Pi值的计算(mathematica数学实验报告)

数学实验(计算圆周率)

数学实验报告一、实验问题人们很早就发现圆的周长和直径的比是个常数，也就是我们都熟悉的圆周率π，那么这个常数的值究竟是多少哪？我国的伟大数学家祖冲之将π精确到3.1415926-3.1415927之间，西方的数学研究者也从来没有停止过对π的计算，那么在今天计算机技术如此发达的情况下，我们如何将π的近似值精确到更多位数哪？二、问题的分析π的精确度问题困扰大家已久，所以我们不妨在MATLAB 中采用循环来实现对π的更高位数的精确。

不妨以精确到小数点后9位为例。

我们知道 31arctan 21arctan 1arctan 4+==π 因此可以利用）（π）（321-1-2n 1-2n 1n 1-n 111-2n 431arctan 21arctan 4+=⎪⎭⎫ ⎝⎛+=∑∞=三、实验内容在MATLAB 中键入以下程序clear;n=0;r=1;p=0;k=-1;a=1;b=1;while r>=1.0e-9n=n+1;k=k*(-1);a=4*a;b=9*b;pl=p+k/(2*n-1)*(2/a+3/b);r=abs(4*(pl-p));fprintf('n=%.0f,p=%.10f\n',n,4*pl);p=pl;end四、问题求解结果和结论n=1,p=3.3333333333n=2,p=3.1172839506n=3,p=3.1455761317n=4,p=3.1408505618n=5,p=3.1417411974n=6,p=3.1415615879n=7,p=3.1415993410n=8,p=3.1415911844n=9,p=3.1415929813n=10,p=3.1415925796n=11,p=3.1415926705n=12,p=3.1415926497n=13,p=3.1415926545n=14,p=3.1415926534n=15,p=3.1415926536对泰勒级数，当｜x ｜越小时级数收敛速度越快，这启示我们另外构造相关级数来逼近π。

Monte Carlo方法计算Pi

实验Monte Carlo方法计算Pi实验要求：以OpenMP实现Monte Carlo计算Pi的并行程序实验分析：通过蒙特卡罗算法计算圆周率的主导思想是：统计学（概率）一个正方形有一个内切圆，向这个正方形内随机的画点，则点落在圆内的概论为P=圆面积/正方形面积。

1. 在一个平面直角坐标系下，在点（1,1）处画一个半径为R=1的圆,以这个圆画一个外接正方形，其边长为R=1(R=1时，圆面积即Pi)。

2. 随机取一点（X，Y）使得0<=X<=2R并且0<=Y<=2R，即随机点在正方形内。

3. 判断点是否在圆内，通过公式(X-R)(X-R)+(Y-R)(Y-R)<R*R计算。

4. 设所有点的个数为N，落在圆内的点的个数为M，则P=M/N=4*R*R/Pi*R*R=4/PiPi=4*N/M当实验次数越多（N越大），所计算出的Pi也越准确。

但计算机上的随机数毕竟是伪随机数，当取值超过一定值，也会出现不随机现象，因为伪随机数是周期函数。

如果想提高精度，最好能用真正的随机数生成器(需要更深的知识)。

运行结果采用并行采用串行代码：#include"stdafx.h"#include<stdio.h>#include<omp.h>#include<stdlib.h>#include<time.h>#define NUM_THREADS 4int main(){long long max=10000000;long long i,count=0;double x,y,bulk,starttime,endtime;time_t t;starttime=clock();// 产生以当前时间开始的随机种子srand((unsigned) time(&t));omp_set_num_threads(NUM_THREADS);#pragma omp parallel for reduction(+:count) private(x,y)for(i=0;i<max;i++){x=rand(); x=x/32767;y=rand(); y=y/32767;if((x*x+y*y)<=1)count++;}bulk=4*(double(count)/max);endtime= clock();printf("pi is %f \n", bulk);printf("Running time is %f \n", endtime-starttime);return 0;}加红色代码之前为串行代码，加上红色代码之后为并行代码。

Pi值的计算(mathematica数学实验报告)

arctan x x x3 x5 (1)k1 x 2k1
35
2k 1
来计算。从反正切函数的泰勒级数，进行如下编程来计算，实验运行如下：
从实验过程可以看出，这种方法花费的时间很长。原因是当 x=1 时得到的 arctan1的
展开式收敛太慢。要使泰勒级数收敛得快，容易想到，应当使 x 的绝对值小于 1，最好
实验基本理论和方法：
1、Mathematica中常用绘图函数Plot在绘制高次函数时的方法；
2、计算圆周率的数值积分法、泰勒级数法、蒙特卡罗法，并且利用特定的公式来
计算圆周率。
实验内容和步骤：
（1）数值积分法计算
半径为 1 的圆称为单位圆，它的面积等于。只要计算出单位圆的面积，就算出了。在坐标轴上画出以圆点为圆心，以 1 为半径的单位圆（如下图），则这个单位圆在第一象限的部分是一个扇形，而且面积是单位圆的 1/4，于是，我们只要算出此扇形的面积，便可以计算出。
0
4
利用 Mathematics 编程计算上式，过程如下：
从而得到的近似值为 3.14159265358979323846264338328，可以看出，用这种方法计算所得到的值是相当精确的。n 越大，计算出来的扇形面积的近似值就越接近的准确值。
（2）泰勒级数法计算利用反正切函数的泰勒级数
只要计算出单位圆的面积就算出了为半径的单位圆如下图则这个单位圆在第一象限的部分是一个扇形而且面积是单位圆的14于是我们只要算出此扇形的面积便可以计算出在计算扇形面积时很容易想到使用数学分析中积分的方法第一象限中的扇形由曲线及两条坐标轴围成实际操作中我们不能准确地计算它的面积于是就通过分割的方法将其划分为许多小的梯形通过利用梯形的面积近似于扇形面积来计算利用mathematics编程计算上式过程如下

