高中数学知识点扫描 七 解析几何练习题

七、解析几何：

直线部分

一、直线的倾斜角和斜率：

（1）直线的倾斜角：在平面直角坐标系中，对于一条与x 轴相交的直线，如果把x 轴绕着交

点按逆时针方向旋转到和直线重合时所转的最小正角记为α，那么α就

叫做直线的倾斜角。

注意：规定当直线和x 轴平行或重合时，其倾斜角为o 0，所以直线的倾斜角α的范围

是o o

（2）直线的斜率：倾斜角不是o 90的直线，它的倾斜角的正切叫做这条直线的斜率，αtan =k

①斜率是用来表示倾斜角不等于o 90的直线对于x 轴的倾斜水准的。

②每一条直线都有唯一的倾斜角，但并不是每一条直线都存有斜率（直线垂直于x 轴时，其斜率不存有)，这就决定了我们在研究直线的相关问题时，应考虑到斜率的存有与不存有这两种情况，否则会产生漏解。

③斜率计算公式：

设经过),(11y x A 和),(22y x B 两点的直线的斜率为k ，

则当21x x ≠时，2

121tan x x y y k --==α；当21x x =o 二、直线方程的几种形式：

（1）点斜式：过已知点),(00y x ，且斜率为k 的直线方程：)(00x x k y y -=-；

注意：①当直线斜率不存有时，不能用点斜式表示，此时方程为0x x =； ②k x x y y =--0

0表示：)(00x x k y y -=-直线上除去),(00y x 的图形 。 （2）斜截式：若已知直线在y 轴上的截距为b ，斜率为k ，则直线方程：b kx y +=；

注意：准确理解“截距”这个概念，它具有方向性，有正负之分，与“距离”有区别。

（3）两点式：若已知直线经过),(11y x 和),(22y x 两点，且（2121,y y x x ≠≠），则直线的方

程：1

21121x x x x y y y y --=--； 注意：①不能表示与x 轴和y 轴垂直的直线；

②当两点式方程写成如下形式0))(())((112112=-----x x y y y y x x 时，方

程能够适合在于任何一条直线。

（4）截距式：若已知直线在x 轴，y 轴上的截距分别是a ，b （0,0≠≠b a ）则直线方程：

1=+b

y a x ； 注意：不能表示与x 轴垂直的直线，也不能表示与y 轴垂直的直线，特别是不能表

示过原点的直线，要谨慎使用。

（5）参数式：⎩

⎨⎧+=+=bt y y at x x 00（t 为参数）其中方向向量为),(b a ，),(2222b a b b a a ++； a b k =；22||||b a t PP o +=；

点21,P P 对应的参数为21,t t ，则222121|

|||b a t t P P +-=；

⎩

⎨⎧+=+=ααsin cos 00t y y t x x （t 为参数）其中方向向量为)sin ,(cos αα， t 的几何意义为||o PP ；斜率为αtan ；倾斜角为)0(παα<≤。

（6）一般式：任何一条直线方程均可写成一般式：0=++C By Ax ；（B A ,不同时为零）；

反之，任何一个二元一次方程都表示一条直线。

注意：①直线方程的特殊形式，都能够化为直线方程的一般式，但一般式不一定都能

化为特殊形式，这要看系数C B A ,,是否为0才能确定。

②指出此时直线的方向向量：),(A B -，),(A B -，),(2222B A A B A B +-+

（单位向

量）；

直线的法向量：),(B A ；（与直线垂直的向量）

三、两直线的位置关系：

设两直线的方程分别为：222111:b x k y l +=或0

:22221111=++C y B x A l ；当21k k ≠或1221B A B A ≠时它们相交，交点坐标为方程组⎩⎨⎧+=+=2211b x k y b x k y 或⎩⎨⎧=++=++00222

111C y B x A C y B x A 解； 注意：①对于平行和重合，即它们的方向向量（法向量）平行；如：),(),(2211B A B A λ=

对于垂直，即它们的方向向量（法向量）垂直；如0),(),(2211=⋅B A B A ②若两直线的斜率都不存有，则两直线 平行 ；若一条直线的斜率不存有，另一直线的斜率为 0 ，则两直线垂直。

③对于02121=+B B A A 来说，无论直线的斜率存有与否，该式都成立。所以，此公式使用起来更方便．

④斜率相等时，两直线平行(重合)；但两直线平行(重合)时，斜率不一定相等，因为斜率有可能不存有。

四、两直线的交角

（1）1l 到2l 的角：把直线1l 依逆时针方向旋转到与2l 重合时所转的角；它是有向角，其范围

是<≤0；

注意：①1l 到2l 的角与2l 到1l 的角是不一样的；②旋转的方向是逆时针方向；

③绕“定点”是指两直线的交点。

（2）直线1l 与2l 的夹角：是指由1l 与2l 相交所成的四个角的最小角(或不大于直角的角)，它

的取值范围是0π

θ<≤；

（3）设两直线方程分别为： 222111::b x k y l b x k y l +=+=或0

:0:22221111=++=++C y B x A l C y B x A l ①若θ为1l 到2l 的角，12121tan k k k k +-=

θ或21211221tan B B A A B A B A +-=θ； ②若θ为1l 和2l 的夹角，则12121tan k k k k +-=θ或2

1211221tan B B A A B A B A +-=θ； ③当0121=+k k 或02121=+B B A A o