《常微分方程》题库计算题
大学专业课考试复习资料--《常微分方程》试题库含答案
大学专业课考试复习资料--《常微分方程》试题库含答案一、填空题1．微分方程0)(22=+-+x y dx dy dx dy n 的阶数是____________ 答：12．若),(y x M 和),(y x N 在矩形区域R 内是),(y x 的连续函数,且有连续的一阶偏导数,则方程0),(),(=+dy y x N dx y x M 有只与y 有关的积分因子的充要条件是 _________________________ 答：)()1)((y Mx N y M φ=-∂∂-∂∂ 3．_________________________________________ 称为齐次方程.答：形如)(xy g dx dy =的方程 4．如果),(y x f ___________________________________________ ,则),(y x f dx dy =存在唯一的解)(x y ϕ=,定义于区间h x x ≤-0 上,连续且满足初始条件)(00x y ϕ= ,其中=h _______________________ .答：在R 上连续且关于y 满足利普希兹条件 ),min(mb a h = 5．对于任意的),(1y x ,),(2y x R ∈ (R 为某一矩形区域),若存在常数)0(>N N 使 ______________________ ,则称),(y x f 在R 上关于y 满足利普希兹条件.答： 2121),(),(y y N y x f y x f -≤-6．方程22y x dxdy +=定义在矩形区域R :22,22≤≤-≤≤-y x 上 ,则经过点 )0,0(的解的存在区间是 ___________________ 答：4141≤≤-x 7．若),.....2,1)((n i t x i =是齐次线性方程的n 个解,)(t w 为其伏朗斯基行列式,则)(t w 满足一阶线性方程 ___________________________________答：0)(1'=+w t a w8．若),.....2,1)((n i t x i =为齐次线性方程的一个基本解组，)(t x 为非齐次线性方程的一个特解,则非齐次线性方程的所有解可表为_____________________答：x x c x n i i i +=∑=19．若)(x ϕ为毕卡逼近序列{})(x n ϕ的极限，则有≤-)()(x x n ϕϕ __________________ 答：1)!1(++n nh n ML 10．______________________称为黎卡提方程，若它有一个特解)(x y ，则经过变换 ___________________ ，可化为伯努利方程． 答：形如)()()(2x r y x q y x p dxdy ++=的方程 y z y += 11．一个不可延展解的存在区间一定是 区间．答：开12．方程1d d +=y x y 满足解的存在唯一性定理条件的区域是 ． 答：}0),{(2>∈=y R y x D ，（或不含x 轴的上半平面）13．方程y x xy sin d d 2=的所有常数解是 ． 答： ,2,1,0,±±==k k y π14．函数组)(,),(),(21x x x n ϕϕϕ 在区间I 上线性无关的 条件是它们的朗斯基行列式在区间I 上不恒等于零．答：充分15．二阶线性齐次微分方程的两个解)(),(21x y x y 为方程的基本解组充分必要条件是 ． 答：线性无关（或：它们的朗斯基行列式不等于零）16．方程02=+'-''y y y 的基本解组是 ．答：x x x e ,e17．若)(x y ϕ=在),(∞+-∞上连续，则方程y x x y )(d d ϕ=的任一非零解 与x 轴相交． 答：不能18．在方程0)()(=+'+''y x q y x p y 中，如果)(x p ，)(x q 在),(∞+-∞上连续，那么它的任一非零解在xoy 平面上 与x 轴相切．答：不能19．若)(),(21x y x y ϕϕ==是二阶线性齐次微分方程的基本解组，则它们 共同零点．答：没有20．方程21d d y xy -=的常数解是 ．答：1±=y21．向量函数组)(,),(),(21x x x n Y Y Y 在其定义区间I 上线性相关的 条件是它们的朗斯基行列式0)(=x W ，I x ∈．答：必要22．方程22d d y x x y+=满足解的存在唯一性定理条件的区域是 ． 答： xoy 平面23．方程0d )1(1)d (22=-+-y x y x y x 所有常数解是 ．答：1,1±=±=x y24．方程04=+''y y 的基本解组是 ．答：x x 2cos ,2sin25．一阶微分方程的通解的图像是 维空间上的一族曲线． 答：2二、单项选择题1．n 阶线性齐次微分方程基本解组中解的个数恰好是（ A ）个．（A ）n （B ）n -1 （C ）n +1 （D ）n +22．如果),(y x f ，y y x f ∂∂),(都在xoy 平面上连续，那么方程),(d d y x f x y=的任一解的存在区间（D ）．（A ）必为),(∞+-∞ （B ）必为),0(∞+（C ）必为)0,(-∞ （D ）将因解而定3．方程y x x y+=-31d d 满足初值问题解存在且唯一定理条件的区域是（ D ）．（A ）上半平面 （B ）xoy 平面（C ）下半平面 （D ）除y 轴外的全平面4．一阶线性非齐次微分方程组的任两个非零解之差（ C ）．（A ）不是其对应齐次微分方程组的解 （B ）是非齐次微分方程组的解（C ）是其对应齐次微分方程组的解 （D ）是非齐次微分方程组的通解5. 方程21d d y x y-=过点)1,2(π共有（ B ）个解．（A ）一 （B ）无数 （C ）两 （D ）三6. 方程2d d +-=y x xy （ B ）奇解． （A ）有三个 （B ）无 （C ）有一个 （D ） 有两个7．n 阶线性齐次方程的所有解构成一个（ A ）线性空间．（A ）n 维 （B ）1+n 维 （C ）1-n 维 （D ）2+n 维8．方程323d d y xy =过点（ A ）． （A ）有无数个解 （B ）只有三个解 （C ）只有解0=y （D ）只有两个解 9. ),(y x f y '连续是保证),(y x f 对y 满足李普希兹条件的（ B ）条件．（A ）充分 （B ）充分必要 （C ）必要 （D ）必要非充分10．二阶线性非齐次微分方程的所有解（ C ）．（A ）构成一个2维线性空间 （B ）构成一个3维线性空间（C ）不能构成一个线性空间 （D ）构成一个无限维线性空间11．方程y x y =d d 的奇解是（ D ）． （A ）x y = （B ）1=y （C ）1-=y （D ）0=y12．若)(1x y ϕ=，)(2x y ϕ=是一阶线性非齐次微分方程的两个不同特解，则该方程的通解可用这两个解表示为（ C ）．（A ）)()(21x x ϕϕ- （B ）)()(21x x ϕϕ+（C ）)())()((121x x x C ϕϕϕ+- （D ）)()(21x x C ϕϕ+13．),(y x f y '连续是方程),(d d y x f xy =初值解唯一的（ D ）条件． （A ）必要 （B ）必要非充分 （C ）充分必要 （D ）充分14. 方程1d d +=y x y （ C ）奇解．（A ）有一个 （B ）有两个 （C ）无 （D ）有无数个15．方程323d d y xy =过点(0, 0)有（ A ）． (A) 无数个解 (B) 只有一个解 (C) 只有两个解 (D) 只有三个解 三、求下列方程的通解或通积分1．3yx y dx dy += 解：23y y x y y x dy dx +=+= ，则 )(121⎰+⎰⎰=-c dy e y e x dy y dy y 所以 cy y x +=23另外 0=y 也是方程的解2．求方程2y x dxdy +=经过)0,0(的第三次近似解 解：0)(0=x ϕ[]2020121)()(x dx x x x x =+=⎰ϕϕ []52021220121)()(x x dx x x x x +=+=⎰ϕϕ []81152022316014400120121)()(x x x x dx x x x x+++=+=⎰ϕϕ 3．讨论方程2y dx dy = ，1)1(=y 的解的存在区间 解：dx y dy =2两边积分 c x y+=-1 所以 方程的通解为 cx y +-=1 故 过1)1(=y 的解为 21--=x y 通过点 )1,1(的解向左可以延拓到∞-，但向右只能延拓到 ２，所以解的存在区间为 )2,(-∞4． 求方程01)(22=-+y dxdy 的奇解 解: 利用p 判别曲线得⎩⎨⎧==-+020122p y p 消去p 得 12=y 即 1±=y 所以方程的通解为 )sin(c x y += , 所以 1±=y 是方程的奇解5．0)1()1(cos 2=-++dy yx y dx y x 解: y M ∂∂=2--y , xN ∂∂=2--y , y M ∂∂=x N ∂∂ , 所以方程是恰当方程.⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧-=∂∂+=∂∂211cos yx y y v y x x u 得 )(sin y y x x u ϕ++= )('2y xy yu ϕ+-=∂∂- 所以y y ln )(=ϕ 故原方程的解为 c y yx x =++ln sin 6． x x x y y y 22'sin cos sin 2-=-+解: x x x y y y 22'sin cos sin 2-++-= 故方程为黎卡提方程.它的一个特解为 x y sin = ,令x z y sin += , 则方程可化为2z dx dz -= , c x z +=1 即 c x x y +=-1sin , 故 cx x y ++=1sin 7．0)37()32(232=-+-dy xy dx y xy解: 两边同除以2y 得037322=-+-xdy dy y ydx xdx 0732=--yd xy d dx 所以 c y xy x =--732 , 另外 0=y 也是方程的解 8．21d d x xy x y += 解 当0≠y 时，分离变量得x x x y y d 1d 2+= 等式两端积分得C x y ln )1ln(21ln 2++=即通解为21x C y +=9. x y xy 2e 3d d =+ 解 齐次方程的通解为x C y 3e -= 令非齐次方程的特解为x x C y 3e )(-=代入原方程，确定出 C x C x +=5e 51)( 原方程的通解为x C y 3e -=+x 2e 51 10. 5d d xy y xy += 解 方程两端同乘以5-y ，得x y xy y +=--45d d 令 z y =-4，则xz x y y d d d d 45=--，代入上式，得 x z x z =--d d 41 通解为41e 4+-=-x C z x 原方程通解为41e 44+-=--x C y x 11．0)d (d 222=-+y y x x xy解 因为xN x y M ∂∂==∂∂2，所以原方程是全微分方程． 取)0,0(),(00=y x ，原方程的通积分为C y y x xy yx=-⎰⎰020d d 2 即 C y y x =-3231 12． y y xy ln d d = 解：当0≠y ，1≠y 时，分离变量取不定积分，得C x yy y +=⎰⎰d ln d 通积分为 x C y e ln = 13．03)(22=+'+''x y y y解 原方程可化为0)(2='+'x y y 于是 12d d C x xy y =+ 积分得通积分为23123121C x x C y +-= 14．xy x y x y +-=2)(1d d 解：令xu y =，则xu x u x y d d d d +=，代入原方程，得 21d d u x u x -= 分离变量，取不定积分，得C xx u uln d 1d 2+=-⎰⎰ （0≠C ） 通积分为： Cx xy ln arcsin= 15． xy x y x y tan d d += 解 令u xy =，则x u x u x y d d d d +=，代入原方程，得 u u x u x u tan d d +=+，u xu x tan d d = 当0tan ≠u 时，分离变量，再积分，得C x x u u ln d tan d +=⎰⎰ C x u ln ln sin ln +=即通积分为： Cx x y =sin16． 1d d +=xy x y 解：齐次方程的通解为Cx y = 令非齐次方程的特解为x x C y )(=代入原方程，确定出 C x x C +=ln )( 原方程的通解为Cx y =+x x ln17. 0d d )e (2=+-y x x y x y解 积分因子为21)(x x =μ原方程的通积分为1012d d )(e C y x x y y x x=+-⎰⎰即 1e ,e C C C x yx +==+18．