误差与实验数据处理资料
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mi m gn, a
式中g（a，n）为格拉布斯准则判别系数，它与测量次数n及 显著性水平а (取0.05或0.01) 有关，判别系数见下表
2 mi
1 (n 1)
ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ
n i 1
(mi
m)2
mi
1 (n 1)
n i 1
(mi
m)2
测量结果： 同时给出：
M mi (单位) ( p 0.683) M mi 2 （单位） ( p 0.95) M mi 3 （单位） ( p 0.997)
E k 100%
mi
3、测量列算术平均值的标准差
在相同条件下，对被测量重复做 n 次测量，得 m1，m2，…，mn ，去除 系统误差和粗大误差，由于随机误差的存在,围绕测量值算术平均值的标 准差，由下式求出：
m
1 n(n 1)
n
i2
i1
1 n(n 1)
n i1
(mi
m)2
2 m
2 仪
测量结果：
M m (单位) ( p 0.683)
2、单次直接测量 ：
M
m单 U
(单位)
（p 0.683）
U
单
仪
仪 3
E 单 100%
m单
式中：仪 为测量仪器的最大误差；
没有标出准确度等级 , 可以连续读数（可估读）的仪器，取仪器最小分
度值的一半作为仪器的最大误差 仪
没有标出准确度等级 , 又不可连续读数（不可估读）的仪器，取最小分
度值作为仪器的最大误差 仪 已标出准确度等级的仪器，仪器的最大误差 仪 由误差公式计算。
M m 2 （单位） ( p 0.95)
M m 3 （单位） ( p 0.997)
同时给出:
k
E 100% m
粗大误差的剔除
拉依达准则： m1，m2，…，mn （ n ＞ 10 ）
mi m 3 该测量值舍去
格拉布斯准则：凡剩余误差大于格拉布斯鉴别值的误 差被认为是粗大误差，该测量值舍去
误差与实验数据处理
— 大学物理实验
教师：李芬
基本概念
➢ 误差公理： 一切测量都存在误差。 ➢ 真 值：被测量的真实量值。 ➢ 等精度测量：在同一条件下进行的重复多次测量。 ➢ 不确定度(U)： 表示测量结果不确定的程度。 ➢ 直接测量：用测量器具直接测出被测量量值的测量。 ➢ 间接测量：先直接测出与被测量有关的直接测量量值，
再根据该被测量与直接测量量值之间的数 学关系算出被测量量值的测量。
测量误差
1、绝对误差：被测量的测量值与其真值之差为绝对误差(测量误差)：
mR
m 式中： 为绝对误差； 为测量值；R为被测量的真值
真值包括：(1)理论真值 (2)约定真值 (3)相对真值
三角形的三个内角之和180o 米原器和千克原器
系统误差的判别
1、实验对比法 （判断固定不变的系统误差）
2、残余误差观察法
m1，m2，…….，mn
r m m i
i
（根据测量顺序作图观察，判断有规律系统误差）
r
0.3
0.2
0.1
1 234 n
随机误差的方差和标准差
1、无限次测量列任一次测量值的标准差（n→∞ ）
对等精度无限测量列 m1，m2，…，mn , 去除了系统误差和粗 大误差，任一次测量值的方差和标准差分别为：
测量结果：
M m U U k
E k 100%
m
给出上述测量结果同时，还要指明相应的置信概率p
于是，测量结果应为 :
M m (单位) ( p 0.683) M m 2 （单位） ( p 0.95) M m 3 （单位） ( p 0.997)
同时给出： E k 100%
m
重复测取数据个数n由置信概率P决定。 P=0.95, n在22 25次之间； P=0.997，n大于等于370次；P=0.683, n为小于等于20次。
有限次重复测量值的算术平均值; 高一级准确度等级测量器具所测得的值作为较低
一 级准确度等级测量器具测量值的真值
2、相对误差: 绝对误差与真值之比 . 用百分数表示：
E 100% m R 100%
R
R
式中： E为相对误差；
测量结果的表达
零1、或等采精用度修重正复方直法接消测除量了系, 测统量误列差为，也m1去，除m了2，粗…大，误m差n ,如果系统误差为
