圆心角.ppt
合集下载
圆心角弧弦弦心距之间的关系PPT教学课件
课前阅读识记——了解文学常识
张孝祥 (1132- 1170),南宋著名词人。 字安国, 号于湖居士。 乌江 (今安徽和县乌江 镇)人。 他的词风格豪 迈,多感怀时事之作。 有《于湖词》存世。
课前阅读识记——了解文学常识
辛弃疾(1140- 1207),字幼安,号稼 轩, 历城(今山东济 南)人。 南宋词人, 词属豪放派,有《稼 轩长短句》。
但是,从另一方面看,苏轼毕竟是苏轼,他生 性旷达洒脱,并没有真的消极,“大江东去, 浪淘尽、千古风流人物”。所有的风流人物都 已经随着历史的潮水而被涤荡了,即使周瑜这 样的人物不也是“浪淘尽”了吗?人生就如同 梦境一般,何必过于执着呢? 不如意事十之 八九,还是“一尊还酹江月”吧。
课堂读写探究——重点突破
⑨巷陌. ( mò ) ⑩佛.狸祠 ( bì )
课前阅读识记——夯实基础知识
(2)准确识记下列多音字的读音
劲劲劲..头敌
jìn jìnɡ
课前阅读识记——夯实基础知识
(3)辨形组词
①砌 沏砌 沏墙 茶 ③帐 账蚊 账帐 簿 ⑤瑾 谨怀 谨瑾 慎握 瑜
②蝉 婵寒 婵蝉 娟 ④霭 蔼暮 和霭 蔼 ⑥胥 婿狼 女婿 居胥
课前阅读识记——速读感知课文
《念奴娇 赤壁怀古》 1.上阕中作者极力地渲染景物的宏伟、壮阔、气势 磅礴,目的是什么?
答案 唯有这样的景物才配得上风流人物,这就为 叱咤风云的英雄人物的出场做了绝好的铺垫。同时 也表现了作者博大的胸襟和豪迈的气概。这也体现 了作者作为豪放派代表的词风。
课前阅读识记——速读感知课文
求证:CD=AE=BF。
A C
E
FD
O
B
弧、弦、弦心距之间的不等量关系
在同圆或等圆中,是不是弧越长,它所对的 弦越长?是不是弦越长,它所对的弧越长?
《弧、弦、圆心角》圆PPT优秀课件
AB =A'B'
探究新知
在同圆中探究
在⊙O中,如果∠AOB= ∠COD,那么,A⌒B与
C⌒D,弦AB与弦CD有怎样的数量关系? C
归纳 由圆的旋转不变性,可得:
在⊙O中,如果∠AOB= ∠COD,
那么, A⌒B与C⌒D ,弦AB=弦CD
B D
·
O
A
探究新知
在等圆中探究 如图,在等圆中,如果∠AOB=∠CO ′ D, 你发现的等量关系是否依然成立?为什么?
人教版 数学 九年级 上册
24.1 圆的有关性质
24.1.3 弧、弦、圆心角
导入新知
熊宝宝要过生日了!要把蛋糕平均分成四块, 你会分吗?分成八块呢?
素养目标
3. 理解圆心角、弧、弦之间关系定理中的 “在同圆或等圆”条件的意义.
2. 探索圆心角、弧、弦之间关系定理并利用其 解决相关问题.
1. 理解圆心角的概念,掌握圆的中心对称性和 旋转不变性.
探究新知 知识点 1 圆心角的概念
【思考】 圆是中心对称图形吗?它的对称中 心在哪里?
探究新知
【观察】1.将圆绕圆心旋转180°后,得到的 图形与原图形重合吗?由此你得到什么结论呢?
180° A
圆是中心对称图形
探究新知
2.把圆绕圆心旋转任意一个角度呢?仍与原来的 圆重合吗?
α
·
O
圆是旋转对称图形,具有旋转不变性.
由题意可得:EO=
1 2
BO,AB∥DC,
可得∠EBO=30°,
故∠BOD=30°,则∠BOC=150°.