0)(2='+''y y y解：原方程为恰当导数方程，可改写为0)(=''y y即1C y y ='分离变量得x C y y d d 1=积分得通积分21221C x C y +=19．1)ln (='-'y x y解 令p y ='，则原方程的参数形式为⎪⎩⎪⎨⎧='+=py p p x ln 1由基本关系式 y x y'=d d ，有p p pp x y y )d 11(d d 2+-⋅='= p p)d 11(-= 积分得 C p p y +-=ln得原方程参数形式通解为⎪⎩⎪⎨⎧+-=+=C p p y p p x ln ln 120．022=+'+''x y y y解 原方程可化为0)(2='+'x y y于是 12d d C x xy y =+ 积分得通积分为23123121C x x C y +-= 21． 0)d (d )(3223=+++y y y x x xy x 解：由于xN xy y M ∂∂==∂∂2，所以原方程是全微分方程． 取)0,0(),(00=y x ，原方程的通积分为103023d d )(C y y x xy x yx=++⎰⎰ 即 C y y x x =++42242四、计算题1．求方程x y y e 21=-''的通解． 解 对应的齐次方程的特征方程为：012=-λ特征根为： 1,121-==λλ故齐次方程的通解为： x x C C y -+=e e 21因为1=α是单特征根．所以，设非齐次方程的特解为x Ax x y e )(1=代入原方程，有 x x x x Ax Ax A e 21e e e 2=-+， 可解出 41=A ． 故原方程的通解为 x x x x C C y e 41e e 21++=- 2．求下列方程组的通解 ⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧+=--=y x ty y x t x 43d d 2d d ． 解 方程组的特征方程为04321=----=-λλλE A即 0232=+-λλ特征根为 11=λ，22=λ11=λ对应的解为t b a y x e 1111⎥⎦⎤⎢⎣⎡=⎥⎦⎤⎢⎣⎡ 其中11,b a 是11=λ对应的特征向量的分量，满足⎥⎦⎤⎢⎣⎡=⎥⎦⎤⎢⎣⎡⎥⎦⎤⎢⎣⎡----0014321111b a 可解得1,111-==b a ．同样可算出22=λ对应的特征向量分量为 3,212-==b a ．所以，原方程组的通解为⎥⎦⎤⎢⎣⎡-+⎥⎦⎤⎢⎣⎡-=⎥⎦⎤⎢⎣⎡t t t t C C y x 2221e 32e e e 3．求方程x y y 5sin 5='-''的通解．解：方程的特征根为01=λ，52=λ齐次方程的通解为 x C C y 521e +=因为i i 5±=±βα不是特征根。
常微分方程习题集
《常微分方程》测试题1一、填空题30%1、形如的方程，称为变量分离方程，这里.分别为的连续函数。
2、形如-的方程，称为伯努利方程，这里的连续函数.n3、如果存在常数-对于所有函数称为在R上关于满足利普希兹条件。
4、形如-的方程，称为欧拉方程，这里5、设的某一解，则它的任一解- 。
二、计算题40%1、求方程2、求方程的通解。
3、求方程的隐式解。
4、求方程三、证明题30%1.试验证=是方程组x=x,x= ，在任何不包含原点的区间a上的基解矩阵。
2.设为方程x=Ax（A为nn常数矩阵）的标准基解矩阵（即（0）=E），证明: (t)=(t- t)其中t为某一值.<%建设目标%>《常微分方程》测试题2一、填空题：（30%）1、曲线上任一点的切线的纵截距是切点的横坐标和纵坐标的等差中项，则曲线所满足的8、已知是二阶齐次线性微分方程的一个非零解，则与线性无关的另一10、线性微分方程组的解是的基本解组的充要条件是.二、求下列微分方程的通解：（40%）1、2、3、4、5、求解方程．三、求初值问题的解的存在区间，并求第二次近似解，给出在解的存在区间的误差估计.（10分）四、求解微分方程组满足初始条件的解. （10%）五、证明题：（10%）设，是方程的解，且满足==0，，这里在上连续，．试证明：存在常数C使得=C《常微分方程》测试题31．辨别题指出下列方程的阶数，是否是线性方程：(12%)（1）（2）（3）（4）（5）（6）2、填空题(8%)（1）．方程的所有常数解是___________.（2）．若y=y1(x)，y=y2(x)是一阶线性非齐次方程的两个不同解，则用这两个解可把其通解表示为________________.（3）.若方程M(x, y)d x + N(x, y)d y= 0是全微分方程，同它的通积分是________________.（4）.设M(x0, y0)是可微曲线y=y(x)上的任意一点，过该点的切线在x轴和y轴上的截距分别是_________________.3、单选题(14%)（1）．方程是（）.(A)可分离变量方程（B）线性方程(C)全微分方程（D）贝努利方程（2）．方程，过点（0，0）有（）.(A) 一个解（B）两个解(C) 无数个解（D）三个解（3）．方程x(y2－1)d x+y(x2－1)d y=0的所有常数解是（）.(A)y=±1,x=±1, (B)y=±1(C)x=±1 (D)y=1,x=1（4）．若函数y(x)满足方程，且在x=1时，y=1, 则在x = e时y=( ).(A) (B) (C)2(D) e（5）．阶线性齐次方程的所有解构成一个（）线性空间．（A）维（B）维（C）维（D）维（6）. 方程（）奇解．（A）有三个（B）无（C）有一个（D）有两个（7）．方程过点（）．（A）有无数个解（B）只有三个解（C）只有解（D）只有两个解4.计算题(40%)求下列方程的通解或通积分：（1）.（2）.（3）.（4）.（5）.5. 计算题(10%)求方程的通解．6．证明题（16%）设在整个平面上连续可微，且．求证：方程的非常数解，当时，有，那么必为或<%建设目标%>《常微分方程》测试题41．辨别题指出下列方程的阶数，是否是线性方程：(12%)（1）（2）（3）（4）（5）（6）2、填空题(8%)（1）．方程的所有常数解是___________.（2）．若y=y1(x)，y=y2(x)是一阶线性非齐次方程的两个不同解，则用这两个解可把其通解表示为________________.（3）.若方程M(x, y)d x + N(x, y)d y= 0是全微分方程，同它的通积分是________________.（4）.设M(x0, y0)是可微曲线y=y(x)上的任意一点，过该点的切线在x轴和y轴上的截距分别是_________________3、单选题(14%)（1）．方程是（）.(A)可分离变量方程（B）线性方程(C)全微分方程（D）贝努利方程（2）．方程，过点（0，0）有（）.(A) 一个解（B）两个解(C) 无数个解（D）三个解（3）．方程x(y2－1)d x+y(x2－1)d y=0的所有常数解是（）.(A)y=±1,x=±1, (B)y=±1(C)x=±1 (D)y=1,x=1（4）．若函数y(x)满足方程，且在x=1时，y=1, 则在x = e时y=( ).(A) (B) (C)2(D) e（5）．阶线性齐次方程的所有解构成一个（）线性空间．（A）维（B）维（C）维（D）维（6）. 方程（）奇解．（A）有三个（B）无（C）有一个（D）有两个（7）．方程过点（）．（A）有无数个解（B）只有三个解（C）只有解（D）只有两个解4.计算题(40%)求下列方程的通解或通积分：（1）.（2）.（3）.（4）.（5）.5. 计算题(10%)求方程的通解．6．证明题（16%）设在整个平面上连续可微，且．求证：方程的非常数解，当时，有，那么必为或《常微分方程》测试题5一、填空题（30%）1．若y=y1(x)，y=y2(x)是一阶线性非齐次方程的两个不同解，则用这两个解可把其通解表示为．2．方程满足解的存在唯一性定理条件的区域是．3．连续是保证方程初值唯一的条件．一条积分曲线.4. 线性齐次微分方程组的一个基本解组的个数不能多于个，其中，．5．二阶线性齐次微分方程的两个解,成为其基本解组的充要条件是．6．方程满足解的存在唯一性定理条件的区域是．7．方程的所有常数解是．8．方程所有常数解是．9．线性齐次微分方程组的解组为基本解组的条件是它们的朗斯基行列式．10．阶线性齐次微分方程线性无关解的个数最多为个二、计算题（40%）求下列方程的通解或通积分：1.2．3．4．5．三、证明题（30%）1．试证明：对任意及满足条件的，方程的满足条件的解在上存在．2．设在上连续，且，求证：方程的任意解均有．3．设方程中，在上连续可微，且，．求证：该方程的任一满足初值条件的解必在区间上存在．《常微分方程》测试题6一、填空题（20%)1．方程的所有常数解是．2．方程的常数解是．3．一阶微分方程的一个特解的图像是维空间上的一条曲线．4．方程的基本解组是．二、选择题(25%)1．阶线性齐次微分方程基本解组中解的个数恰好是（）个．（A）（B）-1 （C）+1 （D）+22．李普希兹条件是保证一阶微分方程初值问题解惟一的（）条件．（A）充分（B）必要（C）充分必要（D）必要非充分3. 方程过点共有（）个解．（A）一（B）无数（C）两（D）三4．方程（）奇解．（A）有一个（B）有两个（C）无（D）有无数个5．方程的奇解是（）．（A）（B）（C）（D）三、计算题(25%)=+y=03.4.5.四、求下列方程的通解或通积分(30%)1.2.3.《常微分方程》测试题7一. 解下列方程(80%)1.x=+y2.tgydx-ctydy=03.{y-x(+)}dx-xdy=04.2xylnydx+{+}dy=05. =6-x6. =27. 已知f(x)=1,x0,试求函数f(x)的一般表达式。
常微分方程计算题及答案
计 算 题（每题10分）1、求解微分方程2'22x y xy xe -+=。
2、试用逐次逼近法求方程2y x dxdy+=通过点(0,0)的第三次近似解. 3、求解方程'2x y y y e -''+-=的通解4、求方程组dx dt ydydtx y ==+⎧⎨⎪⎩⎪2的通解5、求解微分方程'24y xy x +=6、试用逐次逼近法求方程2y x dxdy-=通过点(1,0)的第二次近似解。
7、求解方程''+-=-y y y e x '22的通解8、求方程组dxdt x ydydtx y =+=+⎧⎨⎪⎩⎪234的通解9、求解微分方程xy y x '-2=24 10、试用逐次逼近法求方程2y x dxdy-=通过(0,0)的第三次近似解. 11、求解方程''+-=-y y y e x '24的通解12、求方程组dxdtx y dydtx y =+=+⎧⎨⎪⎩⎪2332的通解13、求解微分方程x y y e x (')-=14、试用逐次逼近法求方程22x y dxdy+=通过点(0,0)的第三次逼近解. 15、求解方程''+-=--y y y e x '22的通解16、求解方程x e y y y -=-+''32 的通解17、求方程组⎪⎩⎪⎨⎧-+=-+=yx dt dydtdx x y dt dy dt dx243452的通解 18、解微分方程22(1)(1)0x y dx y x dy -+-= 19、试用逐次逼近法求方程2dyx y dx=-满足初始条件(0)0y =的近似解：0123(),(),(),()x x x x ϕϕϕϕ.20、利用逐次逼近法，求方程22dyy x dx=-适合初值条件(0)1y =的近似解：012(),(),()x x x ϕϕϕ。
(完整版)常微分方程试题库.(最新整理)
