【附加15套高考模拟试卷】浙江省杭师大附中2019-2020下学期高三数学(理科)第二次月考考试试卷含答案

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浙江省杭州市高级中学2020届高三下学期仿真模拟考试数学试题

杭高2019学年第二学期高三高考仿真模拟卷数学试题卷一､选择题1.已知集合A={x|y=lg （4﹣x 2）}，B={y|y=3x ，x ＞0}时，A∩B=（）A. {x|x ＞﹣2}B. {x|1＜x ＜2}C. {x|1≤x≤2}D. ∅ 2.“sin 0α=”是“cos 1α=”的（）.A. 充分不必要条件B. 必要不充分条件C. 充分必要条件D. 既不充分也不必要条件3.二项式612x x ⎛⎫- ⎪⎝⎭的展开式的常数项为( ) A. 20 B. -20 C. 160 D. -160 4.如图，在矩形ABCD 中，=2=3AB BC ，，沿BD 将矩形ABCD 折叠，连接AC ，所得三棱锥A BCD -正视图和俯视图如图，则三棱锥A BCD -侧视图面积为（）A. 613B. 1813C. 213D. 313 5.函数22x y x =-的图象大致是（）A. B. C. D. 的6.一个箱子中装有形状完全相同的5个白球和()n n N *∈个黑球.现从中有放回的摸取4次，每次都是随机摸取一球，设摸得白球个数为X ，若()1D X =，则()E X =，，A. 1B. 2C. 3D. 47.已知a R ∈，函数()f x 满足：存在00x >，对任意的0x >，恒有0()()f x a f x a -≤-.则()f x 可以为（） A. ()lg f x x =B. 2()2f x x x =-+ C. ()2x f x = D. ()sin f x x = 8.已知等比数列{}n a 的前n 项和为n S ，则下列判断一定正确是（）A. 若30S >，则20200a >B. 若30S <，则20200a <C. 若21a a >，则20212020a a >D. 若2111a a >，则20212020a a < 9.已知双曲线C ：22221(0,0)x y a b a b-=>>的左、右焦点分别为1F 、2F ，O 为坐标原点，以12F F 为直径的圆O 与双曲线及其渐近线在第一象限的交点分别为P 、Q ，点B 为圆O 与y 轴正半轴的交点，若2POF QOB ∠=∠，则双曲线C 的离心率为（）A. 3+C. 1+10.在三棱锥S ABC -中，ABC ∆为正三角形，设二面角S AB C --，S BC A --，S CA B --的平面角的大小分别为,,,,2παβγαβγ⎛⎫≠ ⎪⎝⎭，则下面结论正确的是（） A. 111tan tan tan αβγ++的值可能是负数 B. 32παβγ++< C. αβγπ++> D. 111tan tan tan αβγ++的值恒为正数二､填空题11.复数z 满足：1z a i i=-+(其中0a >，i 为虚数单位)，z =则a =________；复数z 的共轭复数z 在复平面上对应的点在第________象限.12.若实数,x y 满足10102x y x y x -+≥⎧⎪+-≥⎨⎪≤⎩，①2x y -的最大值为________；②若15y ax -≤-≤恒成立，则实数a 的取值范围是________.13.在平面四边形ABCD 中，BC CD ⊥，135o B ∠=，AB =AC =5CD =，则sin ACB ∠=________，AD = ________.14.已知平行四边形ABCD 中，E 为BC 中点，点F 为线段DE 上的一点，且56AF AB AD λ=+，则=λ________，AFD ABCD S S ∆=________. 15.从0，1，2，3，4，5这6个数中随机抽取5个数构成一个五位数abcde ，则满足条件“a b c d e <<>>”的五位数的个数有____.16.已知点P 是抛物线24y x =上动点，F 是抛物线的焦点，点A 的坐标为()1,0-，则PF PA 的最小值为 ________.17.设直线l 与曲线31y x x =-+有三个不同的交点,,A B C，且AB BC ==l 的方程为 ________. 三､解答题18.已知函数()21cos cos 2f x x x x =⋅-- （1）求函数()f x 的单调递增区间及其图象的对称中心；（2）当5,1212x ππ⎡⎤∈-⎢⎥⎣⎦时，求函数()f x 的值域. 19.在四棱锥P ABCD -中，四边形ABCD 平行四边形，三角形APB为等边三角形，已知AD =2AB =，PD AB ⊥，PC =（1）求证：BD AD ⊥（2）求直线BD 与面PDC 所成的角的正弦值.20.已知正项数列{}n a ，其前n 项和为n S ，满足22n n n S a a =+，*n N ∈.（1）求数列{}n a 通项公式n a ；（2）如果对任意正整数n 都成立，求实数c 的最大值. 21.已知椭圆C ：22184x y +=的上下顶点分别为,A B ，过点()0,4P 斜率为()0k k ->的直线与椭圆C 自上而下交于,M N 两点.（1）证明：直线BM 与AN 交点G 在定直线1y =上；（2）记AGM ∆和BGN ∆的面积分别为1S 和2S ，求12S S 的取值范围. 22.已知函数()()ln f x a e x x =--.（其中e 为自然对数的底数）（1）当2a e =时，是否存在唯一的0x 的值，使得()02f x =？并说明理由；（2）若存在a R ∈，使得()0f x ka +≥对任意()0,x ∈+∞恒成立，求实数k 的取值范围. 的。

浙江省杭州市2019-2020学年第二次高考模拟考试数学试卷含解析

浙江省杭州市2019-2020学年第二次高考模拟考试数学试卷一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。

在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。

1．若,x y 满足约束条件02636x y x y ≤+≤⎧⎨≤-≤⎩，则2z x y =+的最大值为（）A ．10B ．8C ．5D ．3【答案】D 【解析】【分析】画出可行域,将2z x y =+化为122zy x =-+,通过平移12y x =-即可判断出最优解,代入到目标函数,即可求出最值. 【详解】解:由约束条件02636x y x y ≤+≤⎧⎨≤-≤⎩作出可行域如图,化目标函数2z x y +＝为直线方程的斜截式,122zy x =-+.由图可知当直线122zy x =-+过()3,0A 时,直线在y 轴上的截距最大,z 有最大值为3. 故选:D. 【点睛】本题考查了线性规划问题.一般第一步画出可行域,然后将目标函数转化为y ax bz =+ 的形式,在可行域内通过平移y ax =找到最优解,将最优解带回到目标函数即可求出最值.注意画可行域时,边界线的虚实问题. 2．已知正三棱锥A BCD -的所有顶点都在球O 的球面上，其底面边长为4，E 、F 、G 分别为侧棱AB ，AC ，AD 的中点.若O 在三棱锥A BCD -内，且三棱锥A BCD -的体积是三棱锥O BCD -体积的4倍，则此外接球的体积与三棱锥O EFG -体积的比值为（） A ．3π B ．3πC ．3πD ．243π【答案】D【解析】【分析】如图，平面EFG 截球O 所得截面的图形为圆面，计算4AH OH =，由勾股定理解得6R =，此外接球的体积为2463π，三棱锥O EFG -体积为23，得到答案. 【详解】如图，平面EFG 截球O 所得截面的图形为圆面.正三棱锥A BCD -中，过A 作底面的垂线AH ，垂足为H ，与平面EFG 交点记为K ，连接OD 、HD . 依题意4A BCD O BCD V V --=，所以4AH OH =，设球的半径为R ，在Rt OHD V 中，OD R =，343HD BC ==，133R OH OA ==，由勾股定理：2224333R R ⎛⎫⎛⎫=+ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，解得6R =，此外接球的体积为246π，由于平面//EFG 平面BCD ，所以AH ⊥平面EFG ，球心O 到平面EFG 的距离为KO ，则1262333R KO OA KA OA AH R R =-=-=-==，所以三棱锥O EFG -体积为211362434433⨯⨯⨯⨯=，所以此外接球的体积与三棱锥O EFG -体积比值为243π. 故选：D.【点睛】本题考查了三棱锥的外接球问题，三棱锥体积，球体积，意在考查学生的计算能力和空间想象能力.3．点O 在ABC ∆所在的平面内，OA OB OC ==u u u v u u u v u u u v ，2AB =u u u v，1AC =u u u v ，AO AB AC λμ=+u u u v u u u v u u u v(),R λμ∈，且()420λμμ-=≠，则BC =uu u v （） A ．73B．2C ．7D【答案】D 【解析】【分析】确定点O 为ABC ∆外心，代入化简得到56λ=，43μ=，再根据BC AC AB =-u u u r u u u r u u u r 计算得到答案. 【详解】由OA OB OC ==u u u r u u u r u u u r可知，点O 为ABC ∆外心，则2122AB AO AB ⋅==u u u r u u u r u u u r ，21122AC AO AC ⋅==u u u r u u u r u u u r ，又AO AB AC λμ=+u u u r u u u r u u u r ，所以2242,1,2AO AB AB AC AB AC AB AO AC AB AC AC AB AC λμλμλμλμ⎧⋅=+⋅=+⋅=⎪⎨⋅=⋅+=⋅+=⎪⎩u u u v u u u v u u u v u u u v u u u v u u u v u u u vu u u v u u u v u u u v u u u v u u u v u u u v u u u v ①因为42λμ-=，②联立方程①②可得56λ=，43μ=，1AB AC ⋅=-u u ur u u u r ，因为BC AC AB =-u u u r u u u r u u u r ，所以22227BC AC AB AC AB =+-⋅=u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r，即BC =u u u r故选：D 【点睛】本题考查了向量模长的计算，意在考查学生的计算能力. 4．设ln3a =，则lg3b =，则（）A ．a b a b ab +>->B ．a b ab a b +>>-C ．a b a b ab ->+>D ．a b ab a b ->>+ 【答案】A 【解析】【分析】根据换底公式可得ln 3ln10b =，再化简,,a b a b ab +-，比较ln 3,ln101,ln101-+的大小，即得答案. 【详解】10ln 3lg3log 3ln10b ===Q ，()()ln 3ln101ln 3ln101ln 3ln 3ln 3,ln 3ln10ln10ln10ln10a b a b +-∴+=+=-=-=， ln 3ln 3ln10ab ⨯=.ln 30,ln100>>Q ，显然a b a b +>-.()310,ln 3ln10e e <∴<Q ,即ln 31ln10,ln 3ln101+<∴<-，()ln 3ln101ln 3ln 3ln10ln10-⨯∴<，即ab a b <-. 综上，a b a b ab +>->. 故选：A . 【点睛】本题考查换底公式和对数的运算，属于中档题.5．在长方体1111ABCD A B C D -中，11AB AD AA ==，1DD 与平面1ABC 所成角的余弦值为（） AB．C．5D．5【答案】C 【解析】【分析】在长方体中11//AB C D ，得1DD 与平面1ABC 交于1D ，过D 做1DO AD ⊥于O ，可证DO ⊥平面11ABC D ，可得1DD A ∠为所求解的角，解1Rt ADD ∆，即可求出结论.【详解】在长方体中11//AB C D ，平面1ABC 即为平面11ABC D ，过D 做1DO AD ⊥于O ，AB ⊥Q 平面11AA D D ，DO ⊂平面111,,AA D D AB DO AB AD D ∴⊥=I ，DO ∴⊥平面11ABC D ，1DD A ∴∠为1DD 与平面1ABC 所成角，在1111,Rt ADD DD AA AD AD ∆==∴111cos DD DD A AD ∴∠===， ∴直线1DD 与平面1ABC.【点睛】本题考查直线与平面所成的角，定义法求空间角要体现“做”“证”“算”，三步骤缺一不可，属于基础题. 6．已知全集U =R ，函数()ln 1y x =-的定义域为M ，集合{}2|0?N x x x =-<，则下列结论正确的是A ．M N N =IB ．()U M N =∅I ðC ．M N U =UD ．()U M N ⊆ð【答案】A 【解析】【分析】求函数定义域得集合M ，N 后，再判断．【详解】由题意{|1}M x x =<，{|01}N x x =<<，∴M N N =I ．故选A ．【点睛】本题考查集合的运算，解题关键是确定集合中的元素．确定集合的元素时要注意代表元形式，集合是函数的定义域，还是函数的值域，是不等式的解集还是曲线上的点集，都由代表元决定．7．有一改形塔几何体由若千个正方体构成，构成方式如图所示，上层正方体下底面的四个顶点是下层正方体上底面各边的中点.已知最底层正方体的棱长为8，如果改形塔的最上层正方体的边长小于1，那么该塔形中正方体的个数至少是（）A ．8B ．7C ．6D ．4【答案】A 【解析】=4==的最上层正方体的边长小于1时该塔形中正方体的个数的最小值的求法. 【详解】最底层正方体的棱长为8，=4=，=，2=，=1=，2=， ∴改形塔的最上层正方体的边长小于1，那么该塔形中正方体的个数至少是8. 故选：A. 【点睛】本小题主要考查正方体有关计算，属于基础题.8．已知i 为虚数单位，复数z 满足()1z i i ⋅-=，则复数z 在复平面内对应的点在（） A ．第一象限 B ．第二象限C ．第三象限D ．第四象限【答案】B 【解析】【分析】求出复数z ，得出其对应点的坐标，确定所在象限．【详解】由题意i i(1i)11i 1i (1i)(1i)22z +===-+--+,对应点坐标为11(,)22- ，在第二象限．故选：B ．【点睛】本题考查复数的几何意义，考查复数的除法运算，属于基础题．9．1x <是12x x+<-的（）条件 A ．充分不必要 B ．必要不充分C ．充要D ．既不充分也不必要【答案】B 【解析】【分析】利用充分条件、必要条件与集合包含关系之间的等价关系，即可得出。

