(完整word版)必修四平面向量的数量积讲义

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平面向量的数量积PPT课件

运算律
向量与标量乘法结合律
对于任意向量$mathbf{a}$和标量$k$，有$kmathbf{a} cdot mathbf{b} = (kmathbf{a}) cdot mathbf{b} = k(mathbf{a} cdot mathbf{b})$。
向量与标量乘法交换律
对于任意向量$mathbf{a}$和标量$k$，有$mathbf{a} cdot kmathbf{b} = k(mathbf{a} cdot mathbf{b}) = (kmathbf{b}) cdot mathbf{a}$。
向量数量积的性质
向量数量积满足交换律和结合律，即a·b=b·a和 (a+b)·c=a·c+b·c。
向量数量积满足分配律，即 (a+b)·c=a·c+b·c。
向量数量积满足正弦律，即 a·b=|a||b|sinθ，其中θ为向量a 和b之间的夹角。
02 平面向量的数量积的运算
计算公式
定义
平面向量$mathbf{a}$和$mathbf{b}$的数量积定义为 $mathbf{a} cdot mathbf{b} = |mathbf{a}| times |mathbf{b}| times cos theta$，其中$theta$是向量 $mathbf{a}$和$mathbf{b}$之间的夹角。
交换律
平面向量的数量积满足交换律，即$mathbf{a} cdot mathbf{b} = mathbf{b} cdot mathbf{a}$。
分配律
平面向量的数量积满足分配律，即$(mathbf{a} + mathbf{b}) cdot mathbf{c} = mathbf{a} cdot mathbf{c} + mathbf{b} cdot mathbf{c}$。

高二数学必修四课件：《平面向量的数量积》

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下面为您推荐高二数学必修四课件：《平面向量的数量积》。

教学准备教学目标1.掌握平面向量的数量积及其几何意义；2.掌握平面向量数量积的重要性质及运算律；3.了解用平面向量的数量积可以处理垂直的问题；4.掌握向量垂直的条件.教学重难点教学重点：平面向量的数量积定义教学难点：平面向量数量积的定义及运算律的理解和平面向量数量积的应用教学过程1.平面向量数量积（内积）的定义：已知两个非零向量a与b，它们的夹角是，则数量|a||b|cosq叫a与b的数量积，记作ab，即有ab=|a||b|cosq，（0）.并规定0向量与任何向量的数量积为0.探究：1、向量数量积是一个向量还是一个数量?它的符号什么时候为正?什么时候为负?2、两个向量的数量积与实数乘向量的积有什么区别?（1）两个向量的数量积是一个实数，不是向量，符号由cosq的符号所决定.（2）两个向量的数量积称为内积，写成ab；今后要学到两个向量的外积ab，而ab是两个向量的数量的积，书写时要严格区分.符号在向量运算中不是乘号，既不能省略，也不能用代替.（3）在实数中，若a?0，且ab=0，则b=0；但是在数量积中，若a?0，且ab=0，不能推出b=0.因为其中cosq有可能为0.教案【二】教学准备教学目标1.掌握平面向量的数量积及其几何意义；2.掌握平面向量数量积的重要性质及运算律；3.了解用平面向量的数量积可以处理有关长度、角度和垂直的问题；4.掌握向量垂直的条件.教学重难点教学重点：平面向量的数量积定义教学难点：平面向量数量积的定义及运算律的理解和平面向量数量积的应用教学工具投影仪教学过程复习引入：.向量共线定理向量与非零向量共线的充要条件是：有且只有一个非零实数，使=五，课堂小结（1）请学生回顾本节课所学过的知识内容有哪些?所涉及到的主要数学思想方法有那些?（2）在本节课的学习过程中，还有那些不太明白的地方，请向老师提出。

平面向量的数量积

平面向量的数量积可以用于判断两条直线是否平行或垂直
平面向量的数量积可以用于计算平面上点的坐标和轨迹
04
平面向量的数量积与向量的模的关系
数量积与向量模的关系
数量积的定义：两个向量的模的乘积与两个向量夹角的余弦值的乘积之和的平方根
数量积的性质：两个向量的数量积等于它们的模的乘积与它们夹角的余弦值的乘积
值
投影：向量a 在向量b上的投影长度等于向量a的数量积除以向量b
的长度
方向：向量a 与向量b的数量积的正负号表示两向量的夹角是锐角还
是钝角
数量积的性质
非零向量的数量积为实数
向量的数量积满足交换律和分配律
向量的数量积为0的充分必要条件是两个向量垂直向量的数量积与向量的模长和夹角有关，可以用来描述两个向量的相似程度
05
平面向量的数量积的运算技巧
代数法计算数量积
定义：两个向量的数量积定义为它们的对应坐标的乘积之和性质：数量积满足交换律和分配律坐标法：利用向量的坐标进行计算，公式为：a·b=x1x2+y1y2 几何意义：数量积表示两个向量在垂直方向上的投影长度之积
几何法计算数量积
定义：两个非零向量的夹角余弦值乘以两个向量模的乘积
数量积的运算方法
定义：两个向量的数量积定义为它们的模长和夹角的余弦值的乘积
几何意义：表示两个向量在垂直方向上的投影长度
添加标题
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添加标题
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性质：数量积满足交换律和分配律
计算公式：a · b = |a||b|cosθ，其中θ为两向量的夹角
03
平面向量的数量积的应用
在三角形中的应用
平面向量的数量积

高中人教A版数学必修4：第24课时平面向量数量积的物理背景及其含义 Word版含解析

平面向量数量积的物理背景及其含义一、选择题1．已知向量ab 满足|a |＝1a ⊥b 则向量a －2b 在向量a 方向上的投影为( )A ．1B 77C ．－1D 277答案：A解析：设θ为向量a －2b 与向量a 的夹角则向量a －2b 在向量a 方向上的投影为|a －2b |cos θ又cos θ＝(a －2b )·a |a －2b |·|a |＝a 2－2a ·b |a －2b |·|a |＝1|a －2b |故|a －2b |cos θ＝|a －2b |·1|a －2b |＝1 2．设向量ab 满足|a |＝1|b |＝2a ·(a ＋b )＝0则a 与b 的夹角是( )A ．30°B ．60°C ．90°D ．120°答案：D解析：设向量a 与b 的夹角为θ则a ·(a ＋b )＝a 2＋a ·b ＝|a |2＋|a |·|b |·cos θ＝1＋1×2×cos θ＝1＋2cos θ＝0∴cos θ＝－12又0°≤θ≤180°∴θ＝120°选D 3．若|a |＝|b |＝1a ⊥b 且(2a ＋3b )⊥(k a －4b )则k ＝( )A ．－6B ．6C ．3D ．－3答案：B解析：由题意得(2a ＋3b )·(k a －4b )＝0由于a ⊥b 故a ·b ＝0又|a |＝|b |＝1于是2k －12＝0解得k ＝64．在Rt △ABC 中∠C ＝90°AC ＝4则AB →·AC →等于( )A ．－16B ．－8C ．8D ．16答案：D解析：AB →·AC →＝|AB →|·|AC →|cos A ＝|AC →|2＝16二、填空题7．一物体在力F 的作用下沿水平方向由A 运动至B 已知AB ＝10米F 与水平方向的夹角为60°|F |＝5牛顿物体从A 至B 力F 所做的功W ＝__________答案：25焦耳解析：由物理知识知W ＝F·s ＝|F|·|s|cos θ＝5×10×cos60°＝25(焦耳)．8．如果aba －b 的模分别为237则a 与b 的夹角为________．答案：π3解析：设a 与b 的夹角为θ由|a －b |2＝a 2－2a ·b ＋b 2得7＝13－12cos θ即cos θ＝12又0≤θ≤π故θ＝π39．已知在△ABC 中AB ＝AC ＝4AB →·AC →＝8则△ABC 的形状是________．答案：等边三角形解析：AB →·AC →＝|AB →||AC →|cos ∠BAC 即8＝4×4cos ∠BAC 于是cos ∠BAC ＝12所以∠BAC ＝60°又AB ＝AC 故△ABC 是等边三角形．三、解答题10．已知e 1与e 2是两个夹角为60°的单位向量a ＝2e 1＋e 2b ＝2e 2－3e 1求a 与b 的夹角．解：因为|e 1|＝|e 2|＝1所以e 1·e 2＝1×1×cos60°＝12 |a |2＝(2e 1＋e 2)2＝4＋1＋4e 1·e 2＝7故|a |＝7|b |2＝(2e 2－3e 1)2＝4＋9＋2×2×(－3)e 1·e 2＝7故|b |＝7且a ·b ＝－6e 21＋2e 22＋e 1·e 2＝－6＋2＋12＝－72所以cos 〈ab 〉＝a ·b |a |·|b |＝－727×7＝－12 所以a 与b 的夹角为120°11．已知向量ab 满足|a |＝1|b |＝4且ab 的夹角为60°(1)若(2a －b )·(a ＋b )；(2)若(a ＋b )⊥(λa －2b )求实数λ的值．解：(1)由题意得a ·b ＝|a |·|b |cos60°＝1×4×12＝2 ∴(2a －b )·(a ＋b )＝2a 2＋a ·b －b 2＝2＋2－16＝－12(2)∵(a ＋b )⊥(λa －2b )∴(a ＋b )·(λa －2b )＝0∴λa 2＋(λ－2)a ·b －2b 2＝0∴λ＋2(λ－2)－32＝0∴λ＝12能力提升12．已知|a |＝2|b |≠0且关于x 的方程x 2＋|a |x ＋a ·b ＝0有实根则a 与b 的夹角的取值范围是________．答案：⎣⎡⎦⎤π3，π解析：由于|a |＝2|b |≠0且关于x 的方程x 2＋|a |x ＋a ·b ＝0有实根则|a |2－4a ·b ≥0设向量a与b 的夹角为θ则cos θ＝a ·b |a ||b |≤14|a |212|a |2＝12 ∴θ∈⎣⎡⎦⎤π3，π13．设两向量e 1e 2满足|e 1|＝2|e 2|＝1e 1e 2的夹角为60°若向量2t e 1＋7e 2与向量e 1＋t e 2的夹角为钝角求实数t 的取值范围．解：由已知得e 21＝4e 22＝1e 1·e 2＝2×1×cos60°＝1 ∴(2t e 1＋7e 2)·(e 1＋t e 2)＝2t e 21＋(2t 2＋7)e 1·e 2＋7t e 22＝2t 2＋15t ＋7欲使夹角为钝角需2t 2＋15t ＋7<0得－7<t <－12设2t e 1＋7e 2＝λ(e 1＋t e 2)(λ<0)∴⎩⎪⎨⎪⎧2t ＝λ，7＝tλ，∴2t 2＝7∴t ＝－142此时λ＝－14 即t ＝－142时向量2t e 1＋7e 2与e 1＋t e 2的夹角为π ∴当两向量夹角为钝角时t 的取值范围是⎝⎛⎭⎫－7，－142∪⎝⎛⎭⎫－142，－12。

