2020年高考文科数学原创专题卷：《圆锥曲线与方程》
2020高考数学圆锥曲线试题(含答案)
2020高考虽然延期，但是每天练习一定要跟上，加油！圆锥曲线一． 选择题：1.（福建卷11)又曲线22221x y a b==（a ＞0,b ＞0）的两个焦点为F 1、F 2,若P 为其上一点，且|PF 1|=2|PF 2|,则双曲线离心率的取值范围为BA.(1,3)B.(]1,3C.(3,+∞)D.[)3,+∞2.（海南卷11）已知点P 在抛物线y 2 = 4x 上，那么点P 到点Q （2，－1）的距离与点P 到抛物线焦点距离之和取得最小值时，点P 的坐标为（ A ）A. （41，－1） B. （41，1）C. （1，2）D. （1，－2）3.(湖北卷10)如图所示，“嫦娥一号”探月卫星沿地月转移轨道飞向月球，在月球附近一点P 轨进入以月球球心F 为一个焦点的椭圆轨道Ⅰ绕月飞行，之后卫星在P 点第二次变轨进入仍以F 为一个焦点的椭圆轨道Ⅱ绕月飞行，最终卫星在P 点第三次变轨进入以F 为圆心的圆形轨道Ⅲ绕月飞行，若用12c 和22c 分别表示椭轨道Ⅰ和Ⅱ的焦距，用12a 和22a 分别表示椭圆轨道Ⅰ和Ⅱ的长轴的长，给出下列式子： ①1122a c a c +=+; ②1122a c a c -=-; ③1212c a a c >; ④11c a ＜22c a . 其中正确式子的序号是BA. ①③B. ②③C. ①④D. ②④4.（湖南卷8）若双曲线22221x y a b -=（a ＞0,b ＞0）上横坐标为32a的点到右焦点的距离大于它到左准线的距离，则双曲线离心率的取值范围是( B ) A.(1,2)B.(2,+∞)C.(1,5)D. (5,+∞)5.（江西卷7）已知1F 、2F 是椭圆的两个焦点，满足120MF MF ⋅=的点M 总在椭圆内部，则椭圆离心率的取值范围是C A ．(0,1) B ．1(0,]2C．(0,2 D．,1)26.（辽宁卷10）已知点P 是抛物线22y x =上的一个动点，则点P 到点（0，2）的距离与P 到该抛物线准线的距离之和的最小值为（ A ） AB ．3 CD ．927.（全国二9）设1a >，则双曲线22221(1)x y a a -=+的离心率e 的取值范围是（ B ）A． B． C ．(25)， D．(28.（山东卷(10)设椭圆C 1的离心率为135，焦点在X 轴上且长轴长为ABCD-26.若曲线C 2上的点到椭圆C 1的两个焦点的距离的差的绝对值等于8，则曲线C 2的标准方程为A（A ）1342222=-y x (B)15132222=-y x(C)1432222=-y x (D)112132222=-y x9.（陕西卷8）双曲线22221x y a b-=（0a >，0b >）的左、右焦点分别是12F F ，，过1F 作倾斜角为30的直线交双曲线右支于M 点，若2MF 垂直于x 轴，则双曲线的离心率为（ B ）ABC D10.（四川卷12）已知抛物线2:8C y x =的焦点为F ，准线与x 轴的交点为K ，点A 在C 上且AK AF =，则AFK ∆的面积为( B )（Ａ）4 （Ｂ）8 （Ｃ）16 （Ｄ）3211.（天津卷（7）设椭圆22221x y m n+=（0m >，0n >）的右焦点与抛物线28y x =的焦点相同，离心率为12，则此椭圆的方程为B（A ）2211216x y += （B ）2211612x y += （C ）2214864x y += （D ）2216448x y += 12.（浙江卷7）若双曲线12222=-by a x 的两个焦点到一条准线的距离之比为3：2,则双曲线的离心率是D（A ）3 （B ）5 （C ）3 （D ）5 13.（浙江卷10）如图，AB 是平面a 的斜线段，A 为斜足，若点P 在平面a 内运动，使得△ABP 的面积为定值，则动点P 的轨迹是B（A ）圆 （B ）椭圆 （C ）一条直线 （D ）两条平行直线14.（重庆卷(8)已知双曲线22221x y a b-=（a ＞0,b ＞0）的一条渐近线为y =kx (k ＞0),离心率e 5k ,则双曲线方程为C（A ）22x a －224y a =1(B)222215x y a a -= (C)222214x y b b-=(D)222215x y b b-=二． 填空题：1.（海南卷14）过双曲线221916x y -=的右顶点为A ，右焦点为F 。
2020高考—圆锥曲线(解答+答案)
2020年高考——圆锥曲线1.(20全国Ⅰ文21)（12分）已知A 、B 分别为椭圆E ：2221x y a+=（a >1）的左、右顶点，G 为E 的上顶点，8AG GB ⋅=，P 为直线x =6上的动点，PA 与E 的另一交点为C ，PB 与E 的另一交点为D ． （1）求E 的方程； （2）证明：直线CD 过定点.2.(20全国Ⅰ理20)（12分）已知A 、B 分别为椭圆E ：2221x y a+=（a >1）的左、右顶点，G 为E 的上顶点，8AG GB ⋅=，P 为直线x =6上的动点，PA 与E 的另一交点为C ，PB 与E 的另一交点为D ． （1）求E 的方程； （2）证明：直线CD 过定点.3.（20全国Ⅱ文19）(12 分)已知椭圆C 1：22221x y a b+=(a >b >0)的右焦点F 与抛物线C 2的焦点重合，C 1的中心与C 2的顶点重合．过F 且与x 轴重直的直线交C 1于A ，B 两点，交C 2于C ，D 两点，且|CD |=43|AB |．（1）求C 1的离心率；（2）若C 1的四个顶点到C 2的准线距离之和为12，求C 1与C 2的标准方程．4.（20全国Ⅱ理19）（12分）已知椭圆C 1：22221x y a b+=(a >b >0)的右焦点F 与抛物线C 2的焦点重合，C 1的中心与C 2的顶点重合．过F 且与x 轴垂直的直线交C 1于A ，B 两点，交C 2于C ，D 两点，且|CD |=43|AB |． （1）求C 1的离心率；（2）设M 是C 1与C 2的公共点，若|MF |=5，求C 1与C 2的标准方程．5.（20全国Ⅲ文21）（12分）已知椭圆222:1(05)25x y C m m +=<<，A ，B 分别为C 的左、右顶点． （1）求C 的方程；（2）若点P 在C 上，点Q 在直线6x =上，且||||BP BQ =，BP BQ ⊥，求APQ △的面积．6.（20全国Ⅲ理20）（12分）已知椭圆222:1(05)25x y C m m+=<<，A ，B 分别为C 的左、右顶点． （1）求C 的方程；（2）若点P 在C 上，点Q 在直线6x =上，且||||BP BQ =，BP BQ ⊥，求APQ △的面积．7.（20新高考Ⅰ22）（12分）已知椭圆C ：22221(0)x y a b a b +=>>的离心率为2，且过点A （2，1）．（1）求C 的方程：（2）点M ，N 在C 上，且AM ⊥AN ，AD ⊥MN ，D 为垂足．证明：存在定点Q ，使得|DQ |为定值．8.(20天津18)（本小题满分15分）已知椭圆22221(0)x y a b a b+=>>的一个顶点为(0,3)A -，右焦点为F ，且||||OA OF =，其中O 为原点．（Ⅰ）求椭圆的方程；（Ⅱ）已知点C 满足3OC OF =，点B 在椭圆上（B 异于椭圆的顶点），直线AB 与以C 为圆心的圆相切于点P ，且P 为线段AB 的中点．求直线AB 的方程．9.(20浙江21)（本题满分15分）如图，已知椭圆221:12x C y +=，抛物线22:2(0)C y px p =>，点A 是椭圆1C 与抛物线2C 的交点，过点A 的直线l 交椭圆1C 于点B ，交抛物线2C 于点M （B ，M 不同于A ）． （Ⅰ）若116p =，求抛物线2C 的焦点坐标； （Ⅱ）若存在不过原点的直线l 使M 为线段AB 的中点，求p 的最大值．10.（20江苏18）（本小题满分16分）在平面直角坐标系xOy 中，已知椭圆22:143x y E +=的左、右焦点分别为F 1，F 2，点A在椭圆E 上且在第一象限内，AF 2⊥F 1F 2，直线AF 1与椭圆E 相交于另一点B ．（1）求12AF F △的周长；（2）在x 轴上任取一点P ，直线AP 与椭圆E 的右准线相交于点Q ，求OP QP ⋅的最小值；（3）设点M 在椭圆E 上，记OAB △与MAB △的面积分别为S 1，S 2，若213S S =，求点M 的坐标．11.(20北京20)（本小题15分）已知椭圆2222:1x y C a b+=过点(2,1)A --，且2a b =．（Ⅰ）求椭圆C 的方程：（Ⅱ）过点(4,0)B -的直线l 交椭圆C 于点,M N ,直线,MA NA 分别交直线4x =-于点,P Q ．求||||PB BQ 的值．参考答案：1．解：（1）由题设得(,0),(,0),(0,1)A a B a G -．则(,1)AG a =，(,1)GB a =-．由8AG GB ⋅=得218a -=，即3a =．所以E 的方程为2219x y +=．（2）设1122(,),(,),(6,)C x y D x y P t ．若0t ≠，设直线CD 的方程为x my n =+，由题意可知33n -<<． 由于直线PA 的方程为(3)9t y x =+，所以11(3)9ty x =+．直线PB 的方程为(3)3t y x =-，所以22(3)3ty x =-．可得12213(3)(3)y x y x -=+．由于222219x y +=，故2222(3)(3)9x x y +-=-，可得121227(3)(3)y y x x =-++， 即221212(27)(3)()(3)0m y y m n y y n ++++++=．①将x my n =+代入2219xy +=得222(9)290m y mny n +++-=．所以212122229,99mn n y y y y m m -+=-=-++． 代入①式得2222(27)(9)2(3)(3)(9)0m n m n mn n m +--++++=． 解得3n =-（舍去），32n =． 故直线CD 的方程为32x my =+，即直线CD 过定点3(,0)2． 若0t =，则直线CD 的方程为0y =，过点3(,0)2．综上，直线CD 过定点3(,0)2．2．解：（1）由题设得A （–a ，0），B （a ，0），G （0，1）.则(,1)AG a =，GB =（a ，–1）.由AG GB ⋅=8得a 2–1=8，即a =3.所以E 的方程为29x +y 2=1．（2）设C （x 1，y 1），D （x 2，y 2），P （6，t ）.若t ≠0，设直线CD 的方程为x =my +n ，由题意可知–3<n <3. 由于直线PA 的方程为y =9t （x +3），所以y 1=9t （x 1+3）.直线PB 的方程为y =3t （x –3），所以y 2=3t（x 2–3）.可得3y 1（x 2–3）=y 2（x 1+3）.由于222219x y +=，故2222(3)(3)9x x y +-=-，可得121227(3)(3)y y x x =-++， 即221212(27)(3)()(3)0.m y y m n y y n ++++++=①将x my n =+代入2219xy +=得222(9)290.m y mny n +++-=所以12229mn y y m +=-+，212299n y y m -=+．代入①式得2222(27)(9)2(3)(3)(9)0.m n m n mn n m +--++++= 解得n =–3（含去），n =32.故直线CD 的方程为3=2x my +，即直线CD 过定点（32，0）． 若t =0，则直线CD 的方程为y =0，过点（32，0）.综上，直线CD 过定点（32，0）.3．解：（1）由已知可设2C 的方程为24y cx =，其中c =不妨设,A C 在第一象限，由题设得,A B 的纵坐标分别为2b a ，2b a -；,C D 的纵坐标分别为2c ，2c -，故22||b AB a=，||4CD c =.由4||||3CD AB =得2843b c a=，即2322()c c a a ⨯=-，解得2c a =-（舍去），12c a =.所以1C 的离心率为12.（2）由（1）知2a c =，b =，故22122:143x y C c c+=，所以1C 的四个顶点坐标分别为(2,0)c ，(2,0)c -，)，(0,)，2C 的准线为x c =-. 由已知得312c c c c +++=，即2c =.所以1C 的标准方程为2211612x y +=，2C 的标准方程为28y x =.4．解：（1）由已知可设2C 的方程为24y cx =，其中c =不妨设,A C 在第一象限，由题设得,A B 的纵坐标分别为2b a ，2b a -；,C D 的纵坐标分别为2c ，2c -，故22||b AB a=，||4CD c =.由4||||3CD AB =得2843b c a=，即2322()c c a a ⨯=-，解得2c a =-（舍去），12c a =.所以1C 的离心率为12.（2）由（1）知2a c =，b =，故22122:143x y C c c+=，设00(,)M x y ，则220022143x y c c +=，2004y cx =，故20024143x x c c+=.①由于2C 的准线为x c =-，所以0||MF x c =+，而||5MF =，故05x c =-，代入①得22(5)4(5)143c c c c --+=，即2230c c --=，解得1c =-（舍去），3c =. 所以1C 的标准方程为2213627x y +=，2C 的标准方程为212y x =.5．解：（1）由题设可得54=，得22516m =，所以C 的方程为221252516x y +=. （2）设(,),(6,)P P Q P x y Q y ，根据对称性可设0Q y >，由题意知0P y >， 由已知可得(5,0)B ，直线BP 的方程为1(5)Qy x y =--，所以||BP y =，||BQ =， 因为||||BP BQ =，所以1P y =，将1P y =代入C 的方程，解得3P x =或3-. 由直线BP 的方程得2Q y =或8.所以点,P Q 的坐标分别为1122(3,1),(6,2);(3,1),(6,8)P Q P Q -.11||PQ 11PQ 的方程为13y x =，点(5,0)A -到直线11PQ，故11APQ △的面积为1522=. 22||PQ =22P Q 的方程为71093y x =+，点A 到直线22P Q的距离为26，故22AP Q △的面积为152262⨯=. 综上，APQ △的面积为52.6．解：（1）由题设可得54=，得22516m =， 所以C 的方程为221252516x y +=. （2）设(,),(6,)P P Q P x y Q y ，根据对称性可设0Q y >，由题意知0P y >，由已知可得(5,0)B ，直线BP 的方程为1(5)Qy x y =--，所以||BP y =，||BQ =， 因为||||BP BQ =，所以1P y =，将1P y =代入C 的方程，解得3P x =或3-. 由直线BP 的方程得2Q y =或8.所以点,P Q 的坐标分别为1122(3,1),(6,2);(3,1),(6,8)P Q P Q -.11||PQ 11PQ 的方程为13y x =，点(5,0)A -到直线11PQ 的距离为2，故11APQ △的面积为1522=.22||PQ =22P Q 的方程为71093y x =+，点A 到直线22P Q故22AP Q △的面积为1522=. 综上，APQ △的面积为52.7．解：（1）由题设得22411a b +=，22212a b a -=，解得26a =，23b =． 所以C 的方程为22163x y +=． （2）设11(,)M x y ，22(,)N x y ．若直线MN 与x 轴不垂直，设直线MN 的方程为y kx m =+，代入22163x y +=得222(12)4260k x kmx m +++-=． 于是2121222426,1212km m x x x x k k -+=-=++．①由AM AN ⊥知0AM AN ⋅=，故1212(2)(2)(1)(1)0x x y y --+--=， 可得221212(1)(2)()(1)40k x x km k x x m ++--++-+=．将①代入上式可得22222264(1)(2)(1)401212m kmk km k m k k-+---+-+=++．整理得(231)(21)0k m k m +++-=．因为(2,1)A 不在直线MN 上，所以210k m +-≠，故2310k m ++=，1k ≠．于是MN 的方程为21()(1)33y k x k =--≠. 所以直线MN 过点21(,)33P -. 若直线MN 与x 轴垂直，可得11(,)N x y -.由0AM AN ⋅=得1111(2)(2)(1)(1)0x x y y --+---=. 又2211163x y +=，可得2113840x x -+=.解得12x =（舍去），123x =. 此时直线MN 过点21(,)33P -. 令Q 为AP 的中点，即41(,)33Q . 若D 与P 不重合，则由题设知AP 是Rt ADP △的斜边，故1||||2DQ AP ==. 若D 与P 重合，则1||||2DQ AP =. 综上，存在点41(,)33Q ，使得||DQ 为定值.8．（Ⅰ）解：由已知可得3b =．记半焦距为c ，由||||OF OA =可得3c b ==．又由222a b c =+，可得218a =．所以，椭圆的方程为221189x y +=． （Ⅱ）解：因为直线AB 与以C 为圆心的圆相切于点P ，所以AB CP ⊥．依题意，直线AB 和直线CP 的斜率均存在．设直线AB 的方程为3y kx =-．由方程组223,1,189y kx x y =-⎧⎪⎨+=⎪⎩消去y ，可得()2221120k x kx +-=，解得0x =，或21221k x k =+.依题意，可得点B 的坐标为2221263,2121k k k k ⎛⎫- ⎪++⎝⎭．因为P 为线段AB 的中点，点A 的坐标为(0,3)-，所以点P 的坐标为2263,2121k k k -⎛⎫ ⎪++⎝⎭．由3OC OF =，得点C 的坐标为(1,0)，故直线CP 的斜率为2230216121k k k --+-+，即23261k k -+．又因为AB CP ⊥，所以231261k k k ⋅=--+，整理得22310k k -+=，解得12k =，或1k =． 所以，直线AB 的方程为132y x =-，或3y x =-．9.（Ⅰ）由116p =得2C 的焦点坐标是1(,0)32． （Ⅱ）由题意可设直线:(0,0)l x my t m t =+≠≠，点00(,)A x y ．将直线l 的方程代入椭圆221:12x C y +=得222(2)220m y mty t +++-=， 所以点M 的纵坐标22M mt y m =-+． 将直线l 的方程代入抛物线22:2C y px =得2220y pmy pt --=，所以02M y y pt =-，解得202(2)p m y m+=， 因此22022(2)p m x m+=． 由220012x y +=得2421224()2()160m m p m m =+++≥，所以当m，t =时，p．10.解：（1）椭圆22:143x y E +=的长轴长为2a ，短轴长为2b ，焦距为2c ， 则2224,3,1a b c ===.所以12AF F △的周长为226a c +=.（2）椭圆E 的右准线为4x =.设(,0),(4,)P x Q y ，则(,0),(4,)OP x QP x y ==--，2(4)(2)44,OP QP x x x ⋅=-=--≥-在2x =时取等号.所以OP QP ⋅的最小值为4-.（3）因为椭圆22:143x y E +=的左、右焦点分别为12,F F ，点A 在椭圆E 上且在第一象限内，212AF F F ⊥， 则123(1,0),(1,0),(1,)2F F A -. 所以直线:3430.AB x y -+= 设(,)M x y ，因为213S S =，所以点M 到直线AB 距离等于点O 到直线AB 距离的3倍. 由此得|343||30403|355x y -+⨯-⨯+=⨯， 则34120x y -+=或3460x y --=. 由2234120,143x y x y -+=⎧⎪⎨+=⎪⎩得2724320x x ++=，此方程无解； 由223460,143x y x y --=⎧⎪⎨+=⎪⎩得271240x x --=，所以2x =或27x =-. 代入直线:3460l x y --=，对应分别得0y =或127y =-. 因此点M 的坐标为(2,0)或212(,)77--.11.。
2020高考数学(文科)二轮专题精讲《圆锥曲线的方程与性质》
3．(2018·全国卷Ⅱ)已知F1，F2是椭圆C的两个焦点，P是C上的一点．若PF1⊥
PF2，且∠PF2F1＝60°，则C的离心率为( )
A．1－
3 2
B．2－ 3
3－1 C. 2
D. 3－1
解析：选 D 不妨设椭圆方程为ax22＋by22＝1(a＞b＞0)．
在Rt△F1PF2中，因为∠PF2F1＝60°，|F1F2|＝2c， 所以|PF2|＝c，|PF1|＝ 3c. 由椭圆的定义得|PF1|＋|PF2|＝2a，即 3c＋c＝2a， 所以椭圆的离心率e＝ac＝ 32＋1＝ 3－1.故选D.
2．求解圆锥曲线标准方程的方法是“先定型，后计算” (1)定型：就是指定类型，也就是确定圆锥曲线的焦点位置，从而设出标准方 程． (2)计算：即利用待定系数法求出方程中的a2，b2或p.另外，当焦点位置无法确定 时，抛物线方程常设为y2＝2ax或x2＝2ay(a≠0)，椭圆方程常设为mx2＋ny2＝1(m＞ 0，n＞0，且m≠n)，双曲线方程常设为mx2－ny2＝1(mn＞0)．
(2)当 0＜m＜3 时，椭圆 C 的焦点在 x 轴上，如图(1)，A(－ 3，0)，B( 3，0)．
当点 M 运动到短轴的端点时，∠AMB 取最大值，此时∠AMB≥120°. 则|MO|≤1，即 0＜m≤1；
当 m＞3 时，椭圆 C 的焦点在 y 轴上，如图(2)，A(0， m)，B(0，－ m)．
A. 2
B．2
C.3 2 2
D．2 2
解析：选D ∵e＝ac＝
1＋ba2＝ 2，且a＞0，b＞0，
∴ba＝1，∴C的渐近线方程为y＝±x，
∴点(4,0)到C的渐近线的距离为 |42| ＝2 2.