方法。
例如：
标准偏差 0.52 和 0.57 都应取成 0.6 。
测量误差的分类
1、系统误差：在相同条件下，多次重复测量同一量值时， 误差的大小和符号保持不变或按一定规 律变化。
2、随机误差：在相同条件下，多次重复测量同一量时， 误差的大小、符号均无规律地变化。
3、粗大误差：在相同条件下，多次重复测量同一量时， 明显歪曲测量结果的误差。
n
n
2 i
(mi R)2
2 mi
i 1
n
i1
n
mi
1 n
n
2 i
i 1
1 n
n i 1
(mi
R)2
按上式计算标准差需要已知真值，测量次数n需足够大，是理论计 算公式。
2、有限次测量列任一次测量值的标准差（贝塞尔公式）
实际测量中，测量次数 n 是有限的，用算术平均值作为被测量的真 值的最佳值，则任一次测量值的标准差的方差和标准差分别为：
2、若舍去部分的数值大于保留部分末位的半个单位，则末位加1。
1.23521→1.24（因为0.00521>0.005） 5.62501→5.63（因为0.00501>0.005）
3、若舍去部分的数值等于保留部分末位的半个单位，则末位凑成偶 数，末位为偶数时不变，末位为奇数时加1。
1.2350→1.24（因为0.0050=0.005，且3为奇数） 5.62500→5.62（因为0.00500=0.005，且2为偶数） 5.60500→5.60（0认为是偶数）
设仪器准确度等级为a ，满量程为L
仪 aL%
有些仪器最大误差由相应的公式计算
数据舍入规则
1、 若舍去部分的数值小于保留部分末位的半个单位，则末位不变。 例如：将下列数据舍入到小数点后第二位
1.2348→1.23（因为0.0048<0.005） 5.62499→5.62（因为0.00499<0.005）
保留数字位数
1、 测量结果中， m 或 m单保留数字位数应与不确定度一致
例如 ：
0.03cm k 1 U 0.03cm
m 18.625cm 取 m 18.62cm M (1.862 0.003) 10 cm
2、 最终结果，标准偏差 取一位有效数字，相对误差 E 取两位有效数 字。在计算过程中多取一位，在误差处理中， 和 E 都采用进位的
式中g（a，n）为格拉布斯准则判别系数，它与测量次数n及 显著性水平а (取0.05或0.01) 有关，判别系数见下表
2 mi
1 (n 1)
ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ
n i 1
(mi
m)2
mi
1 (n 1)
n i 1
(mi
m)2
测量结果： 同时给出：
M mi (单位) ( p 0.683) M mi 2 （单位） ( p 0.95) M mi 3 （单位） ( p 0.997)
E k 100%
mi
3、测量列算术平均值的标准差
在相同条件下，对被测量重复做 n 次测量，得 m1，m2，…，mn ，去除 系统误差和粗大误差，由于随机误差的存在,围绕测量值算术平均值的标 准差，由下式求出：
m
1 n(n 1)
n
i2
i1
1 n(n 1)
n i1
(mi
m)2
2 m
2 仪
测量结果：
M m (单位) ( p 0.683)
2、单次直接测量 ：
M
m单 U
(单位)
（p 0.683）
U
单
仪
仪 3
E 单 100%
m单
式中：仪 为测量仪器的最大误差；
没有标出准确度等级 , 可以连续读数（可估读）的仪器，取仪器最小分
度值的一半作为仪器的最大误差 仪
没有标出准确度等级 , 又不可连续读数（不可估读）的仪器，取最小分
度值作为仪器的最大误差 仪 已标出准确度等级的仪器，仪器的最大误差 仪 由误差公式计算。
M m 2 （单位） ( p 0.95)
M m 3 （单位） ( p 0.997)
同时给出:
k
E 100% m
粗大误差的剔除
拉依达准则： m1，m2，…，mn （ n ＞ 10 ）
mi m 3 该测量值舍去
格拉布斯准则：凡剩余误差大于格拉布斯鉴别值的误 差被认为是粗大误差，该测量值舍去
误差与实验数据处理
— 大学物理实验
教师：李芬
基本概念
