初中数学方程与不等式之一元二次方程难题汇编及解析

初中数学方程与不等式之一元二次方程难题汇编及解析

一、选择题

1．今年深圳的房价平均20000元/平方米，政府要控房价预计后年均价在16000元/平方米，若每年降价均为x%，则下列方程正确的是（ ）

A ．220000(1x%)16000+=

B ．220000(1x%)16000-=

C ．220000(12x%)16000+=

D ．()2200001x %16000-= 【答案】B

【解析】

【分析】

已知今年房价及每年降价率，可依次算出降价后明年及后年的房价.

【详解】

解：根据每年降价均为x%，则第一次降价后房价为20000(1-x%)元，第二次在20000(1-x%)元基础上又降低x%，变为20000(1-x%)(1-x%)元，即220000(1-x%)，进而可列出方程：

220000(1x%)16000-=

故选B

【点睛】

本题考查了由实际问题抽象出一元二次方程中增长率与下降率问题，关键是公式a(1x%)n b ±=的应用，理解公式是解决本题的关键.

2．若关于x 的一元二次方程x 2﹣2x +m ＝0没有实数根，则实数m 的取值是( ) A ．m ＜1

B ．m ＞﹣1

C ．m ＞1

D ．m ＜﹣1

【答案】C

【解析】

试题解析：关于x 的一元二次方程2x 2x m 0-+=没有实数根， ()2

24241440b ac m m ∆=-=--⨯⨯=-<，

解得： 1.m >

故选C ．

3．代数式2x -4x +5的最小值是（ ）

A ．-1

B ．1

C ．2

D ．5

【答案】B

【解析】 2x -4x +5

=2x -4x +4-4+5

=2(2)x -+1

∵2(2)x -≥0，

∴2(2)x -+1≥1，

∴代数2x -4x +5的最小值为1．

故选B.

点睛：解这类题时，通常先通过配方把原式化为“一个完全平方式”和“一个常数”的和的形式，再把完全平方式分解因式化为一个代数式的平方的形式，就可由“任何代数式的平方都是非负数”可知原式的最小值就是那个“常数”.

4．对于一元二次方程ax 2+bx +c ＝0（a ≠0），下列说法：

①若b ＝ax 2+bx +c ＝0一定有两个相等的实数根；

②若方程ax 2+bx +c ＝0有两个不等的实数根，则方程x 2﹣bx +ac ＝0也一定有两个不等的实数根；

③若c 是方程ax 2+bx +c ＝0的一个根，则一定有ac +b +1＝0成立；

④若x 0是一元二次方程ax 2+bx +c ＝0的根，则b 2﹣4ac ＝（2ax 0+b ）2，其中正确的（ ）

A ．只有①②③

B ．只有①②④

C ．①②③④

D ．只有③④

【答案】B

【解析】

【分析】

判断上述方程的根的情况，只要看根的判别式△=-24b ac 的值的符号就可以了．④难度较大，用到了求根公式表示0x ．

【详解】

解：①若b =，方程两边平方得b 2＝4ac ，即b 2﹣4ac ＝0，所以方程ax 2+bx +c ＝0一定有两个相等的实数根；

②若方程ax 2+bx +c ＝0有两个不等的实数根，则b 2﹣4ac ＞0

方程x 2﹣bx +ac ＝0中根的判别式也是b 2﹣4ac ＞0，所以也一定有两个不等的实数根； ③若c 是方程ax 2+bx +c ＝0的一个根，则一定有ac 2+bc +c ＝0成立，

当c ≠0时ac +b +1＝0成立；当c ＝0时ac +b +1＝0不成立；

④若x 0是一元二次方程ax 2+bx +c ＝0的根，可得0x ， 把x 0的值代入（2ax 0+b ）2，可得b 2﹣4ac ＝（2ax 0+b ）2，

综上所述其中正确的①②④．

故选：B ．

【点睛】

此题主要考查了根的判别式及其应用．尤其是④难度较大，用到了求根公式表示0x ，整体代入求2204(2)b ac ax b -=+．

总结：一元二次方程根的情况与判别式△的关系：

（1）△0

>⇔方程有两个不相等的实数根；

（2）△0

=⇔方程有两个相等的实数根；

（3）△0

<⇔方程没有实数根．

5．若a，b为方程2x5x10

--=的两个实数根，则22a3ab8b2a

++-的值为（）A．-41 B．-35 C．39 D．45

【答案】C

【解析】

【分析】

根据一元二次方程的解的定义及一元二次方程根与系数的关系可得a2-5a-1=0，a+b=5，ab=-1，把22a3ab8b2a

++-变形为2(a2-5a-1)+3ab+8(a+b)+2，即可得答案．

【详解】

∵a，b为方程2x5x10

--=的两个实数根，

∴a2-5a-1=0，a+b=5，ab=-1，

∴22a3ab8b2a

++-

=2(a2-5a-1)+3ab+8(a+b)+2

=2×0+3×（-1）+8×5+2

=39．

故选：C．

【点睛】

本题主要考查一元二次方程的解的定义及一元二次方程根与系数的关系，若一元二次方程

ax2+bx+c=0(a≠0)的两个根为x1、x2，则x1+x2=

b

a

-，x1·x2=

c

a

；熟练掌握韦达定理是解题关

键．

6．某班同学毕业时，都将自己的照片向全班其他同学各送一张表示留念，全班共送1892张照片，如果全班有x名同学，根据题意，列出方程为（）

A．x（x+1）=1892 B．x（x−1）=1892×2

C．x（x−1）=1892 D．2x（x+1）=1892

【答案】C

【解析】试题分析：∵全班有x名同学，

∴每名同学要送出（x－1）张；

又∵是互送照片，

∴总共送的张数应该是x(x－1)＝1892．

故选C．

点睛：本题考查由实际问题抽象出二元一次方程组．计算全班共送多少张，首先确定一个人送出多少张是解题关键．

7．已知x=1是一元二次方程的解，则b的值为（）