浙江省杭州师范大学附属中学2025届高三第二次模拟考试数学试卷含解析

浙江省杭州师范大学附属中学2025届高三第二次模拟考试数学试卷注意事项:1．答题前，考生先将自己的姓名、准考证号码填写清楚，将条形码准确粘贴在条形码区域内。

2．答题时请按要求用笔。

3．请按照题号顺序在答题卡各题目的答题区域内作答，超出答题区域书写的答案无效；在草稿纸、试卷上答题无效。

4．作图可先使用铅笔画出，确定后必须用黑色字迹的签字笔描黑。

5．保持卡面清洁，不要折暴、不要弄破、弄皱，不准使用涂改液、修正带、刮纸刀。

一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。

在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。

1．221a b +=是sin cos 1a b θθ+≤恒成立的（）A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件 2．已知()5x a +展开式的二项式系数和与展开式中常数项相等，则2x 项系数为（）A ．10B ．32C ．40D ．803．盒子中有编号为1，2，3，4，5，6，7的7个相同的球，从中任取3个编号不同的球，则取的3个球的编号的中位数恰好为5的概率是（）A ．235B ．835C ．635D ．37 4．下列四个图象可能是函数35log |1|1x y x +=+图象的是（） A ． B ． C ．D ．5．若62a x x ⎛⎫+ ⎪⎝⎭的展开式中6x 的系数为150，则2a =（） A ．20 B ．15C ．10D ．25 6．已知圆22670x y x +--=与抛物线()220y px p =>的准线相切，则p 的值为（）A ．1B ．2C ．12D ．4 7．如果实数x y 、满足条件10{1010x y y x y -+≥+≥++≤，那么2x y -的最大值为（）A ．2B ．1C ．2-D ．3-8．某几何体的三视图如图所示，则该几何体中的最长棱长为（）A ．32B ．25C ．26D ．279．已知双曲线2222:1x y C a b-=（0a >，0b >），以点P （,0b ）为圆心，a 为半径作圆P ，圆P 与双曲线C 的一条渐近线交于M ，N 两点，若90MPN ∠=︒，则C 的离心率为（）A ．2B ．3C ．52D ．72 10．定义在上的函数满足，且为奇函数，则的图象可能是（） A ． B ． C ． D ．11．直线l 过抛物线24y x =的焦点且与抛物线交于A ，B 两点，则4||||AF BF +的最小值是A ．10B ．9C ．8D ．7 12．若[]x 表示不超过x 的最大整数(如[]2.52=，[]44=，[]2.53-=-)，已知2107n n a ⎡⎤=⨯⎢⎥⎣⎦，11b a =，()*110,2n n n b a a n n -=-∈≥N ，则2019b =（）A ．2B ．5C ．7D ．8二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。

2020年浙江杭州西湖区浙江大学附属中学高三下学期高考模拟数学试卷-学生用卷

2020年浙江杭州西湖区浙江大学附属中学高三下学期高考模拟数学试卷-学生用卷一、选择题（本大题共10小题，每小题4分，共40分）1、【来源】 2020年浙江杭州西湖区浙江大学附属中学高三下学期高考模拟第1题4分2018年浙江台州高三一模理科第1题4分设集合P={0,1,2,3}，Q={x∈R||x|<2}，则P∩Q= ()．A. {0,1}B. {1,2}C. {0,1,2}D. {1}2、【来源】 2020年浙江杭州西湖区浙江大学附属中学高三下学期高考模拟第2题4分若复数z=i1−i，则z的虚部为（）．A. −12B. −12iC. 12D. 12i3、【来源】 2020年浙江杭州西湖区浙江大学附属中学高三下学期高考模拟第3题4分已知双曲线C:y 22−x2=1，则焦点坐标为（）．A. (±√3,0)B. (0,±√3)C. (±1,0)D. (0,±1)4、【来源】 2020年浙江杭州西湖区浙江大学附属中学高三下学期高考模拟第4题4分2019年浙江金华高三下学期高考模拟十校第4题4分若x，y满足约束条件，{y⩽xx+y⩽4y⩾−2，则z=x+2y的最大值是（）．A. 8B. 4C. 2D. 65、【来源】 2020年浙江杭州西湖区浙江大学附属中学高三下学期高考模拟第5题4分函数f(x)=(12x−2x)sin⁡x的部分图象大致为（）．A.B.C.D.6、【来源】 2020年浙江杭州西湖区浙江大学附属中学高三下学期高考模拟第6题4分设a >0，b >0则“a +b ⩽1”是“1a +1b⩾4”的（）． A. 充分而不必要条件B. 必要而不充分条件C. 充要条件D. 既不充分也不必要条件7、【来源】 2020年浙江杭州西湖区浙江大学附属中学高三下学期高考模拟第7题4分设0<p <1，已知随机变量ξ的分布列为那么，当p 在(0,1)内增大时，D(ξ)的变化是（）．A. 减小B. 增大C. 先减小后增大D. 先增大后减小8、【来源】 2020年浙江杭州西湖区浙江大学附属中学高三下学期高考模拟第8题4分已知向量a →，b →满足|a →|=|b →|=a →⋅b →=2，2c →2−(2a →+b →)⋅c →+3=0，则|c →+tb →|最小值为（）．A. √3−√22B. √3−1C. √3−12D. 129、【来源】 2020年浙江杭州西湖区浙江大学附属中学高三下学期高考模拟第9题4分如图△ABC中，点D是AB上靠近A的三等分点，点E是AC上靠近C的三等分点，沿直线DE将△ADE翻折成△A′DE，所成二面角A′−DE−B的平面角为α，则（）．A. ∠A′DB⩾α，∠A′EC⩾αB. ∠A′DB⩾α，∠A′EC⩽αC. ∠A′DB⩽α，∠A′EC⩾αD. ∠A′DB⩽α，∠A′EC⩽α10、【来源】 2020年浙江杭州西湖区浙江大学附属中学高三下学期高考模拟第10题4分2021年陕西西安雁塔区西安高新第一中学高三一模理科第12题5分已知正项数列{a n}满足a n=(12)a n+1+12a n+1，a1=a，则下列结论正确的是（）．A. 当a>1时，{a2n−1}递增，{a2n}递增B. 当a>1时，{a2n−1}递增，{a2n}递减C. 当0<a<1时，{a2n−1}递增，{a2n}递减D. 当0<a<1时，{a2n−1}递减，{a2n}递减二、填空题（本大题共7小题，共36分）11、【来源】 2020年浙江杭州西湖区浙江大学附属中学高三下学期高考模拟第11题6分2018~2019学年浙江高三上学期期中（9+1高中联盟）第11题6分2018~2019学年浙江杭州滨江区杭州市长河高级中学高三上学期期中第11题6分2018~2019学年12月浙江杭州滨江区浙江省杭州第二中学高三上学期月考第11题6分log39=；若a=log43，则2a=．12、【来源】 2020年浙江杭州西湖区浙江大学附属中学高三下学期高考模拟第12题6分空间几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积是，表面积是．13、【来源】 2020年浙江杭州西湖区浙江大学附属中学高三下学期高考模拟第13题6分在△ABC中，BC=4，点D在AC边上，且3AD=DC，AD=√3，∠C=π6，则BD=，sin⁡∠ABD=．14、【来源】 2020年浙江杭州西湖区浙江大学附属中学高三下学期高考模拟第14题6分已知(x−1)x5=a0+a1(2x−1)+a2(2x−1)2+⋯+a6(2x−1)6，则a0=，a2=．15、【来源】 2020年浙江杭州西湖区浙江大学附属中学高三下学期高考模拟第15题4分疫情期间某医院需要安排5名医生去A，B，C三家医院，每家医院至少一名医生，若医生甲去A医院，则医生乙去B医院；若医生甲不去A医院，则医生乙去A医院，则这样的排法共有种．16、【来源】 2020年浙江杭州西湖区浙江大学附属中学高三下学期高考模拟第16题4分已知点F1是椭圆x 2a2+y2b2=1(a>b>0)的左焦点，过原点作直线l交椭圆于A，B两点，M，N分别是AF1，BF1的中点，若存在以MN为直径的圆过原点，则椭圆的离心率的范围是．17、【来源】 2020年浙江杭州西湖区浙江大学附属中学高三下学期高考模拟第17题4分对任意x∈R，不等式(x+a)|x−2+a|⩾x|x−2|−a恒成立，则a的取值范围是．三、解答题（本大题共5小题，共74分）18、【来源】 2020年浙江杭州西湖区浙江大学附属中学高三下学期高考模拟第18题14分已知函数f(x)=cos⁡(x+π3)cos⁡x−14．(1) 求f(π3)的值和f(x)的单调增区间．(2) 函数f(x+θ)是奇函数(θ∈[0,π2])，求y=[f(x+θ)]2的值域．19、【来源】 2020年浙江杭州西湖区浙江大学附属中学高三下学期高考模拟第19题15分如图，已知矩形ABCD中，AB=2，AD=1，P为DC的中点，将△ADP沿着AP折起，使得BD=√3．(1) 求证：AD⊥BP．(2) 若M是BD的中点，求直线AM与平面DBC所成角的正弦值．20、【来源】 2020年浙江杭州西湖区浙江大学附属中学高三下学期高考模拟第20题15分已知{a n}是公比q>1的等比数列，且满足a2+a3=12，a1a4=32，数列{b n}满足：a n b1+ a n−1b2+⋯+a1b n=3⋅2n+1−4n−6．(1) 求数列{a n}和{b n}的通项公式．(2) 令c n=b n+2−1b n⋅b n+1⋅a n ，求证：c1+c2+⋯+c n<1−1b n+1⋅a n．21、【来源】 2020年浙江杭州西湖区浙江大学附属中学高三下学期高考模拟第21题15分如图，已知抛物线C1:x2=y，点P是圆C2:x2+(y+2)2=1上的任意一点，过点P作两直线l1，l2分别交抛物线C1于点A，C，B，D，使得AB→=13CD →．(1) 当点M为CD的中点时，证明：PM//y轴．(2) 求△PCD面积的取值范围．22、【来源】 2020年浙江杭州西湖区浙江大学附属中学高三下学期高考模拟第22题15分已知函数f(x)=2√x −√xln⁡x +kx −a ．(1) 当k =0时，若f (x )⩽0，对任意的x ∈(0,+∞)恒成立，求a 的范围．(2) 设a ⩾e ，证明：对任意的k >0，f (x )有唯一零点．（注：e 是自然对数的底数）1 、【答案】 A;2 、【答案】 C;3 、【答案】 B;4 、【答案】 D;5 、【答案】 D;6 、【答案】 A;7 、【答案】 B;8 、【答案】 C;9 、【答案】 A;10 、【答案】 B;11 、【答案】 2;√3;12 、【答案】 8;20+8√2;13 、【答案】 √7;√2114;14 、【答案】 −164;564;15 、【答案】 57;16 、【答案】 (√22,1);17 、【答案】 [1,+∞)或a =0;18 、【答案】 (1) f (π3)=−12，f(x)的单调增区间：[π3+kπ,5π6+kπ]，k ∈Z ．;]．(2) [0,14;19 、【答案】 (1) 证明见解析．;(2) 4√154．77;20 、【答案】 (1) a n=2n，b n=2n−1．;(2) 证明见解析．;21 、【答案】 (1) 证明见解析．;]．(2) [4√3,13√392;22 、【答案】 (1) a⩾2．;(2) 证明见解析．;。

2020届浙大附中高三数学第二学期模拟考试卷(一)

（1）求{an } 的通项公式；
（2）设bn
2an 1 ,证明： n 2
1 7
b1 b2
1 1
b2 b3
1 1
bn 1 n ． bn1 1 2
21、（本题满分 15 分）如图，设抛物线 y2 4x 的焦点为 F，A 是抛物线上一点，过点 A 的切线 l 与 y 轴相交于点
P，Q 是线段 AF 的中点，直线 AF 交抛物线于另一点 B．（1）求证：PQ 垂直于 y 轴；（2）求△PAB 面积的取值范围．
D．，
A
B1 A
B
D
CB
D
C
10. 设实数a,b,t 满足| a 1| = |sin b| t （） A．若t 确定，则b2 唯一确定
B．若t 确定，则a2 2a 唯一确定
C．若t 确定，则sin b 唯一确定 2
D．若t 确定，则a2 a 唯一确定
二、填空题：本大题共 7 小题，共 36 分
16.
已知 F
是椭圆C :
x2 a2
y2 b2
1a b
0 的右焦点，直线 y
b a
x 交椭圆于 A 、B 两点，若cos AFB
1 ，则 3
椭圆C 的离心率是
．
17.
已知非零向量a,b,c ，若a,b 的夹角为，c a,c b 的夹角为 3 ，且 a b 4 ， c b
4
4
14 ，则b c 的
x 2 y 3 0
A． 3 5 5
B． 2
5.
函数
f
x
ex
ex x2
的大致图象为（
）
y
y
C． 3 2 2
y

