电子的自旋算符与自旋波函数
自旋是一个力学量,在量子力学中,它应该用线性厄米算符表示。其
（6.2.21）
01 0 i
10
S x2 10 ,S y2 i 0 ,S z2 0 1
（6.2.22）
6.2 电子自旋算符和自旋函数
可以表泡x ,示利y ,为矩 z单阵称位非为矩常泡阵有利和用矩。阵x ,。y ,因 z为三任个何矩2阵 2的的线厄性米组矩合阵，都所
y
x 与
y
令
ˆ x
a
c
b
d
（6.2.16）
由于 S x 是厄米矩阵， x 也是厄米矩阵，则 c b *
ˆxˆz
ˆzˆx
a
b*
b 1
d
0
0 1
1 0
0 a 1b*
b
d
a b a b
6.2 电子自旋算符和自旋函数
自旋是一个力学量，在量子力学中，它应该用线性厄
米算符表示。其次，既然是算符，它的性质就应该由算符
所满足的对易关系决定。由于自旋具有角动量性质，而角
动量算符 Jˆ 满足的对易关系是：
JˆJˆi Jˆ
（6.2.1）
在量子力学中，不要误以为角动量就是 r pˆ ，r pˆ 只是
而
的本征值为 1 ，而且
ˆx2 ˆy2 ˆz2 1
定义：任意算符A 和 B 的反对易关系为
[A,B] ABBA
则
[ˆx,ˆy]ˆxˆy ˆyˆx
=21i(ˆyˆz ˆzˆy)ˆy21iˆy(ˆyˆz ˆzˆy)
=0
（6.2.9）
（6.2.10） （6.2.11） （6.2.12）
Sx2Sy2Sz224
16讲电子自旋
实验上，高温炉中的氢原子处于高压， 从炉中出来后气压骤降迅速冷却，使得 电子处于基态： ) = (10)， l = 0 → m = 0 (nl ∴ 所以， 所以， → Fz =0,原子似乎不应该偏转。 ∴→ M z电子偏转必然不来自轨道磁矩
7
一、电子自旋实验(6) 电子自旋实验
∂B 实验表明 Fz = − M z ≠ 0, 且 M z = ± µ B ∂z 分析表明 M z 不应该是轨道磁矩( M z = µ B m ) 由此，人们猜测： (1)除轨道磁矩外，必然存在别的磁矩。 (2)如果存在某种磁矩，它应该只取两个值。 此外，对银原子、钠原子这些多电子原 子，该如何解释？
20
三、自旋角动量算符与泡里算符(2) 自旋角动量算符与泡里算符 r
三、自旋角动量算符与泡里算符(3) 自旋角动量算符与泡里算符 r ˆ 引进无量纲的算符 σ → Pauli 算符， r r ˆ ˆ 其定义为 S = (h 2)σ , 有 ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ σ xσ y − σ yσ x = 2iσ z S x S y − S y S x = ih S z ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ S y S z − S z S y = i h S x → σ yσ z − σ zσ y = 2i σ x ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ S S − S S = ihS ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ σ σ − σ σ = 2i σ
14
二、自旋态与自旋波函数(2) 自旋态与自旋波函数
∴ψ ( r , s z )可用一个列向量来表示 ψ 1 ( r ) → s z = h / 2的自旋态 ψ = ψ 2 ( r ) → s z = − h / 2的自旋态 按波函数的统计诠释，电子以 一定的概率处于 ψ 1 ( r )或 ψ 2 ( r )，