课堂检测
基础巩固题
1.如果两个圆心角相等,那么 ( D ) A.这两个圆心角所对的弦相等 B.这两个圆心角所对的弧相等 C.这两个圆心角所对的弦的弦心距相等 D.以上说法都不对
《圆心角》教学课件
202X-01-06
《圆心角》教学课件
汇报人:
contents
目录
Байду номын сангаас
• 圆心角的基本概念 • 圆心角与弧长、弦长之间的关系 • 圆心角的应用 • 圆心角的计算方法 • 圆心角的综合练习
01
圆心角的基本概念
圆心角的定义
总结词
明确圆心角的概念
详细描述
圆心角是指连接圆心与圆上任意一点的线段所夹的角,是圆的基本元素之一。
通过比较不同大小圆心角所对的弧长 和面积,可以深入理解圆心角与圆周 长的关系,以及圆心角与圆面积的关 系。
在实际问题中的应用
在实际问题中,圆心角的概念可以帮助我们解决一些与旋转 和运动相关的问题。例如,在机械工程中,了解圆心角可以 帮助我们计算旋转体的运动轨迹和速度。
在物理学中,圆心角的概念也广泛应用于角动量、转动惯量 等领域。了解圆心角可以帮助我们理解物体旋转的规律和特 点。
在数学竞赛中的应用
在数学竞赛中,圆心角的概念是重要的考点之一。通过解 决与圆心角相关的数学问题,可以考察学生的数学思维能 力和解题技巧。
一些复杂的数学问题可能需要综合运用几何、代数和三角 函数等知识,通过构造适当的圆心角,可以简化问题并找 到解决方案。
04
圆心角的计算方法
利用半径和圆心角计算弧长
弧长与圆心角的关系
01
02
03
弧长公式
弧长 = 圆心角(弧度) × 半径
解释
弧长与圆心角成正比,当 圆心角增大时,弧长也相 应增大。
实例
当圆心角为1弧度时,半 径为5的圆的弧长为5。
弦长与圆心角的关系
弦长公式
弦长 = 2 × 半径 × sin( 圆心角/2)
《圆心角》教学课件
汇报人:
contents
目录
Байду номын сангаас
• 圆心角的基本概念 • 圆心角与弧长、弦长之间的关系 • 圆心角的应用 • 圆心角的计算方法 • 圆心角的综合练习
01
圆心角的基本概念
圆心角的定义
总结词
明确圆心角的概念
详细描述
圆心角是指连接圆心与圆上任意一点的线段所夹的角,是圆的基本元素之一。
通过比较不同大小圆心角所对的弧长 和面积,可以深入理解圆心角与圆周 长的关系,以及圆心角与圆面积的关 系。
在实际问题中的应用
在实际问题中,圆心角的概念可以帮助我们解决一些与旋转 和运动相关的问题。例如,在机械工程中,了解圆心角可以 帮助我们计算旋转体的运动轨迹和速度。
在物理学中,圆心角的概念也广泛应用于角动量、转动惯量 等领域。了解圆心角可以帮助我们理解物体旋转的规律和特 点。
在数学竞赛中的应用
在数学竞赛中,圆心角的概念是重要的考点之一。通过解 决与圆心角相关的数学问题,可以考察学生的数学思维能 力和解题技巧。
一些复杂的数学问题可能需要综合运用几何、代数和三角 函数等知识,通过构造适当的圆心角,可以简化问题并找 到解决方案。
04
圆心角的计算方法
利用半径和圆心角计算弧长
弧长与圆心角的关系
01
02
03
弧长公式
弧长 = 圆心角(弧度) × 半径
解释
弧长与圆心角成正比,当 圆心角增大时,弧长也相 应增大。
实例
当圆心角为1弧度时,半 径为5的圆的弧长为5。
弦长与圆心角的关系
弦长公式
弦长 = 2 × 半径 × sin( 圆心角/2)
圆心角、弧PPT课件
7
如图,点O是∠EPF平分线上的一点,以O为
圆心的圆和角的两边分别交于点A、B和C、D
求证:AB=CD
证明:作OM⊥AB,
ON⊥CD,M、N为垂足,
B
∠MPO=∠NPO
M
OM⊥AB
A
P
O·
ON⊥CD OM⊥AB
C N
D
OM=ON ON⊥CD
AB=CD
2020年10月2日
8
B
M
O· A
N
D C
2020年10月2日
(
),(
),(
);
D (3)如果AB=CD,那么
(
),(
),(
);
(4)如果∠AOB=∠COD,那么
(
),(
),(
).
