -e-t, x2=e-t
y2 (x)
x 0
t
t2 2
2
dt
x2 2
x5 20
因此，第三次近似解为
y2 ( x)
x5 20
x 3 6
x 2
2
x 4
11 30
11、解：对应的齐次方程为 y y 2y 0
特征方程为2+-2=0 解得=1,-2
对应的齐次方程通解为
Y c1ex c2e2x 设方程的一个特征解为 y1 Aex
用常数变易法，可设非齐次方程的通解为 y=c(x)x2
代入方程得
c¹(x)=2x 因此有 c(x)=x2+c
(3¹）
所以原方程的通解为 y=(x2+c)x2 (1¹)
10、解：取 y0 (x) 0,
yn (x) y0 (x)
x
[t
0
y
2 n1
(t
)]dt
则 y1(x)
x
tdt
x2
0
2
《常微分方程》计算题及答案 27
0 (x), 1(x), 2 (x), 3(x) .
20 、 利 用 逐 次 逼 近 法 ， 求 方 程 dy y2 x2 适 合 初 值 条 件 y(0) 1 的 近 似 解 ： dx
0(x), 1(x), 2(x) 。
21、证明解的存在唯一性定理中的第 n 次近似解n (x) 与精确解(x) 有如下误差估计式：
《常微分方程》计算题及答案 20
计算题
1、求解微分方程 y 2xy 2xe x2 。
2、试用逐次逼近法求方程 dy x y 2 通过点(0,0)的第三次近似解. dx
3、求解方程 y y 2y ex 的通解
4、求方程组
dy
dx dt
y x
y
的通解
dt
5、求解微分方程 y 2xy 4x
则 y1 A ex ， y1 Aex
代入解得 A 1 2
从而
y1
1 2
ex
故方程的通解为
y
Y
y1
c1ex
c2e2 x
1 ex 2
。
4、解：它的系数矩阵是
A
0 2
1 1
1
特征方程 | A E|
0
2 1
或为2-10+9=0
特征根1=1,2=9 原方程对应于1 =1 的一个特解为 y1=et, x1=-et 对应于2=9 的一个特解为 y1=e9t, x1=e9t
| n (x)
(x)
|
MLn (n 1)!
x
x0
n1
.
22、求初值问题 dy x2 y2, y(1) 0 在区域 R :| x 1| 1, | y | 1 的解的定义 dx
区间，并求第二次近似解，给出在存在区间上解的误差估计。
23、
x
y
cos
y x
dx
x
cos
y x
dy
0
24、
dy dx
2
y1
c1ex
c2e2 x
3 2
ex
17、解：化简有
x 2x 3y y x 2y
它的系数矩阵是
A
0 2
1 1
1
特征方程 | A E|
0
2 1
或为2-1=0
（2¹）
特征根1=±1 原方程对应于1 =-1 的一个特解为 y1=e-t,x1=e-t 对应于2=1 的一个特解为 y2=et,x2=3et
所以原方程的通解为 y (2ex2 c)ex2 。
6、解：取 y0 (x) 0,
yn (x) y0 (x)
x
[t
1
y
2 n1
(t
)]dt
则 y1(x)
x
tdt
x2
1
1
22
y2 (x)
x 1
t
t2 2
1 2
2
dt
x5 20
x3 6
x2 2
x 4
11 30
因此，第二次近似解为
用常数变易法，可设非齐次方程的通解为 y c(x)ex2 代入方程 y 2xy 2xex2 得
c(x) 2x 因此有 c(x) x2 c
所以原方程的通解为 y (x2 c)ex2
２、解：按初始条件取 y0 (x) 0
y1(x) y0
x
[t
0
y02 (t)]dt
x2 2
y2 (x) y0
《常微分方程》计算题及答案 21
17、求方程组
2 3
dx dt dx dt
5 4
dy dt dy dt
4y 2x
x y
的通解
18、解微分方程 x( y2 1)dx y(x2 1)dy 0
19 、 试 用 逐 次 逼 近 法 求 方 程 dy x y2 满 足 初 始 条 件 y(0) 0 的 近 似 解 ： dx