高中数学知识点扫描 七 解析几何练习题
高中数学解析几何测试题(答案版)
高中数学解析几何测试题(答案版)高中数学解析几何测试题(答案版)第一部分：平面解析几何1. 已知平面P1：2x + 3y - 4 = 0和平面P2：5x - 7y + 2z + 6 = 0，求平面P1和平面P2的夹角。
解析：首先，我们需要根据平面的一般式方程确定法向量。
对于平面P1，法向量为(n1, n2, n3) = (2, 3, 0)，对于平面P2，法向量为(n4, n5,n6) = (5, -7, 2)。
根据向量的内积公式，平面P1和平面P2的夹角θ可以通过以下公式计算：cosθ = (n1 * n4 + n2 * n5 + n3 * n6) / √[(n1^2 + n2^2 + n3^2) * (n4^2 + n5^2 + n6^2)]代入数值计算，得到cosθ ≈ 0.760，因此夹角θ ≈ 40.985°。
2. 已知四边形ABCD的顶点坐标为A(1, 2, 3)，B(4, 5, 6)，C(7, 8, 9)和D(10, 11, 12)，判断四边形ABCD是否为平行四边形，并说明理由。
解析：要判断四边形ABCD是否为平行四边形，我们需要比较四边形的对角线的斜率。
四边形ABCD的对角线分别为AC和BD。
根据两点间距离公式，我们可以计算出AC的长度为√99，BD的长度为√99。
同时，我们还需要计算坐标向量AC = (6, 6, 6)和坐标向量BD = (9, 9, 9)。
由于AC和BD的长度相等，且坐标向量AC与坐标向量BD的比值为1∶1∶1，因此四边形ABCD是一个平行四边形。
第二部分：空间解析几何3. 已知直线L1：(x - 1) / 2 = y / 3 = (z + 2) / -1和直线L2：(x - 4) / 3= (y - 2) / 1 = (z + 6) / 2，判断直线L1和直线L2是否相交，并说明理由。
解析：为了判断直线L1和直线L2是否相交，我们可以通过解方程组的方法来求解交点。
高中数学解析几何复习 题集附答案
高中数学解析几何复习题集附答案高中数学解析几何复习题集附答案一、直线的方程在解析几何中，我们经常需要求解直线的方程。
直线的一般方程可以表示为Ax + By + C = 0，其中A、B、C为常数，且A和B不同时为0。
下面我们通过一些例题来复习直线的方程的求解方法。
例题1：已知直线L1经过点（2，3）和（4，1），求直线L1的方程。
解析：首先我们可以求出直线L1的斜率k。
直线L1的斜率可以通过两个已知点的坐标计算出来：k = (y2 - y1) / (x2 - x1) = (1 - 3) / (4 - 2) = -1接下来，我们可以使用点斜式的形式来表示直线L1的方程：y - y1 = k(x - x1)将已知点（2，3）代入方程中，得到：y - 3 = -1(x - 2)化简得到直线L1的方程为：y = -x + 5因此，直线L1的方程为y = -x + 5。
例题2：已知直线L2过点（3，-2）且与直线L1: 2x - 3y + 4 = 0 平行，求直线L2的方程。
解析：由于直线L2与直线L1平行，所以它们具有相同的斜率。
直线L1的斜率为：k = 2 / (-3) = -2/3因此，直线L2的斜率也为-2/3。
再结合已知直线L2过点（3，-2），我们可以使用点斜式来表示直线L2的方程：y - y1 = k(x - x1)将已知点（3，-2）代入方程中，得到：y - (-2) = (-2/3)(x - 3)化简得到直线L2的方程为：3y + 2x + 10 = 0因此，直线L2的方程为3y + 2x + 10 = 0。
二、直线和平面的交点在解析几何中，我们经常需要求解直线和平面的交点。
我们可以通过直线的方程和平面的方程来求解交点的坐标。
下面我们通过一些例题来复习直线和平面交点的求解方法。
例题3：已知直线L3的方程为2x - y + 3z - 7 = 0，平面Q的方程为x + y - z + 4 = 0，求直线L3与平面Q的交点坐标。
解析几何练习题及答案
解析几何一、选择题1．已知两点A (－3，3)，B (3，－1)，则直线AB 的斜率是()A.3B．－3C.33D．－33解析：斜率k ＝－1－33－－3＝－33，故选D.答案：D2．已知直线l ：ax ＋y －2－a ＝0在x 轴和y 轴上的截距相等，则a 的值是()A．1B．－1C．－2或－1D．－2或1解析：①当a ＝0时，y ＝2不合题意．②a ≠0，x ＝0时，y ＝2＋a .y ＝0时，x ＝a ＋2a，则a ＋2a＝a ＋2，得a ＝1或a ＝－2.故选D.答案：D3．两直线3x ＋y －3＝0与6x ＋my ＋1＝0平行，则它们之间的距离为()A．4B．21313C.51326D．71020解析：把3x ＋y －3＝0转化为6x ＋2y －6＝0，由两直线平行知m ＝2，则d ＝|1－－6|62＋22＝71020.故选D.4．(2014皖南八校联考)直线2x －y ＋1＝0关于直线x ＝1对称的直线方程是()A．x ＋2y －1＝0B．2x ＋y －1＝0C．2x ＋y －5＝0D．x ＋2y －5＝0解析：由题意可知，直线2x －y ＋1＝0与直线x ＝1的交点为(1,3)，直线2x －y ＋1＝0的倾斜角与所求直线的倾斜角互补，因此它们的斜率互为相反数，直线2x －y ＋1＝0的斜率为2，故所求直线的斜率为－2，所以所求直线的方程是y －3＝－2(x －1)，即2x ＋y －5＝0.故选C.答案：C5．若直线l ：y ＝kx －3与直线2x ＋3y －6＝0的交点位于第一象限，则直线l 的倾斜角的取值围是()A.π6，D．π3，π2解析：由题意，可作直线2x ＋3y －6＝0的图象，如图所示，则直线与x 轴、y 轴交点分别为A (3,0)，B (0,2)，又直线l 过定点(0，－3)，由题知直线l 与线段AB 相交(交点不含端点)，从图中可以看出，直线l B.答案：B6．(2014一模)过点A (2,3)且垂直于直线2x ＋y －5＝0的直线方程为()A．x －2y ＋4＝0B．2x ＋y －7＝0C．x －2y ＋3＝0D．x －2y ＋5＝0解析：直线2x ＋y －5＝0的斜率为k ＝－2，∴所求直线的斜率为k ′＝12，∴方程为y －3＝12(x －2)，即x －2y ＋4＝0.答案：A7．过点(2,1)且在x 轴上截距与在y 轴上截距之和为6的直线方程为____________．解析：由题意知截距均不为零．设直线方程为x a ＋yb ＝1，b ＝6，＋1b＝1，＝3＝3＝4＝2.故所求直线方程为x ＋y －3＝0或x ＋2y －4＝0.答案：x ＋y －3＝0或x ＋2y －4＝08．(2014质检)若过点A (－2，m )，B (m,4)的直线与直线2x ＋y ＋2＝0平行，则m 的值为________．解析：∵过点A ，B 的直线平行于直线2x ＋y ＋2＝0，∴k AB ＝4－m m ＋2＝－2，解得m ＝－8.答案：－89．若过点P (1－a,1＋a )与Q (3,2a )的直线的倾斜角为钝角，则实数a 的取值围是________．解析：由直线PQ 的倾斜角为钝角，可知其斜率k <0，即2a －1＋a 3－1－a <0，化简得a －1a ＋2<0，∴－2<a <1.答案：(－2,1)10．已知k ∈R ，则直线kx ＋(1－k )y ＋3＝0经过的定点坐标是________．解析：令k ＝0，得y ＋3＝0，令k ＝1，得x ＋3＝0.＋3＝0，＋3＝0，＝－3，＝－3，所以定点坐标为(－3，－3)．答案：(－3，－3)三、解答题11．已知两直线l 1：x ＋y sin α－1＝0和l 2：2x sin α＋y ＋1＝0，试求α的值，使(1)l 1∥l 2；(2)l 1⊥l 2.解：(1)法一当sin α＝0时，直线l 1的斜率不存在，l 2的斜率为0，显然l 1不平行于l 2.当sin α≠0时，k 1＝－1sin α，k 2＝－2sin α.要使l 1∥l 2，需－1sin α＝－2sin α，即sin α＝±22，∴α＝k π±π4，k ∈Z .故当α＝k π±π4，k ∈Z 时，l 1∥l 2.法二由l 1∥l 22α－1＝0，α≠0，∴sin α＝±22，∴α＝k π±π4，k ∈Z .故当α＝k π±π4，k ∈Z 时，l 1∥l 2.(2)∵l 1⊥l 2，∴2sin α＋sin α＝0，即sin α＝0.∴α＝k π，k ∈Z .故当α＝k π，k ∈Z 时，l 1⊥l 2.12．设直线l 1：y ＝k 1x ＋1，l 2：y ＝k 2x －1，其中实数k 1，k 2满足k 1k 2＋2＝0.(1)证明l 1与l 2相交；(2)证明l 1与l 2的交点在椭圆2x 2＋y 2＝1上．证明：(1)假设l 1与l 2不相交，则l 1∥l 2即k 1＝k 2，代入k 1k 2＋2＝0，得k 21＋2＝0，这与k 1为实数的事实相矛盾，从而k 1≠k 2，即l 1与l 2相交．(2)法一＝k 1x ＋1，＝k 2x －1解得交点P而2x 2＋y 2＝8＋k 22＋k 21＋2k 1k 2k 22＋k 21－2k 1k 2＝k 21＋k 22＋4k 21＋k 22＋4＝1.即P (x ，y )在椭圆2x 2＋y 2＝1上．即l 1与l 2的交点在椭圆2x 2＋y 2＝1上．法二交点P 的坐标(x ，y－1＝k 1x ，＋1＝k 2x ，故知x ≠0.1＝y －1x，2＝y ＋1x.代入k 1k 2＋2＝0，得y －1x ·y ＋1x＋2＝0，整理后，得2x 2＋y 2＝1.所以交点P 在椭圆2x 2＋y 2＝1上．第八篇第2节一、选择题1．圆心在y 轴上，半径为1，且过点(1,2)的圆的方程为()A．x 2＋(y －2)2＝1B．x 2＋(y ＋2)2＝1C．(x －1)2＋(y －3)2＝1D．x 2＋(y －3)2＝1解析：由题意，设圆心(0，t )，则12＋t －22＝1，得t ＝2，所以圆的方程为x 2＋(y －2)2＝1，故选A.答案：A2．(2014模拟)动点P 到点A (8,0)的距离是到点B (2,0)的距离的2倍，则动点P 的轨迹方程为()A．x 2＋y 2＝32B．x 2＋y 2＝16C．(x －1)2＋y 2＝16D．x 2＋(y －1)2＝16解析：设P (x ，y )，则由题意可得2x －22＋y 2＝x －82＋y 2，化简整理得x 2＋y 2＝16，故选B.答案：B3．(2012年高考卷)已知圆C ：x 2＋y 2－4x ＝0，l 是过点P (3,0)的直线，则()A．l 与C 相交B．l 与C 相切C．l 与C 相离D．以上三个选项均有可能解析：x 2＋y 2－4x ＝0是以(2,0)为圆心，以2为半径的圆，而点P (3,0)到圆心的距离为d ＝3－22＋0－02＝1<2，点P (3,0)恒在圆，过点P (3,0)不管怎么样画直线，都与圆相交．故选A.答案：A4．(2012年高考卷)将圆x 2＋y 2－2x －4y ＋1＝0平分的直线是()A．x ＋y －1＝0B．x ＋y ＋3＝0C．x －y ＋1＝0D．x －y ＋3＝0解析：由题知圆心在直线上，因为圆心是(1,2)，所以将圆心坐标代入各选项验证知选项C 符合，故选C.答案：C5．(2013年高考卷)垂直于直线y ＝x ＋1且与圆x 2＋y 2＝1相切于第一象限的直线方程是()A．x ＋y －2＝0B．x ＋y ＋1＝0C．x ＋y －1＝0D．x ＋y ＋2＝0解析：与直线y ＝x ＋1垂直的直线方程可设为x ＋y ＋b ＝0，由x ＋y ＋b ＝0与圆x 2＋y 2＝1相切，可得|b |12＋12＝1，故b ＝± 2.因为直线与圆相切于第一象限，故结合图形分析知b ＝－2，则直线方程为x ＋y －2＝0.故选A.答案：A6．(2012年高考卷)直线x ＋3y －2＝0与圆x 2＋y 2＝4相交于A 、B 两点，则弦AB 的长度等于()A．25B．23C.3D．1解析：因为圆心到直线x ＋3y －2＝0的距离d ＝|0＋3×0－2|12＋32＝1，半径r ＝2，所以弦长|AB |＝222－12＝2 3.故选B.答案：B 二、填空题7．(2013年高考卷)直线y ＝2x ＋3被圆x 2＋y 2－6x －8y ＝0所截得的弦长等于________．解析：圆的方程可化为(x －3)2＋(y －4)2＝25，故圆心为(3,4)，半径r ＝5.又直线方程为2x －y ＋3＝0，∴圆心到直线的距离为d ＝|2×3－4＋3|4＋1＝5，∴弦长为2×25－5＝220＝4 5.答案：458．已知直线l ：x －y ＋4＝0与圆C ：(x －1)2＋(y －1)2＝2，则圆C 上各点到l 的距离的最小值为________．解析：因为圆C 的圆心(1,1)到直线l 的距离为d ＝|1－1＋4|12＋－12＝22，又圆半径r ＝ 2.所以圆C 上各点到直线l 的距离的最小值为d －r ＝ 2.答案：29．已知圆C 的圆心在直线3x －y ＝0上，半径为1且与直线4x －3y ＝0相切，则圆C 的标准方程是________．解析：∵圆C 的圆心在直线3x －y ＝0上，∴设圆心C (m,3m )．又圆C 的半径为1，且与4x －3y ＝0相切，∴|4m －9m |5＝1，∴m ＝±1，∴圆C 的标准方程为(x －1)2＋(y －3)2＝1或(x ＋1)2＋(y ＋3)2＝1.答案：(x －1)2＋(y －3)2＝1或(x ＋1)2＋(y ＋3)2＝110．圆(x －2)2＋(y －3)2＝1关于直线l ：x ＋y －3＝0对称的圆的方程为________．解析：已知圆的圆心为(2,3)，半径为1.则对称圆的圆心与(2,3)关于直线l 对称，由数形结合得，对称圆的圆心为(0,1)，半径为1，故方程为x 2＋(y －1)2＝1.答案：x 2＋(y －1)2＝1三、解答题11．已知圆C ：x 2＋(y －2)2＝5，直线l ：mx －y ＋1＝0.(1)求证：对m ∈R ，直线l 与圆C 总有两个不同交点；(2)若圆C 与直线相交于点A 和点B ，求弦AB 的中点M 的轨迹方程．(1)证明：法一直线方程与圆的方程联立，消去y 得(m 2＋1)x 2－2mx －4＝0，∵Δ＝4m 2＋16(m 2＋1)＝20m 2＋16>0，∴对m ∈R ，直线l 与圆C 总有两个不同交点．法二直线l ：mx －y ＋1恒过定点(0,1)，且点(0,1)在圆C ：x 2＋(y －2)2＝5部，∴对m ∈R ，直线l 与圆C 总有两个不同交点．(2)解：设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，M (x ，y )，由方程(m 2＋1)x 2－2mx －4＝0，得x 1＋x 2＝2mm 2＋1，∴x ＝mm 2＋1.当x ＝0时m ＝0，点M (0,1)，当x ≠0时，由mx －y ＋1＝0，得m ＝y －1x，代入x ＝m m 2＋1，得＋1＝y －1x，化简得x 2＝14.