2020年10月2日
6
判断:
1、等弦所对的弧相等。 ( × )
2、等弧所对的弦相等。 (√ )
× 3、圆心角相等,所对的弦相等。( )
4、弦相等,所对的圆心角相等。(×)
2020年10月2日
4
推论:在同圆或等圆中,如果 两个圆心角、两条弧、两条弦 或两条弦的弦心距中有一组量 相等,那么它们所对应的其余 各组量都分别相等。
2020年10月2日
5
A E B
C •O
已知:如图, AB、CD是⊙O的
两条弦,OE、OF为AB、CD的
弦心距,(1)如果AB=CD,那
F
么(
),(
),(
);
(2)如果OE=OF,那么
圆心角、弧、 弦、弦心距
2020年10月2日
之间的关系1
A
C
圆心角:顶点
圆心角定理ppt课件
5
探究新知
练
判别下列各图中的角是不是圆心角.
·
·
·
·
①
×
②
×
③
×
④
√
6
探究新知
知识点
圆心角定理
如图,在⊙O中,已知圆心角∠AOB和圆心角∠COD相等.设计一个实
验,探索两个相等的圆心角所对的两段弧、两条弦之间有什么关系.
B
C
A
O
D
7
探究新知
圆心角定理:
在同圆或等圆中,相等的圆心角所对的弧相等,所对
演练
1.下列命题中,不正确的是( A )
A.圆的每一条直径都是它的对称轴
B.圆有无数条对称轴
C.圆既是轴对称图形,又是中心对称图形
D.圆既是中心对称图形,又是旋转对称图形
24
随堂练习
演练
2.
【2024·杭州模拟】如图,正方形ABCD的四个顶点都在⊙O
上,如果以点O为中心,逆时针旋转这个图形,当旋转角度
的弦也相等.
你能证明这个定理吗?
8
探究新知
已知:如图,在⊙O中,∠AOB=∠COD.
,AB=CD.
求证:=
B
C
A
证明:设∠AOC=α.
∵∠AOB=∠COD,
O
D
∴ ∠BOD=∠BOC +∠COD
=∠BOC+∠AOB=α.
9
探究新知
将扇形AOB按顺时针方向旋转α角后,
点A与点C重合,点B与点D重合.
与原图形重合吗?由此你能得到什么结论?
圆是中心对称图形,圆心就是它的对称中心.
O
·
如果是旋转任意一个角度呢?
圆心角-课件ppt
O
C B
8.如图,圆O中,AB是直径,半径CO⊥AB,
D是CO的中点,DE∥AB,求∠ABE的度数.
C
E
D
A O
B
圆内接四边形:
(顶点都在圆上的四边形叫圆内接四边形)
1.如图,在⊙O中,∠BAD=50°,求∠C的大小.
2.若∠BAD=80°,求∠C的大小.
A
3.若∠BCD=120°,求∠A的大小.
思考:如何证明?
已知EA=3,EB=6,EC=8,则ED=___
船在航行过程中,船长常常通过测定角度来确定
是否会遇到暗礁,如图,A,B表示灯塔,暗礁分布在经过
A,B两点的一个圆形区域内,C表示一个危险临界点,
∠ACB就是”危险角”,当船与两个灯塔的夹角大于”
危险角”时,就有可能触礁.
(1)当船与两个灯塔的夹角∠a 等于“危险角”时,船位于哪 个区域?为什么?
C
C
●O
B
●O
B
圆周角定理:
一条弧所对的圆周角等于它所对的圆心角的一半
.
即:∠ABC = 1 ∠AOC
2
四、巩固训练:
1.如图,在⊙O中,∠BOC=50°,求∠A的大
小.
解: ∠A= 1∠BOC=25°.
2
B C
●O A
2.练习:在下列各图中, ∠α1= 150°,∠α2= 60°,
C
75º α1
A D
E
.O
C
B
5.(1)如图,在⊙O中,弦AB、CD相交于点E,则△ACE 与△ DBE有什么关系?并说明理由。
A D
E
.O
C
B
5.(2) 线段EA、EB、EC、ED有什么关系?并说明理 由。
27.2圆心角和圆周角课件ppt冀教版九年级上
(2)如果
AOB COD . AB=CD ,______________ AB CD ,那么____________
AB=CD (3)如果∠AOB=∠COD,那么_____________ . AB CD ,____________
(4)如果AB=CD,OE⊥AB于E,OF⊥CD于F,OE与OF相等吗?为什么?
在同圆或等圆中,如果两条弦相等,那么他们所对的
相等 相等 圆心角______ ,所对的弧_________ .
同圆或等圆中, 两个圆心角、两 条弧、两条弦中 有一组量相等, 它们所对应的其 余各组量也相 等.
例题
例1 如图在⊙O中,AB =AC ,∠ACB=60°,求证 ∠AOB=∠BOC=∠AOC.