§6.2 电子的自旋算符和自旋函数
§6.2 电子的自旋算符和自旋函数重点：自旋算符和波函数的引入及意义（一）自旋算符与轨道角动量满足同样的对易关系：（6.2-1a）分量式为：（6.2-1b）及（6.2-2）由于在空间任意方向上的投影只能取两个数值，所以三个算符的本征都是，即（6.2-3）的本征值用磁量子数示的式子，可以把的仿照轨道角动量z方向分量算符本征值表为（6.2-4）其中为自旋磁量子数。
因为自旋角动量平方算符：所以的本征值是（6.2-5）仿照的本征值用角量子数表示的式子，的本征值也可写成（6.2-6）比较（6.2-5）与（6.2-6）式，可得，我们称s为自旋量子数，它只能取一个数值，即。
（二）自旋波函数电子具有自旋，所以描写电子状态的波函数除包括描写其质心坐标x、y、z的自变量外，还需引入描写自旋变量S z，所以电子的波函数庆写为（6.2-7）由于S z只能取两个数值，所以上式实际上相当于两个波函数（6.2-8）根据波函数的统计解释，和表示t时刻的x、y、z点附近单位体积内找到电子自旋分别和的几率。
因此考虑到电子自旋以后，电子波函数的归一化条件为（6.2-9）和对x、y、z的依赖关系当电子的自旋和轨道运动相互作用小到可以略去时，这时是相同时，我们可以把（6.2-10）是描写自旋状态自旋函数，称为自旋波函数。
它的自旋变量S z只是取和式中（6.2-12）和任何力学量的算符一样，它的本征函数应是正交归一的，即（6.2-13）的态中，找到自旋的电子的几率为1，找到自显然，对于本征值为的电子的几率为零，因此，的函数数值可取为旋为（6.2-14）相似地有（6.2-15）首先把电子的波函数（6.2-8）式用下列二行一列矩阵表示（6.2-16）则（6.2-17）分别表示电子处于及的自旋态，而（6.2-18）是的共轭矩阵，于是波函数的归一化条件为（6.2-19）由（6.2-14）、（6.2-15）式，可将自旋波函数用下列二行一列矩阵来表示（6.2-20）其共厄矩阵为（6.2-21）正交归一关系为（6.2-22）当波函数用上述二行一列矩阵表示，则自旋算符应是二行二列矩阵，以便算符作用在波函数上仍得出二行一列的矩阵。
《量子力学》课程19
j ( j 1),
jl
1 2
jl
,
( , , s z )
2l 1 1 1
1 2
l m 1Y lm ( , ) l m Y lm 1 ( , )
jl
1 2
,
( , , s z )
jl
(sz )
z z
1 2
z
1 2
z
1 2
1 2
z
ˆ Sz
1 2
2
1 2
ˆ Sz1
2
2
1 2
这两个函数是彼此正交的。
量子力学
3、自旋函数的矩阵形式
在 表示为：
1/ 2
z
表象中，
1 2
、
0 1
1 2
的矩阵
1 0
1 2
l m Y lm ( , ) 2 l 1 l m 1Y lm 1 ( , )
对于
,
m max l , m min ( l 1)
量子力学
m l , l 1, , 0 , , ( l 1) mj m
量子力学
§7.5 光谱的精细结构
光谱的精细结构与自旋轨道藕合有关。 下面讨论在无外场时，电子自旋对类氢原子的 能级和谱线的影响。 对于类氢原子，如果不考虑电子自旋与轨 道相互作用的能量，则类氢原子的哈密顿为
ˆ H0
2
2
U (r )
2
若不考虑核外电子对核的屏蔽，则 U ( r ) r 根据前面的讨论，若不考虑电子的自旋，电子 的能量只与 n 有关，能量为 n 度简并，现在 把电子的自旋加进去（不考虑电子自旋与轨道
第六章电子自旋