浙江省杭州市2019届高三高考命题比赛模拟数学试卷15Word版含答案

=5， 3
ξ
1
2
3
P
a
b
c
13. [ 原创 ] 多项式 x 2 2 x x 1 6 的展开式中常数项 _______ ，是 x 6 项的系数是 _______。 14. [ 原创 ] 已知直线 l : mx y 1, 若直线 l 与直线 x my 1 0 平行，则 m 的值为 ________，动直线 l 被圆 x2 2 x y2 24 0 截得的弦长最短为 ________
] （本题满分 15 分）已知正四棱锥
P ABCD 中，底面是边长为 2 的正方形，高为 2 , M 为线段 PC 的中P点。
(1) 求证： PA ∥平面 MDB ；
N
(2) N 为 AP 的中点，求 CN 与平面 MBD 所成角的正弦值。
5. [ 原创 ] 为了得到函数 y sin 3x - cos3x 的图象，可将函数 y 2 sin 3x的图象（
）
A. 左平移个单位
B.
4
向右平移个单位
4
C. 向左平移
个单位
D.
12
向右平移
个单位
12
2x 4 y 7,
6. [ 原创 ] 若 x, y 满足约束条件 2x 3y 9, 则 z 10 x 10 y 的最大值是（
x2
y2
a2 的切线，切点为 E ，延长 FE 交双曲线右支于点 P ，若 OP 2OE OF ，则
4
2
双曲线的离心率为
（）
A． 10
B
． 10
C
． 10
5
2
D
．2
9. [ 改编自步步高 ] 如图 Rt ABC 中， ACB 90 ，直线过点 A 且垂直于平面 ABC ，

杭高2020学年第二学期高三教学模拟试卷含答案

设 AB：y＝kx+1，...........2 分
联立 x2＝4y，消去 y 得，x2﹣4kx﹣4＝0，
设 A（x1，y1），B（x2，y2），G（x，y），
则 x1+x2＝4k，x1x2＝﹣4，...........4 分
所以
，
所以
，...........6 分
消去 k，得重心 G 的轨迹方程为
C． (1, 0)
D． (1, 2)
2．双曲线 x2 y2 1的左顶点到其渐近线的距离为（
）
9 16
A．2
9
B．
5
12
C．
5
D．3
3．已知一个四棱锥的正视图和俯视图如图所示，则该几何体的侧视图为（）
A．
B．
C．
D．
x 0，
4．若
x
，
y
满足约束条件
x
y
3
0，则
z
x
2
y
的取值范围是（
）
x 2 y 0，
n 1
n
3,
cn1 cn
ln n 1
2 ln n
3, 4
n
3, cn
c3
3 n3 4
, ...........14
分
c2
cn
c2
c3
1
3 4
1 3
n2
ln 2 4
ln 3 2
ln18 4
3 4
,
n N,n 2
......15 分
4
21.【解答】解：（Ⅰ）焦点 F（0，1），显然直线 AB 的斜率存在，
立，则 k 的取值范围为（）
A． 0, e2

浙江省杭州师大附中2020届高三下学期考前模拟数学试题(wd无答案)

浙江省杭州师大附中2020届高三下学期考前模拟数学试题(wd无答案)一、单选题(★★) 1. 已知 R为实数集，集合，，则（）A．B．C．D．(★) 2. 已知双曲线的顶点到渐近线的距离为，则该双曲线的离心率为（）A．B．2C．D．(★) 3. 已知实数，满足，则的最小值为（）A．-4B．-2C．0D．2(★★★) 4. 某几何体的三视图如图所示（单位： cm），该几何体的体积（单位： cm 3）是（）A．162B．126C．144D．108+36(★) 5. 若，则“ ”是“ ”的（）A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充分必要条件D ．既不充分也不必要条件(★★) 6. 函数的部分图像大致为（）A ．B ．C ．D ．(★★) 7. 已知随机变量满足下列分布列，当且不断增大时，（）12A ．增大，增大B ．减小，减小C ．增大，先增大后减小D ．增大，先减小后增大(★★★) 8. 甲、乙、丙、丁、戊、己六人按一定的顺序依次抽奖，要求甲排在乙前面，丙与丁不相邻且均不排在最后，则抽奖的顺序有（）A．72种B．144种C．360种D．720种(★★★)9. 如图，矩形中心为，现将沿着对角线翻折成，记，二面角的平面角为，直线和所成角为，则（）A．B．C．D．(★★★★) 10. 设常数，无穷数列满足，，若存在常数，使得对于任意，不等式恒成立，则的最大值为（）A．1B．C．D．二、双空题(★) 11. 已知 i是虚数单位，若，则复数 z的虚部为 __________ ，__________ ．(★★) 12. 直线过定点_____，若直线 l与直线平行，则___．(★★) 13. 在二项式的展开式中倒数第3项的系数为45，则 __________ ；含有的项的系数为 ______ ．(★★★) 14. 在中，内角的对边分别为且，则角的大小为____ ；若，，则的面积 ______ ．三、填空题(★★★) 15. 已知点，是椭圆两个不同的动点，且满足，则的值是_____．(★★★) 16. 设，是函数的两个极值点，且，则实数 b的取值范围为______．(★★★) 17. 是边长为6的正三角形，点 C满足，且，，，则的取值范围是__________．四、解答题(★★★) 18. 已知函数．（Ⅰ）当时，求的单调区间．（Ⅱ）当时，的最大值为，求的对称中心．(★★★) 19. 在正三棱台中，， BC的中点为 E，．（Ⅰ）求证：面；（Ⅱ）求与面所成角的正弦值．(★★★) 20. 已知数列是等差数列，，的前项和为，满足，是数列的前项和，且，，成等比数列．（1）求数列和的通项公式；（2）求数列前项的和．(★★★★) 21.已知抛物线的焦点为，为上异于原点的任意一点，过点的直线交于另一点，交轴的正半轴于点，且有.当点的横坐标为时，为正三角形.（Ⅰ）求的方程；（Ⅱ）若直线，且和有且只有一个公共点，（ⅰ）证明直线过定点，并求出定点坐标；（ⅱ）的面积是否存在最小值？若存在，请求出最小值；若不存在，请说明理由.(★★★★) 22. 已知函数. （Ⅰ）当时，若函数存在零点，求实数的取值范围；（Ⅱ）若恒成立，求的最小值.。