圆心角:我们把顶点在圆心的角叫做圆心角. A O· B
在⊙O中,∠AOB就是圆心角,弦AB是这个圆心角 所对的弦, AB是它所对的弧
如图,将圆心角∠AOB绕圆心O旋转到∠A’OB’的位置,你能发 现哪些等量关系?为什么? A′ A′ B B B′ B′
O
·
A
O
·Aຫໍສະໝຸດ 根据旋转的性质,将圆心角∠AOB绕圆心O旋转到∠A′OB′的位置时,显然 ∠AOB=∠A′OB′,射线OA与OA′重合,OB与OB′重合.而同圆的半径相等, OA=OA′,OB=OB′,从而点A与A′重合,B与B′重合.
相 等 E B
因为AB=CD ,所以∠AOB=∠COD. 又因为AO=CO,BO=DO, A
所以△AOB≌ △COD.
O 又因为OE 、OF是AB与CD对应边上的高, 所以 OE = OF. C
·
F
D
2.如图,AB是⊙O的直径, BC=CD DE, ∠COD=35°, 求∠AOE的度数.
AOB COD . AB=CD ,______________ AB CD ,那么____________
AB=CD (3)如果∠AOB=∠COD,那么_____________ . AB CD ,____________
(4)如果AB=CD,OE⊥AB于E,OF⊥CD于F,OE与OF相等吗?为什么?
在同圆或等圆中,如果两条弦相等,那么他们所对的
相等 相等 圆心角______ ,所对的弧_________ .
同圆或等圆中, 两个圆心角、两 条弧、两条弦中 有一组量相等, 它们所对应的其 余各组量也相 等.
例题
例1 如图在⊙O中,AB =AC ,∠ACB=60°,求证 ∠AOB=∠BOC=∠AOC.
圆心角:我们把顶点在圆心的角叫做圆心角. A O· B
在⊙O中,∠AOB就是圆心角,弦AB是这个圆心角 所对的弦, AB是它所对的弧
如图,将圆心角∠AOB绕圆心O旋转到∠A’OB’的位置,你能发 现哪些等量关系?为什么? A′ A′ B B B′ B′
O
·
A
O
·Aຫໍສະໝຸດ 根据旋转的性质,将圆心角∠AOB绕圆心O旋转到∠A′OB′的位置时,显然 ∠AOB=∠A′OB′,射线OA与OA′重合,OB与OB′重合.而同圆的半径相等, OA=OA′,OB=OB′,从而点A与A′重合,B与B′重合.
相 等 E B
因为AB=CD ,所以∠AOB=∠COD. 又因为AO=CO,BO=DO, A
所以△AOB≌ △COD.
O 又因为OE 、OF是AB与CD对应边上的高, 所以 OE = OF. C
·
F
D
2.如图,AB是⊙O的直径, BC=CD DE, ∠COD=35°, 求∠AOE的度数.
圆心角课件(浙教版)
A
如图:
AOB= COD
B
☺
o C
D
下面我们一起来探索:在同一个圆中,两个相等的圆心
角所对的两条弧、两条弦之间都有什么关系。
A
如图:
AOB= COD
B
o C
D
下面我们一起来探索:在同一个圆中,两个相等的圆心
角所对的两条弧、两条弦之间都有什么关系。
A
如图:
AOB= COD
B
☺
o C
D
下面我们一起来探索:在同一个圆中,两个相等的圆心
角所对的两条弧、两条弦之间都有什么关系。
A
如图:
AOB= COD
B
o C
D
下面我们一起来探索:在同一个圆中,两个相等的圆心
角所对的两条弧、两条弦之间都有什么关系。
A
如图:
AOB= CODB来自o CD下面我们一起来探索:在同一个圆中,两个相等的圆心
角所对的两条弧、两条弦之间都有什么关系。
A
如图:
AOB= COD
B
o C
D
下面我们一起来探索:在同一个圆中,两个相等的圆心
角所对的两条弧、两条弦之间都有什么关系。
A
如图:
AOB= COD
B
o C
D
下面我们一起来探索:在同一个圆中,两个相等的圆心
角所对的两条弧、两条弦之间都有什么关系。
A
如图:
AOB= COD
B
o C
D
下面我们一起来探索:在同一个圆中,两个相等的圆心
义务教育课程标准实验教科 浙江版《数学》九年级上册
茶杯的盖子做成圆 形有什么好处呢?
