初中数学方程与不等式之一元二次方程难题汇编及解析

初中数学方程与不等式之一元二次方程难题汇编及解析
一、选择题
1．今年深圳的房价平均20000元/平方米，政府要控房价预计后年均价在16000元/平方米，若每年降价均为x%，则下列方程正确的是（ ）
A ．220000(1x%)16000+=
B ．220000(1x%)16000-=
C ．220000(12x%)16000+=
D ．()2200001x %16000-= 【答案】B
【解析】
【分析】
已知今年房价及每年降价率，可依次算出降价后明年及后年的房价.
【详解】
解：根据每年降价均为x%，则第一次降价后房价为20000(1-x%)元，第二次在20000(1-x%)元基础上又降低x%，变为20000(1-x%)(1-x%)元，即220000(1-x%)，进而可列出方程：
220000(1x%)16000-=
故选B
【点睛】
本题考查了由实际问题抽象出一元二次方程中增长率与下降率问题，关键是公式a(1x%)n b ±=的应用，理解公式是解决本题的关键.
2．若关于x 的一元二次方程x 2﹣2x +m ＝0没有实数根，则实数m 的取值是( ) A ．m ＜1
B ．m ＞﹣1
C ．m ＞1
D ．m ＜﹣1
【答案】C
【解析】
试题解析：关于x 的一元二次方程2x 2x m 0-+=没有实数根， ()2
24241440b ac m m ∆=-=--⨯⨯=-<，
解得： 1.m >
故选C ．
3．代数式2x -4x +5的最小值是（ ）
A ．-1
B ．1
C ．2
D ．5
【答案】B
【解析】 2x -4x +5
=2x -4x +4-4+5
=2(2)x -+1
∵2(2)x -≥0，
∴2(2)x -+1≥1，
∴代数2x -4x +5的最小值为1．
故选B.
点睛：解这类题时，通常先通过配方把原式化为“一个完全平方式”和“一个常数”的和的形式，再把完全平方式分解因式化为一个代数式的平方的形式，就可由“任何代数式的平方都是非负数”可知原式的最小值就是那个“常数”.
4．对于一元二次方程ax 2+bx +c ＝0（a ≠0），下列说法：
①若b ＝ax 2+bx +c ＝0一定有两个相等的实数根；
②若方程ax 2+bx +c ＝0有两个不等的实数根，则方程x 2﹣bx +ac ＝0也一定有两个不等的实数根；
③若c 是方程ax 2+bx +c ＝0的一个根，则一定有ac +b +1＝0成立；
④若x 0是一元二次方程ax 2+bx +c ＝0的根，则b 2﹣4ac ＝（2ax 0+b ）2，其中正确的（ ）
A ．只有①②③
B ．只有①②④
C ．①②③④
D ．只有③④
【答案】B
【解析】
【分析】
判断上述方程的根的情况，只要看根的判别式△=-24b ac 的值的符号就可以了．④难度较大，用到了求根公式表示0x ．
【详解】
解：①若b =，方程两边平方得b 2＝4ac ，即b 2﹣4ac ＝0，所以方程ax 2+bx +c ＝0一定有两个相等的实数根；
②若方程ax 2+bx +c ＝0有两个不等的实数根，则b 2﹣4ac ＞0
方程x 2﹣bx +ac ＝0中根的判别式也是b 2﹣4ac ＞0，所以也一定有两个不等的实数根； ③若c 是方程ax 2+bx +c ＝0的一个根，则一定有ac 2+bc +c ＝0成立，
当c ≠0时ac +b +1＝0成立；当c ＝0时ac +b +1＝0不成立；
④若x 0是一元二次方程ax 2+bx +c ＝0的根，可得0x ， 把x 0的值代入（2ax 0+b ）2，可得b 2﹣4ac ＝（2ax 0+b ）2，
综上所述其中正确的①②④．
故选：B ．
【点睛】
此题主要考查了根的判别式及其应用．尤其是④难度较大，用到了求根公式表示0x ，整体代入求2204(2)b ac ax b -=+．
总结：一元二次方程根的情况与判别式△的关系：
（1）△0
>⇔方程有两个不相等的实数根；
（2）△0