必修四平面向量的数量积讲义

2.3 平面向量的数量积一、平面向量数量积1、定义：已知两个非零向量a 与b ，它们的夹角为θ，则数量｜a ｜×｜b ｜×cos θ叫做与的数量积(或内积)，记作·，即·＝｜｜×｜｜×cos θ。

注意：（1）两向量的数量积，其结果是个数量．．．．．．．．．．．．．．．，而不是向量，它的值为两向量的模与两向量夹角的余弦的乘积，其符号由夹角的余弦值决定．．．．．．．．．．．；．（2）两个向量的数量积是两个向量之间的一种乘法，与以前学过的数的乘法不同，“·． ”不能省略，也不能也成“×”．．．．．．．．．．．．．．；（3）在运用数量积公式时，一定要注意两个向量夹角的范围：．．．．．．．．．．．．0．0．≤．θ≤．180．．．0．。

．（4）规定：．．．零向量与任．．．．．一向量的数量积为．．．．．．．．0．，即．．0·b ＝．0．；（5）当向量与的夹角为900时，叫与互相垂直，记作：⊥，此时：⊥⇔·＝0。

2、平面向量数量积的几何意义：（1）对于a ·b ＝｜a ｜×｜b ｜×cos θ，其中｜｜×cos θ叫做在方向上的投影，当θ为锐角时，投影为正；当θ为钝角时，投影为负；当θ就直角时，投影为0；当θ为0度时，投影是｜｜；当θ为180度时，投影为－｜b ｜；（2）．a 在．b 方向上的投影．．．．．．与．b 在．a 方向上的投影就不同的．．．．．．．．．．；（3））a 在b 方向。

例1：已知｜a ｜＝2，｜b ｜＝5，当（1）a 与b 夹角为300时；（2）当a ⊥b 时；（3）当当∥时；分别计算与的数量积。

【解析】：（1）53；（2）0；（3）±10变式练习1：已知｜a ｜＝3，｜｜＝5，且a 与b 的夹角为450，则a 在b 方向上的投影是（）A：223B：3 C：4 D：5【解析】：A变式练习2：已知｜a｜＝6，｜b｜＝3，且a·b＝－12，则a在b方向上的投影是（）A：－4 B：－2 C：4 D：2【解析】：A二、平面向量数量积的性质若与是非零向量，是与方向相同的单位向量，θ是与的夹角1、·＝·＝｜｜×｜｜×cosθ2、⊥⇔·＝03、若a与b同向，则a·b＝｜a｜×｜b｜( 夹角为0度)；若反向，则a·b ＝－｜｜×｜｜( 夹角为180度)；特别地，·＝()2＝｜｜2或｜｜＝4、若θ是与的夹角，则cosθ＝5、｜·｜≤｜｜×｜｜（当与共线时取等号）三、平面向量数量积的运算律1、a·b＝b·a2、(λa)·b＝λ(a·b)＝a·(λb)3、(＋)·＝·＋·4、(＋)·(－)＝()2－()2＝｜｜2－｜｜25、(＋)2＝｜｜2＋2×·＋｜｜2注意：（1）没有(·)·＝·(·)这个运算定律；（2）·＝·，则不能得到＝；（3）若·＝0，则＝或＝或<，>＝900。

2023届高三新高考数学试题一轮复习专题7.3平面向量数量积及应用教案讲义(Word)