常微分方程一、填空题1．微分方程的阶数是____________0(22=+-+x y dxdy dx dy n 答：12．若和在矩形区域内是的连续函数,且有连续的一阶偏导数,则),(y x M ),(y x N R ),(y x 方程有只与有关的积分因子的充要条件是 0),(),(=+dy y x N dx y x M y _________________________答：)()1(y Mx N y M φ=-∂∂-∂∂3．_________________________________________ 称为齐次方程.答：形如的方程(xy g dx dy =4．如果 ___________________________________________ ,则存在),(y x f ),(y x f dx dy =唯一的解,定义于区间 上,连续且满足初始条件 ,其中)(x y ϕ=h x x ≤-0)(00x y ϕ=_______________________ .=h 答：在上连续且关于满足利普希兹条件 R y ),min(mb a h =5．对于任意的 , (为某一矩形区域),若存在常数使 ),(1y x ),(2y x R ∈R )0(>N N ______________________ ,则称在上关于满足利普希兹条件.),(y x f R y 答： 2121),(),(y y N y x f y x f -≤-6．方程定义在矩形区域:上 ,则经过点 的解的22y x dxdy +=R 22,22≤≤-≤≤-y x )0,0(存在区间是 ___________________ 答：4141≤≤-x 7．若是齐次线性方程的个解,为其伏朗斯基行列式,则满足),.....2,1)((n i t x i =n )(t w )(t w 一阶线性方程 ___________________________________答：0)(1'=+w t a w 8．若为齐次线性方程的一个基本解组，为非齐次线性方程的一个),.....2,1)((n i t x i =)(t x 特解,则非齐次线性方程的所有解可表为_____________________答：xx c x ni i i +=∑=19．若为毕卡逼近序列的极限，则有 __________________)(x ϕ{})(x n ϕ≤-)()(x x n ϕϕ答：1)!1(++n n h n ML 10．______________________称为黎卡提方程，若它有一个特解 ，则经过变换 )(x y ___________________ ，可化为伯努利方程．答：形如的方程 )()()(2x r y x q y x p dx dy ++=y z y +=11．一个不可延展解的存在区间一定是区间．答：开12．方程满足解的存在唯一性定理条件的区域是 ．1d d +=y x y 答：，（或不含x 轴的上半平面）}0),{(2>∈=y R y x D 13．方程的所有常数解是 ．y x x y sin d d 2=答：,2,1,0,±±==k k y π14．函数组在区间I 上线性无关的 条件是它们的)(,),(),(21x x x n ϕϕϕ 朗斯基行列式在区间I 上不恒等于零．答：充分15．二阶线性齐次微分方程的两个解为方程的基本解组充分必要条件)(),(21x y x y 是． 答：线性无关（或：它们的朗斯基行列式不等于零）16．方程的基本解组是．02=+'-''y y y 答：xx x e ,e17．若在上连续，则方程的任一非零解 )(x y ϕ=),(∞+-∞y x xy )(d d ϕ=与轴相交．x 答：不能18．在方程中，如果，在上连续，那么它的0)()(=+'+''y x q y x p y )(x p )(x q ),(∞+-∞任一非零解在平面上 与轴相切．xoy x 答：不能19．若是二阶线性齐次微分方程的基本解组，则它们 共)(),(21x y x y ϕϕ==同零点．答：没有20．方程的常数解是 ．21d d y x y -=答：1±=y 21．向量函数组在其定义区间上线性相关的 条件是)(,),(),(21x x x n Y Y Y I 它们的朗斯基行列式，．0)(=x W I x ∈答：必要22．方程满足解的存在唯一性定理条件的区域是 ．22d d y x x y +=答： 平面xoy 23．方程所有常数解是 ．0d )1(1)d (22=-+-y x y x y x 答：1,1±=±=x y 24．方程的基本解组是．04=+''y y 答：xx 2cos ,2sin 25．一阶微分方程的通解的图像是 维空间上的一族曲线． 答：2二、单项选择题1．阶线性齐次微分方程基本解组中解的个数恰好是（ A ）个．n（A ） （B ）-1 （C ）+1 （D ）+2n n n n 2．如果，都在平面上连续，那么方程的任一解的存在),(y x f y y x f ∂∂),(xoy ),(d d y x f x y =区间（ D ）．（A ）必为 （B ）必为),(∞+-∞),0(∞+ （C ）必为（D ）将因解而定)0,(-∞3．方程满足初值问题解存在且唯一定理条件的区域是（ D ）．y x xy +=-31d d （A ）上半平面 （B ）xoy 平面（C ）下半平面 （D ）除y 轴外的全平面4．一阶线性非齐次微分方程组的任两个非零解之差（ C ）．（A ）不是其对应齐次微分方程组的解 （B ）是非齐次微分方程组的解 （C ）是其对应齐次微分方程组的解 （D ）是非齐次微分方程组的通解5. 方程过点共有（ B ）个解．21d d y x y -=)1,2(π （A ）一（B ）无数 （C ）两 （D ）三6. 方程（ B ）奇解．2d d +-=y x xy （A ）有三个 （B ）无 （C ）有一个 （D ） 有两个7．阶线性齐次方程的所有解构成一个（ A ）线性空间．n （A ）维 （B ）维 （C ）维 （D ）维n 1+n 1-n 2+n 8．方程过点（ A ）．323d d y x y = （A ）有无数个解 （B ）只有三个解 （C ）只有解 （D ）只有两个解0=y 9. 连续是保证对满足李普希兹条件的（ B ）条件．),(y x f y '),(y x f y （A ）充分 （B ）充分必要 （C ）必要 （D ）必要非充分10．二阶线性非齐次微分方程的所有解（ C ）．（A ）构成一个2维线性空间 （B ）构成一个3维线性空间（C ）不能构成一个线性空间 （D ）构成一个无限维线性空间11．方程的奇解是（ D ）．y x y =d d （A ） （B ） （C ） （D ）x y =1=y 1-=y 0=y 12．若，是一阶线性非齐次微分方程的两个不同特解，则该方程的)(1x y ϕ=)(2x y ϕ=通解可用这两个解表示为（ C ）．（A ） （B ）)()(21x x ϕϕ-)()(21x x ϕϕ+（C ） （D ）)())()((121x x x C ϕϕϕ+-)()(21x x C ϕϕ+13．连续是方程初值解唯一的（ D ）条件．),(y x f y '),(d d y x f xy =（A ）必要 （B ）必要非充分 （C ）充分必要 （D ）充分14. 方程（ C ）奇解．1d d +=y x y （A ）有一个 （B ）有两个 （C ）无 （D ）有无数个15．方程过点(0, 0)有（ A ）．323d d y x y = (A) 无数个解 (B) 只有一个解 (C) 只有两个解 (D) 只有三个解三、求下列方程的通解或通积分1．3y x y dx dy +=解： ，则 所以 23y y x y y x dy dx +=+=)(121⎰+⎰⎰=-c dy e y e x dy y dy y cy y x +=23另外 也是方程的解 0=y 2．求方程经过的第三次近似解2y x dxdy +=)0,0(解：0)(0=x ϕ[]2020121)()(x dx x x x x =+=⎰ϕϕ[]52021220121)()(x x dx x x x x +=+=⎰ϕϕ[]81152022316014400120121)()(x x x x dx x x x x +++=+=⎰ϕϕ3．讨论方程 ，的解的存在区间 2y dx dy =1)1(=y 解：dx y dy =2两边积分 c x y+=-1所以 方程的通解为 cx y +-=1故 过的解为 1)1(=y 21--=x y 通过点 的解向左可以延拓到，但向右只能延拓到 ２，)1,1(∞-所以解的存在区间为 )2,(-∞4． 求方程的奇解01(22=-+y dxdy 解: 利用判别曲线得p 消去得 即 ⎩⎨⎧==-+020122p y p p 12=y 1±=y 所以方程的通解为 , 所以 是方程的奇解)sin(c x y +=1±=y 5．0)1()1(cos 2=-++dy yx y dx y x 解: =, = , = , 所以方程是恰当方程.y M ∂∂2--y xN ∂∂2--y y M ∂∂x N ∂∂ 得 ⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧-=∂∂+=∂∂211cos yx y y v y x x u )(sin y y x x u ϕ++= 所以)('2y xy yu ϕ+-=∂∂-y y ln )(=ϕ故原方程的解为 c y yx x =++ln sin6． xx x y y y 22'sin cos sin 2-=-+解: 故方程为黎卡提方程.它的一个特解为x x x y y y 22'sin cos sin 2-++-= ,令 , 则方程可化为, x y sin =x z y sin +=2z dx dz -=cx z +=1即 , 故 c x x y +=-1sin c x x y ++=1sin 7．0)37()32(232=-+-dy xy dx y xy 解: 两边同除以得2y 037322=-+-xdy dy y ydx xdx 0732=--yd xy d dx 所以 , 另外 也是方程的解c y xy x =--7320=y 8．21d d x xy x y +=解 当时，分离变量得0≠y x x x y y d 1d 2+=等式两端积分得C x y ln )1ln(21ln 2++= 即通解为 21x C y +=9. xy xy 2e 3d d =+ 解 齐次方程的通解为x C y 3e -= 令非齐次方程的特解为xx C y 3e )(-=代入原方程，确定出 C x C x +=5e 51)( 原方程的通解为+ x C y 3e -=x 2e 5110. 5d d xy y xy +=解 方程两端同乘以，得5-yx y x y y +=--45d d 令 ，则，代入上式，得z y =-4xz x y y d d d d 45=-- x z x z =--d d 41 通解为 41e 4+-=-x C z x 原方程通解为41e 44+-=--x C y x 11．0)d (d 222=-+y y x x xy 解 因为，所以原方程是全微分方程． x N x y M ∂∂==∂∂2 取，原方程的通积分为)0,0(),(00=y xC y y x xy y x =-⎰⎰020d d 2 即C y y x =-323112．y y x y ln d d =解：当，时，分离变量取不定积分，得0≠y 1≠y通积分为C x y y y +=⎰⎰d ln d x C y e ln =13．03)(22=+'+''x y y y解 原方程可化为0)(2='+'x y y 于是 12d d C x xy y =+ 积分得通积分为23123121C x x C y +-=14．xy x y x y +-=2)(1d d 解：令，则，代入原方程，得xu y =x u x u x y d d d d +=21d d u xu x -= 分离变量，取不定积分，得（） C x x u uln d 1d 2+=-⎰⎰0≠C 通积分为： Cx xy ln arcsin=15． xy x y x y tan d d +=解 令，则，代入原方程，得u x y =xu x u x y d d d d += ， u u x u x u tan d d +=+u x u x tan d d = 当时，分离变量，再积分，得0tan ≠u C x x u u ln d tan d +=⎰⎰ Cx u ln ln sin ln +=即通积分为：Cx x y =sin 16． 1d d +=xy x y 解：齐次方程的通解为Cx y = 令非齐次方程的特解为x x C y )(=代入原方程，确定出 C x x C +=ln )( 原方程的通解为+Cx y =x x ln 17. 0d d )e (2=+-y x x y x y 解 积分因子为21)(x x =μ 原方程的通积分为1012d d (e C y x x y y x x =+-⎰⎰ 即 1e ,e C C C xy x +==+18．0)(2='+''y y y 解：原方程为恰当导数方程，可改写为0)(=''y y 即1C y y =' 分离变量得x C y y d d 1= 积分得通积分21221C x C y +=19．1)ln (='-'y x y 解 令，则原方程的参数形式为p y ='⎪⎩⎪⎨⎧='+=p y p p x ln 1 由基本关系式 ，有y xy '=d dp p pp x y y )d 11(d d 2+-⋅='= p p )d 11(-=积分得 C p p y +-=ln 得原方程参数形式通解为⎪⎩⎪⎨⎧+-=+=C p p y p p x ln ln 120．022=+'+''x y y y 解 原方程可化为0)(2='+'x y y 于是 12d d C x xy y =+ 积分得通积分为 23123121C x x C y +-=21． 0)d (d )(3223=+++y y y x x xy x 解：由于，所以原方程是全微分方程． x N xy y M ∂∂==∂∂2 取，原方程的通积分为)0,0(),(00=y x103023d d )(C y y x xy x y x =++⎰⎰即C y y x x =++42242四、计算题1．求方程的通解．x y y e 21=-''解 对应的齐次方程的特征方程为：12=-λ特征根为：1,121-==λλ故齐次方程的通解为： x x C C y -+=e e 21 因为是单特征根．所以，设非齐次方程的特解为1=αx Ax x y e )(1=代入原方程，有 ， 可解出 ． x x x x Ax Ax A e 21e e e 2=-+41=A 故原方程的通解为 x xx x C C y e 41e e 21++=-2．求下列方程组的通解． ⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧+=--=y x t y y x t x 43d d 2d d 解 方程组的特征方程为04321=----=-λλλE A 即 0232=+-λλ特征根为 ，11=λ22=λ 对应的解为11=λt b a y x e 1111⎥⎦⎤⎢⎣⎡=⎥⎦⎤⎢⎣⎡其中是对应的特征向量的分量，满足11,b a 11=λ ⎥⎦⎤⎢⎣⎡=⎥⎦⎤⎢⎣⎡⎥⎦⎤⎢⎣⎡----0014321111b a 可解得．1,111-==b a 同样可算出对应的特征向量分量为 ．22=λ3,212-==b a 所以，原方程组的通解为⎥⎦⎤⎢⎣⎡-+⎥⎦⎤⎢⎣⎡-=⎥⎦⎤⎢⎣⎡t t t t C C y x 2221e 32e e e 3．求方程的通解．x y y 5sin 5='-''解：方程的特征根为，01=λ52=λ齐次方程的通解为 x C C y 521e += 因为不是特征根。