经验证(0,1)也符合，∴弦AB 的中点M 的轨迹方程为x 2＝14.12．已知圆C ：x 2＋y 2－8y ＋12＝0，直线l ：ax ＋y ＋2a ＝0.(1)当a 为何值时，直线l 与圆C 相切；(2)当直线l 与圆C 相交于A 、B 两点，且|AB |＝22时，求直线l 的方程．解：将圆C 的方程x 2＋y 2－8y ＋12＝0配方得标准方程为x 2＋(y －4)2＝4，则此圆的圆心为(0,4)，半径为2.(1)若直线l 与圆C 相切，则有|4＋2a |a 2＋1＝2.解得a ＝－34.(2)过圆心C 作CD ⊥AB ，则根据题意和圆的性质，|＝|4＋2a |a 2＋1，|2＋|DA |2＝22，|＝12|AB |＝2，解得a ＝－7，或a ＝－1.故所求直线方程为7x －y ＋14＝0或x －y ＋2＝0.第八篇第3节一、选择题1．设P 是椭圆x225＋y216＝1上的点．若F 1、F 2是椭圆的两个焦点，则|PF 1|＋|PF 2|等于()A．4B．5C．8D．10解析：由方程知a ＝5，根据椭圆定义，|PF 1|＋|PF 2|＝2a ＝10.故选D.答案：D2．(2014二模)P 为椭圆x24＋y23＝1上一点，F 1，F 2为该椭圆的两个焦点，若∠F 1PF 2＝60°，则PF 1→·PF 2→等于()A．3B．3C．23D．2解析：由椭圆方程知a ＝2，b ＝3，c ＝1，1|＋|PF 2|＝4，1|2＋|PF 2|2－4＝2|PF 1||PF 2|cos 60°∴|PF 1||PF 2|＝4.∴PF 1→·PF 2→＝|PF 1→||PF 2→|cos 60°＝4×12＝2.答案：D3．(2012年高考卷)椭圆x 2a 2＋y2b 2＝1(a >b >0)的左、右顶点分别是A 、B ，左、右焦点分别是F 1，F 2.若|AF 1|，|F 1F 2|，|F 1B |成等比数列，则此椭圆的离心率为()A.14B．55C.12D．5－2解析：本题考查椭圆的性质与等比数列的综合运用．由椭圆的性质可知|AF 1|＝a －c ，|F 1F 2|＝2c ，|F 1B |＝a ＋c ，又|AF 1|，|F 1F 2|，|F 1B |成等比数列，故(a －c )(a ＋c )＝(2c )2，可得e ＝c a ＝55.故应选B.答案：B4．(2013年高考卷)已知椭圆C ：x 2a 2＋y2b2＝1(a >b >0)的左焦点为F ，C 与过原点的直线相交于A ，B 两点，连接AF ，BF .若|AB |＝10，|BF |＝8，cos∠ABF ＝45，则C 的离心率为()A.35B．57C.45D．67解析：|AF |2＝|AB |2＋|BF |2－2|AB ||BF |cos∠ABF ＝100＋64－2×10×8×45＝36，则|AF |＝6，∠AFB ＝90°，半焦距c ＝|FO |＝12|AB |＝5，设椭圆右焦点F 2，连结AF 2，由对称性知|AF 2|＝|FB |＝8，2a ＝|AF 2|＋|AF |＝6＋8＝14，即a ＝7，则e ＝c a ＝57.故选B.答案：B5．已知椭圆E ：x2m ＋y24＝1，对于任意实数k ，下列直线被椭圆E 截得的弦长与l ：y ＝kx＋1被椭圆E 截得的弦长不可能相等的是()A．kx ＋y ＋k ＝0B．kx －y －1＝0C．kx ＋y －k ＝0D．kx ＋y －2＝0解析：取k ＝1时，l ：y ＝x ＋1.选项A 中直线：y ＝－x －1与l 关于x 轴对称，截得弦长相等．选项B 中直线：y ＝x －1与l 关于原点对称，所截弦长相等．选项C 中直线：y ＝－x ＋1与l 关于y 轴对称，截得弦长相等．排除选项A、B、C，故选D.答案：D6．(2014省实验中学第二次诊断)已知椭圆x 2a 2＋y2b 2＝1(a >b >0)的左、右焦点分别为F 1(－c,0)，F 2(c,0)，若椭圆上存在点P ，使asin∠PF 1F 2＝csin∠PF 2F 1，则该椭圆的离心率的取值围为()A．(0，2－1)D．(2－1,1)解析：由题意知点P 不在x 轴上，在△PF 1F 2中，由正弦定理得|PF 2|sin∠PF 1F 2＝|PF 1|sin∠PF 2F 1，所以由a sin∠PF 1F 2＝csin∠PF 2F 1可得a|PF 2|＝c |PF 1|，即|PF 1||PF 2|＝c a ＝e ，所以|PF 1|＝e |PF 2|.由椭圆定义可知|PF 1|＋|PF 2|＝2a ，所以e |PF 2|＋|PF 2|＝2a ，解得|PF 2|＝2a e ＋1.由于a －c <|PF 2|<a ＋c ，所以有a －c <2ae ＋1<a ＋c ，即1－e <2e ＋1<1＋e ，1－e 1＋e<2，1＋e2，解得2－1<e .又0<e <1，∴2－1<e <1.故选D.答案：D 二、填空题7．设F 1、F 2分别是椭圆x225＋y216＝1的左、右焦点，P 为椭圆上一点，M 是F 1P 的中点，|OM |＝3，则P 点到椭圆左焦点距离为________．解析：∵|OM |＝3，∴|PF 2|＝6，又|PF 1|＋|PF 2|＝10，∴|PF 1|＝4.答案：48．椭圆x 2a 2＋y2b2＝1(a >b >0)的左、右焦点分别是F 1、F 2，过F 2作倾斜角为120°的直线与椭圆的一个交点为M ，若MF 1垂直于x 轴，则椭圆的离心率为________．解析：不妨设|F 1F 2|＝1，∵直线MF 2的倾斜角为120°，∴∠MF 2F 1＝60°.∴|MF 2|＝2，|MF 1|＝3，2a ＝|MF 1|＋|MF 2|＝2＋3，2c ＝|F 1F 2|＝1.∴e ＝ca＝2－ 3.答案：2－39．(2014模拟)过点(3，－5)，且与椭圆y225＋x29＝1有相同焦点的椭圆的标准方程为________________．解析：由题意可设椭圆方程为y225－m＋x29－m＝1(m <9)，代入点(3，－5)，得525－m ＋39－m＝1，解得m ＝5或m ＝21(舍去)，∴椭圆的标准方程为y220＋x24＝1.答案：y220＋x24＝110．已知F 1，F 2是椭圆C ：x 2a 2＋y 2b2＝1(a >b >0)的两个焦点，P 为椭圆C 上的一点，且PF 1→⊥PF 2→.若△PF 1F 2的面积为9，则b ＝________.解析：1|＋|PF 2|＝2a ，1|2＋|PF 2|2＝4c 2，∴(|PF 1|＋|PF 2|)2－2|PF 1||PF 2|＝4c 2，即4a 2－2|PF 1||PF 2|＝4c 2，∴|PF 1||PF 2|＝2b 2，∴S △PF 1F 2＝12|PF 1||PF 2|＝b 2＝9，∴b ＝3.答案：3三、解答题11．(2012年高考卷)在平面直角坐标系xOy 中，已知椭圆C 1：x 2a 2＋y2b2＝1(a >b >0)的左焦点为F 1(－1,0)，且点P (0，1)在C 1上．(1)求椭圆C 1的方程；(2)设直线l 同时与椭圆C 1和抛物线C 2：y 2＝4x 相切，求直线l 的方程．解：(1)由椭圆C 1的左焦点为F 1(－1,0)，且点P (0,1)在C 12－b 2＝1，＝1，2＝2，2＝1.故椭圆C 1的方程为x22＋y 2＝1.(2)由题意分析，直线l 斜率存在且不为0，设其方程为y ＝kx ＋b ，由直线l 与抛物线C 2＝kx ＋b ，2＝4x ，消y 得k 2x 2＋(2bk －4)x ＋b 2＝0，Δ1＝(2bk －4)2－4k 2b 2＝0，化简得kb ＝1.①由直线l 与椭圆C 1kx ＋b ，y 2＝1，消y 得(2k 2＋1)x 2＋4bkx ＋2b 2－2＝0，Δ2＝(4bk )2－4(2k 2＋1)(2b 2－2)＝0，化简得2k 2＝b 2－1.②＝1，k 2＝b 2－1，解得b 4－b 2－2＝0，∴b 2＝2或b 2＝－1(舍去)，∴b ＝2时，k ＝22，b ＝－2时，k ＝－22.即直线l 的方程为y ＝22x ＋2或y ＝－22x － 2.12．(2014海淀三模)已知椭圆C ：x2a 2＋y2b 2＝1(a >b >0)的四个顶点恰好是一边长为2，一角为60°的菱形的四个顶点．(1)求椭圆C 的方程；(2)若直线y ＝kx 交椭圆C 于A ，B 两点，在直线l ：x ＋y －3＝0上存在点P ，使得△PAB 为等边三角形，求k 的值．解：(1)因为椭圆C ：x 2a 2＋y2b2＝1(a >b >0)的四个顶点恰好是一边长为2，一角为60°的菱形的四个顶点．所以a ＝3，b ＝1，椭圆C 的方程为x23＋y 2＝1.(2)设A (x 1，y 1)，则B (－x 1，－y 1)，当直线AB 的斜率为0时，AB 的垂直平分线就是y 轴，y 轴与直线l ：x ＋y －3＝0的交点为P (0,3)，又因为|AB |＝23，|PO |＝3，所以∠PAO ＝60°，所以△PAB 是等边三角形，所以直线AB 的方程为y ＝0，当直线AB 的斜率存在且不为0时，则直线AB 的方程为y ＝kx ，y 2＝1，kx ，化简得(3k 2＋1)x 2＝3，所以|x 1|＝33k 2＋1，则|AO |＝1＋k233k 2＋1＝3k 2＋33k 2＋1.设AB 的垂直平分线为y ＝－1kx ，它与直线l ：x ＋y －3＝0的交点记为P (x 0，y 0)，＝－x ＋3，＝－1k x ，0＝3k k －1，0＝－3k －1.则|PO |＝9k 2＋9k －12，因为△PAB 为等边三角形，所以应有|PO |＝3|AO |，代入得9k 2＋9k －12＝33k 2＋33k 2＋1，解得k ＝0(舍去)，k ＝－1.综上，k ＝0或k ＝－1.第八篇第4节一、选择题1．设P 是双曲线x216－y220＝1上一点，F 1，F 2分别是双曲线左右两个焦点，若|PF 1|＝9，则|PF 2|等于()A．1B．17C．1或17D．以上答案均不对解析：由双曲线定义||PF 1|－|PF 2||＝8，又|PF 1|＝9，∴|PF 2|＝1或17，但应注意双曲线的右顶点到右焦点距离最小为c －a ＝6－4＝2>1，∴|PF 2|＝17.故选B.答案：B2．(2013年高考卷)已知0<θ<π4，则双曲线C 1：x 2sin 2θ－y 2cos 2θ＝1与C 2：y 2cos 2θ－x2sin 2θ＝1的()A．实轴长相等B．虚轴长相等C．离心率相等D．焦距相等解析：双曲线C 1的半焦距c 1＝sin 2θ＋cos 2θ＝1，双曲线C 2的半焦距c 2＝cos 2θ＋sin 2θ＝1，故选D.答案：D3．(2012年高考卷)已知双曲线C ：x 2a 2－y2b2＝1的焦距为10，点P (2,1)在C 的渐近线上，则C 的方程为()A.x220－y25＝1B．x25－y220＝1C.x280－y220＝1D．x220－y280＝1解析：由焦距为10，知2c ＝10，c ＝5.将P (2,1)代入y ＝bax 得a ＝2b .a 2＋b 2＝c 2,5b 2＝25，b 2＝5，a 2＝4b 2＝20，所以方程为x220－y25＝1.故选A.答案：A4．已知F 1、F 2为双曲线C ：x 2－y 2＝2的左、右焦点，点P 在C 上，|PF 1|＝2|PF 2|，则cos ∠F 1PF 2等于()A.14B．35C.34D．45解析：∵c 2＝2＋2＝4，∴c ＝2,2c ＝|F 1F 2|＝4，由题可知|PF 1|－|PF 2|＝2a ＝22，|PF 1|＝2|PF 2|，∴|PF 2|＝22，|PF 1|＝42，由余弦定理可知cos∠F 1PF 2＝422＋222－422×42×22＝34.故选C.答案：C5．设椭圆C 1的离心率为513，焦点在x 轴上且长轴长为26，若曲线C 2上的点到椭圆C 1的两个焦点的距离的差的绝对值等于8，则曲线C 2的标准方程为()A.x242－y232＝1B．x2132－y252＝1C.x232－y242＝1D．x2132－y2122＝1解析：在椭圆C 1中，因为e ＝513，2a ＝26，即a ＝13，所以椭圆的焦距2c ＝10，则椭圆两焦点为(－5,0)，(5,0)，根据题意，可知曲线C 2为双曲线，根据双曲线的定义可知，双曲线C 2中的2a 2＝8，焦距与椭圆的焦距相同，即2c 2＝10，可知b 2＝3，所以双曲线的标准方程为x242－y232＝1.故选A.答案：A6．(2014八中模拟)若双曲线x29－y216＝1渐近线上的一个动点P 总在平面区域(x －m )2＋y 2≥16，则实数m 的取值围是()A．[－3,3]B．(－∞，－3]∪[3，＋∞)C．[－5,5]D．(－∞，－5]∪[5，＋∞)解析：因为双曲线x 29－y 216＝1渐近线4x ±3y ＝0上的一个动点P 总在平面区域(x －m )2＋y 2≥16，即直线与圆相离或相切，所以d ＝|4m |5≥4，解得m ≥5或m ≤－5，故实数m 的取值围是(－∞，－5]∪[5，＋∞)．选D.答案：D 二、填空题7．(2013年高考卷)已知F 为双曲线C ：x29－y216＝1的左焦点，P ，Q 为C 上的点．若PQ的长等于虚轴长的2倍，点A (5,0)在线段PQ 上，则△PQF 的周长为________．解析：由题知，双曲线中a ＝3，b ＝4，c ＝5，则|PQ |＝16，又因为|PF |－|PA |＝6，|QF |－|QA |＝6，所以|PF |＋|QF |－|PQ |＝12，|PF |＋|QF |＝28，则△PQF 的周长为44.答案：448．已知双曲线C ：x 2a 2－y2b2＝1(a >0，b >0)的离心率e ＝2，且它的一个顶点到较近焦点的距离为1，则双曲线C 的方程为________．解析：双曲线中，顶点与较近焦点距离为c －a ＝1，又e ＝ca＝2，两式联立得a ＝1，c ＝2，∴b 2＝c 2－a 2＝4－1＝3，∴方程为x 2－y23＝1.答案：x 2－y23＝19．(2014市第三次质检)已知点P 是双曲线x2a 2－y2b2＝1(a >0，b >0)和圆x 2＋y 2＝a 2＋b 2的一个交点，F 1，F 2是该双曲线的两个焦点，∠PF 2F 1＝2∠PF 1F 2，则该双曲线的离心率为________．解析：依题意得，线段F 1F 2是圆x 2＋y 2＝a 2＋b 2的一条直径，故∠F 1PF 2＝90°，∠PF 1F 2＝30°，设|PF 2|＝m ，则有|F 1F 2|＝2m ，|PF 1|＝3m ，该双曲线的离心率等于|F 1F 2|||PF 1|－|PF 2||＝2m3m －m ＝3＋1.答案：3＋110．(2013年高考卷)设F 1，F 2是双曲线C ：x2a 2－y2b 2＝1(a >0，b >0)的两个焦点．若在C 上存在一点P ，使PF 1⊥PF 2，且∠PF 1F 2＝30°，则C 的离心率为________．