2．(2019·大连模拟)已知椭圆C：
【高考复习】2020年高考数学(文数) 圆锥曲线 大题练(含答案解析)
【高考复习】2020年高考数学(文数)圆锥曲线 大题练1.已知抛物线E ：y 2=2px(p ＞0)的焦点F ，E 上一点(3，m)到焦点的距离为4.(1)求抛物线E 的方程；(2)过F 作直线l ，交抛物线E 于A ，B 两点，若直线AB 中点的纵坐标为－1，求直线l 的方程．2.已知椭圆12222=+b y a x (a>b>0)的离心率为21,且经过点P （1,1.5）,过它的两个焦点F 1,F 2分别作直线l 1与l 2,l 1交椭圆于A,B 两点,l 2交椭圆于C,D 两点,且l 1⊥l 2.(1)求椭圆的标准方程;(2)求四边形ACBD 的面积S 的取值范围.3.已知椭圆C:12222=+by a x (a>b>0)的离心率为22,点(2,2)在C 上.(1)求C 的方程;(2)直线l 不过原点O 且不平行于坐标轴,l 与C 有两个交点A,B,线段AB 的中点为M,证明:直线OM 的斜率与直线l 的斜率的乘积为定值.4.已知椭圆的中心是坐标原点O,焦点在x 轴上,短轴长为2,且两个焦点和短轴的两个端点恰为一个正方形的顶点.过右焦点F 与x 轴不垂直的直线l 交椭圆于P,Q 两点. (1)求椭圆的方程;(2)在线段OF 上是否存在点M(m,0),使得|MP|=|MQ|?若存在,求出m 的取值范围;若不存在,请说明理由.5.在平面直角坐标系中，直线2x －y ＋m=0不过原点，且与椭圆y 24＋x22=1有两个不同的公共点A ，B.(1)求实数m 的取值所组成的集合M ；(2)是否存在定点P 使得任意的m ∈M ，都有直线PA ，PB 的倾斜角互补？若存在，求出所有定点P 的坐标；若不存在，请说明理由．6.已知椭圆C ：x 2a 2＋y 2b 2=1(a>b>0)的焦距为4，P ⎝⎛⎭⎪⎫2，55是椭圆C 上的点．(1)求椭圆C 的方程；(2)O 为坐标原点，A ，B 是椭圆C 上不关于坐标轴对称的两点，设OD ―→=OA ―→＋OB ―→， 证明：直线AB 的斜率与OD 的斜率的乘积为定值．7.如图，椭圆C ：x 2a 2＋y2b2=1(a>b>0)的左顶点与上顶点分别为A ，B ，右焦点为F ，点P 在椭圆C上，且PF ⊥x 轴，若AB ∥OP ，且|AB|=2 3. (1)求椭圆C 的方程；(2)已知Q 是C 上不同于长轴端点的任意一点，在x 轴上是否存在一点D ，使得直线QA 与QD 的斜率乘积恒为－12，若存在，求出点D 的坐标，若不存在，说明理由．8.设抛物线C ：y 2=4x 的焦点为F ，过F 且斜率为k(k>0)的直线l 与C 交于A ，B 两点，|AB|=8.(1)求l 的方程；(2)求过点A ，B 且与C 的准线相切的圆的方程．答案解析1.解：(1)抛物线E ：y 2=2px(p ＞0)的准线方程为x=－p 2，由抛物线的定义可知3－⎝ ⎛⎭⎪⎫－p 2 =4， 解得p=2，∴抛物线E 的方程为y 2=4x.(2)法一：由(1)得抛物线E 的方程为y 2=4x ，焦点F(1,0)， 设A ，B 两点的坐标分别为A(x 1，y 1)，B(x 2，y 2)，则⎩⎪⎨⎪⎧y 21＝4x 1，y 22＝4x 2，两式相减，整理得y 2－y 1x 2－x 1 =4y 2＋y 1(x 1≠x 2)．∵线段AB 中点的纵坐标为－1，∴直线l 的斜率k AB =4y 2＋y 1=4－12=－2，∴直线l 的方程为y －0=－2(x －1)，即2x ＋y －2=0.法二：由(1)得抛物线E 的方程为y 2=4x ，焦点F(1,0)， 设直线l 的方程为x=my ＋1，由⎩⎪⎨⎪⎧y 2＝4x ，x ＝my ＋1消去x ，得y 2－4my －4=0.设A ，B 两点的坐标分别为A(x 1，y 1)，B(x 2，y 2)， ∵线段AB 中点的纵坐标为－1， ∴y 1＋y 22 =4m 2=－1，解得m=－12，∴直线l 的方程为x=－12y ＋1，即2x ＋y －2=0.2.解:3.解：4.解:5.解：(1)因为直线2x －y ＋m=0不过原点，所以m≠0.将2x －y ＋m=0与y 24＋x22=1联立，消去y ，得4x 2＋22mx ＋m 2－4=0.因为直线与椭圆有两个不同的公共点A ，B ，所以Δ=8m 2－16(m 2－4)>0， 所以－22<m<2 2.故实数m 的取值所组成的集合M 为(－22，0)∪(0,22)．(2)假设存在定点P(x 0，y 0)使得任意的m ∈M ，都有直线PA ，PB 的倾斜角互补， 即k PA ＋k PB =0.令A(x 1，2x 1＋m)，B(x 2，2x 2＋m)，则2x 1＋m －y 0x 1－x 0＋2x 2＋m －y 0x 2－x 0=0，整理得22x 1x 2＋(m －2x 0－y 0)(x 1＋x 2)＋2x 0(y 0－m)=0.(*)由(1)知x 1＋x 2=－2m 2，x 1x 2=m 2－44，代入(*)式化简得⎝ ⎛⎭⎪⎫22y 0－x 0m ＋2(x 0y 0－2)=0，则⎩⎪⎨⎪⎧22y 0－x 0＝0，x 0y 0－2＝0，解得⎩⎨⎧x 0＝1，y 0＝2或⎩⎨⎧x 0＝－1，y 0＝－2，所以定点P 的坐标为(1，2)或(－1，－2)．经检验，此两点均满足题意． 故存在定点P 使得任意的m ∈M ，都有直线PA ，PB 的倾斜角互补， 且定点P 的坐标为(1，2)或(－1，－2)． 6.解：(1)由题意知2c=4，即c=2，则椭圆C 的方程为x 2a 2＋y2a 2－4=1，因为点P ⎝⎛⎭⎪⎫2，55在椭圆C 上，所以4a 2＋12－=1， 解得a 2=5或a 2=165(舍去)，所以椭圆C 的方程为x 25＋y 2=1.(2)设A(x 1，y 1)，B(x 2，y 2)，x 1≠x 2且x 1＋x 2≠0，由OA ―→＋OB ―→=OD ―→， 得D(x 1＋x 2，y 1＋y 2)，所以直线AB 的斜率k AB =y 1－y 2x 1－x 2，直线OD 的斜率k OD =y 1＋y 2x 1＋x 2，由⎩⎪⎨⎪⎧x 215＋y 21＝1，x 225＋y 22＝1，得15(x 1＋x 2)(x 1－x 2)＋(y 1＋y 2)(y 1－y 2)=0， 即y 1＋y 2x 1＋x 2·y 1－y 2x 1－x 2=－15，所以k AB ·k OD =－15. 故直线AB 的斜率与OD 的斜率的乘积为定值－15.7.解：(1)由题意得A(－a,0)，B(0，b)，可设P(c ，t)(t>0)，∴c 2a 2＋t 2b 2=1，得t=b 2a ，即P ⎝ ⎛⎭⎪⎫c ，b 2a ，由AB ∥OP 得b a =b 2a c，即b=c ，∴a 2=b 2＋c 2=2b 2，①又|AB|=23，∴a 2＋b 2=12，②由①②得a 2=8，b 2=4，∴椭圆C 的方程为x 28＋y24=1.(2)假设存在D(m,0)，使得直线QA 与QD 的斜率乘积恒为－12，设Q(x 0，y 0)(y 0≠0)，则x 208＋y 204=1，③∵k QA ·k QD =－12，A(－22，0)，∴y 0x 0＋22·y 0x 0－m =－12(x 0≠m)，④由③④得(m －22)x 0＋22m －8=0，即⎩⎨⎧m －22＝0，22m －8＝0，解得m=22，∴存在点D(22，0)，使得k QA ·k QD =－12.8.解：(1)由题意得F(1,0)，l 的方程为y=k(x －1)(k>0)． 设A(x 1，y 1)，B(x 2，y 2)， 由⎩⎪⎨⎪⎧y ＝－，y 2＝4x得k 2x 2－(2k 2＋4)x ＋k 2=0. Δ=16k 2＋16>0，故x 1＋x 2=2k 2＋4k2.所以|AB|=|AF|＋|BF|=(x 1＋1)＋(x 2＋1)=4k 2＋4k2.由题设知4k 2＋4k2=8，解得k=1或k=－1(舍去)．因此l 的方程为y=x －1.(2)由(1)得AB 的中点坐标为(3,2)，所以AB 的垂直平分线方程为y －2=－(x －3)， 即y=－x ＋5.设所求圆的圆心坐标为(x 0，y 0)，则⎩⎪⎨⎪⎧y 0＝－x 0＋5，0＋2＝0－x 0＋22＋16.解得⎩⎪⎨⎪⎧x 0＝3，y 0＝2或⎩⎪⎨⎪⎧x 0＝11，y 0＝－6.因此所求圆的方程为(x －3)2＋(y －2)2=16或(x －11)2＋(y ＋6)2=144.。
2020衡水名师文科数学专题卷：专题十三《圆锥曲线与方程》
2020衡水名师原创文科数学专题卷专题十三 圆锥曲线与方程考点39：椭圆及其性质(1-5题，13,14题) 考点40：双曲线及其性质（6-10题，15题） 考点41：抛物线及其性质（11,12题）考点42：直线与圆锥曲线的位置关系（17-22题） 考点43：圆锥曲线的综合问题（16题，17-22题）1、若椭圆22143:x C y +=的左焦点为F ，点P 在椭圆C 上，则PF 的最大值为( ) A ．5B ．2C ．3D ．72、点(,1)A a 在椭圆22142x y +=的内部,则a 的取值范围是( ) A.11a -<<B.a <a >C.22?a -<<D.a <<3、已知椭圆2222:1(0)x y E a b a b +=>>的右焦点为F ，短轴的一端点为M ，直线:340l x y -=交椭圆E 于,A B 两点.若4AF BF +=，点M 到直线l 的距离不小于45，则椭圆E 的离心率的取值范围是( )A.⎛ ⎝⎦B.30,4⎛⎤ ⎥⎝⎦C.⎫⎪⎪⎣⎭D.3,14⎡⎫⎪⎢⎣⎭4、已知点000(,)()P x y x a ≠±在椭圆2222:1(0)x y C a b a b+=>>上.若点M 为椭圆C 的右顶点，且PO PM ⊥(O 为坐标原点)，则椭圆C 的离心率e 的取值范围是( )A.0,3⎛⎫ ⎪ ⎪⎝⎭B.()0,1C.2⎛⎫⎪ ⎪⎝⎭D.0,2⎛⎫ ⎪ ⎪⎝⎭5、已知椭圆221369x y +=以及椭圆内一点(4,2)P ，则以P 为中点的弦所在直线的斜率为( ) A. 12-B ．12C ．-2D ．2 6、已知双曲线E 的中心为坐标原点，(3,0)F 是双曲线E 的焦点，过点F 的直线l 与双曲线E 分别相交于,A B 两点，且AB 的中点为(12,15)N --，则双曲线E 的方程为( )A.22136x y -= B.22145x y -= C.22163x y -= D.22154x y -= 7、中心在原点，实轴在x 轴上，一个焦点在直线34120x y -+=上的等轴双曲线方程是( ) A.228x y -=B.224x y -=C.228y x -=D.224y x -=8、方程22123y xm m +=-+表示双曲线,则实数m 的取值范围是 ( ) A ．32m -<< B ．13m -<<C ．34m -<<D ．30m -<<9、过双曲线122=-y x 的右焦点且与右支有两个交点的直线，其倾斜角范围是（ ） A.[0,π) B.πππ3π(,)(,)4224⋃ C.π3π(,)44 D.ππ(0,)(,π)22⋃ 10、已知双曲线()2222:10,0x y C a b a b -=>>,若存在过右焦点F 的直线与双曲线 C 相交于,A B 两点且3AF BF =,则双曲线离心率的最小值为( )C.2D.11、如图，过抛物线28y x =焦点F 的直线l 与抛物线交于A ， B 两点，与抛物线的准线交于C点，若B 是AC 的中点，则AB =（ ）A ． 8B ． 9C ．10D ．1212、若点A 的坐标为(3,2),F 是抛物线24y x =的焦点，点M 在抛物线上移动时，使MF MA +取得最小值的M 的坐标为（ ）A ．(0,0)B ．1(,1)2C ．D ．(1,2)13、椭圆()2222:10x y C a b a b+=>>右焦点为F ，存在直线y t =与椭圆C 交于,A B 两点，使得ABF △为顶角是120︒的等腰三角形，则椭圆C 的离心率e =____________14、已知()4,2是直线L 被椭圆221369x y +=所截得的线段的中点,则L 的方程是__________.15、已知F 是双曲线22221(0,0)x y a b a b-=>>的左焦点，E 是双曲线的右顶点，过点F 且垂直于x 轴的直线与双曲线交于,A B 两点，若ABE △是锐角三角形，则该双曲线的离心率e 的取值范围为________．16、有下列命题：(1)双曲线221259x y -=与椭圆22135x y +=有相同的焦点； (2)“102x -<<”是“22530x x -<-”的必要不充分条件； (3)若向量a 与向量b 共线，则向量,a b 所在直线平行； (4)若A B C 、、三点不共线，O 是平面ABC 外一点，111333OM OA OB OC =++，则点M 一定在平面ABC 上;其中是真命题的是_____（填上正确命题的序号）17、平面直角坐标系xOy 中,过椭圆2222:1(0)x y M a b a b +=>>右焦点的直线0x y +-=交M 于,A B 两点,P 为AB 的中点,且OP 的斜率为12. 1.求M 的方程;2.,C D 为M 上两点,若四边形ACBD 的对角线CD AB ⊥,求四边形ACBD 面积的最大值.18、已知双曲线2222:1(0,0)x y C a b a b-=>>的焦距为4，且过点(3,-.1.求双曲线的方程及其渐近线方程；2.若直线:2l y kx =+与双曲线C 有且只有一个公共点，求实数k 的值. 19、已知椭圆的焦点在x 轴上，焦距为4，并且经过点53(,)22- 1.求该椭圆的标准方程；2.该椭圆上是否存在一点，它到直线:100l x y --=的距离最小？最小距离是多少？20、已知抛物线()220y px p =>的焦点为,F A 是抛物线上横坐标为4,且位于x 轴上方的点, A 到抛物线准线的距离等于5.过A 作AB 垂直于y 轴,垂足为B ,OB 的中点为M . 1.求抛物线方程;2.过M 作MN FA ⊥,垂足为N ,求点N 的坐标;3.以M 为圆心,MB 为半径作圆M ,当(),0K m 是x 轴上一动点时,讨论直线AK 与圆M 的位置关系.21、已知椭圆2222:1(0)x y C a b a b +=>>的一个顶点为(2,0)A ，离心率为2.直线(1)y k x =-与椭圆C 交于不同的两点,M N .1.求椭圆C 的方程；2.当AMN △的面积为3时，求实数k 的值.22、如图，已知椭圆2222:1(0)x y C a b a b+=>>的右焦点为F ，点(2,1)在椭圆上．1.求椭圆C 的方程；2.设直线l 与圆22:2O x y +=相切，与椭圆C 相交于,P Q 两点，求证：以线段PQ 为直径的圆恒过原点．答案以及解+析1答案及详细分析： 答案：C 详细分析：2答案及详细分析： 答案：D 详细分析：3答案及详细分析： 答案：A详细分析：如图，设左焦点为0F ，连接00,F A F B ,则四边形0AFBF 为平行四边形.∵4AF BF +=,∴04AF AF +=,∴2a =.设(0,)M b ，则4455b ≥，∴12b ≤<.∴离心率c e a ⎛==== ⎝⎦，故选A4答案及详细分析： 答案：C详细分析：因为PO PM ⊥，所以点P 在以线段OM 为直径的圆上，圆心为,02a ⎛⎫⎪⎝⎭，半径为2a ，所以圆的方程为22224a a x y ⎛⎫-+= ⎪⎝⎭.与椭圆方程联立得222210b x ax b a ⎛⎫--+= ⎪⎝⎭，由题意知此方程在区间上(0,)a 上有解.又因为a 为此方程的一个根，所以方程对应的抛物线的对称要介于2a 与a 之间，即22221a a a b a <<⎛⎫- ⎪⎝⎭.又因为椭圆中222a b c =+，所以221122a c<<，所以12e <<.故选C.5答案及详细分析： 答案：A 详细分析：6答案及详细分析：答案：B详细分析：设双曲线E 的标准方程为22221(0,0)x y a b a b-=>>，由题意知223,9c a b =+=.设1122(,),(,)A x y B x y ，则22112222222211x y a b x y a b ⎧-=⎪⎪⎨⎪-=⎪⎩两式作差得22212122221212()124()155y y b x x b b x x a y y a a -+-===-+-.又因为直线AB 的斜率是1501123--=--，所以2245b a =，代入229a b +=得224,5a b ==，所以双曲线E 的标准方程是22145x y -=.7答案及详细分析： 答案：A详细分析：在直线34120x y -+=中，令0y =得，4x =-，∴等轴双曲线的一个焦点坐标为()4,0-,∴4c =，∴221116822a c ==⨯=，故选A8答案及详细分析： 答案：A 详细分析：9答案及详细分析： 答案：C 详细分析：10答案及详细分析： 答案：C详细分析：因为过右焦点的直线与双曲线 C 相交于,A B 两点且3AF BF =, 故直线与双曲线相交只能如图所示的情况, 即A 点在双曲线的左支,B 点在右支,设()()1122,,,A x y B x y ,右焦点()(),00F c c >, 因为3AF BF =,所以()12212,32c x c x x x c -=--=, 由图可知,12,x a x a ≤-≥, 所以12,33x a x a -≥≥, 故2134x x a -≥, 即24,2cc a a≥≥, 即2e ≥,故选C.11答案及详细分析： 答案：B 详细分析：12答案及详细分析： 答案：D详细分析：如图，已知24y x =，可知焦点(1,0)F ，准线：1x =-，过点A 作准线的垂线，与抛物线交于点M ,作根据抛物线的定义，可知BM MF =MF MA MB MA +=+取最小值，已知(3,2)A ，可知M 的纵坐标为2，代入24y x =中， 得M 的横坐标为1， 即(1,2)M . 故选：D13答案及详细分析：1 详细分析：14答案及详细分析： 答案：280x y +-= 详细分析：15答案及详细分析： 答案：()1,2详细分析：∵ABE △为等腰三角形，可知只需45AEF ∠<︒即可，即2b AF EF ac a<<⇒+，化简得220e e --<，又1,12e e >∴<<，∴该双曲线的离心率e 的取值范围为()1,2．16答案及详细分析： 答案：(1)(4) 详细分析：17答案及详细分析：答案：1.设()()()112200,,,,,,A x y B x y P x y则2211221x y a b +=,2222221x y a b+=,21211y y x x -=--. 由此可得2212122121()1()b x x y ya y y x x +-=-=+-.因为1201202,2x x x y y y +=+=,0012y x =, 所以222a b =.又由题意知,M的右焦点为0), 故223a b -=. 因此226,3a b ==.所以M 的方程为22163x y +=. 2.由220163x y x y +-=+=⎧⎪⎨⎪⎩,解得33x y ⎧⎪==⎨-⎪⎪⎪⎩,或0x y ⎧==⎪⎨⎪⎩因此AB =. 由题意可设直线CD的方程为3y x n n ⎛=+-<< ⎝,设()()3344,,,C x y D x y .由22163y x n x y ⎧=++=⎪⎨⎪⎩,得2234260x nx n ++-=.于是3,4x =因为直线CD 的斜率为1,所以43CD x =-=由已知,四边形ACBD的面积12S CD AB =⋅=.当0n =时,S 取得最大值,. 所以四边形ACBD面积的最大值为3. 详细分析：18答案及详细分析： 答案：1.由题意得222249241a b a b⎧+=⎪⎨-=⎪⎩解得2213a b ⎧=⎨=⎩ ∴双曲线的方程为2213y x -=，其渐近线方程为y =. 2.由22213y kx y x =+⎧⎪⎨-=⎪⎩得22(3)470k x kx ---=. 由题意得222301628(3)0k k k ⎧-≠⎨∆=+-=⎩∴27k =，∴k =当直线l 与双曲线C的渐近线y =平行，即k =时， 直线l 与双曲线C只有一个公共点，∴k =k =详细分析：19答案及详细分析：答案：1.由题意设椭圆的方程为22221(0)x y a b a b+=>>,则22222c a a b c =⎧⎪⎪==⎨⎪⎪=+⎩a b ==∴所求椭圆的标准方程为221106x y += 2.设直线m 的方程为0x y n -+= 由2211060x y x y n ⎧+=⎪⎨⎪-+=⎩,消去y 得228105300x nx n ++-=由0∆=解得4n =±由图像可知,当4n =-时,直线m 与椭圆的交点到l 的距离最近 直线m 与直线l间的距离d == ∴详细分析：20答案及详细分析：答案：1.抛物线()220y px p =>准线为2p x =-, 于是452p +=,所以2p =. 于是抛物线方程为24y x =.2.因为点A 的坐标是()4,4,由题意得()0,4B ,()0,2M ,又()1,0F ,所以43FA k =,MN FA ⊥,34MN k =-. 则FA 的方程为()413y x =-,MN 的方程为324y x -=- 解方程组()413324y x y x =--=-⎧⎪⎪⎨⎪⎪⎩得8545x y ⎧⎪⎪⎨==⎪⎪⎩, 所以84,55N ⎛⎫⎪⎝⎭.3.由题意得,圆M 的圆心是点()0,2,半径为2.当4m =时,直线AK 的方程为4x =,此时,直线AK 与圆M 相离, 当4m ≠时,直线AK 的方程为()44y x m m =-- 即为()4440x m y m ---=圆心()0,2M 到直线AK 的距离d =,令2d >解得1m >.所以当1m >时,直线AK 与圆M 相离;当1m =时,直线AK 与圆M 相切;当1m <时,直线AK 与圆M 相交.详细分析：21答案及详细分析： 答案：1.由题意得22222a c a a b c =⎧⎪⎪=⎨⎪=+⎪⎩，解得b c ⎧=⎪⎨=⎪⎩ 所以椭圆C 的方程为22142x y +=. 2.由22(1)142y k x x y =-⎧⎪⎨+=⎪⎩得2222(12)4240k x k x k +-+-=. 设点,M N 的坐标分别为1122(,),(,)x y x y ，则221122121222424(1),(1),,1212k k y k x y k x x x x x k k -=-=-+==++，所以MN ===又因为点(2,0)A 到直线(1)y k x =-的距离d =，所以AMN △的面积12S MN d =⋅=3=，解得1k =±. 详细分析：22答案及详细分析：答案：1.由题意，得c =223a b -=， 又22411a b +=， 解得226,3a b ==． 所以椭圆的方程为22163x y +=； 2. ①若直线PQ 的斜率不存在，则直线PQ的方程为x =x =当x =P，Q ．因为0OP OQ ⋅=，所以OP OQ ⊥．当x =OP OQ ⊥，即有②若直线PQ 的斜率存在，设直线PQ 的方程为y kx m =+，即0kx y m -+=．=2222m k =+；将直线PQ 方程代入椭圆方程，得222)(124260k x kmx m +-++=．设1122,),,()(P x y Q x y ， 则有2121222426,1212km m x x x x k k -+=-=++， 因为12121212()()x x y y x x kx m O kx m P OQ ⋅++++==22222121222264(1(1()1212))()m km k x x km x x m k km m k k -=+++++⋅+-+++= 将2222m k =+代入上式可得0OP OQ ⋅=， 所以以线段PQ 为直径的圆恒过原点． 详细分析：。