⃗ ·S ⃗ ，⃗ ⃗ 等项。因为电子的自旋是其内禀属性，与轨道部分无直接关系，在不考虑 一般，H 需要包含B r·S 自旋轨道耦合作用时，我们可以作变量分离，令 ψ (⃗ r, Sz ) = ϕ (⃗ r) χ (Sz ) a b 于Sz = /2的几率，|b| 表示处于Sz = − /2的几率，归一化要求|a| + |b| = 1。 3
0 1
2
1 0 0 −1
)
(1 0) − 0 0 0 1 1 0 0 0 ) )
(0 1) =
(0 1) =
(1 0) =
Chapter VI
在二次量子化以后， |+⟩ =⇒ c+ i↑ 因此 ni S
+ + = c+ i↑ ci↑ + ci↓ ci↓
6.1 电 子自 旋 态 矢 量
S-G 实验清楚地告诉我们电子自旋z 方向的分量只有两个值，ms = ±1/2，可以用量子数Sz = ± /2来标注， 因此描述电子波函数应当写成二分量的形式 ψ (⃗ r, /2) ψ (⃗ r, − /2)
Ψ (⃗ r , Sz ) = 是一个旋量(spinor )波函数。
a b a b
a b
=λ
−1/2 λ
=0
λ =
1 1 1/2, a = b =⇒ χ′ + = √ 2 1 ⟩ 1 1 −1/2, a = −b =⇒ χ′ − = √ 2 −1 ⟩
( 2 ) 1 Example：在 S , Sz 表象中，有一个自旋向上的电子 → χ+ ，求测量Sx 的值和几率。 0 测量Sx 的值只能是sx = ± /2， 几率： χ′ + |χ+ ⟨ ⟨ ⟩
量子力学 08自旋
其中a,b,c,d为复数
可得 1 0
a c 0 a 1 c
即
0 1
ˆ ˆ ˆ ˆ z x x z
b a d c b d
b 1 d 0
b a d c
所以，
ˆ ˆ x
y
ˆ ˆ y
x
ˆ i z
三、泡利算符在 z 表象中的具体形式 上面我们引入了自旋算符，并讨论了它的代数，在适当表象中，可以
ˆ ˆ ˆ 将它们表示成矩阵。 现在来找特定表象下， x , y , z 算符的矩阵形式。
z 表象：指在 的本征矢作为基矢构成的空间中态矢量和力学量 ˆ
凡满足上式（5）的算符都是角动量。自旋既然是角动量，那
么它自然满足作为角动量定义的对易关系：
ˆ s is ˆ ˆ s
其分量形式：
（9）
ˆ ˆ ˆ [ s x , s y ] isz
ˆ ˆ ˆ [s y , sz ] is x
ˆ ˆ ˆ [sz , s x ] is y
第8章
自旋
一、提出电子自旋的实验根据：
1.钠黄线的精细结构
3p
D1
58 93 Å 58 96 Å
3p3/2 3p1/2
D2
58 90 Å
钠原子光谱中的一条亮黄线 = 5893Å，用高分辨率的光谱仪观 测，可以看到该谱线其实是由靠 的很近的两条谱线组成。
3s 2.反常塞曼效应
3s1/2
在弱磁场中，一条原子光谱线分裂成偶数条谱线的现象。 1912年反常塞曼效应，特别是氢原子的偶数重磁场谱线分裂 ， 无法用轨道磁矩与外磁场相互作用来解释 ，因为这只能分裂谱 线为 （2n+1）重，即奇数重。
周世勋《量子力学教程》(第2版)笔记和课后习题(含考研真题)详解(第7章 自旋与全同粒子——第8章
（2）无耦合表象
力学量组
(
J12
,
J1z
,
J
2 2
,
J
2
z
)
也相互对易，相应的表象称为无耦合表象。无耦合表象的基
矢为：| j1m1 j2m2 。
五、光谱的精细结构
在无外场的情形下，电子自旋对原子能级和谱线有影响。在哈密顿量中体现在电子的自
旋和轨道运动之间的相互作用引起了附加项。体系的哈密顿量可表示为：
2
三、简单塞曼效应 1．简单塞曼效应概念 在没有外磁场时的一条谱线在外磁场中分裂为三条，这即是简单塞曼效应。
2．简单塞曼效应的物理机制
考虑氢原子或类氢原子在均匀外磁场中的情形。在较强的外磁场作用下，须考虑电子的