7.3 平面向量数量积及应用课标要求考情分析核心素养1.理解平面向量数量积的含义及其物理意义.2.了解平面向量的数量积与向量投影的关系.3.掌握数量积的坐标表达式，会进行平面向量数量积的运算.4.能运用数量积表示两个向量的夹角，会用数量积判断两个平面向量的垂直关系.新高考3年考题题号考点数学建模数学运算直观想象逻辑推理2022(Ⅱ)卷4利用向量数量积的坐标运算求夹角2021(Ⅰ)卷 10 向量数量积的坐标运算，向量的模2021(Ⅱ)卷 15 向量数量积的运算2020(Ⅰ)卷7向量数量积的运算和投影1.向量的夹角定义范围共线与垂直图示已知两个非零向量a ⃗和b ⃗⃗,作OA ⃗⃗⃗⃗⃗⃗=a ⃗,OB ⃗⃗⃗⃗⃗⃗=b ⃗⃗,则∠AOB =θ(0≤θ≤π)叫做向量a ⃗与b ⃗⃗的夹角．[0,π]a ⃗//b⃗⃗?θ=0或π; a ⃗⊥b⃗⃗?θ=π2向量夹角：共起点定义已知两个非零向量a ⃗与b ⃗⃗,它们的夹角为θ，我们把数量|a ⃗||b ⃗⃗|cosθ叫做a ⃗与b ⃗⃗的数量积,记作a ⃗?b ⃗⃗. 即a ⃗?b ⃗⃗=|a ⃗||b⃗⃗|cosθ. 特殊情况 0⃗⃗a ⃗=0; a ⃗⊥b ⃗⃗?a ⃗?b⃗⃗=0 运算律a ⃗?b ⃗⃗=b ⃗⃗?a ⃗（交换律）;λa ⃗?b ⃗⃗=λ(a ⃗?b ⃗⃗)=a ⃗?(λb ⃗⃗)（结合律）;(a ⃗+b ⃗⃗)?c ⃗=a ⃗?c ⃗+b ⃗⃗?c ⃗（分配律）运算性质(a ⃗+b ⃗⃗)2=a ⃗2+2a ⃗?b ⃗⃗+b ⃗⃗2; (a ⃗+b ⃗⃗)(a ⃗−b ⃗⃗)=a ⃗2−b⃗⃗2 (a ⃗+b ⃗⃗+c ⃗)2=a ⃗2+b ⃗⃗2+c ⃗2+2a ⃗?b ⃗⃗+2b ⃗⃗?c ⃗+2c ⃗?a ⃗如图，设a ⃗,b ⃗⃗是两个非零向量,AB ⃗⃗⃗⃗⃗⃗=a ⃗, CD ⃗⃗⃗⃗⃗⃗=b ⃗⃗,考虑如下变换:过AB ⃗⃗⃗⃗⃗⃗的起点A 和终点B ,分别作CD ⃗⃗⃗⃗⃗⃗所在直线的垂线,垂足分别为A 1、B 1,得到A 1B 1⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗,称上述变换为向量a ⃗向向量b ⃗⃗投影, A 1B 1⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗叫做向量a ⃗在向量b ⃗⃗上的投影向量.若向量a ⃗,b ⃗⃗的夹角为θ,则向量a ⃗在向量b ⃗⃗上的投影向量为|a ⃗⃗|cosθ|b⃗⃗|b ⃗⃗4.平面向量数量积的性质及坐标表示已知非零向量a ⃗=(x 1,y 1),b ⃗⃗=(x 2,y 2)，a ⃗,b⃗⃗的夹角为θ.几何表示坐标表示数量积 a ⃗?b ⃗⃗=|a ⃗||b ⃗⃗|cosθ a ⃗?b ⃗⃗=x 1x 2+y 1y 2 夹角cosθ=a ⃗?b⃗⃗|a ⃗||b ⃗⃗|cosθ=x 1x 2+y 1y 2√x 12+y 12?√x 22+y 22模 |a ⃗|=√a ⃗2 |a ⃗|=√x 12+y 12 垂直 a ⃗⊥b ⃗⃗a ⃗?b ⃗⃗=0 a ⃗⊥b ⃗⃗?a ⃗?b⃗⃗=x 1x 2+y 1y 2=0 共线a ⃗//b ⃗⃗a ⃗=λb ⃗⃗(λ∈R ) a ⃗//b⃗⃗?x 1y 2=x 2y 1 不等关系a ⃗⃗,b⃗⃗共线时等号成立 |a ⃗?b ⃗⃗|≤|a ⃗||b⃗⃗| x 1x 2+y 1y 2≤√x 12+y 12?√x 22+y 221.向量模长不等式：||a ⃗|−|b ⃗⃗||≤|a ⃗±b ⃗⃗|≤|a ⃗|+|b ⃗⃗|; |a ⃗?b ⃗⃗|≤|a ⃗||b⃗⃗| 2.两个向量a ⃗，b ⃗⃗的夹角为锐角?a ⃗?b ⃗⃗>0且a ⃗，b ⃗⃗不共线;两个向量a ⃗，b ⃗⃗的夹角为钝角?a ⃗?b ⃗⃗<0且a ⃗，b ⃗⃗不共线1.【P24 T21】在三角形ABC 中，已知|AB ⃗⃗⃗⃗⃗⃗+AC ⃗⃗⃗⃗⃗⃗|=|AB ⃗⃗⃗⃗⃗⃗−AC ⃗⃗⃗⃗⃗⃗|，|AB ⃗⃗⃗⃗⃗⃗|=2，点G 满足GA ⃗⃗⃗⃗⃗⃗+GB ⃗⃗⃗⃗⃗⃗+GC ⃗⃗⃗⃗⃗⃗=0⃗⃗，则向量BG⃗⃗⃗⃗⃗⃗在向量BA ⃗⃗⃗⃗⃗⃗方向上的投影向量为() A. 13BA ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ B. 23BA ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ C. 2BA ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ D. 3BA⃗⃗⃗⃗⃗⃗ 2.【P41 T3】设作用于同一点的三个力F 1⃗⃗⃗⃗，F 2⃗⃗⃗⃗⃗，F 3⃗⃗⃗⃗⃗处于平衡状态，若|F 1⃗⃗⃗⃗|=1，|F 2⃗⃗⃗⃗⃗|=2,且F 1→与F 2⃗⃗⃗⃗⃗的夹角为23π，如图所示．(1)求F 3→的大小； (2)求F 2→与F 3→的夹角．考点一平面向量数量积的运算【方法储备】1.平面向量数量积的运算方法2.已知数量积求参数已知向量的数量积，用上述方法展开，得出关于参数的方程，进而求出参数.角度1投影向量【典例精讲】例1.(2022·安徽省期中)已知|a ⃗|=3，|b ⃗⃗|=5，a ⃗·b ⃗⃗=−12，且e ⃗是与b ⃗⃗方向相同的单位向量，则a ⃗在b ⃗⃗上的投影向量为．【名师点睛】本题考查向量的夹角、向量的投影，属于中档题．设a⃗与b ⃗⃗的夹角为θ，求出cos θ，根据投影向量的概念，即可求出结果．【靶向训练】练1-1(2021·江苏省无锡市期末)设平面向量a ⃗，b ⃗⃗满足|a ⃗|=12，b ⃗⃗=(2,√5)，a ⃗?b ⃗⃗=18，则b ⃗⃗在a ⃗方向上的投影向量为() A. 12b⃗⃗ B. 18b⃗⃗ C. 12a ⃗ D. 18a⃗ 练1-2(2022·陕西省模拟)已知△ABC 的外接圆圆心为O ，且AB ⃗⃗⃗⃗⃗⃗+AC ⃗⃗⃗⃗⃗⃗=2AO ⃗⃗⃗⃗⃗⃗，|AB ⃗⃗⃗⃗⃗⃗|=|OA ⃗⃗⃗⃗⃗⃗|，则CA ⃗⃗⃗⃗⃗⃗在CB ⃗⃗⃗⃗⃗⃗上的投影向量为() A. 14CB ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ B. √32CB ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ C. 34CB ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ D. 12CB ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ 角度2平面向量数量积的概念及运算【典例精讲】例2.(2022·山东省潍坊市模拟)在梯形ABCD 中，AB//DC ，AD =BC =2，AB =4，∠ABC =π3，P 是BC 的中点，则AB ⃗⃗⃗⃗⃗⃗·AP⃗⃗⃗⃗⃗⃗= 【名师点睛】本题考查了平面向量的线性运算以及数量积的运算问题,把所求向量转化，再结合数量积的运算即可求解结论．【靶向训练】练1-3(2022·江西省模拟)已知两个单位向量a ⃗，b ⃗⃗的夹角为60°，c ⃗=ta ⃗+(1−t)b ⃗⃗.若c ⃗?b ⃗⃗=0，则t =．练1-4(2022·北京市期末)已知△ABC 是边长为1的等边三角形，点D 、E 分别是边AB 、BC 的中点，连接DE 并延长到点F ，使得DE =2EF ，则AF⃗⃗⃗⃗⃗⃗·BC ⃗⃗⃗⃗⃗⃗的值为() A. −58B. 14C. 18D. 118角度3平面向量数量积的坐标运算【典例精讲】例3.(2021·新课标Ⅰ卷.多选)已知O 为坐标原点,点P 1(cosα,sinα),P 2(cosβ,−sinβ), P 3(cos(α+β),?sin(α+β))，A(1,?0)，则() A. |OP 1⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗|?=?|OP 2⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗| B. |AP 1⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗|?=?|AP 2⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗|C. OA ⃗⃗⃗⃗⃗⃗?OP 3⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗=OP 1⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗?OP 2⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗D. OA ⃗⃗⃗⃗⃗⃗?OP 1⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗=OP 2⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗?OP 3⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗【名师点睛】本题考查平面向量的坐标运算，考查三角函数的恒等变形公式，属于中档题．根据平面向量的坐标运算结合三角函数公式进行化简逐个判断即可．【靶向训练】练1-5(2022·辽宁省大连市模拟)设向量a ⃗=(1,m)，b ⃗⃗=(2,1)，且b ⃗⃗?(2a ⃗⃗+b ⃗⃗)=7，则m =．练1-6(2022·江西省萍乡市期末)已知向量m ⃗⃗⃗⃗=(2cosωx,−1)，n ⃗⃗=(√3sinωx −cosωx,1)，其中ω>0，函数f(x)=m⃗⃗⃗⃗?n ⃗⃗+2，且f(x)的最小正周期为π2，则f(x)的解析式为．考点二平面向量的夹角、模长、垂直、共线问题【方法储备】1.求平面向量模的方法2.求平面向量夹角的方法3.向量的垂直、共线问题(1)两个向量垂直的充要条件是两向量的数量积为0，即:a ⃗=(x 1,y 1), b ⃗⃗=(x 2,y 2),则a ⃗⊥b ⃗⃗?a ⃗·b⃗⃗＝0?x 1x 2+y 1y 2=0. 应认识到此充要条件对含零向量在内的所有向量均成立，因为可视零向量与任意向量垂直. (2)利用向量垂直或平行的条件构造方程或函数是求参或最值问题最常用的解题技巧.【特别提醒】在分析两向量的夹角时，必须使两个向量的起点重合，如果起点不重合，可通过“平移”实现.角度1平面向量的模【典例精讲】例4.(2022·山东省模拟)已知向量a ⃗⃗，b ⃗⃗夹角为45°，且|a ⃗⃗|=1，|2a ⃗⃗−b⃗⃗|=√10，则|b ⃗⃗|=．【名师点睛】利用数量积的性质即可得出．本题考查了数量积的性质，向量模的计算，属于基础题．【靶向训练】练2-1(2022·湖北省咸宁市期末)已知向量a ⃗⃗，b ⃗⃗满足|a ⃗⃗|=|b ⃗⃗|=5，且|a ⃗⃗+b ⃗⃗|=6，则|a ⃗⃗−b⃗⃗|=() A. 6B. 8C. 36D. 64练2-2(2022·.山东省济南市期末.多选) 若平面向量a ⃗⃗、b ⃗⃗、c ⃗⃗两两的夹角相等，且|a ⃗⃗|=1，|b ⃗⃗|=2，|c ⃗⃗|=3，则|a ⃗⃗+b ⃗⃗+c ⃗⃗|=()A. √3B. 3C. 5D. 6角度2平面向量的夹角【典例精讲】例 5.(2022·江西省模拟)若非零向量a ⃗⃗，b ⃗⃗满足|a ⃗⃗|=2√23|b ⃗⃗|，且(a ⃗⃗−b ⃗⃗)⊥(3a ⃗⃗+2b⃗⃗)，则a ⃗⃗与b ⃗⃗的夹角为()A. π4 B. π2C. 3π4D. π【名师点睛】根据向量垂直的等价条件以及向量数量积的应用进行求解即可．本题主要考查向量夹角的求解，利用向量数量积的应用以及向量垂直的等价条件是解决本题的关键．【靶向训练】练2-3(2021·湖北省武汉市期末)在平行四边形ABCD 中，AB =3，AD =2，AP ⃗⃗⃗⃗⃗⃗=13AB ⃗⃗⃗⃗⃗⃗，AQ ⃗⃗⃗⃗⃗⃗=12AD ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗，若CP ⃗⃗⃗⃗⃗⃗CQ ⃗⃗⃗⃗⃗⃗=12，则∠ADC =()A. 5π6B. 3π4C. 2π3D. π2练2-4(2022·江苏省南通市期末)已知向量a ⃗⃗，b ⃗⃗满足|a ⃗⃗+b ⃗⃗|=|a ⃗⃗−b ⃗⃗|=2√33|a ⃗⃗|，则向量<a ⃗⃗+b ⃗⃗，a⃗⃗>=()A. 5π6B. 2π3C. π3D. π6角度3平面向量的垂直【典例精讲】例6.(2021·浙江省温州市模拟)若|a ⃗⃗|=1，|b ⃗⃗|=2，a ⃗⃗与b ⃗⃗的夹角为60°，若(3a ⃗⃗+5b ⃗⃗)⊥(m a ⃗⃗−b ⃗⃗)，则m 的值为【名师点睛】本题考查向量数量积的计算公式，两向量垂直的充要条件是两向量的数量积为0．