2020年高考文科数学《圆锥曲线》题型归纳与训练
12020年高考文科数学《圆锥曲线》题型归纳与训练【题型归纳】题型一 求曲线的方程例1 已知定点()0,3-G ，S 是圆()723:22=+-y x C （C 为圆心）上的动点，SG 的垂直平分线与SC 交于点E ，设点E 的轨迹为M . 求M 的方程. 【答案】见解析【解析】由题意知ES EG =，所以26=+=+EC ES EC EG ,又因为266<=GC .所以点E 的轨迹是以G ，C 为焦点，长轴长为26的椭圆，动点E 的轨迹方程为191822=+y x . 例2 设O 为坐标原点，动点M 在椭圆22:12x C y +=上，过点M 作x 轴的垂线，垂足为N ， 点P 满足2NP NM =.求点P 的轨迹方程.【答案】见解析【解析】如图所示，设(),P x y ，(),0N x ，()1,M x y . 由2NP NM =知，1y =，即1y . 又点M 在椭圆2212x y +=上，则有22122x y +=，即222x y +=.例3 如图，矩形ABCD 中， ()()()()2,0,2,0,2,2,2,2A B C D -- 且,AM AD DN DC λλ==,[]0,1,AN λ∈交BM 于点Q .若点Q 的轨迹是曲线P 的一部分，曲线P 关于x 轴、y 轴、原点都对称,求曲线P 的轨迹方程.【答案】Q 的轨迹为第二象限的14椭圆，由对称性可知曲线P 的轨迹方程为2214x y +=. 【解析】设(),Q x y ，由,AM AD DN DC λλ==,求得()()2,2,42,2M N λλ--,∵1,22QA AN QB BM k k k k λλ====-,∴11224QA QB k k λλ⎛⎫⋅=⋅-=- ⎪⎝⎭, ∴1224y y x x ⋅=-+-，整理得()22120,014x y x y +=-≤≤≤≤.可知点Q 的轨迹为第二象限的14椭圆，由对称性可知曲线P 的轨迹方程为2214x y +=. 【易错点】求轨迹问题学生容易忽视范围 【思维点拨】高考中常见的求轨迹方程的方法有:1.直译法与定义法：直译法求轨迹方程:题目给出的条件可以直接得到一个关于动点坐标的关系式,化简; 定义法求轨迹方程:轨迹方程问题中,若能得到与所学过的圆锥曲线定义相符的结论,可以根据相应圆锥曲线的定义求出相关的参数,从而得到方程.2.相关点法：找动点之间的转化关系（平移，伸缩，中点，垂直等），用要求的代替已知轨迹的，代入化简3.参数法：可用联立求得参数方程，消参.注意此种问题通常范围有限制.4.交轨法：联立求交点，变形的轨迹. 题型二 最值（范围）问题例1 已知F 为抛物线C ：x y 42=的焦点，过F 作两条互相垂直的直线1l ，2l ，直线1l 与C 交于A 、B 两点，直线2l 与C 交于D 、E 两点，则DE AB +的最小值为（ ）A. 16B. 14C. 12D. 10 【答案】A【解析】设()()()()11223344,,,,,,,A x y B x y D x y E x y ，直线1l 的方程为()11y k x =-，联立方程()214 1y x y k x ==-⎧⎪⎨⎪⎩，得2222111240k x k x x k --+=，∴21122124k x x k --+=- 212124k k +=， 同理直线2l 与抛物线的交点满足：22342224k x x k ++=， 由抛物线定义可知12342AB DE x x x x p +=++++=22122222121224244448816k k k k k k ++++=++≥=， 当且仅当121k k =-=（或1-）时，取等号.【易错点】本题考查抛物线的焦点弦长,利用抛物线的焦点弦长公式,表示出DE AB +,然后利用基本不等3式求最值.对相关流程应有所熟练例2 已知点A (0,2)-，椭圆E ：22221(0)x y a b a b+=>>F 是椭圆E 的右焦点，直线AF，O 为坐标原点． （1）求E 的方程；（2）设过点A 的动直线l 与E 相交于,P Q 两点，当OPQ ∆的面积最大时，求l 的方程． 【答案】见解析【解析】（1）2(c,0)F c c 设，由条件知，222=2, 1.2c a b a c a ==-=又所以 22 1.4x E y +=故的方程为 （2）1122:=2,(,),(,).l x l y kx P x y Q x y ⊥-当轴时不合题意，故设22214x y kx y =-+=将代入得22(14)16120.k x kx +-+=221,2238=16(43)0,441k k k x k ±∆->>=+当即时，12241PQ x k =-=+从而O PQ d OPQ =∆又点到直线的距离所以的面积1=2OPQ S d PQ ∆⋅=244,0,.44OPQ t t t S t t t∆=>==++则44,20.2t t k t +≥==±∆>因为当且仅当，即OPQ ∆所以，当的面积最大时，l的方程为2222y x y x =-=--或． 【思维点拨】 圆锥曲线中的取值范围问题常用的方法有以下几个：(1)利用已知参数的范围，求新参数的范围，解这类问题的关键是在两个参数之间建立等量关系； (2)利用基本不等式求出参数的取值范围；(3)利用函数的值域的求法（甚至求导），确定参数的取值范围． 题型三 定点定值与存在性问题例1 已知椭圆C ：()222210x y a b a b +=>>上.（1）求C 的方程.（2）直线l 不过原点O 且不平行于坐标轴，l 与C 有两个交点A ，B ，线段AB 的中点为M .直线OM 的斜率与直线l 的斜率的乘积为定值. 【答案】见解析【解析】 （1）由题意有2a =，22421a b+=，解得28a =，24b =. 所以C 的方程为22184x y +=. （2）设直线l ：()00y kx b kb =+≠≠，，()11A x y ，， ()22B x y ，，()M M M x y ，.将 y kx b =+代入22184x y +=得()22221+4280k x kbx b ++-=. 故1222221M x x kb x k +-==+，221M M by kx b k =+=+ . 于是直线OM 的斜率12M OM M y k x k ==-，即12OM k k ⋅=-. 所以直线OM 的斜率与直线l 的斜率的乘积为定值.【思维点拨】解析几何是高考必考内容之一，在命题时多从考查各种圆锥曲线方程中的基本量关系及运算，在直线与圆锥曲线关系中.一般用方程的思想和函数的观点来解决问题，并会结合中点坐标，方程根与函数关系来求解.5例2 已知抛物线2:4C y x =，点()0,m M 在x 轴的正半轴上，过M 点的直线l 与抛物线C 相交于A ，B 两点，O 为坐标原点.(1) 若1=m ，且直线l 的斜率为1，求以AB 为直径的圆的方程； (2) 是否存在定点M ，使得不论直线:l x ky m =+绕点M 如何转动，2211AMBM+恒为定值？【答案】（1）()()223216x y -+-=. (2)存在定点M (2, 0). 【解析】（1）当1=m 时，()0,1M ，此时，点M 为抛物线C 的焦点，直线l 的方程为1-=x y ，设()()1122,,A x y B x y ，，联立24{ 1y xy x ==-，消去y 得， 2610x x -+=，∴126x x +=， 121224y y x x +=+-=，∴圆心坐标为(3, 2). 又1228AB x x =++=，∴圆的半径为4，∴圆的方程为()()223216x y -+-=. (2)由题意可设直线l 的方程为x ky m =+，则直线l 的方程与抛物线2:4C y x =联立， 消去x 得： 2440y ky m --=，则124y y m =-， 124y y k +=，()()22222211221111AMBMx m y x m y +=+-+-+()()()22122222222121211111y y k y k y k y y +=+=+++ ()()()()222121222222221221682111621y y y y k m k mky y k m m k +-++===+++ 对任意k R ∈恒为定值，于是2=m ，此时221114AMBM+=. ∴存在定点()0,2M ，满足题意. 【易错点】定点、定值问题同证明问题类似，在求定点、定值之前已知该值的结果（取特殊位置或特殊值），因此求解时应设参数，运用推理，到最后必定参数统消，定点、定值显现.【思维点拨】定点、定值问题通常先假设存在，推证满足条件的结论，若结论正确，则存在；若结论不正确，则不存在．在求解中通过设参数或取特殊值来确定“定点”是什么、“定值”是多少，或者将该问题涉及的几何式转化为代数式或三角问题，证明该式是恒定的.【巩固训练】题型一 求曲线的方程1.设圆222150x y x ++-=的圆心为A ，直线l 过点()0,1B 且与x 轴不重合，l 交圆A 于C ，D 两点，过B 作AC 的平行线交AD 于点E .证明EA EB +为定值，并写出点E 的轨迹方程. 【答案】13422=+y x （0≠y ） 【解析】因为||||AC AD =，AC EB //，故ADC ACD EBD ∠=∠=∠， 所以||||ED EB =，故||||||||||AD ED EA EB EA =+=+.又圆A 的标准方程为16)1(22=++y x ，从而4||=AD ，所以4||||=+EB EA .由题设得)0,1(-A ，)0,1(B ，2||=AB ，由椭圆定义可得点E 的轨迹方程为13422=+y x （0≠y ）.2.已知动圆G 过定点()4,0F ，且在y 轴上截得的弦长为8.求动圆G 的圆心点G 的轨迹方程； 【答案】28y x =【解析】设动圆圆心(),G x y ，设圆交y 轴于,M N 两点，连接,GF GM ， 则GF GM =，过点G 作GH MN ⊥，则点H 是MN 的中点， 显然()22224,4GM x GF x y =+=-+，于是()222244x y x -+=+，化简整理得28y x =，故的轨迹方程为28y x =.73.已知抛物线C ：22y x =的焦点为F ，平行于x 轴的两条直线12,l l 分别交C 于A B ，两点，交C 的准线于P Q ，两点．（1）若F 在线段AB 上，R 是PQ 的中点，证明AR FQ ∥；（2）若PQF △的面积是ABF △的面积的两倍，求AB 中点的轨迹方程. 【答案】（1）见解析； （2）12-=x y ．【解析】由题设)0,21(F .设b y l a y l ==:,:21，则0≠ab ，且记过B A ,两点的直线为l ，则l 的方程为0)(2=++-ab y b a x .（1）由于F 在线段AB 上，故01=+ab .记AR 的斜率为1k ，FQ 的斜率为2k ，则222111k b aaba ab a b a a b a k =-=-==--=+-=.所以FQ AR ∥. （2）设l 与x 轴的交点为)0,(1x D ， 则1111,2222ABF PQF a b S b a FD b a x S -=-=--=△△. 由题设可得221211b a x a b -=--，所以01=x （舍去），11=x . 设满足条件的AB 的中点为),(y x E . 当AB 与x 轴不垂直时，由DE AB k k =可得)1(12≠-=+x x yb a . 而y b a =+2，所以)1(12≠-=x x y . 当AB 与x 轴垂直时，E 与D 重合.所以，所求轨迹方程为12-=x y .题型二 最值（范围）问题1.已知动点E 到点A ()2,0与点B ()2,0-的直线斜率之积为14-，点E 的轨迹为曲线C ． （1）求C 的方程；（2）过点D ()1,0作直线l 与曲线C 交于P ， Q 两点，求OP OQ ⋅的最大值．【答案】（1）()22124x y x +=≠±（2）14 【解析】（1）设(),E x y ，则2x ≠±．因为E 到点A ()2,0，与点B ()2,0-的斜率之积为14-，所以122y y x x ⋅=-+-，整理得C 的方程为()22124x y x +=≠±．（2）当l 垂直于轴时，l 的方程为1x =，代入2214x y +=得2P ⎛⎫ ⎪ ⎪⎝⎭， 1,2Q ⎛- ⎝⎭．11,1,224OP OQ ⎛⎫⎛⎫⋅=⋅-= ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭．当l 不垂直于x 轴时，依题意可设()()10y k x k =-≠，代入2214x y +=得 ()2222148440k xk x k +-+-=．因为()216130k ∆=+>，设()11,P x y ， ()22,Q x y ．则2122814k x x k +=+， 21224414k x x k-=+． ()()21212121211OP OQ x x y y x x k x x ⋅=+=+-- ()()22212121k x x k x x k =+-++21174416k =-+ 14<综上OP OQ ⋅ 14≤，当l 垂直于x 轴时等号成立，故OP OQ ⋅的最大值是14．92.设椭圆()2222:10x y M a b a b +=>>经过点12,,P F F ⎭是椭圆M 的左、右焦点，且12PF F ∆的面积为2． （1）求椭圆M 的方程；（2）设O 为坐标原点，过椭圆M 内的一点()0,t 作斜率为k 的直线l 与椭圆M 交于,A B 两点，直线,OA OB 的斜率分别为12,k k ，若对任意实数k ，存在实数m ，使得12k k mk +=，求实数m 的取值范围．【答案】（1）22143x y +=；（2）[)2,m ∈+∞． 【解析】（1）略（2）设直线l 的方程为y kx t =+，由221{ 43x y y kx t+==+， 得()2223484120k x ktx t +++-=，设()()1122,,,A x y B x y ，则21212228412,3434kt t x x x x k k-+=-=++， ()212121221212122223t x x y y t t kt k k k k k k x x x x x x t ++=+=+++=+=--， 由12k k mk +=对任意k 成立，得22223t m t =--，∴()232m t m-=，又()0,t 在椭圆内部中，∴203t ≤<，∴2m ≥，即[)2,m ∈+∞．题型三 定点定值与存在性问题1.已知12,F F 分别是椭圆2222:1(0)x y E a b a b+=>>的左、右焦点，离心率为12， ,M N 分别是椭圆的上、下顶点， 22•2MF NF =-. （1）求椭圆E 的方程；（2）若直线y kx m =+与椭圆E 交于相异两点,A B ，且满足直线,MA MB 的斜率之积为14，证明：直线AB 恒过定点，并求定点的坐标.【答案】（1）22143x y +=（2）直线AB恒过定点(0,.【解析】（1）由题知()0,2c F ，()b M ,0，()b N -,0，22222-=-=⋅∴b c NF MF ① 由21==a c e ，得c a 2= ② 又222cb a =- ③ 由①②③联立解得：42=a ，32=b ∴椭圆E 的方程为13422=+y x . （2）证明：由椭圆E 的方程得，上顶点()3,0M ， 设()11,y x A ，()22,y x B ，由题意知，01≠x ，02≠x由⎪⎩⎪⎨⎧=++=13422y x mkx y 得：()()034843222=-+++m kmx x k∴221438kkmx x +-=+，()22214334k m x x +-=， 又111133x m kx x y k MA -+=-=，222233x m kx x y k MB -+=-=， 由41=⋅NB MA k k ，得()()2121334x x m kx m kx =-+-+， ()()()()()()0433483414342222=+-+--+--k m km m k k m ，化简得：06332=+-m m 解得：3=m 或32=m ，结合01≠x ，02≠x 知32=m ，11即直线AB 恒过定点()32,0.2.已知椭圆C ：22221(0)x y a b a b+=>>的离心率为2，(,0)A a ，(0,)B b ，(0,0)O ，ΔOAB 的面积为1．（1）求椭圆C 的方程；（2）设P 是椭圆C 上一点，直线PA 与y 轴交于点M ，直线PB 与x 轴交于点N ．求证：||||AN BM ⋅为定值．【答案】（1） 1422=+y x （2）见解析. 【解析】（1）由题意得⎪⎪⎪⎩⎪⎪⎪⎨⎧+===,,121,23222c b a ab ac 解得1,2==b a . 所以椭圆C 的方程为1422=+y x . （2）由（1）知，)1,0(),0,2(B A ，设),(00y x P ，则442020=+y x .当00≠x 时，直线PA 的方程为)2(200--=x x y y . 令0=x ，得2200--=x y y M .从而221100-+=-=x y y BM M . 直线PB 的方程为110+-=x x y y . 令0=y ，得100--=y x x N .从而12200-+=-=y x x AN N . 所以221120000-+⋅-+=⋅x y y x BM AN 228844224844400000000000000002020+--+--=+--+--++=y x y x y x y x y x y x y x y x y x 4=.