浙江省杭州师范大学附属中学2020届高三下学期考前模拟数学试卷

杭师大附中2019学年高三年级考前模拟测试本试题卷分选择题和非选择题两部分．满分150分，考试时间120分钟．请考生用笔将所有试题的答案涂、写在答题纸上．参考公式：柱体的体积公式：V sh =其中s 表示柱体的底面积，h 表示柱体的高椎体的体积公式：13V sh =其中s 表示锥体的底面积，h 表示锥体的高台体的体积公式：()1213V s s h =其中1s ，2s 分别表示台体的上、下底面积，h 表示锥体的高球的表面公式：24πS R =球的体积公式：34π3V R =，其中R 表示球的半径选择题部分（共40分）一、选择题：本大题共10小题，每小题4分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1．已知R 为实数集，集合{}02A x x =<<，{}3B x x =<，则()R C A B =（）A ．{}23x x <<B ．{}23x x ≤< C ．{}023x x x <≤<或D ．{}023x x x ≤≤<或2．已知双曲线()222210,0x y a b a b -=>>的顶点到渐近线的距离为2a，则该双曲线的离心率为（）AB ．2C ．32D．3．已知实数x ，y 满足2000x y x y x +-≤⎧⎪-≤⎨⎪≥⎩，则2z x y =-的最小值为（）A ．-4B ．-2C ．0D ．24．某几何体的三视图如图所示（单位：cm ），该几何体的体积（单位：3cm ）（） A ．126B ．162C ．144D．108+正视图侧视图俯视图5．若,x y R ∈，则“1x y +≤”是“221x y +≤”的（） A ．充分不必要条件 B ．必要不充分条件 C ．充分必要条件D ．既不充分也不必要条件6．函数()sin 4ln xf x x=的部分图像大致是（）A BC D7．已知随机变量ξ满足下列分布列，当()0,1p ∈且不断增大时，（）A ．()E ξ增大，()D ξ增大B ．()E ξ减小，()D ξ减小C ．()E ξ增大，()D ξ先增大后减小D ．()E ξ增大，()D ξ先减小后增大8．甲、乙、丙、丁、戊、己六人按一定的顺序依次抽奖，要求甲排在乙前面，丙与丁不相邻且均不排在最后，则抽奖的顺序有（） A ．72种B ．144种C ．360种D ．720种9．如图，矩形ABCD 中心为O ，BC AB >，现将DAC 沿着对角线AC 翻折成EAC ，记BOE α∠=，二面角B AC E --的平面角为β，直线DE 和BC 所成角为γ，则（） A ．βα>，2βγ> B ．βα>，2βγ< C ．βα<，2βγ>D ．βα<，2βγ<10．设常数R λ∈，无穷数列{}n a 满足11a =-，2113n n a a λ+=+，若存在常数M ，使得对于任意*n N ∈，不等式n a M ≤恒成立，则λ的最大值为（） A ．1B ．12C ．23D ．34非选择题部分（共110分）二、填空题：本大题共7小题，多空每题6分，单空每题4分，共36分．11．已知i 是虚数单位，若()1234z i i ⋅+=+，则复数z 的虚部为__________，z =__________． 12．直线:10l mx y m -++=过定点_________，若直线l 与直线20x my -+=平行，则m =_________．13．在二项式n的展开式中倒数第3项的系数为45，则n =__________；含有3x 的项的系数为__________．14．在ABC 中，内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c 且sin cos B B =，则角B 的大小为__________；若3b =，()sin 3sin sin a A a B c C +-=，则ABC 的面积S =__________．15．已知点()11,A x y ，()22,B x y 是椭圆2212x y +=两个不同的动点，且满足1122x y x y ⋅+⋅=2212x x +的值是__________．16．设1x ，2x 是函数()()322,032a b f x x x a x a =+->的两个极值点，且122x x +=，则实数b 的取值范围为__________．17．QAB 是边长为6的正三角形，点C 满足QC mQA nQB =+，且0m >，0n >，234m n +=，则QC的取值范围是__________．三、解答题：本大题共5小题，共74分．解答应写出文字说明、证明过程和演算步骤． 18．已知函数()()sin sin f x x x α=⋅+．（Ⅰ）当π2α=时，求()f x 的单调区间．（Ⅱ）当π0,2α⎛⎫∈ ⎪⎝⎭时，()f x 的最大值为34，求()f x 的对称中心． 19．在正三棱台111ABC A B C -中，111222A B AB AA ===，BC 的中点为E ，11114A F AC =．（Ⅰ）求证：//EF 面11AAB B ；（Ⅱ）求1AB 与面11ACC A 所成角的正弦值．20．已知数列{}n a 是等差数列，11a =，{}n a 的前n 项和为n S ，满足22n n n S a a =+，n T 是数列{}n b 的前n 项和，且n a1n a +成等比数列．（Ⅰ）求数列{}n a 和{}n b 的通项公式；（Ⅱ）求数列()()1112nn nb S ⎧⎫-++⎪⎪⎨⎬⎪⎪⎩⎭前n 项的和n U ．21．已知抛物线()2:20C y px p =>的焦点为F ，A 为C 上异于原点的任意一点，过点A 的直线l 交抛物线C 于另一点B ，交x 轴正半轴于点D ，且有FA FD =．当点A 的横坐标为3时，ADF 为正三角形．（Ⅰ）求C 的方程；（Ⅱ）若直线1//l l ，且1l 和C 有且只有一个公共点E ．（ⅰ）证明直线AE 过定点，并求出定点坐标；（ⅱ）ABE 的面积是否存在最小值？若存在，请求出最小值；若不存在，请说明理由．22．已知函数()()()()()232ln 211,f x x x x x a x a x b a b R =+++--++∈．（Ⅰ）当3a =，若函数()f x 存在零点，求实数b 的取值范围；（Ⅱ）若()0f x ≥恒成立，求2b a -的最小值．杭师大附中2019学年高三年级考前模拟测试一、选择题二、填空题11．-212．()1,1-；-113．10；21014．π4；8 15．216．⎣⎦17．⎫⎪⎪⎣⎭三、解答题18．（Ⅰ）得()1sin 22f x x =单调增区间πππ,π44k k ⎡⎤-++⎢⎥⎣⎦，单调减区间π3ππ,π44k k ⎡⎤++⎢⎥⎣⎦．（Ⅱ）()()[]sin sin sin sin cos cos sin f x x x x x x ααα=+=+111sin sin 2cos cos 2cos 222x x ααα⎛⎫⎛⎫=-+ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，得113cos 224α+=，π3α=，知()1111πsin 2cos 2sin 2444426f x x x x ⎛⎫=-+=+- ⎪⎝⎭，对称中心ππ1,1224k ⎛⎫+⎪⎝⎭． 19．（Ⅰ）取11A B 上的点G ，使得11114AG A B =，//FG BE ，FGBE 是平等四边形， ∴//EF BG ，BG ⊂面11ABB A ，//EF 面11ABB A ．（Ⅱ）取11A C 的中点O 建立如图所示的空间直角坐标系，(),,A x y z ，1160AA B ∠=︒，11AA =，1AO =，1AB =， ()()22222222211111x y z x y z x y z ⎧-++=⎪⎪+++=⎨⎪-++=⎪⎩，12x =，6y =，3z =，1,263A ⎛ ⎝⎭，()1B ，()11,0,0A ，设面11A ACC 的法向量为(),,n a b c =，10n OA n OA ⎧⋅=⎪⎨⋅=⎪⎩，()0,2n =-， 12sin cos ,3n B A θ==；方法二：几何法转化为三棱锥．20．（Ⅰ）22n n n S a a =+，21112n n n S a a ---=+，得22112n n n n n a a a a a --=+--，2211n n n n a a a a ---=+，即11n n a a -=-，n a n =，又11a =满足，即n a n =．()1n T n n =+，()12,2n n n b T T n n -=-=≥，又112b T ==满足上式，即2n b n =．（Ⅱ）当n 为奇数时，11111111112233411n U n n n n ⎡⎤⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫=-+++-++++-+ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎢⎥-+⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎣⎦111112122311n n n ⎡⎤⎛⎫⎛⎫⎛⎫+-+-++-=- ⎪ ⎪ ⎪⎢⎥++⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎣⎦，当n 为偶数时，11111111223341n U n n ⎡⎤⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫=-+++-++++ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎢⎥-⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎣⎦11111102231n n ⎡⎤⎛⎫⎛⎫⎛⎫+-+-++-= ⎪ ⎪ ⎪⎢⎥+⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎣⎦． 21．解析：（Ⅰ）由题意知,02P F ⎛⎫⎪⎝⎭，设()(),00D t t >，则FD 的中点为2,04p t +⎛⎫⎪⎝⎭，因为FA FD =，由抛物线的定义知：322p pt +=-，解得3t p =+或3t =-（舍去）．由234p t+=，解得2p =．所以抛物线C 的方程为24y x =．（Ⅱ）（i ）由（Ⅰ）知()1,0F ，设()()0000,0A x y x y ≠，()(),00D D D x x >，因为FA FD =，则011D x x -=+，由0D x >得02D x x =+，故()02,0D x +，故直线AB 的斜率为02AB y k =-，因为直线1l 和直线AB 平行，设直线1l 的方程为02y y x b =-+，代入抛物线方程得200880b y y y y +-=，由题意20064320b y y ∆=+=，得02b y =-．设(),E E E x y ，则04E y y =-，204E x y =．当204y ≠时，0000220002044444E ABE y y y y y k y x x y y +-==-=---，可得直线AE 的方程为()0002044y y y x x y -=--，由2004y x =，整理可得()020414y y x y =--，直线AE 恒过点()1,0F ．当204y =时，直线AE 的方程为1x =，过点()1,0F ，所以直线AE 过定点()1,0F ．（ii ）由（i ）知，直线AE 过焦点()1,0F ，所以()000011112AE AF FE x x x x ⎛⎫=+=+++=++ ⎪⎝⎭，设直线AE 的方程为1x my =+，因为点()00,A x y 在直线AE 上，故001x m y -=，设()11,B x y ，直线AB 的方程为()0002y y y x x -=--，由于00y ≠，可得0022x y x y =-++，代入抛物线方程得2008840y y x y +--=，所以0108y y y +=-，可求得1008y y y =--，10044x x x =++，所以点B 到直线AE 的距离为d =414x ⎫+==．则ABE的面积001142162S x x ⎫⎛⎫=⨯++≥ ⎪⎝⎭．22．【答案】（Ⅰ）(),4-∞；（Ⅱ）()min 22b a -=-．试题解析：（Ⅰ）由题意，得()()232ln 224f x x x x x x x b =++--+，()0,x ∈+∞．所以()()()22121ln 644f x x x x x x x x'=+++⋅+-- ()221ln 633x x x x =++-- ()()21ln 33x x x =++-．设()ln 33g x x x =+-，由于()g x 在()0,+∞上单调递增，且()10g =，当01x <<时，()0f x '<，所以()f x 在()0,1上单调递减；当1x >时，()0f x '>，所以()f x 在()1,+∞上单调递增．当()0,x ∈+∞时，()()min 14f x f b ==-+．因为函数()f x 存在零点，且x →+∞时，()f x →+∞，所以()min 40f x b =-+≤，解得4b ≤，即实数b 的取值范围为(),4-∞．（Ⅱ）由题意，得()()()()()22121ln 6211f x x x x x x a x a x'=+++⋅++--+()()21ln 3x x x a =++-，因为()0,x ∈+∞，令()0f x '=，得ln 30x x a +-=．设()ln 3h x x x a =+-，由于()h x 在()0,+∞上单递增，当0x →时，()h x →-∞；x →+∞时，()h x →+∞，所以存在唯一()00,x ∈+∞，使得()00h x =，即003ln a x x =+．当00x x <<时，()0f x '<，所以()f x 在()00,x 上单调递增；当0x x >时，()0f x '>，所以()f x 在()0,x +∞上单调递增．当()0,x ∈+∞时，()()()()()2320000000min ln 211f x f x x x x x a x a x b ==++---++()()()2320000000000ln 213ln 3ln 1x x x x x x x x x x b =+++---+++ 320002x x x b =---+．因为()0f x ≥恒成立，所以()32000min 20f x x x x b =---+≥，即320002b x x x ≥++．323200000000222262ln b a x x x a x x x x x -≥++-=++--320000252ln x x x x =+--．设()32252ln x x x x x ϕ=+--，()0,x ∈+∞，则()22345x x x x ϕ'=+--()275231x x x x x--=-+ ()()21372x x x x -++=，当01x <<时，()0x ϕ'<，所以()x ϕ在()0,1上单调递减；当1x >时，()0x ϕ'>，所以()x ϕ在()1,+∞上单调递增．当()0,x ∈+∞时，()()min 12x ϕϕ'==-．所以当01x =，即003ln 3a x x =+=，3200024b x x x =++=时，()min 22b a -=-．。

2019届浙江省杭州市高考命题比赛模拟(十五)数学试卷(PDF版)

E
D
P
20.(本小题满分 15 分)
B
C
M
A (第 19 题图)
(2018·温州模拟)已知数列{an}的前 n 项和为 Sn，a1＝32，2Sn＝(n＋1)an＋1(n≥2)．（1）求{an}的通项公式；
（2）设 bn＝an＋1 12(n∈N*)，数列{bn}的前 n 项和为 Tn，证明：Tn<170(n∈N*)．
柱体的体积公式 V=Sh 其中 S 表示锥体的底面积，h 表示锥体的
台体的体积公式：
V=
1 3
h（
S1

S1S2 S2 ）
其中 s1, s2 分别表示台体的上、下底面积，
h 表示台体的高
如果事件 A，B 互斥，那么 P(A B) P(A) P(B)
第 I 卷（选择题共 40 分）
∴该几何体的表面积 S=
=
，
故选：A
第 7 题：【考点】双曲线的简单性质．【分析】求出双曲线的渐近线方程，设两条渐近线的夹角为θ ，由两直线的夹角公式，可得 tanθ =tan∠MON，求出 F 到渐近线 y= x 的距离为 b，即有|ON|=a，△OMN 的面积可以
表示为 •a•atanθ ，结合条件可得 a，b 的关系，再由离心率公式即可计算得到．
____. 15．兄弟三人同在某单位上班，该单位规定，每位职工可以在每周 7 天中任选 2 天休息，一旦选定以后不再改动，则兄弟三人恰有两人休息日完全一致的概率为________；设兄弟三人中休息日完全一致的人数为 X，则随机变量 X 的数学期望是____________.
16.已知数列 an 是首项为 a1＝14，公比为 q＝14的等比数列，设 bn ＋2＝3log14 an (n∈N*)，数列 cn 满足 cn an bn .则 an =________, bn = ___________,数列{cn}的前 n 项和 Sn＝

浙江省杭州师范大学附属中学 2020届高三下学期考前模拟试卷(数学)无答案

0
1
2
P
1 p2 2 p 1 p
p2
A． E 增大， D 增大 C． E 增大， D 先增大后减小
B． E 减小， D 减小 D． E 增大， D 先减小后增大
8.甲、乙、丙、丁、戊、己六人按一定的顺序依次抽奖，要求甲排在乙前面，丙与丁不相邻且均不排在最后，则抽奖的顺序有（）
2
4
19. 在正三棱台 ABC — A1B1C1 中， A1B1 2AB 2AA1 2，BC 的中点为 E ，
A1F
1 4
A1C1
.
（Ⅰ）求证： EF || 面AA1B1B ；
C E A B
C
（Ⅱ）求 AB1 与面 ACC1A1 所成角的正弦值.
A
F
B
20.已知数列 an是等差数列，a1 1, an的前 n 项和为 Sn ，满足 2Sn an2 an ，Tn 是数列 bn 的前 n 项和，且 an , Tn , an1 成等比数列. （Ⅰ）求数列 an和 bn的通项公式；
）
A.126
B.162
C.144
5.若 x, y R ，则“ x y 1”是“ x2 y2 1”的（
D.108 36 2
）
A．充分不必要条件
B．必要不充分条件
C．充分必要条件
D．既不充分也不必要条件
6.函数 f (x) sin 4x 的部分图像大致是（） ln | x |
7．已知随机变量满足下列分布列，当 p 0，1 且不断增大时，（）
A．72 种
B．144 种
C．360 种
D．720 种
9．如图，矩形 ABCD 中心为 O, BC AB ，现将△DAC 沿着对角线 AC 翻折成 EAC ，

2020年浙江师大附中高考数学模拟试卷(三)(附答案详解)