轨道磁矩和自旋磁矩与磁场 B 的相互作用。由于外磁场较强，可略去电子的自旋和轨道运
动之间的相互作用能量。此时，哈密顿量可表示为：
H
2
2me
2
U (r)
eB 2mec
(2Sz
Lz )
力学量组 (H , L2 , J 2 , J z ) 相互对易，其共同本征函数是定态薛定谔方程的解：
nlmms (r, ,, sz ) Rnl (r)Ylm ( ,)ms (sz )
则 Enlmms
Enl
eB 2mec
(m
2ms
)
EEnlnl22ememBBecec((mm11)), ,
。
(r , 2 ,t)
2 / 31
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在
z
表象中，s
z
的本征值为：
2
，相应的本征态为：
1 2
5-2 电子的自旋
ˆ I s
(12)
再根据(4)式，可知
ˆ 1 ,m m S z s s 2
因此
1 1 , ms , ms 2 2
(13)
2 1 ˆ2 1 , m S , ms z s 2 4 2
(14)
ˆ 和S ˆ 的本征值也只能取 同样道理， S y x
2
，因此在电子的自旋态空间
s 1/2
(7)
ms s
s
ˆ s, ms s, ms I s
(8)
ˆ 是 I s
s 中的单位算符。
5-2 电子的自旋
~2~
对于
s 中的任意矢量
，可以用基 s, ms 展开为
ms s
s
s, ms s, ms
(9)
根据(3)式可知
ˆ 2 s s 1 S
1 1 , ms , ms 2 2
(30)
为了简化记号，引入
在文献中，
1 1 , , 2 2
1 1 , 2 2
(31)
, 也常被记为 , 、或者 , ，等等。
ˆ z 的本征矢量，本征值分别为1, 1 , 也是
由(16)可知
ˆz , ˆz
(58)
电子的态空间是空间波函数的态空间 我们将 改记为
与自旋态空间
s 1/ 2
的张量积。为了明确起见，
r
，下标 r 表示与空间位置自由度有关的态空间。如果在
s 1/ 2
r
ˆ 的本 中选择 r
征矢量组 r 为
r
为基，
中选择
,
第一讲电子自旋的实验证明及性质
总磁矩为：
Mz
dM z
Je d r2 sin2
meh
r sin
nlm
2
d
r2 sin2
meh
2
2 r sin
nlm
2
d
meh
2
2 r sin nlm 2 d
• 其中：d rddr，利用波函数 nlm 的归一 关系：
nlm 2 d nlm 2 r2 sin d ddr
• 根据轨道磁矩与轨道角动量的关系：
M¶
z
gL
e
2
L$z
• 假设这个关系定性地适用于所有角动量与
磁矩。由于原子核（质子或中子）的质量
远远大于电子的质量，所以核磁矩导致的
贡献要远远小于电子自旋磁矩的贡献。
• 对于氢原子基态而言，l=0，所以原子束分 裂是电子自旋磁矩导致的，取值个数为：； 所以电子自旋为1/2。
• •
令： 属于
1 2
(
S
z)
S
z
为 S2,S
的本征值
z
的共同本征自旋波函数，
ms 1/ 2
S 2, Sz 可互相对易，本征方程为
Sˆz 1
2
(Sz )
h 2
1
2
(Sz ), Sˆz 1 2
(Sz )
h 2
1 2
(Sz )
Sˆ
2
1
2
(Sz
)
3h 4
1
(S
z
),
Sˆ
2
1
(S
z
)
2
2
3h2 4
1 (Sz) 2
• 例如在轨道角动量l的取值中不包含半整数。 而角动量A则包含了半整数，因为它代表着 角动量的普遍性。
量子力学知识点小结
量子力学知识总结认真、努力、坚持、反思、总结…物理111 杨涛量子力学知识点小结一、绪论1.光的粒子性是由黑体辐射、光电效应和康普顿效应（散射）三个实验最终确定的。