当00=x 时，10-=y ，,2,2==AN BM 所以4=⋅BM AN .综上，BM AN ⋅为定值.3. 在平面直角坐标系xOy 中，已知椭圆C ：22221(0)x y a b a b+=>>的离心率e =C 上的点 到(0,2)Q 的距离的最大值为3． （1）求椭圆C 的方程；（2）在椭圆C 上，是否存在点(,)M m n 使得直线l ：1mx ny +=与圆O ：221x y += 相交于不同的两点,A B ，且OAB ∆的面积最大？若存在，求出点M 的坐标及相对应的OAB ∆的面积；若不存在，请说明理由．【答案】（1） 2213x y += （2）见解析【解析】（1）由2223c e c a a ==⇒=，所以222213b ac a =-= 设(,)P x y 是椭圆C 上任意一点，则22221x y a b+=，所以222222(1)3y x a a y b =-=-||PQ ===所以，当1y =-时，||PQ 3=，可得a =1,b c ==故椭圆C 的方程为：2213x y += （2）存在点M 满足要求，使OAB ∆得面积最大．假设直线:1l mx ny +=与圆22:1O x y +=相交于不同两点,A B , 则圆心O 到l 的距离1d =<，∴221m n +> ①因为(,)M m n 在椭圆C 上，所以2213m n +=②，由①②得：203m <∵||AB ==所以1||2OABSAB d =⋅=2213m n =-代入上式13得213221213OABmS m m ∆==+⋅，当且仅当22231(0,3]32m m =⇒=∈，∴2231,22m n ==，此时满足要求的点(22M ±±有四个． 此时对应的OAB ∆的面积为12． 4.已知过抛物线()022>=p px y 的焦点F ，斜率为的直线交抛物线于()()()112212,,,A x y B x y x x < 两点，且6AB =.（1）求该抛物线E 的方程；（2）过点F 任意作互相垂直的两条直线12,l l ，分别交曲线E 于点,C D 和,M N .设线段,CD MN 的中点分别为,P Q ，求证：直线PQ 恒过一个定点.【答案】（1）24y x = （2）直线PQ 恒过定点()3,0.【解析】（1）抛物线的焦点,02p F ⎛⎫⎪⎝⎭，∴直线AB 的方程为：2p y x ⎫=-⎪⎭联立方程组22{ 2y pxp y x =⎫=-⎪⎭，消元得： 22204p x px -+=， ∴212122,4p x x p x x+==∴6AB ===，解得2p =±.∵0p >，∴抛物线E 的方程为：24y x =.（2）设,C D 两点坐标分别为()()1122,,,x y x y ，则点P 的坐标为1212,22x x y y ++⎛⎫⎪⎝⎭.. 由题意可设直线1l 的方程为()()10y k x k =-≠. 由()24{1y x y k x ==-，得()2222240k x k x k -++=.()24224416160k k k ∆=+-=+>因为直线1l 与曲线E 于,C D 两点，所以()1212122442,2x x y y k x x k k+=++=+-=. 所以点P 的坐标为2221,k k ⎛⎫+⎪⎝⎭. 由题知，直线2l 的斜率为1k-，同理可得点Q 的坐标为()212,2k k +-. 当1k ≠±时，有222112k k +≠+，此时直线PQ 的斜率2222221112PQ kk k k k k k+==-+--. 所以，直线PQ 的方程为()222121k y k x k k+=---，整理得()230yk x k y +--=. 于是，直线PQ 恒过定点()3,0； 当1k=±时，直线PQ 的方程为3x =，也过点()3,0.综上所述，直线PQ 恒过定点()3,0.。
专题50 圆锥曲线(多选题部分)(解析版)
专题50 圆锥曲线（多选题部分）一、题型选讲题型一 、圆锥曲线定义与性质的考查例1、（202年山东卷）已知曲线22:1C mx ny +=（ ） A ．若0m =，0n >，则C 是两条直线 B ．若0m n =>，则CC ．若0m n >>，则C 是椭圆，其焦点在x 轴上D ．若0mn <，则C是双曲线，其渐近线方程为y = 【答案】AD【详解】对于A ，若0m =，0n >，则2:1C ny =即y =，为两条直线，故A 正确； 对于B ，若0m n =>，则221:C x y n +=，所以CB 错误； 对于C ，若0m n >>，则110m n<<， 所以22:1C mx ny +=即22:111x y C m n +=为椭圆，且焦点在y 轴上，故C 错误； 对于D ，若0mn <，则22:111x y C m n +=为双曲线，且其渐近线为y ==，故D 正确.例2、已知双曲线C过点(且渐近线方程为3y x =±，则下列结论正确的是（ ） A ．C 的方程为2213x y -=B ．CC ．曲线21x y e -=-经过C 的一个焦点 D．直线10x -=与C 有两个公共点【答案】AC【详解】对于A：由双曲线的渐近线方程为3y x =±，可设双曲线方程为223x y λ-=，把点代入，得923λ-=，即1λ=．∴双曲线C 的方程为2213x y -=，故A 正确； 对于B ：由23a =，21b =，得2c =，∴双曲线C=，故B 错误； 对于C ：取20x +=，得2x =-，0y =，曲线21x y e +=-过定点(2,0)-，故C 正确；对于D ：双曲线的渐近线0x ±=，直线10x --=与双曲线的渐近线平行，直线10x -=与C 有1个公共点，故D 不正确．故选：AC ．例3、（2020·山东济南外国语学校高三月考）已知双曲线的左、右焦点分别为为双曲线上一点，且，若，则对双曲线中的有关结论正确的是（ ） A ．B ．C ．D ．【答案】ABCD【解析】由双曲线的定义知：， 由，在中，由余弦定理可得：，22221(0,0)x y a b a b-=>>12,,F F P122PF PF =12sin 4F PF ∠=,,,a b c e e =2e =b =b =12212,4PF PF PF a PF a -==∴=12sin F PF ∠=121cos 4F PF ∠=±12PF F △222416412244a a c a a +-=±⨯⨯解得或，， 或，又， 可得或故选：ABCD例4、已知双曲线，若的离心率最小，则此时（ ）A．BC ．双曲线的一个焦点坐标为D【答案】AB【解析】因为，所以双曲线的焦点在轴上，所以，，所以．又双曲线的离心率，则．因为，所以，当且仅当，即时，等号成立，则双曲线的离心率最小时，，，，则双曲，故A ，B 正确；双曲线的焦点坐标为（，0），故C 错误；焦点，故D 错误.故选：AB ．题型二圆锥曲线的综合性问题例5、的椭圆为“黄金椭圆”．如图，已知椭圆C ：22221(0)x y a b a b +=>>，12,A A 分别为左、右顶点，1B ，2B 分别为上、下顶点，1F ，2F 分别为左、右焦点，P 为椭圆上一点，则满足下列条件能使椭圆C 为“黄金椭圆”的有（ ）224c a =226c a=2ce a∴==2c a ∴=c =222c a b =+b =b =()222:104x y C m m m m -=>-+C 2m =0y ±=)0m >C x 2a m =224b m m =-+224c m =+c e a =222244c m e m a m m+===+0m >244e m m =+≥=4m m=2m =C 22a =26b =28c =0y ±=±()0y +=2==A ．2112212A F F A F F ⋅= B ．11290F B A ∠=︒C ．1PF x ⊥轴，且21//PO A BD ．四边形221AB A B 的内切圆过焦点1F ，2F【答案】BD【详解】∵椭圆2222:1(0)x y C a b a b+=>>∴121212(,0),,0),(0,),(0,),(,0),(,)(0A a A a B b B b F c F c ---对于A ，若2112212A F F A F F ⋅=，则22()(2)a c c -=，∴2a c c -=，∴13e =，不满足条件，故A 不符合条件；对于B ，11290F B A ︒∠=，∴222211112A F B F B A =+ ∴2222()a c a a b +=++，∴220c ac a +-= ∴210e e +-=，解得e =e =，故B 符合条件； 对于C ，1PF x ⊥轴，且21//PO A B ，∴2,b P c a ⎛⎫- ⎪⎝⎭∵21PO A B k k =∴2b c ab a =--，解得 ∵，∴b c =222a b c =+a =∴，不满足题意，故C不符合条件；对于D，四边形的内切圆过焦点即四边形的内切圆的半径为c，∴∴，∴，解得（舍去）或，∴，故D符合条件．例6、已知椭圆()22:10x yC a ba b+=>>的左、右焦点分别为1F，2F且122F F=，点()1,1P在椭圆内部，点Q在椭圆上，则以下说法正确的是（）A．1QF QP+的最小值为1B．椭圆C的短轴长可能为2C．椭圆C的离心率的取值范围为⎛⎝⎭D．若11PF FQ=，则椭圆C【答案】ACD【详解】A.因为12||2F F，所以22(1,0),||1F PF=，所以122||||||||||1QF QP QF QP PF+=+≥=，当2,,Q F P，三点共线时，取等号，故正确；B．若椭圆C的短轴长为2，则1,2b a==，所以椭圆方程为22121x y+=，11121+>，则点P在椭圆外，故错误；C．因为点(1,1)P在椭圆内部，所以111a b+<，又1a b-=，所以1b a=-，所以1111+<-a a，即2310a a-+>，解得236(1244a+++>==，12+>，所以12=<e，所以椭圆C的离心率的取值范围为，故正确；2cea===1221A B A B12,F F1221A B A B ab=422430c a c a-+=42310e e-+=235e+=235e-=51e-=D ．若11PF FQ =，则1F 为线段PQ 的中点，所以(3,1)Q --，所以911+=a b，又1a b -=，即21190-+=a a ，解得a ====，所以椭圆C，故正确．例7、（2020·山东高三开学考试）已知双曲线，过其右焦点的直线与双曲线交于两点、，则（ ）A ．若、同在双曲线的右支，则的斜率大于B ．若在双曲线的右支，则最短长度为C ．的最短长度为D ．满足的直线有4条 【答案】BD【解析】易知双曲线的右焦点为，设点、，设直线的方程为， 当时，直线的斜率为， 联立，消去并整理得. 则，解得. 对于A 选项，当时，直线轴，则、两点都在双曲线的右支上，此时直线的斜率不存在，A 选项错误；对于B 选项，，B 选项正确； 对于C 选项，当直线与轴重合时，，C 选项错误； 对于D 选项，当直线与轴重合时，； 当直线与轴不重合时，由韦达定理得，， 22:1916x y C -=F l A B A B l 43A FA 2AB 32311AB =C ()5,0F ()11,A x y ()22,B x y l 5x my =+0m ≠l 1k m=225169144x my x y =+⎧⎨-=⎩x ()221691602560m y my -++=()()222222169016042561699610m m m m ⎧-≠⎪⎨∆=-⨯-=+>⎪⎩34m ≠0m =l x ⊥A B l min 532F c a A =-=-=l x 32263AB a ==<l x 2611AB a ==≠l x 122160169m y y m +=--122256169y y m =-由弦长公式可得，解得或.故满足的直线有条，D 选项正确. 故选：BD.例8、（2020·江苏扬州中学高二月考）已知椭圆的左、右焦点分别为，且，点在椭圆内部，点在椭圆上，则以下说法正确的是（ ）A ．的最小值为B ．椭圆的短轴长可能为2C ．椭圆的离心率的取值范围为D ．若，则椭圆【答案】ACD【解析】A. 因为，所以，所以，当，三点共线时，取等号，故正确；B.若椭圆的短轴长为2，则，所以椭圆方程为，，则点在椭圆外，故错误；C. 因为点在椭圆内部，所以，又，所以，所以，即，解得，所以，所以椭圆的离心率的取值范围为，故正确；()2122961169m AB y y m +=-==-()226161611169m m +==-4m =±m =11AB =4()22:10x y C a b a b+=>>1F 2F 122F F =()1,1P Q 1QF QP +21a -C C ⎛ ⎝⎭11PF FQ =C 122F F =()221,0,1=F PF 1222221+=-+≥-=-QF QP a QF QP a PF a 2,,Q F P C 1,2b a ==22121x y +=11121+>P ()1,1P 111a b+<1a b -=1b a =-1111+<-a a 2310a a -+>(2136244++>==a >12=<e C 10,2⎛⎫⎪ ⎪⎝⎭D. 若，则为线段的中点，所以，所以，又，即，解得，所以椭圆的，故正确.故选：ACD例9、（2020届山东省枣庄、滕州市高三上期末）在平面直角坐标系xOy 中，抛物线2:2C y px =(0)p >的焦点为F ，准线为l.设l 与x 轴的交点为K ，P 为C 上异于O 的任意一点，P 在l 上的射影为E ，EPF ∠的外角平分线交x 轴于点Q ，过Q 作QN PE ⊥交EP 的延长线于N ，作QM PF ⊥交线段PF 于点M ，则（ ）A ．||||PE PF =B ．||||PF QF =C ．||||PN MF =D ．||||PN KF =【答案】ABD 【解析】由抛物线的定义，PE PF =，A 正确；∵//PN QF ，PQ 是FPN ∠的平分线，∴FQP NPQ FPQ ∠=∠=，∴||||PF QF =，B 正确； 若||||PN MF =，由PQ 是外角平分线，QN PE ⊥，QM PF ⊥得QM QN =，从而有PM PN =，于是有PM FM =，这样就有QP QF =，PFQ ∆为等边三角形，60FPQ ∠=︒，也即有60FPE ∠=︒，11PF FQ =1F PQ ()3,1Q --911+=a b1a b -=21190-+=a a 21122244++===a =C这只是在特殊位置才有可能，因此C 错误；连接EF ，由A 、B 知PE QF =，又//PE QF ，EPQF 是平行四边形，∴EF PQ =，显然EK QN =，∴KF PN =，D 正确．二、达标训练1、（2020·山东高三其他模拟）关于双曲线与双曲线，下列说法正确的是（ ）.A ．它们有相同的渐近线B ．它们有相同的顶点C ．它们的离心率不相等D ．它们的焦距相等【答案】CD【解析】双曲线的顶点坐标，渐近线方程：，离心率为：，焦距为10．双曲线，即：，它的顶点坐标，渐近线方程：，离心率为：，焦距为10． 所以它们的离心率不相等，它们的焦距相等． 故选：．2、（2020届山东省滨州市高三上期末）已知双曲线C ：22221(0,0)x y a b a b -=>>的左、右焦点分别为1(5,0)F -，2(5,0)F ，则能使双曲线C 的方程为221169x y -=的是( )A ．离心率为54B ．双曲线过点95,4⎛⎫ ⎪⎝⎭C ．渐近线方程为340±=x yD ．实轴长为4【答案】ABC【解析】由题意，可得：焦点在x 轴上，且5c =；A 选项，若离心率为54，则4a =，所以2229b c a =-=，此时双曲线的方程为：221169x y -=，故A 正确；221:1916x y C -=222:1916y x C -=-221:1916x y C -=(3,0)430x y ±=53222:1916y x C -=-221169x y -=(4,0)±340±=x y 54CDB 选项，若双曲线过点95,4⎛⎫ ⎪⎝⎭，则22222812516125a b a b c ⎧⎪⎪-=⎨⎪+==⎪⎩，解得：22169a b ⎧=⎨=⎩；此时双曲线的方程为：221169x y -=，故B 正确；C 选项，若双曲线的渐近线方程为340±=x y ，可设双曲线的方程为：22(0)169x y m m -=>，所以216925c m m =+=，解得：1m =，所以此时双曲线的方程为：221169x y -=，故C 正确； D 选项，若实轴长为4，则2a =，所以22221b c a =-=，此时双曲线的方程为：224121x y -=，故D 错误；故选：ABC.3、（2020届山东省德州市高三上期末）已知抛物线2:2C y px =()0p >的焦点为F经过点F ，直线l 与抛物线C 交于点A 、B 两点（点A 在第一象限），与抛物线的准线交于点D ，若8AF =，则以下结论正确的是（ ） A ．4p = B ．DF FA =C ．2BD BF =D ．4BF =【答案】ABC 【解析】 如下图所示：分别过点A 、B 作抛物线C 的准线m 的垂线，垂足分别为点E 、M .抛物线C 的准线m 交x 轴于点P ，则PF p =，由于直线l 60，//AE x 轴，60EAF ∴∠=，由抛物线的定义可知，AE AF =，则AEF ∆为等边三角形，60EFP AEF ∴∠=∠=，则30PEF ∠=，228AF EF PF p ∴====，得4p =，A 选项正确；2AE EF PF ==，又//PF AE ，F ∴为AD 的中点，则DF FA =，B 选项正确；60DAE ∴∠=，30ADE ∴∠=，22BD BM BF ∴==（抛物线定义），C 选项正确； 2BD BF =，118333BF DF AF ∴===，D 选项错误. 故选：ABC.4、（2020届山东省日照市高三上期末联考）过抛物线24y x =的焦点F 作直线交抛物线于A ，B 两点，M为线段AB 的中点，则（ ） A ．以线段AB 为直径的圆与直线32x =-相离 B ．以线段BM 为直径的圆与y 轴相切 C ．当2AF FB =时，92AB = D ．AB 的最小值为4【答案】ACD【解析】对于选项A ，点M 到准线1x =-的距离为()1122AF BF AB +=，于是以线段AB 为直径的圆与直线1x =-一定相切，进而与直线32x =-一定相离： 对于选项B ，显然AB 中点的横坐标与12BM 不一定相等，因此命题错误. 对于选项C ，D ，设()11,A x y ，()22,B x y ，直线AB 方程为1x my =+，联立直线与抛物线方程可得2440y my --=，124y y =-，121=x x ，若设()24,4A a a ，则211,4B aa ⎛⎫- ⎪⎝⎭，于是21221424AB x x p a a=++=++，AB 最小值为4；当2AF FB =可得122y y =-， 142a a ⎛⎫=-- ⎪⎝⎭，所212a =，92AB =.故选:ACD.5、（2020届山东省临沂市高三上期末）已知P 是椭圆C ：2216x y +=上的动点，Q 是圆D ：()22115x y ++=上的动点，则（ ）A ．CB ．C 的离心率为6C ．圆D 在C 的内部D ．PQ 【答案】BC【解析】2216x y += a ∴=，1b =c ∴===C 的焦距为c e a ===.设(), P x y （x ≤≤， 则()()22222256441111665555x x y x x PD ⎛⎫++=++-=++≥> ⎪⎝⎭=，所以圆D 在C 的内部，且PQ =. 故选：BC .6、（2020届山东省烟台市高三上期末）已知抛物线2:4C y x =的焦点为F 、准线为l ，过点F 的直线与抛物线交于两点()11,P x y ，()22,Q x y ，点P 在l 上的射影为1P ，则 （ ） A ．若126x x +=，则8PQ =B ．以PQ 为直径的圆与准线l 相切C ．设()0,1M ，则1PM PP +≥D ．过点()0,1M 与抛物线C 有且仅有一个公共点的直线至多有2条 【答案】ABC【解析】对于选项A,因为2p =,所以122x x PQ ++=,则8PQ =,故A 正确；对于选项B,设N 为PQ 中点,设点N 在l 上的射影为1N ,点Q 在l 上的射影为1Q ,则由梯形性质可得111222PP QQ PF QF PQ NN ++===,故B 正确； 对于选项C,因为()1,0F ,所以1PM PP PM PF MF +=+≥=故C 正确； 对于选项D,显然直线0x =,1y =与抛物线只有一个公共点,设过M 的直线为1y kx =+, 联立214y kx y x=+⎧⎨=⎩,可得()222410k x k x +-+=,令0∆=,则1k =,所以直线1y x =+与抛物线也只有一个公共点,此时有三条直线符合题意,故D 错误； 故选：ABC7、（2020·福清西山学校高二期中）在平面直角坐标系中，动点与两个定点和连线的斜率之积等于，记点的轨迹为曲线，直线：与交于，两点，则（ ） A ．的方程为B ．C ．的渐近线与圆相切D ．满足的直线仅有1条【答案】AC【解析】设点，整理得，所以点的轨迹为曲线的方程为，故A 正确；又离心率，故B 不正确； 圆的圆心到曲线的渐近线为的距离为，又圆的半径为1，故C 正确；直线与曲线的方程联立整理得，设， ，且，xOy P ()1F)2F 13P E l ()2y k x =-E A B E 221(3x y x -=≠E E ()2221x y -+=AB =l (),P xy 13=2213x y -=P E 221(3x y x -=≠e ==()2221x y -+=()20，E y x =1d ==()2221x y -+=l E ()2221(3y k x x y x ⎧=-⎪⎨-=≠⎪⎩()222213+121230k x x k k ---=()()1122,,A B x y x y ，()()()224214441312312+1>0kk kk ∆=----=2130k -≠有，所以， 要满足，则需或或，当,此时，而曲线E 上，所以满足条件的直线有两条，故D 不正确，故选：AC .2122221212123+,1313x xx k x kk k ---==--)221+13k AB k===-AB =)221+13k k=-0k =1k =1k =-0k =)()AB ，x ≠。