圆的旋转不变性:
圆绕圆心旋转任意一个角度,都能够 与本来的圆重合。
弧、弦、圆心角课件(共22张PPT)人教版数学九年级上册
(2)证明:∵OA=OC,∠AOC=30°,∴∠ACE=75°,
∴∠ACE=∠AEC, ∴AC=AE,同理,BF=BD.易知AC=
CD=BD,∴AE=BF=CD.
【题型三】利用弧、弦、圆心角证明
= ,
⊥ 于点D,CE⊥
例5:如题图,在⊙O中,
OB于点E,求证:AD=BE.
D.3 个
例4:如题图,已知∠ AOB=90°, C, D 是的三等分点,
连接AB分别交OC, OD 于点 E, F.(1)求∠AEC的度数;
(1)解:连接AC, BD,如答图.∵C,D是的三等分点,
=
= ,∴∠AOC=∠COD=∠BOD.
∴
∵∠ = 90°, ∴ ∠ =
相等,所对的弦相等.
(2)在同圆或等圆中,如果两条弦相等,那么它们所对的圆心角
相等,所对的优弧和劣弧分别相等.
教师讲评
注:理解弦、弧、圆心角的关系思维图:
典型精讲
【题型一】弧、弦、圆心角概念的理解与认识
例1: 下列语句中,正确的有( A )
①相等的圆心角所对的弧相等;②平分弦的直径垂直于弦;③长度
证明:如答图,连接OC.
= ,
∴ ∠ = ∠.
∵
∵CD⊥OA,CE⊥OB,∴∠ODC=∠OEC=90° .
又∵CO=CO,∴△COD≌△COE,∴OD=OE.
又∵OA=OB, ∴OA-OD=OB-OE,∴AD=BE.
例6:如题图,AB为⊙O的直径,AE为⊙O的弦,C为⊙O上一点,
心角相等,所对的优弧和劣弧分别相等)
5.如果没有“在同圆或等圆中”这个条件,还能得出对应的结论吗?
(不能)
∴∠ACE=∠AEC, ∴AC=AE,同理,BF=BD.易知AC=
CD=BD,∴AE=BF=CD.
【题型三】利用弧、弦、圆心角证明
= ,
⊥ 于点D,CE⊥
例5:如题图,在⊙O中,
OB于点E,求证:AD=BE.
D.3 个
例4:如题图,已知∠ AOB=90°, C, D 是的三等分点,
连接AB分别交OC, OD 于点 E, F.(1)求∠AEC的度数;
(1)解:连接AC, BD,如答图.∵C,D是的三等分点,
=
= ,∴∠AOC=∠COD=∠BOD.
∴
∵∠ = 90°, ∴ ∠ =
相等,所对的弦相等.
(2)在同圆或等圆中,如果两条弦相等,那么它们所对的圆心角
相等,所对的优弧和劣弧分别相等.
教师讲评
注:理解弦、弧、圆心角的关系思维图:
典型精讲
【题型一】弧、弦、圆心角概念的理解与认识
例1: 下列语句中,正确的有( A )
①相等的圆心角所对的弧相等;②平分弦的直径垂直于弦;③长度
证明:如答图,连接OC.
= ,
∴ ∠ = ∠.
∵
∵CD⊥OA,CE⊥OB,∴∠ODC=∠OEC=90° .
又∵CO=CO,∴△COD≌△COE,∴OD=OE.
又∵OA=OB, ∴OA-OD=OB-OE,∴AD=BE.
例6:如题图,AB为⊙O的直径,AE为⊙O的弦,C为⊙O上一点,
心角相等,所对的优弧和劣弧分别相等)
5.如果没有“在同圆或等圆中”这个条件,还能得出对应的结论吗?
(不能)
圆心角(共19张)课件(浙教版)
练一练
2、判断: (1)等弦所对的弧相等。
(× )
(2)等弧所对的弦相等。 ( √ ) (3)圆心角相等,所对的弦相等。( × ) (4)弦相等,所对的圆心角相等。(×) × (5)在同圆或等圆中,相等的弦所对的弧相等( )
3.已知:如图,在⊙O中,弦AB=CD.
求证:AD=BC
B
D C
O·
A
AD=BC
M、N,且AM=BN。求证:CD=EF
证明:连结OA、OB,设分别与CD、EF交于点F、G
∵A为CD中点,B为EF中点 ∴OA⊥CD,OB⊥EF
故பைடு நூலகம்AFC=∠BGE=90°①
又由OA=OB, ∴∠OAB=∠OBA ②
且AM=BN
③
∴△AFM≌△BGN(SAS) ∴AF=BG ∴OF=OG
F
G
∴DC=EF
2.