由条件可求得a ⃗⃗?b ⃗⃗=1，根据两向量垂直，则两向量的数量积为0，从而会得到关于m 的方程，解方程即可求出m ．【靶向训练】练2-5(2021·山东省模拟)已知向量a ⃗⃗与b ⃗⃗的夹角是π3，且|a ⃗⃗|=1，|b ⃗⃗|=4，若(3a ⃗⃗+λb ⃗⃗)⊥a ⃗⃗，则实数λ=()A. −32B. 32C. −2D. 2练2-6(2022·上海市期末)已知a 、b 都是非零向量，且a ⃗⃗+3b ⃗⃗与7a ⃗⃗−5b ⃗⃗垂直，a ⃗⃗−4b ⃗⃗与7a ⃗⃗−2b ⃗⃗垂直，则a ⃗⃗与b ⃗⃗的夹角为．考点三平面向量中的最值、范围问题【方法储备】1.求最值、范围问题的思路（1）将向量的最值、范围问题转化为平面几何的最值、范围问题，利用平面几何的知识求解；（2）将向量坐标化，转化为函数、方程、不等式的问题解决.【典例精讲】例7.(2022·湖北省黄冈市模拟)已知直角三角形ABC 中，∠A =90°，AB =2，AC =4，点P 在以A 为圆心且与边BC 相切的圆上，则PB ⃗⃗⃗⃗⃗⃗PC⃗⃗⃗⃗⃗⃗的最大值为() A. 16+16√55B. 16+8√55C. 165D. 565【名师点睛】本题考查向量数量积的计算，涉及直线与圆的位置关系．根据题意，设AD 为斜边BC 上的高，求出AD 的值，连接PA ，可得PB ⃗⃗⃗⃗⃗⃗?PC ⃗⃗⃗⃗⃗⃗=(PA ⃗⃗⃗⃗⃗⃗+AB ⃗⃗⃗⃗⃗⃗)?(PA ⃗⃗⃗⃗⃗⃗+AC ⃗⃗⃗⃗⃗⃗)=PA ⃗⃗⃗⃗⃗⃗2+PA ⃗⃗⃗⃗⃗⃗?(AB ⃗⃗⃗⃗⃗⃗+AC ⃗⃗⃗⃗⃗⃗)=165+PA ⃗⃗⃗⃗⃗⃗?(AB ⃗⃗⃗⃗⃗⃗+AC ⃗⃗⃗⃗⃗⃗)，分析可得当PA ⃗⃗⃗⃗⃗⃗与(AB ⃗⃗⃗⃗⃗⃗+AC ⃗⃗⃗⃗⃗⃗)同向时，PA ⃗⃗⃗⃗⃗⃗?(AB ⃗⃗⃗⃗⃗⃗+AC ⃗⃗⃗⃗⃗⃗)取得最大值，据此计算可得答案．【靶向训练】练3-1(2022·湖北省模拟)已知梯形ABCD 中，∠B =π3，AB =2，BC =4，AD =1，点P ，Q 在线段BC 上移动，且PQ =1，则DP ⃗⃗⃗⃗⃗⃗DQ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗的最小值为()A. 1B. 112C. 132D. 114练3-2(2022·江苏省宿迁市期末)在ΔABC 中，角A,B,C 的对边分别为a,b,c ，若b(tanA +tanB)=2ctanB ，且G 是ΔABC 的重心，AB ⃗⃗⃗⃗⃗⃗AC⃗⃗⃗⃗⃗⃗=2,则|AG ⃗⃗⃗⃗⃗⃗|的最小值为．核心素养系列直观想象、数学运算——平面向量与极化恒等式【方法储备】1.极化恒等式：a ⃗⃗?b ⃗⃗=14[(a ⃗⃗+b ⃗⃗)2−(a ⃗⃗−b ⃗⃗)2] 三角形模型：在△ABC 中，D 为BC 的中点，则AB ⃗⃗⃗⃗⃗⃗BC ⃗⃗⃗⃗⃗⃗=|AD ⃗⃗⃗⃗⃗⃗|2−|BD ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗|2=|AD ⃗⃗⃗⃗⃗⃗|2−|CD ⃗⃗⃗⃗⃗⃗|2=|AD ⃗⃗⃗⃗⃗⃗|2−14|BC ⃗⃗⃗⃗⃗⃗|2平行四边形模型：在平行四边形ABCD 中：则AB ⃗⃗⃗⃗⃗⃗AD ⃗⃗⃗⃗⃗⃗=14(|AC⃗⃗⃗⃗⃗⃗|2−|BD ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗|2) 2.利用极化恒等式求数量积问题的步骤：【典例精讲】例8.(2022·山东省模拟) 如图，在△ABC 中，AC =6，AB =8，∠BAC =π2，D 为边BC 的中点． (1)求AD⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗?CB ⃗⃗⃗⃗⃗⃗的值； (2)若点P 满足CP →=λCA →(λ∈R)，求PB ⃗⃗⃗⃗⃗⃗PC⃗⃗⃗⃗⃗⃗的最小值； (3)若点P 在∠BAC 的角平分线上，且满足PA →=mPB →+nPC →(m,n ∈R).若1≤n ≤2，求|PA⃗⃗⃗⃗⃗⃗|的取值范围．【名师点睛】本题考查平面向量的数量积运算，考查化归与转化，考查运算求解能力，是中档题．(1)由极化恒等式及向量的加减运算求解；(2)设|AD ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗|=3m >0，|BC ⃗⃗⃗⃗⃗⃗|=2n >0，由已知结合极化恒等式求解m 与n 值，进一步可得EB⃗⃗⃗⃗⃗⃗?EC ⃗⃗⃗⃗⃗⃗的值．【靶向训练】练4-1(2021·湖北省模拟)如图，已知P 是半径为3，圆心角为π2的一段圆弧AB ⏜上一点，AB ⃗⃗⃗⃗⃗⃗=3BC ⃗⃗⃗⃗⃗⃗，则PA ⃗⃗⃗⃗⃗⃗?PC ⃗⃗⃗⃗⃗⃗的最小值是()A. −6B. 6−9√2C. −8D. 6−6√5练4-2(2022·福建省龙岩市期中)阅读下一段文字：(a ⃗+b ⃗⃗)2=a ⃗2+2a ⃗?b ⃗⃗+b ⃗⃗2，(a ⃗−b ⃗⃗)2=a ⃗2−2a ⃗?b ⃗⃗+b ⃗⃗2，两式相减得(a ⃗+b ⃗⃗)2−(a ⃗−b ⃗⃗)2=4a ⃗?b ⃗⃗?a ⃗?b ⃗⃗=14[(a ⃗+b ⃗⃗)2−(a ⃗−b ⃗⃗)2]，我们把这个等式称作“极化恒等式”，它实现了在没有夹角的参与下将两个向量的数量积运算化为“模”的运算．试根据上面的内容解决以下问题：如图，在△ABC 中，D 是BC 的中点，E ，F 是AD 上的两个三等分点．(1)若AD =BC =3，求AB⃗⃗⃗⃗⃗⃗?AC ⃗⃗⃗⃗⃗⃗的值； (2)若AB ⃗⃗⃗⃗⃗⃗?AC ⃗⃗⃗⃗⃗⃗=27，FB ⃗⃗⃗⃗⃗⃗?FC ⃗⃗⃗⃗⃗⃗=−5，求EB⃗⃗⃗⃗⃗⃗?EC ⃗⃗⃗⃗⃗⃗的值．易错点1．投影向量理解错误例9.(2022·湖北省武汉市期末.多选)若A i (i =1,2,…,n)是△AOB 所在的平面内的点，且OA i ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗?OB ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗=OA⃗⃗⃗⃗⃗⃗?OB ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗.下面给出的四个命题中，其中正确的是() A. |OA 1⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗|+|OA 2⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗|+⋯+|OA n ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗|=|OA ⃗⃗⃗⃗⃗⃗|B. AA i ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗?OB ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗=0C. 点A 、A 1、A 2…A n 一定在一条直线上D. OA ⃗⃗⃗⃗⃗⃗、OA i ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗在向量OB ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗方向上的投影数量一定相等易错点2．向量夹角定义理解错误例10.(2021·辽宁省期中)已知|a ⃗⃗|=√2，|b ⃗⃗|=4，当b ⃗⃗⊥(4a ⃗⃗−b ⃗⃗)时，向量a ⃗⃗与b ⃗⃗的夹角为()A. π6 B. π4 C. 2π3 D. 3π4易错点3．平面向量的运算律运用错误例11.(2022·江苏省南通市模拟.多选)关于平面向量a ⃗⃗，b ⃗⃗，c⃗⃗，下列说法不正确的是() A. 若a ⃗⃗?c ⃗⃗=b ⃗⃗?c ⃗⃗，则a ⃗⃗=b ⃗⃗B. (a ⃗⃗+b ⃗⃗)?c ⃗⃗=a ⃗⃗?c ⃗⃗+b ⃗⃗?c ⃗⃗C. 若a ⃗⃗2=b ⃗⃗2，则a ⃗⃗?c ⃗⃗=b ⃗⃗?c ⃗⃗D. (a ⃗⃗?b ⃗⃗)?c ⃗⃗=(b ⃗⃗?c ⃗⃗)?a ⃗⃗易错点4．混淆平面向量共线、垂直的坐标关系例12.(2022·福建省名校联考.多选)已知向量a ⃗⃗=(−1,2)，b ⃗⃗=(1,m)，则()A. 若a ⃗⃗与b ⃗⃗垂直，则m =12B. 若a ⃗⃗//b ⃗⃗，则m 的值为−2C. 若|a ⃗⃗|=|b ⃗⃗|，则m =2D. 若m =3，则a ⃗⃗与b ⃗⃗的夹角为45°答案解析【教材改编】1.【解析】在△ABC 中，∵|AB ⃗⃗⃗⃗⃗⃗+AC ⃗⃗⃗⃗⃗⃗|=|AB ⃗⃗⃗⃗⃗⃗−AC⃗⃗⃗⃗⃗⃗|， ∴AB⃗⃗⃗⃗⃗⃗2+2AB ⃗⃗⃗⃗⃗⃗?AC ⃗⃗⃗⃗⃗⃗+AC ⃗⃗⃗⃗⃗⃗2=AB ⃗⃗⃗⃗⃗⃗2−2AB ⃗⃗⃗⃗⃗⃗?AC ⃗⃗⃗⃗⃗⃗+AC ⃗⃗⃗⃗⃗⃗2，∴AB ⃗⃗⃗⃗⃗⃗?AC ⃗⃗⃗⃗⃗⃗=0，即AB ⊥AC ，点G 满足GA ⃗⃗⃗⃗⃗⃗+GB ⃗⃗⃗⃗⃗⃗+GC ⃗⃗⃗⃗⃗⃗=0⃗⃗，则G 为△ABC 的重心，设AC 的中点为D ,∴向量BG ⃗⃗⃗⃗⃗⃗在向量BA ⃗⃗⃗⃗⃗⃗方向上的投影向量为：23BA ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗?BD ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗|BA ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗|BA ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗|BA ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗|， ∵BD ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗?BA ⃗⃗⃗⃗⃗⃗=(AD ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗−AB ⃗⃗⃗⃗⃗⃗)?BA ⃗⃗⃗⃗⃗⃗=12AC ⃗⃗⃗⃗⃗⃗?BA ⃗⃗⃗⃗⃗⃗+AB ⃗⃗⃗⃗⃗⃗2=AB ⃗⃗⃗⃗⃗⃗2，∴向量BG ⃗⃗⃗⃗⃗⃗在向量BA ⃗⃗⃗⃗⃗⃗方向上的投影向量为：23×AB ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗2|BA⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗|?BA⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗|BA ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗|=23BA⃗⃗⃗⃗⃗⃗，故答案选：B ．2.【解析】 (1)由F 1⃗⃗⃗⃗，F 2⃗⃗⃗⃗⃗，F 3⃗⃗⃗⃗⃗处于平衡状态，知F 1⃗⃗⃗⃗+F 2⃗⃗⃗⃗⃗+F 3⃗⃗⃗⃗⃗=0⃗⃗，∵|F 1⃗⃗⃗⃗|=1,|F 2⃗⃗⃗⃗⃗|=2,且F 1⃗⃗⃗⃗与F 2⃗⃗⃗⃗⃗的夹角为23π， ∴|F 3⃗⃗⃗⃗⃗|=|−F 1⃗⃗⃗⃗−F 2⃗⃗⃗⃗⃗|=√(F 1⃗⃗⃗⃗+F 2⃗⃗⃗⃗⃗)2=√1+4+2×1×2×(−12)=√3；(2)∵F 3⃗⃗⃗⃗⃗=−(F 1⃗⃗⃗⃗+F 2⃗⃗⃗⃗⃗)，∴F 3⃗⃗⃗⃗⃗·F 2⃗⃗⃗⃗⃗=−F 1⃗⃗⃗⃗·F 2⃗⃗⃗⃗⃗−F 2⃗⃗⃗⃗⃗·F 2⃗⃗⃗⃗⃗，设F 2⃗⃗⃗⃗⃗与F 3⃗⃗⃗⃗⃗的夹角为θ，∴√3×2×cosθ=−1×2×(−12)−4，解得cosθ=−√32，又θ∈[0,π]，∴θ=5π6．即F 2⃗⃗⃗⃗⃗与F 3⃗⃗⃗⃗⃗的夹角为5π6．? 【考点探究】例1.【解析】设a ⃗与b ⃗⃗的夹角为θ，因为|a ⃗|=3，|b ⃗⃗|=5，a ⃗·b ⃗⃗=−12，所以cosθ=a ⃗⃗·b ⃗⃗|a⃗⃗||b ⃗⃗|=−123×5=−45，因为e ⃗是与b ⃗⃗方向相同的单位向量，所以a ⃗在b ⃗⃗上的投影向量为：|a ⃗|cosθ·e ⃗=3×(−45)e ⃗=−125e ⃗．故答案为−125e ⃗．练1-1.【解析】因为平面向量a ⃗，b ⃗⃗满足|a ⃗|=12,?b ⃗⃗=(2,√5),?a ⃗?b ⃗⃗=18，所以b ⃗⃗在a ⃗方向上的投影向量是a ⃗⃗?b ⃗⃗|a⃗⃗|×a ⃗⃗|a⃗⃗|=1812×a ⃗⃗12=18a ⃗．故答案选；D ．练1-2.