2020届苏教版(文科数学) 圆锥曲线与方程
2020届苏教版（文科数学） 圆锥曲线与方程 (2) 单元测试 1.已知椭圆C ：x 2a 2＋y 2b 2＝1(a >b >0)的左、右焦点为F 1、F 2，离心率为33，过F 2的直线l 交C 于A 、B 两点．若△AF 1B 的周长为43，则C 的方程为( )A.x 23＋y 22＝1 B.x 23＋y 2＝1 C.x 212＋y 28＝1 D.x 212＋y 24＝1答案 A解析 ∵x 2a 2＋y 2b 2＝1(a >b >0)的离心率为33，∴c a ＝33.又∵过F 2的直线l 交椭圆于A ，B 两点，△AF 1B 的周长为43，∴4a ＝43，∴a ＝ 3.∴b ＝2， ∴椭圆方程为x 23＋y 22＝1，选A.2．设F 1，F 2分别是椭圆E ：x 2＋y2b 2＝1(0<b <1)的左、右焦点，过点F 1的直线交椭圆E 于A ，B 两点．若|AF 1|＝3|F 1B |，AF 2⊥x 轴，则椭圆E 的方程为________．答案 x 2＋32y 2＝1解析 不妨设点A 在第一象限，∵AF 2⊥x 轴，∴A (c ，b 2)，又|AF 1|＝3|F 1B |，∴AF 1→＝3F 1B →，得B ⎝ ⎛⎭⎪⎫－5c 3，－b 23将其代入椭圆方程化简得25c 29＋b 29＝1，又c 2＝1－b 2，得b 2＝23，故椭圆E 的方程为x 2＋32y 2＝1.3．已知椭圆C ：x 29＋y 24＝1，点M 与C 的焦点不重合．若M 关于C 的焦点的对称点分别为A ，B ，线段MN 的中点在C 上，则|AN |＋|BN |＝________.答案 12解析 如图，设MN 的中点为P ，则由F 1是AM 的中点，可知|AN |＝2|PF 1|.同理可得可知|BN |＝2|PF 2|. ∴|AN |＋|BN |＝2(|PF 1|＋|PF 2|)．根据椭圆定义得|PF 1|＋|PF 2|＝2a ＝6，∴|AN |＋|BN |＝12.4.已知椭圆x 2a 2＋y 2b 2＝1(a >b >0)的左焦点为F (－c,0)，离心率为33，点M 在椭圆上且位于第一象限，直线FM 被圆x 2＋y 2＝b 24截得的线段的长为c ，|FM |＝433.(1)求直线FM 的斜率； (2)求椭圆的方程；(3)设动点P 在椭圆上，若直线FP 的斜率大于2，求直线OP (O 为原点)的斜率的取值范围．解 (1)由已知有c 2a 2＝13，又由a 2＝b 2＋c 2，可得a 2＝3c 2，b 2＝2c 2. 设直线FM 的斜率为k (k >0)，则直线FM 的方程为y ＝k (x ＋c )．由已知，有⎝⎛⎭⎪⎪⎫kck 2＋12＋⎝ ⎛⎭⎪⎫c 22＝⎝ ⎛⎭⎪⎫b 22，解得k ＝33.(2)由(1)得椭圆方程为x 23c 2＋y 22c 2＝1，直线FM 的方程为y ＝33(x ＋c )，两个方程联立，消去y ，整理得3x 2＋2cx －5c 2＝0，解得x ＝－53c 或x ＝c .因为点M 在第一象限，可得M 的坐标为⎝ ⎛⎭⎪⎫c ，233c .由|FM |＝(c ＋c )2＋⎝ ⎛⎭⎪⎫233c －02＝433，解得c ＝1，所以椭圆的方程为x 23＋y 22＝1.(3)设点P 的坐标为(x ，y )，直线FP 的斜率为t ，得t ＝yx ＋1，即y ＝t (x ＋1)(x ≠－1)，与椭圆方程联立⎩⎪⎨⎪⎧y ＝t (x ＋1)，x 23＋y 22＝1，消去y ，整理得2x 2＋3t 2(x ＋1)2＝6.又由已知，得t ＝ 6－2x 23(x ＋1)2>2，解得－32<x <－1或－1<x <0.设直线OP 的斜率为m ，则m ＝yx ，即y ＝mx (x ≠0)，与椭圆方程联立，整理可得m 2＝2x 2－23.①当x ∈⎝⎛⎭⎪⎫－32，－1时，有y ＝t (x ＋1)<0，因此m >0，于是m ＝2x 2－23，得m ∈⎝ ⎛⎭⎪⎫23，233.②当x ∈(－1,0)时，有y ＝t (x ＋1)>0，因此m <0，于是m ＝－2x 2－23，得m ∈⎝ ⎛⎭⎪⎫－∞，－233.综上，直线OP 的斜率的取值范围是⎝⎛⎭⎪⎫－∞，－233∪⎝ ⎛⎭⎪⎫23，233. 5．平面直角坐标系xOy 中，已知椭圆C ：x 2a 2＋y 2b 2＝1(a >b >0)的离心率为32，左、右焦点分别是F 1，F 2.以F 1为圆心以3为半径的圆与以F 2为圆心以1为半径的圆相交，且交点在椭圆C 上．(1)求椭圆C 的方程；(2)设椭圆E ：x 24a 2＋y 24b 2＝1，P 为椭圆C 上任意一点．过点P 的直线y ＝kx ＋m 交椭圆E 于A ，B 两点，射线PO 交椭圆E 于点Q .(ⅰ)求|OQ ||OP |的值；(ⅱ)求△ABQ 面积的最大值． 解 (1)由题意知2a ＝4，则a ＝2. 又c a ＝32，a 2－c 2＝b 2，可得b ＝1， 所以椭圆C 的方程为x 24＋y 2＝1. (2)由(1)知椭圆E 的方程为x 216＋y 24＝1.(ⅰ)设P (x 0，y 0)，|OQ ||OP |＝λ， 由题意知Q (－λx 0，－λy 0)．因为x 204＋y 20＝1，又(－λx 0)216＋(－λy 0)24＝1，即λ24⎝ ⎛⎭⎪⎫x 204＋y 20＝1，所以λ＝2，即|OQ ||OP |＝2. (ⅱ)设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)． 将y ＝kx ＋m 代入椭圆E 的方程， 可得(1＋4k 2)x 2＋8kmx ＋4m 2－16＝0. 由Δ>0，可得m 2<4＋16k 2.①则有x 1＋x 2＝－8km1＋4k 2，x 1x 2＝4m 2－161＋4k2. 所以|x 1－x 2|＝416k 2＋4－m 21＋4k2. 因为直线y ＝kx ＋m 与y 轴交点的坐标为(0，m )， 所以△OAB 的面积S ＝12|m ||x 1－x 2| ＝216k 2＋4－m 2|m |1＋4k2＝2(16k 2＋4－m 2)m 21＋4k2＝2 ⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫4－m 21＋4k 2m 21＋4k2. 设m 21＋4k2＝t .将y ＝kx ＋m 代入椭圆C 的方程，可得(1＋4k 2)x 2＋8kmx ＋4m 2－4＝0， 由Δ≥0，可得m 2≤1＋4k 2.② 由①②可知0<t ≤1. 因此S ＝2(4－t )t ＝2－t 2＋4t .故S ≤23，当且仅当t ＝1，即m 2＝1＋4k 2时取得最大值2 3. 由(ⅰ)知，△ABQ 面积为3S ， 所以△ABQ 面积的最大值为6 3.6．如图，在平面直角坐标系xOy 中，已知椭圆x 2a 2＋y 2b 2＝1(a >b >0)的离心率为22，且右焦点F 到左准线l 的距离为3.(1)求椭圆的标准方程；(2)过F 的直线与椭圆交于A ，B 两点，线段AB 的垂直平分线分别交直线l 和AB 于点P ，C ，若PC ＝2AB ，求直线AB 的方程．解 (1)由题意，得c a ＝22且c ＋a 2c ＝3，解得a ＝2，c ＝1，则b ＝1，所以椭圆的标准方程为x 22＋y 2＝1.(2)当AB ⊥x 轴时，AB ＝2，又CP ＝3，不合题意．当AB 与x 轴不垂直时，设直线AB 的方程为y ＝k (x －1)，A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，将AB 的方程代入椭圆方程，得(1＋2k 2)x 2－4k 2x ＋2(k 2－1)＝0，则x 1,2＝2k 2±2(1＋k 2)1＋2k 2，C 的坐标为⎝ ⎛⎭⎪⎫2k 21＋2k 2，－k 1＋2k 2， 且AB ＝(x 2－x 1)2＋(y 2－y 1)2＝(1＋k 2)(x 2－x 1)2＝22(1＋k 2)1＋2k2. 若k ＝0，则线段AB 的垂直平分线为y 轴，与左准线平行，不合题意．从而k ≠0，故直线PC 的方程为y ＋k 1＋2k 2＝－1k ·⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫x －2k 21＋2k 2，则P 点的坐标为⎝⎛⎭⎪⎫－2，5k 2＋2k (1＋2k 2)， 从而PC ＝2(3k 2＋1)1＋k 2|k |(1＋2k 2). 因为PC ＝2AB ，所以2(3k 2＋1)1＋k 2|k |(1＋2k 2)＝42(1＋k 2)1＋2k2， 解得k ＝±1.此时直线AB 方程为y ＝x －1或y ＝－x ＋1.。
2020年高考数学全国1卷圆锥曲线
9 ⋅ 9y21
9y22
(x1 + 3)2 = (x2 − 3)2
因为 C, D 在椭圆 E 上，则
9y21 = 9 − x21 , 9y22 = 9 − x22
代入 (2) 式，得
9 ⋅ (9 − x21) 9 − x22 (x1 + 3)2 = (x2 − 3)2
化简得
4x1x2 − 15(x1 + x2) + 36 = 0
3
3
( ) 情形二 当直线 CD 的斜率不存在时，设为 x = m ，则此时 x1 = x2 = m, y1 = − y2 ，代入 (1) 式求得 m = 2 ，过点 2 , 0
3Hale Waihona Puke ( ) 综上，直线 CD 过定点 2 , 0 . Processing math: 100%
3y2
x1 + 3 = x2 − 3
情形一 当直线 CD 斜率存在时，设直线 CD 的方程为 y = kx + m ，联立
{y = kx + m x2 + 9y2 = 9
⟹
(1 + 9k2)x2 + 18kmx
+ 9m2 − 9
=
0
18km
9m2 − 9
则 x1 + x2 = − 1 + 9k2 , x1x2 = 1 + 9k2 ，将 (1) 式两边平方得
2020年高考数学全国 1卷圆锥曲线
x2
→→
已知 A, B 分别为椭圆 E: a2 + y2 = 1(a > 0) 的左、右顶点，G 为 E 的上顶点，AG ⋅ GB = 8 ，P 为直线 x = 6 上的动点，PA 与 E 的另一交点
2020年高考数学 试题解析分项版之专题10 圆锥曲线--教师版 文
2020年高考试题解析数学（文科）分项版之专题10 圆锥曲线--教师版一、选择题:1．（2020年高考新课标全国卷文科4）设12F F 是椭圆2222:1(0)x y E a b a b +=>>的左、右焦点，P 为直线32a x =上一点，12PF F ∆是底角为30o 的等腰三角形，则E 的离心率为（ ）()A 12 ()B 23 ()C 34()D 452. （2020年高考新课标全国卷文科10）等轴双曲线C 的中心在原点，焦点在x 轴上，C 与抛物线x y 162=的准线交于,A B 两点，43AB =；则C 的实轴长为（ ）()A 2 ()B 22 ()C 4 ()D 83. (2020年高考山东卷文科11)已知双曲线1C ：22221(0,0)x y a b a b -=>>的离心率为2.若抛物线22:2(0)C x py p =>的焦点到双曲线1C 的渐近线的距离为2，则抛物线2C 的方程为 (A) 283x y = (B) 2163x y = (C)28x y = (D)216x y = 【答案】D【解析】抛物线的焦点 )2,0(p，双曲线的渐近线为x a b y ±=，不妨取x a b y =，即4. (2020年高考浙江卷文科8)如图，中心均为原点O 的双曲线与椭圆有公共焦点，M ，N 是双曲线的两顶点。
若M ，O ，N 将椭圆长轴四等分，则双曲线与椭圆的离心率的比值是A.3B.2C. 3D. 25. (2020年高考湖南卷文科6)已知双曲线C ：22x a -22y b=1的焦距为10 ，点P （2,1）在C 的渐近线上，则C 的方程为A ．220x -25y =1 B.25x -220y =1 C.280x -220y =1 D.220x -280y =1【答案】A【解析】设双曲线C ：22x a -22y b=1的半焦距为c ，则210,5c c ==.又Q C 的渐近线为b y x a =±，点P （2,1）在C 的渐近线上，12ba∴=g ，即2a b =. 又222c a b =+，25,5a b ∴==，∴C 的方程为220x -25y =1.【考点定位】本题考查双曲线的方程、双曲线的渐近线方程等基础知识，考查了数形结合的思想和基本运算能力，是近年来常考题型.6.（2020年高考辽宁卷文科12）已知P,Q 为抛物线x 2=2y 上两点，点P,Q 的横坐标分别为4，-2，过P,Q 分别作抛物线的切线，两切线交于点A ，则点A 的纵坐标为 (A) 1 (B) 3 (C) -4 (D) -87. (2020年高考福建卷文科5)已知双曲线22x a-25y =1的右焦点为（3,0），则该双曲线的离心率等于 A31414 B 324 C 32 D 438.(2020年高考全国卷文科5)椭圆的中心在原点，焦距为4，一条准线为4x =-，则该椭圆的方程为（A ）2211612x y += （B ）221128x y += （C ）22184x y += （D ）221124x y += 【答案】C【解析】椭圆的焦距为4，所以2,42==c c 因为准线为4-=x ，所以椭圆的焦点在x 轴上，且42-=-ca ，所以842==c a ，448222=-=-=c ab ，所以椭圆的方程为14822=+y x ，选C.9.(2020年高考全国卷文科10)已知1F 、2F 为双曲线22:2C x y -=的左、右焦点，点P 在C 上，12||2||PF PF =，则12cos F PF ∠=（A ）14 （B ）35 （C ）34 （D ）4510.(2020年高考四川卷文科9)已知抛物线关于x 轴对称，它的顶点在坐标原点O ， 并且经过点0(2,)M y 。
2020年高考数学专项突破50题(10)--圆锥曲线与方程【含答案解析】
2020年高考数学专项突破50题（10）--圆锥曲线与方程学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________第I 卷（选择题）请点击修改第I 卷的文字说明一、选择题（本题共40道小题，每小题2分，共80分）1.设0m >，双曲线:M 24x -2y 1=与圆()22:5N x y m +-=相切，A （-0），B0），若圆N 上存在一点P 满足4PA PB -=，则点P 到x 轴的距离为（ ）2.已知抛物线2:2(0)C y px p =>的焦点为F ，点(00,2p M x x ⎛⎫>⎪⎝⎭时抛物线C 上的一点，以点M 为圆心与直线2px =交于E ，G 两点，若1sin 3MFG ∠=，则抛物线C 的方程是（ ） A. 2y x =B. 22y x =C. 24y x =D.28y x =3.设F 1、F 2分别为双曲线22221(0,0)x y a b a b-=>>的左、右焦点，双曲线上存在一点P 使得123PF PF b +=，1294PF PF ab ⋅=，则该双曲线的离心率为（ ）A. 43B.53C.94D. 34.抛物线y 2=4x 的焦点为F ，点A （3，2），P 为抛物线上一点，且P 不在直线AF 上，则△P AF 周长的最小值为（ ）A. 4B. 5C. 4+D. 55.已知椭圆()2222:10x y C a b a b+=>>的左、右焦点分别为F 1，F 2，过F 1的直线l 交C 于A 、B 两点，若→→=AB AF 741，212AF F F =，则椭圆C 的离心率为（ ） A.27 B. 37 C. 47 D. 576.抛物线24y x =的焦点为F ，点(),P x y 为该抛物线上的动点，点A 是抛物线的准线与坐标轴的交点，则PF PA的最小值是（ ）A. 12B.27.已知点F 1是抛物线2:2C x py =的焦点，点F 2为抛物线C 的对称轴与其准线的交点，过F 2作抛物线C 的切线，设其中一个切点为A ，若点A 恰好在以F 1，F 2为焦点的双曲线上，则双曲线的离心率为（ ）1 B. 11 8.椭圆2x m +236y =1的焦距是2，则m 的值是：A ．35或37B ．35C ．37D ．16 9.已知椭圆22143x y +=的右焦点F 是抛物线22(0)y px p =>的焦点，则过F 作倾斜角为60°的直线分别交抛物线于A ，B （A 在x 轴上方）两点，则||||AF BF 的值为（ ）B. 2C. 3D. 410.已知点(A 在双曲线()2221010x y b b-=>上，则该双曲线的离心率为（ ）A. 3D. 11.设D 为椭圆2215y x +=上任意一点，()0,2A -，()B 0，2，延长AD 至点P ，使得|PD||BD|=，则点P 的轨迹方程为（ ）A. 22(2)20x y +-=B. 22(2)20x y ++=C. 22(2)5x y +-=D. 22(2)5x y ++=12..已知F 1、F 2分别是双曲线2221(0,0)16x y a b a -=>>的左、右焦点，过点F 1的直线与双曲线的右支交于点P ，若212PF F F =，直线PF 1与圆222x y a +=相切，则双曲线的焦距为( )A. B. C. 12D. 1013.椭圆22221(0)x y a b a b+=>>的左右焦点分别是F 1、F 2，以F 2为圆心的圆过椭圆的中心，且与椭圆交于点P ，若直线PF 1恰好与圆F 2相切于点P ，则椭圆的离心率为A 1BC ．2D 14.椭圆13422=+y x 的焦距为 A ．1 B ．2 C ．3 D ．4 15.已知F 为双曲线2222:1(0,0)x y C a b a b-=>>的左焦点，直线l 经过点F ，若点(,0)A a ，(0,)B b 关于直线l 对称，则双曲线C 的离心率为（ ）1 116.已知椭圆22143x y +=，若此椭圆上存在不同的两点A,B 关于直线4y x m =+对称，则实数m 的取值范围是A. ⎛ ⎝⎭B. ⎛ ⎝⎭C. ⎛ ⎝⎭D. ⎛ ⎝⎭17.已知A 、B 是抛物线()220=>y px p 上的两点，直线AB 垂直于x 轴，F 为抛物线的焦点，射线BF 交抛物线的准线于点C ，且AB =，AFC △的面积为2，则p 的值为（ ）B. 1C. 2D. 418.已知O 为坐标原点，F 1，F 2是双曲线C ：22221x y a b-=（0a >，0b >）的左、右焦点，双曲线C 上一点P 满足12PF PF ⊥，且2122PF PF a ⋅=，则双曲线C 的离心率为（ ）B. 219.将曲线C 按伸缩变换公式23x xy y''=⎧⎨=⎩变换得曲线方程为x 2＋y 2＝1，则曲线C 的方程为( )A. 22+149x y =B. 22+194x y =C. 9x 2＋4y 2＝1D. 4x 2＋9y 2＝1 20.