=⇔方程有两个相等的实数根；
（3）△0
<⇔方程没有实数根．
5．若a，b为方程2x5x10
--=的两个实数根，则22a3ab8b2a
++-的值为（）A．-41 B．-35 C．39 D．45
【答案】C
【解析】
【分析】
根据一元二次方程的解的定义及一元二次方程根与系数的关系可得a2-5a-1=0，a+b=5，ab=-1，把22a3ab8b2a
++-变形为2(a2-5a-1)+3ab+8(a+b)+2，即可得答案．
【详解】
∵a，b为方程2x5x10
--=的两个实数根，
∴a2-5a-1=0，a+b=5，ab=-1，
∴22a3ab8b2a
++-
=2(a2-5a-1)+3ab+8(a+b)+2
=2×0+3×（-1）+8×5+2
=39．
故选：C．
【点睛】
本题主要考查一元二次方程的解的定义及一元二次方程根与系数的关系，若一元二次方程
ax2+bx+c=0(a≠0)的两个根为x1、x2，则x1+x2=
b
a
-，x1·x2=
c
a
；熟练掌握韦达定理是解题关
键．
6．某班同学毕业时，都将自己的照片向全班其他同学各送一张表示留念，全班共送1892张照片，如果全班有x名同学，根据题意，列出方程为（）
A．x（x+1）=1892 B．x（x−1）=1892×2
C．x（x−1）=1892 D．2x（x+1）=1892
【答案】C
【解析】试题分析：∵全班有x名同学，
∴每名同学要送出（x－1）张；
又∵是互送照片，
∴总共送的张数应该是x(x－1)＝1892．
故选C．
点睛：本题考查由实际问题抽象出二元一次方程组．计算全班共送多少张，首先确定一个人送出多少张是解题关键．
7．已知x=1是一元二次方程的解，则b的值为（）
A ．0
B ．1
C ．
D ．2
【答案】C
【解析】
【分析】 根据一元二次方程解的定义，把x=1代入x 2+bx+1=0得关于b 的一次方程，然后解一次方程即可．
【详解】
解：把x=1代入x 2+bx+1=0
得1+b+1=0，解得b=-2．
故选：C ．
【点睛】
本题考查了一元二次方程的解：能使一元二次方程左右两边相等的未知数的值是一元二次方程的解．
8．某厂四月份生产零件100万个，第二季度共生产零件282万个.设该厂五、六月份平均每月的增长率为x ，那么x 满足的方程是（ ）
A ．100（1+x ）2=282
B ．100+100（1+x ）+100（1+x ）2=282
C ．100（1+2x ）＝282
D ．100+100（1+x ）+100（1+2x ）=282
【答案】B
【解析】
【分析】
主要考查增长率问题，一般增长后的量=增长前的量×（1+增长率），如果该厂五、六月份平均每月的增长率为x ，那么可以用x 分别表示五、六月份的产量，然后根据题意可得出方程．
【详解】
五月份的产量=100（1+x ），六月份的产量=1002(1)x +， 根据题意可得：
100+100（1+x ）+1002(1)x +=282.
故选：B ．
【点睛】
本题考查了由实际问题抽象出一元二次方程，增长率问题，一般形式为2
(1)a x b +=，a 为起始时间的有关数量，b 为终止时间的有关数量．
9．国庆期间电影《我和我的祖国》第一天票房约3亿元，以后每天票房按相同的增长率增长，三天后累计票房收入达10亿元，若把增长率记作x ，则方程可以列为（ ） A ．3(1)10x +=
B ．23(1)10x +=
C ．233(1)10x ++=
D ．233(1)3(1)10x x ++++=
【答案】D
【分析】
用含x 的代数式表示出第二天和第三天的票房收入，三天的票房收入再相加即得答案.
【详解】
解：设平均每天票房收入的增长率记作x ，则2
33(1)3(1)10x x ++++=. 故选：D.
【点睛】
本题考查的是一元二次方程的应用之增长降低率问题，一般的，若设变化前的量为a ，变化后的量为b ，平均变化率为x ，则经过两次变化后的数量关系为：()2
1a x b ±=.