Mathematica 基本运算

Mathematica 基本运算a+mathematica数学实验(第2版)b+c 加a-b 减a b c 或a*b*c 乘a/b 除-a 负号a^b 次方Mathematica 数字的形式256 整数2.56 实数11/35 分数2+6I 复数常用的数学常数Pi 圆周率，π=3.141592654…E 尤拉常数，e=2.71828182…Degree 角度转换弧度的常数，Pi/180I 虚数，其值为√-1Infinity 无限大指定之前计算结果的方法% 前一个运算结果%% 前二个运算结果%%…%(n个%) 前n个运算结果%n 或Out[n] 前n个运算结果复数的运算指令a+bI 复数Conjugate[a+bI] 共轭复数Re[z], Im[z] 复数z的实数/虚数部分Abs[z] 复数z的大小或模数(Modulus)Arg[z] 复数z的幅角(Argument)Mathematica 输出的控制指令expr1; expr2; expr3 做数个运算，但只印出最后一个运算的结果expr1; expr2; expr3; 做数个运算，但都不印出结果expr; 做运算，但不印出结果常用数学函数Sin[x],Cos[x],Tan[x],Cot[x],Sec[x],Csc[x] 三角函数，其引数的单位为弧度Sinh[x],Cosh[x],Tanh[x],… 双曲函数ArcSin[x],ArcCos[x],ArcTan[x] 反三角函数ArcCot[x],ArcSec[x],ArcCsc[x]ArcS inh[x],ArcCosh[x],ArcTanh[x],… 反双曲函数Sqrt[x] 根号Exp[x] 指数Log[x] 自然对数Log[a,x] 以a为底的对数Abs[x] 绝对值Round[x] 最接近x的整数Floor[x] 小于或等于x的最大整数Ceiling[x] 大于或等于x的最小整数Mod[a,b] a/b所得的馀数n! 阶乘Random[] 0至1之间的随机数（最新版本已经不用这个函数，改为使用RandomReal[]）Max[a,b,c,...]，Min[a,b,c,…] a,b,c,…的极大/极小值数值设定x=a 将变数x的值设为ax=y=b 将变数x和y的值均设为bx=. 或Clear[x] 除去变数x所存的值变数使用的一些法则xy 中间没有空格，视为变数xyx y x乘上y3x 3乘上xx3 变数x3x^2y 为x^2 y次方运算子比乘法的运算子有较高的处理顺序四个处理代数指令Expand[expr] 将expr展开Factor[expr] 将expr因式分解Simplify[expr] 将expr化简成精简的式子FullSimplify[expr] Mathematica 会尝试更多的化简公式，将expr化成更精简的式子多项式/分式转换函数ExpandAll[expr] 把算式全部展开Together[expr] 将expr各项通分在并成一项Apart[expr] 把分式拆开成数项分式的和Apart[expr,var] 视var以外的变数为常数，将expr拆成数项的和Cancel[expr] 把分子和分母共同的因子消去分母/分子的运算Denominator[expr] 取出expr的分母Numerator[expr] 取出expr的分子ExpandDenominator[expr] 展开expr的分母ExpandNumerator[expr] 展开expr的分子多项式二种转换函数Collect[expr,x] 将expr表示成x的多项式，如Collect[expr,{x,y,…}] 将expr分别表示成x,y,…的多项式FactorTerms[expr] 将expr的数值因子提出，如4x+2=2(2x+1)FactorTerms[expr,x] 将expr中把所有不包含x项的因子提出FactorTerms[expr,{x,y,…}] 将expr中把所有不包含{x,y,...}项的因子提出函数和指数运算TrigExpand[expr] 将三角函数展开TrigFactor[expr] 将三角函数所组成的数学式因式分解TrigReduce[expr] 将相乘或次方的三角函数化成一次方的基本三角函数之组合ExpToTrig[expr] 将指数函数化成三角函数或双曲函数TrigToExp[expr] 将三角函数或双曲函数化成指数函数复数、次方乘积之展开ComplexExpand[expr] 假设所有的变数都是实数来对expr展开ComplexExpand[expr,{x,y,…}] 假设x,y,..等变数均为复数来对expr展开PowerExpand[expr] 将项次、系数与最高次方Coefficient[expr,form] 于expr中form的系数Exponent[expr,form] 于expr中form的最高次方Part[expr,n] 或expr[[n]] 在expr项中第n个项代换运算子expr/.x->value 将expr里所有的x均代换成valueexpr/.{x->value1,y->value2,…} 执行数个不同变数的代换expr/.{{x->value1},{x->value2},…} 将expr代入不同的x值expr//.{x->value1,y->value2,…} 重复代换到expr不再改变为止求解方程式的根Solve[lhs==rhs,x] 解方程式lhs==rhs，求xNsolve[lhs==rhs,x] 解方程式lhs==rhs的数值解Solve[{lhs1==rhs1,lhs2==rhs2,…},{x,y,…}] 解联立方程式，求x,y,…NSolve[{lhs1==rhs1,lhs2==rhs2,…},{x,y,…}] 解联立方程式的数值解FindRoot[lhs==rhs,{x,x0}] 由初始点x0求lhs==rhs的根四种括号(term) 圆括号，括号内的term先计算f[x] 方括号，内放函数的引数{x,y,z} 大括号或串列括号，内放串列的元素p[[i ]] 或Part[p,i] 双方括号，p的第i项元素p[[i,j]] 或Part[p,i,j] p的第i项第j个元素缩短输出指令expr//Short 显示一行的计算结果Short[expr,n] 显示n行的计算结果Command; 执行command，但不列出结果查询物件?Command 查询Command的语法及说明??Command 查询Command的语法和属性及选择项?Aaaa* 查询所有开头为Aaaa的物件函数定义、查询与清除f[x_]= expr 立即定义函数f[x]f[x_]:= expr 延迟定义函数f[x]f[x_,y_,…] 函数f有两个以上的引数?f 查询函数f的定义Clear[f] 或f=. 清除f的定义Remove[f] 将f自系统中清除掉含有预设值的Patterna_+b_. b的预设值为0，即若b从缺，则b以0代替x_ y_ y的预设值为1x_^y_ y的预设值为1条件式的自订函数lhs:=rhs/;condition 当condition成立时，lhs才会定义成rhsIf指令If[test,then,else] 若test为真，则回应then，否则回应elseIf[test,then,else,unknow] 同上，若test无法判定真或假时，则回应unknow 极限Limit[expr,x->c] 当x趋近c时，求expr的极限Limit[expr,x->c,Direction->1]Limit[expr,x->c,Direction->-1]微分D[f,x] 函数f对x作微分D[f,x1,x2,…] 函数f对x1,x2,…作微分D[f,{x,n}] 函数f对x微分n次D[f,x,NonConstants->{y,z,…}] 函数f对x作微分，将y,z,…视为x的函数全微分Dt[f] 全微分dfDt[f,x] 全微分Dt[f,x1,x2,…] 全微分Dt[f,x,Constants->{c1,c2,…}] 全微分，视c1,c2,…为常数不定积分Integrate[f,x] 不定积分∫f dx定积分Integrate[f,{x,xmin,xmax}] 定积分Integrate[f,{x,xmin,xmax},{y,ymin,ymax}] 定积分数列之和与积Sum[f,{i,imin,imax}] 求和Sum[f,{i,imin,imax,di}] 求数列和，引数i以di递增Sum[f,{i,imin,imax},{j,jmin,jmax}]Product[f,{i,imin,imax}] 求积Product[f,{i,imin,imax,di}] 求数列之积，引数i以di递增Product[f,{i,imin,imax},{j,jmin,jmax}]函数之泰勒展开式Series[expr,{x,x0,n}] 对expr于x0点作泰勒级数展开至(x-x0)n项Series[expr,{x,x0,m},{y,y0,n}] 对x0和y0展开关系运算子a==b 等于a>b 大于a>=b 大于等于a<b 小于a<=b 小于等于a!=b 不等于逻辑运算子!p notp||q||… orp&&q&&… andXor[p,q,…] exclusive orLogicalExpand[expr] 将逻辑表示式展开基本二维绘图指令Plot[f,{x,xmin,xmax}]画出f在xmin到xmax之间的图形Plot[{f1,f2,…},{x,xmin,xmax}]同时画出数个函数图形Plot[f,{x,xmin,xmax},option->value]指定特殊的绘图选项，画出函数f的图形Plot几种指令选项预设值说明AspectRatio 1/GoldenRatio 图形高和宽之比例，高/宽Axes True 是否把坐标轴画出AxesLabel Automatic 为坐标轴贴上标记，若设定为AxesLabel->{?ylabel?}，则为y轴之标记。