过椭圆22221x y a b +=(0a b >>)的左焦点F 1作x 轴的垂线交椭圆于点P ，F 2为右焦点，若1260F PF ∠=o ，则椭圆的离心率为（ ）A B ．12 D ．1321.已知抛物线22(0)y px p =>上有一点()4,M y ，它到焦点F 的距离为5，则OFM ∆的面积（O 为原点）为（ ）A. 1B. 2D. 22.如图，已知抛物线21:4C y x =和圆222:(1)1C x y -+=，直线l 经过C 1的焦点F ，自上而下依次交C 1和C 2于A ，B ，C ，D 四点，则AB CD ⋅u u u r u u u r的值为A ．14B ．12C ．1D ．223.抛物线24y x =的焦点到双曲线2213y x -=的渐近线的距离是( )A.12B.3 C. 1D. 324.点(2,1)A 到抛物线2y ax =准线的距离为1，则a 的值为（ ） A. 14-或121-B.14或112C. －4或－12D. 4或1225.已知中心在坐标原点的椭圆与双曲线有公共焦点，且左、右焦点分别为F 1，F 2.这两条曲线在第一象限的交点为P ，21F PF ∆是以PF 1为底边的等腰三角形.若1|10|PF =，记椭圆与双曲线的离心率分别为1e 、2e ，则12·e e 的取值范围是（ ） A. 1(,)9+∞ B. 1(,)5+∞ C. ),31(+∞ D. (0,+∞)26.方程(x +y -1)224x y +-=0所表示的曲线是 ( )A. B.C. D.27.椭圆)0(12222>>=+b a b y a x 的离心率为23，则双曲线12222=-by a x 的离心率为（ ）A ．2B ．3C ．2D ．25 28.过抛物线24y x =的焦点F 的直线与抛物线交于A 、B 两点，且| |3A F =，O 为坐标原点，则AOF ∆的面积与BOF ∆的面积之比为 A.12B.33C. 3D. 229.如图：抛物线24y x =的焦点为F ，弦AB 过F ，原点为O ，抛物线准线与x 轴交于点C ，135OFA ∠=︒，则tan ACB ∠等于（ ）．A. 33B.223 D. 2230.已知椭圆22:143x y C +=的左、右焦点分别为F 1、F 2，过F 2且斜率为1的直线l 交椭圆C于A 、B 两点，则1F AB ∆的内切圆半径为( ) A. 2722324231.已知直线240x y +-=经过椭圆22221x y a b+=（0a b >>）的右焦点F 2，且与椭圆在第一象限的交点为A ，与y 轴的交点为B ，F 1是椭圆的左焦点，且1||||AB AF =，则椭圆的方程为（ ）A ．2214036x y +=B ．2212016x y +=C ．221106x y +=D ．2215x y +=32.已知抛物线C :22(0)y px p =>的焦点为F ，过F 且倾斜角为120°的直线与抛物线C 交于A ，B 两点，若AF ，BF 的中点在y 轴上的射影分别为M ，N ，且43MN =，则p 的值为（ ） A. 2 B. 3C. 4D. 633.如图，一座圆弧形拱桥，当水面在如图所示的位置时，拱顶离水面2米，水面宽12米，当水面下降1米后，水面宽度为（ ）A. 14米B. 15米C. 51米D. 251米 34.如图，点F 是抛物线28y x =的焦点，点A ，B 分别在抛物线28y x =及圆22(2)16x y -+=的实线部分上运动，且AB 始终平行于x 轴，则ABF ∆的周长的取值范围是（ ）A. (2,6)B. (6,8)C. (8,12)D. (10,14)35.设F 2是双曲线C ：22221(0,0)x y a b a b-=>>的右焦点，O 为坐标原点，过F 2的直线交双曲线的右支于点P ，N ，直线PO 交双曲线C 于另一点M ，若223MF PF =，且260MF N ∠=︒，则双曲线C 的离心率为（ ）A. 3B. 2C.2D.236.已知抛物线2:2(0)C y px p =>的焦点为F ，点(00,2p M x x ⎛⎫>⎪⎝⎭时抛物线C 上的一点，以点M 为圆心与直线2px =交于E ，G 两点，若1sin 3MFG ∠=，则抛物线C 的方程是（ ） A. 2y x =B. 22y x =C. 24y x =D.28y x =37.已知抛物线2:8x C y =，定点(0,2)A ，(0,2)B -，点P 是抛物线C 上不同于顶点的动点，则PBA ∠的取值范围为（ ） A. 0,4π⎛⎤⎥⎝⎦B. ,42ππ⎡⎫⎪⎢⎣⎭C. 0,3π⎛⎤⎥⎝⎦D.,32ππ⎡⎫⎪⎢⎣⎭38.已知椭圆2222:1x y C a b+=，0a b >>，F 1，F 2分别为椭圆的左右焦点，若椭圆C 上存在点()()000,0P x y x ≥使得1260PF F o ∠=，则椭圆的离心率的取值范围为（ ）A. ,12⎫⎪⎪⎣⎭B. 0,2⎛ ⎝⎦C. 1,12⎡⎫⎪⎢⎣⎭D. 10,2⎛⎤ ⎥⎝⎦39.已知抛物线C ：y 2=4x 的焦点为F ，过点F 且斜率为1的直线与抛物线C 交于A 、B 两点，若在以线段AB 为直径的圆上存在两点M 、N ，在直线l ：x+y+a=0上存在一点Q ，使得∠MQN=90°，则实数a 的取值范围为（ ）A. [－13,3]B. [－3,1]C. [－3,13]D. [－13,13]40.抛物线22y x =的准线方程是（ ） A. 12x =B. 12x =-C. 18y =D. 18y =-第II 卷（非选择题）请点击修改第II 卷的文字说明二、（本题共10道小题，每小题7分，共70分）41.已知椭圆22221(0)x y a b a b+=>>的左、右焦点分别为F 1，F 2，焦距为23，点P 为椭圆上一点，1290F PF ∠=o，12F PF ∆的面积为1.（1）求椭圆的标准方程；（2）设点B 为椭圆的上顶点，过椭圆内一点(0,)M m 的直线l 交椭圆于C ，D 两点，若BMC ∆与BMD ∆的面积比为2:1，求实数m 的取值范围.42.已知双曲线2215x y -=的焦点是椭圆C ：22221(0)x y a b a b+=>>的顶点，且椭圆与双曲线的离心率互为倒数. （1）求椭圆C 的方程；（2）设动点M ，N 在椭圆C 上，且43MN =，记直线MN 在y 轴上的截距为m ，求m 的最大值. 43.已知椭圆C ：22221x y a b +=（0a b >>）的离心率为32，以椭圆的四个顶点为顶点的四边形的面积为8. （1）求椭圆C 的方程； （2）如图，斜率为12的直线l 与椭圆C 交于A ，B 两点，点()2,1P 在直线l 的左上方.若90APB ∠=︒，且直线P A ，PB 分别与y 轴交于M ，N 点，求线段MN 的长度.44.已知抛物线C 的方程为22(0)y px p =>，抛物线的焦点到直线:22l y x =+的距离为455.（1）求抛物线C 的方程；（2）设点()0,2R x 在抛物线C 上，过点()1,1Q 作直线交抛物线C 于不同于R 的两点A 、B ，若直线AR 、BR 分别交直线l 于M 、N 两点，求MN 最小时直线AB 的方程. 45.已知椭圆()2222:10x y E a b a b+=>>与y 轴正半轴交于点(3M ，离心率为12．直线l经过点()(),00P t t a <<和点()0,1Q ．且与椭图E 交于A 、B 两点（点A 在第二象限）． （1）求椭圆E 的标准方程； （2）若AP PB λ=u u u r u u u r，当230t <≤时，求λ的取值范围． 46.动点(,)M x y 2222(22)(22)6x y x y -+++=. （1）求M 点的轨迹并给出标准方程；（2）已知(22,0)D ，直线l ：2y kx k =-交M 点的轨迹于A ，B 两点，设AD DB λ=u u u r u u u r且12λ<<，求k 的取值范围.47.已知抛物线22y px =（0p >），其准线方程10x +=，直线l 过点(,0)T t （0t >），且与抛物线交于A 、B 两点，O 为坐标原点.（1）求抛物线方程，并注明：OA OB ⋅u u u v u u u v的值与直线l 倾斜角的大小无关； （2）若P 为抛物线上的动点，记||PT 的最小值为函数()d t ，求()d t 的解析式. 48.已知椭圆2222:1()x y C a b a b+=>的离心率为12，F 1，F 2分别是其左、右焦点，且过点(2,3)A .（1）求椭圆C 的标准方程；（2）若在直线6y x =+上任取一点P ，从点P 向12AF F ∆的外接圆引一条切线，切点为Q .问是否存在点M ，恒有PM PQ =？请说明理由. 49.已知椭圆2222:1(0)x y C a b a b+=>>的右焦点为()1,0F ，且点31,2P ⎛⎫ ⎪⎝⎭在椭圆C 上. （1）求椭圆C 的标准方程；（2）过椭圆22122:153x y C a b +=-上异于其顶点的任意一点Q 作圆224:3O x y +=的两条切线，切点分别为M ，N （M ，N 不在坐标轴上），若直线MN 在x 轴，y 轴上的截距分别为m ，n ，证明：22113m n+为定值； （3）若12,P P 是椭圆222223:1x y C a b+=上不同两点，12PP x ⊥轴，圆E 过12,P P ，且椭圆C 2上任意一点都不在圆E 内，则称圆E 为该椭圆的一个内切圆，试问：椭圆C 2是否存在过焦点F 的内切圆？若存在，求出圆心E 的坐标；若不存在，请说明理由． 50.已知抛物线2:2G y px =（0p >），点()2,0M 在G 的焦点F 的右侧，且M 到G 的准线的距离是M 到F 距离的3倍，经过点M 的直线与抛物线G 交于不同的A 、B 两点，直线OA 与直线2x =-交于点P ，经过点B 且与直线OA 垂直的直线l 交x 轴于点Q . （1）求抛物线G 的方程和F 的坐标；（2）判断直线PQ 与直线AB 的位置关系，并说明理由；（3）椭圆22143x y +=的两焦点为F 1、F 2，在椭圆22143x y +=外的抛物线G 上取一点E ，若EF 1、EF 2的斜率分别为1k 、2k ，求121k k 的取值范围.试卷答案1.D 【分析】根据圆与双曲线的位置关系，联立双曲线方程和圆的方程，消去x ，可得y 的一元二次方程，由判别式为0，求出m 的值，再根据双曲线的定义以及韦达定理，即可求出。
2020年高考文科数学一轮复习大题篇—圆锥曲线综合问题
2020年高考文科数学一轮复习大题篇—圆锥曲线综合问题【归类解析】题型一 范围问题【解题指导】 解决圆锥曲线中的取值范围问题应考虑的五个方面(1)利用圆锥曲线的几何性质或判别式构造不等关系，从而确定参数的取值范围.(2)利用已知参数的范围，求新参数的范围，解这类问题的核心是建立两个参数之间的等量关系.(3)利用隐含的不等关系建立不等式，从而求出参数的取值范围.(4)利用已知的不等关系构造不等式，从而求出参数的取值范围.(5)利用求函数的值域的方法将待求量表示为其他变量的函数，求其值域，从而确定参数的取值范围.【例】已知椭圆C ：x 2a 2＋y 2b 2＝1(a >b >0)与双曲线x 23－y 2＝1的离心率互为倒数，且直线x －y －2＝0经过椭圆的右顶点.(1)求椭圆C 的标准方程；(2)设不过原点O 的直线与椭圆C 交于M ，N 两点，且直线OM ，MN ，ON 的斜率依次成等比数列，求△OMN 面积的取值范围.【解】 (1)∵双曲线的离心率为233， ∴椭圆的离心率e ＝c a ＝32. 又∵直线x －y －2＝0经过椭圆的右顶点，∴右顶点为点(2,0)，即a ＝2，c ＝3，b ＝1，∴椭圆方程为x 24＋y 2＝1. (2)由题意可设直线的方程为y ＝kx ＋m (k ≠0，m ≠0)，M (x 1，y 1)，N (x 2，y 2).联立⎩⎪⎨⎪⎧y ＝kx ＋m ，x 24＋y 2＝1， 消去y ，并整理得(1＋4k 2)x 2＋8kmx ＋4(m 2－1)＝0，则x 1＋x 2＝－8km 1＋4k 2，x 1x 2＝4m 2－11＋4k 2， 于是y 1y 2＝(kx 1＋m )(kx 2＋m )＝k 2x 1x 2＋km (x 1＋x 2)＋m 2.又直线OM ，MN ，ON 的斜率依次成等比数列，故y 1x 1·y 2x 2＝k 2x 1x 2＋km x 1＋x 2＋m 2x 1x 2＝k 2， 则－8k 2m 21＋4k2＋m 2＝0. 由m ≠0得k 2＝14，解得k ＝±12. 又由Δ＝64k 2m 2－16(1＋4k 2)(m 2－1)＝16(4k 2－m 2＋1)>0，得0<m 2<2，显然m 2≠1(否则x 1x 2＝0，x 1，x 2中至少有一个为0，直线OM ，ON 中至少有一个斜率不存在，与已知矛盾).设原点O 到直线的距离为d ，则S △OMN ＝12|MN |d ＝12·1＋k 2·|x 1－x 2|·|m |1＋k 2故由m 的取值范围可得△OMN 面积的取值范围为(0,1).【训练】如图，已知点P 是y 轴左侧(不含y 轴)一点，抛物线C ：y 2＝4x 上存在不同的两点A ，B 满足P A ，PB 的中点均在C 上.(1)设AB 中点为M ，证明：PM 垂直于y 轴；(2)若P 是半椭圆x 2＋y 24＝1(x <0)上的动点，求△P AB 面积的取值范围. (1)【证明】 设P (x 0，y 0)，A ⎝⎛⎭⎫14y 21，y 1，B ⎝⎛⎭⎫14y 22，y 2. 因为P A ，PB 的中点在抛物线上，所以y 1，y 2为方程⎝⎛⎭⎫y ＋y 022＝4·14y 2＋x 02，即y 2－2y 0y ＋8x 0－y 20＝0的两个不同的实根.所以y 1＋y 2＝2y 0，所以PM 垂直于y 轴.(2)【解】 由(1)可知⎩⎪⎨⎪⎧y 1＋y 2＝2y 0，y 1y 2＝8x 0－y 20，所以|PM |＝18(y 21＋y 22)－x 0＝34y 20－3x 0， |y 1－y 2|＝22y 20－4x 0. 所以△P AB 的面积S △P AB ＝12|PM |·|y 1－y 2|＝()322003244y x -.因为x 20＋y 204＝1(－1≤x 0<0)， 所以y 20－4x 0＝－4x 20－4x 0＋4∈[4,5]，所以△P AB 面积的取值范围是⎣⎡⎦⎤62，15104. 题型二 最值问题1 利用三角函数有界性求最值【解题指导】 处理圆锥曲线最值问题的求解方法圆锥曲线中的最值问题类型较多，解法灵活多变，但总体上主要有两种方法：一是利用几何法，即通过利用曲线的定义、几何性质以及平面几何中的定理、性质等进行求解；二是利用代数法，即把要求最值的几何量或代数表达式表示为某个(些)参数的函数(解析式)，然后利用函数方法、不等式方法等进行求解.【例】过抛物线y 2＝4x 的焦点F 的直线交抛物线于A ，B 两点，点O 是坐标原点，则|AF |·|BF |的最小值是【解】 设直线AB 的倾斜角为θ，可得|AF |＝21－cos θ，|BF |＝21＋cos θ， 则|AF |·|BF |＝21－cos θ×21＋cos θ＝4sin 2θ≥4. 2 数形结合利用几何性质求最值【例】在平面直角坐标系xOy 中，P 为双曲线x 2－y 2＝1右支上的一个动点.若点P 到直线x －y ＋1＝0的距离大于c 恒成立，求实数c 的最大值为。
2020衡水名师文科数学专题卷：专题十三《圆锥曲线与方程》
10 答案及解析： 答案：C
解析：因为过右焦点的直线与双曲线 C 相交于 A, B 两点且 AF 3BF ,
故直线与双曲线相交只能如图所示的情况,
即 A 点在双曲线的左支, B 点在右支,
设 Ax1, y1 , B x2, y2 ,右焦点 F c, 0c 0,
3 A. 0, 3
B. 0,1
2 C. 2 ,1
2 D. 0, 2
5、已知椭圆 x2 y2 1 以及椭圆内一点 P(4, 2) ，则以 P 为中点的弦所在直线的斜率为( ) 36 9
A. 1 2
1
B．
2
C．-2
D．2
44
D. (0, π ) ( π , π) 22
10、已知双曲线 C :
x2 a2
y2 b2
1a
0,b
0,若存在过右焦点 F
的直线与双曲线 C
相交
于 A, B 两点且 AF 3BF ,则双曲线离心率的最小值为( )
A. 2
B. 3
C.2
D. 2 2
11、如图，过抛物线 y2 8x 焦点 F 的直线 l 与抛物线交于 A ， B 两点，与抛物线的准线
11 答案及解析： 答案：B 解析： 12 答案及解析： 答案：D
解析：如图，已知 y2 4x ，可知焦点 F (1,0) ，准线： x 1，
过点 A 作准线的垂线，与抛物线交于点 M ,作根据抛物线的定义，可知 BM MF MF MA MB MA 取最小值， 已知 A(3, 2) ，可知 M 的纵坐标为 2，代入 y2 4x 中， 得 M 的横坐标为 1， 即 M (1, 2) .
2020最新命题题库大全2020年高考数学试题解析 分项专题10 圆锥曲线 文(1)
2020最新命题题库大全2020年高考数学试题解析 分项专题10 圆锥曲线 文2020年高考试题 一、选择题1.【2020高考新课标文4】设12F F 是椭圆2222:1(0)x y E a b a b+=>>的左、右焦点，P 为直线32ax =上一点，12PF F ∆是底角为30o 的等腰三角形，则E 的离心率为（ ）()A 12 ()B 23 ()C 34 ()D 452.【2020高考新课标文10】等轴双曲线C 的中心在原点，焦点在x 轴上，C 与抛物线x y 162=的准线交于,A B 两点，43AB =C 的实轴长为（ ）()A 2 ()B 2()C 4 ()D 8【答案】C【解析】设等轴双曲线方程为)0(22>=-m m y x ，抛物线的准线为4-=x ，由34=AB ,则32=A y ,把坐标)32,4(-代入双曲线方程得4121622=-=-=y x m ，所以双曲线方程为422=-y x ，即14422=-y x ，所以2,42==a a ，所以实轴长42=a ，选C.3.【2020高考山东文11】已知双曲线1C ：22221(0,0)x y a b a b-=>>的离心率为2.若抛物线22:2(0)C x py p =>的焦点到双曲线1C 的渐近线的距离为2，则抛物线2C 的方程为 (A) 2833x y =(B) 21633x y = (C)28x y = (D)216x y =4.【2020高考全国文5】椭圆的中心在原点，焦距为4，一条准线为4x =-，则该椭圆的方程为（A ）2211612x y += （B ）221128x y += （C ）22184x y += （D ）221124x y +=5.【2020高考全国文10】已知1F 、2F 为双曲线22:2C x y -=的左、右焦点，点P 在C 上，12||2||PF PF =，则12cos F PF ∠=（A ）14 （B ）35 （C ）34 （D ）45【答案】C【解析】双曲线的方程为12222=-y x ，所以2,2===c b a ，因为|PF 1|=|2PF 2|，所以点P 在双曲线的右支上，则有|PF 1|-|PF 2|=2a=22,所以解得|PF 2|=22，|PF 1|=24，所以根据余弦定理得432422214)24()22(cos 2221=⨯⨯-+=PF F ,选C. 6.【2020高考浙江文8】 如图，中心均为原点O 的双曲线与椭圆有公共焦点，M ，N 是双曲线的两顶点。
2020高考圆锥曲线试题带答案
1. 如果方程 x2 y2 1 表示焦点在 y 轴上的椭圆,则 m 的取值范围是 （ 4m m3
A． 3 m 4
B． m 7 2
C． 3 m 7 2
D． 7 m 4 2
2．如图，F1，F2 是双曲线
C：
x2 a2
y2 b2
1(a＞0，b＞0)的左、右焦
4
2
4
1
A.
B.
C.
D.
5
3
7
2
7.若直线 y kx 2 与双曲线 x2 y2 6 的右支交于不同的两点, 则实数 k 的取值范围是
（ D）
A.( 15 , 15 ) 33
B.(0, 15 ) 3
C.( 15 , 0) 3
D.( 15 , 1) 3
8. 已知直线 l1, l2 是经过椭圆
F2
'( 0 , 6 )
,
设所求双曲线的标准方程为 y 2 a2
x2 b2
1(a
0, b
0) ,
由题意知半焦距 c =6,
2a 4 5 a 2 5 ∴ b 4 ,
故所求双曲线的标准方程为 y 2 x 2 1 . 20 16
考点: （1）椭圆的标准方程; （2）双曲线的标准方程.
则点 P 的轨迹方程为___ y 4(x 2) _____.
三 解答题 1. (12 分)已知椭圆的两个焦点分别是 (2, 0), (2, 0) , 并且经过点 ( 5 , 3) , 求它的标准方程.