解析：设点P 在双曲线右支上，由题意，在Rt△F 1PF 2中，|F 1F 2|＝2c ，∠PF 1F 2＝30°，得|PF 2|＝c ，|PF 1|＝3c ，根据双曲线的定义：|PF 1|－|PF 2|＝2a ，(3－1)c ＝2a ，e ＝ca ＝23－1＝3＋1.答案：3＋1三、解答题11．已知双曲线x 2－y22＝1，过点P (1,1)能否作一条直线l ，与双曲线交于A 、B 两点，且点P 是线段AB 的中点？解：法一设点A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)在双曲线上，且线段AB 的中点为(x 0，y 0)，若直线l 的斜率不存在，显然不符合题意．设经过点P 的直线l 的方程为y －1＝k (x －1)，即y ＝kx ＋1－k .＝kx＋1－k，2－y22＝1，得(2－k2)x2－2k(1－k)x－(1－k)2－2＝0(2－k2≠0)．①∴x＝x1＋x22＝k1－k2－k2.由题意，得k1－k2－k2＝1，解得k＝2.当k＝2时，方程①成为2x2－4x＋3＝0.Δ＝16－24＝－8<0，方程①没有实数解．∴不能作一条直线l与双曲线交于A，B两点，且点P(1,1)是线段AB的中点．法二设A(x1，y1)，B(x2，y2)，若直线l的斜率不存在，即x1＝x2不符合题意，所以由题得x21－y212＝1，x22－y222＝1，两式相减得(x1＋x2)(x1－x2)－y1＋y2y1－y22＝0，即2－y1－y2x1－x2＝0，即直线l斜率k＝2，得直线l方程y－1＝2(x－1)，即y＝2x－1，＝2x－1，2－y22＝1得2x2－4x＋3＝0，Δ＝16－24＝－8<0，即直线y＝2x－1与双曲线无交点，即所求直线不合题意，所以过点P(1,1)的直线l不存在．12．(2014质检)中心在原点，焦点在x 轴上的一椭圆与一双曲线有共同的焦点F 1，F 2，且|F 1F 2|＝213，椭圆的长半轴长与双曲线实半轴长之差为4，离心率之比为3∶7.(1)求这两曲线方程；(2)若P 为这两曲线的一个交点，求cos∠F 1PF 2的值．解：(1)由已知c ＝13，设椭圆长、短半轴长分别为a 、b ，双曲线实半轴、虚半轴长分别为m 、n ，－m ＝4，·13a＝3·13m，解得a ＝7，m ＝3.∴b ＝6，n ＝2.∴椭圆方程为x249＋y236＝1，双曲线方程为x29－y24＝1.(2)不妨设F 1、F 2分别为左、右焦点，P 是第一象限的一个交点，则|PF 1|＋|PF 2|＝14，|PF 1|－|PF 2|＝6，∴|PF 1|＝10，|PF 2|＝4.又|F 1F 2|＝213，∴cos∠F 1PF 2＝|PF 1|2＋|PF 2|2－|F 1F 2|22|PF 1||PF 2|＝102＋42－21322×10×4＝45.第八篇第5节一、选择题1．(2014模拟)抛物线y ＝2x 2的焦点坐标为()B．(1,0)解析：抛物线y ＝2x 2，即其标准方程为x 2＝12y C.答案：C2．抛物线的焦点为椭圆x24＋y29＝1的下焦点，顶点在椭圆中心，则抛物线方程为()A．x 2＝－45y B．y 2＝－45x C．x 2＝－413yD．y 2＝－413x解析：由椭圆方程知，a 2＝9，b 2＝4，焦点在y 轴上，下焦点坐标为(0，－c )，其中c ＝a 2－b 2＝5，∴抛物线焦点坐标为(0，－5)，∴抛物线方程为x 2＝－45y .故选A.答案：A3．已知抛物线y 2＝2px ，以过焦点的弦为直径的圆与抛物线准线的位置关系是()A．相离B．相交C．相切D．不确定解析：如图所示，设抛物线焦点弦为AB ，中点为M ，准线为l ，A 1、B 1分别为A 、B 在直线l 上的射影，则|AA 1|＝|AF |，|BB 1|＝|BF |，于是M 到l 的距离d ＝12(|AA 1|＋|BB 1|)＝12(|AF |＋|BF |)＝12|AB |，故圆与抛物线准线相切．故选C.答案：C4．(2014高三统一考试)已知F 是抛物线y 2＝4x 的焦点，过点F 的直线与抛物线交于A ，B 两点，且|AF |＝3|BF |，则线段AB 的中点到该抛物线准线的距离为()A.53B．83C.103D．10解析：设点A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，其中x 1>0，x 2>0，过A ，B 两点的直线方程为x ＝my ＋1，将x ＝my ＋1与y 2＝4x 联立得y 2－4my －4＝0，y 1y 2＝－4，1＋1＝3x 2＋1，1x 2＝y 214·y 224＝y 1y 2216＝1，解得x 1＝3，x 2＝13，故线段AB 的中点到该抛物线的准线x ＝－1的距离等于x 1＋x 22＋1＝83.故选B.答案：B5．已知F 是抛物线y 2＝x 的焦点，A ，B 是该抛物线上的两点，|AF |＋|BF |＝3，则线段AB 的中点到y 轴的距离为()A.34B．1C.54D．74解析：∵|AF |＋|BF |＝x A ＋x B ＋12＝3，∴x A ＋x B ＝52.∴线段AB 的中点到y 轴的距离为x A ＋x B 2＝54.故选C.答案：C6．设M (x 0，y 0)为抛物线C ：x 2＝8y 上一点，F 为抛物线C 的焦点，以F 为圆心、|FM |为半径的圆和抛物线C 的准线相交，则y 0的取值围是()A．(0,2)B．[0,2]C．(2，＋∞)D．[2，＋∞)解析：∵x 2＝8y ，∴焦点F 的坐标为(0,2)，准线方程为y ＝－2.由抛物线的定义知|MF |＝y 0＋2.以F 为圆心、|FM |为半径的圆的标准方程为x 2＋(y －2)2＝(y 0＋2)2.由于以F 为圆心、|FM |为半径的圆与准线相交，又圆心F 到准线的距离为4，故4<y 0＋2，∴y 0>2.故选C.答案：C 二、填空题7．动直线l 的倾斜角为60°，且与抛物线x 2＝2py (p >0)交于A ，B 两点，若A ，B 两点的横坐标之和为3，则抛物线的方程为________．解析：设直线l 的方程为y ＝3x ＋b ，＝3x ＋b ，2＝2py消去y ，得x 2＝2p (3x ＋b )，即x 2－23px －2pb ＝0，∴x 1＋x 2＝23p ＝3，∴p ＝32，则抛物线的方程为x 2＝3y .答案：x 2＝3y8．以抛物线x 2＝16y 的焦点为圆心，且与抛物线的准线相切的圆的方程为________．解析：抛物线的焦点为F (0,4)，准线为y ＝－4，则圆心为(0,4)，半径r ＝8.所以，圆的方程为x 2＋(y －4)2＝64.答案：x 2＋(y －4)2＝649．(2012年高考卷)在直角坐标系xOy 中，直线l 过抛物线y 2＝4x 的焦点F ，且与该抛物线相交于A ，B 两点，其中点A 在x 轴上方，若直线l 的倾斜角为60°，则△OAF 的面积为________．解析：∵抛物线y 2＝4x ，∴焦点F 的坐标为(1,0)．又∵直线l 倾斜角为60°，∴直线斜率为3，∴直线方程为y ＝3(x －1)．联立方程y ＝3x －1，y 2＝4x ，解得x 1＝13，y 1＝－233，或x 2＝3，y 2＝23，由已知得A 的坐标为(3,23)，∴S △OAF ＝12|OF |·|y A |＝12×1×23＝ 3.答案：310．已知点P 是抛物线y 2＝2x 上的动点，点P 在y 轴上的射影是M ，点A 72，4，则|PA |＋|PM |的最小值是________．解析：设点M 在抛物线的准线上的射影为M ′.由已知可得抛物线的准线方程为x ＝－12，焦点F 坐标为12，0.求|PA |＋|PM |的最小值，可先求|PA |＋|PM ′|的最小值．由抛物线的定义可知，|PM ′|＝|PF |，所以|PA |＋|PF |＝|PA |＋|PM ′|，当点A 、P 、F 在一条直线上时，|PA |＋|PF |有最小值|AF |＝5，所以|PA |＋|PM ′|≥5，又因为|PM ′|＝|PM |＋12，所以|PA |＋|PM |≥5－12＝92.答案：92三、解答题11．若抛物线y ＝2x 2上的两点A (x 1，y 1)、B (x 2，y 2)关于直线l ：y ＝x ＋m 对称，且x 1x 2＝－12，数m 的值．解：法一如图所示，连接AB ，∵A 、B 两点关于直线l 对称，∴AB ⊥l ，且AB 中点M (x 0，y 0)在直线l 上．可设l AB ：y ＝－x ＋n ，＝－x ＋n ，＝2x 2，得2x 2＋x －n ＝0，∴x 1＋x 2＝－12，x 1x 2＝－n2由x 1x 2＝－12，得n ＝1.又x 0＝x 1＋x 22＝－14，y 0＝－x 0＋n ＝14＋1＝54，即点M －14，由点M 在直线l 上，得54＝－14＋m ，∴m ＝32.法二∵A 、B 两点在抛物线y ＝2x 2上．1＝2x 21，2＝2x 22，∴y 1－y 2＝2(x 1＋x 2)(x 1－x 2)．设AB 中点M (x 0，y 0)，则x 1＋x 2＝2x 0，k AB ＝y 1－y 2x 1－x 2＝4x 0.又AB ⊥l ，∴k AB ＝－1，从而x 0＝－14.又点M 在l 上，∴y 0＝x 0＋m ＝m －14，即－14，m∴AB 的方程是y 即y ＝－x ＋m －12，代入y ＝2x 2，得2x 2＋x x 1x 2＝－m －122＝－12，∴m ＝3212．已知过抛物线y 2＝2px (p >0)的焦点，斜率为22的直线交抛物线于A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)(x 1<x 2)两点，且|AB |＝9.(1)求该抛物线的方程；(2)O 为坐标原点，C 为抛物线上一点，若OC →＝OA →＋λOB →，求λ的值．解：(1)直线AB 的方程是y y 2＝2px 联立，从而有4x 2－5px ＋p 2＝0，所以x 1＋x 2＝5p4.由抛物线定义得|AB |＝x 1＋x 2＋p ＝9，所以p ＝4，从而抛物线方程是y 2＝8x .(2)由p ＝4知4x 2－5px ＋p 2＝0可化为x 2－5x ＋4＝0，从而x 1＝1，x 2＝4，y 1＝－22，y 2＝42，从而A (1，－22)，B (4,42)．设OC →＝(x 3，y 3)＝(1，－22)＋λ(4,42)＝(4λ＋1,42λ－22)，即C (4λ＋1,42λ－22)，所以[22(2λ－1)]2＝8(4λ＋1)，即(2λ－1)2＝4λ＋1，解得λ＝0或λ＝2.。
高中数学解析几何深度练习题及答案
高中数学解析几何深度练习题及答案1. 平面几何题目一：已知平面上三点A(1, -2)，B(3, 4)，C(7, 1)，求证：三角形ABC为等腰三角形。
解答：首先计算AB、AC、BC的长度，分别利用两点之间的距离公式：AB = √[(3-1)^2 + (4-(-2))^2] = √[4 + 36] = √40AC = √[(7-1)^2 + (1-(-2))^2] = √[36 + 9] = √45BC = √[(7-3)^2 + (1-4)^2] = √[16 + 9] = √25由于AB的平方等于BC的平方，即AB^2 = BC^2，可以得出AB = BC。
因此，三角形ABC为等腰三角形。
题目二：已知平面上直线L1过点A(2, -1)，斜率为k，与直线L2：3x + ky + 5 = 0 互相垂直，求k的值。
解答：首先计算直线L2的斜率：L2: 3x + ky + 5 = 0化简得：ky = -3x - 5因此，L2的斜率k2为 -3/k。
由于L1与L2互相垂直，根据垂直直线的特性可知斜率k1与k2之积为 -1。
即 k * (-3/k) = -1。
解上述方程可以得出：k^2 = 3，因此k的两个解为k = √3 和 k = -√3。
题目三：已知直线L1：4x + 3y - 2 = 0 与直线L2垂直，并且直线L2通过点A(5,-1)，求直线L2的方程式。
解答：由于L1与L2垂直，它们的斜率之积为 -1。
L1的斜率为 -4/3，所以L2的斜率为 3/4。
通过点斜式可以得到L2的方程式：y - (-1) = (3/4)(x - 5)化简得到：y = (3/4)x + 2因此，直线L2的方程式为：y = (3/4)x + 2。
2. 空间几何题目一：已知直线L1：x = 3 - 2t，y = 5 + 3t，z = -1 + 4t，求直线L1的参数方程。
解答：直线的参数方程为x = x0 + at，y = y0 + bt，z = z0 + ct，其中(a, b, c)为直线的方向向量。
2024年高考数学分类汇编七解析几何
2024年高考数学分类汇编七解析几何一、单选题1．（2024·全国）已知曲线C ：2216x y +=（0y >），从C 上任意一点P 向x 轴作垂线段PP '，P '为垂足，则线段PP '的中点M 的轨迹方程为（ ）A ．221164x y +=（0y >）B ．221168x y +=（0y >）C ．221164y x +=（0y >）D ．221168y x +=（0y >）2．（2024·全国）已知双曲线2222:1(0,0)y x C a b a b −=>>的上、下焦点分别为()()120,4,0,4F F −，点()6,4P −在该双曲线上，则该双曲线的离心率为（ ） A．4B ．3C ．2D 3．（2024·全国）已知b 是,a c 的等差中项，直线0ax by c ++=与圆22410x y y ++−=交于,A B 两点，则AB 的最小值为（ ）A ．2B ．3C ．4D ．4．（2024·北京）求圆22260x y x y +−+=的圆心到20x y −+=的距离（ ）A ．B ．2C ．D 5．（2024·天津）双曲线22221()00a x y a bb >−=>，的左、右焦点分别为12.F F P 、是双曲线右支上一点，且直线2PF 的斜率为2．12PF F △是面积为8的直角三角形，则双曲线的方程为（ ）A ．22182y x −=B ．22184x y −=C ．22128x y −=D ．22148x y −=二、多选题6．（2024·全国）造型可以做成美丽的丝带，将其看作图中曲线C 的一部分.已知C 过坐标原点O .且C 上的点满足横坐标大于2−，到点(2,0)F 的距离与到定直线(0)x a a =<的距离之积为4，则（ ）A ．2a =− B．点在C 上C ．C 在第一象限的点的纵坐标的最大值为1D ．当点()00,x y 在C 上时，0042y x ≤+ 7．（2024·全国）抛物线C ：24y x =的准线为l ，P 为C 上的动点，过P 作22:(4)1A x y +−=⊙的一条切线，Q 为切点，过P 作l 的垂线，垂足为B ，则（ ） A ．l 与A 相切B ．当P ，A ，B三点共线时，||PQ =C ．当||2PB =时，PA AB ⊥D ．