圆的对称性
圆的轴对称性 (圆是轴对称图形)
垂径定理 及其推论
圆的中心对称性 (旋转不变性)
圆心角定理
圆心角定理:在同圆和等圆中,相等的圆心角所
对的弧相等,所对的弦相等,所对的弦的弦心距相等。
条件
结论
在同圆或等圆中
圆心角所对的弧相等
如果圆心角相等 那么 圆心角所对的弦相等
圆心角所对的弦的弦心距相等
推论:在同圆或等圆中,如果两个圆心角、两条弧、
两条弦或两条弦的弦心距中有一对量相等,那么它们
所对应的其余各对量都分别相等。
在同圆或等圆中 如果弧相等
那么
弧所对的圆心角相等 弧所对的弦相等 弧所对的弦的弦心距相等
弦所对的圆心角相等
在同圆或等圆中 如果弦相等
那么
弦所对的弧(指劣弧)相等 弦的弦心距相等
- 1、下载文档前请自行甄别文档内容的完整性,平台不提供额外的编辑、内容补充、找答案等附加服务。
- 2、"仅部分预览"的文档,不可在线预览部分如存在完整性等问题,可反馈申请退款(可完整预览的文档不适用该条件!)。
- 3、如文档侵犯您的权益,请联系客服反馈,我们会尽快为您处理(人工客服工作时间:9:00-18:30)。
A B
C D
O
也就是在 图2 中研究不同的圆
心角 AOB 、AOB ,以及它们 所对的弧 AB 、AB , 弦AB 、AB , 弦的弦心距 OM、OM 之间的关
系。
猜 想:
图2
1. 若AOB AOB,则AB ? AB, AB ? AB , OM ?OM .
要证AB=CD ,只需证OM=ON
证明: 作OM AB , ON CD , 垂足分别为M 、 N 。
MPO NPO
OM AB ON CD
OM=ON P
AB=CD
BE
. A M O
C
ND
F
你能将⊙O二等分吗?
作法: 作⊙O的直径AB。
O
A
B
C
用直尺和圆规把⊙O四等分.
AO
B
D
作法: 1、作⊙O的直径AB。 2、过点O作CD⊥AB,交⊙O于
点C和点D。 点A,B,C,D就把⊙O四等分
你能将任意一个 圆八等分吗?
如图: ⊙O的直径AB垂直于弦CD,AB与CD相交于点E,
∠ COD=1000,求BC,AD的度数
解:∵OC=OD,OE⊥CD
A ∴∠1= ∠2
∵∠COD=1000
推论:(圆心角定理的逆定理)
在同圆或等圆中,如果两个圆心 角、两条弧、两条弦或两条弦的弦 心距中有一组量相等,那么它们所 对应的其余的各组量都分别相等。
例1 如图,已知点O是∠EPF 的平分线上一点,P点在圆外, 以O为圆心的圆与∠EPF 的两边分别相交于A、B和C、D。
求证:AB=CD
分析: 联想到“角平分线的性质”,作弦心距OM、ON,
2 . 点A与A' ,点B与B' 重合吗? 为什么?
图4
3 . AB与A' B' ,弦AB与弦A' B'重合吗?为什么?
4 . OM 与OM' 呢?为什么?
于是,若∠AOB = ∠A'OB' , 则 AB=A'B' , AB= A'B' , OM=OM' .
如图,⊙O 和⊙O' 是等圆, 如果 ∠AOB= ∠ A'O'B'
O
∴∠1=∠2=500
12
∴B⌒C=500 B⌒D=500
C
ED
∴A⌒D=A⌒DB-B⌒D
=1800-500
B
=1300
证明:将∠AOB连同AB绕圆心O旋转,
使射线OA与射线OA' 重合 .
∵ AOB AOB
OB与OB重合
图5
∵ OA OA,OB OB
A与 A重合,B与 B重合
AB AB, AB AB
又根据弦心距的唯一性,得OM=OM′
条件
在同圆或等圆中 如果圆心角相等
心到弦的距离,叫弦心距 , 图1
中,OM为AB弦的弦心距。
OM是唯一的。
B M
O
A
图1
1、判别下列各图中的角是不是圆心角,并说明理由。
①
②
③
④
2、下列图中弦心距做对了的是(④)
┐
①
②
┐
③
④
由上分析,任意给圆心角,对应出现 四个量:
弧 圆心角
弦 弦心距
课题
圆心角
弧
之间的关系
弦 弦心距
下面我们一起来观察一下:在⊙O中有哪些圆心角?(请举出
那么 AB?=A'B' 、AB=? A'B' 、OM=?O'M',
为什么?