➢ 误差公理： 一切测量都存在误差。 ➢ 真 值：被测量的真实量值。 ➢ 等精度测量：在同一条件下进行的重复多次测量。 ➢ 不确定度(U)： 表示测量结果不确定的程度。 ➢ 直接测量：用测量器具直接测出被测量量值的测量。 ➢ 间接测量：先直接测出与被测量有关的直接测量量值，
再根据该被测量与直接测量量值之间的数 学关系算出被测量量值的测量。
测量误差
1、绝对误差：被测量的测量值与其真值之差为绝对误差(测量误差)：
mR
m 式中： 为绝对误差； 为测量值；R为被测量的真值
真值包括：(1)理论真值 (2)约定真值 (3)相对真值
三角形的三个内角之和180o 米原器和千克原器
系统误差的判别
1、实验对比法 （判断固定不变的系统误差）
2、残余误差观察法
m1，m2，…….，mn
r m m i
i
（根据测量顺序作图观察，判断有规律系统误差）
r
0.3
0.2
0.1
1 234 n
随机误差的方差和标准差
1、无限次测量列任一次测量值的标准差（n→∞ ）
对等精度无限测量列 m1，m2，…，mn , 去除了系统误差和粗 大误差，任一次测量值的方差和标准差分别为：
测量结果：
M m U U k
E k 100%
m
给出上述测量结果同时，还要指明相应的置信概率p
于是，测量结果应为 :
M m (单位) ( p 0.683) M m 2 （单位） ( p 0.95) M m 3 （单位） ( p 0.997)
同时给出： E k 100%
m
重复测取数据个数n由置信概率P决定。 P=0.95, n在22 25次之间； P=0.997，n大于等于370次；P=0.683, n为小于等于20次。
有限次重复测量值的算术平均值; 高一级准确度等级测量器具所测得的值作为较低
一 级准确度等级测量器具测量值的真值
2、相对误差: 绝对误差与真值之比 . 用百分数表示：
E 100% m R 100%
R
R
式中： E为相对误差；
测量结果的表达
零1、或等采精用度修重正复方直法接消测除量了系, 测统量误列差为，也m1去，除m了2，粗…大，误m差n ,如果系统误差为
方法。
例如：
标准偏差 0.52 和 0.57 都应取成 0.6 。
测量误差的分类
1、系统误差：在相同条件下，多次重复测量同一量值时， 误差的大小和符号保持不变或按一定规 律变化。
2、随机误差：在相同条件下，多次重复测量同一量时， 误差的大小、符号均无规律地变化。
3、粗大误差：在相同条件下，多次重复测量同一量时， 明显歪曲测量结果的误差。
n
n
2 i
(mi R)2
2 mi
i 1
n
i1
n
mi
1 n
n
2 i
i 1
1 n
n i 1
(mi
R)2
按上式计算标准差需要已知真值，测量次数n需足够大，是理论计 算公式。
2、有限次测量列任一次测量值的标准差（贝塞尔公式）
实际测量中，测量次数 n 是有限的，用算术平均值作为被测量的真 值的最佳值，则任一次测量值的标准差的方差和标准差分别为：
2、若舍去部分的数值大于保留部分末位的半个单位，则末位加1。
1.23521→1.24（因为0.00521>0.005） 5.62501→5.63（因为0.00501>0.005）
3、若舍去部分的数值等于保留部分末位的半个单位，则末位凑成偶 数，末位为偶数时不变，末位为奇数时加1。
1.2350→1.24（因为0.0050=0.005，且3为奇数） 5.62500→5.62（因为0.00500=0.005，且2为偶数） 5.60500→5.60（0认为是偶数）
设仪器准确度等级为a ，满量程为L
仪 aL%
有些仪器最大误差由相应的公式计算
数据舍入规则
1、 若舍去部分的数值小于保留部分末位的半个单位，则末位不变。 例如：将下列数据舍入到小数点后第二位
1.2348→1.23（因为0.0048<0.005） 5.62499→5.62（因为0.00499<0.005）
保留数字位数
1、 测量结果中， m 或 m单保留数字位数应与不确定度一致
例如 ：
0.03cm k 1 U 0.03cm
m 18.625cm 取 m 18.62cm M (1.862 0.003) 10 cm
2、 最终结果，标准偏差 取一位有效数字，相对误差 E 取两位有效数 字。在计算过程中多取一位，在误差处理中， 和 E 都采用进位的