22
16.由椭圆定义知 2a
5 2
2
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圆锥曲线(文科)解答题20题-备战高考数学冲刺横向强化精练精讲(解析版)
圆锥曲线（文科）解答题20题1．（2020年全国统一高考数学试卷（文科）（新课标Ⅱ））已知椭圆C 1：22221x y a b+=(a >b >0)的右焦点F 与抛物线C 2的焦点重合，C 1的中心与C 2的顶点重合．过F 且与x 轴垂直的直线交C 1于A ，B 两点，交C 2于C ，D 两点，且|CD |=43|AB |．（1）求C 1的离心率；（2）若C 1的四个顶点到C 2的准线距离之和为12，求C 1与C 2的标准方程．【答案】（1）12；（2）1C ：2211612x y+=，2C ： 28y x =.【分析】（1）根据题意求出2C 的方程，结合椭圆和抛物线的对称性不妨设,A C 在第一象限，运用代入法求出,,,A B C D 点的纵坐标，根据4||||3CD AB =，结合椭圆离心率的公式进行求解即可；（2）由（1）可以得到椭圆的标准方程，确定椭圆的四个顶点坐标，再确定抛物线的准线方程，最后结合已知进行求解即可； 【详解】解：（1）因为椭圆1C 的右焦点坐标为：(c,0)F ,所以抛物线2C 的方程为24y cx =，其中22c a b -不妨设,A C 在第一象限，因为椭圆1C 的方程为：22221x ya b+=，所以当x c =时，有222221c y b y a b a +=⇒=±，因此,A B 的纵坐标分别为2b a ，2b a-；又因为抛物线2C 的方程为24y cx =，所以当x c =时，有242y c c y c =⋅⇒=±， 所以,C D 的纵坐标分别为2c ，2c -，故22||b AB a=，||4CD c =.由4||||3CD AB =得2843b c a=，即2322()c c a a ⋅=-，解得2c a =-（舍去），12c a =.所以1C 的离心率为12.（2）由（1）知2a c =，3b c =，故22122:143x y C c c+=，所以1C 的四个顶点坐标分别为(2,0)c ，(2,0)c -，3)c ，(0,3)c ，2C 的准线为x c =-. 由已知得312c c c c +++=，即2c =. 所以1C 的标准方程为2211612x y +=，2C 的标准方程为28y x =.【点睛】本题考查了求椭圆的离心率，考查了求椭圆和抛物线的标准方程，考查了椭圆的四个顶点的坐标以及抛物线的准线方程，考查了数学运算能力.2．（2021年全国高考乙卷数学（文）试题）已知抛物线2:2(0)C y px p =>的焦点F 到准线的距离为2． （1）求C 的方程;（2）已知O 为坐标原点，点P 在C 上，点Q 满足9PQ QF =，求直线OQ 斜率的最大值.【答案】（1）24y x =；（2）最大值为13.【分析】（1）由抛物线焦点与准线的距离即可得解；（2）设()00,Q x y ，由平面向量的知识可得()00109,10P x y -，进而可得20025910y x +=，再由斜率公式及基本不等式即可得解. 【详解】（1）抛物线2:2(0)C y px p =>的焦点,02p F ⎛⎫⎪⎝⎭，准线方程为2p x =-，由题意，该抛物线焦点到准线的距离为222p p p ⎛⎫--== ⎪⎝⎭，所以该抛物线的方程为24y x =；（2）设()00,Q x y ，则()00999,9PQ QF x y ==--， 所以()00109,10P x y -，由P 在抛物线上可得()()200104109y x =-，即20025910y x +=，所以直线OQ 的斜率000220001025925910OQ y y y k y x y ===++， 当00y =时，0OQ k =； 当00y ≠时，0010925OQ k y y =+， 当00y >时，因为0092530y y +≥， 此时103OQk <≤，当且仅当00925y y =，即035y =时，等号成立；当00y <时，0OQ k <；综上，直线OQ 的斜率的最大值为13.【点睛】关键点点睛：解决本题的关键是利用平面向量的知识求得点Q 坐标的关系，在求斜率的最值时要注意对0y 取值范围的讨论.3．（2021年全国高考甲卷数学（理）试题）抛物线C 的顶点为坐标原点O ．焦点在x 轴上，直线l ：1x =交C 于P ，Q 两点，且OP OQ ⊥．已知点()2,0M ，且M 与l 相切．（1）求C ，M 的方程；（2）设123,,A A A 是C 上的三个点，直线12A A ，13A A 均与M 相切．判断直线23A A 与M 的位置关系，并说明理由．【答案】（1）抛物线2:C y x =，M 方程为22(2)1x y -+=；（2）相切，理由见解析 【分析】（1）根据已知抛物线与1x =相交，可得出抛物线开口向右，设出标准方程，再利用对称性设出,P Q 坐标，由OP OQ ⊥，即可求出p ；由圆M 与直线1x =相切，求出半径，即可得出结论；（2）先考虑12A A 斜率不存在，根据对称性，即可得出结论；若121323,,A A A A A A 斜率存在，由123,,A A A 三点在抛物线上，将直线121223,,A A A A A A 斜率分别用纵坐标表示，再由1212,A A A A 与圆M 相切，得出2323,y y y y +⋅与1y 的关系，最后求出M 点到直线23A A 的距离，即可得出结论. 【详解】（1）依题意设抛物线200:2(0),(1,),(1,)C y px p P y Q y =>-，20,1120,21OP OQ OP OQ y p p ⊥∴⋅=-=-=∴=，所以抛物线C 的方程为2y x =，(0,2),M M 与1x =相切，所以半径为1，所以M 的方程为22(2)1x y -+=；（2）设111222333(),(,),(,)A x y A x y A x y若12A A 斜率不存在，则12A A 方程为1x =或3x =， 若12A A 方程为1x =，根据对称性不妨设1(1,1)A ， 则过1A 与圆M 相切的另一条直线方程为1y =，此时该直线与抛物线只有一个交点，即不存在3A ，不合题意； 若12A A 方程为3x =，根据对称性不妨设12(3,A A 则过1A 与圆M 相切的直线13A A为3)y x -，又131********A A y y k y x x y y -====∴=-+， 330,(0,0)x A =，此时直线1323,A A A A 关于x 轴对称，所以直线23A A 与圆M 相切； 若直线121323,,A A A A A A 斜率均存在， 则121323121323111,,A A A A A A k k k y y y y y y ===+++， 所以直线12A A 方程为()11121y y x x y y -=-+， 整理得1212()0x y y y y y -++=，同理直线13A A 的方程为1313()0x y y y y y -++=， 直线23A A 的方程为2323()0x y y y y y -++=， 12A A 与圆M相切，1=整理得22212121(1)230y y y y y -++-=，13A A 与圆M 相切，同理22213131(1)230y y y y y -++-=所以23,y y 为方程222111(1)230y y y y y -++-=的两根，2112323221123,11y y y y y y y y -+=-⋅=--，M 到直线23A A 的距离为：21223122123213|2|21()1()1y y y y y -+=+++--22112222111111(1)4y y y y +===+-+，所以直线23A A 与圆M 相切；综上若直线1213,A A A A 与圆M 相切，则直线23A A 与圆M 相切. 【点睛】关键点点睛：（1）过抛物线上的两点直线斜率只需用其纵坐标（或横坐标）表示，将问题转化为只与纵坐标（或横坐标）有关；（2）要充分利用1213,A A A A 的对称性，抽象出2323,y y y y +⋅与1y 关系，把23,y y 的关系转化为用1y 表示.4．（2019年全国统一高考数学试卷（理科）（新课标Ⅲ））已知曲线C ：y =22x ，D 为直线y =12-上的动点，过D 作C 的两条切线，切点分别为A ，B .（1）证明：直线AB 过定点： （2）若以E (0，52)为圆心的圆与直线AB 相切，且切点为线段AB 的中点，求四边形ADBE 的面积.【答案】(1)见详解；(2) 3或2【分析】（1）可设11(,)A x y ，22(,)B x y ，1(,)2D t -然后求出A ，B 两点处的切线方程，比如AD ：1111()2y x x t +=-，又因为BD 也有类似的形式，从而求出带参数直线AB 方程，最后求出它所过的定点.（2）由(1)得带参数的直线AB 方程和抛物线方程联立，再通过M 为线段AB 的中点，EM AB ⊥得出t 的值，从而求出M 坐标和EM 的值，12,d d 分别为点,D E 到直线AB 的距离，则21221,1d t d t =+=+.【详解】(1)证明：设1(,)2D t -,11(,)A x y ,则21112y x =．又因为212y x =，所以y'x =.则切线DA 的斜率为1x ，故1111()2y x x t +=-，整理得112210tx y -+=. 设22(,)B x y ，同理得222210tx y -+=.11(,)A x y ,22(,)B x y 都满足直线方程2210tx y -+=.于是直线2210tx y -+=过点,A B ，而两个不同的点确定一条直线，所以直线AB 方程为2210tx y -+=.即2(21)0tx y +-+=，当20,210x y =-+=时等式恒成立．所以直线AB 恒过定点1(0,)2.（2）由（1）得直线AB 的方程为12y tx =+. 由2122y tx x y ⎧=+⎪⎪⎨⎪=⎪⎩，可得2210x tx --=， 于是2121212122,1,()121x x t x x y y t x x t +==-+=++=+212|||2(1)AB x x t =-=+.设12,d d 分别为点,D E 到直线AB的距离，则12d d ==因此，四边形ADBE 的面积()(2121||32S AB d d t =+=+设M 为线段AB 的中点，则21,2M t t ⎛⎫+ ⎪⎝⎭，由于EM AB ⊥，而()2,2EM t t =-，AB 与向量(1,)t 平行，所以()220t t t +-=，解得0=t 或1t =±.当0=t 时，3S =；当1t =±时S =因此，四边形ADBE 的面积为3或【点睛】此题第一问是圆锥曲线中的定点问题和第二问是求面积类型，属于常规题型，按部就班的求解就可以．思路较为清晰，但计算量不小．5．（2019年全国统一高考数学试卷（文科）（新课标Ⅱ））已知12,F F 是椭圆2222:1(0)x y C a b a b+=>>的两个焦点，P 为C 上一点，O 为坐标原点． （1）若2POF 为等边三角形，求C 的离心率；（2)如果存在点P ，使得12PF PF ⊥，且12F PF △的面积等于16，求b 的值和a 的取值范围.【答案】(1) 31e =；（2）4b =，a 的取值范围为[42,)+∞. 【分析】（1）先连结1PF ，由2POF 为等边三角形，得到1290F PF ∠=，2PF c =，13PF c =；再由椭圆定义，即可求出结果；（2）先由题意得到，满足条件的点(,)P x y 存在，当且仅当12162y c ⋅=，1y yx c x c⋅=-+-，22221x y a b +=，根据三个式子联立，结合题中条件，即可求出结果. 【详解】（1）连结1PF ，由2POF 为等边三角形可知：在12F PF △中，1290F PF ∠=，2PF c =，13PF c ，于是1223a PF PF c c =+=， 故椭圆C 的离心率为3113c e a ===+； （2）由题意可知，满足条件的点(,)P x y 存在，当且仅当12162y c ⋅=，1y y x c x c⋅=-+-，22221x y a b +=， 即16c y = ① 222x y c += ②22221x y a b += ③ 由②③以及222a b c =+得422b y c =，又由①知22216y c=，故4b =；由②③得22222()a x c b c=-，所以22c b ≥，从而2222232a b c b =+≥=，故42a ≥当4b =，42a ≥P . 故4b =，a 的取值范围为[42,)+∞. 【点睛】本题主要考查求椭圆的离心率，以及椭圆中存在定点满足题中条件的问题，熟记椭圆的简单性质即可求解，考查计算能力，属于中档试题.6．（2019年全国统一高考数学试卷（文科）（新课标Ⅰ））已知点A ，B 关于坐标原点O 对称，│AB │ =4，⊙M 过点A ，B 且与直线x +2=0相切．（1）若A 在直线x +y =0上，求⊙M 的半径．（2）是否存在定点P ，使得当A 运动时，│MA │－│MP │为定值？并说明理由．【答案】（1）2或6； （2）见解析. 【分析】（1）设(),A t t -，(),B t t -，根据AB 4=，可知t =M 必在直线y x =上，可设圆心(),M a a ；利用圆心到20x +=的距离为半径和MA MB r ==构造方程，从而解出r ；（2）当直线AB 斜率存在时，设AB 方程为：y kx =，由圆的性质可知圆心M 必在直线1=-y x k 上；假设圆心坐标，利用圆心到20x +=的距离为半径和r MA =构造方程，解出M 坐标，可知M 轨迹为抛物线；利用抛物线定义可知()1,0P 为抛物线焦点，且定值为1；当直线AB 斜率不存在时，求解出M 坐标，验证此时()1,0P 依然满足定值，从而可得到结论. 【详解】 （1）A 在直线0x y +=上 ∴设(),A t t -，则(),B t t -又AB 4= 2816t ∴=，解得：t =M 过点A ，B ∴圆心M 必在直线y x =上设(),M a a ，圆的半径为rM 与20x +=相切 2r a ∴=+又MA MB r ==，即((222a a r +=((()2222a a a ∴+=+，解得：0a =或4a =当0a =时，2r ；当4a =时，6r =M ∴的半径为：2或6（2）存在定点()1,0P ，使得1MA MP -= 说明如下：A ，B 关于原点对称且AB 4=∴直线AB 必为过原点O 的直线，且2OA =①当直线AB 斜率存在时，设AB 方程为：y kx = 则M 的圆心M 必在直线1=-y x k上设(),M km m -，M 的半径为rM 与20x +=相切 2r km ∴=-+又222224r MA OA OMk m m ==+++22224km k m m ∴-+++，整理可得：24m km =-即M 点轨迹方程为：24y x =，准线方程为：1x =-，焦点()1,0FMA r =，即抛物线上点到2x =-的距离 ∴1MA MF =+ 1MA MF ∴-=∴当P 与F 重合，即P 点坐标为()1,0时，1MA MP -=②当直线AB 斜率不存在时，则直线AB 方程为：0x =M ∴在x 轴上，设(),0M n224n n ∴++0n =，即()0,0M 若()1,0P ，则211MA MP -=-=综上所述，存在定点()1,0P ，使得MA MP -为定值. 【点睛】本题考查圆的方程的求解问题、圆锥曲线中的定点定值类问题.解决本定点定值问题的关键是能够根据圆的性质得到动点所满足的轨迹方程，进而根据抛物线的定义得到定值，进而验证定值符合所有情况，使得问题得解.7．（2019年北京市高考数学试卷（文科））已知椭圆2222:1x y C a b+=的右焦点为(1,0)，且经过点(0,1)A .（Ⅰ）求椭圆C 的方程；（Ⅱ）设O 为原点，直线:(1)l y kx t t =+≠±与椭圆C 交于两个不同点P ，Q ，直线AP 与x 轴交于点M ，直线AQ 与x 轴交于点N ，若|OM |·|ON |=2，求证：直线l 经过定点. 【答案】（Ⅰ）2212x y +=；（Ⅱ）见解析. 【分析】(Ⅰ)由题意确定a ,b 的值即可确定椭圆方程；(Ⅱ)设出直线方程，联立直线方程与椭圆方程确定OM ,ON 的表达式，结合韦达定理确定t 的值即可证明直线恒过定点. 【详解】（Ⅰ）因为椭圆的右焦点为(1,0)，所以1225； 因为椭圆经过点(0,1)A ,所以1b =，所以2222a b c =+=，故椭圆的方程为2212x y +=. （Ⅱ）设1122(,),(,)P x y Q x y联立2212(1)x y y kx t t ⎧+=⎪⎨⎪=+≠⎩得222(12)4220k x ktx t +++-=，21212224220,,1212kt t x x x x k k -∆>+=-=++，121222()212t y y k x x t k +=++=+，222212121222()12t k y y k x x kt x x t k-=+++=+. 直线111:1y AP y x x --=，令0y =得111x x y -=-，即111x OM y -=-；同理可得221x ON y -=-. 因为2OM ON =,所以1212121212211()1x x x x y y y y y y --==---++；221121t t t -=-+，解之得0=t ，所以直线方程为y kx =，所以直线l 恒过定点(0,0). 【点睛】解决直线与椭圆的综合问题时，要注意：(1)注意观察应用题设中的每一个条件，明确确定直线、椭圆的条件；(2)强化有关直线与椭圆联立得出一元二次方程后的运算能力，重视根与系数之间的关系、弦长、斜率、三角形的面积等问题．8．（2020年全国统一高考数学试卷（文科）（新课标Ⅰ））已知A 、B 分别为椭圆E ：2221x y a+=（a >1）的左、右顶点，G 为E 的上顶点，8AG GB ⋅=，P 为直线x =6上的动点，PA 与E 的另一交点为C ，PB 与E 的另一交点为D ． （1）求E 的方程； （2）证明：直线CD 过定点.【答案】（1）2219x y +=；（2）证明详见解析.【分析】（1）由已知可得：(),0A a -， (),0B a ，()0,1G ，即可求得21AG GB a ⋅=-，结合已知即可求得：29a =，问题得解.（2）设()06,P y ，可得直线AP 的方程为：()039y y x =+，联立直线AP 的方程与椭圆方程即可求得点C 的坐标为20022003276,99y y y y ⎛⎫-+ ⎪++⎝⎭，同理可得点D 的坐标为2002200332,11y y y y ⎛⎫-- ⎪++⎝⎭，当203y ≠时，可表示出直线CD 的方程，整理直线CD 的方程可得：()02043233y y x y ⎛⎫=- ⎪-⎝⎭即可知直线过定点3,02⎛⎫ ⎪⎝⎭，当203y =时，直线CD ：32x =，直线过点3,02⎛⎫⎪⎝⎭，命题得证. 【详解】（1）依据题意作出如下图象：由椭圆方程222:1(1)x E y a a+=>可得：(),0A a -， (),0B a ，()0,1G∴(),1AG a =，(),1GB a =- ∴218AG GB a ⋅=-=，∴29a =∴椭圆方程为：2219x y +=（2）证明：设()06,P y ， 则直线AP 的方程为：()()00363y y x -=+--，即：()039y y x =+联立直线AP 的方程与椭圆方程可得：()2201939x y y y x ⎧+=⎪⎪⎨⎪=+⎪⎩，整理得：()2222000969810y x y x y +++-=，解得：3x =-或20203279y x y -+=+将20203279y x y -+=+代入直线()039y y x =+可得：02069y y y =+所以点C 的坐标为20022003276,99y y y y ⎛⎫-+ ⎪++⎝⎭. 同理可得：点D 的坐标为2002200332,11y y y y ⎛⎫-- ⎪++⎝⎭ 当203y ≠时，∴直线CD 的方程为：0022*******22000022006291233327331191y y y y y y y x y y y y y y ⎛⎫-- ⎪++⎛⎫⎛⎫--⎝⎭-=- ⎪ ⎪-+-++⎝⎭⎝⎭-++， 整理可得：()()()2220000002224200000832338331116963y y y y y y y x x y y y y y +⎛⎫⎛⎫--+=-=- ⎪ ⎪+++--⎝⎭⎝⎭ 整理得：()()0002220004243323333y y y y x x y y y ⎛⎫=+=- ⎪---⎝⎭所以直线CD 过定点3,02⎛⎫⎪⎝⎭．当203y =时，直线CD ：32x =，直线过点3,02⎛⎫ ⎪⎝⎭．故直线CD 过定点3,02⎛⎫⎪⎝⎭．【点睛】本题主要考查了椭圆的简单性质及方程思想，还考查了计算能力及转化思想、推理论证能力，属于难题.9．（2020年北京市高考数学试卷）已知椭圆2222:1x y C a b+=过点(2,1)A --，且2a b =．（Ⅰ）求椭圆C 的方程：（Ⅱ）过点(4,0)B -的直线l 交椭圆C 于点,M N ,直线,MA NA 分别交直线4x =-于点,P Q ．求||||PB BQ 的值． 【答案】（Ⅰ）22182x y +=；（Ⅱ）1.【分析】(Ⅰ)由题意得到关于a ,b 的方程组，求解方程组即可确定椭圆方程；(Ⅱ)首先联立直线与椭圆的方程，然后由直线MA ,NA 的方程确定点P ,Q 的纵坐标，将线段长度的比值转化为纵坐标比值的问题，进一步结合韦达定理可证得0P Q y y +=，从而可得两线段长度的比值. 【详解】(1)设椭圆方程为：()222210x y a b a b+=>>，由题意可得：224112a ba b⎧+=⎪⎨⎪=⎩，解得：2282a b ⎧=⎨=⎩， 故椭圆方程为：22182x y +=.(2)设()11,M x y ，()22,N x y ，直线MN 的方程为：()4y k x =+，与椭圆方程22182x y +=联立可得：()222448x k x ++=，即：()()222241326480k x k x k +++-=，则：2212122232648,4141k k x x x x k k --+==++. 直线MA 的方程为：()111122y y x x ++=++， 令4x =-可得：()()()1111111141214122122222P k x k x y x y x x x x ++-++++=-⨯-=-⨯-=++++， 同理可得：()()222142Q k x y x -++=+.很明显0P Q y y <，且：PQPB y PQy =，注意到： ()()()()()()()()122112121242424421212222P Q x x x x x x y y k k x x x x +++++⎛⎫+++=-++=-+⨯ ⎪++++⎝⎭， 而：()()()()()122112124242238x x x x x x x x +++++=+++⎡⎤⎣⎦ 2222648322384141k k k k ⎡⎤⎛⎫--=+⨯+⎢⎥ ⎪++⎝⎭⎣⎦()()()22226483328412041k k k k -+⨯-++=⨯=+，故0,P Q P Q y y y y +==-.从而1PQPB y BQy ==. 