【解析】因为2AO ⃗⃗⃗⃗⃗⃗=AB ⃗⃗⃗⃗⃗⃗+AC⃗⃗⃗⃗⃗⃗，所以O 为BC 中点，又△ABC 外接圆的圆心为O ，所以三角形为以A 为直角顶点的直角三角形，又|AB ⃗⃗⃗⃗⃗⃗|=|OA ⃗⃗⃗⃗⃗⃗|，所以△ABO 为等边三角形，则∠ABC =60°，∠ACB =30°，所以向量CA⃗⃗⃗⃗⃗⃗在向量CB ⃗⃗⃗⃗⃗⃗上的投影向量为： CA ⃗⃗⃗⃗⃗⃗·CB ⃗⃗⃗⃗⃗⃗|CB⃗⃗⃗⃗⃗⃗|·CB ⃗⃗⃗⃗⃗⃗|CB ⃗⃗⃗⃗⃗⃗|=|CA⃗⃗⃗⃗⃗⃗||CB ⃗⃗⃗⃗⃗⃗|cos30°|CB⃗⃗⃗⃗⃗⃗|2·CB⃗⃗⃗⃗⃗⃗=|CB⃗⃗⃗⃗⃗⃗|cos30°|CB ⃗⃗⃗⃗⃗⃗|cos30°|CB⃗⃗⃗⃗⃗⃗|2·CB ⃗⃗⃗⃗⃗⃗=34CB⃗⃗⃗⃗⃗⃗．故答案选：C ．例2.【解析】∵在梯形ABCD 中，AB//DC ，AD =BC =2，AB =4，∠ABC =π3，P 是BC 的中点，∴AB ⃗⃗⃗⃗⃗⃗?AP ⃗⃗⃗⃗⃗⃗=AB ⃗⃗⃗⃗⃗⃗?(AB ⃗⃗⃗⃗⃗⃗+BP ⃗⃗⃗⃗⃗⃗)=AB ⃗⃗⃗⃗⃗⃗2+AB ⃗⃗⃗⃗⃗⃗?12BC ⃗⃗⃗⃗⃗⃗=AB ⃗⃗⃗⃗⃗⃗2−12BA ⃗⃗⃗⃗⃗⃗?BC ⃗⃗⃗⃗⃗⃗=42−12×4×2×12=14，故答案为：14．练1-3.【解析】∵c ⃗=ta ⃗+(1−t)b ⃗⃗，c ⃗?b ⃗⃗=0，∴c ⃗?b ⃗⃗=ta ⃗?b ⃗⃗+(1−t)b ⃗⃗2=0， ∵a ⃗，b ⃗⃗是单位向量，∴|a ⃗|=|b⃗⃗|=1，又∵a⃗与b ⃗⃗的夹角为60°，∴a ⃗⃗?b ⃗⃗=1×1×cos60°=12， ∴c ⃗?b ⃗⃗=ta ⃗?b⃗⃗+(1−t)b ⃗⃗2=12t +(1−t)=0，∴t =2．故答案为：2．练1-4.【解析】如图，∵D 、E 分别是边AB 、BC 的中点，且DE =2EF ， ∴AF⃗⃗⃗⃗⃗⃗·BC ⃗⃗⃗⃗⃗⃗=(AD ⃗⃗⃗⃗⃗⃗+DF ⃗⃗⃗⃗⃗⃗)?BC ⃗⃗⃗⃗⃗⃗=(−12BA ⃗⃗⃗⃗⃗⃗+32DE ⃗⃗⃗⃗⃗⃗)?BC ⃗⃗⃗⃗⃗⃗=(−12BA ⃗⃗⃗⃗⃗⃗+34AC ⃗⃗⃗⃗⃗⃗)?BC ⃗⃗⃗⃗⃗⃗=(−12BA ⃗⃗⃗⃗⃗⃗+34BC ⃗⃗⃗⃗⃗⃗−34BA ⃗⃗⃗⃗⃗⃗)?BC ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =(−54BA ⃗⃗⃗⃗⃗⃗+34BC ⃗⃗⃗⃗⃗⃗)?BC ⃗⃗⃗⃗⃗⃗=−54BA ⃗⃗⃗⃗⃗⃗?BC ⃗⃗⃗⃗⃗⃗+34BC ⃗⃗⃗⃗⃗⃗2=−54|BA ⃗⃗⃗⃗⃗⃗|?|BC ⃗⃗⃗⃗⃗⃗|cos60°+34×12 =−54×1×1×12+34=18．故答案选：C ．例3.【解析】OA ⃗⃗⃗⃗⃗⃗=(1,0)，OP 1⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗=(cos?α,sin?α)，OP 2⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗=(cos?β,−sin?β)，OP 3⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗=(cos?(α+β),sin?(α+β))， AP 1⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗=(cosα−1,sinα)，AP 2⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗=(cosβ−1,−sinβ)，对于A ，|OP 1⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗|=√cos 2α+sin 2α=1，|OP 2⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗|=√cos 2β+(−sinβ)2=1，A 正确；对于B ，|AP 1⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗|=√(cosα−1)2+sin 2α=√2−2cosα，|AP 2⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗|=√(cosβ−1)2+(−sinβ)2=√2−2cosβ，因为α,β不一定相等，所以|AP 1⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗|，|AP 2⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗|不一定相等，B 错误；对于C ，OA ⃗⃗⃗⃗⃗⃗·OP 3⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗=cos(α+β)；OP 1⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗?OP ⃗⃗⃗⃗⃗⃗2=cosαcosβ+sinα(−sinβ)=cos(α+β)，C 正确；对于D ，OA ⃗⃗⃗⃗⃗⃗·OP 1⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗=cosα，OP 2⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗?OP 3⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗=cosβcos(α+β)+(−sinβ)sin(α+β)=cos(α+2β)，不一定相等，D 错误．故选：AC ．练1-5.【解析】∵向量a ⃗=(1,m)，b ⃗⃗=(2,1)，∴2a ⃗⃗+b ⃗⃗=(4,2m +1)，∵b ⃗⃗?(2a ⃗⃗+b ⃗⃗)=7，∴b ⃗⃗?(2a ⃗⃗+b ⃗⃗)=8+2m +1=7，解得m =−1．故答案为：−1．练1-6.【解析】f (x )=m ⃗⃗⃗⃗·n ⃗⃗+2=2cosωx ·(√3sinωx −cosωx)−1+2 =√3sin2ωx −(1+cos2ωx )+1=2sin (2ωx −π6)，∵最小正周期为π2，故ω=2，则f (x )的解析式为f (x )=2sin (4x −π6)．故答案为：f (x )=2sin (4x −π6)．例4.【解析】∵向量a ⃗⃗，b ⃗⃗夹角为45°，且|a ⃗⃗|=1，|2a ⃗⃗−b ⃗⃗|=√10．∴√4a ⃗⃗2+b ⃗⃗2−4a ⃗⃗?b ⃗⃗=√10，化为4+|b ⃗⃗|2−4|b ⃗⃗|cos45°=10，化为|b ⃗⃗|2−2√2|b ⃗⃗|−6=0，∵|b ⃗⃗|≥0，解得|b ⃗⃗|=3√2．故答案为：3√2．练2-1.【解析】因为|a ⃗⃗+b ⃗⃗|2=a ⃗⃗2+2a ⃗⃗?b ⃗⃗+b ⃗⃗2=50+2a ⃗⃗?b ⃗⃗=36，所以a ⃗⃗?b ⃗⃗=−7．因为|a ⃗⃗−b ⃗⃗|2=a ⃗⃗2−2a ⃗⃗?b ⃗⃗+b ⃗⃗2=50+2×7=64，所以|a⃗⃗−b ⃗⃗|=8．故选：B ．练2-2.【解析】因为平面向量a ⃗⃗、b ⃗⃗、c ⃗⃗两两的夹角相等，所以夹角为0°或120°，由题意知：|a ⃗⃗|=1，|b ⃗⃗|=2，|c ⃗⃗|=3，当夹角为0°时，2a ⃗⃗·b ⃗⃗=2|a ⃗⃗||b ⃗⃗|=4，2b ⃗⃗·c ⃗⃗=2|b ⃗⃗||c ⃗⃗|=12，2a ⃗⃗·c ⃗⃗=2|a ⃗⃗||c ⃗⃗|=6，则|a ⃗⃗+b ⃗⃗+c ⃗⃗=√(a ⃗⃗+b ⃗⃗+c ⃗⃗)2=√a ⃗⃗2+b ⃗⃗2+c ⃗⃗2+2a ⃗⃗·b ⃗⃗+2b ⃗⃗·c ⃗⃗+2a ⃗⃗·c ⃗⃗=√1+4+9+4+12+6=6，故选项D 正确；当夹角为120°时，2a ⃗⃗·b ⃗⃗=2|a ⃗⃗||b ⃗⃗|cos120°=−2，2b ⃗⃗·c ⃗⃗=2|b ⃗⃗||c ⃗⃗|cos120°=−6，2a ⃗⃗·c ⃗⃗=2|a ⃗⃗||c ⃗⃗|=−3，则|a ⃗⃗+b ⃗⃗+c ⃗⃗|=√(a ⃗⃗+b ⃗⃗+c ⃗⃗)2=√a ⃗⃗2+b ⃗⃗2+c ⃗⃗2+2a ⃗⃗·b ⃗⃗+2b ⃗⃗·c ⃗⃗+2a ⃗⃗·c ⃗⃗=√1+4+9−2−6−3=√3，故选项A 正确．故选：AD ．例5.【解析】∵(a ⃗⃗−b ⃗⃗)⊥(3a ⃗⃗+2b ⃗⃗)，∴(a ⃗⃗−b ⃗⃗)?(3a ⃗⃗+2b ⃗⃗)=0，即3a ⃗⃗2−2b ⃗⃗2−a ⃗⃗?b ⃗⃗=0，即a ⃗⃗?b ⃗⃗=3a ⃗⃗2−2b ⃗⃗2=23b ⃗⃗2，∴cos <a ⃗⃗，b ⃗⃗>=a⃗⃗?b ⃗⃗|a ⃗⃗||b⃗⃗|=23b ⃗⃗22√23b ⃗2=√22，即<a ⃗⃗，b ⃗⃗>=π4，故选：A ．练2-3.【解析】根据题意，因为AB =3，AD =2，AP ⃗⃗⃗⃗⃗⃗=13AB ⃗⃗⃗⃗⃗⃗，AQ ⃗⃗⃗⃗⃗⃗=12AD ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗，所以CP ⃗⃗⃗⃗⃗⃗CQ ⃗⃗⃗⃗⃗⃗=(CB ⃗⃗⃗⃗⃗⃗+BP ⃗⃗⃗⃗⃗⃗)·(CD ⃗⃗⃗⃗⃗⃗+DQ ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗)=(DA ⃗⃗⃗⃗⃗⃗−23DC ⃗⃗⃗⃗⃗⃗)·(−DC ⃗⃗⃗⃗⃗⃗+12DA ⃗⃗⃗⃗⃗⃗) =23DC ⃗⃗⃗⃗⃗⃗2+12DA ⃗⃗⃗⃗⃗⃗2−43DC ⃗⃗⃗⃗⃗⃗?DA ⃗⃗⃗⃗⃗⃗=12，所以DC ⃗⃗⃗⃗⃗⃗DA ⃗⃗⃗⃗⃗⃗=−3，即|DC ⃗⃗⃗⃗⃗⃗||DA ⃗⃗⃗⃗⃗⃗|cos∠ADC =−3，即cos∠ADC =−12，又∠ADC ∈(0,π)，所以∠ADC =2π3．故答案选：C ．练2-4. 【解析】∵|a ⃗⃗+b ⃗⃗|=|a ⃗⃗−b ⃗⃗|，∴(a ⃗⃗+b ⃗⃗)2=(a ⃗⃗−b ⃗⃗)2?a ⃗⃗?b ⃗⃗=0，又∵|a ⃗⃗+b|=2√33|a ⃗⃗|，∴(a ⃗⃗+b ⃗⃗)2=43a ⃗⃗2?|b ⃗⃗|=√33|a ⃗⃗|，∴(a ⃗⃗+b ⃗⃗)?a ⃗⃗=a ⃗⃗2+a ⃗⃗·b ⃗⃗=a ⃗⃗2，∴cos <a ⃗⃗+b ⃗⃗,a ⃗⃗>=(a ⃗⃗+b ⃗⃗)·a ⃗⃗|a ⃗⃗+b ⃗⃗|·|a ⃗⃗|=22√33|=√32，故向量a ⃗⃗+b ⃗⃗与a ⃗⃗的夹角为π6．故答案选：D ．例6.【解析】∵|a ⃗⃗|=1，|b ⃗⃗|=2，a ⃗⃗与b ⃗⃗的夹角为60°，∴a ⃗⃗·b ⃗⃗=|a ⃗⃗|·|b⃗⃗|·cos60°=1 ∵(3a ⃗⃗+5b ⃗⃗)⊥(m a ⃗⃗−b ⃗⃗)，∴(3a ⃗⃗+5b ⃗⃗)?(m a ⃗⃗−b ⃗⃗)=3m |a ⃗⃗|2+(5m −3)·a ⃗⃗·b ⃗⃗−5|b⃗⃗|2=3m +(5m −3)−20=0；∴m =238．故答案为：238．练2-5.【解析】已知向量a ⃗⃗与b ⃗⃗的夹角是π3，且|a ⃗⃗|=1，|b ⃗⃗|=4，则：a ⃗⃗?b ⃗⃗=|a ⃗⃗||b ⃗⃗|cos π3=2，已知：(3a ⃗⃗+λb ⃗⃗)⊥a ⃗⃗，则：(3a ⃗⃗+λb ⃗⃗)?a ⃗⃗=0，即：3a ⃗⃗2+λa ⃗⃗?b ⃗⃗=0，解得：λ=−32，故选：A ．练2-6.【解析】∵a ⃗⃗+3b ⃗⃗与7a ⃗⃗−5b ⃗⃗垂直，∴(a ⃗⃗+3b ⃗⃗)?(7a ⃗⃗−5b ⃗⃗)=7a ⃗⃗2−15b ⃗⃗2+16a ⃗⃗?b ⃗⃗=0①，又∵a ⃗⃗−4b ⃗⃗与7a ⃗⃗−2b ⃗⃗垂直，∴(a ⃗⃗−4b ⃗⃗)?(7a ⃗⃗−2b ⃗⃗)=7a ⃗⃗2+8b ⃗⃗2−30a ⃗⃗?b ⃗⃗=0②，由①②得a ⃗⃗2=b ⃗⃗2=2a ⃗⃗?b ⃗⃗,又由cosθ=a⃗⃗?b ⃗⃗|a ⃗⃗|?|b⃗⃗|，易得：cosθ=12，则θ=60°，故答案为：60°例7.【解析】根据题意，直角三角形ABC 中，∠A =90°，设AD 为斜边BC 上的高，又由AB =2，AC =4，则AD =√4+16=4√55，连接PA ，则圆A 的半径r =|PA⃗⃗⃗⃗⃗⃗|=4√55，则PB ⃗⃗⃗⃗⃗⃗PC ⃗⃗⃗⃗⃗⃗=(PA ⃗⃗⃗⃗⃗⃗+AB ⃗⃗⃗⃗⃗⃗)?(PA ⃗⃗⃗⃗⃗⃗+AC ⃗⃗⃗⃗⃗⃗)=PA ⃗⃗⃗⃗⃗⃗2+PA ⃗⃗⃗⃗⃗⃗?(AB ⃗⃗⃗⃗⃗⃗+AC ⃗⃗⃗⃗⃗⃗)=165+PA ⃗⃗⃗⃗⃗⃗?(AB ⃗⃗⃗⃗⃗⃗+AC⃗⃗⃗⃗⃗⃗)，当PA ⃗⃗⃗⃗⃗⃗与(AB ⃗⃗⃗⃗⃗⃗+AC ⃗⃗⃗⃗⃗⃗)同向时，PA ⃗⃗⃗⃗⃗⃗?(AB ⃗⃗⃗⃗⃗⃗+AC ⃗⃗⃗⃗⃗⃗)取得最大值，此时|PA⃗⃗⃗⃗⃗⃗|=4√55，|AB ⃗⃗⃗⃗⃗⃗+AC⃗⃗⃗⃗⃗⃗|=√4+16=2√5，则PA ⃗⃗⃗⃗⃗⃗(AB ⃗⃗⃗⃗⃗⃗+AC ⃗⃗⃗⃗⃗⃗)的最大值为4√55×2√5=8，故PB ⃗⃗⃗⃗⃗⃗?PC⃗⃗⃗⃗⃗⃗的最大值为165+8=565，故选：D ．练3-1.