2015高考数列求和专项训练

数列求和专项训练

1. (2011?重庆)设｛a n｝是公比为正数的等比数列a i=2, a3=a2+4.

([)求｛a n｝的通项公式；

(n)设｛b n｝是首项为1，公差为2的等差数列，求数列｛a n+b n｝的前n项和S.

分析：(I)由｛a n｝是公比为正数的等比数列，设其公比，然后利用a1=2, a3=a2+4可求得q，即可求得｛a n｝的通项公式(n)由｛b n｝是首项为1，公差为2的等差数列可求得b n=1+ ( n- 1) X 2=2 n- 1,然后利用等比数列与等差数列的前

n项和公式即可求得数列｛a n+b n｝的前n项和S.

解答：解：(I)：设｛a n｝是公比为正数的等比数列

•••设其公比为q, q > 0

■/ a3=a2+4, a1=2

2

•2X q =2X q+4 解得q=2 或q= - 1

■/ q>0

•- q=2

•｛a n｝的通项公式为a n=2X 2n- 1=2n

(n)：｛b n｝是首项为1，公差为2的等差数列

•b n=1+ ( n - 1) X 2=2n - 1

•数列｛a n+b n｝的前n 项和S= f =2n+1- 2+n2=2n+1+n2- 2

1-2 2

2. (2011?辽宁)已知等差数列｛a n｝满足a2=0, &+a8= - 10

(I)求数列｛a n｝的通项公式；

(II )求数列｛—｝的前n项和.

分析：(I)

根据等差数列的通项公式化简a2=0和a e+a8=- 10,得到关于首项和公差的方程组，求出方程组的解即可得到数列的首

项和公差，根据首项和公差写出数列的通项公式即可；

(II )

把(I )求出通项公式代入已知数列，列举出各项记作①，然后给两边都除以2得另一个关系式记作②，①-②后，利

用a n的通项公式及等比数列的前n项和的公式化简后，即可得到数列｛一｝的前n项和的通项公式.

r ai+<^0

解答：解：(I)设等差数列｛a n｝的公差为d，由已知条件可得* ,

2a t H2d=-10

L 1

31=1

解得：・,

d=-1

故数列｛a n｝的通项公式为a n=2 - n;

(II )设数列｛一｝的前n项和为S，即S=a1+ : +…+一—①，故S=1,

9 rfL—1

戸旷1

a l a2

.…

2 Z \②,

当n > 1时，①-②得:

：_l + …+ 一- ■ ■■■- _r

2 2 2n_1 2n

=1-（十十…+ 一）-^"

2 4 2n^12n

=1 -（i - —!—）-

2n"[

综上，数列｛｝的前n项和S=—-—.是一道中档题.

产1 犷1

3. (2011?安徽)在数1和100之间插入n个实数，使得这n+2个数构成递增的等比数列，将这n+2个数的乘积计作T n,再令a n=lgT n，n》1 .

(I)求数列｛a n｝的通项公式；

(n)设b n=tana n?tana n+1,求数列｛b n｝的前n项和S.

分析：(I )根据在数1和100之间插入n个实数，使得这n+2个数构成递增的等比数列，我们易得这n+2项的几何平均数为10,故T n=10n+2,进而根据对数的运算性质我们易计算出数列｛a n｝的通项公式；

(II )根据(I )的结论，利用两角差的正切公式，我们易将数列｛b n｝的每一项拆成——"门「“宀-.的

tanl

形式，进而得到结论.

解答：解：(I )•••在数1和100之间插入n个实数，使得这n+2个数构成递增的等比数列，

又•••这n+2个数的乘积计作T n,

••• T n=10n+2

又■/ a n = lgT n,

•a n=lg10 n+2=n+2, n》1.

mm / 丄小tan (n 十3)- tan (n+2) 〕

z... ... . . / 丄

(II ) • b n=tana n?tana n+1=tan (n+2)?tan (n+3)=一.,

tanl

tan (4) _tan (3) d n r tan (5) - tan(4)d n

c」」」r

•S=b1+b2+…+b n=[ . ]+[ .]+•••

t anl t anl

tan (n+3) _tan (n+2) .

+【i ]

tanl

tan (n+3) - tan (3)

=—. ：i

tanl

点评：本题考查的知识点是等比数列的通项公式及数列与三角函数的综合，其中根据已知求出这n+2项的几何平均数为10,是解答本题的关键.

4. (2010?四川)已知等差数列｛a n｝的前3项和为6，前8项和为-4.

(1)求数列｛a n｝的通项公式；

(H)设b n= (4 - a n) q n-1(q z 0, n€ N),求数列｛b n｝的前n 项和S.

分析：(1)设｛a n｝的公差为d，根据等差数列的求和公式表示出前3项和前8项的和，求的a1和d,进而根据等差数列

的通项公式求得a n.

(2)根据(1)中的a n,求得b n,进而根据错位相减法求得数列

｛b n｝的前n项和S.

解答：解：(1)设｛a n｝的公差为d,