满足||||PA PB =的点P 有且仅有2个 三、填空题8．（2024·全国）设双曲线2222:1(0,0)x y C a b a b−=>>的左右焦点分别为12F F 、，过2F 作平行于y轴的直线交C 于A ，B 两点，若1||13,||10F A AB ==，则C 的离心率为 ． 9．（2024·北京）已知双曲线2214x y −=，则过()3,0且和双曲线只有一个交点的直线的斜率为 ．10．（2024·北京）已知抛物线216y x =，则焦点坐标为 ．11．（2024·天津）22(1)25−+=x y 的圆心与抛物线22(0)y px p =>的焦点F 重合，A 为两曲线的交点，则原点到直线AF 的距离为 ．12．（2024·上海）已知抛物线24y x =上有一点P 到准线的距离为9，那么点P 到x 轴的距离为 ． 四、解答题13．（2024·全国）已知(0,3)A 和33,2P ⎛⎫ ⎪⎝⎭为椭圆2222:1(0)x yC a b a b+=>>上两点.(1)求C 的离心率;(2)若过P 的直线l 交C 于另一点B ，且ABP 的面积为9，求l 的方程．14．（2024·全国）已知双曲线()22:0C x y m m −=>，点()15,4P 在C 上，k 为常数，01k <<．按照如下方式依次构造点()2,3,...n P n =，过1n P −作斜率为k 的直线与C 的左支交于点1n Q −，令n P 为1n Q −关于y 轴的对称点，记n P 的坐标为(),n n x y . (1)若12k =，求22,x y ； (2)证明：数列{}n n x y −是公比为11kk+−的等比数列； (3)设n S 为12n n n P P P ++的面积，证明：对任意的正整数n ，1n n S S +=.15．（2024·全国）设椭圆2222:1(0)x y C a b a b+=>>的右焦点为F ，点31,2M ⎛⎫ ⎪⎝⎭在C 上，且MF x⊥轴．(1)求C 的方程；(2)过点()4,0P 的直线与C 交于,A B 两点，N 为线段FP 的中点，直线NB 交直线MF 于点Q ，证明：AQ y ⊥轴．16．（2024·北京）已知椭圆方程C ：()222210x y a b a b+=>>，焦点和短轴端点构成边长为2的正方形，过()0,t (t >的直线l 与椭圆交于A ，B ，()0,1C ，连接AC 交椭圆于D ． (1)求椭圆方程和离心率； (2)若直线BD 的斜率为0，求t ．17．（2024·天津）已知椭圆22221(0)x y a b a b+=>>椭圆的离心率12e =．左顶点为A ，下顶点为B C ，是线段OB 的中点，其中ABC S =△ (1)求椭圆方程．(2)过点30,2⎛⎫− ⎪⎝⎭的动直线与椭圆有两个交点P Q ，．在y 轴上是否存在点T 使得0TP TQ ⋅≤恒成立．若存在求出这个T 点纵坐标的取值范围，若不存在请说明理由．18．（2024·上海）已知双曲线222Γ:1,(0),y x b b−=>左右顶点分别为12,A A ，过点()2,0M −的直线l 交双曲线Γ于,P Q 两点. (1)若离心率2e =时，求b 的值．(2)若2b MA P =△为等腰三角形时，且点P 在第一象限，求点P 的坐标． (3)连接OQ 并延长，交双曲线Γ于点R ，若121A R A P ⋅=，求b 的取值范围．答案详解1．A【分析】设点(,)M x y ，由题意，根据中点的坐标表示可得(,2)P x y ，代入圆的方程即可求解. 【解析】设点(,)M x y ，则0(,),(,0)P x y P x '，因为M 为PP '的中点，所以02y y =，即(,2)P x y ， 又P 在圆2216(0)x y y +=>上，所以22416(0)x y y +=>，即221(0)164x y y +=>，即点M 的轨迹方程为221(0)164x y y +=>.故选：A 2．C【分析】由焦点坐标可得焦距2c ，结合双曲线定义计算可得2a ，即可得离心率. 【解析】由题意，()10,4F −、()20,4F 、()6,4P −，则1228F F c ==，110PF ==，26PF ==，则1221064a PF PF =−=−=，则28224c e a ===. 故选：C. 3．C【分析】结合等差数列性质将c 代换，求出直线恒过的定点，采用数形结合法即可求解. 【解析】因为,,a b c 成等差数列，所以2b a c =+，2c b a =−，代入直线方程0ax by c ++=得 20ax by b a ++−=，即()()120a x b y −++=，令1020x y −=⎧⎨+=⎩得12x y =⎧⎨=−⎩，故直线恒过()1,2−，设()1,2P −，圆化为标准方程得：()22:25C x y ++=，设圆心为C ，画出直线与圆的图形，由图可知，当PC AB ⊥时，AB 最小，1,PC AC r ==24AB AP ==.故选：C 4．C【分析】求出圆心坐标，再利用点到直线距离公式即可.【解析】由题意得22260x y x y +−+=，即()()221310x y −++=，则其圆心坐标为()1,3−，则圆心到直线20x y −+==，故选：C. 5．C【分析】可利用12PF F △三边斜率问题与正弦定理，转化出三边比例，设2PF m =，由面积公式求出m ，由勾股定理得出c ，结合第一定义再求出a .【解析】如下图：由题可知，点P 必落在第四象限，1290F PF ∠=︒，设2PF m =，211122,PF F PF F θθ∠=∠=，由21tan 2PF k θ==，求得1sin θ=，因为1290F PF ∠=︒，所以121PF PF k k ⋅=−，求得112PF k =−，即21tan 2θ=，2sin θ=121212::sin :sin :sin90PF PF F F θθ=︒=则由2PF m =得1122,2PF m F F c ==， 由1212112822PF F SPF PF m m =⋅=⋅=得m =，则21122PF PF F F c c =====由双曲线第一定义可得：122PF PF a −==a b === 所以双曲线的方程为22128x y −=.故选：C 6．ABD【分析】根据题设将原点代入曲线方程后可求a ，故可判断A 的正误，结合曲线方程可判断B 的正误，利用特例法可判断C 的正误，将曲线方程化简后结合不等式的性质可判断D 的正误.【解析】对于A ：设曲线上的动点(),P x y ，则2x >−4x a −=，04a −=，解得2a =−，故A 正确.对于B24x +=，而2x >−，()24x +=.当0x y ==()2844=−=，故()在曲线上，故B 正确.对于C ：由曲线的方程可得()()2221622y x x =−−+，取32x =，则2641494y =−，而64164525624510494494494−−−=−=>⨯，故此时21y >， 故C 在第一象限内点的纵坐标的最大值大于1，故C 错误.对于D ：当点()00,x y 在曲线上时，由C 的分析可得()()()220022001616222y x x x =−−≤++，故0004422y x x −≤≤++，故D 正确. 故选：ABD.【点睛】思路点睛：根据曲线方程讨论曲线的性质，一般需要将曲线方程变形化简后结合不等式的性质等来处理. 7．ABD【分析】A 选项，抛物线准线为=1x −，根据圆心到准线的距离来判断；B 选项，,,P A B 三点共线时，先求出P 的坐标，进而得出切线长；C 选项，根据2PB =先算出P 的坐标，然后验证1PA AB k k =−是否成立；D 选项，根据抛物线的定义，PB PF =，于是问题转化成PA PF =的P 点的存在性问题，此时考察AF 的中垂线和抛物线的交点个数即可，亦可直接设P 点坐标进行求解.【解析】A 选项，抛物线24y x =的准线为=1x −，A 的圆心(0,4)到直线=1x −的距离显然是1，等于圆的半径，故准线l 和A 相切，A 选项正确；B 选项，,,P A B 三点共线时，即PA l ⊥，则P 的纵坐标4P y =，由24P P y x =，得到4P x =，故(4,4)P ，此时切线长PQ ==B 选项正确；C 选项，当2PB =时，1P x =，此时244PP y x ==，故(1,2)P 或(1,2)P −， 当(1,2)P 时，(0,4),(1,2)A B −，42201PA k −==−−，4220(1)AB k −==−−， 不满足1PA AB k k =−；当(1,2)P −时，(0,4),(1,2)A B −，4(2)601PA k −−==−−，4(2)60(1)AB k −−==−−， 不满足1PA AB k k =−；于是PA AB ⊥不成立，C 选项错误； D 选项，方法一：利用抛物线定义转化 根据抛物线的定义，PB PF =，这里(1,0)F ，于是PA PB =时P 点的存在性问题转化成PA PF =时P 点的存在性问题， (0,4),(1,0)A F ，AF 中点1,22⎛⎫ ⎪⎝⎭，AF 中垂线的斜率为114AF k −=， 于是AF 的中垂线方程为：2158x y +=，与抛物线24y x =联立可得216300y y −+=， 2164301360∆=−⨯=>，即AF 的中垂线和抛物线有两个交点，即存在两个P 点，使得PA PF =，D 选项正确. 方法二：（设点直接求解）设2,4t P t ⎛⎫⎪⎝⎭，由PB l ⊥可得()1,B t −，又(0,4)A ，又PA PB =，214t =+，整理得216300t t −+=，2164301360∆=−⨯=>，则关于t 的方程有两个解，即存在两个这样的P 点，D 选项正确. 故选：ABD8．32【分析】由题意画出双曲线大致图象，求出2AF ，结合双曲线第一定义求出1AF ，即可得到,,a b c 的值，从而求出离心率.【解析】由题可知2,,A B F 三点横坐标相等，设A 在第一象限，将x c =代入22221x y a b−=得2b y a =±，即22,,,b b A c B c a a ⎛⎫⎛⎫− ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，故2210b AB a ==，225bAF a ==，又122AF AF a −=，得1222513AF AF a a =+=+=，解得4a =，代入25ba=得220b =，故22236,c a b =+=，即6c =，所以6342c e a ===.故答案为：329．12±【分析】首先说明直线斜率存在，然后设出方程，联立双曲线方程，根据交点个数与方程根的情况列式即可求解.【解析】联立3x =与2214x y −=，解得y =设所求直线斜率为k ，则过点()3,0且斜率为k 的直线方程为()3y k x =−， 联立()22143x y y k x ⎧−=⎪⎨⎪=−⎩，化简并整理得：()222214243640k x k x k −+−−=，由题意得2140k −=或()()()2222Δ244364140k k k =++−=，解得12k =±或无解，即12k =±，经检验，符合题意. 故答案为：12±.10．()4,0【分析】形如()22,0y px p =≠的抛物线的焦点坐标为,02p ⎛⎫ ⎪⎝⎭，由此即可得解.【解析】由题意抛物线的标准方程为216y x =，所以其焦点坐标为()4,0. 故答案为：()4,0. 11．45/0.8【分析】先求出圆心坐标，从而可求焦准距，再联立圆和抛物线方程，求A 及AF 的方程，从而可求原点到直线AF 的距离.【解析】圆22(1)25−+=x y 的圆心为()1,0F ，故12p=即2p =， 由()2221254x y y x⎧−+=⎪⎨=⎪⎩可得22240x x +−=，故4x =或6x =−（舍），故()4,4A ±，故直线()4:13AF y x =±−即4340x y −−=或4340x y +−=， 故原点到直线AF 的距离为4455d ==， 故答案为：4512．【分析】根据抛物线的定义知8P x =，将其再代入抛物线方程即可.【解析】由24y x =知抛物线的准线方程为1x =−，设点()00,P x y ，由题意得019x +=，解得08x =，代入抛物线方程24y x =，得2032y =，解得0y =±，则点P 到x轴的距离为故答案为： 13．(1)12(2)直线l 的方程为3260x y −−=或20x y −=.【分析】（1）代入两点得到关于,a b 的方程，解出即可；（2）方法一：以AP 为底，求出三角形的高，即点B 到直线AP 的距离，再利用平行线距离公式得到平移后的直线方程，联立椭圆方程得到B 点坐标，则得到直线l 的方程；方法二：同法一得到点B 到直线AP 的距离，再设()00,B x y ，根据点到直线距离和点在椭圆上得到方程组，解出即可；法三：同法一得到点B 到直线AP 的距离，利用椭圆的参数方程即可求解；法四：首先验证直线AB 斜率不存在的情况，再设直线3y kx =+，联立椭圆方程，得到点B 坐标，再利用点到直线距离公式即可；法五：首先考虑直线PB 斜率不存在的情况，再设3:(3)2PB y k x −=−，利用弦长公式和点到直线的距离公式即可得到答案；法六：设线法与法五一致，利用水平宽乘铅锤高乘12表达面积即可. 【解析】（1）由题意得2239941b a b=⎧⎪⎪⎨⎪+=⎪⎩，解得22912b a ⎧=⎨=⎩，所以12e ==.（2）法一：3312032APk −==−−，则直线AP 的方程为132y x =−+，即260x y +−=，AP =，由（1）知22:1129x y C +=， 设点B 到直线AP 的距离为d，则d ==则将直线AP沿着与AP 此时该平行线与椭圆的交点即为点B ， 设该平行线的方程为：20x y C ++=，=6C =或18C =−， 当6C =时，联立221129260x y x y ⎧+=⎪⎨⎪++=⎩，解得03x y =⎧⎨=−⎩或332x y =−⎧⎪⎨=−⎪⎩，即()0,3B −或33,2⎛⎫−− ⎪⎝⎭，当()0,3B −时，此时32l k =，直线l 的方程为332y x =−，即3260x y −−=，当33,2B ⎛⎫−− ⎪⎝⎭时，此时12l k =，直线l 的方程为12y x =，即20x y −=，当18C =−时，联立2211292180x y x y ⎧+=⎪⎨⎪+−=⎩得22271170y y −+=，227421172070∆=−⨯⨯=−<，此时该直线与椭圆无交点.综上直线l 的方程为3260x y −−=或20x y −=. 法二：同法一得到直线AP 的方程为260x y +−=， 点B到直线AP 的距离d =设()00,B x y，则22001129x y =⎪+=⎪⎩，解得00332x y =−⎧⎪⎨=−⎪⎩或0003x y =⎧⎨=−⎩， 即()0,3B −或33,2⎛⎫−− ⎪⎝⎭，以下同法一.