2.德布罗意假设是任何物质都具有波粒二象性，其德布罗意关系为E h ν=和h p n κλ==3.波尔的三个基本假设是定态条件假设、n mE E h ν-=频率条件假设、化条件）（索末菲等推广的量子21或量子化条件假设⎰⎰+==h n pdq nh pdq ）（4.自由粒子的波函数()ip r Et Aeψ⋅-=5.戴维孙革末的电子在晶体上衍射实验证明了电子具有波动性。
二、波函数及薛定谔方程（一）波函数的统计解释（物理意义）A.波函数(,)r t ψ的统计解释2(,)r t d t r ψτ表示时刻在点位置处单位体积内找2sin d r drd d τθϕθ=到粒子的几率（注：）。
B. 波函数(,,,)x y z t ψ的统计解释2(,,,),,x y z t dxdydz t x y z ψ表示时刻在点（）位置处单位体积没找到粒子的几率。
例：已知体系处于波函数(,,)x y z ψ所描写的状态，则在区间[,]x x dx +内找到粒子的概率是2(,,)x y z dydz dx ψ+∞+∞-∞-∞⎡⎤⎢⎥⎣⎦⎰⎰. 已知体系处于波函数(,,)r ψθϕ所描写的状态，则在球壳r r dr →+内找到粒子的概率是22200(,,)sin r d d r dr ππψθϕθϕθ⎡⎤⎢⎥⎣⎦⎰⎰，在立体角d Ω内找到粒子的概率是220(,,)r r dr d ψθϕ∞⎡⎤Ω⎢⎥⎣⎦⎰.（注：sin d d d θϕθΩ=） （二）态叠加原理：如果1ψ和2ψ是体系的可能状态，那么它们的线性叠加1122c c ψψψ=+（12c c 、为复数）也是这个体系可能的状态。
含义：当体系处于1ψ和2ψ的线性叠加态1122c c ψψψ=+（12c c 、为复数） 时，体系既处于1ψ态又处于态2ψ，对应的概率为21c 和22c .（三）概率密度（分布）函数2()()x x x ψωψ=若波函数为，则其概率密度函数为（）（四）薛定谔方程：22()2i U r t m∂ψ=-∇ψ+ψ∂ 22222222222222222()21cos 1 ()sin sin x y zr r r r r θθθθθϕ∂∂∂∇=+∂∂∂⎛⎫∂∂∂∂∂∇=+++ ⎪∂∂∂∂∂⎝⎭拉普拉斯算符直角坐标球坐标问题：1.描写粒子（如电子）运动状态的波函数对粒子（如电子）的描述是统计性的.2. 薛定谔方程是量子力学的一个基本假设，不是通过严格的数学推导而来的（五）连续性方程：()**0( )2J tiJ mω∂+∇⋅=∂≡ψ∇ψ-ψ∇ψ注：问题：波函数的标准条件单值、连续、有界。
电子自旋和自旋波函数
电子自旋和自旋波函数摘要：运用利力学量算符和波函数的矩阵表示，在Sz表象中讨论了电子自旋算符及其波函数的构造，找出并证明了一些性质。
同时对比轨道角动量和自旋角动量就自旋的本质提出新的问题关键词：自旋；Sz表象；角动量自旋是量子力学的特有概念，量子力学是随着物理学的发展为了解释微观领域的实验现象，在许多物理学家的共同努力下建立并逐渐完善起来的。
其确立促进了实验工作的发展，特别在原子光谱的实验中，先后发现了光谱的精细结构和反常Zeeman效应。
如在碱金属钠原子光谱中，起初看到有一条波长为589.3nm的黄线，由于光谱仪的分辨率的提高，后来发现它是两条谱线构成的。
它的波长分别喂589.6nm和589.0nm，此即所谓碱金属光谱的双线结构。
另外，在弱磁场中，一条光谱线会分裂成偶数条谱线，称为反常Zeeman效应。
原有的量子理论已经无法解释这些新的物理现象。
1925年，为了解释，Uhlenbeck和Goudsimt提出了电子具有自旋的假设，稍后由Pauli 加以完善。