常微分方程试题库
常微分方程试题库二、计算题（每题6分）1. 解方程：0cot tan =-xdy ydx ；2. 解方程：x y xye 2d d =+； 3. 解方程：；4. 解方程：t e x dtdx23=+； 5. 解方程：0)2(=+---dy xe y dx e y y ；6. 解方程：0)ln (3=++dy x y dx xy；7. 解方程：0)2()32(3222=+++dy y x x dx y x xy ；8. 解方程：0485=-'+''-'''x x x x ； 9. 解方程：02)3()5()7(=+-x x x ； 10. 解方程：02=-''+'''x x x ； 11. 解方程：1,0='-'='+'y x y x ；12. 解方程：y y dx dyln =； 13. 解方程：y x e dxdy-=；14. 解方程：02)1(22=+'-xy y x ；15. 解方程：x y dxdycos 2=；16. 解方程：dy yx x dx xy y )()(2222+=+；17. 解方程：x xy dx dy42=+；18. 解方程：23=+ρθρd d ；19. 解方程：22x y xe dxdy+=；20. 解方程：422x y y x =-'；选题说明：每份试卷选2道题为宜。
二、计算题参考答案与评分标准：（每题6分） 1. 解方程：0cot tan =-xdy ydx解： ,2,1,0,2,±±=+==k k x k y πππ是原方程的常数解， （2分）当2,πππ+≠≠k x k y 时，原方程可化为：0cos sin sin cos =-dx xxdy y y ，（2分） 积分得原方程的通解为：C x y =cos sin . （2分）2. 解方程：x y xye 2d d =+ 解：由一阶线性方程的通解公式⎰⎰+⎰=-),)(()()(dx e x f C e y dxx p dxx p （2分）x xx xdxx dx e Cedx e C edx e e C e 31)()(23222+=+=⎰+⎰=---⎰⎰分）（分）（223. 解方程：解：由一阶线性方程的通解公式⎰⎰+⎰=-))(()()(dx e x f C e y dxx p dx x p （2分）=⎰⎰+⎰-)sec (tan tan dx xe C e xdxxdx（2分）⎰+=)sec (cos 2xdx C xx x C sin cos +=. （2分）4. 解方程：t e x dtdx23=+ 解：由一阶线性方程的通解公式⎰⎰+⎰=-))(()()(dt e t f C e x dtt p dt t p （2分）=⎰⎰+⎰-)(323dt e e C e dtt dt （2分）⎰+=-)(53dt e C e t t t t e Ce 2351+=-. （2分） 5. 解方程：0)2(=+---dy xe y dx e y y解：原方程可化为：02=+---y y xde ydy dx e ， （2分） 即 0)(2=--y xe d y ， （2分） 原方程的通解为：C y xe y =--2. （2分）6. 解方程：0)ln (3=++dy x y dx xy解：原方程可化为：0ln )(ln 3=++xdy dy y x yd ， （2分） 即 0)41ln (4=+y x y d ， （2分） 原方程的通解为：C y x y =+441ln . （2分）7. 解方程：0)2()32(3222=+++dy y x x dx y x xy解：因为xNx x y M ∂∂=+=∂∂62，所以原方程为全微分方程， （2分） 由 02323222=+++ydy x dy x dx y x xydx ， （1分） 得: 0)()(232=+y x d y x d ， （2分） 故原方程的通解为：C y x y x =+232. （1分）8. 解方程：0485=-'+''-'''x x x x 解：其特征方程为：0)2)(1(485223=--=-+-λλλλλ， （1分） 特征根为2=λ为2重根，1=λ. （2分） 所以其基本解组为： t t t e te e ,,22， （2分） 原方程的通解为： t t t e C te C e C x 32221++=. （1分）9. 解方程：02)3()5()7(=+-x x x 解：其特征方程为：0)1()1(2223357=+-=+-λλλλλλ， （1分） 特征根为：0=λ为3重根，1=λ，为2重根，1-=λ为2重根.（2分） 所以其基本解组为： 2,1t t ，t t t t te e te e --,,,， （2分） 原方程的通解为：t t t t te C e C te C e C t C t C C x --++++++=76542321. （1分）10. 解方程：02=-''+'''x x x 解：其特征方程为：0)22)(1(2223=++-=-+λλλλλ， （1分） 特征根为：i ±-==11321，，λλ. （2分） 所以其实基本解组为： t e t e e t t t s i n ,c o s ,--，（2分） 原方程的通解为： t e C t e C e C y t t t sin cos 321--++=. （1分）11. 解方程：1,0='-'='+'y x y x ； 解：原方程可化为：21,21-='='y x ， （2分）积分得通解为：212,2c t y c t x +-=+=. （4分）12. 解方程：y y dxdyln = 解：原方程可化为：0ln 1=-dx dy yy ， （3分）积分得原方程的通解为：C y x =ln ln . （3分）13. 解方程：y x e dxdy-= 解：原方程可化为： dx e dy e x y =， （3分） 积分得原方程的通解为：c x y +=. （3分）14. 解方程：02)1(22=+'-xy y x解：0=y 是原方程的常数解， （1分） 当0≠y 时，原方程可化为：012122=-+dx x xdy y ， （2分）积分得原方程的通解为：c x y +-=-1ln 21. （3分） 15. 解方程：x y dxdycos 2= 解：0=y 是原方程的常数解， （1分） 当0≠y 时，原方程可化为：xdx dy ycos 12=， （2分） 积分得原方程的通解为：x c y sin 1-=-. （3分）16. 解方程：dy yx x dx xy y )()(2222+=+解：0=y ，0=x 是原方程的常数解， （1分） 当,0≠x 0≠y 时，原方程可化为：dx xx dy y y )11()11(22+=+，（2分） 积分得原方程的通解为：c x x y y +-=---11ln ln . （3分）17. 解方程：x xy dxdy42=+ 解：分析可知2=y 是其特解. （2分）对应齐方程的02=+xy dxdy通解为：2x ce y -=， （2分） 故原方程的通解为：22+=-x ce y . （2分）18. 解方程：23=+ρθρd d 解：分析可知32=ρ是其特解. （2分）对应齐方程03=+ρθρd d 的通解为：θρ3-=ce ， （2分）故原方程的通解为：323+=-θρce . （2分）19. 解方程：22x y xe dxdy+= 解：原方程可化为： dx xe dy e x y 22=-， （3分） 积分得原方程的通解为：c e e x y =+-22. （3分）20. 解方程：422x y y x =-' 解：分析可知4x y =是其特解. （2分） 又对应齐方程02=-'y y x 的通解为：2cx y =， （2分） 故原方程的通解为：42x cx y +=. （2分）。
(整理)常微分方程试题及参考答案
常微分方程试题一、填空题(每小题3分，共39分)1.常微分方程中的自变量个数是________.2.路程函数S(t)的加速度是常数a，则此路程函数S(t)的一般形式是________.3.微分方程=g( )中g(u)为u的连续函数，作变量变换________，方程可化为变量分离方程.4.微分方程F(x,y′)=0中令P=y′,若x、P平面上的曲线F(x,P)=0的参数形式为x= (t),P=ψ(t),t为参数，则方程参数形式的通解为________.5.方程=(x+1)3的通解为________.6.如果函数f(x,y)连续，y= (x)是方程=f(x,y)的定义于区间x0≤x≤x0+h上，满足初始条件 (x0)=y0的解.则y= (x)是积分方程________定义于x0≤x≤x0+h 上的连续解.7.方程=x2+xy，满足初始条件y(0)=0的第二次近似解是________.8.方程+a1(t) +…+a n-1(t) +a n(t)x=0中a i(t) i=1,2,…，n是〔a,b〕上的连续函数，又x1(t),x2(t),…，x n(t)为方程n 个线性无关的解，则其伏朗斯基行列式W(t) 应具有的性质是：________.9.常系数线性方程x(4)(t)-2x″(t)+x(t)=0的通解为________.10.设A(t)是区间a≤t≤b上的连续n×n矩阵，x1(t),x2(t),…，x n(t)是方程组x′=A(t)x的n个线性无关的解向量.则方程组的任一解向量x(t)均可表示为：x(t)=________的形式.11.初值问题(t)+2x″(t)-tx′(t)+3x(t)=e-t,x(1)=1,x′(1)=2,x″(1)=3 可化为与之等价的一阶方程组________.12.如果A是3×3的常数矩阵，-2为A的三重特征值，则方程组x′=Ax的基解矩阵exp A t=________.13.方程组的奇点类型是________.二、计算题(共45分)1.(6分)解方程= .2.(6分)解方程x″(t)+ =0.3.(6分)解方程(y-1-xy)dx+xdy=0.4.(6分)解方程5.(7分)求方程：S″(t)-S(t)=t+1满足S(0)=1, (0)=2的解.6.(7分)求方程组的基解矩阵Φ(t).7.(7分)验证方程：有奇点x1=1, x2=0,并讨论相应驻定方程的解的稳定性.三、证明题(每小题8分，共16分)1.设f(x,y)及连续，试证方程dy-f(x,y)dx=0为线性方程的充要条件是它有仅依赖于x的积分因子.2.函数f(x)定义于-∞<x<+∞，且满足条件|f(x1)-f(x2)|≤N|x1-x2|,其中0<N<1,证明方程x=f(x)存在唯一的一个解.常微分方程试题参考答案一、填空题(每小题3分，共39分)1.12. 2+c1t+c23.u=4. c为任意常数5.y= (x+1)4+c(x+1)26.y=y0+7. (x)=8.对任意t9.x(t)=c1e t+c2te t+c3e-t+c4te-t10.x(t)=c1x1(t)+c2x2(t) +c n x n(t)11. x1(1)=1,x2(1)=2, x3(1)=312.expAt=e-2t[E+t(A+2E)+ ]13.焦点二、计算题（共45分）1.解：将方程分离变量为改写为等式两边积分得y-ln|1+y|=ln|x|-即y=ln 或e y=2.解：令则得=0当0时-arc cosy=t+c1y=cos(t+c1) 即则x=sin(t+c1)+c2当=0时y= 即x3.解：这里M=y-1-xy, N=x令u=xye-xu关于x求偏导数得与Me-x=ye-x-e-x-xye-x 相比有则因此u=xye-x+e-x方程的解为xye-x+e-x=c4.解：方程改写为这是伯努利方程，令z=y1-2=y-1 代入方程得解方程z==于是有或5.特征方程为特征根为对应齐线性方程的通解为s(t)=c1e t+c2e-tf(t)=t+1, 不是特征方程的根从而方程有特解=（At+B）,代入方程得-(At+B)=t+1两边比较同次幂系数得A=B=-1故通解为S(t)=c1e t+c2e-t-(t+1)据初始条件得c1=因此所求解为：S(t)=6.解：系数矩阵A=则，而det特征方程det( )=0, 有特征根对对对因此基解矩阵7.解：因故x1=1，x2=0是方程组奇点令X1=x1-1, X2=x2, 即x1=X1+1,x2=X2代入原方程，得化简得*这里R(X)= , 显然（当时）方程组*中，线性部分矩阵det(A- )=由det(A- )=0 得可见相应驻定解渐近稳定三、证明题（每小题8分，共16分）1.证明：若dy-f(x,y)dx=0为线性方程则f(x,y)=因此仅有依赖于x的积分因子反之，若仅有依赖于x的积分因子。