10．李师傅去年开了一家商店，将每个月的盈亏情况都作了记录．今年1月份开始盈利，2月份盈利2000元，4月份盈利恰好2880元，若每月盈利的平均增长率都相同，这个平均增长率是（ ）
A ．20%
B ．22%
C ．25%
D ．44% 【答案】A
【解析】
【分析】
设这个平均增长率为x ，根据等量关系：2月份盈利额×（1+增长率）2=4月份的盈利额列出方程求解即可．
【详解】
设这个平均增长率为x ，根据题意得：
2000（1+x ）2=2880，
解得：x 1=20%，x 2=-2.2（舍去）．
答：这个平均增长率为20%．
故选A ．
【点睛】
此题主要考查了一元二次方程的应用，属于增长率的问题，一般公式为原来的量×（1±x ）2=后来的量，其中增长用+，减少用-，难度一般．
11．某商品原售价225元，经过连续两次降价后售价为196元，设平均每次降价的百分率为x ，则下面所列方程中正确的是（ ）
A ．22251196x （﹣）＝
B ．21961225x （﹣）＝
C ．22251196
x （﹣）＝ D ．21961225x （﹣）＝
【答案】A
【解析】
【分析】 可先表示出第一次降价后的价格，那么第一次降价后的价格×（1﹣降低的百分率）=225，把相应数值代入即可求解．
第一次降价后的价格为225×（1﹣x），第二次降价后的价格为225×（1﹣x）×（1﹣x），则225（1﹣x）2=196．
故选A．
【点睛】
本题考查了一元二次方程的应用-增长率问题．若设变化前的量为a，变化后的量为b，平均变化率为x，则经过两次变化后的数量关系为a（1±x）2=b．
12．新年里，一个小组有若干人，若每人给小组的其它成员赠送一张贺年卡，则全组送贺卡共72张，此小组人数为（）
A．7 B．8 C．9 D．10
【答案】C
【解析】
试题分析：设这个小组的人数为x个，则每个人要送其他（x﹣1）个人贺卡，则共有（x﹣1）x张贺卡，等于72张，由此可列方程．
解：设这个小组有x人，
则根据题意可列方程为：（x﹣1）x=72，
解得：x1=9，x2=﹣8（舍去）．
故选C．
13．徐工集团某机械制造厂制造某种产品，原来每件产品的成本是100元，由于提高生产技术，所以连续两次降低成本，两次降低后的成本是81元．则平均每次降低成本的百分率是（）
A．8.5％B．9％C．9.5％D．10％
【答案】D
【解析】
【分析】
设平均每次降低成本的百分率为x的话，经过第一次下降，成本变为100（1-x）元，再经过一次下降后成本变为100（1-x）（1-x）元，根据两次降低后的成本是81元列方程求解即可．
【详解】
解：设平均每次降低成本的百分率为x，根据题意得100（1-x）（1-x）=81，
解得x=0.1或1.9（不合题意，舍去）
即x=10%
故选D．
14．已知x1、x2是关于x的方程x2﹣ax﹣2=0的两根，下列结论一定正确的是（）A．x1≠x2B．x1+x2＞0 C．x1•x2＞0 D．x1＜0，x2＜0
【答案】A
分析：A 、根据方程的系数结合根的判别式，可得出△＞0，由此即可得出x 1≠x 2，结论A 正确；
B 、根据根与系数的关系可得出x 1+x 2=a ，结合a 的值不确定，可得出B 结论不一定正确；
C 、根据根与系数的关系可得出x 1•x 2=﹣2，结论C 错误；
D 、由x 1•x 2=﹣2，可得出x 1＜0，x 2＞0，结论D 错误．
综上即可得出结论．
详解：A ∵△=（﹣a ）2﹣4×1×（﹣2）=a 2+8＞0，
∴x 1≠x 2，结论A 正确；
B 、∵x 1、x 2是关于x 的方程x 2﹣ax ﹣2=0的两根，
∴x 1+x 2=a ，
∵a 的值不确定，
∴B 结论不一定正确；
C 、∵x 1、x 2是关于x 的方程x 2﹣ax ﹣2=0的两根，
∴x 1•x 2=﹣2，结论C 错误；
D 、∵x 1•x 2=﹣2，
∴x 1＜0，x 2＞0，结论D 错误．
故选A ．
点睛：本题考查了根的判别式以及根与系数的关系，牢记“当△＞0时，方程有两个不相等的实数根”是解题的关键．
15．如图，过点()1,2C 分别作x 轴、y 轴的平行线，交直线5y x =-+于A 、B 两点，若反比例函数(0)k y x x
=>的图象与ABC V 有公共点，则k 的取值范围是（ ）
A ．2524k ≤≤
B ．26k ≤≤
C ．24k ≤≤
D ．46k ≤≤
【答案】A
【解析】
【分析】 由点C 的坐标结合直线AB 的解析式可得出点A 、B 的坐标，求出反比例函数图象过点C 时的k 值，将直线AB 的解析式代入反比例函数解析式中，令其根的判别式△≥0可求出k 的取值范围，取其最大值，找出此时交点的横坐标，进而可得出此点在线段AB 上，综上即可得出结论．
解：令y ＝−x ＋5中x ＝1，则y ＝4，
∴B （1，4）；
令y ＝−x ＋5中y ＝2，则x ＝3，
∴A （3，2）， 当反比例函数k y x
=
（x ＞0）的图象过点C 时，有2＝1k ， 解得：k ＝2， 将y ＝−x ＋5代入k y x
=
中，整理得：x 2−5x ＋k ＝0， ∵△＝（−5）2−4k≥0，
∴k ≤254
， 当k ＝254时，解得：x ＝52， ∵1＜52
＜3， ∴若反比例函数k y x =
（x ＞0）的图象与△ABC 有公共点，则k 的取值范围是2≤k≤254， 故选：A ．
【点睛】
本题考查了反比例函数与一次函数的交点问题，解题的关键是求出反比例函数图象过点A 、C 时的k 值以及直线与双曲线有一个交点时k 的值．
16．两个不相等的实数m ，n 满足2265,65m m n n +=+=，则mn 的值为（ ） A ．6
B ．-6
C ．5
D ．-5 【答案】D
【解析】
【分析】
根据题意得到m ，n 可看作方程x 2-6x-5=0的两根，然后根据根与系数的关系求解即可.