2020年浙江师大附中高考数学模拟试卷（三）1. 已知i 为虚数单位，则z =−i1+2i =( )A. −25−15iB. −25+15iC. 25−15iD. 25+15i2. 设集合U ={x ∈Z|1<x <6}，A ={3,5}，B ={x|x 2−3x −4<0}，∁U (A ∩B )=( )A. {2,4}B. {2,4,5}C. {2,3,4,5}D. {2,3,4,6}3. 如图，在平行四边形ABCD 中，E 是BC 的中点，F 是线段AE 上靠近点A 的三等分点，则DF ⃗⃗⃗⃗⃗ =( )A. −13AB ⃗⃗⃗⃗⃗ +23AD ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ B. 13AB ⃗⃗⃗⃗⃗ −23AD ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ C. 13AB ⃗⃗⃗⃗⃗−56AD ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ D. 13AB ⃗⃗⃗⃗⃗ −34AD ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ 4. 已知函数f(x)={x 2,x ≤0−x 2,x >0，则下列结论中不正确的是( )A. f(−2)=4B. 若f(m)=9，则m =±3C. f(x)是奇函数D. f(x)在R 上单调函数5. 已知函数f(x)=sin(2x −π6)，则“b −a >π2”是“函数f(x)在(a,b)上不单调”的( )A. 必要不充分条件B. 充分不必要条件C. 充分必要条件D. 既不充分也不必要条件6. 若(2x 2−3x )5的展开式中不含x a (a ∈R)项，则a 的值可能是( )A. −5B. 1C. 2D. 77. 某师范院校为响应国家教育脱贫攻坚号召，决定每年安排5名师范生到某贫困县的3所学校进行支教，要求每所学校至少安排1名师范生，且1名师范生只去一所学校，则不同的安排方法有( )A. 90种B. 120种C. 150种D. 180种8. 在正四面体ABCD 中，已知E ，F 分别是AB ，CD 上的点(不含端点)，则( )A. 不存在E ，F ，使得EF ⊥CDB. 存在E ，使得DE ⊥CDC. 存在E ，使得DE ⊥平面ABCD. 存在E ，F ，使得平面CDE ⊥平面ABF9. 已知双曲线C ：x 23−y 2=1的左焦点为F ，过F 的直线l 交双曲线C 的左、右两支分别于点Q ，P ，若|FQ|=t|QP|，则实数t 的取值范围是( )A. (0,2√3−36]B. (2√3−36,1]C. (−∞,2√3−36]D. (2√3+36,2] 10. 已知函数f(x)={|log 2(−x)|,x <0−log 2|1−x|,x ≥0，若f(x 1)=f(x 2)=f(x 3)=f(x 4)，且x 1<x 2<x 3<x 4，则下列结论：①x 1x 2=1，②x 3+x 4=1，③0<x 1x 2x 4<1，④x 1+x 2+x 3+x 4<0，其中正确的个数是( )A. 1B. 2C. 3D. 411. 随机变量ξ的所有可能取值为1，2，3且P =(ξ=k)=log a k(k =1,2,3)，则a = (1) ，E(ξ)= (2) ．12. 如图所示为某几何体的三视图，网格纸上小正方形的边长均为1，则该几何体的体积为 (1) ，表面积为 (2) ．13. 已知直线l ：y =x −1经过抛物线C ：y 2=2px(p >0)的焦点，且与抛物线C 交于点A ，B 两点，则p = (1) ，|AB|= (2) ．14. 定义max{a,b}={a,a ≥bb,a <b，已知实数x ，y 满足不等式组{|x|≤2|y|≤2max{x,y}≥0，则目标函数z =x +2y 的最大值为______．15. 已知数列{a n }，{b n }，且a 1=b 1=1，a n+1=a n +1，b n+1=b n +2n ，则b n = (1) ；设c n =b n +1a n2，则c n 的最小值为 (2) ．16. 已知f(x)的定义域为(−∞,0)∪(0,+∞)，f′(x)是f(x)的导函数，且满足xf′(x)−2f(x)>0，若f(x)是偶函数，f(1)=1，则不等式f(x)>x 2的解集为______． 17. 在△ABC 中，BC =√3AC,∠BAC =π3，点D 与点B 分别在直线AC 的两侧，且AD =1，DC =√3，则BD 的长度的最大值是______． 18. 已知函数f(x)=sin(2x +π6)+12cos 2(x −π6)．(1)求f(x)的最小正周期以及f(π12)的值；(2)若g(x)=f(π2−x)，求g(x)在区间[−π4,π6]上的最值．19.如图，△ABC为正三角形，半圆O以线段BC为直径，D是圆弧BC上的动点(不包括B，C点)平面ABC⊥平面BCD．(1)是否存在点D，使得BD⊥AC？若存在，求出点D的位置，若不存在，请说明理由；(2)∠CBD=30°，求直线AC与平面ABD所成角的正弦值．20.已知S n为数列{a n}的前n项和，且a2=2，2S n=na n+n，数列{b n}的通项公式为b n=3a n，(1)证明：数列{a n}为等差数列；(2)设数列{b n}前n项的和为T n，n∈N∗，若C n=(−1)n+14T n+3T n⋅T n+1，且对于任意的正整数n，C1+C2+⋯+C n<√m−1−m+4112恒成立，求实数m的取值范围．21.在平面直角坐标系xOy中，已知椭圆C1：x22+y2=1，C2：x24+y22=1，设直线l与椭圆C1切于点M，交椭圆C2于点A，B，设直线l1平行于l，且与椭圆C2切于点N．(1)求证：直线MN恒过原点O；(2)若点M为线段ON上一点，求四边形OANB的面积．22.已知函数f(x)=x−alnx(a∈R)．(1)当a=−1时，若存在唯一的实数x使得f(x)=x3−2ex2+tx成立，求t的值；(2)若函数f(x)有2个零点x1，x2(x1≠x2)，求a的取值范围，并证明：1x1+1x2<1．答案和解析1.【答案】A【解析】解：z =−i1+2i =−i(1−2i)(1+2i)(1−2i)=−25−15i ．故选：A ．直接利用复数代数形式的乘除运算化简得答案．本题考查复数代数形式的乘除运算，是基础的计算题．2.【答案】B【解析】解：集合U ={x ∈Z|1<x <6}={2,3,4,5}， B ={x|x 2−3x −4<0}=(−1,4)，因为A ={3,5}，则A ∩B ={3}，则∁U (A ∩B )={2,4,5}，故选：B ．先求B ，再求交集，再求补集．本题考查集合交并补，属于基础题．3.【答案】C【解析】解：由可知，DF ⃗⃗⃗⃗⃗ =DA ⃗⃗⃗⃗⃗ +AF ⃗⃗⃗⃗⃗ =−AD ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ +13AE ⃗⃗⃗⃗⃗ =−AD ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ +13(AB ⃗⃗⃗⃗⃗ +BE ⃗⃗⃗⃗⃗ )=−AD ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ +13AB ⃗⃗⃗⃗⃗ +16AD ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =13AB ⃗⃗⃗⃗⃗ −56AB ⃗⃗⃗⃗⃗ ，故选：C ．利用平面向量的基本定理，用AB ⃗⃗⃗⃗⃗ 和AD ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ 线性表示DF ⃗⃗⃗⃗⃗ 向量即可．本题主要考查了平面向量的基本定理，以及向量的线性表示，是基础题．4.【答案】B【解析】解：∵f(x)={x 2,x ≤0−x 2,x >0，A ：f(−2)=4，故正确；B ：若f(m)=9则m 2=9，则m =−3，故B 错误；C ：由f(x)={x 2,x ≤0−x 2,x >0可得f(−x)={−x 2,x ≤0x 2,x >0，∴−f(x)={−x 2,x ≤0x 2,x >0=f(−x)，故正确；D ：结合分段函数的性质及二次函数的性质可知f(x)在R 上单调递增，故正确．故选：B ．由已知结合分段函数的性质及函数的奇偶性及单调性的定义即可分别判断．本题主要考查了分段函数的性质及函数的奇偶性及单调性的定义的应用，属于基础试题．5.【答案】B【解析】解：函数f(x)=sin(2x −π6)的周期T =π，b −a >T2，故函数f(x)在(a,b)不单调，充分性；又函数f(x)在(a,b)上不单调，只需满足(a,b)包含最值点，故不必要．故选：B ．由b −a >T2可知函数f(x)在(a,b)不单调，充分性；又函数f(x)在(a,b)上不单调，只需满足(a,b)包含最值点，故不必要，得到答案．本题考查了充分不必要条件，意在考查学生的推断能力．6.【答案】C【解析】解：由题意可得，二项展开式的通项为：T r+1=∁5r (2x 2)5−r⋅(−3x )r =(−3)r ⋅∁5r ⋅25−r⋅x 10−3r ； ∵r =0，1，2，3，4，5，∴10−3r =10，7，4，1，−2，−5， ∴a 的值可能是2．故选：C ．先求二项展开式的通项为T r+1=∁5r (2x 2)5−r ⋅(−3x )r =(−3)r ⋅∁5r ⋅25−r⋅x 10−3r ，然后根据r 的可能取值，可求10−3r 的值，进而可判断a ．本题主要考查了利用二项展开式的通项求解二项展开式的项，解题的关键是熟练应用基本公式．7.【答案】C【解析】解：根据题意，分2步进行分析：①将5名师范生分成3组，若分为1、1、3的三组，有C 53=10种方法，若分为1、2、2的三组，有C 51C 42C 22A 22=15种方法，则有10+15=25种分组方法；②将分好的三组全排列，安排到3所学校，有A 33=6种情况，则25×6=150种安排方法；故选：C ．根据题意，分2步进行分析：①将5名师范生分成3组，②将分好的三组全排列，安排到3所学校，由分步计数原理计算可得答案．本题考查排列、组合的应用，注意要先分组，再进行排列，属于基础题．8.【答案】D【解析】解：(1)对于A ，D 选项，取E ，F 分别为AB ，CD 的中点如图：因为A −BCD 是正四面体，所以它的各个面是全等的等边三角形．所以CE =DE ，所以EF ⊥CD ，同理可证EF ⊥AB.故A 错误；又因为AB ⊥CE ，AB ⊥DE ，且CE ∩DE =E ，故AB ⊥平面CED ，又AB ⊂平面ABF ，所以平面ABF ⊥平面CED.故D 正确．(2)对于B 选项，将C 看成正三棱锥的顶点，易知当E 在AB 上移动时，∠CDE 的最小值为直线CD 与平面ABD 所成的角，即(1)中的∠CDE ，显然为锐角，最大角为∠CDB =∠CDA =60°，故当E 在AB 上移动时，不存在E ，使得DE ⊥CD.故B 错误．(3)对于C 选项，将D 看成顶点，则由D 向底面作垂线，垂足为底面正三角形ABC 的中心，不落在AB 上，又因为过空间中一点有且只有一条直线与已知平面垂直，故不存在E ，使得DE ⊥平面ABC ，故C 错误．故选：D ．对于A ，D 两项：当E ，F 分别是AB ，CD 的中点时，易证EF ⊥CD ，且平面CDE ⊥平面ABF ．对于B ：可利用E 在AB 上移动时，∠CDE 的范围判断．对于C ：可将D 看成三棱锥的顶点，则过D 做底面的垂线只有一条，即高线，从而否定C ．本题考查了空间线线垂直、线面垂直以及面面垂直之间的相互转化．同时也考查了正四面体的性质，以及学生的空间想象能力以及逻辑推理能力．属于中档题．9.【答案】A【解析】解：根据条件可得F(−2,0)，设P(x 1,y 1)，Q(x 2,y 2)，则FQ ⃗⃗⃗⃗⃗ =(x 2+2,y 2)，QP ⃗⃗⃗⃗⃗ =(x 1−x 2,y 1−y 2)，因为|FQ|=t|QP|，则(x 2+2,y 2)=t(x 1−x 2,y 1−y 2)，所以x 2=tx 1−21+t，y 2=ty11+t ，又因为P 、Q 都在双曲线上，所以{x 12−3y 12=3(tx 1−2)2−3(ty 1)2=3(1+t)2，整理可得x 1=1−6t4t ，易知x 1≥√3，所以1−6t 4t≥√3，又t >0，所以0<t ≤2√3−36，即实数t 的取值范围是(0,2√3−36)，故选：A ．设P(x 1,y 1)，Q(x 2,y 2)，利用坐标向量法表示可得x 2=tx 1−21+t，y 2=ty11+t ，带入双曲线可得x 1=1−6t 4t≥√3，解得即可．本题考查双曲线的几何性质，直线与双曲线的位置关系，考查学生的逻辑推理能力和运算求解能力．10.【答案】B【解析】解：函数f(x)的图象如右图所示：若f(x1)=f(x2)=f(x3)=f(x4)，且x1<x2<x3<x4，则x1<−1<x2<0<x3<1<x4<2．由f(x1)=f(x2)可得：log2(−x1)=−log2(−x2)，即log2(−x1)+log2(−x2)=log2(x1x2)=0，∴x1x2=1，故①正确；由f(x3)=f(x4)可得：−log2(1−x3)=−log2(x4−1)，即1−x3=x4−1，∴x3+x4=2，故②错误；又x1x2x4=∈(1,4)，故③错误；∵x1<−1<x2<0，x1x2=1，x3+x4=2，∴x1+x2+x3+x4=1x2+x2+2，∵x2∈(−1,0)，∴−x2+1−x2>2，∴1x2+x2<−2，∴x1+x2+x3+x4<−2+2=0，故④正确．所以正确的个数为2．故选：B．由已知画出图象，求得x1x2=1，x3+x4=2，再把x1x2x4与x1+x2+x3+x4分别转化为x4与x2的关系式，进而判断出正确的个数，选出正确选项．本题考查数形结合、对数运算及基本不等式的应用，属于中档题．11.【答案】65log62【解析】解：由随机变量分布列的性质可知，P(ξ=1)+P(ξ=2)+P(ξ=3)=1，即log a1+log a2+log a3=1，解得a=6．∴E(ξ)=1×log61+2×log62+3×log63=log632=5log62.故答案为：6，5log62.先根据分布列的性质，概率和为1，可以得出a的值，再根据数学期望的算法即可得解．本题考查离散型随机变量的分布列和数学期望，考查学生的运算能力，属于基础题．12.【答案】48+3√5+√13【解析】解：由正视图和俯视图均为三角形可知该几何体是锥体，再结合侧视图可以确定是一个四棱锥．如图所示：可以将该四棱锥O−ABCD(图中蓝线部分对应的四棱锥)置于长、宽都为2，高为3的长方体ABCD−MNPQ中，其中O为MN的中点．故V=13S矩形ABCD⋅AM=13×2×3×2=4．易知△AOD，△COB是全等的直角三角形，AO=BO=√22+12=√5，∴S△AOD=S△BOC=12×√5×3=3√52．△COD底边CD上的高为DM=√32+22=√13，S△COD=12CD×DM=12×2×√13=√13．S△AOB=12AB×AM=12×2×2=2．底面矩形ABCD的面积为AB×AD=2×3=6．故该四棱锥的表面积为S△AOB+S△COB+S△COD+S△AOD+S矩形ABCD=8+3√5+√13．故答案为：4，8+3√5+√13．将这个几何体放在一个长方体中，容易找出它的直观图，是一个一个侧面水平放置的四棱锥．然后计算其体积与表面积即可．本题考查了三视图的视图问题，以及空间四棱锥的体积及表面积的计算问题．同时考查了学生的直观想象、逻辑推理以及数学运算等数学核心素养．13.【答案】28【解析】解：根据条件得到抛物线的焦点为(p2,0)，故0=p2−1，解得p =2，所以抛物线方程为y 2=4x ，联立{y 2=4x y =x −1，整理可得x 2−6x +1=0，则x A +x B =6，所以|AB|=x A +x B +2=6+2=8，故答案为2，8．焦点为(p 2,0)，带入直线方程即可求出p ，联立直线与抛物线方程，结合抛物线的定义可得|AB|=x 1+x 2+p ，并结合x 1+x 2=6，即可得到弦长AB ．本题考查了抛物线的定义、标准方程和简单几何性质等知识，属于中档题．