法三：同法一得到直线AP 的方程为260x y +−=，点B 到直线AP的距离d =设(),3sin B θθ，其中[)0,2θ∈π=联立22cos sin 1θθ+=，解得cos 1sin 2θθ⎧=⎪⎪⎨⎪=−⎪⎩或cos 0sin 1θθ=⎧⎨=−⎩， 即()0,3B −或33,2⎛⎫−− ⎪⎝⎭，以下同法一；法四：当直线AB 的斜率不存在时，此时()0,3B −，16392PABS=⨯⨯=，符合题意，此时32l k =，直线l 的方程为332y x =−，即3260x y −−=， 当线AB 的斜率存在时，设直线AB 的方程为3y kx =+，联立椭圆方程有2231129y kx x y =+⎧⎪⎨+=⎪⎩，则()2243240k x kx ++=，其中AP k k ≠，即12k ≠−，解得0x =或22443kx k −=+，0k ≠，12k ≠−，令22443k x k −=+，则2212943k y k −+=+，则22224129,4343k k B k k ⎛⎫−−+ ⎪++⎝⎭ 同法一得到直线AP 的方程为260x y +−=， 点B 到直线AP的距离d ==32k =，此时33,2B ⎛⎫−− ⎪⎝⎭，则得到此时12l k =，直线l 的方程为12y x =，即20x y −=，综上直线l 的方程为3260x y −−=或20x y −=.法五：当l 的斜率不存在时，3:3,3,,3,2l x B PB A ⎛⎫=−= ⎪⎝⎭到PB 距离3d =，此时1933922ABP S =⨯⨯=≠不满足条件.当l 的斜率存在时，设3:(3)2PB y k x −=−，令()()1122,,,P x y B x y ，223(3)21129y k x x y ⎧=−+⎪⎪⎨⎪+=⎪⎩，消y 可得()()22224324123636270k x k k x k k +−−+−−=， ()()()2222Δ24124433636270k kk k k =−−+−−>，且AP k k ≠，即12k ≠−，21222122241243,36362743k k x x k PB k k x x k ⎧−+=⎪⎪+⎨−−⎪=⎪+⎩， A 到直线PB距离192PAB d S ===， 12k ∴=或32，均满足题意，1:2l y x ∴=或332y x =−，即3260x y −−=或20x y −=. 法六：当l 的斜率不存在时，3:3,3,,3,2l x B PB A ⎛⎫=−= ⎪⎝⎭到PB 距离3d =，此时1933922ABPS=⨯⨯=≠不满足条件. 当直线l 斜率存在时，设3:(3)2l y k x =−+， 设l 与y 轴的交点为Q ，令0x =，则30,32Q k ⎛⎫−+ ⎪⎝⎭，联立223323436y kx k x y ⎧=−+⎪⎨⎪+=⎩，则有()2223348336362702k x k k x k k ⎛⎫+−−+−−= ⎪⎝⎭， ()2223348336362702k x k k x k k ⎛⎫+−−+−−= ⎪⎝⎭， 其中()()22223Δ8343436362702k k k k k ⎛⎫=−−+−−> ⎪⎝⎭，且12k ≠−，则2222363627121293,3434B B k k k k x x k k −−−−==++， 则211312183922234P B k S AQ x x k k +=−=+=+，解的12k =或32k =，经代入判别式验证均满足题意. 则直线l 为12y x =或332y x =−，即3260x y −−=或20x y −=.14．(1)23x =，20y = (2)证明见解析 (3)证明见解析【分析】（1）直接根据题目中的构造方式计算出2P 的坐标即可； （2）根据等比数列的定义即可验证结论；（3）思路一：使用平面向量数量积和等比数列工具，证明n S 的取值为与n 无关的定值即可.思路二：使用等差数列工具，证明n S 的取值为与n 无关的定值即可. 【解析】（1）由已知有22549m =−=，故C 的方程为229x y −=. 当12k =时，过()15,4P 且斜率为12的直线为32x y +=，与229x y −=联立得到22392x x +⎛⎫−= ⎪⎝⎭.解得3x =−或5x =，所以该直线与C 的不同于1P 的交点为()13,0Q −，该点显然在C 的左支上.故()23,0P ，从而23x =，20y =.（2）由于过(),n n n P x y 且斜率为k 的直线为()n n y k x x y =−+，与229x y −=联立，得到方程()()229n n x k x x y −−+=.展开即得()()()2221290n n n n k x k y kx x y kx −−−−−−=，由于(),n n n P x y 已经是直线()n n y k x x y =−+和229x y −=的公共点，故方程必有一根n x x =. 从而根据韦达定理，另一根()2222211n n n n nn k y kx ky x k x x x k k −−−=−=−−，相应的()2221n n nn n y k y kx y k x x y k +−=−+=−. 所以该直线与C 的不同于n P 的交点为222222,11n n n n n n n ky x k x y k y kx Q k k ⎛⎫−−+− ⎪−−⎝⎭，而注意到n Q 的横坐标亦可通过韦达定理表示为()()2291n n ny kx k x−−−−，故n Q 一定在C 的左支上.所以2212222,11n n n n n nn x k x ky y k y kx P k k +⎛⎫+−+− ⎪−−⎝⎭. 这就得到21221n n nn x k x ky x k ++−=−，21221n n n n y k y kx y k ++−=−. 所以2211222211n n n n n nn n x k x ky y k y kx x y k k +++−+−−=−−− ()()222222*********n n n n n n n nn n x k x kx y k y ky k k kx y x y k k k k+++++++=−=−=−−−−−. 再由22119x y −=，就知道110x y −≠，所以数列{}n n x y −是公比为11k k+−的等比数列.（3）方法一：先证明一个结论：对平面上三个点,,U V W ，若(),UV a b =，(),UW c d =，则12UVWSad bc =−.（若,,U V W 在同一条直线上，约定0UVWS =）证明：211sin ,1cos ,22UVWS UV UW UV UW UV UW UV UW =⋅=⋅−()222211122UV UW UV UW UV UW UV UW UV UW ⎛⎫⋅⎪=⋅−=⋅−⋅⎪⋅⎭==12ad bc ==−. 证毕，回到原题.由于上一小问已经得到21221n n nn x k x ky x k++−=−，21221n n n n y k y kx y k ++−=−，故()()22211222221211111n n n n n n n n n nn n x k x ky y k y kx k k kx y x y x y k k k k+++−+−+−−+=+=+=+−−−+. 再由22119x y −=，就知道110x y +≠，所以数列{}n n x y +是公比为11kk−+的等比数列. 所以对任意的正整数m ，都有n n m n n m x y y x ++−()()()()()()1122n n m n n m n n m n n m n n m n n m n n m n n m x x y y x y y x x x y y x y y x ++++++++=−+−−−−− ()()()()1122n n n m n m n n n m n m x y x y x y x y ++++=−+−+− ()()()()11112121mmn n n n n n n n k k x y x y x y x y k k −+⎛⎫⎛⎫=−+−+− ⎪ ⎪+−⎝⎭⎝⎭()22111211mmn n k k x y k k ⎛⎫−+⎛⎫⎛⎫=−− ⎪ ⎪ ⎪ ⎪+−⎝⎭⎝⎭⎝⎭911211mmk k k k ⎛⎫−+⎛⎫⎛⎫=− ⎪ ⎪ ⎪ ⎪+−⎝⎭⎝⎭⎝⎭. 而又有()()()111,n n n n n n P P x x y y +++=−−−−，()122121,n n n n n n P P x x y y ++++++=−−， 故利用前面已经证明的结论即得 ()()()()1212112112n n n n P P P n n n n n n n n S S x x y y y y x x ++++++++==−−−+−− ()()()()12112112n n n n n n n n x x y y y y x x ++++++=−−−−− ()()()1212112212n n n n n n n n n n n n x y y x x y y x x y y x ++++++++=−+−−− 2219119119112211211211k k k k k k k k k k k k ⎛⎫−+−+−+⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫=−+−−− ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪+−+−+−⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭. 这就表明n S 的取值是与n 无关的定值，所以1n n S S +=.方法二：由于上一小问已经得到21221n n n n x k x ky x k++−=−，21221n n n n y k y kx y k ++−=−， 故()()22211222221211111n n n n n n n n n nn n x k x ky y k y kx k k kx y x y x y k k k k+++−+−+−−+=+=+=+−−−+. 再由22119x y −=，就知道110x y +≠，所以数列{}n n x y +是公比为11kk−+的等比数列. 所以对任意的正整数m ，都有n n m n n m x y y x ++−()()()()()()1122n n m n n m n n m n n m n n m n n m n n m n n m x x y y x y y x x x y y x y y x ++++++++=−+−−−−− ()()()()1122n n n m n m n n n m n m x y x y x y x y ++++=−+−+− ()()()()11112121mmn n n n n n n n k k x y x y x y x y k k −+⎛⎫⎛⎫=−+−+− ⎪ ⎪+−⎝⎭⎝⎭()22111211mmn n k k x y k k ⎛⎫−+⎛⎫⎛⎫=−− ⎪ ⎪ ⎪ ⎪+−⎝⎭⎝⎭⎝⎭911211mmk k k k ⎛⎫−+⎛⎫⎛⎫=− ⎪ ⎪ ⎪ ⎪+−⎝⎭⎝⎭⎝⎭. 这就得到232311911211n n n n n n n n k k x y y x x y y x k k ++++++−+⎛⎫−=−=− ⎪+−⎝⎭，以及22131322911211n n n n n n n n k k x y y x x y y x k k ++++++⎛⎫−+⎛⎫⎛⎫−=−=− ⎪ ⎪ ⎪ ⎪+−⎝⎭⎝⎭⎝⎭. 两式相减，即得()()()()232313131122n n n n n n n n n n n n n n n n x y y x x y y x x y y x x y y x ++++++++++++−−−=−−−. 移项得到232131232131n n n n n n n n n n n n n n n n x y y x x y y x y x x y y x x y ++++++++++++−−+=−−+. 故()()()()321213n n n n n n n n y y x x y y x x ++++++−−=−−.而()333,n n n n n n P P x x y y +++=−−，()122121,n n n n n n P P x x y y ++++++=−−. 所以3n n P P +和12n n P P ++平行，这就得到12123n n n n n n P P P P P P SS+++++=，即1n n S S +=.【点睛】关键点点睛：本题的关键在于将解析几何和数列知识的结合，需要综合运用多方面知识方可得解.15．(1)22143x y +=(2)证明见解析【分析】（1）设(),0F c ，根据M 的坐标及MF ⊥x 轴可求基本量，故可求椭圆方程. （2）设:(4)AB y k x =−，()11,A x y ，()22,B x y ，联立直线方程和椭圆方程，用,A B 的坐标表示1Q y y −，结合韦达定理化简前者可得10Q y y −=，故可证AQ y ⊥轴.【解析】（1）设(),0F c ，由题设有1c =且232b a =，故2132a a −=，故2a =，故b ，故椭圆方程为22143x y +=.（2）直线AB 的斜率必定存在，设:(4)AB y k x =−，()11,A x y ，()22,B x y ，由223412(4)x y y k x ⎧+=⎨=−⎩可得()2222343264120k x k x k +−+−=， 故()()422Δ102443464120k k k =−+−>，故1122k −<<，又22121222326412,3434k k x x x x k k −+==++， 而5,02N ⎛⎫ ⎪⎝⎭，故直线225:522y BN y x x ⎛⎫=− ⎪⎝⎭−，故22223325252Q y y y x x −−==−−， 所以()1222112225332525Q y x y y y y y x x ⨯−+−=+=−−()()()12224253425k x x k x x −⨯−+−=−()222212122264123225825834342525k k x x x x k k k kx x −⨯−⨯+−++++==−− 2222212824160243234025k k k k k x −−+++==−，故1Q y y =，即AQ y ⊥轴.