除上述实验现象外，Stern—Gerlach实验也是电子自旋±±的客观存在的重要实验依据，电子具有自旋就像电子具有的质量和电荷一样，电子的自旋也是表征电子固有属性的物理量，自宣德存在，这标志电子又有了一个新的自由度[1]依据实验事实得出：每个电子都具有自旋S，它在任意方向上得投影只能取两个值S z=±/2[2]1.1 电子自旋算符和自旋波函数在量子力学中，微观粒子的力学量用算符表示，由于自旋具有角动量的特征和量纲，运用角动量算符的普遍定义我们通过运用角动量算符的普遍定义A×A=一ihA 写出电子自旋角动量算符的定义S×S=ih S其分量式为：[Sx，Sy ]=ihSz：[Sy ，Sz ]=ihSx[Sz ，Sx ]==ihSy ． (1)根据角动量空间量子化的性质，设电子自旋量子数为s，则电子的自旋角动量沿空间特定方向的分量个2s+1=2(s=1/2)，因而S2算符的本征值为S2=s（s+1）h 2=3h2/4算符的本征值为Sz=m s h（m s=±1/2）(力学量算符的本征值就是实验中的观值)．任何电子都有相同的自旋角动量，引入无量纲的矢量算符σ（泡利算符）在σz表象中：σx=0110⎛⎫⎪⎝⎭σy=ii-⎛⎫⎪⎝⎭σz=1001⎛⎫⎪-⎝⎭泡利算符是用自旋算符S=h/2σ来定义的，显然泡利算符与自旋算符只相差一个常数h/2，它是一个无量纲的算符,在σz表象中，自旋角动量的分量算符的矩阵表示为：S x =h/20110⎛⎫⎪⎝⎭Sy= h/2ii-⎛⎫⎪⎝⎭Sz= h/21001⎛⎫⎪-⎝⎭(2)Sz在自身表象中为对角矩阵，对角矩阵元即为其本征值±h/2，S x，S y，S z的本征值均为±h/2。
量子力学_陈洪_电子教案第7章自旋与角动量
σx, σy, σz 称为泡利矩阵
0 1 0 i 1 0 x 1 0 ; y i 0 ; z 0 1
7.3 电子自旋波函数
电子波函数写 成矩阵形式
1 ( x , y , z , t ) ( x, y, z, t ) 2
讨论: 1. 对波函数归一化时必须同时对自旋求 和和对空间坐标积分
2 1 2 2 d x r , S , t ( *, *) ( z 1 2 2 )d 1 1 Sz 2 2 2 1 表示在t时刻在（x , y , z）点周围单位体积找到 自旋S z 的几率 2 2 2 表示在t时刻在（x , y , z）点周围单位体积找到 自旋S z 的几率 2 3
2. 两个粒子的自旋-自旋耦合或轨道-轨道耦合
二. 两个角动量的耦合后的对易关系
J 1 , J 2 表示体系的两个角动量 算符, 且J 1与J 2 相互独立 则 [ J 1 x , J 1 y ] iJ 1 z [ J 2 x , J 2 y ] iJ 2 z [ J 1 y , J 1 z ] iJ 1 x [ J 2 y , J 2 z ] iJ 2 x [ J 1 z , J 1 x ] iJ 1 y [ J 2 z , J 2 x ] iJ 2 y 因为两角动量独立则 [ J 1 , J 2 ] 0 令 J J1 J 2
(1) 则 [ J x , J y ] iJ z [ J y , J z ] iJ x [ J z , J x ] iJ y
证 : [J x , J y ] [J1 x J 2 x , J1 y J 2 y ] ( J 1 x J 2 x )( J 1 y J 2 y ) ( J 1 y J 2 y )( J 1 x J 2 x ) J1 x J1 y J1 x J 2 y J 2 x J1 y J 2 x J 2 y J1 y J1 x J1 y J 2 x J 2 y J1 x J 2 y J 2 x (J1 x J1 y J1 y J1 x ) (J 2 x J 2 y J 2 y J 2 x ) i( J 1z J 2z ) iJ z