【解析】如图，以B 为坐标原点，?BC 所在的直线为?x 轴，过点B 且垂直与BC 的直线为y 轴，建立平面直角坐标系，因为AD//BC ，∠B =π3，AB =2，AD =1，所以D(2,√3)，不妨设P (x,0)，Q (x +1,0)(0≤x ≤3)，则DP ⃗⃗⃗⃗⃗⃗DQ ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗=(x −2,−√3)?(x −1,−√3) =(x −2)(x −1)+3=x 2−3x +5=(x −32)2+114，由二次函数性质得当x =32时，DP ⃗⃗⃗⃗⃗⃗DQ ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗取得最小值114．故选D.练3-2.【解析】由b(tanA +tanB)=2ctanB ，得sinB (sinAcosA +sinBcosB )=2sinC ·sinBcosB ，整理得sinAcosB +cosAsinB =2sinCcosA ，即sin(A +B)=2sinCcosA ，又sin(A +B)=sinC ，所以cosA =12，由AB ⃗⃗⃗⃗⃗⃗AC ⃗⃗⃗⃗⃗⃗=2,得AB ⃗⃗⃗⃗⃗⃗?AC⃗⃗⃗⃗⃗⃗=bccosA =2,所以bc =4，又AG ⃗⃗⃗⃗⃗⃗=13(AB ⃗⃗⃗⃗⃗⃗+AC⃗⃗⃗⃗⃗⃗)，所以|AG ⃗⃗⃗⃗⃗⃗|=13√(AB ⃗⃗⃗⃗⃗⃗+AC ⃗⃗⃗⃗⃗⃗)2=13√b 2+c 2+2×2≥13√2bc +4=√123=2√33, 当且仅当b =c 时，等号成立，所以|AG ⃗⃗⃗⃗⃗⃗|的最小值为2√33．【素养提升】例8.【解析】 (1)由勾股定理知，AB =√AB 2+AC 2=10；解法一(坐标法)：建立平面直角坐标系，如图所示：则A(0,0)，B(0,8)，C(6,0)，BC 的中点D(3,4)，所以AD ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗=(3,4)，CB ⃗⃗⃗⃗⃗⃗=(−6,8)，所以AD ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗CB⃗⃗⃗⃗⃗⃗=3×(−6)+4×8=14；解法二(基向量法)：AD ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗CB ⃗⃗⃗⃗⃗⃗=12(AB ⃗⃗⃗⃗⃗⃗+AC ⃗⃗⃗⃗⃗⃗)?(AB ⃗⃗⃗⃗⃗⃗−AC ⃗⃗⃗⃗⃗⃗)=12(AB ⃗⃗⃗⃗⃗⃗2−AC ⃗⃗⃗⃗⃗⃗2)=12×(82−62)=14；解法三(定义法)：AD ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗?CB ⃗⃗⃗⃗⃗⃗=2AD ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗?CD ⃗⃗⃗⃗⃗⃗=2×|AD ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗|×|CD ⃗⃗⃗⃗⃗⃗|×cos2B =2×5×5×(2cos 2B −1)=50×[2×(45)2−1]=14；(2)由题意，点P 在AC 上，解法一(极化恒等式)：PB ⃗⃗⃗⃗⃗⃗PC⃗⃗⃗⃗⃗⃗=(PB ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗+PC ⃗⃗⃗⃗⃗⃗)2−(PB ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗−PC ⃗⃗⃗⃗⃗⃗)24=PD⃗⃗⃗⃗⃗⃗2−CB ⃗⃗⃗⃗⃗⃗24=PD⃗⃗⃗⃗⃗⃗2−25，所以当PD ⊥CA 时，此时|PB⃗⃗⃗⃗⃗⃗|=4， PB⃗⃗⃗⃗⃗⃗?PC ⃗⃗⃗⃗⃗⃗取到最小值，即(PB ⃗⃗⃗⃗⃗⃗?PC ⃗⃗⃗⃗⃗⃗)min =−9；解法二(坐标法)：设P(x,0)，则PB ⃗⃗⃗⃗⃗⃗PC ⃗⃗⃗⃗⃗⃗=(−x,8)?(6−x,0)=(x −3)2−9，所以PB ⃗⃗⃗⃗⃗⃗?PC ⃗⃗⃗⃗⃗⃗的最小值是−9； (3)解法一(坐标法)：以AC ，AB 为x ，y 轴建立坐标系，则∠BAC 的角平分线方程为y =x ，可以设P(a,a)，则PA ⃗⃗⃗⃗⃗⃗=m PB ⃗⃗⃗⃗⃗⃗+n PC ⃗⃗⃗⃗⃗⃗可以表示为(−a,−a)=m(−a,8−a)+n(6−a,−a)=(−am +6n −an,8m −am −an)，所以(m +n −1)a =8m =6n ，m =34n ，|PA ⃗⃗⃗⃗⃗⃗|=√2|a|=√2|24n7n−4|=√2|247−4n|，当1≤n ≤2时，|PA ⃗⃗⃗⃗⃗⃗|的取值范围是[245√2,8√2]．解法二(几何法)：由已知得(1−m −n)PA ⃗⃗⃗⃗⃗⃗=m AB ⃗⃗⃗⃗⃗⃗+n AC ⃗⃗⃗⃗⃗⃗，则有{(1−m −n)PA ⃗⃗⃗⃗⃗⃗?AB ⃗⃗⃗⃗⃗⃗=m AB ⃗⃗⃗⃗⃗⃗2+n AC ⃗⃗⃗⃗⃗⃗?AB ⃗⃗⃗⃗⃗⃗(1−m −n)PA ⃗⃗⃗⃗⃗⃗?AC ⃗⃗⃗⃗⃗⃗=m AC ⃗⃗⃗⃗⃗⃗?AB ⃗⃗⃗⃗⃗⃗+n AC⃗⃗⃗⃗⃗⃗2，即{(1−m −n)PA ⃗⃗⃗⃗⃗⃗?AB ⃗⃗⃗⃗⃗⃗=64m ①(1−m −n)PA ⃗⃗⃗⃗⃗⃗?AC⃗⃗⃗⃗⃗⃗=36n ②；由①÷②得86=64m 36n，所以m =34n ，所以PA⃗⃗⃗⃗⃗⃗=mAB ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗+nAC ⃗⃗⃗⃗⃗⃗1−m−n=3nAB⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗+4nAC ⃗⃗⃗⃗⃗⃗4−7n，所以|PA ⃗⃗⃗⃗⃗⃗|=|24√2n (4−7n)|∈[24√25,8√2]．? 练4-1.【解析】由题意可得AB =√32+32=3√2，又因为AB ⃗⃗⃗⃗⃗⃗=3BC ⃗⃗⃗⃗⃗⃗，则BC =√2，所以AC =4√2，取AC 的中点M ，则PA ⃗⃗⃗⃗⃗⃗+PC ⃗⃗⃗⃗⃗⃗=2PM ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗，PC ⃗⃗⃗⃗⃗⃗−PA ⃗⃗⃗⃗⃗⃗=AC ⃗⃗⃗⃗⃗⃗，两式平方后作差得PC⃗⃗⃗⃗⃗⃗PA ⃗⃗⃗⃗⃗⃗=PM ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗2−14AC ⃗⃗⃗⃗⃗⃗2=PM ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗2−8，要使PC ⃗⃗⃗⃗⃗⃗PA⃗⃗⃗⃗⃗⃗最小，就要使PM 最小，易知当圆弧AB 的圆心与点P ，M 三点共线时，PM 最小，设AB 的中点为D ，圆心为O ，连接OD 和OM ，此时DM =AM −AD =2√2−3√22=√22，在△ODM 中，OM =√OD 2+DM 2=(3√22)(√22)=√5，所以PM 的最小值为3−√5，代入求得PC ⃗⃗⃗⃗⃗⃗PA ⃗⃗⃗⃗⃗⃗最小值为6−6√5．故答案选：D ．练4-2.【解析】 (1)由极化恒等式知，AB ⃗⃗⃗⃗⃗⃗?AC ⃗⃗⃗⃗⃗⃗=14[(AB ⃗⃗⃗⃗⃗⃗+AC ⃗⃗⃗⃗⃗⃗)2−(AB ⃗⃗⃗⃗⃗⃗−AC ⃗⃗⃗⃗⃗⃗)2]=(AB ⃗⃗⃗⃗⃗⃗+AC ⃗⃗⃗⃗⃗⃗2)2−BC ⃗⃗⃗⃗⃗⃗24=AD ⃗⃗⃗⃗⃗⃗2−BC ⃗⃗⃗⃗⃗⃗24=9−94=274；(2)设|AD ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗|=3m >0，|BC ⃗⃗⃗⃗⃗⃗|=2n >0，由极化恒等式知，AB⃗⃗⃗⃗⃗⃗AC ⃗⃗⃗⃗⃗⃗=AD ⃗⃗⃗⃗⃗⃗2−BC ⃗⃗⃗⃗⃗⃗24，FB⃗⃗⃗⃗⃗⃗?FC ⃗⃗⃗⃗⃗⃗=AD ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗29−BC ⃗⃗⃗⃗⃗⃗24，EB ⃗⃗⃗⃗⃗⃗?EC ⃗⃗⃗⃗⃗⃗=4AD ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗29−BC ⃗⃗⃗⃗⃗⃗24，又AB⃗⃗⃗⃗⃗⃗AC ⃗⃗⃗⃗⃗⃗=27，FB ⃗⃗⃗⃗⃗⃗?FC ⃗⃗⃗⃗⃗⃗=−5， ∴有{9m 2−n 2=27m 2−n 2=−5，解得m =2，n =3，∴EB ⃗⃗⃗⃗⃗⃗EC ⃗⃗⃗⃗⃗⃗=4m 2−n 2=7．? 【易错点归纳】例9.【解析】因为OA⃗⃗⃗⃗⃗⃗i ·OB ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗=OA ⃗⃗⃗⃗⃗⃗·OB ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗，所以OA ⃗⃗⃗⃗⃗⃗i ·OB ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗−OA ⃗⃗⃗⃗⃗⃗·OB ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗=(OA ⃗⃗⃗⃗⃗⃗i −OA ⃗⃗⃗⃗⃗⃗)·OB ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗=0，所以AA i ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗·OB ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗=0，故选项B 正确；即|OA i ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗|?|OB ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗|?cos∠A i OB =|OA ⃗⃗⃗⃗⃗⃗|?|OB ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗|?cos∠AOB ，所以|OA i ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗|?cos∠A i OB =|OA ⃗⃗⃗⃗⃗⃗|?cos∠AOB ，则向量OA ⃗⃗⃗⃗⃗⃗、OA ⃗⃗⃗⃗⃗⃗i 在向量OB⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗方向上的投影数量相等，又AA i ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗·OB ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗=0，所以点A 、A i 在同一条垂直于直线OB 的直线上，故A 选项错误，选项C 正确，选项D 正确．故选：BCD ．例10.【解析】根据题意，设向量a ⃗⃗与b ⃗⃗的夹角为θ，若b ⃗⃗⊥(4a ⃗⃗−b ⃗⃗)，则b ⃗⃗(4a ⃗⃗−b ⃗⃗)=4a ⃗⃗?b ⃗⃗−b ⃗⃗2=4|a ⃗⃗||b ⃗⃗|cosθ−|b ⃗⃗|2=16√2cosθ−16=0，变形可得：cosθ=√22，又由0≤θ≤π，则θ=π4，故选：B ．例11.【解析】对于A ，a ⃗⃗?c ⃗⃗=b ⃗⃗c ⃗⃗?(a ⃗⃗−b ⃗⃗)?c ⃗⃗=0，不一定有a ⃗⃗=b ⃗⃗?，故A 不正确；对于B ，利用向量数量积的运算性质可得：(a ⃗⃗+b ⃗⃗)?c ⃗⃗=a ⃗⃗?c ⃗⃗+b ⃗⃗?c ⃗⃗?，故B 正确；对于C ，若a ⃗⃗2=b ⃗⃗2，则|a ⃗⃗|=|b ⃗⃗|，但当a ⃗⃗，b ⃗⃗与c ⃗⃗的夹角不相等时，a ⃗⃗?c ⃗⃗≠b ⃗⃗?c ⃗⃗，故C 不正确；对于D ，a ⃗⃗?b ⃗⃗与b ⃗⃗c ⃗⃗都为实数，而a ⃗⃗与c ⃗⃗不一定共线，因此(a ⃗⃗?b ⃗⃗)?c ⃗⃗≠(b ⃗⃗?c ⃗⃗)?a ⃗⃗.故D 不正确．故选：ACD ．例12.【解析】向量a ⃗⃗=(−1,2)，b ⃗⃗=(1,m)，A .若a ⃗⃗与b ⃗⃗垂直，则(−1)×1+2×m =0，解得m =12，故A 正确；B .若a ⃗⃗?//b ⃗⃗，则(−1)×m −2×1=0，解得m =−2，故B 正确；C .若|a ⃗⃗|=|b ⃗⃗|，则√5=√1+m 2，所以m =±2，故C 错误；D .若m =3，则b ⃗⃗=(1,3)，则a ⃗⃗·b ⃗⃗=1×(−1)+2×3=5，|a ⃗⃗|=√5，|b⃗⃗|=√10，所以cos <a ⃗⃗,b ⃗⃗>=a⃗⃗·b ⃗⃗⃗⃗|a ⃗⃗||b ⃗⃗|=√5×√10=√22，又<a ⃗⃗,b⃗⃗>∈[0,180°]，所以a ⃗⃗与b ⃗⃗的夹角为45°?，故D 正确．故选：ABD ．。