(整理)常微分方程计算题(3)
常微分方程习题集（3）（三）、计算题1. 解方程：0)(22=-++xydy dx x y x ；2. 解方程：024=++xy xy dxdy； 3. 解方程：0)(22=+++xydy dx x y x ； 4. 解方程：y x '=y y x +-22； 5. 解方程：；6. 解方程： xy x y y x tan =-'； 7. 解方程：；8. 解方程：yy x e y '='；9. 解方程：xyx y y x dx dy 3225423++-=；10. 解方程：yx y y xy dx dy 22++-=；11. 解方程：0)1()(=+++--dy e dx e e y y y x ； 12. 解方程：243y x y x +='；13. 解方程：0)()13(22=-++-dy x xy dx xy y ； 14. 解方程：xx x y x y x x dx dy cos sin cos sin +-= ； 15. 解方程：3432842yxy x yy x x dx dy ++++-= ； 16. 解方程：02=+'-'y y x y ； 17. 解方程：；18. 解方程：04)4(=+x x ；19. 解方程：y e y y '-'=)1(； 20. 解方程：122='+y x ； 21. 解方程：；22. 解方程：6244x y y x =+' ；23. 解方程：033=-'+''-'''y y y y ；24. 解方程： ；25. 解方程：0212122=++'x y y ； 26. 解方程：04)3()5(=-x x ；27. 解方程：0)2()32(22=+++dy y x x dx xy y ； 28. 解方程：0485=-'+''-'''x x x x ； 29. 解方程：02)3()5()7(=+-x x x ； 30. 求方程2y x dxdy+=经过（0，0）的第三次近似解.（三）、计算题参考答案1、0)(22=-++xydy dx x y x 解：原方程可化为：yx y y x dx dy 1++= 令ux y =整理得：dx xxudu )11(2+=， 积分：C xx u +-=1ln 212， 将ux y =代入，原方程的通解为： x Cx x x y 22ln 2222-+=，,0=x 是原方程的常数解.2、024=++xy xy dxdy解：0=y 是方程的特解，0≠y 时，令3-=y z 得x xz dxdz36=-， 解之得2123-=x Ce z ，故原方程的通解为：21233-=-x Ce y .3、0)(22=+++xydy dx x y x解：因为y x Ny y M =∂∂=∂∂,2 ，xN x Ny M 1=∂∂-∂∂， 所以x =μ为积分因子，两边乘以x 得：02223=+++ydy x dx x xdx y dx x ，所以 0)312141(3224=++x x y x d ， 故原方程的通解为：C y x x x =++2234643.4、y x '=y y x +-22 解：原方程可化为：x yxy y +-='221，令ux y =整理得：xdxu du =-21， 积分得：Cx u ln arcsin =，将ux y =代入，原方程的通解为：)sin(ln Cx x y =.5. 解方程：解一：令ux y =，则xdu udx dy +=，原方程可化为：xdxu du =+1， 积分得：cx u =+1.将ux y =代回得原方程的通解为：x cx y -=2.解二：因为1,2-=∂∂=∂∂x Ny M ，xN x Ny M 3-=∂∂-∂∂， 所以3-=x μ为积分因子，两边乘以3-x 得：02232=-+---dy x dx yx dx x ，所以 0)(21=+---yx x d ， 故原方程的通解为：x Cx y -=2.6. xy x y y x tan =-' 解：原方程可化为：xy xyy +='tan ，令ux y =整理得：xdxu du =tan ， 积分得：Cx u =sin ，将ux y =代入，原方程的通解为：.7.解：令1-=y z ，原方程可化为：x x z dxdzcos sin -=-， 由一阶线性方程的通解公式⎰⎰+⎰=-),)(()()(dx e x f C e z dxx p dx x p 得： ⎰⎰-+⎰=---))cos (sin (11dx e x x C e z dxdx)cos sin (⎰⎰---+=xdx e xdx e C e x x xx Ce x +-=sin ， 原方程的通解为：8. yy x e y '='解：原方程可化为：1)(ln -''=y y x y ，令p y ='得1)(ln -=p xp y ，两边对x 求导，并以p 代替y '，整理得0)ln )(ln 1(=--p p dxdpxp . 从0ln 1=-p 得e p =，代如1)(ln -=p xp y 可得原方程的一个特解：ex y =，从0ln =-p p dxdpx解的Cx e p =，代如1)(ln -=p xp y 可得原方程的通解： Cx e Cy 1=.9. xyx y y x dx dy 3225423++-= 解：原方程可化为：0)32()25(423=+++dy xy x dx y y x因为y x xNy x y M 38,4533+=∂∂+=∂∂ ，xy Mx Ny x Ny M 1=-∂∂-∂∂，所以xy =μ为积分因子，两边乘以xy 得：03225225324=+++dy y x ydy x dx xy dx y x ，从而有:0)(3225=+y x y x d ，故原方程的通解为：C y x y x =+3225 .10. yx y y xy dx dy 22++-= 解：原方程可化为：0)2()(2=++--dy y x dx y xy y因为1,21=∂∂--=∂∂x Ny x y M ，1-=∂∂-∂∂Nx Ny M ， 所以x e -=μ为积分因子，两边乘以x e -得：022=++-------dy ye dy xe dx e y dx xye ydx e x x x x x ，所以:0)()(2=+++----dy xe xde dx e y e y d x x x x ，0)(2=+--x x xye e y d ,故原方程的通解为：x Ce xy y =+2.11. 0)1()(=+++--dy e dx e e y y y x解：因为0,1=∂∂+=∂∂x N e y M y ，1=∂∂-∂∂NxNy M ， 所以x e =μ为积分因子，两边乘以x e 得：0=+++-dy e e dy e dx e e dx ydx e x y x x y x ，所以:0)(=++-y x x y x de e de e dx ye d ，0)(=+-+y x x e x ye d ,故原方程的通解为：C e x e y y x x =+-+.12. 243y x y x +='解：由分析可知 2x y =是该方程的一个解，作变换z x y +=2，原方程可化为322xz z x dx dz +=， 解之得； )ln (21x C x z -=--， 故原方程的通解为：)ln 11(2xC x y -+=. 13. 0)()13(22=-++-dy x xy dx xy y解：因为x y x Nx y y M 2,32-=∂∂-=∂∂ ，xN x Ny M 1=∂∂-∂∂， 所以x =μ为积分因子，两边乘以x 得：033222=-++-dy x ydy x xdx ydx x dx xy ，所以:0)()21()21(3222=-+y x d x d y x d ，0)2121(2322=+-x y x y x d , 故原方程的通解为：C x y x y x =+-23222121. 14.xx x y xy x x dx dy cos sin cos sin +-= 解：原方程可化为：0)cos sin ()cos sin (=+++-dy x x x y dx x y x x因为x x x x y x Nx y M sin cos cos ,cos -+=∂∂=∂∂，1-=-∂∂-∂∂Mx Ny M ， 所以y e -=μ为积分因子，两边乘以y e -得：0)cos sin ()cos sin (=+++---dy x x x y e dx x y x x e y y ，取000==y x 有:dx x x x y e y x U xy ⎰-=-0)sin cos (),(，)sin cos sin (x x x x y e y -+=-,故原方程的通解为：C x x x x y e y =-+-)sin cos sin (.15. 3432842yxy x y y x x dx dy ++++-= 解：原方程可化为：0)84()2(3432=+++++dy y xy x dx y y x x因为4341,1y xNx y M +=∂∂+=∂∂ ，xy Mx Ny x Ny M +=-∂∂-∂∂21，所以xy +=2μ为积分因子，两边乘以xy +2得：0)84)(2()2)(2(3432=+++++++dy y xy x xy dx y y x x xy ， 取000==y x 有:⎰⎰+++++=yxdy y dx y xy y x y x x y x U 0302243216)244(),(，422254342215134y xy y x y x y x x +++++=, 故原方程的通解为：C y xy y x y x y x x =+++++422254342215134. 16. 02=+'-'y y x y 解：原方程可化为：2y y x y '-'=，令p y ='得2p xp y -=，两边对x 求导，并以p 代替y '，整理得0)2(=-dxdpp x .从02=-p x 得x p 21=，代入2p xp y -=可得原方程的一个特解：241x y =，从0=dxdp解的C p =，代如2p xp y -=可得原方程的通解： 2C Cx y -=.17.解：原方程可化为：3278y y '=， 令p y ='得3278p y =， 两边对x 求导，并以p 代替y '，整理得01982=-dxdp p . 解之得：)(23C x p +=，代如3278p y =可得原方程的通解： 3)(C x y +=.18. 04)4(=+x x . 解：其特征方程为：044=+λ，特征根为： .1.1,1,1i i i i --+--+ 所以其实基本解组为：,cos t e t ,sin t e t ,cos t e t -,sin t e t - 原方程的通解为：21cos C t e C x t +=3sin C t e t +4cos C t e t +-t e t sin -.19. y e y y '-'=)1(解： 令p y ='得p e p y )1(-=，两边对x 求导，并以p 代替y '，整理得0)1(=-dxdpe p p. 可得：0=p ，与 01=-dxdpe p 解之得:0=p ,与 c x p +=ln代入p e p y )1(-=得: 1-=y 为常数解,与通解：)1(ln -++=c x c x y . 20. 122='+y x解： 令t y cos ='，则t x sin =， 利用dx y dy '=得： tdt dy 2cos =， 积分得： C t t y ++=2s i n 4121， 将x t arcsin =代入得原方程的通解：C x x x y +-+=)1(arcsin 212.21.解： 原方程可化为：0))((221=+-'--'x x ye y y ye y y ，由02=--'x ye y y 得：22xe x Ce y +=， 由02=+-'x ye y y 得：22x ex Cey -=， 故原方程的通解为：22xe x Cey ±=.22. 6244x y y x =+'解：由分析可知 3x y =是该方程的一个解， 作变换z x y +=3，原方程可化为422xz z x dx dz --=， 解之得； 35521515)51(xCx x C x z -=-=-， 故原方程的通解为：)1551(53-+=Cx x y . 23. 033=-'+''-'''y y y y 解：其特征方程为：0)1(133323=-=-+-λλλλ，特征根1=λ为3重根， 所以其基本解组为： x x x x e x e x xe e 32,,,， 原方程的通解为： x x x x e x C e x C xe C e C y 342321+++=.24.解： 显然0=y 是方程的解，当0≠y 时，两边乘以21y原方程可化为022='-'-''y yy y y ， 从而有： 0)(=-'y yy dx d ，1C y yy =-'，解之的：11211-=x C e C C C y ，为原方程的通解.25. 