电子的自旋
ˆ 描写，它无经典对 ③ 自旋角动量用自旋算符 s 应，因为不能写成坐标和动量的函数。
那么，电子的自旋算符该如何表示？计及自
旋后，电子的态函数又该如何表示？
§2 电子的自旋态和自旋算符
（一）电子自旋态的描述
考虑自旋后，电子的波函数写为二分量形式：
(r , 2 ) ( r , sz ) ( r , ) 2 第4个变量
【量子计算机中的基本概念 】 比特和昆比特
传统计算机的基本单元是一个用固体设备（晶 体管）代表的二进制数字位（bit，比特）0或者1。 晶体管关闭（输出电压为0V）代表了二进制数0， 晶体管打开（输出电压为5V）代表了二进制数1。 在任意时刻，一个存储器位只能存储和处理一个数 字0或1，不能同时存储和处理0和1。
归一化条件
d 1
共轭态
(r , ) 2 1 * ( r , ) * ( r , ) d 2 2 ( r , ) 2
* ( r , ) * ( r , ) 2 2
(sz ) 2
自旋向上的态 — (4)
(5)
ˆz 1 2 ( r , sz ) 1 2 ( r , sz ) s 2
本征值-ħ/2（自旋向下），本征函数-1/2。
0 , 1 ( r , sz ) ( r , ) 2 2
令
(sz ) 自旋向下的态 2
( m 电子折合质量 )
自旋磁矩在空间任何方向上的投影只能取两个值：
e z B 2m
(SI)
所以Stern-Gerlach实验中，原子磁矩应该来自于 电子的自旋运动，即自旋磁矩，它在 z 向投影有2个 值，所以观察到2条个分立线。
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可见电子回转磁比率是轨道 回转磁比率的二倍
§2 电子的自旋算符和自旋波函数
（一）自旋算符 （二）含自旋的状态波函数 （三）自旋算符的矩阵表示与 Pauli 矩阵 （四）含自旋波函数的归一化和几率密度 （五）自旋波函数 （六）力学量平均值
（一）自旋算符
•自旋角动量是纯量子概念，它不可能用经典力学来解释。 •自旋角动量也是一个力学量，但是它和其他力学量有着根本的差别 通常的力学量都可以表 示为坐标和动量的函数
ˆ) ˆ ˆ F F (r , p
而自旋角动量则与电子的坐标和动量无关，它是电子内部状态 的表征，是描写电子状态的第四个自由度（第四个变量）。 与其他力学量一样，自旋角动量 也是用一个算 符描写，记为 ˆ
S
自旋角动量 轨道角动量
与坐标、动量无关 同是角动量
ˆ r p
不适用
异同点
1 s 2
自旋量子数 s 只有一个数值
（二）含自旋的状态波函数
因为自旋是电子内部运动自由度，所以描写电子运动除了用 (x, y, z) 三个坐标变量外，还需要一个自旋变量 (SZ），于是电 子的含自旋的波函数需写为： ( x ,y , z , S , t ) ( r t ) ( x ,y ,z , ,t ) z 1 , 2 ( r ,t ) ( x ,y ,z , ,t ) 2 2 由于 SZ 只取 ±/2 两个值，
x y
由于自旋角动量在空间任意方向上的投影只能取 ±/2 两个值 所以
ˆ S x
ˆ S y
ˆ S z
的本征值都是±/2，其平方为[/2]2
3 2 2 2 2 2 ˆ ˆ ˆ ˆ S S S S x y z 4
ˆ2 S
仿照
算符的本征值是
2 l( 2 L l 1 )
3 2 2 2 S s ( s 1 ) 4
所以上式可写为两个分量： 规定列矩阵 第一行对应于Sz = /2， 第二行对应于Sz = -/2。