14.【答案】6【解析】解：画出满足条件的平面区域，如图示：A(2,2)目标函数z =x +2y 过A(2,2)时z 取得最大值，最大值是6，故答案为：6．先画出满足条件的平面区域，求出面积即可，再结合图象分别求出3x +2y 和x +3y 的最大值，从而求出答案．本题考察了简单的线性规划问题，考察数形结合思想，是一道基础题．15.【答案】2n −189【解析】解：因为a 1=b 1=1，a n+1=a n +1，b n+1=b n +2n ，所以：a n −a n−1=1；所以：数列{a n }是首项为1，公差为1的等差数列；∴a n=1+(n−1)=n；∵b n+1=b n+2n⇒b n=(b n−b n−1)+(b n−1−b n−2)+⋯+(b2−b1)+b1=2n−1+ 2n−2+⋯+21+20=1×(1−2n)1−2=2n−1；即b n=2n−1；∴c n=b n+1a n2=2nn2；∵c n+1−c n=2n+1(n+1)2−2nn2=2n⋅(n2−2n−1)(n+1)2⋅n2；因为：f(n)=n2−2n−1=(n−1)2−2；对称轴为n=1，开口向上，其最小值为f(1)=−2，且f(2)=−1，f(3)>0即数列{c n}前三项递减，从第三项开始其递增；故c n的最小值为c3=2332=89．故答案为：2n−1；89．根据递推关系式找到数列{a n}，{b n}的规律，即可求其通项；进而得到数列{c n}的通项，相邻项作差判断其单调性即可求解结论．本题主要考查由数列的递推关系式求数列的通项公式，同时考查等比数列前n项和，考查推理能力，属于中档题．16.【答案】(−∞,−1)∪(1,+∞)【解析】解：令g(x)=f(x)x2(x≠0)，则g′(x)=x2f′(x)−2xf(x)x4=xf′(x)−2f(x)x3，因为足xf′(x)−2f(x)>0，所以，当x>0时，g′(x)>0，所以g(x)在(0,+∞)上单调递增．又f(x)是偶函数，故g(x)=f(x)x2(x≠0)也是偶函数，而f(1)=1，故g(1)=f(1)12=f(1)=1，因此，f(x)>x2⇔f(x)x2>1，即g(x)>g(1)，即g(|x|)>g(|1|)所以，|x|>1，解得：x>1或x<−1．则不等式f(x)>x2的解集为(−∞,−1)∪(1,+∞)，故答案为：(−∞,−1)∪(1,+∞)．构造函数g(x)=f(x)x 2(x ≠0)，依题意可知它是偶函数且在(0,+∞)上单调递增，于是f(x)>x 2等价转化为g(x)>g(1)，即g(|x|)>g(|1|)⇒|x|>1，从而可得答案．本题考查利用导数研究函数的单调性，构造函数g(x)=f(x)x 2(x ≠0)，并判断它为偶函数且在(0,+∞)上单调递增是关键，考查等价转化思想与逻辑思维能力及运算能力，属于中档题．17.【答案】3√3【解析】解：在三角形ABC 中，设AC =x ，则BC =√3x ，且√3−1<x <√3+1．由正弦定理得AC sinB =BCsin π3，解得sinB =12，显然B 为锐角，故B =π6． ∴∠ACB =π2．设∠ACD =α，∴∠BCD =π2+α．∴在△BCD 中，BD 2=(√3x)2+√32−2×√3×√3xcos(π2+α) =3(x 2+1)+6xsinα……①．又∵在△ACD 中，cosα=x 2+3−12√3x=x 2+22√3x．∴sinα=√−x 4+8x 2−42√3x.代入①式得：BD 2=3(x 2+1)+√3√−x 4+8x 2−4．令t =x 2+1，则上式可化为y =3t +√3×√−t 2+10t −13，(5−2√3<t <5+2√3)……②． ∴y′=3+√3(−2t+10)2√−t 2+10t−13，令y′=0得√3=t−5√−t 2+10t−13，可见t >5．即t 2−10t +16=0，∴t =8或t =2(舍)将t =8代入②式得BD 2=27，故BD =3√3.(因为开区间内唯一的极值点即为该函数的最值点) 故答案为：3√3．根据BC =√3AC,∠BAC =π3可分析出△ABC 是直角三角形，画出图形，可设∠ACD =α，借助于余弦定理在三角形BCD 中表示出BD 2，然后再利用三角形ACD 借助于余弦定理找到x与α角的关系，代入BD2表达式，利用导数研究函数最值的方法求解．本题考查了利用正余弦定理解三角形的问题，同时也考查了导数在实际优化问题中的应用．还考查了学生的逻辑推理能力和数学运算能力．难度较大，18.【答案】解：(1)f(x)=sin(2x+π6)+12cos2(x−π6)=sin(2x+π6)+12×1+cos(2x−π3)2=(√32sin2x+12cos2x)+14(12cos2x+√32sin2x)+14=5√38sin2x+58cos2x+14=54sin(2x+π6)+14；所以f(x)的最小正周期为T=2π2=π，f(π12)=54sin(2×π12+π6)+14=54×√32+14=5√3+28；(2)由g(x)=f(π2−x)=54sin[(π−2x)+π6]+14=54sin(2x−π6)+14，当x∈[−π4,π6]时，2x−π6∈[−2π3,π6]，所以sin(2x−π6)∈[−1,12]，所以54sin(2x−π6)+14∈[−1,78]，所以g(x)在区间[−π4,π6]上的最小值为−1，最大值为78．【解析】本题考查了三角函数的恒等变换与性质，也考查了运算求解能力，是中档题．(1)化函数f(x)为正弦型函数，求出函数f(x)的最小正周期和f(π12)的值；(2)根据g(x)=f(π2−x)求出函数g(x)的解析式，再求g(x)在区间[−π4,π6]的最小值与最大值．19.【答案】解：(1)D 是圆弧BC 上的动点(不包括B ，C 点)，假设存在点D ，使得BD ⊥AC ．过点D 作DE ⊥BC ，∵平面ABC ⊥平面BCD ，平面ABC ∩平面BCD =BC ．∴DE ⊥平面ACB ，AC ⊂平面ABC ， ∴DE ⊥AC ，又DE ∩BD =D ，∴AC ⊥平面BCD ，而∠ACB =60°，得出矛盾． ∴假设不正确．因此不存在点D ，使得BD ⊥AC ．(2)设圆心为点O ，连接OA ，分别以OC ，OA ，为y 轴作空间直角坐标系．设OC =1，O(0,0,0)，A(0,0,√3)，B(0,−1,0)，D(√32,12,0)，C(0,1,0)．BA ⃗⃗⃗⃗⃗ =(0,1,√3)，BD ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =(√32,32,0)，CA ⃗⃗⃗⃗⃗ =(0,−1,√3)，设平面ABD 的法向量为：n ⃗ =(x,y,z)，则n ⃗ ⋅BA ⃗⃗⃗⃗⃗ =n ⃗ ⋅BD ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =0， ∴y +√3z =0，√32x +32y =0，取n ⃗ =(3,−√3,1)，∴直线AC 与平面ABD 所成角的正弦值=|cos <n ⃗ ，CA⃗⃗⃗⃗⃗ >|=|n ⃗⃗ ⋅CA⃗⃗⃗⃗⃗ ||n ⃗⃗ |⋅|CA⃗⃗⃗⃗⃗ |=2√3√13×2=√3913．【解析】(1)D 是圆弧BC 上的动点(不包括B ，C 点)，假设存在点D ，使得BD ⊥AC.过点D 作DE ⊥BC ，利用面面垂直的性质定理、线面垂直的性质定理得出矛盾，即可判断出结论．(2)设圆心为点O ，连接OA ，分别以OC ，OA ，为y 轴作空间直角坐标系．设平面ABD 的法向量为：n ⃗ =(x,y,z)，则n ⃗ ⋅BA ⃗⃗⃗⃗⃗ =n ⃗ ⋅BD ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =0，可得n ⃗ .利用直线AC 与平面ABD 所成角的正弦值=|cos <n ⃗ ，CA⃗⃗⃗⃗⃗ >|=|n ⃗⃗ ⋅CA⃗⃗⃗⃗⃗ ||n ⃗⃗ |⋅|CA⃗⃗⃗⃗⃗ |即可得出．本题考查了线面面面垂直的性质定理、法向量的应用、数量积运算性质、圆的性质，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．20.【答案】解：(1)证明：∵2S n =na n +n ，∴当n =1时，2S 1=a 1+1，解得a 1=1.当n =3时，2S 3=3a 3+3=2(a 1+a 2+a 3)，又a 2=2，解得a 3=3.所以猜想a n =n.下面用数学归纳法证明猜想： ①当n =1，2，3时，通过前面运算有a n =n ：②假设当n =k(k ≥3，且k ∈N)，有a k =k ，∵2S n =na n +n ，∴2S k =ka k +k =k 2+k，解得S k=k2+k2．又2S k+1=(k+1)a k+1+(k+1)=2(S k+a k+1)=k2+k+2a k+1，∴a k+1=k+1.这说明当n=k+1时也成立．综合①②知：a n=n．又a n+1−a n=1，故数列{a n}为等差数列．(2)解：由(1)知：a n=n，又b n=3a n，∴b n=3n，T n=3(1−3n)1−3=3(3n−1)2．若C n=(−1)n+14T n+3T n⋅T n+1，则C n=(−1)n+1×43×2×3n−1(3n−1)(3n+1−1)=(−1)n+1×23(13n−1+13n+1−1)，∴C1+C2+⋯+C n=23{(131−1+132−1)−(132−1+133−1)+(133−1+134−1)−(134−1+135−1)+⋯+(−1)n+113n−1+13n+1−1}=23[131−1+⋯(−1)n+113n+1−1]=23[12+⋯(−1)n+113n+1−1].①当n=2k−1(k∈N+)时，C1+C2+⋯+C n=23(12+13n+1−1)≤C1=512；②当n=2k(k∈N+)时，C1+C2+⋯+C n=23(12−13n+1−1)<13；故(C1+C2+⋯+C n)max=512．又对于任意的正整数n，C1+C2+⋯+C n<√m−1−m+4112恒成立，所以512<√m−1−m+4112.解之得1≤m<5．所以m的取值范围为[1,5)．【解析】(1)可先求出数列的前几项，然后猜想出数列{a n}的通项公式，借助于数学归纳法证明猜想，再证明其为等差数列；(2)先求出等比数列{b n}前n项的和为T n，接着求出C n，利用裂项相消法求出C1+C2+⋯+C n，再求出其最大值，然后求解含m的不等式，解出m的取值范围．本题考查了等差数列与等比数列的通项公式与求和公式、裂项相消法，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．21.【答案】解：(1)证明：①当直线l的斜率不存在或为0时，显然有直线；②当直线l的斜率存在且不为0时，设直线l：y=kx+t，直线l1：y=kx+m，由{y =kx +t x 22+y 2=1联立得：(1+2k 2)x 2+4ktx +2(t 2−1)=0，又∵△1=16k 2t 2−8(t 2−1)(1+2k 2)=0，∴t 2=1+2k 2，x M =−2kt 1+2k 2=−2k t∴M(−2k t,1t)；由{y =kx +m x 24+y 22=1联立得：(1+2k 2)x 2+4kmx +2(m 2−2)=0，又∵△2=16k 2m 2−8(m 2−2)(1+2k 2)=0，∴m 2=2+4k 2， x N =−2km1+2k 2=−4k m ，∴N(−4k m,2m )，∴直线MN ：y =1−2k x 必恒过原点O ；综合①②知直线MN 恒过原点O ；(2)设A(x 1,y 1)，B(x 2,y 2)，由{y =kx +t x 24+y 22=1联立得：(1+2k 2)x 2+4ktx +2(t 2−2)=0，∴△=16k 2t 2−8(t 2−2)(1+2k 2)=8(4k 2+2−t 2)>0， x 1+x 2=−4kt1+2k 2，x 1x 2=2(t 2−2)1+2k 2，∴|AB|=√1+k 2√(x 1+x 2)2−4x 1x 2=2√2√1+k 2√4k 2+2−t 21+2k 2=2√2√1+k 2|t|，又设点O 、N 到直线AB 的距离为d 1与d 2，则d 1=√1+k 2，d 2=√1+k 2，又∵t 2=1+2k 2，m 2=2+4k 2， ∴m =√2t ，∴四边形OANB 的面积为12|AB|⋅(d 1+d 2)=√2(|t|+|t−m|)|t|=2．【解析】(1)可对直线l 分以下两种情况进行证明：①当直线l 的斜率不存在或为0时，显然有直线；②当直线l 的斜率存在且不为0时； (2)先由{y =kx +t x 24+y 22=1联立得：(1+2k 2)x 2+4ktx +2(t 2−2)=0，∴△=16k 2t 2−8(t 2−2)(1+2k 2)=8(4k 2+2−t 2)>0，x 1+x 2=−4kt1+2k 2，x 1x 2=2(t 2−2)1+2k 2，求出|AB|，再计算出点O 、N 到直线AB 的距离为d 1与d 2，从而求出四边形OANB 的面积．本题主要考查椭圆与直线的位置关系及利用弦长公式、点线距离公式求解面积问题，属于一道较难的题．22.【答案】解：(1)由x+lnx=x3−2ex2+tx，得lnxx=x2−2ex+t−1，即lnxx−(x−e)2+(1+e2−t)=0．令g(x)=lnxx −(x−e)2+(1+e2−t)，g′(x)=1−lnxx2−2(x−e)．当x∈(0,e)时，g′(x)>0，g(x)单调递增，当x∈(e,+∞)时，g′(x)<0，g(x)单调递减，∴若存在唯一的实数x使得f(x)=x3−2ex2+tx成立，则g(e)=0，即t=1+e2+1e；(2)证明：函数f(x)的定义域为(0,+∞)，f′(x)=1−ax =x−ax(x>0)．当a≤0时，f′(x)>0恒成立，函数f(x)在(0,+∞)上单调递增，不存在2个零点；当a>0时，由f′(x)=0，解得x=a，当x∈(0,a)时，f′(x)<0，函数f(x)在(0,a)上单调递减，当x∈(a,+∞)时，f′(x)>0，函数f(x)在(a,+∞)上单调递增，从而f(x)在x=a处求得最小值且最小值为f(a)=a−alna．要使函数f(x)有两个零点，则必有a>0，且f(a)=a−lna<0，解得a>e．下面证明a>e是f(x)有两个零点的充分条件．∵f(1)=1>0，f(a)=a−alna<a−alne=0，∴由函数零点存在定理可得，f(x)在(1,a)内有一个零点．取n0=e2a，则f(n0)=e2a−2a2>12(2a)2−2a2=0，且e2a>2a+1>a．∴函数f(x)在(a,n0)内有一个零点，则当a>e时，f(x)有两个零点．故a的取值范围为(e,+∞)；不妨设x1<x2，则f(x)在(x2,+∞)上单调递增，由f(x1)=f(x2)=0，可得x1=alnx1，x2=alnx2，则x1+x2=aln(x1x2)，易知x1>1，则x1x2>x2．于是x1x2−(x1+x2)=x1x2−aln(x1x2)=f(x1x2)>f(x2)=0．故x1x2−(x1+x2)>0，即x1+x2<x1x2，可得1x1+1x2<1．【解析】(1)由x+lnx=x3−2ex2+tx，变形得lnxx−(x−e)2+(1+e2−t)=0，令g(x)=lnxx−(x−e)2+(1+e2−t)，利用导数求其最小值，结合已知可得g(e)=0，从而得到t=1+e2+1e；(2)函数f(x)的定义域为(0,+∞)，求其导函数，可得当a≤0时，函数f(x)在(0,+∞)上单调递增，不存在2个零点；当a>0时，利用导数求其最小值为f(a)=a−alna，可得要使函数f(x)有两个零点，则必有a>0，且f(a)=a−lna<0，解得a>e，再证明a>e 是f(x)有两个零点的充分条件；不妨设x1<x2，则f(x)在(x2,+∞)上单调递增，结合f(x1)=f(x2)=0，可得x1=alnx1，x2=alnx2，证明x1x2−(x1+x2)>0，即x1+x2<x1x2，从而得到1x1+1x2<1．本题考查利用导数求函数的最值，考查化归与转化思想方法，考查逻辑思维能力与推理论证能力，本题第二问考生容易漏掉检验a>e是f(x)有两个零点的充分条件，取n0= e2a，证明函数f(x)在(a,n0)内有一个零点是难点，该题是难题．。