0212122=++'xy y 解：由分析可知 1-=x y 是该方程的一个解， 作变换z x y +=-1，原方程可化为21z z xdx dz --=， 解之得； )ln (1x C x z +=-， 故原方程的通解为：)ln (11x C x x y ++=-.26. 04)3()5(=-x x 解：其特征方程为：0)2)(2(4335=+-=-λλλλλ，特征根0=λ为3重根，2,2-==λλ. 所以其基本解组为： 2,1t t ，t t e e 22,-， 原方程的通解为： t t e C e C t C t C C y 25242321-++++=.27. 0)2()32(22=+++dy y x x dx xy y解：因为xy x N xy y M 41,62+=∂∂+=∂∂ ，xN xNy M 1=∂∂-∂∂， 所以x =μ为积分因子，两边乘以x 得：02323222=+++ydy x dy x dx y x xydx ，所以:0)()(232=+y x d y x d ，故原方程的通解为：C y x y x =+232.28. 0485=-'+''-'''x x x x解：其特征方程为：0)2)(1(485223=--=-+-λλλλλ，特征根为2=λ为2重根，1=λ.所以其基本解组为： t t t e te e ,,22， 原方程的通解为： t t t e C te C e C x 32221++=.29. 02)3()5()7(=+-x x x 解：其特征方程为：0)1()1(2223357=+-=+-λλλλλλ，特征根为：0=λ为3重根，1=λ，为2重根，1-=λ为2重根.所以其基本解组为： 2,1t t ，t t t t te e te e --,,,， 原方程的通解为：t t t t te C e C te C e C t C t C C x --++++++=76542321.30. 求方程2y x dxdy+=经过（0，0）的第三次近似解.解：取0)(0=x ϕ，200200121)()(x xdx dx y x y x xx==++=⎰⎰ϕ，dx x x y x x])([)(02102⎰++=ϕϕ5222020121])21([x x dx x x x+=+=⎰，dx x x x y x x])20121([)(252003+++=⎰ϕ = 1185244001160120121x x x x +++.。
常微分方程期末考试题
常微分方程期末考试题以下是某校 ode 期末考试题一：计算题（ 1,2,3,5 各8分，第4题18分，总50分）1） \frac{dy}{dx}=\frac{x+y-3}{x-y+1}2) \frac{dy}{dx}+2xy+xy^4=03) x'=Ax,A=\left(\begin{matrix}3&-1\\-1&3\end{matrix}\right) 求基解矩阵4） x^2y''+xy'-y=x （该题给出3种解法）5) x''+2x'-3x=e^t+cost二：解答题（每题10分，总50分）6）证明：如已知 Riccati 方程的一个特解，则可用初等解法得到它的通解.7）方程 \frac{dy}{dx}=x^2+y^2 定义在矩形域 \left| x\right|\leq1，\left| y \right|\leq1 试利用存在唯一性定理确定经过 y(0)=0 的解存在区间，并写出 \varphi_n(x) 的迭代序列，求第二次近似解及误差估计。
8）微分方程 \frac{dy}{dx}+ay=f(x)(a>0)\\f(x) 是以 2\pi 为周期的连续函数，试求方程的 2\pi 周期解。
9）设 \phi(x) 是齐次线性微分方程组\frac{dy}{dx}=A(x)y\\ 的一个基解矩阵，并且 n 维向量函数 f(x,y) 在区域 a<x<b,\left| \left| y\right|\right|<+\infty 上连续，试证明：求解初值问题\frac{dy}{dx}=A(x)y+f(x,y),y(x_0)=y_0\\ 等价于求解积分方程 y(x)=\phi (x)\phi^{-1}(x_0)y_0+\int_{x_0}^{x}\phi (x)\phi^{-1}(s)f(s,y(s))ds\\ 其中 x_0\in(a,b)10）证明：方程 y'=\sqrt[5]{\frac{y^4+2}{x^6+2}} 的每条积分曲线有两条水平渐近线。
常微分方程计算题及答案
计 算 题（每题10分）1、求解微分方程2'22x y xy xe -+=。
2、试用逐次逼近法求方程2y x dxdy+=通过点(0,0)的第三次近似解. 3、求解方程'2x y y y e -''+-=的通解4、求方程组dx dt ydydtx y ==+⎧⎨⎪⎩⎪2的通解5、求解微分方程'24y xy x +=6、试用逐次逼近法求方程2y x dxdy-=通过点(1,0)的第二次近似解。
7、求解方程''+-=-y y y e x '22的通解8、求方程组dxdt x ydydtx y =+=+⎧⎨⎪⎩⎪234的通解9、求解微分方程xy y x '-2=24 10、试用逐次逼近法求方程2y x dxdy-=通过(0,0)的第三次近似解. 11、求解方程''+-=-y y y e x '24的通解12、求方程组dxdt x y dydtx y =+=+⎧⎨⎪⎩⎪2332的通解 13、求解微分方程x y y e x (')-=14、试用逐次逼近法求方程22x y dxdy+=通过点(0,0)的第三次逼近解. 15、求解方程''+-=--y y y e x '22的通解16、求解方程x e y y y -=-+''32 的通解17、求方程组⎪⎩⎪⎨⎧-+=-+=yx dt dydtdx x y dt dy dt dx243452的通解 18、解微分方程22(1)(1)0x y dx y x dy -+-= 19、试用逐次逼近法求方程2dyx y dx=-满足初始条件(0)0y =的近似解：0123(),(),(),()x x x x ϕϕϕϕ.20、利用逐次逼近法，求方程22dyy x dx=-适合初值条件(0)1y =的近似解：012(),(),()x x x ϕϕϕ。
常微分方程_习题集(含答案)
《常微分方程》课程习题集一、单选题1. 设函数(,),(,)M x y N x y 连续可微, 则方程(,)(,)0M x y dx N x y dy += 是全微分方程的充分必要条件是 . (A) M N y x ∂∂=∂∂， (B) ,M N x y ∂∂=∂∂ (C) ,M N y x ∂∂≠∂∂ (D) .M N x y ∂∂≠∂∂2. 下面的方程是全微分方程的是 . (A) 0ydx xdy x y-=+， (B) 220y dx x dy +=， (C) 220xy dx x ydy -=， (D)220ydx xdy x y -=-. 3. 设一阶方程2()()(),(()()0)dy p x y q x y r x p x r x dx=++≠，则它是 。
（A ）线性非齐次方程； （B ）伯努利方程；（C ）黎卡堤方程； (D) 克莱洛方程。
4. 设一阶方程()(),(0,1)n dy p x y q x y n dx=+≠，则它是 。
（A ）线性非齐次方程； （B ）伯努利方程；（C ）黎卡堤方程； (D) 克莱洛方程。
5. 形如'(')y xy y ϕ=+的一阶隐式方程称为 。
（A ）线性非齐次方程； （B ）伯努利方程；（C ）黎卡堤方程； (D) 克莱洛方程。
6. 二阶微分方程2100x x x '''++=的通解是 。
（A ）12[cos3sin 3]t x e C t C t -=+,（B ）312[cos sin ]t x e C t C t -=+,（C ）12[cos sin ]t x e C t C t -=+,(D) 312[cos3sin 3]t x e C t C t -=+.7. 二阶微分方程250x x x '''++=的通解是 。
（A ）12[cos sin ]t x e C t C t -=+,（B ）212[cos sin ]t x e C t C t -=+,（C ）12[cos 2sin 2]t x e C t C t -=+,(D) 212[cos 2sin 2]t x e C t C t -=+.8. 二阶微分方程440x x x '''-+=的通解是 。
常微分方程练习试卷及答案
常微分方程练习试卷一、填空题。
1. 方程23210d xx dt+=是 阶 （线性、非线性）微分方程. 2. 方程()x dyf xy y dx=经变换_______，可以化为变量分离方程 . 3. 微分方程3230d yy x dx--=满足条件(0)1,(0)2y y '==的解有 个.4. 设常系数方程x y y y e αβγ'''++=的一个特解*2()x x xy x e e xe =++，则此方程的系数α= ，β= ，γ= .5. 朗斯基行列式()0W t ≡是函数组12(),(),,()n x t x t x t L 在a x b ≤≤上线性相关的 条件.6. 方程22(2320)0xydx x y dy ++-=的只与y 有关的积分因子为 .7. 已知()X A t X '=的基解矩阵为()t Φ的，则()A t = .8. 方程组20'05⎡⎤=⎢⎥⎣⎦x x 的基解矩阵为 ． 9.可用变换 将伯努利方程 化为线性方程.10 .是满足方程251y y y y ''''''+++= 和初始条件 的唯一解.11.方程的待定特解可取 的形式:12. 三阶常系数齐线性方程 20y y y '''''-+=的特征根是二、计算题1.求平面上过原点的曲线方程, 该曲线上任一点处的切线与切点和点(1,0)的连线相互垂直.2．求解方程13dy x y dx x y +-=-+. 3. 求解方程222()0d x dx x dt dt+= 。
4．用比较系数法解方程..5．求方程 sin y y x '=+的通解.6．验证微分方程22(cos sin )(1)0x x xy dx y x dy -+-=是恰当方程，并求出它的通解.7．设 3124A -⎡⎤=⎢⎥-⎣⎦ ， ⎥⎦⎤⎢⎣⎡-=11η ，试求方程组X A dt dX =的一个基解基解矩阵)(t Φ，求X A dt dX=满足初始条件η=)0(x 的解. 8. 求方程2213dyx y dx=-- 通过点(1,0) 的第二次近似解.9.求 的通解试求方程组x Ax '=的解(),t ϕ 12(0),ηϕηη⎡⎤==⎢⎥⎣⎦并求expAt 10.若三、证明题1. 若(),()t t Φψ是()X A t X '=的基解矩阵，求证：存在一个非奇异的常数矩阵C ，使得()()t t C ψ=Φ.2. 设),()(0βαϕ≤≤x x x 是积分方程],[,,])([)(0200βαξξξξ∈++=⎰x x d y y x y xx的皮卡逐步逼近函数序列)}({x n ϕ在],[βα上一致收敛所得的解，而)(x ψ是这积分方程在],[βα上的连续解，试用逐步逼近法证明：在],[βα上)()(x x ϕψ≡.3. 设 都是区间 上的连续函数, 且 是二阶线性方程的一个基本解组. 试证明:(i) 和 都只能有简单零点(即函数值与导函数值不能在一点同时为零); (ii) 和 没有共同的零点; (iii) 和没有共同的零点.4.试证：如果)(t ϕ是AX dtdX=满足初始条件ηϕ=)(0t 的解，那么ηϕ)(ex p )(0t t A t -= .2114A ⎡⎤=⎢⎥-⎣⎦32()480dy dy xy y dx dx -+=答案一.填空题。
常微分方程练习题及答案
一、 填空题。
1. 方程23210d xx dt +=是 阶 （线性、非线性）微分方程. 2. 方程()x dyf xy y dx=经变换_______，可以化为变量分离方程 .3. 微分方程3230d yy x dx--=满足条件(0)1,(0)2y y '==的解有 个. 4. 设常系数方程x y y y e αβγ'''++=的一个特解*2()x x xy x e e xe =++，则此方程的系数α= ，β= ，γ= .5. 朗斯基行列式()0W t ≡是函数组12(),(),,()n x t x t x t L 在a x b ≤≤上线性相关的条件.6. 方程22(2320)0xydx x y dy ++-=的只与y 有关的积分因子为 .7. 已知()X A t X '=的基解矩阵为()t Φ的，则()A t = .8. 方程组20'05⎡⎤=⎢⎥⎣⎦x x 的基解矩阵为 ．9.可用变换 将伯努利方程 化为线性方程.10 .是满足方程251y y y y ''''''+++= 和初始条件 的唯一解.11.方程 的待定特解可取 的形式:12. 三阶常系数齐线性方程20y y y '''''-+=的特征根是二、 计算题1.求平面上过原点的曲线方程, 该曲线上任一点处的切线与切点和点(1,0)的连线相互垂直.2．求解方程13dy x y dx x y +-=-+.3. 求解方程222()0d x dxx dt dt+= 。
