高考数学压轴专题2020-2021备战高考《数列》解析

【最新】《数列》专题解析(1)

一、选择题

1．设数列是公差

的等差数列，为前项和，若，则

取得最

大值时，的值为

A ．

B ．

C ．或

D ．

【答案】C 【解析】

，进而得到

，即

，

数列

是公差

的等差数列，所以前五项都是正数，

或时，

取最大值，故选C.

2．等差数列{}n a 中，1510a a +=，47a =，则数列{}n a 前6项和6S 为（）

A ．18

B ．24

C ．36

D ．72

【答案】C 【解析】 【分析】

由等差数列的性质可得35a =，根据等差数列的前n 项和公式163466622

a a a a

S ++=⨯=⨯可得结果. 【详解】

∵等差数列{}n a 中，1510a a +=，∴3210a =，即35a =，

∴1634657

66636222

a a a a S +++=⨯=⨯=⨯=， 故选C. 【点睛】

本题主要考查了等差数列的性质以及等差数列的前n 项和公式的应用，属于基础题.

3．数列{}n a ：1，1，2，3，5，8，13，21，34，…，称为斐波那契数列，是由十三世纪意大利数学家列昂纳多·斐波那契以兔子繁殖为例子而引入，故又称为“兔子数列”.该数列从第三项开始，每项等于其前相邻两项之和．即：21n n n a a a ++=+.记该数列{}n a 的前n 项和为

n S ，则下列结论正确的是（ ）

A ．201920202S a =+

B ．201920212S a =+

C ．201920201S a =-

D ．201920211S a =-

【答案】D 【解析】 【分析】

根据递推关系利用裂项相消法探求和项与通项关系，即得结果. 【详解】

因为

1233243546521()()()()()n n n n S a a a a a a a a a a a a a a ++=++++=-+-+-+-+-L L 2221n n a a a ++=-=-，

所以201920211S a =-，选D. 【点睛】

本题考查裂项相消法，考查基本分析判断能力，属中档题.

4．已知数列{}n a 的通项公式是2

21sin 2n n a n π+⎛⎫

=

⎪⎝⎭

，则12312a a a a +++⋅⋅⋅+=（ ） A ．0 B ．55

C ．66

D ．78

【答案】D 【解析】 【分析】

先分n 为奇数和偶数两种情况计算出21sin 2n π+⎛⎫

⎪⎝⎭

的值，可进一步得到数列{}n a 的通项公式，然后代入12312a a a a +++⋅⋅⋅+转化计算，再根据等差数列求和公式计算出结果. 【详解】

解：由题意得，当n 为奇数时，

213sin sin sin sin 12222n n ππππππ+⎛⎫⎛⎫⎛

⎫=+=+==- ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝

⎭，

当n 为偶数时，21sin sin sin 1222n n ππππ+⎛⎫⎛

⎫=+==

⎪ ⎪⎝⎭⎝

⎭

所以当n 为奇数时，2n a n =-；当n 为偶数时，2

n a n =，

所以12312a a a a +++⋅⋅⋅+

22222212341112=-+-+-⋅⋅⋅-+ 222222(21)(43)(1211)=-+-+⋅⋅⋅+-

(21)(21)(43)(43)(1211)(1211)=+-++-+⋅⋅⋅++- 12341112=++++⋅⋅⋅++ 121+122

⨯=

（）

78= 故选：D 【点睛】

此题考查数列与三角函数的综合问题，以及数列求和，考查了正弦函数的性质应用，等差数列的求和公式，属于中档题.

5．“中国剩余定理”又称“孙子定理”．1852年，英国来华传教士伟烈亚力将《孙子算经》中

“物不知数”问题的解法传至欧洲．1874年，英国数学家马西森指出此法符合1801年由高斯得到的关于同余式解法的一般性定理，因而西方称之为“中国剩余定理”．“中国剩余定理”讲的是一个关于整除的问题，现有这样一个整除问题：将1到2019这2019个数中，能被3除余2且被5整除余2的数按从小到大的顺序排成一列，构成数列{}n a ，则此数列所有项中，中间项的值为（ ） A ．992 B ．1022

C ．1007

D ．1037

【答案】C 【解析】 【分析】

首先将题目转化为2n a -即是3的倍数，也是5的倍数，也即是15的倍数.再写出{}n a 的通项公式，算其中间项即可. 【详解】

将题目转化为2n a -即是3的倍数，也是5的倍数，也即是15的倍数. 即215(1)n a n -=-，1513n a n =-

当135n =，135151351320122019a =⨯-=<， 当136n =，136151361320272019a =⨯-=>， 故1,2,n =……，135数列共有135项．

因此数列中间项为第68项，681568131007a =⨯-=. 故答案为：C ． 【点睛】

本题主要考查数列模型在实际问题中的应用，同时考查了学生的计算能力，属于中档题.

6．执行下面程序框图输出S 的值为（ ）