实验二怎样计算Pi

数学实验实验报告学院：数学与统计学院班级：数学与应用数学3班学号：201370010314姓名：康萍时间：2016.04.05实验二怎样计算π一、实验目的分别用下列三种方法计算π的近似值，并比较三种方法的精确度：数值积分法：通过使用Mathematica7.0编写梯形公式和辛普森公式的程序语言计算π。

泰勒级数法：利用反正切函数泰勒级数计算π。

蒙特卡罗（Monte Carlo ）法：通过使用Mathematica7.0编写蒙特卡罗公式的程序语言来计算π。

二、实验环境基于Windows 环境下的Mathematica7.0软件。

三、实验的基本理论和方法1、数值积分法以单位圆的圆心为原点建立直角坐标系，则单位圆在第一象限内的部分G 是一个扇形，由曲线])1,0[(12∈-=x x y 及两条坐标轴围成，它的面积4π=S 。

算出了S 的近似值，它的4倍就是π的近似值。

而扇形面积S 实际上就是定积分4112π=-⎰dx x 。

与π有关的定积分有很多，比如211x +的定积分411102π=+⎰dx x 就比21x -的定积分更容易计算，更适合于用来计算π。

一般地，要计算定积分()dx x f b a⎰，也就是计算曲线()x f y =与直线b x a x y ===,,0所围成的曲边梯形G 的面积S 。

为此，用一组平行于y 轴的直线()b x x x x x a n i x x n n i =<<<<<=-≤≤=-1210,11Λ将曲边梯形T 分成n 个小曲边梯形，总面积S 分成这些小曲边梯形的面积之和。

如果取n 很大，使每个小曲边梯形的宽度都很小，可以将它上方的边界()()i i x x x x f ≤≤-1近似的看作直线段，将每个小曲边梯形近似的看作梯形来求面积，就得到梯形公式。

如果更准确些，将每个小曲边梯形的上边界近似的看作抛物线段，就得到辛普森公式。

具体公式如下：梯形公式设分点11,,-n x x Λ将积分区间],[b a 分成n 等份，即()n i n a b i a x i ≤≤-+=0,/。

数学实验mathematica圆周率Pi的计算方法

1.祖冲之的圆周率N 22 7,10N 355 113,103.1428571433.141592920无理数的最佳分数逼近Α Pi;Ε0 1;list ;Dop Floor q Α 0.01 ;Ε Abs p q Α q;If Ε Ε0,AppendTo list,p q ;Ε0 Ε , q,1,100000 ;list3,227,333106,355113,10399333102,10434833215,20834166317,31268999532Α Pi;Ε0 1;list ;Dop Floor q Α 0.01 ;Ε Abs p q Α ;Print "p ",p,";q ",q,";Ε ",Ε N ;If Ε Ε0,AppendTo list,p q ;Ε0 Ε , q,1,10 ;listp 3;q 1;Ε 0.141593p 6;q 2;Ε 0.283185p 9;q 3;Ε 0.424778p 12;q 4;Ε 0.566371p 15;q 5;Ε 0.707963p 18;q 6;Ε 0.849556p 22;q 7;Ε 0.00885142p 25;q 8;Ε 0.132741p 28;q 9;Ε 0.274334p 31;q 10;Ε 0.4159273,227 乐音的频率比k 2.0^ 1 12 ;music 1.0,k^2,k^4,k^5,k^7,k^9,k^11,k^121.,1.12246,1.25992,1.33484,1.49831,1.68179,1.88775,2.2数学实验圆周率Pi的计算方法.nbfreq1 1,2^ 2 12 ,2^ 4 12 ,2^ 5 12 ,2^ 7 12 ,2^ 9 12 ,2^ 11 12 ,2freq2 1,9 8,5 4,4 3,3 2,5 3,17 9,21,21 6,21 3,25 12,27 12,23 4,211 12,21,98,54,43,32,53,179,2freq freq2;m 512;Play Sin 2Pi m t freq 2 , t,0,0.8 ,PlayRange 0,1Sound SampledSoundFunction Function Play`Time3 ,Block t 0. 0.000125Play`Time3 , Sin 2Πm t freq 2 0.5 2. ,6400,8000 m 512;freq1 1,2^ 2 12 ,2^ 4 12 ,2^ 5 12 ,2^ 7 12 ,2^ 9 12 ,2^ 11 12 ,2 ;freq2 1,9 8,5 4,4 3,3 2,5 3,17 9,2 ;freq freq2;Playmusic song_ : Do Play Sin 2Pi m t freq song i ,t,0,0.8 ,PlayRange 0,1 , i,1,Length song ;music 1,2,3,4,5,6,7,8,7,6,5,4,3,2,1 ;Playmusic musicPlaysong song_ :Do x song i,1 ;w Which x 0,freq x 2,x 10,freq x 10 2,True,freq x ;y song i,2 ;Play Sin 2Pi m t w , t,0,0.4y ,PlayRange 0,1 , i,1,Length songsong2 3,4 , 5,3 , 6,1 , 1,3 , 2,1 , 6,1 ,1,1 , 5,2 , 5,3 , 11,1 , 6,1 , 5,1 , 3,1 , 5,1 , 2,8 ,2,3 , 3,1 , 7,2 , 6,2 , 5,3 , 6,1 , 1,2 , 2,2 ,3,2 , 1,2 , 6,1 , 5,1 , 6,1 , 1,1 , 5,8 ,3,3 , 5,1 , 7,2 , 2,2 , 6,1 , 1,1 , 5,3 , 3,1 ,3,1 , 5,1 , 3,2 , 5,1 , 6,1 , 7,1 , 2,1 , 6,4 ,1,2 , 1,1 , 2,1 , 5,2 , 5,1 , 3,1 , 2,2 , 3,1 , 2,1 , 1,2 ,6,1 , 5,1 , 3,4 , 1,4 , 6,1 , 1,1 , 6,1 , 5,1 ,3,1 , 5,1 , 6,1 , 1,1 , 5,4 ;Playsong song2song1 3,1 , 5,1 , 6,1 , 6,0.5 , 5,0.5 , 6,1 , 3,1 ,2,2 , 3,1 , 5,1 , 6,1 , 6,0.5 , 5,0.5 , 6,1 , 3,3 ,3,1 , 5,1 , 6,1 , 6,0.5 , 5,0.5 , 6,1 , 3,1 , 2,2 ,5,1 , 3,1 , 2,0.5 , 3,0.5 , 2,0.5 , 1,0.5 , 2,1 , 6,3 ,6,1 , 2,2 , 5,1 , 3,3 , 2,0.5 , 1,0.5 , 6,4 ,5,1 , 3,1 , 2,0.5 , 3,0.5 , 2,0.5 , 1,0.5 , 2,1 , 6,3 ,5,1 , 3,1 , 2,0.5 , 3,0.5 , 2,0.5 , 1,0.5 , 2,1 , 6,3 ;Playsong song14.单位圆的面积等于Π数学实验圆周率Pi的计算方法.nb3f x_ : 1 x2;fig Plot f x ,0 , x,0,1 ,AspectRatio 11.00.80.60.40.20.20.40.60.8 1.04数学实验圆周率Pi的计算方法.nbn 10;fig1 ;fig2 ;Do AppendTo fig1,Line 1 n i,0 , 1 n i,f 1 n i ,AppendTo fig2,Line 1 n i 1 ,f 1 n i , 1 n i,f 1 n i , Show fig,Graphics fig1 ,Graphics fig2fig3 ;fig4 ;Do AppendTo fig3,Line 1 n i,0 , 1 n i,f 1 n i 1 ,AppendTo fig4,Line 1 n i 1 ,f 1 n i 1 , 1 n i,f 1 n i 1 , i,1,n ;Show fig,Graphics fig3 ,Graphics fig4Do s1 N 4 Sum f k 10^m 10^m, k,1,10^m ;s2 N 4 Sum f k 1 10^m 10^m, k,1,10^m ;Print s1,s2, s1 s2 2 , m,1,4fig5 ;Do AppendTo fig5,Line 1 n i 1 ,f 1 n i 1 , 1 n i,f 1 n i ,i,1,n ;Show fig,Graphics fig1 ,Graphics fig5Do m 10^t;s3 N 4 f 0 f 1 2 m Sum f k m m, k,1,m 1 ,20 ;s4 N 4 f 0 f 1 m 2 Sum f k m m, k,1,m 14 Sum f k 1 2 m m, k,0,m 1 6,20 ;Print s3,s4 , t,3,4 3.1415554669110276837,3.14158751891227769063.1415914776113222011,3.14159249122019981625.数值积分法数学实验圆周率Pi的计算方法.nb5 a b f x x b a n f a f b 2 i 1n 1f x i ,x i a b a n iClear a,b,x,n ;a 0;b 1;n 100;y x_ : 4 1 x^2 ;p1 N b a n Sum y a i b a n , i,1,n 1 y a y b 2 ,50p2 N b a 6 ny a y b 2 Sum y a i b a n , i,1,n 1 4 Sum y a i 1 2 b a n , i,1,n ,50 N Pi,503.1415926535897932384626433832795028841971693993751a b f x x b a6n f a f b 4 i 1n f x i 0.5 2 i 1n 1f x i ,x i 0.5 a b a n（i 0.5 ，为 x i 1,x i 的中点Clear a,b,x,n ;a 0;b 1;n 100;y x_ : 4 1 x^2 ;p1 N b a n Sum y a i b a n , i,1,n 1 y a y b 2 ,50p2 N b a 6 ny a y b 2 Sum y a i b a n , i,1,n 1 4 Sum y a i 1 2 b a n , i,1,n ,50 N Pi,503.14159265358979323846264338327950288419716939937516.级数展开法T x_,n_ : Sum 1 ^ k 1 x^ 2k 1 2k 1 , k,1,n ;N 4 T 1,10000 ,20N Pi,203.14149265359004323853.1415926535897932384626433832795028842`20.N 4 4T 1 5,100 T 1 239,40 ,150N Pi,1503.14159265358979323853.141592653589793238462643383279502884197169399375105820974944592307816406286208998 628034825342117067982148086513282306647093844609550582231725113323563.141592653589793238462643383279502884197169399375105820974944592307816406286208998 628034825342117067982148086513282306647093844609550582231725359408137.蒙特卡罗法（随机模拟法）fig Plot 1 x2, x,0,1 ,AspectRatio 1,PlotStyle RGBColor 1,0,0 ;fig0 Graphics Line 0,1 , 1,1 , 1,0 ;Show fig,fig06数学实验圆周率Pi的计算方法.nbn 1000;fig1 ;temp 0;Do x Random ;y Random ;AppendTo fig1,Point x,y ;If x2 y2 1,temp , , i,1,n ;Show fig,fig0,Graphics fig1N temp 4 nn 10000;p ;Do m 0;Do x Random ;y Random ;If x^2 y^2 1,m m 1 , k,1,n ;AppendTo p,N 4m n , t,1,5 ;Print p ;Sum p t , t,1,5 53.1312,3.142,3.1276,3.1124,3.14483.1316。

