利用空间向量证明面面平行垂直

利用空间向量证明面面平行垂直

1.如图所示，在正方体ABCDA1B1C1D1中，E，F，M分别为棱BB1，CD，AA1的中点．证

明：平面ADE⊥平面A1D1F.

2.如图，在直三棱柱ABC−A1B1C1中，∠ABC=90°，BC=2，CC1=4，点E在棱BB1

上，EB1=1，D，F，G分别为CC1，B1C1，A1C1的中点，EF与B1D相交于点H．求证：平面EGF//平面ABD

3.如图，在四棱锥P−ABCD中，底面ABCD是边长为1的正方形，PA⊥平面ABCD，

PA=1，M为侧棱PD的中点．证明：平面MAC⊥平面PCD

4.如图，四边形是矩形，平面，，为中点．

证明：平面平面

5.如图，在底面是矩形的四棱锥P−ABCD中，PA⊥平面ABCD，PA=AB=2，BC=4，

E是PD的中点．求证：平面PDC⊥平面PAD

6.如图，在正方体ABCD−A1B1C1D1中，E为棱DD1的中点．

求证：平面EAC⊥平面AB1C

7.如图，正三棱柱ABC−A1B1C1的所有棱长都为2，D为CC1中点．

求证：平面ABB1A1⊥平面A1BD

PD。

8.如图，四边形ABCD为正方形，PD⊥平面ABCD，PD//QA，QA=AB=1

2证明：平面PQC⊥平面DCQ

答案和解析

1.解：以D 为原点，向量DA ⃗⃗⃗⃗⃗ ，DC ⃗⃗⃗⃗⃗ ，DD 1⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ 的方向分别为x 轴，y 轴，z 轴的正方向建立坐标系如图，

设正方体的棱长为1．

则D(0,0，0)，A(1,0，0)，E (1,1,1

2)，C 1(0,1，1)，M (1,0,1

2)，

DA ⃗⃗⃗⃗⃗ =(1,0，0)，DE ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =(1,1,12)，C 1M ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =(1,−1,−1

2

)． 设平面ADE 的法向量为m

⃗⃗⃗ =(a,b ，c)， 则{DA ⃗⃗⃗⃗⃗ ·m ⃗⃗⃗ =0

DE ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ·m ⃗⃗⃗ =0⇒{a =0,a +b +12

c =0.令c =2，得m

⃗⃗⃗ =(0,−1,2)， 由D 1(0,0，1)，A 1(1,0，1)，F (0,12,0)，得D 1A 1⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =(1,0，0)，D 1F ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =(0,1

2

,−1)， 设平面A 1D 1F 的法向量为n ⃗ =(x,y ，z)，则{D 1A 1⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ·n ⃗ =0D 1F ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ·n ⃗ =0⇒{x =0,12y −z =0. 令y =2，则n

⃗ =(0,2，1)．∵m ⃗⃗⃗ ·n ⃗ =(0,−1,2)·(0,2，1)=0−2+2=0， ∴m ⃗⃗⃗ ⊥n ⃗ .∴平面ADE ⊥平面A 1D 1F .

2.证明：如图所示建立空间直角坐标系，

设AB =a ，则A 1(a,0，0)，B 1(0,0，0)，C 1(0,2，0)，F(0,1，0)，E(0,0，1)， A(a,0，4)，B(0,0，4)，D(0,2，2)，G(a

2,1，0)．

所以B 1D ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =(0,2，2)，AB ⃗⃗⃗⃗⃗ =(−a,0，0)，BD ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =(0,2，−2)．

AB ⃗⃗⃗⃗⃗ =(−a,0，0)，BD ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =(0,2，−2)，GF ⃗⃗⃗⃗⃗ =(−a 2,0，0)，EF ⃗⃗⃗⃗⃗ =(0,1，−1)，所以AB ⃗⃗⃗⃗⃗ =2GF ⃗⃗⃗⃗⃗ ，BD ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =2EF ⃗⃗⃗⃗⃗ ，所以GF ⃗⃗⃗⃗⃗ //AB ⃗⃗⃗⃗⃗ ，EF ⃗⃗⃗⃗⃗ //BD ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅所以GF // AB ，EF // BD ． 又GF ∩EF =F ，AB ∩BD =B ，所以平面EGF //平面ABD ．

3. 证明：(1)∵PA ⊥平面ABCD ，ABCD 为正方形，以A 点为坐标原点，以AB 所在的

直线为x 轴，以AD 所在的直线为y 轴，以AP 所在的直线为z 轴，建立如图所示的坐标系，

由已知可得A(0,0，0)，B(1,0，0)，C(1,1，0)，D(0,1，0)，P(0,0，1)， 因为M 为PD 的中点，且PA =AD =1，所以AM ⊥PD ，M(0,12,1

2),AM ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =(0,12,1

2), CM

⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =(−1,−12,12

)，所以AM ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ·CM ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =(0,12,12

)·(−1,−12,12

)=0， 所以AM ⊥CM ，又PD ∩CM =M ，所以AM ⊥平面PCD ， 因为AM ⊂平面MAC ，所以平面MAC ⊥平面PCD ．

4.证明：因为四边形ABCD 是矩形，所以AB ⊥AD ．

又因为PA ⊥平面ABCD ，AB 、AD ⊂平面ABCD ，所以PA ⊥AB ，PA ⊥AD ． 以A 为坐标原点，AB 、AD 、AP 分别为x 、y 、z 轴，建立空间直角坐标系，如图：

因为PA =AD =2AB =2，E 为BC 中点，

所以A (0,0,0)，B (1,0,0)，C (1,2,0)，E (1,1,0)，D (0,2,0)，P (0,0,2)， 则AP

⃗⃗⃗⃗⃗ =(0,0,2)，AE ⃗⃗⃗⃗⃗ =(1,1,0)，DP ⃗⃗⃗⃗⃗ =(0,−2,2)，DE ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =(1,−1,0)， 设平面PAE 的法向量为n 1⃗⃗⃗⃗ =(x 1,y 1,z 1)，

则{AP ⃗⃗⃗⃗⃗ ·n 1⃗⃗⃗⃗ =0AE ⃗⃗⃗⃗⃗ ·n 1⃗⃗⃗⃗ =0，即{2z 1=0x 1+y 1=0，令x 1=1，则y 1=−1，因此n 1⃗⃗⃗⃗ =(1,−1,0)， 设平面PDE 的法向量为n 2⃗⃗⃗⃗ =(x 2,y 2,z 2)，

则{DP ⃗⃗⃗⃗⃗ ·n 2⃗⃗⃗⃗ =0DE ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ·n 2⃗⃗⃗⃗ =0，即{−2y 2+2z 2=0x 2−y 2=0，令x 2=1，则y 2=1，z 2=1，因此n 2⃗⃗⃗⃗ =(1,1,1)， 因为n 1⃗⃗⃗⃗ ·n 2⃗⃗⃗⃗ =1−1+0=0，所以n 1⃗⃗⃗⃗ ⊥n 2⃗⃗⃗⃗ ，因此平面PAE ⊥平面PDE ．