人教版B版高中数学必修4：平面向量的数量积_课件4(1)

|�� ||�� |
=
�� ·�� |�� |
=
(2,1)·(5,5) 52 +52
=
3 2.
2
故选 A.
关闭
A
4.若向量 a,b 满足|a|=1,|b|=2 且 a 与 b 的夹角为π3,则|a+b|= ∵|a+b|2=(a+b)2=a2+2a·b+b2=12+2×1×2×cosπ+22=7.
-16-
方法提炼平面向量的考查经常有两种:一是考查加减法,平行四边形法则和三角形法则,平面向量共线定理;二是考查数量积,此时注意应用平面向量基本定理,选择恰当的基底,以简化运算过程.坐标形式时,运算要准确.
-17-
提醒:向量数量积与实数相关概念的区别: 1.表示方法的区别数量积的记号是 a·b,不能写成 a×b,也不能写成 ab. 2.相关概念及运算的区别 (1)若 a,b 为实数,且 ab=0,则有 a=0 或 b=0,但 a·b=0 却不能得出 a=0 或 b=0. (2)若 a,b,c∈R,则 a(bc)=(ab)c(结合律)成立,但对于向量 a,b,c,而(a·b)c 与 a(b·c)一般是不相等的,向量的数量积是不满足结合律的. (3)若 a,b∈R,则|a·b|=|a|·|b|,但对于向量 a,b,却有|a·b|≤|a||b|,等号当且仅当 a∥b 时成立.
答案:不是,b 在 a 上的投影是一个数量|b|cos<a,b>,它可以为正, 可以为负,也可以为 0.
5-5-
(2)向量数量积的运算律
①a·b= b·a (交换律) ②(a+b)·c= a·c+b·c (分配律) ③(λa)·b= λ(a·b) =a·(λb)(数乘结合律).