圆心角定理 : 在同圆或等圆中,相等的圆心角 所对的弧相等,所对的弦相等,所对的弦的弦心 距相等。
已知:如图5, ∠AOB = ∠A'OB' , OM、OM'
分别是弦 AB、弦 A'B' 的弦心距. 求证: AB=A'B' , AB= A'B' , OM=OM'
求证: AB=CD,A⌒B = C⌒D。 证明:∵OA=OC ,OB=OD, ∠AOB=∠COD,
∴ 当点A与点C重合时,
点B与点D也重合。
∴ AB=CD, ⌒⌒
∴ AB = CD。
A B
o
C D
圆心角定理:在同圆或等圆中,相等的圆心角所对的弧相等,
所对的弦也相等。
AB=CD吗?
弧AB与弧CD呢?
两个例子,并说出圆心角所对的弧,弦。)
如果:
A
∠AOB=∠ COD
B
☺
o C
D
下面我们一起来观察一下圆心角与它所对的弦、弧有什么关系?
如图:
A
AOB= COD
B
☺
o
C
D
下面我们一起来观察一下圆心角与它所对的弦、弧有什么关系?
A
如图: ∠AOB=∠COD
B
☺
o
C
D
已知:如图∠AOB=∠ COD,
2 .若AOB AOB ,情况又如?何
圆的旋转不变性:
圆绕圆心旋转任意角α,都能 够与原来的圆重合。
注: α=180O 旋转, 说明圆是以圆心为对称中 心的中心对称图形。
图3
将∠AOB连同AB绕圆心O旋转,
使射线OA与射线OA' 重合 , 则:
1 . 射线OB与射线OB'重合吗?为什么?
土城子中学—张晓梅
圆绕圆心旋转
A
Hale Waihona Puke .BO
圆的旋转不变性:
圆绕圆心旋转任意角α,都能 够与原来的圆重合。
注: α=180O 旋转, 说明圆是以圆心为对称中 心的中心对称图形。
图3
顶点在圆心的角,叫圆心角,
如AOB , 圆心角 AOB 所对
的弧为 AB,所对的弦为AB;
过点O作弦AB的垂线, 垂足 为M, 则垂线段OM的长度,即圆
结论
那么
圆心角所对的弧相等 圆心角所对的弦相等 圆心角所对的弦的弦心距相等
在同圆或等圆中 如果弧相等
那么
弧所对的圆心角相等 弧所对的弦相等 弧所对的弦的弦心距相等
在同圆或等圆中 如果弦相等
在同圆或等圆中 如果弦心距相等
那么
弦所对的圆心角相等 弦所对的弧(指劣弧)相等 弦的弦心距相等
那么
弦心距所对应的圆心角相等 弦心距所对应的弧相等 弦心距所对应的弦相等
C D
O
也就是在 图2 中研究不同的圆
心角 AOB 、AOB ,以及它们 所对的弧 AB 、AB , 弦AB 、AB , 弦的弦心距 OM、OM 之间的关
系。
猜 想:
图2
1. 若AOB AOB,则AB ? AB, AB ? AB , OM ?OM .
要证AB=CD ,只需证OM=ON
证明: 作OM AB , ON CD , 垂足分别为M 、 N 。
MPO NPO
OM AB ON CD
OM=ON P
AB=CD
BE
. A M O
C
ND
F
你能将⊙O二等分吗?
作法: 作⊙O的直径AB。
O
A
B
C
用直尺和圆规把⊙O四等分.
AO
B
D
作法: 1、作⊙O的直径AB。 2、过点O作CD⊥AB,交⊙O于
点C和点D。 点A,B,C,D就把⊙O四等分
你能将任意一个 圆八等分吗?
如图: ⊙O的直径AB垂直于弦CD,AB与CD相交于点E,
∠ COD=1000,求BC,AD的度数
解:∵OC=OD,OE⊥CD
A ∴∠1= ∠2
∵∠COD=1000
推论:(圆心角定理的逆定理)
在同圆或等圆中,如果两个圆心 角、两条弧、两条弦或两条弦的弦 心距中有一组量相等,那么它们所 对应的其余的各组量都分别相等。
例1 如图,已知点O是∠EPF 的平分线上一点,P点在圆外, 以O为圆心的圆与∠EPF 的两边分别相交于A、B和C、D。
求证:AB=CD
分析: 联想到“角平分线的性质”,作弦心距OM、ON,
2 . 点A与A' ,点B与B' 重合吗? 为什么?
