初三复习二次函数动点问题(含答案)

二次函数的动态问题（动点）

1.如图①，正方形ABCD 的顶点A B ，的坐标分别为()()01084，，，，顶点C D ，在第一象限．点P 从点A 出发，沿正方形按逆时针方向匀速运动，同时，点Q 从点()40E ，出发，沿x 轴正方向以相同速度运动．当点P 到达点C 时，P Q ，两点同时停止运动，设运动的时间为t 秒．

（1）求正方形ABCD 的边长．

（2）当点P 在AB 边上运动时，OPQ △的面积S （平方单位）与时间t （秒）之间的函数图象为抛物线的一部分（如图②所示），求P Q ，两点的运动速度．

（3）求（2）中面积S （平方单位）与时间t （秒）的函数关系式及面积S 取最大值时点P 的坐标．

（4）若点P Q ，保持（2）中的速度不变，则点P 沿着AB 边运动时，OPQ ∠的大小随着时间t 的增大而增大；沿着BC 边运动时，OPQ ∠的大小随着时间t 的增大而减小．当点P 沿着这两边运动时，使90OPQ =o

∠的点P 有 个．

（抛物线()2

0y ax bx c a =++≠的顶点坐标是2424b ac b a

a ⎛⎫

-- ⎪⎝⎭，．

[解] （1）作BF y ⊥轴于F ．

()()01084A B Q ，，，，

86FB FA ∴==，．

10AB ∴=．

（2）由图②可知，点P 从点A 运动到点B 用了10秒．

图①

图②

又1010101AB =÷=Q ，．

P Q ∴，两点的运动速度均为每秒1个单位．

（3）方法一：作PG y ⊥轴于G ，则PG BF ∥．

GA AP FA AB ∴

=，即610

GA t

=．

3

5

GA t ∴=．

3

105OG t ∴=-．

4OQ t =+Q ，

()113410225S OQ OG t t ⎛

⎫∴=

⨯⨯=+- ⎪⎝

⎭． 即2319

20105

S t t =-

++． 19195323

210b a -=-=⎛⎫⨯- ⎪⎝⎭Q ，且190103≤≤， ∴当19

3t =

时，S 有最大值． 此时476331

1051555

GP t OG t ===-=，，

∴点P 的坐标为7631155⎛⎫

⎪⎝⎭

，．

（8分）

方法二：当5t =时，163

7922

OG OQ S OG OQ ====

g ，，． 设所求函数关系式为220S at bt =++．

Q 抛物线过点()63102852⎛⎫

⎪⎝⎭

，，，，

1001020286325520.2

a b a b ++=⎧⎪∴⎨++=⎪⎩，

31019.5a b ⎧=-⎪⎪∴⎨⎪=⎪⎩， 2319

20105

S t t ∴=-

++． 19195323

210b a -=-=⎛⎫⨯- ⎪⎝⎭Q ，且190103≤≤， ∴当19

3t =

时，S 有最大值． 此时7631

155

GP OG ==，，

∴点P 的坐标为7631155⎛⎫

⎪⎝⎭

，．

（4）2．

[点评]本题主要考查函数性质的简单运用和几何知识，是近年来较为流行的试题，解题的关键在于结合题目的要求动中取静，相信解决这种问题不会非常难。

．

2. 如图①，Rt ABC △中，90B ∠=o ，30CAB ∠=o ．它的顶点A 的坐标为(100)，，顶点

B

的坐标为(5，10AB =，点P 从点A 出发，沿A B C →→的方向匀速运动，同时点Q 从点(02)D ，出发，沿y 轴正方向以相同速度运动，当点P 到达点C 时，两点同时停止运动，设运动的时间为t 秒． （1）求BAO ∠的度数．

（2）当点P 在AB 上运动时，OPQ △的面积S （平方单位）与时间t （秒）之间的函数图象为抛物线的一部分，（如图②），求点P 的运动速度．

（3）求（2）中面积S 与时间t 之间的函数关系式及面积S 取最大值时点P 的坐标． （4）如果点P Q ，保持（2）中的速度不变，那么点P 沿AB 边运动时，OPQ ∠的大小随着时间t 的增大而增大；沿着BC 边运动时，OPQ ∠的大小随着时间t 的增大而减小，当点

P 沿这两边运动时，使90OPQ ∠=o 的点P 有几个？请说明理由．

解: （1）60BAO =o ∠．

（2）点P 的运动速度为2个单位/秒． （3

）(10)P t -（05t ≤≤）

1

(22)(10)2

S t t =+-Q

2

9121

24t ⎛⎫=--+

⎪⎝⎭． ∴当92t =

时，S 有最大值为1214

，

此时112P ⎛

⎝⎭

． （4）当点P 沿这两边运动时，90OPQ =o

∠的点P 有2个． ①当点P 与点A 重合时，90OPQ

∠，

当点P 运动到与点B 重合时，OQ 的长是12单位长度， 作90OPM =o ∠交y 轴于点M ，作PH y ⊥轴于点H ，

由OPH OPM △∽△

得：11.5OM =

=， 所以OQ OM >，从而90OPQ >o

∠．

所以当点P 在AB 边上运动时，90OPQ =o

∠的点P 有1个．

②同理当点P 在BC

边上运动时，可算得1217.8OQ =+

=． （第29题图①）

x t （第29题图②） 第29题图①