数字信号处理IIR数字滤波器讲解

j
N
Ha j T

例：设模拟滤波器的系统函数为 2 1 1 H a ( s) 2 s 4s 3 s 1 s 3
试用冲激响应不变法，设计IIR数字滤波器 解：据题意，得数字滤波器的系统函数：
T T H ( z) T 1 3T 1 1 e z 1 e z
4、优缺点
优点：
– h(n)完全模仿模拟滤波器的单位抽样响应 ha (t ) 时域逼近良好 – 保持线性关系： T 线性相位模拟滤波器转变为线性相位数字滤波器
缺点：
– 频率响应混迭 只适用于限带的低通、带通滤波器
四、双线性变换法
1、变换原理 使数字滤波器的频率响应 与模拟滤波器的频率响应相似。
st ：阻带截止频率
1 ：通带容限 2 ：阻带容限
通带最大衰减：1
1 20lg
H (e j 0 ) H (e jc )
20lg H (e jc ) 20lg(1 1 )
阻带最小衰减： 2
2 20lg
H (e j 0 ) H (e jst )
j0
20lg H (e jst ) 20lg 2
T c

c
T

3、模拟滤波器的数字化方法
H a ( s) ha (t ) ha (nT ) h(n) H ( z )
Ak H a (s) k 1 s sk
N
ha (t ) L1[ H a ( s)] Ak e sk t u (t )
k 1
N
j Im[ H ( e )] j 相位响应： (e ) arctan j Re[ H (e )]
H * (e j ) H (e j ) e j ( e
j
)
H (e j ) 2 j ( e j ) e * j H (e )
j 1 H ( e ) 1 H ( z) j (e ) ln * j ln 1 2 j H (e ) 2 j H ( z ) z e j
1
z e j
H ( z ) H ( z 1 ) 的极点既是共轭的，又是以单位 圆成镜像对称的 j Im[ z ]
1/ a*
H(z)的极点：单位圆内的极点
0
a
a
*
Re[ z ]
a 1
相位响应
H (e ) H (e ) e
j
j
j ( e j )
j j wk.baidu.come H ( e ) j Im H ( e )
冲激响应不变法、阶跃响应不变法：时域模仿逼近
缺点是产生频率响应的混叠失真
1 : , :[ , ] T T 1T s1T z e tg 2
e e 1T sin 1T 2j 2 tg T T 1T 2 j 1 j 1 2 2 cos e e 2 2
1T 1 c tg 2
1T c 2 2 c T
2）某一特定频率严格相对应： c c
1cT c c c tg c tg 2 2 c c ctg
c
2
特定频率处频率响应严格相等，可以较准确地 控制截止频率位置
3、逼近情况
s j e e
T j 1 2 T j 1 2
j
1T 2
j
1T 2
s j
e e
T j 1 2 T j 1 2

e e
s1T 2 s1T 2
e e
sT 1 2 sT 1 2
s1 j1
s1T 2
e
1 e s1T 1 z 1 s1T 1 z 1 1 e
k b z k M
用一因果稳定的离散LSI系统逼近给定的性能要求：
H ( z)
1 ak z k
k 1
k 0 N
即为求滤波器的各系数：ak , bk
s平面逼近：模拟滤波器 z平面逼近：数字滤波器
先设计模拟滤波器，再转换为数字滤波器
计算机辅助设计法
二、用模拟滤波器设计IIR数字滤波器
1 H (e ) H a j T T
j

实际系统不可能严格限带，都会混迭失真，在
s / 2 处衰减越快，失真越小
fs T

T

s 混迭 2
当滤波器的设计指标以数字域频率 c给定时，
不能通过提高抽样频率来改善混迭现象
fs T , T T T
( j ) 为相频特性：反映各频率成分通过滤波器
后在时间上的延时情况
理想滤波器不可实现，只能以实际滤波器逼近
通带： 阻带：
c
st
1 1 H (e ) 1 H (e j ) 2
j
过渡带： c st
c ：通带截止频率
1）线性相位模拟滤波器
非线性相位数字滤波器
2）要求模拟滤波器的幅频响应为分段常数型，不 然会产生畸变
分段常数型模拟滤波器经变换后仍为分段常数 型数字滤波器，但临界频率点产生畸变
1 1 / T
1 2 tg 1 c
1
预畸变
给定数字滤波器的截止频率 1 ，则
h(n) ha (nT ) Ak e
k 1 n
N
sk nT
u (nT ) Ak e
k 1 N
N
u ( n)
sk T n
H ( z)
n N
h( n) z
n 0

Ak e
n 0 k 1 1

sk T n
z n
Ak e z
按实现的网络结构或单位抽样响应分： IIR滤波器（N阶）
H ( z)
k b z k
M
1 ak z k
k 1
k 0 N
FIR滤波器（N-1阶）
H ( z ) h( n) z n
n 0
N 1
2、数字滤波器的设计过程
按设计任务，确定滤波器性能要求，制定技术
指标