【点睛】方法点睛：利用韦达定理法解决直线与圆锥曲线相交问题的基本步骤如下： （1）设直线方程，设交点坐标为()()1122,,,x y x y ；（2）联立直线与圆锥曲线的方程，得到关于x （或y ）的一元二次方程，注意∆的判断； （3）列出韦达定理；（4）将所求问题或题中的关系转化为12x x +、12x x （或12y y +、12y y ）的形式； （5）代入韦达定理求解.16．(1)221,42x y e +==(2)2t =【分析】（1）由题意得b c ==a ，由此即可得解；（2）说明直线AB 斜率存在，设(:,AB y kx t t =+>，()()1122,,,A x y B x y ，联立椭圆方程，由韦达定理有2121222424,1221kt t x x x x k k −−+==++，而()121112:y y AD y x x y x x −=−++，令0x =，即可得解.【解析】（1）由题意b c ===2a ==， 所以椭圆方程为22142x y +=，离心率为e =（2）显然直线AB 斜率存在，否则,B D 重合，直线BD 斜率不存在与题意不符， 同样直线AB 斜率不为0，否则直线AB 与椭圆无交点，矛盾，从而设(:,AB y kx t t =+>，()()1122,,,A x y B x y ，联立22142x y y kx t ⎧+=⎪⎨⎪=+⎩，化简并整理得()222124240k x ktx t +++−=， 由题意()()()222222Δ1682128420k t k t k t =−+−=+−>，即,k t 应满足22420k t +−>，所以2121222424,1221kt t x x x x k k −−+==++， 若直线BD 斜率为0，由椭圆的对称性可设()22,D x y −， 所以()121112:y y AD y x x y x x −=−++，在直线AD 方程中令0x =， 得()()()()2122112121221121212422214C k t x kx t x kx t kx x t x x x y x y y t x x x x x x kt t−++++++====+==+++−，所以2t =，此时k 应满足222424200k t k k ⎧+−=−>⎨≠⎩，即k应满足k <或k >，综上所述，2t =满足题意，此时k <k >17．(1)221129x y +=(2)存在()30,32T t t ⎛⎫−≤≤⎪⎝⎭，使得0TP TQ ⋅≤恒成立. 【分析】（1）根据椭圆的离心率和三角形的面积可求基本量，从而可得椭圆的标准方程.（2）设该直线方程为：32y kx =−，()()()1122,,,,0,P x y Q x y T t ， 联立直线方程和椭圆方程并消元，结合韦达定理和向量数量积的坐标运算可用,k t 表示TP TQ ⋅，再根据0TP TQ ⋅≤可求t 的范围.【解析】（1）因为椭圆的离心率为12e =，故2a c =，b ，其中c 为半焦距， 所以()()2,0,0,,0,A c B C ⎛− ⎝⎭，故122ABC S c =⨯=△故ca =，3b =，故椭圆方程为：221129x y +=.（2）若过点30,2⎛⎫− ⎪⎝⎭的动直线的斜率存在，则可设该直线方程为：32y kx =−，设()()()1122,,,,0,P x y Q x y T t ，由22343632x y y kx ⎧+=⎪⎨=−⎪⎩可得()223412270k x kx +−−=， 故()222Δ144108343245760k k k =++=+>且1212221227,,3434k x x x x k k +==−++ 而()()1122,,,TP x y t TQ x y t =−=−，故()()121212123322TP TQ x x y t y t x x kx t kx t ⎛⎫⎛⎫⋅=+−−=+−−−− ⎪⎪⎝⎭⎝⎭()()22121233122kx x k t x x t ⎛⎫⎛⎫=+−++++ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭()22222731231342342k k k t t k k ⎛⎫⎛⎫⎛⎫=+⨯−−+⨯++ ⎪ ⎪ ⎪++⎝⎭⎝⎭⎝⎭()2222222327271812332234k k k t t t k k ⎛⎫−−−−++++ ⎪⎝⎭=+ ()22223321245327234t t k t k ⎛⎫⎡⎤+−−++− ⎪⎣⎦⎝⎭=+， 因为0TP TQ ⋅≤恒成立，故()223212450332702t t t ⎧+−−≤⎪⎨⎛⎫+−≤⎪ ⎪⎝⎭⎩，解得332t −≤≤.若过点30,2⎛⎫− ⎪⎝⎭的动直线的斜率不存在，则()()0,3,0,3P Q −或()()0,3,0,3P Q −，此时需33t −≤≤，两者结合可得332t −≤≤.综上，存在()30,32T t t ⎛⎫−≤≤⎪⎝⎭，使得0TP TQ ⋅≤恒成立. 【点睛】思路点睛：圆锥曲线中的范围问题，往往需要用合适的参数表示目标代数式，表示过程中需要借助韦达定理，此时注意直线方程的合理假设. 18．(1)b(2)(2,P(3)(303,3⎛ ⎝⎦【分析】（1）根据离心率公式计算即可； （2）分三角形三边分别为底讨论即可；（3）设直线:2l x my =−，联立双曲线方程得到韦达定理式，再代入计算向量数量积的等式计算即可.【解析】（1）由题意得21c cea ===，则2c =，b == （2）当b =时，双曲线22Γ:183y x −=，其中()2,0M −，()21,0A ， 因为2MA P △为等腰三角形，则①当以2MA 为底时，显然点P 在直线12x =−上，这与点P 在第一象限矛盾，故舍去；②当以2A P 为底时，23MP MA ==，设(),P x y ，则 2222318(2)9y x x y ⎧−=⎪⎨⎪++=⎩,联立解得2311x y ⎧=−⎪⎪⎨⎪=⎪⎩或2311x y ⎧=−⎪⎪⎨⎪=⎪⎩10x y =⎧⎨=⎩， 因为点P 在第一象限，显然以上均不合题意，舍去； （或者由双曲线性质知2MP MA >，矛盾，舍去）；③当以MP 为底时，223A P MA ==，设()00,P x y ，其中000,0x y >>，则有()2200220019183x y y x ⎧−+=⎪⎪⎨−=⎪⎪⎩，解得002x y =⎧⎪⎨=⎪⎩(2,P ．综上所述：(2,P .（3）由题知()()121,0,1,0A A −，当直线l 的斜率为0时，此时120A R A P ⋅=，不合题意，则0l k ≠， 则设直线:2l x my =−，设点()()1122,,,P x y Q x y ，根据OQ 延长线交双曲线Γ于点R ， 根据双曲线对称性知()22,R x y −−，联立有22221x my y x b =−⎧⎪⇒⎨−=⎪⎩()222221430b m y b my b −−+=， 显然二次项系数2210b m −≠， 其中()()22222422Δ44134120mb b m b b m b =−−−=+>，2122241b my y b m +=−①，2122231b y y b m =−②， ()()1222111,,1,A R x y A P x y =−+−=−，则()()122112111A R A P x x y y ⋅=−+−−=，因为()()1122,,,P x y Q x y 在直线l 上， 则112x my =−，222x my =−，即()()2112331my my y y −−−−=，即()()2121213100y y m y y m +−++=，将①②代入有()2222222341310011b b mm m b m b m +⋅−⋅+=−−，即()()2222231341010b m m b m b m +−⋅+−=化简得2223100b m b +−=，所以 22103m b=−, 代入到 2210b m −≠, 得 221031b b =−≠, 所以 23b ≠, 且221030m b =−≥，解得2103b ≤，又因为0b >，则21003b <≤，综上知，()2100,33,3b ⎛⎤∈ ⎥⎝⎦，(303,3b ⎛∴∈ ⎝⎦．【点睛】关键点点睛：本题第三问的关键是采用设线法，为了方便运算可设:2l x my =−，将其与双曲线方程联立得到韦达定理式，再写出相关向量，代入计算，要注意排除联立后的方程得二次项系数不为0.。
高中解析几何试题及答案
高中解析几何试题及答案1. 已知圆的方程为 \((x-2)^2+(y-3)^2=9\)，求该圆的圆心坐标和半径。
答案：圆心坐标为 \((2, 3)\)，半径为 \(3\)。
2. 求直线 \(2x + 3y - 6 = 0\) 关于点 \((1, 2)\) 对称的直线方程。
答案：对称直线的方程为 \(2x - 3y + 8 = 0\)。
3. 已知椭圆 \(\frac{x^2}{a^2} + \frac{y^2}{b^2} = 1\)（其中\(a > b > 0\)）经过点 \((2, 3)\)，且离心率 \(e = \frac{c}{a}\) 为 \(\frac{1}{2}\)，求椭圆的长轴和短轴长度。
答案：根据离心率 \(e = \frac{c}{a} = \frac{1}{2}\)，我们有 \(c =\frac{a}{2}\)。
由于椭圆经过点 \((2, 3)\)，代入椭圆方程得\(\frac{4}{a^2} + \frac{9}{b^2} = 1\)。
又因为 \(c^2 = a^2 -b^2\)，代入 \(c = \frac{a}{2}\) 得 \(\frac{a^2}{4} = a^2 -b^2\)，解得 \(b^2 = \frac{3}{4}a^2\)。
将 \(b^2\) 代入椭圆方程，解得 \(a^2 = 16\) 和 \(b^2 = 12\)。
因此，椭圆的长轴长度为\(2a = 32\)，短轴长度为 \(2b = 24\)。
4. 求抛物线 \(y^2 = 4px\)（\(p > 0\)）的焦点坐标。
答案：焦点坐标为 \((\frac{p}{2}, 0)\)。
5. 已知双曲线 \(\frac{x^2}{a^2} - \frac{y^2}{b^2} = 1\) 的一条渐近线方程为 \(y = \frac{b}{a}x\)，求双曲线的离心率。
答案：双曲线的离心率 \(e = \sqrt{1 + \frac{b^2}{a^2}}\)。
高中数学解析几何训练题(带答案)
高中数学解析几何训练题（带答案）试卷分析高中数学习题精选第三部分解析几何一、选择题：1、直线的倾斜角是＿＿＿＿＿＿。
A． B． C． D．2、直线m、l关于直线_ = y对称，若l的方程为，则m的方程为＿＿＿＿＿。
A． B． C． D．3、已知平面内有一长为4的定线段AB，动点P满足|PA||PB|=3，O为AB中点，则|OP|的最小值为＿＿＿＿＿＿。
A．1 B． C．2 D．34、点P分有向线段成定比，若，则所对应的点P的集合是＿＿＿。
A．线段 B．线段的延长线 C．射线 D．线段的反向延长线5 、已知直线L经过点A 与点B ，则该直线的倾斜角为＿＿＿＿＿＿。
A．150 B．135 C．75 D．456、经过点A 且与直线垂直的直线为＿＿＿＿＿＿。
A． B． C． D．7、经过点且与直线所成角为30的直线方程为＿＿＿＿＿＿。
A． B．或C． D．或8、已知点A 和点B ，直线m过点P 且与线段AB相交，则直线m的斜率k的取值范围是＿＿＿＿＿＿。
A． B． C． D．9、两不重合直线和相互平行的条件是＿＿＿＿＿＿。
A． B．或 C． D．10、过且倾斜角为15的直线方程为＿＿＿＿＿＿。
A． B． C． D．11、a = 1是直线和互相垂直的＿＿＿。
A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也非必要条件12、与曲线关于直线对称的曲线方程是＿＿＿＿＿＿。
A． B． C． D．13、曲线关于点对称的曲线的方程是＿＿＿＿＿＿。
A． B． C． D．14、实数a = 0是和平行的＿＿＿＿＿＿A．充要条件 B．必要不充分条件 C．充分不必要条件 D．既不充分也非必要条件15、已知m和n的斜率分别是方程的两根，则m和n所成角为＿＿＿＿＿＿。
A．15 B．30 C．45 D．6016、直线的倾斜角为＿＿＿＿＿＿。
A． B． C． D．17、a为非负实数，直线不通过的象限是＿＿＿＿＿＿。
高考数学复习训练：解析几何100道经典大题（含答案）高中生打印
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所以今天给同学们整理了一份高中数学几何的题库大全包含解析一共79页希望同学们可以认真做题认真复习
高考数学复习训练：解析几何100道经典大题（含答案）高中生打印
几何是高中数学最常考的考点之一，用代数的方法解决几何问题，难度பைடு நூலகம்用我说，大家都知道怎么回事。在几何的学习中，重点是用“数形结合”的思想把几何转化为代数问题。
[必刷题]2024高三数学下册解析几何专项专题训练(含答案)
![[必刷题]2024高三数学下册解析几何专项专题训练(含答案)](https://img.taocdn.com/s3/m/17973334001ca300a6c30c22590102020640f250.png)
[必刷题]2024高三数学下册解析几何专项专题训练（含答案）试题部分一、选择题：1. 在直角坐标系中，点A(2,3)关于原点O的对称点坐标是（）A. (2,3)B. (2,3)C. (2,3)D. (3,2)2. 已知直线l的斜率为1，且过点P(1,2)，则直线l的方程为（）A. x+y3=0B. xy+3=0C. x+y+3=0D. xy3=03. 圆C的方程为x^2+y^2=4，点D(3,0)在圆外，则直线CD的斜率为（）A. 1B. 1C. 3D. 34. 下列关于椭圆的方程中，离心率最小的是（）A. x^2/4 + y^2/9 = 1B. x^2/9 + y^2/4 = 1C. x^2/16 + y^2/25 = 1D. x^2/25 + y^2/16 = 15. 设双曲线x^2/a^2 y^2/b^2 = 1的渐近线方程为y=kx，则k 的值为（）A. a/bB. b/aC. a/bD. b/a6. 在平面直角坐标系中，点A(1,2)到直线y=3x+1的距离为（）A. 2B. 3C. 4D. 57. 已知抛物线y^2=8x的焦点坐标为（）A. (2,0)B. (2,0)C. (0,2)D. (0,2)8. 若直线y=2x+3与圆(x1)^2+(y2)^2=16相交，则交点的个数为（）A. 0B. 1C. 2D. 39. 在等轴双曲线x^2 y^2 = 1上，点P到原点的距离为2，则点P的坐标为（）A. (1,1)B. (1,1)C. (1,1)D. (1,1)10. 已知点A(2,3)和点B(2,1)，则线段AB的中点坐标为（）A. (0,2)B. (0,4)C. (2,2)D. (2,4)二、判断题：1. 直线y=2x+1的斜率为2，截距为1。
