电子的自旋算符与自旋波函数

e MS S c
自旋磁矩，在空间任何方向上的投影只能取两个数值：
e M M S B z 2 c
Bohr 磁子 ( CGS )
（四）回转磁比率
（1）电子回转磁比率
MSz Sz
（2）轨道回转磁比率
e c
我们知道，轨道角动量与轨道磁矩的关系是：
e ML L 2c 则，轨道回转磁比率为：
S 态的氢原子束流，经非均匀磁场发 生偏转，在感光板上呈现两条分立线。
Z
N
S
（2）结论
I。氢原子有磁矩 因在非均匀磁场中发生偏转 II。氢原子磁矩只有两种取向 即空间量子化的
处于 S 态的 氢原子
（3）讨论
设原子磁矩为 M ，外磁场为 B ， 则原子在 Z 向外场 B 中的势能为： 磁矩与磁 场之夹角
U M B MB cos z

原子 Z 向受力
B U z F M co s z z z
分析
若原子磁矩可任意取向，则 cos 可在 （-1， +1）之间连续变化，感光板将呈现连续带 但是实验结果是：出现的两条分立线对应 cos = -1 和 +1 ，处于 S 态的氢原子 =0，没 有轨道磁矩，所以原子磁矩来自于电子的固有磁 矩，即自旋磁矩。
x y
由于自旋角动量在空间任意方向上的投影只能取 ±/2 两个值 所以
ˆ S x
ˆ S y
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ˆ S z
的本征值都是±/2，其平方为[/2]2
3 2 2 2 2 2 ˆ ˆ ˆ ˆ S S S S x y z 4
ˆ2 S
仿照
算符的本征值是
2 l( 2 L l 1 )
3 2 2 2 S s ( s 1 ) 4
ˆ) ˆ ˆ F F (r , p
而自旋角动量则与电子的坐标和动量无关，它是电子内部状态 的表征，是描写电子状态的第四个自由度（第四个变量）。 与其他力学量一样，自旋角动量 也是用一个算 符描写，记为 ˆ
S
自旋角动量 轨道角动量
与坐标、动量无关 同是角动量
ˆ r p
不适用
异同点
（三）自旋算符的矩阵表示与 Pauli 矩阵
（1） SZ的矩阵形式 a b S z 2c d
电子自旋算符（如SZ）是作用与电子自旋 波函数上的，既然电子波函数表示成了 2×1 的列矩阵，那末，电子自旋算符的 矩阵表示应该是 2×2 矩阵。
因为Φ 1/2 描写的态，SZ有确定值 /2，所以Φ 1/2 是 SZ 的本征态，本征值 为 /2，即有： a b ( r , t ) ( r t ) 1, 1 矩阵形式 S 1 2 1 z 2 cd 2 2 0 2 0 a 1 1 a 1 同理对Φ –1/2 处理，有 c 0 c 0 1
满足同样的角动量对易关系
轨道角动量 ˆ L ˆ ˆ ˆ L L i L ˆ ,L ˆ ] i L ˆ [L x y z ˆ ,L ˆ ] i L ˆ [L y z x ˆ ,L ˆ ] i L ˆ [L z x y
自旋角动量 ˆ S ˆ ˆ ˆ S S i S ˆ ,S ˆ ] i S ˆ [S x y z ˆ ,S ˆ ] i S ˆ [S y z ˆ ,S ˆ ] i S ˆ [S z x
（二）光谱线精细结构
钠原子光谱中的一条 亮黄线 5893Å，用 高分辨率的光谱仪观测， 可以看到该谱线其实是 由靠的很近的两条谱线 组成。 其他原子光谱中也可以 发现这种谱线由更细的一 些线组成的现象，称之为 光谱线的精细结构。该现 象只有考虑了电子的自旋 才能得到解释
3p
58 93 Å
3p3/2 D1
1 s 2
自旋量子数 s 只有一个数值
（二）含自旋的状态波函数
因为自旋是电子内部运动自由度，所以描写电子运动除了用 (x, y, z) 三个坐标变量外，还需要一个自旋变量 (SZ），于是电 子的含自旋的波函数需写为： ( x ,y , z , S , t ) ( r t ) ( x ,y ,z , ,t ) z 1 , 2 ( r ,t ) ( x ,y ,z , ,t ) 2 2 由于 SZ 只取 ±/2 两个值，
58 96 Å
3p1/2 D2
58 90 Å
3s
3s1/2
（三）电子自旋假设
Uhlenbeck 和 Goudsmit 1925年根据上述现象提 出了电子自旋假设 （1）每个电子都具有自旋角动量，它在空间任何方向上 的投影只能取两个数值： S S z 2 （2）每个电子都具有自旋磁矩，它与自旋角动量的关系为：
所以上式可写为两个分量： 规定列矩阵 第一行对应于Sz = /2， 第二行对应于Sz = -/2。
写成列矩阵
1(r, t) (r , t ) 2
若已知电子处于Sz = /2或Sz = -/2的 自旋态，则波函数可分别写为： ( r t ) 0 1 , 1 1 2 2 ( r , t ) 0 2
第六章 电子自旋
§1 电子的自旋 §2 电子的自旋算符和自旋波函数 §3 简单塞曼效应 §4 两个角动量耦合 §5 光谱精细结构
§1 电子的自旋
（一）Stern-Gerlach 实验 (二）光谱线精细结构 （三）电子自旋假设 （四）回转磁比率
（一）Stern-Gerlach 实 验 （1）实验描述

e 2c
可见电子回转磁比率是轨道 回转磁比率的二倍
§2 电子的自旋算符和自旋波函数
（一）自旋算符 （二）含自旋的状态波函数 （三）自旋算符的矩阵表示与 Pauli 矩阵 （四）含自旋波函数的归一化和几率密度 （五）自旋波函数 （六）力学量平均值
（一）自旋算符
•自旋角动量是纯量子概念，它不可能用经典力学来解释。 •自旋角动量也是一个力学量，但是它和其他力学量有着根本的差别 通常的力学量都可以表 示为坐标和动量的函数