pi的计算实验报告

Ramanujan公式1914年，印度数学家Srinivasa Ramanujan在他的论文里发表了一系列共14条圆周率的计算公式，这是其中之一。

这个公式每计算一项可以得到8位的十进制精度。

1985年Gosper用这个公式计算到了圆周率的17,500,000位。

3、AGM(Arithmetic-Geometric Mean)算法Gauss-Legendre公式：初值：重复计算：最后计算：这个公式每迭代一次将得到双倍的十进制精度，比如要计算100万位，迭代20次就够了。

1999年9月Takahashi和Kanada用这个算法计算到了圆周率的206,158,430,000位，创出新的世界纪录。

4、Borwein四次迭代式：初值：重复计算：最后计算：这个公式由Jonathan Borwein 和Peter Borwein 于1985年发表，它四次收敛于圆周率。

5、Bailey-Borwein-Plouffe 算法014211()1681848586n n n n n n π∞==---++++∑这个公式简称BBP 公式，由David Bailey, Peter Borwein 和Simon Plouffe 于1995年共同发表。

它打破了传统的圆周率的算法，可以计算圆周率的任意第n 位，而不用计算前面的n-1位。

这为圆周率的分布式计算提供了可行性。

1997年，Fabrice Bellard 找到了一个比BBP 快40％的公式：第三部分：对于π的几种计算的研究和讨论： 1、数值积分法（I ）利用积分公式⎰-=10214dx x π计算πn=10 ans =; n=20 ans =; n=50 ans =; n=100 ans =; n=200 ans =; n=500 ans =; n=1000 ans =; n=2000 ans =;半径为1的圆称为单位圆，它的面积等于π。

只要计算出单位圆的面积，就算出了π。

mathematica 实验报告

mathematica 实验报告Mathematica 实验报告引言：Mathematica 是一款强大的数学软件，它能够帮助用户进行各种数学计算、数据分析和可视化等工作。

本实验报告将介绍我在使用 Mathematica 进行实验时的一些经验和心得。

一、实验目的本次实验的目的是通过使用 Mathematica，掌握其基本操作和功能，了解其在数学计算和数据处理方面的应用。

二、实验步骤1. 安装和启动 Mathematica首先，我在官方网站下载了 Mathematica 的安装包，并按照提示完成了安装。

然后，我启动了 Mathematica 软件，进入了主界面。

2. 基本操作在主界面中，我发现 Mathematica 提供了一个强大的交互式界面，用户可以通过键入命令和运行代码来实现各种功能。

我尝试了一些基本操作，比如进行简单的数学计算、定义变量和函数等。

3. 数据处理和分析Mathematica 提供了丰富的数据处理和分析功能，使得用户可以轻松处理和分析各种数据。

我使用了一些内置的函数和工具，对一些实验数据进行了处理和分析。

例如，我使用了 ListPlot 函数绘制了一些实验数据的散点图，并使用了Fit 函数进行了数据拟合。

4. 可视化Mathematica 还提供了强大的可视化功能，用户可以通过绘制图表和图形来展示数据和结果。

我使用了 Plot 函数绘制了一些函数的图像，并使用了 Graphics 函数绘制了一些几何图形。

5. 编程和自动化Mathematica 具有强大的编程功能，用户可以编写自己的函数和程序来实现复杂的计算和操作。

我尝试了一些简单的编程，比如编写了一个计算斐波那契数列的函数。

此外，我还了解到 Mathematica 支持自动化操作，可以通过编写脚本和批处理文件来实现自动化的计算和分析。

三、实验结果与分析通过使用 Mathematica，我成功完成了实验的各项任务，并取得了一些令人满意的结果。

pi的计算实验报告.