4．用比较系数法解方程. .5．求方程 sin y y x'=+的通解.6．验证微分方程22(cos sin )(1)0x x xy dx y x dy -+-=是恰当方程，并求出它的通解.7．设3124A -⎡⎤=⎢⎥-⎣⎦ ， ⎥⎦⎤⎢⎣⎡-=11η ，试求方程组X A dt dX =的一个基解基解矩阵)(t Φ，求X A dtdX=满足初始条件η=)0(x 的解.8. 求方程2213dyx y dx=-- 通过点(1,0) 的第二次近似解.9.求 的通解10.若 试求方程组的解(),t ϕ 12(0),ηϕηη⎡⎤==⎢⎥⎣⎦并求expAt三、证明题1. 若(),()t t Φψ是()X A t X '=的基解矩阵，求证：存在一个非奇异的常数矩阵C ，使得()()t t C ψ=Φ.2. 设),()(0βαϕ≤≤x x x 是积分方程],[,,])([)(0200βαξξξξ∈++=⎰x x d y y x y xx的皮卡逐步逼近函数序列)}({x n ϕ在],[βα上一致收敛所得的解，而)(x ψ是这积分方程在],[βα上的连续解，试用逐步逼近法证明：在],[βα上)()(x x ϕψ≡.3. 设 都是区间 上的连续函数, 且 是二阶线性方程的一个基本解组. 试证明:(i) 和 都只能有简单零点(即函数值与导函数值不能在一点同时为零);(ii) 和 没有共同的零点;(iii) 和 没有共同的零点.4.试证：如果)(t ϕ是AX dtdX=满足初始条件ηϕ=)(0t 的解，那么ηϕ)(ex p )(0t t A t -=.答案一.填空题。
常微分方程习题集
常微分方程测试题1一、填空题30%1、形如的方程,称为变量分离方程,这里.分别为的连续函数;2、形如-的方程,称为伯努利方程,这里的连续函数.n3、如果存在常数-对于所有函数称为在R上关于满足利普希兹条件;4、形如-的方程,称为欧拉方程,这里5、设的某一解,则它的任一解-;二、计算题40%1、求方程2、求方程的通解;3、求方程的隐式解;4、求方程三、证明题30%1.试验证=是方程组x=x,x=,在任何不包含原点的区间a上的基解矩阵;2.设为方程x=AxA为n n常数矩阵的标准基解矩阵即0=E,证明:t =t- t其中t为某一值.<%建设目标%>常微分方程测试题2一、填空题：30%1、曲线上任一点的切线的纵截距是切点的横坐标和纵坐标的等差中项,则曲线所满足的微分方程是.2、方程的通解中含有任意常数的个数为.3、方程有积分因子的充要条件为 .4、连续是保证对满足李普希兹条件的条件．5、方程满足解的存在唯一性定理条件的区域是．6、若是二阶线性齐次微分方程的基本解组,则它们有或无共同零点．7、设是方程的通解,则.8、已知是二阶齐次线性微分方程的一个非零解,则与线性无关的另一解.9、设是阶常系数齐次线性方程特征方程的K重根,则该方程相应于的K个线性无关解是.10、线性微分方程组的解是的基本解组的充要条件是.二、求下列微分方程的通解：40%1、2、3、4、5、求解方程．三、求初值问题的解的存在区间,并求第二次近似解,给出在解的存在区间的误差估计.10分四、求解微分方程组满足初始条件的解.10%五、证明题：10%设,是方程的解,且满足==0,,这里在上连续,．试证明：存在常数C使得=C常微分方程测试题31．辨别题指出下列方程的阶数,是否是线性方程：12%1234562、填空题8%1．方程的所有常数解是___________.2．若y=y1x,y=y2x是一阶线性非齐次方程的两个不同解,则用这两个解可把其通解表示为________________.3.若方程Mx, y d x + Nx, y d y= 0是全微分方程,同它的通积分是________________.4.设Mx0, y0是可微曲线y=yx上的任意一点,过该点的切线在x轴和y轴上的截距分别是_________________.3、单选题14%1．方程是.A可分离变量方程B线性方程C全微分方程D贝努利方程2．方程,过点0,0有.A一个解B两个解C无数个解D三个解3．方程xy2－1d x+yx2－1d y=0的所有常数解是.A y=±1,x=±1,B y=±1C x=±1D y=1,x=14．若函数yx满足方程,且在x=1时,y=1,则在x =e时y= .A B C2 De5．阶线性齐次方程的所有解构成一个线性空间．A维B维C维D维6.方程奇解．A有三个B无C有一个D有两个7．方程过点．A有无数个解B只有三个解C只有解D只有两个解4.计算题40%求下列方程的通解或通积分：1.2.3.4.5.5.计算题10%求方程的通解．6．证明题16%设在整个平面上连续可微,且．求证：方程的非常数解,当时,有,那么必为或<%建设目标%>常微分方程测试题41．辨别题指出下列方程的阶数,是否是线性方程：12%1234562、填空题8%1．方程的所有常数解是___________.2．若y=y1x,y=y2x是一阶线性非齐次方程的两个不同解,则用这两个解可把其通解表示为________________.3.若方程Mx, y d x + Nx, y d y= 0是全微分方程,同它的通积分是________________.4.设Mx0, y0是可微曲线y=yx上的任意一点,过该点的切线在x轴和y轴上的截距分别是_________________3、单选题14%1．方程是.A可分离变量方程B线性方程C全微分方程D贝努利方程2．方程,过点0,0有.A一个解B两个解C无数个解D三个解3．方程xy2－1d x+yx2－1d y=0的所有常数解是.A y=±1,x=±1,B y=±1C x=±1D y=1,x=14．若函数yx满足方程,且在x=1时,y=1,则在x =e时y= .A B C2 De5．阶线性齐次方程的所有解构成一个线性空间．A维B维C维D维6.方程奇解．A有三个B无C有一个D有两个7．方程过点．A有无数个解B只有三个解C只有解D只有两个解4.计算题40%求下列方程的通解或通积分：1.2.3.4.5.5.计算题10%求方程的通解．6．证明题16%设在整个平面上连续可微,且．求证：方程的非常数解,当时,有,那么必为或常微分方程测试题5一、填空题30%1．若y=y1x,y=y2x是一阶线性非齐次方程的两个不同解,则用这两个解可把其通解表示为．2．方程满足解的存在唯一性定理条件的区域是．3．连续是保证方程初值唯一的条件．一条积分曲线.4.线性齐次微分方程组的一个基本解组的个数不能多于个,其中,．5．二阶线性齐次微分方程的两个解,成为其基本解组的充要条件是． 6．方程满足解的存在唯一性定理条件的区域是．7．方程的所有常数解是．8．方程所有常数解是．9．线性齐次微分方程组的解组为基本解组的条件是它们的朗斯基行列式．10．阶线性齐次微分方程线性无关解的个数最多为个二、计算题40%求下列方程的通解或通积分：1.2．3．4．5．三、证明题30%1．试证明：对任意及满足条件的,方程的满足条件的解在上存在．2．设在上连续,且,求证：方程的任意解均有．3．设方程中,在上连续可微,且,．求证：该方程的任一满足初值条件的解必在区间上存在．常微分方程测试题6一、填空题20%1．方程的所有常数解是．2．方程的常数解是．3．一阶微分方程的一个特解的图像是维空间上的一条曲线．4．方程的基本解组是．二、选择题25%1．阶线性齐次微分方程基本解组中解的个数恰好是个．A B-1C+1D+22．李普希兹条件是保证一阶微分方程初值问题解惟一的条件．A充分B必要 C充分必要D必要非充分3.方程过点共有个解．A一B无数C两D三4．方程奇解．A有一个B有两个C无D有无数个5．方程的奇解是．A B C D三、计算题25%=+y=03.4.5.四、求下列方程的通解或通积分30%1.2.3.常微分方程测试题7一.解下列方程80%1.x=+y2.tgydx-ctydy=03.{y-x+}dx-xdy=04.2xylnydx+{+}dy=05.=6-x6.=27.已知fx=1,x0,试求函数fx的一般表达式;8．一质量为m质点作直线运动,从速度为零的时刻起,有一个和时间成正比比例系数为的力作用在它上面,此外质点又受到介质的阻力,这阻力和速度成正比比例系数为;试求此质点的速度与时间的关系;二．证明题20%1.证明：如果已知黎卡提方程的一个特解,则可用初等方法求得它的通解;2．试证：在微分方程Mdx+Ndy=0中,如果M、N试同齐次函数,且xM+yN0,则是该方程的一个积分因子常微分方程测试题8计算题.求下列方程的通解或通积分70%1.2.3.4.5．6．7．证明题 30%8.在方程中,已知,在上连续,且．求证：对任意和,满足初值条件的解的存在区间必为9.设在区间上连续．试证明方程的所有解的存在区间必为10.假设方程在全平面上满足解的存在惟一性定理条件,且,是定义在区间I上的两个解．求证：若<,,则在区间I上必有<成立常微分方程测试题9一、填空题30%1、方程有只含的积分因子的充要条件是;有只含的积分因子的充要条件是______________;２、_____________称为黎卡提方程,它有积分因子______________;３、__________________称为伯努利方程,它有积分因子_________;４、若为阶齐线性方程的个解,则它们线性无关的充要条件是__________________________;５、形如___________________的方程称为欧拉方程;６、若和都是的基解矩阵,则和具有的关系是_____________________________;７、当方程的特征根为两个共轭虚根是,则当其实部为_________时,零解是稳定的,对应的奇点称为___________;二、计算题６０％1、２、３、若试求方程组的解并求expAt ４、５、求方程经过0,0的第三次近似解6.求的奇点,并判断奇点的类型及稳定性.三、证明题１０％１、阶齐线性方程一定存在个线性无关解;常微分方程测试题10一、选择题30%1微分方程的阶数是____________2若和在矩形区域内是的连续函数,且有连续的一阶偏导数,则方程有只与有关的积分因子的充要条件是_________________________3 _________________________________________称为齐次方程.4如果___________________________________________ ,则存在唯一的解,定义于区间上,连续且满足初始条件,其中_______________________ .5对于任意的,为某一矩形区域,若存在常数使______________________ ,则称在上关于满足利普希兹条件.6方程定义在矩形区域:上,则经过点的解的存在区间是___________________7若是齐次线性方程的个解,为其伏朗斯基行列式,则满足一阶线性方程___________________________________8若为齐次线性方程的一个基本解组,为非齐次线性方程的一个特解,则非齐次线性方程的所有解可表为_________________________9若为毕卡逼近序列的极限,则有__________________ 10_________________________________________称为黎卡提方程,若它有一个特解,则经过变换___________________,可化为伯努利方程．二求下列方程的解 35%１２求方程经过的第三次近似解３讨论方程,的解的存在区间4求方程的奇解567三证明题 35%1试证:若已知黎卡提方程的一个特解,则可用初等积分法求它的通解2试用一阶微分方程解的存在唯一性定理证明:一阶线性方程,当,在上连续时,其解存在唯一<%建设目标%>常微分方程测试题 11一．填空题30%;1、当_______________时,方程Mx,ydx+Nx,ydy=0称为恰当方程,或称全微分方程;2、________________称为齐次方程;3、求=fx,y满足的解等价于求积分方程____________________的连续解;4、若函数fx,y在区域G内连续,且关于y满足利普希兹条件,则方程的解y=作为的函数在它的存在范围内是__________;5、若为n阶齐线性方程的n个解,则它们线性无关的充要条件是__________________________________________;6、方程组的_________________称之为的一个基本解组;7、若是常系数线性方程组的基解矩阵,则expAt =____________8、满足___________________的点,称为方程组的奇点9、当方程组的特征根为两个共轭虚根时,则当其实部________时,零解是稳定的,对应的奇点称为___________;二、计算题60%1、求解方程：=2、解方程：2x+2y-1dx+x+y-2dy=03、讨论方程在怎样的区域中满足解的存在唯一性定理的条件,并求通过点0,0的一切解4、求解常系数线性方程：5、试求方程组的一个基解矩阵,并计算6、试讨论方程组1的奇点类型,其中a,b,c为常数,且ac0;三、证明题10%;试证：如果满足初始条件的解,那么常微分方程测试题13一、判断题10%1．方程是恰当方程;2．是三阶微分方程;3．是方程的通解;4．函数组线性相关的充要条件是它们的伏朗斯基行列式等于零;5．方程是二阶线性方程;二、选择题101．