Pi值的计算(mathematica数学实验报告)

是远比 1 小。例如，因为 arctan1 arctan 1 arctan 1 ，所以我们可以计算出 arctan 1 , arctan 1
2
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2
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的值，从而得到 arctan1的值。这样，就使得收敛速度加快。改进后可以看出，泰勒级数
法得到的结果比数值分析法精确到小数点后更多位。
（3）蒙特卡罗法计算
在计算扇形面积时，很容易想到使用数学分析中积分的方法，第一象限中的扇形由
曲线 y 1 x2 (x [0,1])及两条坐标轴围成，实际操作中，我们不能准确地计算它的面
积，于是就通过分割的方法，将其划分为许多小的梯形，通过利用梯形的面积近似于扇
形面积来计算 S 1 1 x2 dx 。
0
4
利用 Mathematics 编程计算上式，过程如下：
从而得到 的近似值为 3.14159265358979323846264338328，可以看出，用这种方法 计算所得到的 值是相当精确的。n 越大，计算出来的扇形面积的近似值就越接近 的 准确值。
（2）泰勒级数法Biblioteka Baidu算 利用反正切函数的泰勒级数
在数值分析法中，我们利用求单位圆的 1/4 面积来得到 / 4 ，从而得到 。单位圆
的 1/4 是一个扇形，它是边长为 1 的单位正方形的一部分，单位正方形的面积 S1 1 。只
要能够求出扇形的面积 S 在正方形的面积中所占的比例 k S / S1 ，就能立即得到 S ，从 而得到 的值。下面的问题归结为如何求 k 的值，这就用到了一种利用随机数来解决此 种问题的蒙特卡罗法，其原理就是在正方形中随机的投入很多点，是所投的每个点落在 正方形中每一个位置的机会均等，看其中有多少个点落在扇形内。降落在扇形内的点的 个数 m 与所投店的总数 n 的比可以近似的作为 k 的近似值。利用 Mathetics 编程如下：
姓名 @@@@@@@ 学院 @@@@@@@@ 班级
@@@@@@@@@ 学号 @@@@@@@@@@
实验题目
值的计算
评分
实验目的：
1、用多种方法计算圆周率 的值；
2、通过实验来体会各种方法的区别，比较各种方法的优劣；
3、尝试自己提出新的方法来计算圆周率 的值。
实验环境：
学校机房，Mathematica4.0 软件
实验基本理论和方法：
1、Mathematica中常用绘图函数Plot在绘制高次函数时的方法；
2、计算圆周率 的数值积分法、泰勒级数法、蒙特卡罗法，并且利用特定的公式来
计算圆周率 。
实验内容和步骤：
（1）数值积分法计算
半径为 1 的圆称为单位圆，它的面积等于 。只要计算出单位圆的面积，就算出了 。 在坐标轴上画出以圆点为圆心，以 1 为半径的单位圆（如下图），则这个单位圆在第一 象限的部分是一个扇形，而且面积是单位圆的 1/4，于是，我们只要算出此扇形的面积， 便可以计算出 。
arctan x x x3 x5 (1)k1 x 2k1
35
2k 1
来计算 。 从反正切函数的泰勒级数，进行如下编程来计算 ，实验运行如下：
从实验过程可以看出，这种方法花费的时间很长。原因是当 x=1 时得到的 arctan1的
展开式收敛太慢。要使泰勒级数收敛得快，容易想到，应当使 x 的绝对值小于 1，最好
从运行结果来看，蒙特卡罗法的计算结果为 3.136，虽然精确度不太高，但运行时
间短，在很多场合下，特别是在对精确度要求不高的情况下很有用的。
（4）利用麦琴给出 4arctan1 arctan 1 ，推出π =4( 4arctan1 arctan 1 )。对比
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5
239
以上方法，这种简单的直接用公式求的π 的方法要简单得多，所以用处更广。
实验结果和结果分析：
虽然在实验过程中存在语句错写问题，但经过分析、改正均达到实验预期结果；并
在最后给出了用公式法计算π 的值，但有待于实验验证。
实验效果良好。（具体分析见实验内容与步骤）
附录：