【详解】
∵两个不相等的实数m ，n 满足22650, 650m m n n +-=+-=，
∴m ，n 可看作方程x 2-6x-5=0的两根，
∴mn=-5
故选：D.
【点睛】
此题考查了一元二次方程的根与系数的关系：x 1，x 2是一元二次方程ax 2+bx+c=0(a≠0)的两根时，12b x x a +=-，12c x x a
=.
17．已知24b ac -是一元二次方程()2
00++=≠ax bx c a 的一个实数根，则ab 的取值范围为（ ）
A ．18
ab ≥ B ．18ab ≤ C ．14ab ≥ D ．14
ab ≤ 【答案】B
【解析】
【分析】
设u 的两个一元二次方程，并且这两个方程都有实根，所以由判别式大于或等于0即可得到ab≤
18
． 【详解】
因为方程有实数解，故b 2-4ac≥0．
24b ac =-24b ac =-,设 则有2au 2-u+b=0或2au 2+u+b=0，（a≠0），
因为以上关于u 的两个一元二次方程有实数解，
所以两个方程的判别式都大于或等于0，即得到1-8ab≥0，
所以ab≤
18
． 故选B ．
【点睛】 本题考查了一元二次方程ax 2+bx+c=0（a≠0，a ，b ，c 为常数）的求根公式：
（b 2-4ac≥0）.
18．对于两个不相等的实数a ，b ，我们规定符号max {a ，b }表示a 、b 中的较大的数，如：max {2，4}＝4，按照这个规定，方程max {x ，﹣x }＝x 2﹣x ﹣1的解为（ ）
A ．或1
B ．1或﹣1
C ．1或1
D ．或﹣1
【答案】D
【解析】
【分析】
根据题意应分为x>0和x<0两种情况讨论，并列出关于x 的分式方程求解，结合x 的取值范围确定方程max {x ，﹣x }＝x 2﹣x ﹣1的解即可．
【详解】
解：①当x ≥﹣x ，即x ≥0时，
∵max {x ，﹣x }＝x 2﹣x ﹣1，
∴x ＝x 2﹣x ﹣1，
解得：x ＝1+2（1﹣2<0，不符合舍去）；
②当﹣x ＞x ，即x ＜0时，﹣x ＝x 2﹣x ﹣1，
解得：x ＝﹣1（1>0，不符合舍去），
即方程max {x ，﹣x }＝x 2﹣x ﹣1的解为1+2或﹣1，
故选：D ．
【点睛】
本题考查了解分式方程，有关实数、实数运算的新定义，掌握分式方程的解法是解题的关键．
19．在一幅长80cm ，宽50cm 的矩形风景画的四周镶一条金色纸边，制成一幅矩形挂图，如图所示，如果要使整幅挂图的面积是25400cm ，设金色纸边的宽为xcm ，那么x 满足的方程是（ ）
A ．213014000x x +-=
B ．2653500x x +-=
C ．213014000x x --=
D ．2653500x x --=
【答案】B
【解析】
【分析】 根据矩形的面积=长×宽，我们可得出本题的等量关系应该是：（风景画的长+2个纸边的宽度）×（风景画的宽+2个纸边的宽度）=整个挂图的面积，由此可得出方程.
【详解】
由题意，设金色纸边的宽为xcm ，
得出方程：（80+2x ）（50+2x ）=5400，
整理后得：2653500x x +-=
故选：B.
【点睛】
本题主要考查了由实际问题得出一元二次方程，对于面积问题应熟记各种图形的面积公式，然后根据等量关系列出方程是解题关键.
20．关于x 的方程2(5)410a x x ---=有实数根，则a 满足（ ）
A ．1a ≥
B ．1a >且5a ≠
C ．1a ≥且5a ≠
D ．5a ≠ 【答案】A
【解析】
【分析】
分类讨论：当a=5时，原方程变形一元一次方程，有一个实数解；当a≠5时，根据判别式的意义得到a≥1且a≠5时，方程有两个实数根，然后综合两种情况即可得到满足条件的a 的范围．
【详解】
当a=5时，原方程变形为-4x-1=0，解得x=-1
4
；
当a≠5时，△=（-4）2-4（a-5）×（-1）≥0，解得a≥1，即a≥1且a≠5时，方程有两个实数根，
所以a的取值范围为a≥1．
故选A．
【点睛】
本题考查了一元二次方程ax2+bx+c=0（a≠0）的根的判别式△=b2-4ac：当△＞0，方程有两个不相等的实数根；当△=0，方程有两个相等的实数根；当△＜0，方程没有实数根．也考查了一元二次方程的定义．。