图4
3 . AB与A' B' ,弦AB与弦A' B'重合吗?为什么?
4 . OM 与OM' 呢?为什么?
于是,若∠AOB = ∠A'OB' , 则 AB=A'B' , AB= A'B' , OM=OM' .
如图,⊙O 和⊙O' 是等圆, 如果 ∠AOB= ∠ A'O'B'
O
∴∠1=∠2=500
12
∴B⌒C=500 B⌒D=500
C
ED
∴A⌒D=A⌒DB-B⌒D
=1800-500
B
=1300
证明:将∠AOB连同AB绕圆心O旋转,
使射线OA与射线OA' 重合 .
∵ AOB AOB
OB与OB重合
图5
∵ OA OA,OB OB
A与 A重合,B与 B重合
AB AB, AB AB
又根据弦心距的唯一性,得OM=OM′
条件
在同圆或等圆中 如果圆心角相等
心到弦的距离,叫弦心距 , 图1
中,OM为AB弦的弦心距。
OM是唯一的。
B M
O
A
图1
1、判别下列各图中的角是不是圆心角,并说明理由。
①
②
③
④
2、下列图中弦心距做对了的是(④)
┐
①
②
┐
③
④
由上分析,任意给圆心角,对应出现 四个量:
弧 圆心角
弦 弦心距
课题
圆心角
弧
之间的关系
弦 弦心距
下面我们一起来观察一下:在⊙O中有哪些圆心角?(请举出
那么 AB?=A'B' 、AB=? A'B' 、OM=?O'M',
为什么?
圆心角定理 : 在同圆或等圆中,相等的圆心角 所对的弧相等,所对的弦相等,所对的弦的弦心 距相等。
已知:如图5, ∠AOB = ∠A'OB' , OM、OM'
分别是弦 AB、弦 A'B' 的弦心距. 求证: AB=A'B' , AB= A'B' , OM=OM'
求证: AB=CD,A⌒B = C⌒D。 证明:∵OA=OC ,OB=OD, ∠AOB=∠COD,
∴ 当点A与点C重合时,
点B与点D也重合。
∴ AB=CD, ⌒⌒
∴ AB = CD。
A B
o
C D
圆心角定理:在同圆或等圆中,相等的圆心角所对的弧相等,
所对的弦也相等。
AB=CD吗?
弧AB与弧CD呢?
两个例子,并说出圆心角所对的弧,弦。)
如果:
A
∠AOB=∠ COD
B
☺
o C
D
下面我们一起来观察一下圆心角与它所对的弦、弧有什么关系?
如图:
A
AOB= COD
B
☺
o
C
D
下面我们一起来观察一下圆心角与它所对的弦、弧有什么关系?
A
如图: ∠AOB=∠COD
B
☺
o
C
D
已知:如图∠AOB=∠ COD,
2 .若AOB AOB ,情况又如?何
圆的旋转不变性:
圆绕圆心旋转任意角α,都能 够与原来的圆重合。
注: α=180O 旋转, 说明圆是以圆心为对称中 心的中心对称图形。
图3
将∠AOB连同AB绕圆心O旋转,
使射线OA与射线OA' 重合 , 则:
1 . 射线OB与射线OB'重合吗?为什么?
土城子中学—张晓梅
圆绕圆心旋转
A
Hale Waihona Puke .BO
圆的旋转不变性:
圆绕圆心旋转任意角α,都能 够与原来的圆重合。
注: α=180O 旋转, 说明圆是以圆心为对称中 心的中心对称图形。
图3
顶点在圆心的角,叫圆心角,
如AOB , 圆心角 AOB 所对
的弧为 AB,所对的弦为AB;
过点O作弦AB的垂线, 垂足 为M, 则垂线段OM的长度,即圆
结论
那么
圆心角所对的弧相等 圆心角所对的弦相等 圆心角所对的弦的弦心距相等
在同圆或等圆中 如果弧相等
那么
弧所对的圆心角相等 弧所对的弦相等 弧所对的弦的弦心距相等
在同圆或等圆中 如果弦相等
在同圆或等圆中 如果弦心距相等
那么
弦所对的圆心角相等 弦所对的弧(指劣弧)相等 弦的弦心距相等
那么
弦心距所对应的圆心角相等 弦心距所对应的弧相等 弦心距所对应的弦相等