全概率公式及其应用

全概率公式及其应用

(清华大学数学科学系 叶俊)

命题趋势: 即使是填空题和选择题，只考单一知识点的试题很少，大多数试题是考查考生的理解能力和综合应用能力。要求大家能灵活地运用所学的知识，建立起正确的概率模型，综合运用极限、连续函数、导数、极值、积分、广义积分以及级数等知识去解决问题。

1. 全概率公式和Bayes 公式

概率论的一个重要内容是研究怎样从一些较简单事件概率的计算来推算较复杂事件的概率，全概率公式和Bayes 公式正好起到了这样的作用。对一个较复杂的事件A ，如果能找到一伴随A 发生的完备事件组 ,,21B B ，而计算各个i B 的概率与条件概率)|

(i B A P 相对又要容易些，这时为了计算与事件A 有关的概率，可能需要

使用全概率公式和Bayes 公式。

背景：例如，在医疗诊断中，为了诊断出现症状A 的患者，到底患了疾病B B 12, 中的哪一种，可用Bayes 公式算出在症状A 的情况下，起因于疾病B i 的概率

P B A i ()，而后按各个后验概率P B A i ()的大小来推断患者患哪种病的可能性最大．

完备事件组的理解：所有病因都知道，且没有并发症。

定义 称事件族 ,,21B B 为样本空间Ω的一个划分（也称 ,,21B B 为一个完备的事件组），如果满足)(j i B B j i

≠=φ 且Ω=∞

=i i B 1

。进而，如还有

,,2,1,0)( =>i B P i 则称 ,,21B B 为样本空间Ω的一个正划分。

一般地，划分可用来表示按某种信息分成的不同情况的总和，若划分越细,则相应的信息更详尽。

定理1 (全概率公式) 设事件...,21B B 为样本空间Ω的一个正划分，则对任何一个事件A ,有

)()()(1

i i i B A P B P A P ∑∞

==

定理 2 (Bayes 公式) 设 ,,21B B 为样本空间Ω的一个正划分,事件A 满足

P A ()>0, 则

)

()

()()(A P B A P B P A B P i i i =

．

若将它与全概率公式结合起来, 就是Bayes 公式的以下的常用形式

∑==

m

j j j i i i B A P B P B A P B P A B P 1

)

()()

()()( (+∞≤m , ,2,1=i m )

公式的直观理解：如果我们把B i 看成是导致事件A 发生的各种可能“原因”，那么，全概率公式告诉我们，事件A 发生的概率恰好是事件A 在这些“原因”下发生的条件概率的加权平均，其中的权重分别为P B i ()．而已知“结果”找“原因”的问题则可以用Bayes 公式来计算。且告诉我们 “B i 导致A ”的可能性的大小恰与乘积)()(A B P B P i i 成比例．

2. 几个典型的例子

2.1 树状图法

例1 某商场出售的灯泡来自甲、乙、丙三个工厂，甲厂产品占80%，合格率为90%，乙厂产品占10%，合格率为95%，甲厂产品占10%，合格率为80%。某顾客购买了一灯泡，求它是合格品的概率。 2.2 一般方法（公式法）

例2 假设有两箱同种零件：第一箱内装50件，其中10件一等品；第二箱

内装30件，其中18件一等品。现从两箱中随意挑出一箱，然后从该箱中先后随机取出两个零件（取出的零件均不放回），试求： （1）先取出的零件是一等品的概率p ；

（2）在先取出的零件是一等品的条件下，第二次取出的零件仍然是一等品的条件概率q 。 解 引进下列事件：

i H ＝{被挑出的是第i 箱} （i =1,2） j A ={第j 次取出的零件是一等品}（j ＝1，2）

由条件知

2121)()(==H P H P

5

3215111)|(,)|(==H A P H A P (1)由全概率公式，知

)|()()|()()(2121111H A P H P H A P H P A P p +==

5

2

53215121=⋅+⋅= (2) 由条件概率的定义和全概率公式，知

)

()

()|(12112A P A A P A A P q ==

=

)}|()()|()({)

(1

221212111H A A P H P H A A P H P A P +

=]2930171821495091021[25⨯⨯⋅+⨯⨯⋅

=...48557.0]29

51

499[41=+

例3 采购员要购买10个一包的电器元件. 他的采购方法是：从一包中随机抽查3个, 如这3个元件都是好的,他才买下这一包. 假定含有4个次品的包数占 30%，而其余包中各含 1个次品. 求采购员拒绝购买的概率。 解 记

B B A 1241==={},{},{}

取到的是含个次品的包取到的是含个次品的包采购员拒绝购买

则B B 12,构成样本空间的一个正划分，且P B P B ().,()..120307== 又由古典概型计算知

103

1)(6

5

1)(310

392310361=-

==

-=C

C B A P C C B A P

从而由全概率公式得到

50

23

10310765103)()()()()(2211=

⋅+⋅=

+=B A P B P B A P B P A P .

例4 已知甲、乙两箱中装有同种产品，其中甲箱中装有3件合格品和3件次品，乙箱中仅装有3件合格品，从甲箱中任取3件放入乙箱后，试求从乙箱中任取一件产品是次品的概率。 解 设A 表示事件 “从乙箱中任取一件产品是次品”, 根据全概率公式, 有

∑====3

)()|()(k k X P k X A P A P

4

1

63626103

60333

36132336231336

3303=

⨯+⨯+⨯+⨯=C C C C C C C C C C C C