2020年浙江师大附中高考数学模拟试卷(三) (含答案解析)

2020年浙江师大附中高考数学模拟试卷(三)一、单项选择题（本大题共10小题，共30.0分）1.2−3i1+i=()A. 12−52i B. −12−52i C. 12+52i D. −12+52i2.设集合U={x∈N|2<x<9}，A={4,5，6}，B={5,6，7}，则∁U(A∩B)=()A. {3,4，7}B. {3,4，8}C. {3,4，7，8}D. {3,8}3.在△ABC中，D是AB边上靠近点A的三等分点，E是CD的中点，则BE⃗⃗⃗⃗⃗ =A. −56AB⃗⃗⃗⃗⃗ +12AC⃗⃗⃗⃗⃗ B. 56AB⃗⃗⃗⃗⃗ −12AC⃗⃗⃗⃗⃗ C. 13AB⃗⃗⃗⃗⃗ −12AC⃗⃗⃗⃗⃗ D. −13AB⃗⃗⃗⃗⃗ +12AC⃗⃗⃗⃗⃗4.已知函数y=f(x)为定义在R上的奇函数，则下列结论中不正确的是()A. f(x)在(−∞,0]和[0,+∞)上的单调性相反B. 图象过原点，且关于原点对称C. f(2018)+f(−2018)=f(0)D. 如果x>0时，有f(x)>0成立，那么x<0时，f(x)<0也成立5.函数f(x)=cos(2x+ϕ)的图象关于点(π3,0)成中心对称的充要条件是()A. ϕ=5π6+kπ,k∈Z B. ϕ=π6+kπ,k∈ZC. ϕ=−2π3+kπ,k∈Z D. ϕ=4π3+kπ，k∈Z6.在(x2−2x)7的展开式中，x5的系数为()A. −35B. 35C. −280D. 2807.某县政府分派4名干部到甲、乙、丙三个贫困村开展“精准扶贫”工作，要求每名干部只去一个贫困村，且每个贫困村至少安排一名干部，则不同的分配方案种数有()A. 24种B. 36种C. 48种D. 72种8.如图，正四面体ABCD中，E，F分别是线段AC的三等分点，P是线段AB的中点，G是直线BD的动点，则()A. 存在点G，使PG⊥EF成立B. 存在点G，使FG⊥EP成立C. 不存在点G，使平面EFG⊥平面ACD成立D. 不存在点G，使平面EFG⊥平面ABD成立9.已知F1、F2分别为双曲线C：x29−y227=1的左、右焦点，点A为双曲线上一点，∠F1AF2的平分线交x轴于点(2,0)，则|AF2|=()A. 3B. 6C. 8D. 1010.设函数f(x)=−2+log2x(x≥1)，则f(x)的值域是()A. RB. [−2,+∞)C. [1,+∞)D. (0,1)二、填空题（本大题共7小题，共21.0分）11.已知某离散型随机变量ξ的数学期望E(ξ)=76，ξ的概率分布列如下表：ξ0123P a 131 6b则a=________.12.某三棱锥的三视图如图所示，图中网格小正方形的边长为1，则该三棱锥的体积为______ ．13.已知抛物线y2=2px(p>0)的焦点坐标为(14,0)，则p=______．14. 已知实数x ，y 满足{x −2y +1≥0x +y −1≥0x <2，则z =2x −y 的取值范围是______．15. 已知数列{a n }，a 1=3，a 2=6，a n +2=a n +1−a n ，则a 2019=________． 16. 函数f(x)的定义域为R ，若对任意的x ∈R ，f(x)+xf′(x)>0，且f(2)=12，则不等式(x 2+1)f(x 2+1)>1的解集为______．17. 如图，在Rt △BAC 中，∠A =90°，D ，E 分别是AC ，BC 上的点，且满足∠ADB =∠CDE =30°，BE =4CE ，若CD =√3，则△BDE 的面积为______．三、解答题（本大题共5小题，共60.0分） 18. 已知函数f(x)=4sinx ⋅cos(x −π6)．(Ⅰ)求f(π4)的值及函数f(x)的最小正周期； (Ⅱ)求函数f(x)的单调递增区间．19.如图，△ABC的外接圆O的半径为√5，CD⊥圆O所在的平面，BE//CD，CD=4，BC=2，且BE=1，tan∠AEB=2√5．(1)证明：平面ADC⊥平面BCDE；(2)试问线段DE上是否存在点M，使得直线AM与平面ACD所成角的正弦值为2？若存在，确7定点M的位置，若不存在，请说明理由．a n(n∈N∗).数列{b n}是等差数列，且b2=a2，b20=20.已知数列{a n}的前n项和为S n，且S n=n+32a4．(Ⅰ)求数列{a n}的通项公式；}的前n项和T n．(Ⅱ)求数列{b na n−121.如图，已知椭圆C：x2a2+y2b2=1(a>b>0)与双曲线x24−y22=1有相同的焦点，且椭圆C过点P(2,1)，若直线l与直线OP平行且与椭圆C相交于点A，B．(Ⅰ)求椭圆C的标准方程；(Ⅱ)求三角形OAB面积的最大值．22.已知函数f(x)=ln(x+ax−2)(a>0)(I)当1<a<4时，函数f(x)在[2,4]上的最小值为ln32，求a；(Ⅱ)若存在x0∈(2,+∞)，使得f(x0)<0，求a的取值范围．【答案与解析】1.答案：B解析：解：2−3i1+i =(2−3i)(1−i)(1+i)(1−i)=−12−52i ．故选：B ．直接利用复数代数形式的乘除运算化简得答案．本题考查复数代数形式的乘除运算，是基础的计算题．2.答案：C解析：本题考查了集合的交集运算，补集运算，属于基础题．首先把全集转化为U ={3,4,5,6,7,8}，再根据A ∩B ={5,6}，再由补集定义即可解．解：由集合U ={x ∈N|2<x <9}得U ={3,4,5,6,7,8}， ∵A ={4,5，6}，B ={5,6，7}， ∴A ∩B ={5,6}，则∁U (A ∩B )={3,4,7,8}．故选C ．3.答案：A解析：本题考查平面向量的基本定理和线性运算，属基础题，难度不大．根据向量加减法运算法则可得．解：由已知可得BD ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =−23AB ⃗⃗⃗⃗⃗ ，BC ⃗⃗⃗⃗⃗ =AC ⃗⃗⃗⃗⃗ −AB ⃗⃗⃗⃗⃗ ，因为E 是CD 的中点，所以BE ⃗⃗⃗⃗⃗ =12(BD ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ +BC ⃗⃗⃗⃗⃗ )=12(−23AB ⃗⃗⃗⃗⃗ +AC ⃗⃗⃗⃗⃗ −AB ⃗⃗⃗⃗⃗ )=−56AB ⃗⃗⃗⃗⃗ +12AC ⃗⃗⃗⃗⃗ ．故选A ．4.答案：A解析：解：根据题意，依次分析选项：对于A，若f(x)为奇函数，则f(x)在(−∞,0]和[0,+∞)上的单调性相同，A错误；对于B，若f(x)为定义在R上奇函数，则其图象过原点，且关于原点对称，B正确；对于C，若f(x)为奇函数，则f(−2018)=−f(2018)，则f(−2018)+f(2018)=0，C正确；对于D，若x>0时，有f(x)>0成立，那么x<0时，f(x)=−f(−x)<0，C正确；故选：A．根据题意，结合函数单调性的定义和性质依次分析选项，综合即可得答案．本题考查函数的奇偶性的定义以及性质，关键是掌握函数奇偶性的定义，属于基础题．5.答案：A解析：由题意得f(π3)=0，即cos(2π3+ϕ)=0，所以ϕ=5π6+kπ,k∈Z，故选A...6.答案：C解析：解：二项式(x2−2x)7的展开式的通项公式为T r+1=∁7r⋅(x2)7−r⋅(−2x)r=(−2)r⋅∁7r⋅x14−3r，令14−3r=5，解得r=3；∴展开式中x5的系数为：(−2)3⋅∁73=−280．故选：C．利用二项式展开式的通项公式，求出展开式中x5的系数．本题考查了利用二项式展开式的通项公式求特定项的应用问题，是基础题7.答案：B解析：本题考查排列组合的应用，涉及分步计数原理的应用，属于基础题．根据题意，分2步进行分析：①将4名干部分为3组，②将分好的三组安排甲、乙、丙三个贫困村，由分步计数原理计算可得答案．解：根据题意，分2步进行分析：①将4名干部分为3组，有C42=6种分组方法，②将分好的三组安排甲、乙、丙三个贫困村，有A33=6种情况，则有6×6=36种不同的分配方法，故选：B．8.答案：C解析：解：正四面体ABCD中，E，F分别是线段AC的三等分点，P是线段AB的中点，G是直线BD的动点，在A中，不存在点G，使PG⊥EF成立，故A错误；在B中，不存在点G，使FG⊥EP成立，故B错误；在C中，不存在点G，使平面EFG⊥平面ACD成立，故C正确；在D中，存在点G，使平面EFG⊥平面ABD成立，故D错误．故选：C．利用空间中线线、线面、面面间的位置关系直接求解．本题考查命题真假的判断，考查空间中线线、线面、面面间的位置关系等基础知识，考查运算求解能力，是基础题．9.答案：B解析：解：双曲线C：x29−y227=1的a=3，b=3√3，c=√a2+b2=6，则F1(−6,0)，F2(6,0)，∠F1AF2的平分线交x轴于点M，可得|F1M||F2M|=|AF1||AF2|=48=12，可得A在右支上，由双曲线的定义可得|AF1|−|AF2|=2a=6，解得|AF2|=6；故选：B．求得双曲线的a，b，c，可得焦点坐标，运用角平分线性质定理，以及双曲线的定义可得|AF1|−|AF2|= 6，进而可得所求；本题考查双曲线的方程和定义，考查角平分线的性质定理的运用，考查运算求解能力，属于中档题．10.答案：B解析：∵x≥1时log2x≥0，∴−2+log2x≥−2，∴函数f(x)=−2+log2x(x≥1)的值域是[−2,+∞)．11.答案：13解析：本题主要考查离散型随机变量ξ的数学期望，属于基础题．根据分布列的性质及数学期望公式求解即可．解：E(ξ)=76=0×a+1×13+2×16+3b⇒b=16，又P(ξ=0)+P(ξ=1)+P(ξ=2)+P(ξ=3)=1⇒a+13+16+16=1⇒a=13．故答案为13．12.答案：3解析：由三视图及题设条件知，此几何体为一个三棱锥，其高为2，底面是直角边长度为3的等腰直角三角形，故先求出底面积，再由体积公式求解其体积即可．此题考查了由三视图求面积、体积，解题的关键是得到该几何体的形状．解：由已知中三棱锥的三视图，可得该三棱锥的直观图如下所示：其高为2，底面是直角边长度为3的等腰直角三角形，∴其底面面积S=12×3×3=92，高ℎ=2，则体积V=13×92×2=3，故答案为：313.