(完整word版)必修四平面向量的数量积讲义

2.3 平面向量的数量积

一、平面向量数量积

1、定义：已知两个非零向量a 与b ，它们的夹角为θ，则数量｜a ｜×｜b ｜×cos θ叫

做与的数量积(或内积)，记作·，即·＝｜｜×｜｜×cos θ。

注意：（1）两向量的数量积，其结果是个数量．．．．．．．．．．．．．．．

，而不是向量，它的值为两向量的模与两向量夹角的余弦的乘积，其符号由夹角的余弦值决定．．．．．．．．．．．；．（2）两个向量的数量积是两个向量之间的一种乘法，与以前学过的数的乘法不同，“·． ”不能省略，也不能也成“×”．．．．．．．．．．．．．．

；（3）在运用数量积公式时，一定要注意两个向量夹角的范围：．．．．．．．．．．．．0．0．≤．θ≤．180．．．0．。．（4）规定：．．．零向量与任．．．．．

一向量的数量积为．．．．．．．．0．，即．．0·b ＝．0．；（5）当向量a 与b 的夹角为900

时，叫a 与b 互相垂直，记作：a ⊥b ，此时：a ⊥b ⇔a ·b ＝0。

2、平面向量数量积的几何意义：（1）对于·＝｜｜×｜｜×cos θ，其

中｜｜×cos θ叫做在方向上的投影，当θ为锐角时，投影为正；当θ为钝角时，投影为负；当θ就直角时，投影为0； 当θ为0度时，投影是｜｜； 当θ为180度时，投影为－｜｜；（2）．在．方向上的投影．．．．．．与

．在

．方向上的投影就不同的．．．．．．．．．．；（3））在方向。

例1：已知｜｜＝2，｜｜＝5，当（1）与夹角为300

时；（2）当⊥时；（3）当当a ∥b 时；分别计算a 与b 的数量积。 【解析】：（1）53； （2）0； （3）±10

变式练习1：已知｜｜＝3，｜｜＝5，且与的夹角为450，则在方向上的投影

是（ ） A ：

2

2

3 B ：3 C ：

4 D ：

5 【解析】：A

变式练习2：已知｜｜＝6，｜｜＝3，且·＝－12，则在方向上的投影是（）

A：－4 B：－2 C：4 D：2

【解析】：A

二、平面向量数量积的性质

若与是非零向量，是与方向相同的单位向量，θ是与的夹角1、·＝·＝｜｜×｜｜×cosθ2、⊥⇔·＝0

3、若与同向，则·＝｜｜×｜｜( 夹角为0度)；若反向，则·

＝－｜｜×｜｜( 夹角为180度)；

特别地，·＝()2＝｜｜2或｜

｜＝

4、若θ是a与b的夹角，则cosθ

＝

5、｜·｜≤｜｜×｜｜（当与共线时取等号）

三、平面向量数量积的运算律

1、·＝·

2、(λ)·＝λ(·)＝·(λ)

3、(a＋b)·c＝a·c＋b·c

4、(a＋b)·(a－b)＝(a)2－(b)2＝｜a｜2－｜b｜2

5、(＋)2＝｜｜2＋2×·＋｜｜2

注意：（1）没有(·)·＝·(·)这个运算定律；（2）·＝·，则不能得到a＝b；（3）若a·b＝0，则a＝0或b＝0或＝900。

例2：下列说法正确的个数_______。

（1）两个向量的数量积是一个向量；（2）向量在另一个向量方向上的投影也是向量；（3）若a·b＞0，则a与b的夹角为锐角，若a·b＜0，则a与b的夹角为钝角；（4）(a·b)·c ＝·(·)；（5）若·＝0，则＝或＝。

【解析】：0个

例3：已知与的夹角为1200

，且｜｜＝4，｜｜＝2，则计算(－2)·(＋)＝________，｜＋｜＝________。 【解析】：12 23

例4：已知⊥，｜｜＝4，则·＝_______。 【解析】：16

变式练习1：已知｜｜＝1，·＝21，(－)·(＋)＝2

1

，求（1）与的夹

角；（2）a －b 与a ＋b 的夹角的余弦值。

【解析】：450，︱－︱2＝21，︱＋︱2＝25，cos θ＝

2

5

2121

⨯＝55。 变式练习2：已知向量、的夹角为600，且｜｜＝2，｜｜＝1，则向量与向量＋2的夹角等于（ ）

A ：1500

B ：900

C ：600

D ：300

【解析】：cos θ

＝30

可用数形结合法，构成的四边形为菱形

变式练习3：已知向量与向量满足，｜｜＝6，｜｜＝4，且与的夹角为600，

求｜＋｜与｜－3｜。

【解析】：｜＋｜＝219，｜－3｜＝63

变式练习4：设四边形ABCD 为平行四边形，｜｜＝6，｜AD ｜＝4，若点M ，N 满

足BM ＝3MC ，DN ＝2NC ，则AM ·NM ＝（ ）

A ：20

B ：15

C ：9

D ：6

解析】这个地方四边形ABCD 为平行四边形，可赋予此四边形为矩形，进而以A 为坐标原点建立坐标系。由0,06,34,4A （），M （）N （），进而(6,3)AM = ，(2,1)NM =-，⋅=9AM NM 。

变式练习5：已知向量与向量是两个互相垂直的单位向量，若向量满足(－)·(－)＝0，则｜｜的最大值是（ ） A ：1 B ：2 C ：2 D ：

2

2

【解析】：(－)·(－)＝·－·－·－2

＝0，则2

＝·(＋)，则4

≤[·(＋)]2

＝2

×(2

＋2·＋2

)＝22

故2

≤2。 C

四、平面向量数量积的坐标表示、模、夹角

设i ，为x 轴、y 轴方向的两个单位向量，即i ＝(1，0)，＝(0，1)，且与为两个非零向量，＝(x 1，y 1)，＝(x 2，y 2)

1、·＝1 ·＝1 ·＝0 a ·b ＝x 1×x 2＋y 1×y 2

2、若＝(x ，y)，则｜｜2＝22y x +或｜｜＝2

2y x +。

若A ＝(x 1，y 1)，B ＝(x 2，y 2)，则｜｜＝2

122

12)()(y y x x -+-

3、若＝(x 1，y 1)，＝(x 2，y 2)，则⊥⇔·＝0⇔ x 1×x 2＋y 1×y 2＝0