圆锥曲线中圆过定点问题

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当斜率不存在时，圆的方程为 (x 1)2 y2 16
3
9
当斜率为零时，圆的方程为 x2 y2 1
联立
(x x2
1)2 y2 3 y2 1
16 9
x y
1 0
在特殊情况下求得
T
(1,
0)
，也符合对称的猜想，
那么接下来需要证明当斜率不存在且不为零时也恒过点T(1,0) ， 此时设直线方程
的纵坐标必定为零。
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题目中由于直线与椭圆相切，因此联立利用判别式可求出 k, m 之间的等式关系 1 且还能求出点 P 的坐标（含参数），此时将 PM PQ向量化又可得到等式关系 2，因 此可以根据 1,2 求出点 M 的横坐标。
联立
y x
kx 4
m
Q(4,
4k
m)
，根据对称性，设
M
(
x1
,
0)
，
uuur uuuur 则可知 MP MQ 0
uuur MP
(
4k m
x1,
3 m
),
uuuur MQ
(4
x1,
4k
m)
代入上式整理得：
4k(x1 1) m(x12 4x1 3) 0 …………………………………………②
上次课说到了最传统的求或者证明动直线过定点 的处理方法，难度不大，计算量 稍大，今天提供两道特殊的定点问题，我们常见的都是证明定直线过定点的问题，今天 给出证明动圆过定点问题的证明，这两种问题较为少见，仅供参考。
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（1）圆过定点的总体思路
如果说以两个动点 M , N 为过圆心的直径与圆相交的两点，则 MN 所在直线的位置
因此这个题目不妨先假设存在这样的定点，先根据两种特殊形态求出定点，再证
明即便是非特殊状态下这个点也是符合题意的即可，依旧根据对称可判断出点 T
肯定在 x 轴上，先考虑特殊情况，当动直线斜率为 0 或者不存在时，两个圆肯定
都会经过T 点。
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2
(
x
2)
N
(6,
4 x0
y0 2
)
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uuuur uuur 若存在定点 E(x1,0) ，则必须满足 EM EN 0
(6
x1
,
8 x0
y0 2
)(6
x1,
4 x0
源自文库y0 ) 2
0
整理得：
(6
x1)2
32 x02
y02 4
（1） 求椭圆的方程；
（2） 设椭圆 C 的左右顶点分别是 A, B ，若 PA, PB 交直线 x 6 于 M , N 两点，问以 MN 为直径的圆是否经过定点？若是，求出定点的坐标，若不是，说明理由。
解析：（1） x2 y2 1 4
（2）
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uur uur
TA (x1 1, y1),TB (x2 1, y2) ，若斜率存在时应满足TATB 0
uur TA
uur TB
(
x1
1)(
x2
1)
y1
y2
(k
2
1)
x1x2
(1 3
k
2
1)(x1
x2
)
1 9
k
2
1
(k
2
1)
1 9
k
2
2
(1
k
2
1)
2 3
k2
1
k
2
1
k2 2 3 k2 2 9
0
uur uur 所以满足TATB 0
0
……………………………….…………..①
因为
P(x0
,
y0
)
满足
x02 4
y02
1
，所以
x02
4
4 y02
……………②
将②代入①得 (6 x1)2 8 0 ，所以 x1 6 2 2 ，所以圆过定点 (6 2 2,0)
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谢谢大家！
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到目前为止①式是②式的大前提，也就是说对符合①式的所有 m, k 值都能保证② 恒成立，也就是说②式中的 m, k 值都能保证等式成立，也就是任意的 m, k 组合都能保证
式子有根，所以只需要令：
x1 1 0 x12 4x1
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圆锥曲线中圆过定点问题
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1 圆过定点解题思路
目 2 圆过定点解题思路的应 录用
3 例题解析
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（1）圆过定点的总体思路
综上所述，圆恒过点 T (1, 0)
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例
3：已知椭圆 C
:
x2 a2
y2 b2
1 上动点
P
到两焦点
F1,
F2
的距离之和为
4，当点
P
运动到
椭圆 C 上的一个顶点时，直线 PF1恰与以原点 O 为圆心，e 为半径的圆相切。
定点，再者若 MN 所在的直线斜率存在且不为零时，如果此时也恒过这一点的话，那么
这一点应该满足垂直关系，若不满足垂直关系则不能说明动圆恒过定点。
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（2）圆过定点解题思路的应用
例 1：椭圆的方程为 x2 y2 1，设动直线l : y kx m 与椭圆有且只有一个公共点 P ， 43
不同，圆的位置也不同，假如证明圆恒过定点且定点非 M , N 两点，则此时会有一个等
量关系，若设定点为 P，则满足 PM PN ，这个等量关系有点类似于直线过定点问题 中需要用到的等式关系，另外若过 MN 的直线恒过定点，则当 MN 斜率不存在时和直线
斜率为零时都应该过这一点，因此此时两种情况下的圆联立即可求出特殊情况下恒过的
恒过点T ？若存在，求出点T 的坐标，若不存在请说明理由。
解析：相比于上个题，此时动直线是与椭圆相交于两点的，因此利用判别式只能得到一 个不等式，另外上个题目不需要考虑斜率不存在的情况，但是这个题目需要讨论 斜率是否存在，因此解决方法肯定和上题不同，即便假设存在这样的点，类似于 上题目这个定点猜测也应该是在 x 轴上，可是横坐标不知道，利用圆中的垂直关 系转化为向量也只能得到一个关于两个未知数 的等式关系，且无法求出定点的横 坐标。
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设 P(x0, y0) ，根据对称性可知，若圆过定点则该定点肯定在 x 轴上，设该定点为 E ( x1, 0)
kAP
y0 x0
2
AP
:
y
y0 x0
2
(x
2)
则
y x
y0 x0 6
2
(
x
2)
M
(6,
8 x0
y0 2
)
kBP
y0 x0
2
BP
:
y
y0 x0
2
(x
2)
则
y x
y0 x0 6
且与直线 x 4相交于点Q ，试探究：在坐标平面内是否存在定点 M，使得以 PQ 为直径的圆恒过点 M ?若存在求出点 M 的坐标，若不存在说明理由。
解析：若动圆 M 过定点，则必定满足 MP MQ ，若转化为向量则需要知道 P,Q 两点 的坐标，另外注意一下假如存在这样的定点，则这个定点必定在 x 轴上，为什么？ 因为若 PQ 平行 x 时，此时线段 PQ 可上可下，且上下两个圆关于 x 对称且必定都 过同一点，因此这一点肯定是在 x 轴上，因此假如存在这样的定点 M，则定点 M
y kx m
设 P(x0,
y0
),
x2
4
y2 3
1
(4k 2
3)x2
8kmx
4m2
12
0
因为直线与椭圆有且只有一个交点，故 0
化简整理得： 4k2 m2 3 0 ……………………………………………①
且
x0
4km 4k2
3
4k m
,
y0
kx0
m
3 m
，则点
P(
4k m
,
3) m
为
y
k
(
x
1), 3
A(
x1,
y1),
B(
x2
,
y2
)
y k(x x2 y2
2
1) 3 1
(k
2
2)
x2
2 3
k
2
x
1 9
k
2
2
0
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2 k2
1k2 2
x1
x2
k
3 2
2
,
x1x2
9 k
2
2
uur
uur
3
0
x1
1
故恒过定点 (1,0)
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例 2：已知过点 S( 1 ,0) 的动直线交椭圆C : x2 y2 1于 A, B 两点，试问：在平面直
3
2
角坐标系内是否存在一个定点T ，使得无论直线l 如何转动，以 AB 为直径的圆 M