高中数学 2.4.3 平面向量的数量积(第3课时)课件新人教A版必修4

2.4.3平面向量的数量积
第三课时坐标运算
本节课的主要内容是平面向量数量积的定义及几何意义、平面向量数量积的5个重要性质。平面向量数量积是本章最重要的内容，一是这部分知识本身就十分重要，二是因为它应用广泛，在处理长度、角度、垂直关系中，都离不开模的计算、夹角余弦值的计算等，特别是在处理几何有关垂直的问题时，显得更为简捷巧妙，是用数来解决形的问题的最好实例。
=74
a = 74
思考：在求 a 问题中，能否推广到一般情况？
二、向量的模和两点间距离公式:
设a =(x，y),则 |a|2= x2 y2 或|a |= ___x2__y2__
思考：知道向量的起点和终点坐标，如何表示 a
若设A(x1,y1)、B(x2,y2),则 |AB|= __x_2 _x_12__ y_2__y1_2
平面内两点间的距离公式
三、向量垂直和平行的坐标表示:
设两个非零向量a ( x1, y1 ), b ( x2 , y2 ), 则
a/b/x1y2x2y10
a⊥b a·b=0 x1x2+y1y2=0
ab x1x2y1y20
例题 3 . 已知 a = 1 ,-2 ,b = 2 ,0 ,求同时满足
a b
(4)cos __a_b______
3.平面向量的表示方法有几何法和坐标法，向量的坐标表示，对向量的加、减、数乘运算带来了很大
的方便.若已知向量 a 与 b 的坐标，则其数量积是
唯一确定的，因此，如何用坐标表示向量的数量积就成为我们需要研究的课题.
一、平面向量数量积的坐标表示
如图，i 是x轴上的单位向量，j 是y轴上的单位向量，

高中数学第二章平面向量2-4平面向量的数量积第2课时教学课件新人教A版必修4

(1)字母表示下的运算．利用|a|2＝a2，将向量的模的运算转化为向量与向量的数量积的问题．
(2)坐标表示下的运算．
若 a＝(x，y)，则 a·a＝a2＝|a|2＝x2＋y2，于是有|a|＝ x2＋y2.
【互动探究】本例中将“a∥b”改为“a·b＝10”，求a的坐标．解：设 a 的坐标为(x，y)，由题意得x＋x22＋y＝y2＝101，0，
1．已知向量a与b同向，b＝(1,2)，a·b＝10，求：
(1)向量a的坐标； (2)若c＝(2，－1)，求(a·c)·b.
解：(1)∵a与b同向，且b＝(1,2)， ∴a＝λb＝(λ，2λ)(λ＞0)．又∵a·b＝10，∴λ＋4λ＝10.∴λ＝2.∴a＝ (2,4)． (2)∵a·c＝2×2＋(－1)×4＝0，
与向量模有关的问题
已知|a|＝10，b＝(1,2)，且a∥b，求a 的坐标．
思路点拨：
解：设 a 的坐标为(x，y)，由题意得2xx－2＋y＝y2＝0，10，解得
x＝2 y＝4
5， 5
或xy＝＝－－24
5， 5，
所以 a＝(2 5，4 5)或 a＝(－2 5，－4 5)．
求向量的模的两种基本策略
思路点拨：(1)按求向量夹角的步骤求解； (2)利用两向量垂直数量积为零来证明．
(1)解：由题意知，|a|＝1，|b|＝1，a·b＝－12cos
α＋
3 2 sin
α.
则
cos
θ
＝ |aa|·|bb|
＝
－12cos α＋ 1×1
3 2＋
3 2 sin
α＝
cos(120°－α)． ∵0°≤α≤90°，∴30°≤120°－α≤120°.
(3)(a·b)·c. 思路点拨：首先求解相关向量的坐标，再代入坐标运算表达式求解．

高中数学人教A版必修4PPT课件：平面向量的数量积

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面向量数量积的坐标表示
4. 若a＝(x1，y1),b＝(x2，y2),则a·b＝x1x2＋y1y2 ，这就是平面向量数量积的坐标表示.你能用文字描述这一结论吗？
两个向量的数量积等于它们对应坐标的乘积的和.
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面向量数量积的坐标表示
5. 如何利用数量积的坐标表示证明 (a＋b)·c＝a·c＋b·c？
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平面向量数量积的运算性质
2. 当a与b同向时，a·b等于什么？当a与b反向时，a·b等于什么？特别地，a·a等于什么？
当a与b同向时，a·b＝|a||b|；当a与b反向时，a·b＝－|a||b|； a·a＝a2＝|a|2 或 |a|＝ a a .
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2. 实数的运算性质与向量的运算性质不完全一致，应用时不要似是而非.
3. 利用︱a︱＝ a可 a以求向量的模，在字符运算中是一种常用方法.
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小结
4. 利用向量的数量积可以解决有关平行、垂直、夹角、距离、不等式等问题，它是一个工具性知识点，具有很强的功能作用.
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高中数学人教A版必修4PPT课件：平面向量的数量积
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平面向量数量积的背景与含义
7. 对于两个非零向量a与b，设其夹角为 θ，|a|cosθ叫做向量a在b方向上的投影.那么该投影一定是正数吗？向量b在a方向上的投影是什么？

高中数学人教A版必修4平面向量数量积课件

当a与b异向时，a•b=_-_│_a_│__│__b_│__
a•a=___a_2____
(4) │ a•b │___ │a││b│
(5)cos ＝ a b
__a_b___
性质4
高中数学人教A版必修4 平面向量数量积课件
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6、反馈练习:判断正误
（1）若a=0，则对任意向量b，有a•b=0 （ √ ）
（4）
(1)中 OA与 OB的夹角为 00（2）中OA与OB的夹角为 1800 （3)中OA与 OB的夹角为 AOB（4）中 AO与OB的夹角为θ
（当 0 时，a与b＿同＿向；当 180 时，a与b＿反＿向；
当 90 时，a与b＿垂＿直，记作 a b ）
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(2)若a 0，则对任意非零向量b，有a• b 0
× 向量的数量积是向量之间的一种
乘法，与数的乘法是有区别的
(
)
（3）若a 0，且a•b=0，则b=0
（ ×）
（4）若a•b=0 ，则a=0或b=0
（ ×）
（5）对任意向量a有 a²=|a|² （
（√ ）
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5、向量数量积的性质
a•b=│a│b│COSθ
设a,b都是非零向量，e是与b的方向相同的单
位向量，θ是a与e的夹角，则ห้องสมุดไป่ตู้
(1)e•a=a•e=│__a_│__CO_S_θ__
(2)a b____a•b=0
(3)当a与b同向时，a•b=│__a_│__│_b_│_

高中数学第二章平面向量2.4.1平面向量数量积的物理背景及其含义课件新人教A版必修4

向量的数量积
定义
已知两个非零向量 a 与 b，我们把数量_|a_||_b_|c_o_s__θ叫作 a 与 b 的数量积，记作_a_·_b_，即 a·b＝_|a_||_b_|c_o_s__θ，其中 θ 是 a 与 b 的夹角．零向量与任一向量的数量积为__0__.
几何意义
|a|cos θ(|b|cos θ)叫做向量 a 在 b 方向上(b 在 a 方向上)的 __投__影__．a·b 的几何意义：数量积 a·b 等于 a 的长度|a|与 b 在 a 的方向上的投影|b|cos θ 的_乘__积___
为________，b 在 a 方向上的投影为________．
【解析】 (1)设B→A＝a，B→C＝b，则 a·b＝12，|a|＝|b|＝1.D→E＝12 A→C＝12(b－a)，D→F＝32D→E＝34(b－a)，A→F＝A→D＋D→F＝－12a＋34(b－a) ＝－54a＋34b，A→F·B→C＝－54a·b＋34b2＝－58＋34＝18.答Leabharlann ：(1)π3 (2)见解析性质
(1)a⊥b⇔___a_·_b___＝0； (2)当 a 与 b 同向时，a·b＝_|a_|_|b_|；当 a 与 b 反向时，a·b＝__－__|a_||_b_|_； (3)a·a＝|a|2 或|a|＝ a·a＝ a2；
a·b (4)cos θ＝__|_a_|·_|b_|__； (5)|a·b|≤|a||b|
考试标准
课标要点
学考要求高考要求
平面向量数量积的概念及其物理意义
b
b
平面向量投影的概念
a
a
平面向量数量积的性质及运算律
b
b
知识导图
学法指导 1.本节的重点是平面向量数量积的概念、向量的模及夹角的表示，难点是平面向量数量积运算律的理解及平面向量数量积的应用． 2．向量的数量积与数的乘法既有区别又有联系，学习时注意对比，明确数的乘法中成立的结论在向量的数量积中是否成立.