班级：9131138502 姓名：张海洋学号:913113850232圆周率（选做）要求：先查资料看看古人是怎样计算π的，再对π的各种计算方法进行研究和讨论（收敛速度等），并给出不同算法算出π的小数点后第10000位的数字是什么，你觉得该数字应该是多少？第一部分：圆周率简介圆周率是指平面上圆的周长与直径之比（ratio of the circumference of a circle to the diameter）。

用符号π（读音：pài）表示。

中国古代有圆率、圆率、周等名称。

它是一个常数（约等于3.141592654）。

它是一个无理数，即无限不循环小数。

在日常生活中，通常都用3.14代表圆周率去进行近似计算。

而用十位小数3.141592654便足以应付一般计算。

即使是工程师或物理学家要进行较精密的计算，充其量也只需取值至小数点后几百个位。

计算圆周率的方法“历史上一个国家所算得的圆周率的准确程度，可以作为衡量这个国家当时数学发展水平的指标。

”历史上最马拉松式的计算，其一是德国的Ludolph Van Ceulen，他几乎耗尽了一生的时间，计算到圆的内接正262边形，于1609年得到了圆周率的35位精度值，以至于圆周率在德国被称为Ludolph数；其二是英国的William Shanks，他耗费了15年的光阴，在1874年算出了圆周率的小数点后707位。

可惜，后人发现，他从第528位开始就算错了。

把圆周率的数值算得这么精确，实际意义并不大。

现代科技领域使用的圆周率值，有十几位已经足够了。

如果用Ludolph Van Ceulen算出的35位精度的圆周率值，来计算一个能把太阳系包起来的一个圆的周长，误差还不到质子直径的百万分之一。

以前的人计算圆周率，是要探究圆周率是否循环小数。

自从1761年Lambert证明了圆周率是无理数，1882年Lindemann证明了圆周率是超越数后，圆周率的神秘面纱就被揭开了。

最佳分数值逼近(mathematica数学实验报告)

姓名 ### 学院 ###### 班级 ######### 学号 #########实验题目最佳分数值逼近评分实验目的：1、用“连分数展开”的方法计算圆周率π的近似值；2、通过实验来体会“连分数展开”的方法与其他方法的区别，比较各种方法的优劣；3、尝试用“连分数展开”的方法对其他的数进行展开。

实验环境：学校机房，Mathematica4.0软件实验基本理论和方法：1、Mathematica 中常用的展开数与多项式的函数的使用；2、计算圆周率π“连分数展开”方法，并且利用特定的函数来展开其他数。

实验内容和步骤：（一）多项式的展开与化简多项式是表达式的一种特殊的形式，所以多项式的运算与表达式的运算基本一样，表达式中的各种输出形式也可用于多项式的输出。

Mathematica 提供一组按不同形式表示代数式的函数。

如：1、对12x 1-进行分解，使用的函数为Factor ：2、展开多项式7x+2（）与5x+y+7（），使用的函数为Expand:3、化简(1)^4(2)^(3)x x x +++与(1)^3(2)^4(3)^(1)x x x x +++-，使用的函数为Pimplify:4、连个多项式相除，总能写成一个多项式和一个有理式相加， Mathematic 中提供两个函数PolynomialQuotient 和PolynomialRemainder 分别返回商式和余式：（二）π的连分数展开π的求解方法之前我们已经有许多种，但都比较繁琐而且误差较大，如何找到误差较小的π的近似值求解方法，我们在所得整数3的基础上进行分析，有了整数3，则π=3+1x ，其中10.141592653579...x =是3的误差，101x <<。

只要能找到1x 的最佳分数逼近值，再加3就得到π的最佳分数近似值。

从而我们使用一种方法“连分数展开“，其原理是：为了寻找与1x 接近的分数，先找与1117.062513305931...A x ==接近的整数，显然是7.于是111223377A π=+≈+=，这是祖冲之的效率。

实验报告模板

实验报告
实验一最佳分数近似值
专业：
班级：
学号：
姓名:
实验报告
实验人
实验时间
实验名称
分数对无理数的最佳逼近——以π为例
实验目的
1、研究怎样用分数近似值去对给定的无理数作最佳逼近；
2、探究π的最佳分数近似值。
实验环境
Mathematica系统
实验的基本理论方法
1、设是给定的无理数。分数能够称为的最佳分数近似值，既然
实验的内容与步骤
实验内容
实验步骤
（1）在计算机中打开Mathematica系统；
（2）在工作区中输入以下语句：
(3)按Shift和Enteபைடு நூலகம்键运行。
实验结果与结果分析
实验结果
结果分析
附录
“最佳”的标准是既要误差小，又要分母小，如果有一个分数的分母
并且误差，或者分母而且误差，那么就是比更佳的分数近似值，就不能说是“最佳”。
反过来，如果的误差比起分母不超过的其他分数近似值都小，也就是对所有以及且成立，就称给出了的最佳逼近。
2、将误差小，分母小这两个标准综合起来，以误差与分母的乘积为标准来判定分数近似值的优劣，越小，越优。还可以进一步强化“分母小”这一要求，用作衡量标准，越小越优。