写成列矩阵
1(r, t) (r , t ) 2
若已知电子处于Sz = /2或Sz = -/2的 自旋态，则波函数可分别写为： ( r t ) 0 1 , 1 1 2 2 ( r , t ) 0 2
e MS S c
自旋磁矩，在空间任何方向上的投影只能取两个数值：
e M M S B z 2 c
Bohr 磁子 ( CGS )
（四）回转磁比率
（1）电子回转磁比率
MSz Sz
（2）轨道回转磁比率
e c
我们知道，轨道角动量与轨道磁矩的关系是：
e ML L 2c 则，轨道回转磁比率为：
满足同样的角动量对易关系
轨道角动量 ˆ L ˆ ˆ ˆ L L i L ˆ ,L ˆ ] i L ˆ [L x y z ˆ ,L ˆ ] i L ˆ [L y z x ˆ ,L ˆ ] i L ˆ [L z x y
自旋角动量 ˆ S ˆ ˆ ˆ S S i S ˆ ,S ˆ ] i S ˆ [S x y z ˆ ,S ˆ ] i S ˆ [S y z ˆ ,S ˆ ] i S ˆ [S z x
（二）光谱线精细结构
钠原子光谱中的一条 亮黄线 5893Å，用 高分辨率的光谱仪观测， 可以看到该谱线其实是 由靠的很近的两条谱线 组成。 其他原子光谱中也可以 发现这种谱线由更细的一 些线组成的现象，称之为 光谱线的精细结构。该现 象只有考虑了电子的自旋 才能得到解释
3p
58 93 Å
3p3/2 D1
S 态的氢原子束流，经非均匀磁场发 生偏转，在感光板上呈现两条分立线。
Z
N
S
（2）结论
I。氢原子有磁矩 因在非均匀磁场中发生偏转 II。氢原子磁矩只有两种取向 即空间量子化的
处于 S 态的 氢原子
（3）讨论
设原子磁矩为 M ，外磁场为 B ， 则原子在 Z 向外场 B 中的势能为： 磁矩与磁 场之夹角
58 96 Å
3p1/2 D2
58 90 Å
3s
3s1/2
（三）电子自旋假设
Uhlenbeck 和 Goudsmit 1925年根据上述现象提 出了电子自旋假设 （1）每个电子都具有自旋角动量，它在空间任何方向上 的投影只能取两个数值： S S z 2 （2）每个电子都具有自旋磁矩，它与自旋角动量的关系为：
第六章 电子自旋
§1 电子的自旋 §2 电子的自旋算符和自旋波函数 §3 简单塞曼效应 §4 两个角动量耦合 §5 光谱精细结构
§1 电子的自旋
（一）Stern-Gerlach 实验 (二）光谱线精细结构 （三）电子自旋假设 （四）回转磁比率
（一）Stern-Gerlach 实 验 （1）实验描述
（三）自旋算符的矩阵表示与 Pauli 矩阵
（1） SZ的矩阵形式 a b S z 2c d
电子自旋算符（如SZ）是作用与电子自旋 波函数上的，既然电子波函数表示成了 2×1 的列矩阵，那末，电子自旋算符的 矩阵表示应该是 2×2 矩阵。
因为Φ 1/2 描写的态，SZ有确定值 /2，所以Φ 1/2 是 SZ 的本征态，本征值 为 /2，即有： a b ( r , t ) ( r t ) 1, 1 矩阵形式 S 1 2 1 z 2 cd 2 2 0 2 0 a 1 1 a 1 同理对Φ –1/2 处理，有 Байду номын сангаасc 0 c 0 1
U M B MB cos z
原子 Z 向受力
B U z F M co s z z z
分析
若原子磁矩可任意取向，则 cos 可在 （-1， +1）之间连续变化，感光板将呈现连续带 但是实验结果是：出现的两条分立线对应 cos = -1 和 +1 ，处于 S 态的氢原子 =0，没 有轨道磁矩，所以原子磁矩来自于电子的固有磁 矩，即自旋磁矩。