（）2. 两个圆的半径分别为1和2，圆心距为3，则这两个圆相交。
（）3. 椭圆的离心率越大，其形状越接近圆。
（）4. 抛物线的焦点到准线的距离等于其焦距的一半。
高中数学解析几何应用复习 题集附答案
高中数学解析几何应用复习题集附答案高中数学解析几何应用复习题集附答案解析几何是高中数学中的一门重要学科，它将代数与几何相结合，通过分析几何中的图形性质和特点，运用代数方法来解决几何问题。
在高中数学的学习过程中，解析几何是一个相对难度较大的部分，需要学生进行大量的练习和复习。
为了帮助同学们更好地巩固解析几何的知识，下面将为大家提供一套高中数学解析几何应用的复习题目，并附上相应的答案。
题目一：已知点A(1,2)、B(4,5)、C(6,1)，求△ABC的周长和面积。
解法：首先，我们计算△ABC的边长AB、BC和AC的长度：AB = √((x2 - x1)² + (y2 - y1)²)= √((4 - 1)² + (5 - 2)²)= √(3² + 3²)= √(18)= 3√2BC = √((x2 - x1)² + (y2 - y1)²)= √((6 - 4)² + (1 - 5)²)= √(2² + (-4)²)= √(20)= 2√5AC = √((x2 - x1)² + (y2 - y1)²)= √((6 - 1)² + (1 - 2)²)= √(5² + (-1)²)= √(26)因此，△ABC的周长为AB + BC + AC = 3√2 + 2√5 + √26。
接下来，我们计算△ABC的面积，可以利用向量AB和向量AC的叉乘得到：S △ABC = 1/2 * |(x1 * y2 + x2 * y3 + x3 * y1) - (y1 * x2 + y2 * x3 +y3 * x1)|= 1/2 * |(1 * 5 + 4 * 1 + 6 * 2) - (2 * 4 + 5 * 6 + 1 * 1)|= 1/2 * |(5 + 4 + 12) - (8 + 30 + 1)|= 1/2 * |-6|= 3所以，△ABC的面积为3。
高中数学解析几何练习题
解析几何练习题一选择题1.椭圆181622=+y x 的离心率为（ ） A.31 B. 21 C. 33 D. 22 2.已知抛物线y 2＝2px （p >0）的准线与圆（x －3）2＋y 2＝16相切，则p 的值为（ ） A.12B.1C.2D.4 3.设抛物线的顶点在原点，准线方程为2x =-，则抛物线的方程是( ) A 28y x =- B 28y x = C 24y x =- D 24y x =4.双曲线13622=-y x 的渐近线与圆)0()3(222>=+-r r y x 相切，则r=( ) A 3 B 2 C 3 D65.已知直线)0)(2(>+=k x k y 与抛物线C:x y 82=相交A 、B 两点，F 为C 的焦点。
若FB FA 2=,则k= A.31 B 32 C 32 D 322 6中心在原点，焦点在x 轴上的双曲线的一条渐近线经过点（4,2），则它的 离心率为（ ）7过点)0,1(且与直线022=--y x 平行的直线方程是（ ）A 012=--y xB 012=+-y xC 022=-+y xD 012=-+y x8若圆心在x O 位于y 轴左侧，且与直线x+2y=0相切，则圆O 的方程是（ ）A 22(5x y +=B 22(5x y ++=C 22(5)5x y -+=D 22(5)5x y ++=9若直线01-+-y x 与圆2)(22=+-y a x 有公共点，则实数a 取值范围是（ ）A [-3 ，-1 ] B[ -1 ， 3 ] C [ -3 ，1 ] D （- ∞ ，-3 ] U [1 ，+ ∞ ）10若一个椭圆长轴的长度、短轴的长度和焦距成等差数列，则该椭圆的离心率是A 45B 35C 25D 1511.若点O 和点F 分别为椭圆3422y x +的中心和左焦点，点P 为椭圆上点的任意一点，则⋅的最大值为A.2B.3C.6D.812已知圆O 的半径为1，PA 、PB 为该圆的两条切线，A 、B 为两切点，那么PA PB ∙ 的最小值为（ ）A 4-B 3-+C 4-+D 3-+13已知抛物线22(0)y px p =>，过其焦点且斜率为1的直线交抛物线与A 、B 两点，若线段AB 的中点的纵坐标为2，则该抛物线的准线方程为（ ）A 1x =B 1x =-C 2x =D 2x =-14设圆C 与圆x 2+（y-3）2=1外切，与直线y =0相切，则C 的圆心轨迹为A ．抛物线B ．双曲线C ．椭圆D ．圆15已知F 是抛物线y 2=x 的焦点，A ，B 是该抛物线上的两点，=3AF BF +，则线段AB的中点到y 轴的距离为（ ） A 34 B 1 C 54 D 7416已知椭圆22122:1x y C a b +=（a ＞b ＞0）与双曲线222:14y C x -=有公共的焦点C 2的一条渐近线与以C 1的长轴为直径的圆相交于,A B 两点．若C 1恰好将线段AB 三等分，则（ ）A 2a =132B 2a =13C 2b =12D 2b =2 17.在平面直角坐标系xoy 中，直线0543=-+y x 与圆422=+y x 相交于A 、B 两点，则弦AB 的长等于A. B. D.118.椭圆)0(,12222>>=+b a by a x 的左、右顶点分别是A ，B ，左、右焦点分别是F 1，F 2。
高三数学解析几何与向量练习题及答案
高三数学解析几何与向量练习题及答案解析几何与向量是高中数学中的重要内容。
通过解析几何与向量的学习，我们可以更加深入地理解几何图形的性质和运动规律，同时也可以应用向量的知识解决实际问题。
为了帮助高三学生巩固解析几何与向量的知识，以下是一些练习题及其答案供大家参考。
练习题1：已知平面α：2x - 3y + z - 4 = 0，点A(1, -2, 3)和点B(4, 1, 2)。
求点A关于平面α的对称点A'的坐标。
解析：首先，我们知道一个点关于平面的对称点，其坐标的x、y、z均不变，只是取相反数。
所以对于点A(x, y, z)，其关于平面α的对称点A'的坐标为A'(-x, -y, -z)。
所以，点A关于平面α的对称点A'的坐标为A'(-1, 2, -3)。
练习题2：已知直线l过点A(1, -2, 3)和点B(4, 1, 2)，平面α经过点C(3, 5, 6)且垂直于直线l。
求平面α的方程。
解析：首先，我们知道平面α垂直于直线l，所以平面α的法向量与直线l 的方向向量垂直。
直线l的方向向量可以通过点A和点B的坐标差求得：l的方向向量d = (4-1, 1-(-2), 2-3) = (3, 3, -1)。
由于平面α过点C(3, 5, 6)，所以平面α上任意一点P(x, y, z)到点C(3, 5, 6)的向量PC与平面α的法向量垂直，即它们的点积为0。
根据点积的定义，可以得到平面α的方程为：(3, 3, -1)·(x-3, y-5, z-6) = 0。
化简得：3(x-3) + 3(y-5) - 1(z-6) = 0。
展开得：3x - 9 + 3y - 15 - z + 6 = 0。
合并同类项得：3x + 3y - z - 18 = 0。
所以，平面α的方程为：3x + 3y - z - 18 = 0。
练习题3：已知向量a = 2i + 3j + k，向量b = i + 2j - 2k，向量c = -3i + j + 4k。
高中数学竞赛(强基计划)历年真题练习 专题7 解析几何 (学生版+解析版)
【高中数学竞赛真题·强基计划真题考前适应性训练】专题07解析几何真题专项训练（全国竞赛＋强基计划专用〉一、单选题1. (2020·北京高三强基计划〉从圆～切J羔间的线段称为切J羔弦，贝0椭困C内不与任何切点弦相交的区域丽积为（〉－zA B.!!.3c.主4 D.前三个答案都2不对2. (2022·北京·高三校考强基计划〉内接于椭圆王→L=1的菱形周长的最大值和最小4 9值之利是（〉A. 4..{JjB.14.J]3c孚♂D上述三个选项都不对3. (2020湖北武汉·高三统考强基计划〉己知直线11:y=-..!.x，乌：y=..!.x ，动点户在椭2圆ι4= l(a > b > 0）上，作PM Ill，交12于点M，作PN I I以忏点N若。
－－IPMl2 +IPN l2为定值，则（〉A.ab=2B.ab=3C.a=2bD.a=3b4. (2020北京·高三强基计划〉设直线y=3x+m与椭圆三＋丘＝I交于A,B两点，0为25 16坐标原点，贝I],.OAB面积的最大值为（〉A.88.JO c.12 D.前三个答案都不对s. (2022·贵州·高二统考竞赛〉如圈，c,,c2是离心率都为e的椭圆，点A,B是分别是C2的右顶点和上顶点，过A,B两点分别作c,�］切线，，' 12 .若直线l，，儿的斜率分别芳、J k, , k2，则lk儿｜的值为（〉A .e 2 B.e 2 -1C.I-e2D.-i e 6. (2020湖北武汉·高三统考强基计划〉过椭圆！....＋L =I 的中心作两条互相垂直的弦4 9A C 和B D ，顺次连接A ,B,C,D 得－四边形，则该四边形的丽积可能为（A. 10B. 12c. 14D. 167.(2019贵州高三校联考竞赛〉设椭圆C：牛牛！（a>b>O）的左、右焦点分别为。
高三数学基础知识梳理 第7章 解析几何 试题
卜人入州八九几市潮王学校第七章解析几何根底知识梳理一、直线： ㈠根本公式：⒈两点间隔公式：点P 1〔x 1，y 1〕、P 2〔x 2，y 2〕，那么|P 1P 2|=. ⒉线段的定比分点坐标公式：两点P 1〔x 1，y 1〕、P 2〔x 2，y 2〕，点P 〔x ，y 〕分有向线段21p p 的比是λ，即 p p 1λ2pp ， 那么x=，y=.⒊中点坐标公式：两点P 1〔x 1，y 1〕、P 2〔x 2，y 2〕，线段P 1P 2的中点坐标是〔x ，y 〕， 那么x=，y=.⒋三角形的重心坐标公式：三角形的三点坐标A 〔x 1，y 1〕、B 〔x 2，y 2〕、C 〔x 3，y 3〕， △ABC 的重心是G 〔x ，y 〕，那么x=，y=. ⒌斜率⑴直线倾斜角的定义： ⑵直线斜率的定义：⑶公式：两点A 〔x 1，y 1〕、B 〔x 2，y 2〕，〔x 1≠x 2〕，那么k AB =. 注：三点A 〔x 1，y 1〕、B 〔x 2，y 2〕、C 〔x 3，y 3〕，如何证明这三点一共线？ ㈡直线方程：⒈直线方程的几种形式：注：两点P1〔x1，y1〕、P2〔x2，y2〕，那么直线P1P2的方程总可写为〔不要讨论〕：.⒉特殊位置的直线方程：⑴垂直于x轴的直线方程是.y轴的方程是.⑵垂直于y轴的直线方程是.x轴的方程是.⑶过原点的直线〔除y轴〕方程是.⑷求过点P〔x0，y0〕〔不是原点〕且在坐标轴上的截距相等的直线方程时应考虑哪几种情况？㈢点P〔x0，y0〕与直线l：Ax+By+C=0的位置关系：⒈P在直线l上，那么有.⒉P在直线l外，P到直线l的间隔为d，那么d=㈣两直线l1和l2的位置关系：⒈斜率存在，直线l1：y=k1x+b1，直线l2：y=k2x+b2，那么⑴l1与l2相交⇔；⑵l1∥l2⇔；⑶l1与l2重合⇔；⑷l1⊥l2⇔.⒉斜率不一定存在，直线l1：A1x+B1y+C1=0，直线l2：A2x+B2y+C2=0，那么：⑴l1与l2相交⇔；⑵l1∥l2⇔；⑶l1与l2重合⇔；⑷l1⊥l2⇔.⒌两相交直线交点坐标的求法：⒍两平行线之间的间隔：直线l1：A x+B y+C1=0，直线l2：A x+B y+C2=0，那么l1与l2间的间隔d=.过两定点P、Q分别作倾斜角相等的直线，这两条平行直线间间隔的最大值是.㈤对称：⒈请填以下空格，并记住结论：〔a ，b 〕 x 轴 可直接用 〔a ，b 〕 y 轴可直接用 〔a ，b 〕 直线x-y=0 可直接用 〔a ，b 〕 直线x+y=0 可直接用 〔a ，b 〕 直线x-y+c=0 只用于选择、填空题 〔a ，b 〕直线x+y+c=0只用于选择、填空题注：假设对称轴的斜率不是±1，没有上述结论！只可用下面的方法求： 设P 〔x 0，y 0〕关于直线Ax+By+C=0的对称点Q 的坐标是〔x ，y 〕，那么 ⑴当A=0且B ≠0时，那么x=，y=； ⑵当B=0且A ≠0时，那么x=，y=；⑶当AB ≠0时，那么⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧=++++-=-⋅--0)2()2(1)(0000C y y B x x A B Ax x y y ⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧+++-=+++-=)(2)(20022000220C By Ax B A B y y C By Ax B A A x x ㈥直线系： 1、直线系的定义：具有某种一共同特征的直线的集合叫做直线系，它的方程叫做直线系方程. 2、常见的直线系方程：⑴过定点P 〔x 0，y 0〕的直线系方程是. ⑵斜率是k 的直线系方程是.⑶与直线Ax+By+C=0平行的直线系方程是. ⑷与直线Ax+By+C=0垂直的直线系方程是. ⑸在x 轴和y 轴上截距的和是10的直线系方程是.3、设直线l 1：A 1x+B 1y+C 1=0和直线l 2：A 2x+B 2y+C 2=0相交于P 点，那么经过P 点的直线系方程是.4、如何证明直线系过定点？ ㈦二元一次不等式表示的平面区域：⒈当B ＞0时，⑴点P 〔x 1，y 1〕在直线l ：Ax+By+C=0的上方⇔；⑵点P 〔x 1，y 1〕在直线l ：Ax+By+C=0的下方⇔.⒉当B=0，A ＞0时，⑴点P 〔x 1，y 1〕在直线l ：Ax+C=0的右方⇔；⑵点P〔x1，y1〕在直线l：Ax+C=0的左方 .㈧简单线性规划问题最优解的解题步骤：⒈画可行域；⒉画斜率是k的直线系；⒊根据直线系扫过可行域的情况，判别直线在哪一点处纵截距有最小值，在哪一点处纵截距有最大值；⒋求出纵截距最大、最小时相应的点的坐标，即最优解；⒌根据最优解求出目的函数的最大值或者最小值.㈨根本练习题：⒈直线l：(2m2-7m+3)x+(m2-9)y+3m2=0,当倾斜角α=45°时,m=；当m=时,l平行于y轴；当m时,l在y轴上的截距为4.⒉直线kx+2y-3=0过点(1,1),那么k=；假设它与直线2x-y+5=0垂直,那么k=；此时两直线交点坐标为；两直线与x轴围成的三角形的面积为.⒊假设P＜-1,那么原点到直线xcosθ+ysinθ+p=0的间隔为.⒋直线l1：(a-1)x-2y+3=0、l2：x-ay+1=0，当a=时，l1∥l2；当a=时，l1⊥l2；当a=时，l1、l2所成的角等于45°.⒌直线l过点A(-2,2)且和两坐标轴围成的三角形面积等于1,那么直线l的斜率k=.