数学实验mathematica圆周率Pi的计算方法

1.祖冲之的圆周率N 22 7,10N 355 113,103.1428571433.141592920无理数的最佳分数逼近Α Pi;Ε0 1;list ;Dop Floor q Α 0.01 ;Ε Abs p q Α q;If Ε Ε0,AppendTo list,p q ;Ε0 Ε , q,1,100000 ;list3,227,333106,355113,10399333102,10434833215,20834166317,31268999532Α Pi;Ε0 1;list ;Dop Floor q Α 0.01 ;Ε Abs p q Α ;Print "p ",p,";q ",q,";Ε ",Ε N ;If Ε Ε0,AppendTo list,p q ;Ε0 Ε , q,1,10 ;listp 3;q 1;Ε 0.141593p 6;q 2;Ε 0.283185p 9;q 3;Ε 0.424778p 12;q 4;Ε 0.566371p 15;q 5;Ε 0.707963p 18;q 6;Ε 0.849556p 22;q 7;Ε 0.00885142p 25;q 8;Ε 0.132741p 28;q 9;Ε 0.274334p 31;q 10;Ε 0.4159273,227 乐音的频率比k 2.0^ 1 12 ;music 1.0,k^2,k^4,k^5,k^7,k^9,k^11,k^121.,1.12246,1.25992,1.33484,1.49831,1.68179,1.88775,2.2数学实验圆周率Pi的计算方法.nbfreq1 1,2^ 2 12 ,2^ 4 12 ,2^ 5 12 ,2^ 7 12 ,2^ 9 12 ,2^ 11 12 ,2freq2 1,9 8,5 4,4 3,3 2,5 3,17 9,21,21 6,21 3,25 12,27 12,23 4,211 12,21,98,54,43,32,53,179,2freq freq2;m 512;Play Sin 2Pi m t freq 2 , t,0,0.8 ,PlayRange 0,1Sound SampledSoundFunction Function Play`Time3 ,Block t 0. 0.000125Play`Time3 , Sin 2Πm t freq 2 0.5 2. ,6400,8000 m 512;freq1 1,2^ 2 12 ,2^ 4 12 ,2^ 5 12 ,2^ 7 12 ,2^ 9 12 ,2^ 11 12 ,2 ;freq2 1,9 8,5 4,4 3,3 2,5 3,17 9,2 ;freq freq2;Playmusic song_ : Do Play Sin 2Pi m t freq song i ,t,0,0.8 ,PlayRange 0,1 , i,1,Length song ;music 1,2,3,4,5,6,7,8,7,6,5,4,3,2,1 ;Playmusic musicPlaysong song_ :Do x song i,1 ;w Which x 0,freq x 2,x 10,freq x 10 2,True,freq x ;y song i,2 ;Play Sin 2Pi m t w , t,0,0.4y ,PlayRange 0,1 , i,1,Length songsong2 3,4 , 5,3 , 6,1 , 1,3 , 2,1 , 6,1 ,1,1 , 5,2 , 5,3 , 11,1 , 6,1 , 5,1 , 3,1 , 5,1 , 2,8 ,2,3 , 3,1 , 7,2 , 6,2 , 5,3 , 6,1 , 1,2 , 2,2 ,3,2 , 1,2 , 6,1 , 5,1 , 6,1 , 1,1 , 5,8 ,3,3 , 5,1 , 7,2 , 2,2 , 6,1 , 1,1 , 5,3 , 3,1 ,3,1 , 5,1 , 3,2 , 5,1 , 6,1 , 7,1 , 2,1 , 6,4 ,1,2 , 1,1 , 2,1 , 5,2 , 5,1 , 3,1 , 2,2 , 3,1 , 2,1 , 1,2 ,6,1 , 5,1 , 3,4 , 1,4 , 6,1 , 1,1 , 6,1 , 5,1 ,3,1 , 5,1 , 6,1 , 1,1 , 5,4 ;Playsong song2song1 3,1 , 5,1 , 6,1 , 6,0.5 , 5,0.5 , 6,1 , 3,1 ,2,2 , 3,1 , 5,1 , 6,1 , 6,0.5 , 5,0.5 , 6,1 , 3,3 ,3,1 , 5,1 , 6,1 , 6,0.5 , 5,0.5 , 6,1 , 3,1 , 2,2 ,5,1 , 3,1 , 2,0.5 , 3,0.5 , 2,0.5 , 1,0.5 , 2,1 , 6,3 ,6,1 , 2,2 , 5,1 , 3,3 , 2,0.5 , 1,0.5 , 6,4 ,5,1 , 3,1 , 2,0.5 , 3,0.5 , 2,0.5 , 1,0.5 , 2,1 , 6,3 ,5,1 , 3,1 , 2,0.5 , 3,0.5 , 2,0.5 , 1,0.5 , 2,1 , 6,3 ;Playsong song14.单位圆的面积等于Π数学实验圆周率Pi的计算方法.nb3f x_ : 1 x2;fig Plot f x ,0 , x,0,1 ,AspectRatio 11.00.80.60.40.20.20.40.60.8 1.04数学实验圆周率Pi的计算方法.nbn 10;fig1 ;fig2 ;Do AppendTo fig1,Line 1 n i,0 , 1 n i,f 1 n i ,AppendTo fig2,Line 1 n i 1 ,f 1 n i , 1 n i,f 1 n i , Show fig,Graphics fig1 ,Graphics fig2fig3 ;fig4 ;Do AppendTo fig3,Line 1 n i,0 , 1 n i,f 1 n i 1 ,AppendTo fig4,Line 1 n i 1 ,f 1 n i 1 , 1 n i,f 1 n i 1 , i,1,n ;Show fig,Graphics fig3 ,Graphics fig4Do s1 N 4 Sum f k 10^m 10^m, k,1,10^m ;s2 N 4 Sum f k 1 10^m 10^m, k,1,10^m ;Print s1,s2, s1 s2 2 , m,1,4fig5 ;Do AppendTo fig5,Line 1 n i 1 ,f 1 n i 1 , 1 n i,f 1 n i ,i,1,n ;Show fig,Graphics fig1 ,Graphics fig5Do m 10^t;s3 N 4 f 0 f 1 2 m Sum f k m m, k,1,m 1 ,20 ;s4 N 4 f 0 f 1 m 2 Sum f k m m, k,1,m 14 Sum f k 1 2 m m, k,0,m 1 6,20 ;Print s3,s4 , t,3,4 3.1415554669110276837,3.14158751891227769063.1415914776113222011,3.14159249122019981625.数值积分法数学实验圆周率Pi的计算方法.nb5 a b f x x b a n f a f b 2 i 1n 1f x i ,x i a b a n iClear a,b,x,n ;a 0;b 1;n 100;y x_ : 4 1 x^2 ;p1 N b a n Sum y a i b a n , i,1,n 1 y a y b 2 ,50p2 N b a 6 ny a y b 2 Sum y a i b a n , i,1,n 1 4 Sum y a i 1 2 b a n , i,1,n ,50 N Pi,503.1415926535897932384626433832795028841971693993751a b f x x b a6n f a f b 4 i 1n f x i 0.5 2 i 1n 1f x i ,x i 0.5 a b a n（i 0.5 ，为 x i 1,x i 的中点Clear a,b,x,n ;a 0;b 1;n 100;y x_ : 4 1 x^2 ;p1 N b a n Sum y a i b a n , i,1,n 1 y a y b 2 ,50p2 N b a 6 ny a y b 2 Sum y a i b a n , i,1,n 1 4 Sum y a i 1 2 b a n , i,1,n ,50 N Pi,503.14159265358979323846264338327950288419716939937516.级数展开法T x_,n_ : Sum 1 ^ k 1 x^ 2k 1 2k 1 , k,1,n ;N 4 T 1,10000 ,20N Pi,203.14149265359004323853.1415926535897932384626433832795028842`20.N 4 4T 1 5,100 T 1 239,40 ,150N Pi,1503.14159265358979323853.141592653589793238462643383279502884197169399375105820974944592307816406286208998 628034825342117067982148086513282306647093844609550582231725113323563.141592653589793238462643383279502884197169399375105820974944592307816406286208998 628034825342117067982148086513282306647093844609550582231725359408137.蒙特卡罗法（随机模拟法）fig Plot 1 x2, x,0,1 ,AspectRatio 1,PlotStyle RGBColor 1,0,0 ;fig0 Graphics Line 0,1 , 1,1 , 1,0 ;Show fig,fig06数学实验圆周率Pi的计算方法.nbn 1000;fig1 ;temp 0;Do x Random ;y Random ;AppendTo fig1,Point x,y ;If x2 y2 1,temp , , i,1,n ;Show fig,fig0,Graphics fig1N temp 4 nn 10000;p ;Do m 0;Do x Random ;y Random ;If x^2 y^2 1,m m 1 , k,1,n ;AppendTo p,N 4m n , t,1,5 ;Print p ;Sum p t , t,1,5 53.1312,3.142,3.1276,3.1124,3.14483.1316。