1 e T e 3T z 1 e 4T z 2
T e T e 3T z 1
Ak H a (s) k 1 s sk
N
设T = 1s，则
0.318 z 1 H ( z) 1 0.4177 z 1 0.01831z 2
TAk H ( z) sk T 1 1 e z k 1
1 z 1 1 e j 1） s c c jc tg j 1 j 1 z 1 e 2
s平面虚轴 z平面单位圆
z (c ) 2 2 (c ) 2 2
c s c j 2） z c s c j
1 z s 1 z 1
1
z e s1T
1 s z 1 s
为使模拟滤波器某一频率与数字滤波器的任一
频率有对应关系，引入系数 c
1T c tg 2
1 z 1 sc 1 z 1
cs z cs
2、变换常数c的选择
1）低频处有较确切的对应关系： 1
设计方法：
- 冲激响应不变法
- 阶跃响应不变法 - 双线性变换法
三、冲激响应不变法
1、变换原理
数字滤波器的单位冲激响应 h( n) 模仿模拟滤波器的单位冲激响应 ha (t )
h(n) ha (t )
H ( z)
t nT
T—抽样周期
H a ( s)
1 2 ˆ k H a ( s) H a s j T k T
s平面
z平面
0
0 0
z 1 z 1 z 1
左半平面 右半平面 虚轴
单位圆内
单位圆外
单位圆上
4、优缺点
优点：避免了频率响应的混迭现象
c tg

2
s 平面与 z 平面为单值变换
0 0 0 0
缺点： 除了零频率附近， 与 之间严重非线性
1 H (e ) H a j T T
j
当T 很小时，数字滤波器增益很大，易溢出，需修正
令： h(n) Tha (nT )
TAk H ( z) sk T 1 1 e z k 1
2 k 则：H (e ) H a j T k
其中： H (e ) 1
jc H ( e ) 2 / 2 0.707 时， 1 3dB 当
称 c 为3dB通带截止频率
4、表征滤波器频率响应的特征参量
幅度平方响应
H (e ) H (e ) H (e )
*
j
2
j
j
H (e ) H (e
j
j
) H ( z) H ( z )
H (e j )
群延迟响应
相位对角频率的导数的负值
j d ( e ) j (e ) d
dH ( z ) 1 Re z j dz H ( z ) z e
j ( e ) = 常数， 若滤波器通带内
则为线性相位滤波器
5、IIR数字滤波器的设计方法
1 c tg
设计思想：
s 平面

z 平面
模拟系统 H a ( s) H ( z ) 数字系统
H(z) 的频率响应要能模仿 Ha(s) 的频率响应，
即 s 平面的虚轴映射到 z 平面的单位圆
因果稳定的 Ha(s) 映射到因果稳定的 H(z) ，
即 s 平面的左半平面 Re[s] < 0 映射到 z 平面的单位圆内 |z| < 1
第六章 IIR数字滤波器的设计方法
数字滤波器： 是指输入输出均为数字信号，通过一定运算 关系改变输入信号所含频率成分的相对比例或者 滤除某些频率成分的器件。 优点： 高精度、稳定、体积小、重量轻、灵活，不要求 阻抗匹配，可实现特殊滤波功能
一、数字滤波器的基本概念
1、数字滤波器的分类
经典滤波器： 选频滤波器 现代滤波器： 维纳滤波器 卡尔曼滤波器 自适应滤波器等
H ( z)
z esT
H ( z)
z esT
1 2 ˆ k H a ( s) H a s j T k T
2、混迭失真
1 2 k j H (e ) H a j T k T
数字滤波器的频率响应是模拟滤波器频率响应的 周期延拓，周期为 2 / T s 仅当 ha ( j) 0 T 2 数字滤波器的频响在折叠频率内重现模拟滤波器 的频响而不产生混迭失真：
N
0.318 z 1 H ( z) 1 0.4177 z 1 0.01831z 2
模拟滤波器的频率响应：
2 H a ( j) 2 (3 ) j 4
数字滤波器的频率响应：
j 0.318 e H (e j ) 1 0.4177e j 0.01831e j 2
sk T k 1


n
Ak sk T 1 1 e z k 1
N
Ak H a (s) k 1 s sk
N
Ak H ( z) sk T 1 1 e z k 1
N
sk T z e s s 极点：s 平面 z 平面 k
系数相同：Ak
sk T e 1 稳定性不变：s 平面 Re[ sk ] 0 z 平面
用一个因果稳定的离散LSI系统的系统函数H(z)
逼近此性能指标
利用有限精度算法实现此系统函数：如运算结
构、字长的选择等
实际技术实现：软件法、硬件法或DSP芯片法
3、数字滤波器的技术要求
选频滤波器的频率响应：
H (e ) H (e ) e
j
j
j ( j )
H (e j ) 为幅频特性：表示信号通过该滤波器后 各频率成分的衰减情况