答案：12解析：解：抛物线y 2=2px(p >0)的焦点坐标为(14,0)， ∴p 2=14，解得p =12．故答案为：12．根据抛物线的焦点坐标求得p 的值．本题考查了抛物线的简单几何性质的应用问题，是基础题．14.答案：[0,5)解析：本题主要考查线性规划的应用，利用数形结合是解决本题的关键，属于基础题．作出不等式组对应的平面区域，利用目标函数的几何意义即可得到结论．解：画出不等式组所表示的区域，如图阴影部分所示，做直线l ：2x −y =0，平移l 可知过C 时z 最小，过B 时z 最大，联立{x −2y +1=0x +y −1=0得C(13,23)，同理B(2,−1)，即z 的取值范围是[0,5)．故答案为：[0,5)．15.答案：3解析：本题考查数列的递推关系式的应用，周期数列的应用，考查计算能力．利用数列的递推关系式，求出数列的前几项，得到数列的周期，然后求解a2019即可．解：由递推关系，得a1=3，a2=6，a3=3，a4=−3，a5=−6，a6=−3，a7=3，a8=6，知数列{a n}是周期数列，周期为6，得a2019=a336×6+3=a3=3．故答案为3．16.答案：(−∞,−1)∪(1,+∞)解析：构造函数g(x)=xf(x)，求导后由已知可知函数为增函数，把原不等式转化为g(x2+1)>g(2)求解．本题考查利用导数研究函数的单调性，构造函数是关键，是中档题．解：令g(x)=xf(x)，则g′(x)=f(x)+xf′(x)>0，可得g(x)在(−∞,+∞)上为增函数，由f(2)=12，得g(2)=2f(2)=1，∴不等式(x2+1)f(x2+1)>1化为g(x2+1)>g(2)，又g(x)在(−∞,+∞)上为增函数，∴x2+1>2，得x<−1或x>1．∴不等式(x2+1)f(x2+1)>1的解集为(−∞,−1)∪(1,+∞)．故答案为：(−∞,−1)∪(1,+∞)．17.答案：4√35解析：本题考查了三角形的边角关系应用问题，也考查了三角形面积计算问题，是中档题．过点E作EF⊥AC于点F，设EF=x，表示出BA、BD和AD，利用勾股定理和余弦定理，列方程求得x的值，再计算△BDE的面积．解：过点E 作EF ⊥AC 于点F ，如图所示；由∠A =90°知，EF//BA ，再由BE =4EC ，得BA =5EF ；设EF =x ，则BA =5x ；又∠ADB =∠CDE =30°，得BD =10x ，DE =2x ， AD =5√3x ，∠BDE =120°；由勾股定理，得BC 2=25x 2+(√3+5√3x)2=100x 2+30x +3；又由余弦定理，得BE 2=(10x)2+(2x)2−2×10x ⋅2x ⋅cos120°=124x 2；又BE =4EC ，所以BC =54BE ，所以BC 2=2516BE 2， 100x 2+30x +3=2516×124x 2，解得x =25或x =−225(舍去)，所以△BDE 的面积为S △BDE =12BD ⋅DE ⋅sin120°=12×10×25×2×25×√32=4√35．故答案为：4√35． 18.答案：解：(Ⅰ)函数，所以所以函数的最小正周期为T =2π 2=π ．(Ⅱ)令，解得．所以函数的单调递增区间为[−π 6+kπ ,kπ +π 3](k∈Z)解析：本题考查三角函数公式的运用，求正弦型函数的值，周期和单调区间，属于中档题．(Ⅰ)利用二倍角公式、降幂公式、辅助角公式等对f(x)进行整理化简，得到正弦型函数的形式，然后求出f(π4)和最小正周期；(Ⅱ)令−π2+2kπ≤2x−π6≤2kπ+π2(k∈Z)，解出x的范围，得到f(x)的单调递增区间．19.答案：(1)证明：∵CD⊥平面ABC，BE//CD，∴BE⊥平面ABC，∴BE⊥AB，∵BE=1，tan∠AEB=2√5，AE=√21，AB=√AE2−BE2=2√5，AB是⊙O的直径，∴AC⊥BC，又∵CD⊥平面ABC，∴CD⊥BC，故BC⊥平面ACD，∵BC⊂平面BCDE，∴平面ADC⊥平面BCDE．(2)解：假设点M存在，过点M作MN⊥CD于N，连结AN，作MF⊥CB 于F，连结AF，∵平面ADC⊥平面BCDE，∴MN⊥平面ACD，∴∠MAN为MA与平面ACD所成的角，设MN=x，计算易得，DN=32x，MF=4−32x，故A M=√AF2+MF2=√AC2+CF2+MF2=√16+x2+(4−32x)2，sin∠MAN=MNAM =√16+x+(4−32x)=27，解得：x=−83(舍去)，x=43，故MN=23CB，从而满足条件的点M存在，且DM=23DE，且点M的坐标为(0,43,2)．解析：本题考查面面垂直的判定及直线与平面所成的角，考查了学生的空间想象能力，培养了学生分析问题与解决问题的能力．(1)由已知中CD ⊥⊙O 所在的平面，BE//CD ，易得BE ⊥平面ABC ，则BE ⊥AB ，由BE =1，tan∠AEB =2√5，AB 是⊙O 的直径，则AC ⊥BC 由线面垂直的判定定理可得CD ⊥平面ABC ，再由面面垂直的判定定理可得平面ADC ⊥平面BCDE ；(2)过点M 作MN ⊥CD 于N ，连接AN ，作MF ⊥CB 于F ，连接AF ，可得∠MAN 为MA 与平面ACD 所成的角，设MN =x ，则由直线AM 与平面ACD 所成角的正弦值为27，构造关于x 的方程，解方程即可求出x 值，进而得到点M 的位置．20.答案：解：(1)由S n =n +32a n ，①当n ≥2时，S n−1=n −1+32a n−1，②两式相减得a n =1+32a n −32a n−1，即a n =3a n−1−2.当n ≥2时，a n −1an−1−1=3a n−1−2−1a n−1−1=3为定值，由S n =n +32a n ，令n =1，得a 1=−2.所以数列{a n −1}是等比数列，公比是3，首项为−3．所以数列{a n }的通项公式为a n =1−3n .(4分)(2)∴b 2=−8，b 20=−80.由{b n }是等差数列，求得b n =−4n ． ∵T n =b 1a 1−1+b 2a 2−1+⋯+b n−1a n−1−1+b n a n −1=4[131+232+⋯+(n−1)3n−1+n 3n]，而13T n =4[132+233+⋯+(n−1)3n+n3n+1]，相减得23T n =4(131+132+⋯+13n −n3n+1)，即T n =2(130+131+⋯+13n−1)−2n3n ，则T n =21−(13)n1−13−2n 3n =3−2n+33n.(12分)解析：(I)根据已知中S n =n +32a n (n ∈N ∗).结合a n ={S 1,n =1S n −S n−1,n ≥2，即可求出数列{a n }的通项公式；(II)结合(I)中结论即数列{b n }是等差数列，且b 2=a 2，b 20=a 4.我们可以求出数列{b na n −1}的通项公式，我们易写出列{b nan −1}的前n 项和T n 的表达式，进而利用错位相消法，即可求出答案．本题考查的知识点是数列的递推公式及数列的求和，如果已知中已知S n ，求a n ，公式a n ={S 1,n =1S n −S n−1,n ≥2是最常用的方法． 21.答案：解：(Ⅰ)双曲线x 24−y 22=1的焦点为(±√6,0)，即椭圆标准方程中c =√6， a 2=b 2+c 2=b 2+6，将P(2,1)代入椭圆方程x 2b 2+6+y 2b 2=1中，得4b 2+6+1b 2=1，解得：b 2=2，a 2=8， ∴椭圆C 的标准方程为x 28+y 22=1；(Ⅱ) 由直线l 平行于OP ，且k OP =12，设直线l 的方程为y =12x +m ，由{y =12x +mx 28+y 22=1，消去y 得x 2+2mx +2m 2−4=0；设A(x 1,y 1)，B(x 2,y 2)，则x 1+x 2=−2m ，x 1+x 2=2m 2−4，由l 与椭圆C 有不同的两点，则△>0，即△=4m 2−4(2m 2−4)>0，解得−2<m <2，且m ≠0，又|AB|=√1+k 2⋅√(x 1+x 2)2−4x 1x 2 =√52⋅√4m 2−4(2m 2−4)=√5⋅√4−m 2，点O 到直线l 的距离为 d =√(2)2+(−1)2=√5，∴△OAB 的面积为S =12⋅d ⋅丨AB 丨=|m|⋅√4−m 2=√m 2(4−m 2)≤m 2+(4−m 2)2=2，当且仅当m 2=4−m 2，即m =±√2时取等号，此时△OAB 的面积最大，且最大值为2．解析：(Ⅰ)由双曲线的性质求出c =√6，得出a 2=b 2+c 2=b 2+6，将P(1,2)代入椭圆方程求得a 和b ，即得椭圆C 的标准方程；(Ⅱ)根据题意，设直线l 的方程为y =12x +m ，代入椭圆方程，利用韦达定理，弦长公式，点到直线的距离公式，根据基本不等式的性质，即可求得△OAB 面积的最大值．本题考查了椭圆方程的求法以及求三角形面积的最大值和直线方程的求法，韦达定理以及基本不等式的性质应用问题，是综合性题目．22.答案：解：(Ⅰ)令g(x)=x+ax−2，∴g′(x)=1−ax2=x2−ax2，∵x∈[2,4]，1<a<4，∴x2−a>0，∴g′(x)>0，∴g(x)在[2,4]上单调递增，∴f(x)在[2,4]上单调递增，∴f(x)min=f(2)=ln(2+a2−2)=ln32，∴a=3，(Ⅱ)由(Ⅰ)可知，函数f(x)在(2,+∞)上单调递增，∴f(x)min=f(2)=ln(2+a2−2)=ln a2，∵存在x0∈(2,+∞)，使得f(x0)<0，∴ln a2<0=ln1，∴0<a<2故a的取值范围为(0,2)解析：(Ⅰ)令g(x)=x+ax−2，利用导数判断g(x)的单调性，再根据符合函数判断f(x)的单调性，根据函数的单调性即可求出函数的最值，即可求出a的值，(Ⅱ)由由(Ⅰ)可知，函数f(x)在(2,+∞)上单调递增，求出函数的最小值，根据存在x0∈(2,+∞)，使得f(x0)<0，得到a的取值范围．本题考查了导数的综合应用及存在性问题的应用以及复合函数的单调性，考查了学生的运算能力和转化能力，属于中档题．。