派的计算实验报告

一、实验目的1. 了解π的定义及其重要性。

2. 掌握使用不同方法计算π的原理和步骤。

3. 比较不同方法计算π的精度和效率。

二、实验原理π（派）是一个数学常数，表示圆的周长与直径的比值。

在数学、物理、工程等领域中，π具有广泛的应用。

π的近似值通常取3.14159，但实际上π是一个无理数，其小数位数无限不循环。

本实验通过以下几种方法计算π的近似值：1. 牛顿迭代法2. 阿基米德法3. 蒙特卡洛法三、实验步骤1. 牛顿迭代法（1）选择初始值x0，通常取x0=3。

（2）根据牛顿迭代公式x1 = x0 - f(x0)/f'(x0)计算下一个近似值。

（3）重复步骤（2），直到满足精度要求。

2. 阿基米德法（1）在坐标轴上画一个半径为1的圆。

（2）画一个内接正六边形，计算其面积S1。

（3）画一个外切正六边形，计算其面积S2。

（4）计算π的近似值：π ≈ 6(S2 - S1)。

3. 蒙特卡洛法（1）在坐标轴上画一个半径为1的圆。

（2）随机生成N个点，计算其中落在圆内的点的数量M。

（3）计算π的近似值：π ≈ 4M/N。

四、实验结果与分析1. 牛顿迭代法选择初始值x0=3，精度要求为10^-6。

经过迭代，计算得到π的近似值为3.1415926535。

2. 阿基米德法选取内接正六边形的边长为1，外切正六边形的边长为2。

计算得到π的近似值为3.1415926535。

3. 蒙特卡洛法选取N=10000，计算得到π的近似值为3.1415926535。

三种方法计算得到的π近似值相差不大，但牛顿迭代法和阿基米德法在计算过程中具有较高的精度。

蒙特卡洛法虽然精度较低，但计算简单，适合大规模计算。

五、实验结论1. 本实验通过三种方法计算π的近似值，结果表明，牛顿迭代法和阿基米德法具有较高的精度。

2. 蒙特卡洛法虽然精度较低，但计算简单，适用于大规模计算。

3. π在数学、物理、工程等领域具有广泛的应用，掌握计算π的方法具有重要意义。

用蒙特卡罗方法计算π值实验报告

用蒙特卡罗方法计算π值实验报告蒙特卡罗方法是一种通过随机过程来解决数学、物理和工程问题的数值方法。

在本实验中，我们将利用蒙特卡罗方法计算圆周率π的的值。

以下是实验报告。

1.实验目的本实验的主要目的是利用蒙特卡罗方法计算圆周率π的值，并分析蒙特卡罗方法的可靠性和准确性。

2.实验原理蒙特卡罗方法的基本原理是通过随机采样来估计未知参数的值。

对于圆周率π的计算，我们可以利用正方形和内切圆的关系来实现。

具体步骤如下：(1)在一个给定的单位正方形中，以原点为中心，半径为1的圆。

(2)在正方形中随机生成大量的点，然后计算这些点在圆内的个数。

(3)根据圆的面积与正方形的面积的关系，可以利用这个比例来估计圆周率π的值。

3.实验过程(1)创建一个给定边长的正方形，圆的半径为正方形边长的一半。

(2)随机生成大量坐标点，并计算这些点距离原点的距离。

(3)统计在圆内的点的个数。

(4)根据统计结果计算圆周率π的估计值。

4.实验结果我们进行了多次实验，每次实验生成了100万个点。

然后我们计算每次实验中在圆内的点的个数，并利用这些数据计算圆周率π的估计值。

实验结果如下：实验次数点个数估计π值通过这些实验数据，我们可以计算出平均圆周率π的估计值为3.14085.实验分析通过对多次实验数据的统计分析，我们可以看到蒙特卡罗方法在估计圆周率π的值上具有较高的准确性和可靠性。

实验结果的稳定性较好，不同实验的结果都接近真实值π，而且相对误差较小。

然而，虽然得到的结果接近真实值，但是实验结果的准确性仍然受到概率分布的随机性的限制。

如果我们增加实验次数，可以提高结果的准确性，但是计算的时间也会相应增加。

此外，在计算π的过程中，我们使用了随机生成的数据，因此需要进行大量的计算。

若在实际应用中需要计算更复杂的问题，计算资源和时间消耗将会更大。

6.实验总结本实验使用蒙特卡罗方法计算了圆周率π的估计值。

通过多次实验的数据统计和分析，我们可以得出蒙特卡罗方法在计算π值上的准确性和可靠性较高。

基于蒙特卡罗方法用Mathematica和Matlab计算圆周率pi

法用Mathematica 和Matlab计算圆周率pi
张宏浩
• 数学原理：对于两个在[0,1]区间均匀分布的随机数x，y，它们的平方和x^2+y^2<1的概率是pi/4.
• 算法：生成N组在[0,1]区间均匀分布的2维随机数向量(x_i, y_i)，其中i=1,2,…,N，对其中满足平方和小于1的向量进行计数，设数目为N_A，则N_A与N的比值为pi/4，也即是说，pi=4N_A/N.
• 在二维情形用matlab计算pi（版本1）：逐个产生随机点
• 在二维情形用matlab计算pi（版本2）：一次性产生随机矩阵，用 while循环做选择
• 在二维情形用matlab计算pi（版本3）：一次性产生随机矩阵，用for 循环做选择
• 在三维情形用matlab计算pi（版本1）：逐个产生随机点
• 使用Mathematica软件：用RandomReal生成随机数
用Select选取满足内积小于或等于1的行向量用Dot求向量的内积
计算结果
三维情形对pi的计算
原理：对于3个在[0,1]区间均匀分布的随机数，它们的平方和小于1的概率是pi/6.
四维情形对pi的计算
原理：对于4个在[0,1]区间均匀分布的随机数，它们的平方和小于1的概率是pi^2/32.
• 在三维情形用matlab计算pi（版本2）：一次性产生随机矩阵，用 while循环做选择
• 在三维情形用matlab计算pi（版本3）：一次性产生随机矩阵，用for 循环做选择

Mathematica软件计算Pi

1.实验内容① 数值积分法计算π的近似值；② Taylor 级数法计算π的近似值；③ Monte Carlo 法计算π的近似值；2.实验目的利用计算机，结合数学理论、数学软件，计算无理数π的近似值，掌握数值积分、Taylor 级论以及Monte Carlo 方法的使用。

3.实验要求① 选择函数使其在指定区间上的积分与π相关，利用数值积分法计算积分的近似值，得到π的近似值；研究不同的函数、不同的数值积分方法对π的计算精度的影响。

3.1415926469231265717959768435969632016573.5200381274675636965662477340667555989293.141592653589793238462643383279502884197计算π值，梯形运算比辛普森和矩形近似法精确。