⒍不管k取何值,直线(2k-1)x-(k+3)y-(k-11)=0必过定点.三、圆：㈠圆的定义；.㈡圆的方程：⒈HY方程：；圆心坐标是，半径是.⒉一般方程：；圆心坐标是，半径是.注：⑴假设条件与圆心或者半径有关，通常用HY式求圆方程；假设条件是不一共线的三点，通常用一般式求圆的方程.⑵以A(x1,y1),B(x2,y2)两点为直径端点的圆的方程是.㈢点与圆的位置关系：点P(x0,y0)与圆C方程(x-a)2+(y-b)2=r2(或者x2+y2+Dx+Ey+F=0),那么：点P在圆C上或者；点P在圆C外或者；点P在圆C内或者.㈣直线与圆的位置关系：直线与圆的位置关系有、、三种.判别方法如下：判别方法〔一〕根据圆心到直线的间隔d与圆的半径r的大小关系：d＜r；d=r；d＞r.判别方法〔二〕利用一元二次方程的判别式△与0的大小关系：△＞0；△=0；△＜0.㈤当直线与圆相交时，弦长公式是弦长l=.㈥当直线与圆相切时，切线方程的求法：⒈过圆上一点P(x0,y0)的切线方程的求法：这时切线只有一条!通常用“交换法那么〞：⒉过圆外一点P(x0,y0)的切线方程的求法：这时切线总有两条!通常用点斜式，但要讨论斜率存在与否.在求斜率时，通常有两种方法：⑴圆心到切线的间隔等于半径；⑵切线方程与圆方程联立消去一元得到另一元的二次方程后令判别式△=0.注意：不管用哪一种，假设求出的斜率k只有一解，说明另一条切线的斜率不存在.⒊圆C方程及圆的切线的斜率K，如何求切线方程？通常用斜截式方程，即设切线方程为y=kx+b，仿照上面〔⒉中的⑴⑵两点，任选其一〕求出b.㈦圆与圆的位置关系：设⊙C1、⊙C2的半径分别是r1、r2，圆心距|C1C2|=d，那么：外离外切相交内切内含㈧两圆相交时公一共弦所在直线方程的求法：.㈨两圆相切时过切点的公切线方程的求法：.㈩过圆C：(x-a)2+(y-b)2=r2(或者x2+y2+Dx+Ey+F=0)外一点P(x0,,y0)引圆的切线,那么切线长t=或者.(十一)过圆C：(x-a)2+(y-b)2=r2(或者x2+y2+Dx+Ey+F=0)外一点P(x0,,y0)引圆的两条切线,切点为A、B，那么直线AB方程为.四、椭圆：㈠椭圆的定义、方程和性质：焦点到准线的间隔在椭圆第一定义中,注意“2a ＞|F 1F 2|〞这个条件,假设2a=|F 1F 2|,这时动点轨迹是. 椭圆的两个HY 方程)0(12222>>=+b a by ax 、)0(12222>>=+b a bx ay ，这两个HY 方程可以合并为一个：Ax 2+By 2=1〔A ＞0，B ＞0，且A ≠B 〕. ㈦椭圆上任一点到一焦点的最大间隔是；最小间隔是. ㈧椭圆的焦点弦长最大值是；最小值是. ㈩两个重要结论： ⒈椭圆)0(12222>>=+b a by ax 长轴的两个端点为A 1、A 2,短轴的一个端点是B,P 是椭圆上任一点,那么∠A 1PA 2≤∠A 1BA 2； ⒉椭圆)0(12222>>=+b a b y ax的两个焦点为F 1、F 2,短轴的一个端点是B, P 是椭圆上任一点,那么∠F 1PF 2≤∠F 1BF 2.五、双曲线：定义⒈⒉HY 方程)0,0(12222>>=-b a b y a x)0,0(12222>>=-b a b x a y图形y F 1xoPF 2ByA 1 xo PA 2Bo·· F 1F 2· F 1F2·l 1l 2l 1A 1A 1A 2A2l 2⒈在双曲线的第一定义中，应注意“差的绝对值．．．〞及“2a ＜|F 1F 2|〞. ⑴假设仅仅是“差是定值“，那么动点轨迹是双曲线的一支； ⑵假设2a=|F 1F 2|〔其中a ≠0〕，那么动点轨迹是两条射线. ⒉双曲线的两个HY 方程)0,0(12222>>=-b a b y a x 、)0,0(12222>>=-b a b x a y ，这两个HY 方程可合并为一个：Ax 2−By 2=1〔A ·B ＞0〕 ㈡在双曲线的性质中要记住：㈢等轴双曲线的HY 方程可设为，它的离心率e=.㈤一共渐近线问题： ⒈以直线y=±abx 为渐近线的双曲线方程为 ⒉与双曲线)0,0(12222>>=-b a by ax 一共渐近线的双曲线方程为.六、抛物线：㈠抛物线的定义、HY 方程、性质：定义 图形HY 方程 范围焦点坐标 准线方程 对称轴方程顶点坐标 离心率抛物线的HY 方程有四个，y 2=±2px(p>0),x 2=±2py(p>0),其中p 是焦点到准线的间隔.焦点在x 轴上的两个方程y 2=±2px(p>0),可合并为：y 2=ax(a ≠0),焦点F(0,4a ),准线x=−4a ； 焦点在y 轴上的两个方程x 2=±2py(p>0),可合并为：x 2=ay(a ≠0),焦点F(4,0a ),准线y=−4a.。
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七、解析几何：直线部分一、直线的倾斜角和斜率：（1）直线的倾斜角：在平面直角坐标系中，对于一条与x 轴相交的直线，如果把x 轴绕着交点按逆时针方向旋转到和直线重合时所转的最小正角记为α，那么α就叫做直线的倾斜角。
注意：规定当直线和x 轴平行或重合时，其倾斜角为o 0，所以直线的倾斜角α的范围是o o（2）直线的斜率：倾斜角不是o 90的直线，它的倾斜角的正切叫做这条直线的斜率，αtan =k①斜率是用来表示倾斜角不等于o 90的直线对于x 轴的倾斜水准的。
②每一条直线都有唯一的倾斜角，但并不是每一条直线都存有斜率（直线垂直于x 轴时，其斜率不存有)，这就决定了我们在研究直线的相关问题时，应考虑到斜率的存有与不存有这两种情况，否则会产生漏解。
③斜率计算公式：设经过),(11y x A 和),(22y x B 两点的直线的斜率为k ，则当21x x ≠时，2121tan x x y y k --==α；当21x x =o 二、直线方程的几种形式：（1）点斜式：过已知点),(00y x ，且斜率为k 的直线方程：)(00x x k y y -=-；注意：①当直线斜率不存有时，不能用点斜式表示，此时方程为0x x =； ②k x x y y =--00表示：)(00x x k y y -=-直线上除去),(00y x 的图形 。
（2）斜截式：若已知直线在y 轴上的截距为b ，斜率为k ，则直线方程：b kx y +=；注意：准确理解“截距”这个概念，它具有方向性，有正负之分，与“距离”有区别。
（3）两点式：若已知直线经过),(11y x 和),(22y x 两点，且（2121,y y x x ≠≠），则直线的方程：121121x x x x y y y y --=--； 注意：①不能表示与x 轴和y 轴垂直的直线；②当两点式方程写成如下形式0))(())((112112=-----x x y y y y x x 时，方程能够适合在于任何一条直线。
（4）截距式：若已知直线在x 轴，y 轴上的截距分别是a ，b （0,0≠≠b a ）则直线方程：1=+by a x ； 注意：不能表示与x 轴垂直的直线，也不能表示与y 轴垂直的直线，特别是不能表示过原点的直线，要谨慎使用。
（5）参数式：⎩⎨⎧+=+=bt y y at x x 00（t 为参数）其中方向向量为),(b a ，),(2222b a b b a a ++； a b k =；22||||b a t PP o +=；点21,P P 对应的参数为21,t t ，则222121||||b a t t P P +-=；⎩⎨⎧+=+=ααsin cos 00t y y t x x （t 为参数）其中方向向量为)sin ,(cos αα， t 的几何意义为||o PP ；斜率为αtan ；倾斜角为)0(παα<≤。
（6）一般式：任何一条直线方程均可写成一般式：0=++C By Ax ；（B A ,不同时为零）；反之，任何一个二元一次方程都表示一条直线。
注意：①直线方程的特殊形式，都能够化为直线方程的一般式，但一般式不一定都能化为特殊形式，这要看系数C B A ,,是否为0才能确定。
②指出此时直线的方向向量：),(A B -，),(A B -，),(2222B A A B A B +-+（单位向量）；直线的法向量：),(B A ；（与直线垂直的向量）三、两直线的位置关系：设两直线的方程分别为：222111:b x k y l +=或0:22221111=++C y B x A l ；当21k k ≠或1221B A B A ≠时它们相交，交点坐标为方程组⎩⎨⎧+=+=2211b x k y b x k y 或⎩⎨⎧=++=++00222111C y B x A C y B x A 解； 注意：①对于平行和重合，即它们的方向向量（法向量）平行；如：),(),(2211B A B A λ=对于垂直，即它们的方向向量（法向量）垂直；如0),(),(2211=⋅B A B A ②若两直线的斜率都不存有，则两直线 平行 ；若一条直线的斜率不存有，另一直线的斜率为 0 ，则两直线垂直。
③对于02121=+B B A A 来说，无论直线的斜率存有与否，该式都成立。
所以，此公式使用起来更方便．④斜率相等时，两直线平行(重合)；但两直线平行(重合)时，斜率不一定相等，因为斜率有可能不存有。
四、两直线的交角（1）1l 到2l 的角：把直线1l 依逆时针方向旋转到与2l 重合时所转的角；它是有向角，其范围是<≤0；注意：①1l 到2l 的角与2l 到1l 的角是不一样的；②旋转的方向是逆时针方向；③绕“定点”是指两直线的交点。
（2）直线1l 与2l 的夹角：是指由1l 与2l 相交所成的四个角的最小角(或不大于直角的角)，它的取值范围是0πθ<≤；（3）设两直线方程分别为： 222111::b x k y l b x k y l +=+=或0:0:22221111=++=++C y B x A l C y B x A l ①若θ为1l 到2l 的角，12121tan k k k k +-=θ或21211221tan B B A A B A B A +-=θ； ②若θ为1l 和2l 的夹角，则12121tan k k k k +-=θ或21211221tan B B A A B A B A +-=θ； ③当0121=+k k 或02121=+B B A A o注意：①上述与k 相关的公式中，其前提是两直线斜率都存有，而且两直线互不垂直；当有一条直线斜率不存有时，用数形结合法处理。
②直线1l 到2l 的角θ与1l 和2l 的夹角α：)2(πθθα≤=或)2(πθθπα>-=； 五、点到直线的距离公式：设点),(00y x P 和直线0:=++C By Ax l ，点P 到l 的距离为：2200||B A C By Ax d +++=；两平行线0:1111=++C y B x A l ，0:2222=++C y B x A l 的距离为：2221||B A C C d +-=； 六、直线系：（1）设直线0:1111=++C y B x A l ，0:2222=++C y B x A l ，经过21,l l 的交点的直线方程为0)(=+++++C y B x A C y B x A λ（除去2l ）；如：①011=--⇒+=kx y kx y ，即也就是过01=-y 与0=x 的交点)1,0(除去0=x 的直线方程。
②直线5)12()1(:-=-+-m y m x m l 恒过一个定点 。
注意：推广到过曲线0),(1=y x f 与0),(2=y x f 的交点的方程为：0)()(21=+x f x f λ；（2）与0:=++C By Ax l 平行的直线为0'=++C By Ax ；（3）与0:=++C By Ax l 垂直的直线为0'=+-C Ay Bx ；七、对称问题：（1）中心对称： ①点关于点的对称：该点是两个对称点的中点，用中点坐标公式求解，点),(b a A 关于),(d c C 的对称点)2,2(b d a c --②直线关于点的对称：Ⅰ、在已知直线上取两点，利用中点公式求出它们关于已知点对称的两点的坐标，再由两点式求出直线方程；Ⅱ、求出一个对称点，在利用21//l l 由点斜式得出直线方程；Ⅲ、利用点到直线的距离相等。
求出直线方程。
如：求与已知直线0632:1=-+y x l 关于点)1,1(-P 对称的直线2l 的方程。
（2）轴对称：①点关于直线对称：Ⅰ、点与对称点的中点在已知直线上，点与对称点连线斜率是已知直线斜率的负倒数。
Ⅱ、求出过该点与已知直线垂直的直线方程，然后解方程组求出直线的交点，在利用中点坐标公式求解。
如：求点)5,3(-A 关于直线0443:=+-y x l 对称的坐标。
②直线关于直线对称：（设b a ,关于l 对称）Ⅰ、若b a ,相交，则a 到l 的角等于b 到l 的角；若l a //，则l b //，且b a ,与l 的距离相等。
Ⅱ、求出a 上两个点B A ,关于l 的对称点，在由两点式求出直线的方程。
Ⅲ、设),(y x P 为所求直线直线上的任意一点，则P 关于l 的对称点'P 的坐标适合a 的方程。
如：求直线042:=-+y x a 关于0143:=-+y x l 对称的直线b 的方程。
八、简单的线性规划：（1）设点),(00y x P 和直线0:=++C By Ax l ，①若点P 在直线l 上，则000=++C By Ax ；②若点P 在直线l 的上方，则0)(00>++C By Ax B ；③若点P 在直线l 的下方，则0)(00<++C By Ax B ；（2）二元一次不等式表示平面区域：对于任意的二元一次不等式)0(0<>++C By Ax ，①当0>B 时，则0>++C By Ax 表示直线:=++C By Ax 上方的区域；0<++C By Ax 表示直线:=++C By Ax 下方的区域；②当0<B 时，则0>++C By Ax 表示直线:=++C By Ax 下方的区域；0<++C By Ax 表示直线:=++C By Ax 上方的区域；注意：通常情况下将原点)0,0(代入直线C By Ax ++中，根据0>或0<来表示二元一次不等式表示平面区域。
（3）线性规划：求线性目标函数在线性约束条件下的最大值或最小值的问题，统称为线性规划问题。
满足线性约束条件的解),(y x 叫做可行解，由所有可行解组成的集合叫做可行域。
生产实际中有很多问题都能够归结为线性规划问题。
注意：①当0>B 时，将直线0=+By Ax 向上平移，则By Ax z +=的值越来越大；直线0=+By Ax 向下平移，则By Ax z +=的值越来越小；②当0<B 时，将直线0=+By Ax 向上平移，则By Ax z +=的值越来越小；直线0=+By Ax 向下平移，则By Ax z +=的值越来越大；如：在如图所示的坐标平面的可行域内（阴影部分且包括周界），目标函数ay x z +=取得最小值的最优解有无数个，则a 为 ；x y O A(1,1) B(5,1)C(4,2)。