方程定义在矩形域上,则经过点的解的存在区间是;A．B．C．D．2．与初值问题等价的一阶方程组是________. A．B．C．D．3．方程是一个函数矩阵的解空间构成________维线性空间.A．n-1 B．n C．n+1 D．4．微分方程的一个解是A．B．C．D．5．方程有积分因子A．B．C．D．三、填空题20%1．方程通过点的第二次近似解是________________;2．当_______________时,方程Mx,ydx+Nx,ydy=0称为恰当方程,或称全微分方程;3．如果在且,则方程存在唯一的解,定义于区间上,连续且满足初始条件,其中,;4．若1,2,……,是齐线性方程的个解,为其伏朗斯基行列式,则满足一阶线性方程5．方程有仅与有关的积分因子的充要条件是___________;6．利用变量替换__________可把方程化为变量分离方程___________________;7.若都是=AtX的基解矩阵,则具有关系：;8．方程的一个特解是________________________9．形如的方程称为欧拉方程;10．若是常系数线性方程组的基解矩阵,则expAt =____________;四、计算题60%1．求方程的通解;8分2．求解下列初值问题：;8分常微分方程测试题14一、判断题10%1．方程是二阶非线性方程;2．方程的通解是;3．利普希茨条件是保证初值问题解的唯一性的充分条件而不是必要条件; 4．向量函数组的线性相关概念与它的相应的分量线性相关概念并不等价; 5．若是阶齐次线性方程的个解,其伏朗斯基行列式,则在I上线性相关;二、选择题10%1．曲线满足方程A． B． C． D．2．积分方程的一个解是A． B． C． D．3．若微分方程有积分因子,则满足A． B．C． D．4．微分方程可化为A．B．C．D．5．设有微分方程,则有123A．方程1是线性方程式 B．方程2是线性方程C．方程3是线性方程 D．它们都不是线性方程三、填空题20%1.含有自变量、未知函数及它的导数或微分的方程,称为________________方程2．利用变量替换__________可把方程化为变量分离方程___________________;3．方程的一个特解是________________________;4．方程是自变量的对应的特征方程是_________________________; 5．一曲线,其上每点处的切线斜率为该点横坐标的二倍,且通过点,则该曲线方程是________________;6．微分方程初值问题与积分方程_________________________等价; 7．如果在矩形域R上满足：①_______________,②____________________,则方程存在惟一解;8．方程有仅与有关的积分因子的充要条件是___________; 9．方程的常数解是____________________;10．微分方程是自变量的通解是_______________________;方程通过点的第二次近似解是________________四、计算题60%1．求方程的通解;8分2．求方程8分3．求方程9分4．求方程的通解;8分5．求方程的通解;9分6．求非齐次方程的通解;7．已知微分方程组的基解矩阵是, 求微分方程组的通解;9分。
常微分方程练习试卷及答案
常微分方程练习试卷及答案常微分方程练试卷一、填空题。
1.方程d2x/dt2+1=是二阶非线性微分方程。
2.方程xdy/ydx=f(xy)经变换ln|x|=g(xy)可以化为变量分离方程。
3.微分方程d3y/dx3-y2-x=0满足条件y(0)=1,y'(0)=2的解有一个。
4.设常系数方程y''+αy'+βy=γex的一个特解y(x)=e-x+e2x，则此方程的系数α=-1，β=2，γ=1.5.朗斯基行列式W(t)≠0是函数组x1(t),x2(t)。
xn(t)在[a,b]上线性无关的条件。
6.方程xydx+(2x2+3y2-20)dy=0的只与y有关的积分因子为1/y3.7.已知X'=A(t)X的基解矩阵为Φ(t)，则A(t)=Φ(t)-1dΦ(t)/dt。
8.方程组x'=[2,5;1,0]x的基解矩阵为[2e^(5t),-5e^(5t);e^(5t),1]。
9.可用变换将伯努利方程y'+p(x)y=q(x)化为线性方程。
10.方程y''-y'+2y=2e^x的通解为y(x)=C1e^x+C2e^2x+e^x。
11.方程y'''+2y''+5y'+y=1和初始条件y(0)=y'(0)=y''(0)=0的唯一解为y(x)=e^-x/2[sin(5^(1/2)x/2)-cos(5^(1/2)x/2)]。
12.三阶常系数齐线性方程y'''-2y''+y=0的特征根是1，1，-1.二、计算题1.设曲线方程为y(x)=kx/(1-k^2)，则曲线上任一点处的斜率为y'(x)=k/(1-k^2)，切点为(0,0)，切线方程为y=kx，点(1,0)的连线斜率为-1/k，因此k=-1，曲线方程为y=-x/(1+x)。
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故方程的通解为 y Y y1 c1ex c2e-2x e-x
8、解：由方程解出 y，得 y x 2 1 p x ， 代入 dx 1 dy 得 dx dp 即 p cx
2x 2p
p
xp
故通解为 y c (x2 1) 1
2
2c
9、解：方程化为 y 2 y 2x3 x
对应的齐次方程 y 2 y 0 的通解为 y=cx2 (4¹) x
6、试用逐次逼近法求方程 dy x y 2 通过点(1,0)的第二次近似解。 dx
7、求解方程 y y 2y 2ex 的通解
8、求方程组
dx dt dy dt
2x y 3x 4y
的通解
9、求解微分方程 xy 2y 2x4
10、试用逐次逼近法求方程 dy x y 2 通过(0,0)的第三次近似解. dx
75、利用代换 y u 将方程 ycos x 2ysin x 3y cos x ex 化简，并求出原方程的 cos x
通解。
76、求下列线性微分方程组
dx
dt dy
2x 2x
4y 2y
4e2t
(1) (2)
dt
dy1
dx
2 y1
2 y2
77、解下列微分方程组
dy2 dx
y2
58、 x x sin at, a 0
59、 2y 5y cos2 x
60、 y 4y xsin 2x
61、 y 2y 3 4sin 2x
62、 y 2y 2y 4ex cos x
63、 y 9y 18cos3x 30sin 3x
64、 x x sin t cos 2t
11、求解方程 y y 2y 4ex 的通解
dx
12、求方程组
dt dy
x x
y y
的通解
dt
13、求解微分方程x(y0 ¡ y) = ex
14、试用逐次逼近法求方程 dy y2 x2 通过点(0,0)的第三次逼近解. dx
15、求解方程 y y 2y 2ex 的通解
16、求解方程 y y 2y 3ex 的通解
《常微分方程》计算题及答案 21
17、求方程组
2 3
dx dt dx dt
5 4
dy dt dy dt
4y 2x
x y
的通解
18、解微分方程 x( y2 1)dx y(x2 1)dy 0
19 、 试 用 逐 次 逼 近 法 求 方 程 dy x y2 满 足 初 始 条 件 y(0) 0 的 近 似 解 ： dx
则 y1 A ex ， y1 Aex
代入解得 A 1 2
从而
y1
1 2
ex
故方程的通解为
y
Y
y1
c1ex
c2e2 x
1 ex 2
。
4、解：它的系数矩阵是
A
0 2
1 1
1
特征方程 | A E|
0
2 1
或为2-10+9=0
特征根1=1,2=9 原方程对应于1 =1 的一个特解为 y1=et, x1=-et 对应于2=9 的一个特解为 y1=e9t, x1=e9t
y2 (x)
x 0
t
t2 2
2
dt
x2 2
x5 20
因此，第三次近似解为
y2 ( x)
x5 20
x 3 6
x 2
2
x 4
11 30
11、解：对应的齐次方程为 y y 2y 0
特征方程为2+-2=0 解得=1,-2
对应的齐次方程通解为
Y c1ex c2e2x 设方程的一个特征解为 y1 Aex
y2 ( x)
Hale Waihona Puke x5 20x3 6
x2 2
x 4
11 30
。
7、解：对应的齐次方程为 y y - 2y 0
特征方程为 2 + 2 0 ，得 1,-2 对应的齐次方程通解为
Y c1ex c2e-2x 设方程的一个特征解为 y1 Ae-x
则 y1 Ae-x , y1 Ae-x
代入解得 A -1，而 y1 -e-x
用常数变易法，可设非齐次方程的通解为 y=c(x)x2
代入方程得
c¹(x)=2x 因此有 c(x)=x2+c
(3¹）
所以原方程的通解为 y=(x2+c)x2 (1¹)
10、解：取 y0 (x) 0,
yn (x) y0 (x)
x
[t
0
y
2 n1
(t
)]dt
则 y1(x)
x
tdt
x2
0
2
《常微分方程》计算题及答案 27
| n (x)
(x)
|
MLn (n 1)!
x
x0
n1
.
22、求初值问题 dy x2 y2, y(1) 0 在区域 R :| x 1| 1, | y | 1 的解的定义 dx
区间，并求第二次近似解，给出在存在区间上解的误差估计。
23、
x
y
cos
y x
dx
x
cos
y x
dy
0
24、
dy dx
2
从而 y1 e-x 故方程的通解为 y Y y1 c1ex c2e-2x e-x
16、解：对应的齐次方程特征方程为2+-2=0 解得=1,-2 对应的齐次方程通解为
Y c1ex c2e2x
设方程的一个特征解为 y1 Aex
代入解得 A 3 2
从而
y1
3 2
ex
故方程的通解为
y
Y
用常数变易法，可设非齐次方程的通解为 y c(x)ex2 代入方程 y 2xy 2xex2 得
c(x) 2x 因此有 c(x) x2 c
所以原方程的通解为 y (x2 c)ex2
２、解：按初始条件取 y0 (x) 0
y1(x) y0
x
[t
0
y02 (t)]dt
x2 2
y2 (x) y0
x
y 2 2 y 1
25、
dy dx
1 2x x2
y
1
0
26、 y ln ydx (x ln y)dy 0
27、 y
y
2y ln y y x
28、 dy y2 x dx 2xy
29、 2xydx (x2 y2)dy 0
30、 y dx ( y3 ln x)dy 0 x
《常微分方程》计算题及答案 20
计算题
1、求解微分方程 y 2xy 2xe x2 。
2、试用逐次逼近法求方程 dy x y 2 通过点(0,0)的第三次近似解. dx
3、求解方程 y y 2y ex 的通解
4、求方程组
dy
dx dt
y x
y
的通解
dt
5、求解微分方程 y 2xy 4x
原方程组的通解为
y
x c1et c1et
c2e2t 2c2e2t
《常微分方程》计算题及答案 26
5、解：对应的齐次方程 y 2xy 0 的通解为 y cex2
用常数变易法，可设非齐次方程的通解为 y c(x)ex2
代入方程 y 2xy 4x 得 c(x) 4ex2 x 因此有 c(x) 2ex2 c
所以原方程的通解为 y (2ex2 c)ex2 。
6、解：取 y0 (x) 0,
yn (x) y0 (x)
x
[t
1
y
2 n1
(t
)]dt
则 y1(x)
x
tdt
x2
1
1
22
y2 (x)
x 1
t
t2 2
1 2
2
dt
x5 20
x3 6
x2 2
x 4
11 30
因此，第二次近似解为
42、 y(4) 4y 8y 8y 3y 0
43、 y(4) 4y 6y 4y y 0 44、 y y xex
45、 2y 3y y 4 ex 46、 y 2y 4y (x 2)e3x 47、 x 6x 13x et (t2 5t 2)
48、 x x et 49、 s 2as a2s et 50、 x 4x 4x et e2t 1 51、 y 4y 1 0
31、
xdx ydy ydx xdy 1 x2 y2 x2 y2
32、 (1
x
ey
)dx
x
ey
1
x y
dy
0
33、
dy dx
x y 1 x y2 3
34、 (x4 y4)dx xy3dy 0
35、 (2xy2 y)dx y2 y x dy 0
36、 y3 y 1 0 37、 y y y y 0 38、 y 2y 3y 10y 0 39、 y(4) y 0 40、 y(6) 2y(4) y 2y 0 41、 y(4) y 0
x
[t
0
y12 (t)]dt
x2 2
x5 20
y3(x) y0
x
[t
0
y22 (t)]dt
x2 2
x5 20
x8
160
x11 4400
3、解：对应的齐次方程为 y y - 2y 0
特征方程为 2 + 2 0 解得 1,-2
对应的齐次方程通解为
Y c1ex c2e2x
设方程的一个特征解为 y1 Aex
则 y1 Aex , y1 Aex
代入解得 A 2
从而 y1 2ex 故方程的通解为 y c1ex c2e2x 2ex