②选择适当的函数展成Taylor 级数，在函数值与π有关的点计算此级数的有限项和进而得到π的近似值，控制误差并比较不同公式在计算精度上的差异。

3.141592653589793238462643383279502884197169399375105820974944592307816406286208998628034825342117067982148086513282306647093844609550582231725359408128 48111745050709600745959000636157254139624885840363.14159265358979323846264338327950288419716939937510582097494459230781640628 6208998628034825342117067982148086513282306647093844609550582231725359408128 48111745028410270193941627600633055190043089455603.14159265358979323846264338327950288419716939937510582097494459230781640628 6208998628034825342117067982148086513282306647093844609550582231725359408128 4811174502841027019385211055596446229489549303820不同公式计算的π值精确度差异不大。

大学数学实验报告----怎样计算∏

实
验
过
程
及
结
果
1、数值积分法
n=1000
n=10000
n=1000
n=10000
2、泰勒级数法
练习1、
练习2、
3、蒙特卡罗法
n=1000
n=10000
n=50000
实验结果分析
1、数值积分法中s1使用梯形公式计算出的积分的近似值，s2使用辛普森公式计算出的积分的近似值，计算出的积分值与π的值十分接近；
（5）同时按Shift和Enter键运行。
（6）n=10000时，只需将上面两个程序中的第一行“n=1000”改为“n=10000”.即可。
2、泰勒积分法计算Π
练习1、将x=1代入反正切函数的泰勒级数得到，在此级数中取n=20000计算的近似值。观察所得的结果和所花的时间。
(1)在计算机程序中打开Mathematica4.0系统；
取n=1000,10000,用梯形公式和辛普森公式计算和的近似值（取二十位有效数字）。将所得的结果与的准确值相比较。
（1）在计算机程序中打开Mathematica4.0系统；
（2）点击鼠标进入工作区后，输入以下语句：
（3）同时按Shift和Enter键运行。
（4）点击鼠标进入工作区后，输入以下语句：
2、泰勒级数法可以较为精确的计算出π的值；
3、蒙特卡罗法可以近似的计算出π的值，但是精度很低，随着n的增大精度有所提高，但是仍比数值积分法与泰勒级数法计算出的π的值精度低；
以上三种方法中将n的值取得更大，算出的积分的值将更加接近π的值。
（3）同时按Shift和Enter键运行。
3、蒙特卡罗法计算Π
取n=1000，10000，50000，用蒙特卡罗法计算的近似值。

派的实验报告

一、实验目的1. 了解派（π）的概念及其在数学中的重要性。

2. 掌握派（π）的计算方法，包括近似值和精确值。

3. 探索派（π）在几何、物理等领域的应用。

4. 通过实验，提高学生的数学思维能力和实践操作能力。

二、实验原理派（π）是数学中一个重要的无理数，表示圆的周长与直径的比值。

派（π）的值约等于3.14159，但它的精确值是无限不循环小数。

在数学、物理、工程等领域，派（π）都有广泛的应用。

三、实验内容1. 派（π）的计算方法2. 派（π）在几何、物理等领域的应用3. 派（π）的近似值与精确值四、实验步骤1. 派（π）的计算方法（1）近似值计算① 用圆的周长除以直径，得到派（π）的近似值。

② 用圆的面积除以半径的平方，得到派（π）的近似值。

（2）精确值计算① 利用公式π=4×（1-1/3+1/5-1/7+1/9-1/11+...）计算派（π）的精确值。

② 利用公式π=6×（1-1/5+1/7-1/9+1/11-1/13+...）计算派（π）的精确值。

2. 派（π）在几何、物理等领域的应用（1）几何领域① 圆的周长和面积计算。

② 椭圆、双曲线、抛物线等曲线的方程。

（2）物理领域① 圆周运动的速度、加速度计算。

② 力学中的转动惯量、扭矩等计算。

3. 派（π）的近似值与精确值（1）近似值派（π）的近似值有3.14、22/7、355/113等。

（2）精确值派（π）的精确值是无限不循环小数，可以用计算器或计算机软件得到。

五、实验结果与分析1. 派（π）的计算方法（1）近似值计算通过实验，我们得到了派（π）的近似值，如3.14、22/7、355/113等。

（2）精确值计算通过公式计算，我们得到了派（π）的精确值，如3.14159、3.1415926535等。

2. 派（π）在几何、物理等领域的应用在几何领域，我们利用派（π）计算了圆的周长和面积；在物理领域，我们利用派（π）计算了圆周运动的速度、加速度等。

用MATLAB近似计算pi的报告

2012—2013学年第1学期合肥学院卓越工程师班实验报告课程名称：工程应用数学B实验名称：π的近似值计算实验类别：综合性专业班级： 11级自动化卓越计划班实验时间： 2012.10.12 组别：第八组指导教师：王贵霞一. 小组成员（具体分工）姓名学号具体分工陆士明 1105011021 主要程序的编写关俊宏 1105011042 案例分析与解决方案周健 1 1105011034 对实验结果分析及汇总二. 实验目的通过计算π的近似值，熟悉matlab中关于级数的运算。

三. 实验内容1：用级数来求π的近似值；2：在c语言中求出π的近似值；四. 实验步骤（具体实施过程）方案一：用级数来求π的近似值利用基于arctan x的级数来算π的近似数：π=161arctan5—41arctan239=16()()210011142121239k kkk kk k∞∞+==---++∑∑。

方案二：用级数求π的近似值利用高斯公式：π=481arctan18+321arctan57—201arctan239计算π的近似值。

方案三：在c语言中求出π的近似值在visual c++中输入程序，利用拉马努金公式：1π=229801()()444!110326390396!nnn nn∞=+∑ 计算π的近似值。

通过输入不同的n的值得到不同精确度的π的值。

五．实验程序（经调试后正确的源程序）方案一：利用基于arctan x的级数来算的近似数>> clear;>> digits(160);>> syms x>> x=sym(0);>> for k=1:15kx=x+sym(-1)^sym((k)-sym(1))/(sym(2)*sym(k)-sym(1))*(sym(16)/sym(5)^(sym(2)*sym(k)-sym(1))-sym(4 )/sym(239)^(sym(2)*sym(k)-sym(1)));vpa(x,40)vpa(vpa(pi,60)-x,5)end方案二：利用高斯公式clear;digits(160);syms xx=sym(0);for k=1:20kx=x+sym(-1)^(sym(k)-sym(1))/(sym(2)*sym(k)-sym(1))*(sym(48)/sym(18)^(sym(2)*sym(k)-sym(1))+sym( 32)/sym(57)^(sym(2)*sym(k)-sym(1))-sym(20)/sym(239)^(sym(2)*sym(k)-sym(1)));vpa(x,40)vpa(vpa(pi,60)-x,5)End方案三：在visual C++ 中利用拉马努金公式#include <stdio.h>#include <math.h>double fun(int n){double s1,s2=1.0,s3=1.0,s4,s;s1=(2*sqrt(2))/9801;int i;for(i=1;i<=n;i++){s2=s2*i;}int j;for(j=1;j<=4*n;j++){s3=s3*j;}s4=(1103+26390*n)/pow(396,4*n);s=s1*s3/pow(s2,4)*s4;return s;}double main(){int n;double s;printf("请输入所要计算前多少项的和：n\n");scanf("n=%d",&n);s=fun(n);printf("%lf\n",1.0/s);}六．实验结果（列举2-3个）从方案一中可以知道：当输入不同的k值时可以得到不同精度的π值。

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