【点睛】解决直线与椭圆的综合问题时，要注意：(1)注意观察应用题设中的每一个条件，明确确定直线、椭圆的条件；(2)强化有关直线与椭圆联立得出一元二次方程后的运算能力，重视根与系数之间的关系、弦长、斜率、三角形的面积等问题．10．（2020年天津市高考数学试卷）已知椭圆22221(0)x y a b a b +=>>的一个顶点为(0,3)A -，右焦点为F ，且||||OA OF =，其中O 为原点．（Ⅰ）求椭圆的方程；（Ⅱ）已知点C 满足3OC OF =，点B 在椭圆上（B 异于椭圆的顶点），直线AB 与以C 为圆心的圆相切于点P ，且P 为线段AB 的中点．求直线AB 的方程．【答案】（Ⅰ）221189x y +=；（Ⅱ）132y x =-，或3y x =-． 【分析】（Ⅰ）根据题意，并借助222a b c =+，即可求出椭圆的方程；（Ⅱ）利用直线与圆相切，得到CP AB ⊥，设出直线AB 的方程，并与椭圆方程联立，求出B 点坐标，进而求出P 点坐标，再根据CP AB ⊥，求出直线AB 的斜率，从而得解. 【详解】（Ⅰ）椭圆()222210x y a b a b+=>>的一个顶点为()0,3A -，∴3b =，由OA OF =，得3c b ==，又由222a b c =+，得2228313a =+=， 所以，椭圆的方程为221189x y +=； （Ⅱ）直线AB 与以C 为圆心的圆相切于点P ，所以CP AB ⊥， 根据题意可知，直线AB 和直线CP 的斜率均存在，设直线AB 的斜率为k ，则直线AB 的方程为3y kx ，即3y kx =-，2231189y kx x y =-⎧⎪⎨+=⎪⎩，消去y ，可得()2221120k x kx +-=，解得0x =或21221k x k =+. 将21221k x k =+代入3y kx =-，得222126321213k y k k k k =⋅--=++，所以，点B 的坐标为2221263,2121k k k k ⎛⎫- ⎪++⎝⎭，因为P 为线段AB 的中点，点A 的坐标为()0,3-，所以点P 的坐标为2263,2121kk k -⎛⎫ ⎪++⎝⎭，由3OC OF =，得点C 的坐标为()1,0，所以，直线CP 的斜率为222303216261121CPk k k k k k --+=-+-+=， 又因为CP AB ⊥，所以231261k k k ⋅=--+，整理得22310k k -+=，解得12k =或1k =. 所以，直线AB 的方程为132y x =-或3y x =-. 【点睛】本题考查了椭圆标准方程的求解、直线与椭圆的位置关系、直线与圆的位置关系、中点坐标公式以及直线垂直关系的应用，考查学生的运算求解能力，属于中档题.当看到题目中出现直线与圆锥曲线位置关系的问题时，要想到联立直线与圆锥曲线的方程. 11．（2020年新高考全国卷Ⅰ数学高考试题（山东））已知椭圆C ：22221(0)x y a b a b+=>>2()2,1A ． （1）求C 的方程：（2）点M ，N 在C 上，且AM AN ⊥，AD MN ⊥，D 为垂足．证明：存在定点Q ，使得DQ 为定值．【答案】（1）22163x y +=；（2）详见解析.【分析】（1）由题意得到关于,,a b c 的方程组，求解方程组即可确定椭圆方程.（2）设出点M ，N 的坐标，在斜率存在时设方程为y kx m =+, 联立直线方程与椭圆方程，根据已知条件，已得到,m k 的关系，进而得直线MN 恒过定点，在直线斜率不存在时要单独验证，然后结合直角三角形的性质即可确定满足题意的点Q 的位置. 【详解】（1）由题意可得：2222222411c aa b a b c ⎧=⎪⎪⎪+=⎨⎪=+⎪⎪⎩，解得：2226,3a b c ===，故椭圆方程为：22163x y +=.(2) 设点()()1122,,,M x y N x y ，若直线MN 斜率存在时，设直线MN 的方程为：y kx m =+，代入椭圆方程消去y 并整理得：()22212k 4260x kmx m +++-=，可得122412km x x k +=-+，21222612m x x k -=+，因为AM AN ⊥，所以·0AM AN =，即()()()()121222110x x y y --+--=， 根据1122,kx m y kx m y =+=+,代入整理可得：()()()()22121212140x x km k x x km ++--++-+=，所以()()()22222264k 121401212m km km k m k k -⎛⎫++---+-+= ⎪++⎝⎭， 整理化简得()()231210k m k m +++-=，因为2,1A （）不在直线MN 上，所以210k m +-≠， 故23101k m k ++=≠，，于是MN 的方程为2133y k x ⎛⎫=-- ⎪⎝⎭()1k ≠，所以直线过定点直线过定点21,33P ⎛⎫- ⎪⎝⎭.当直线MN 的斜率不存在时，可得()11,N x y -， 由·0AM AN =得：()()()()111122110x x y y --+---=， 得()1221210x y -+-=，结合2211163x y +=可得：2113840x x -+=，解得：123x =或22x =（舍）.此时直线MN 过点21,33P ⎛⎫- ⎪⎝⎭.令Q 为AP 的中点，即41,33Q ⎛⎫⎪⎝⎭，若D 与P 不重合，则由题设知AP 是Rt ADP △的斜边，故12DQ AP ==， 若D 与P 重合，则12DQ AP =， 故存在点41,33Q ⎛⎫⎪⎝⎭，使得DQ 为定值.【点睛】关键点点睛：本题的关键点是利用AM AN ⊥得 ·0AM AN =，转化为坐标运算，需要设直线MN 的方程，点()()1122,,,M x y N x y ，因此需要讨论斜率存在与不存在两种情况，当直线MN 斜率存在时，设直线MN 的方程为：y kx m =+，与椭圆方程联立消去y 可12x x +，12x x 代入·0AM AN =即可，当直线MN 的斜率不存在时，可得()11,N x y -，利用坐标运算以及三角形的性质即可证明，本题易忽略斜率不存在的情况，属于难题. 12．（2018年全国普通高等学校招生统一考试理数（全国卷II ））设抛物线24C y x =：的焦点为F ，过F 且斜率为(0)k k >的直线l 与C 交于A ，B 两点，||8AB =． （1）求l 的方程；（2）求过点A ，B 且与C 的准线相切的圆的方程．【答案】(1) y =x –1,(2)()()223216x y -+-=或()()22116144x y -++=． 【详解】分析：(1)根据抛物线定义得12AB x x p =++，再联立直线方程与抛物线方程，利用韦达定理代入求出斜率，即得直线l 的方程；（2）先求AB 中垂线方程，即得圆心坐标关系，再根据圆心到准线距离等于半径得等量关系，解方程组可得圆心坐标以及半径，最后写出圆的标准方程.详解：（1）由题意得F （1，0），l 的方程为y =k （x –1）（k >0）． 设A （x 1，y 1），B （x 2，y 2）．由()214y k x y x ⎧=-⎨=⎩得()2222240k x k x k -++=． 216160k ∆=+=，故212224k x x k ++=．所以()()21224411k AB AF BF x x k +=+=+++=． 由题设知22448k k +=，解得k =–1（舍去），k =1． 因此l 的方程为y =x –1．（2）由（1）得AB 的中点坐标为（3，2），所以AB 的垂直平分线方程为()23y x -=--，即5y x =-+．设所求圆的圆心坐标为（x 0，y 0），则()()002200051116.2y x y x x =-+⎧⎪⎨-++=+⎪⎩，解得0032x y =⎧⎨=⎩，或00116.x y =⎧⎨=-⎩， 因此所求圆的方程为()()223216x y -+-=或()()22116144x y -++=．点睛：确定圆的方程方法(1)直接法：根据圆的几何性质，直接求出圆心坐标和半径，进而写出方程． (2)待定系数法①若已知条件与圆心(),a b 和半径r 有关，则设圆的标准方程依据已知条件列出关于,,a b r 的方程组，从而求出,,a b r 的值；②若已知条件没有明确给出圆心或半径，则选择圆的一般方程，依据已知条件列出关于D 、E 、F 的方程组，进而求出D 、E 、F 的值．13．（2018年全国普通高等学校招生统一考试文科数学（新课标I 卷））设抛物线22C y x =：，点()20A ，，()20B -，，过点A 的直线l 与C 交于M ，N 两点． （1）当l 与x 轴垂直时，求直线BM 的方程； （2）证明：ABM ABN ∠=∠． 【答案】（1）112y x =+或112y x =--；（2）见解析. 【分析】（1）首先根据l 与x 轴垂直，且过点()20A ，，求得直线l 的方程为2x =，代入抛物线方程求得点M 的坐标为()2,2或()2,2-，利用两点式求得直线BM 的方程；（2）设直线l 的方程为2x ty =+，点()11,M x y 、()22,N x y ，将直线l 的方程与抛物线的方程联立，列出韦达定理，由斜率公式并结合韦达定理计算出直线BM 、BN 的斜率之和为零，从而得出所证结论成立. 【详解】（1）当l 与x 轴垂直时，l 的方程为2x =，可得M 的坐标为()2,2或()2,2-． 所以直线BM 的方程为112y x =+或112y x =--； （2）设l 的方程为2x ty =+，()11,M x y 、()22,N x y ，由222x ty y x =+⎧⎨=⎩，得2240y ty --=，可知122y y t +=，124y y =-． 直线BM 、BN 的斜率之和为()()()()()()()()21122112121212122244222222BM BN x y x y ty y ty y y yk k x x x x x x +++++++=+==++++++()()()()()()1212121224244202222ty y y y t tx x x x ++⨯-+⨯===++++，所以0BM BN k k +=，可知BM 、BN 的倾斜角互补，所以ABM ABN ∠=∠.综上，ABM ABN ∠=∠. 【点睛】该题考查的是有关直线与抛物线的问题，涉及到的知识点有直线方程的两点式、直线与抛物线相交的综合问题、关于角的大小用斜率来衡量，在解题的过程中，第一问求直线方程的时候，需要注意方法比较简单，需要注意的就是应该是两个，关于第二问，涉及到直线与曲线相交都需要联立方程组，之后韦达定理写出两根和与两根积，借助于斜率的关系来得到角是相等的结论.14．（2018年全国卷Ⅲ文数高考试题文档版）已知斜率为k 的直线l 与椭圆22143x y C +=：交于A ，B 两点．线段AB 的中点为(1,)(0)M m m >． （1）证明：12k <-；（2）设F 为C 的右焦点，P 为C 上一点，且0FP FA FB ++=．证明：2FP FA FB =+． 【答案】（1）证明见解析 （2）证明见解析 【详解】分析：（1）设而不求，利用点差法，或假设直线方程，联立方程组，由判别式和韦达定理进行证明．（2）先求出点P 的坐标，解出m ，得到直线l 的方程，联立直线与椭圆方程由韦达定理进行求解．详解：（1）设()11A x y ，，()22B x y ，，则2211143x y +=，2222143x y +=． 两式相减，并由1212=y y k x x --得1212043x x y y k +++⋅=． 由题设知1212x x +=，122y y m +=，于是34k m =-．由题设得211,043m m +<>∴302m <<，故12k <-． （2）由题意得F （1，0）．设()33P x y ，，则()()()()33112211100x y x y x y -+-+-=，，，，． 由（1）及题设得()31231x x x =-+=，()31220y y y m =-+=-<． 又点P 在C 上，所以34m =，从而312P ⎛⎫- ⎪⎝⎭，，3||=2FP ． 于是()()222211111||1131242x xFA x y x ⎛⎫=-+-+-- ⎪⎝⎭．同理2||=22x FB -． 所以()121|43|||2FA FB x x +=-+=． 故2||=||+||FP FA FB ．点睛：本题主要考查直线与椭圆的位置关系，第一问利用点差法，设而不求可减小计算量，第二问由已知得求出m ，得到FP ,再有两点间距离公式表示出,FA FB ，考查了学生的计算能力，难度较大．15．（2017年全国普通高等学校招生统一考试文科数学（新课标2卷精编版））设O 为坐标原点，动点M 在椭圆C 22:12x y +=上，过M 作x 轴的垂线，垂足为N ，点P 满足2NP NM =.（1）求点P 的轨迹方程；（2）设点Q 在直线3x =-上，且1OP PQ ⋅=.证明：过点P 且垂直于OQ 的直线l 过C 的左焦点F .【答案】（1）222x y +=；（2）见解析. 【详解】（1）设P （x ，y ），M （00,x y ）,则N （0,0x ），00NP (x ,),NM 0,x y y =-=（）由NP 2NM =得00x x y y ==，. 因为M （00,x y ）在C 上，所以22x 122y +=. 因此点P 的轨迹为222x y +=.由题意知F （-1,0），设Q （-3，t ），P （m ，n ），则()()OQ 3t PF 1m n OQ PF 33m tn =-=---⋅=+-，，，，， ()OP m n PQ 3m t n ==---，，（，）.由OP PQ 1⋅=得-3m-2m +tn-2n =1，又由（1）知222m n +=，故3+3m-tn=0.所以OQ PF 0⋅=，即OQ PF ⊥.又过点P 存在唯一直线垂直于OQ ，所以过点P 且垂直于OQ 的直线l 过C 的左焦点F.点睛:定点、定值问题通常是通过设参数或取特殊值来确定“定点”是什么、“定值”是多少，或者将该问题涉及的几何式转化为代数式或三角问题，证明该式是恒成立的. 定点、定值问题同证明问题类似，在求定点、定值之前已知该值的结果，因此求解时应设参数，21运用推理，到最后必定参数统消，定点、定值显现.16．（2017年全国1卷（文数））设A ，B 为曲线C ：y ＝24x 上两点，A 与B 的横坐标之和为4．（1）求直线AB 的斜率；（2）设M 为曲线C 上一点，C 在M 处的切线与直线AB 平行，且AM ⊥BM ，求直线AB 的方程．【答案】（1）1；（2）y ＝x ＋7． 【分析】（1）设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，直线AB 的斜率k ＝1212y y x x --＝124x x+，代入即可求得斜率；（2）由（1）中直线AB 的斜率，根据导数的几何意义求得M 点坐标，设直线AB 的方程为y ＝x ＋m ，与抛物线联立，求得根，结合弦长公式求得AB ，由AM BM ⊥知，|AB |＝2|MN |，从而求得参数m . 【详解】解：（1）设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，则x 1≠x 2，y 1＝214x ，y 2＝224x ，x 1＋x 2＝4，于是直线AB 的斜率k ＝1212y y x x --＝124x x+＝1．（2）由y ＝24x ，得y ′＝2x ．设M (x 3，y 3)，由题设知32x ＝1，解得x 3＝2，于是M (2，1)． 设直线AB 的方程为y ＝x ＋m ，故线段AB 的中点为N (2，2＋m )，|MN |＝|m ＋1|． 将y ＝x ＋m 代入y ＝24x 得x 2－4x －4m ＝0．当Δ＝16(m ＋1)>0，即m >－1时，x 1，2＝2±1m + 从而|AB |2x 1－x 2|＝()421m +由题设知|AB |＝2|MN |，即()421m +2(m ＋1)， 解得m ＝7．所以直线AB 的方程为y ＝x ＋7．17．（2016年全国2卷（文数））已知A 是椭圆E ：22143x y +=的左顶点，斜率为()0k k >的直线交E 于A ，M 两点，点N 在E 上，MA NA ⊥.试卷第22页，共26页（Ⅰ）当AM AN =时，求AMN 的面积 （Ⅱ） 当2AM AN =时，证明：32k <<. 【答案】（Ⅰ）14449；（Ⅱ）详见解析. 【解析】试题分析：（Ⅰ）先求直线AM 的方程，再求点M 的纵坐标，最后求AMN ∆的面积；（Ⅱ）设()11,M x y ，将直线AM 的方程与椭圆方程组成方程组，消去y ，用k 表示1x ，从而表示AM ，同理用k 表示AN ，再由2AM AN =求k 的取值范围. 试题解析：（Ⅰ）设11(,)M x y ，则由题意知10y >. 由已知及椭圆的对称性知，直线AM 的倾斜角为π4.又(2,0)A -，因此直线AM 的方程为2y x =+. 将2x y =-代入22143x y +=得27120y y -=. 解得0y =或127y =，所以1127y =.因此AMN ∆的面积11212144227749AMN S ∆=⨯⨯⨯=. （Ⅱ）将直线AM 的方程(2)(0)y k x k =+>代入22143x y +=得 2222(34)1616120k x k x k +++-=.由2121612(2)34k x k -⋅-=+得2122(34)34k x k -=+，故22121212134k AM x k k+=++=+. 由题设，直线AN 的方程为，故同理可得2121k k AN +=. 由2AM AN =得222343+4kk k =+，即3246380k k k -+-=. 设32()4638f t t t t =-+-，则k 是()f t 的零点，22()121233(21)0f t t t t +=-'=-≥，所以()f t 在(0,)+∞单调递增.又(3)153260,(2)60f f ==，因此()f t 在(0,)+∞有唯一的零点，且零点k 在(3,2)32k <. 【考点】椭圆的性质，直线与椭圆的位置关系【名师点睛】对于直线与椭圆的位置关系问题，通常将直线方程与椭圆方程联立进行求解，注意计算的准确性.请考生在第22~24题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题计分.2318．（2016新课标全国卷Ⅰ文科）在直角坐标系xOy 中，直线l :y =t (t ≠0)交y 轴于点M ，交抛物线C ：22(0)y px p =>于点P ，M 关于点P 的对称点为N ，连结ON 并延长交C 于点H .（Ⅰ）求OH ON；（Ⅱ）除H 以外，直线MH 与C 是否有其它公共点？说明理由. 【答案】（1）2；（2）没有. 【分析】（Ⅰ）先确定2,,t N t ON p ⎛⎫ ⎪⎝⎭的方程为py x t =，代入22y px =整理得2220px t x -=，解得21220,t x x p ==，因此22(,2)t H t p ，所以N 为OH 的中点，即||2||OH ON =. （Ⅱ）直线MH 的方程为2py t x t-=，与22y px =联立得22440y ty t -+=，解得122y y t ==，即直线MH 与C 只有一个公共点，即可得出结论.【详解】（Ⅰ）由已知得()20,,,2t M t P t p ⎛⎫⎪⎝⎭. 又N 为M 关于点P 的对称点，故2,,t N t ON p ⎛⎫ ⎪⎝⎭的方程为py x t =，代入22y px =整理得2220px t x -=， 解得21220,t x x p ==，因此22(,2)t H t p， 所以N 为OH 的中点，即||2||OH ON =. （Ⅱ）直线MH 与C 除H 以外没有其它公共点. 理由如下： 直线MH 的方程为2py t x t-=，即2()t x y t p =-，代入22y px =，得22440y ty t -+=，解得122y y t ==，即直线MH 与C 只有一个公共点，所以除H 以外直线MH 与C 没有其它公共点. 【点睛】高考解析几何解答题大多考查直线与圆锥曲线的位置关系,直线与圆锥曲线的位置关系试卷第24页，共26页是一个很宽泛的考试内容,主要由求值、求方程、求定值、求最值、求参数取值范围等几部分组成；解析几何中的证明问题通常有以下几类：证明点共线或直线过定点；证明垂直；证明定值问题.其中考查较多的圆锥曲线是椭圆与抛物线,解决这类问题要重视方程思想、函数思想及化归思想的应用.19．（2021·新疆昌吉·高三阶段练习（文））已知椭圆2222:1(0)x y C a b a b+=>>的左､右顶点分別为12,A A ，右焦点为F （1，0），且椭圆C 的离心率为12，M ，N 为椭圆C 上任意两点，点P 的坐标为（4，t ）（t ≠0），且满足1122,AM MP A N NP λλ==. （1）求椭圆C 的方程； （2）证明：M ，F ，N 三点共线. 【答案】（1）22143x y +=； （2）证明见解析. 【分析】（1）根据椭圆的焦点坐标及离心率求椭圆参数，写出椭圆方程即可.（2）设()()1122,,,M x y N x y ，由题设易知1,,A M P 共线，2,,A N P 共线，利用向量共线的坐标表示有()()22112222292x y y x +=-，再由M ，N 在椭圆上可得()12122580x x x x -++=，最后由11(1,)FM x y =-，22(1,)FN x y =-结合分析法证明结论. （1）椭圆C 的右焦点为(1,0)F ，且离心率为12，∴a =2，c =1，则b 2=a 2-c 2=3， ∴椭圆C 的方程为22143x y +=.（2）由（1）知，12,A A 的坐标分别为(2,0),(2,0)-，设()()1122,,,M x y N x y ， ∴111(2,)AM x y =+，1(6,)A P t =，222(2,)A N x y =-，2(2,)A P t =， ∵11AM MP λ=，22A N NP λ=，25∴1,,A M P 三点共线，2,,A N P 三点共线，即()()11226222y t x y t x ⎧=+⎪⎨=-⎪⎩，整理得1122322y x y x +=-，两边平方得()()22112222292x y y x +=-，① 又M ，N 在椭圆上，则22112222334334y x y x ⎧=-⎪⎪⎨⎪=-⎪⎩，代入①并化简得()12122580x x x x -++=，又11(1,)FM x y =-，22(1,)FN x y =-，∴要证M ，F ，N 三点共线，只需证()()211211y x y x -=-，即112211y x y x -=-，只需证()112221321x x x x +-=--，整理得()12122580x x x x -++=，∴M ，F ，N 三点共线. 【点睛】关键点点睛：第二问，设()()1122,,,M x y N x y ，由向量共线得1122322y x y x +=-，利用分析法结合向量共线的坐标表示只需证112211y x y x -=-，最后由M ，N 在椭圆上求证即可.20．（2021·宁夏·石嘴山市第三中学高三阶段练习（文））已知椭圆C ：()222210x y a b a b +=>>的左焦点为F ，离心率为12，过点F 且垂直于x 轴的直线交C 于,A B 两点，3AB =（1）求椭圆的标准方程；（2）若直线l 过点()4,0M -且与椭圆相交于A ，B 两点，求ABF 面积最大值及此时直线l 的斜率. 【答案】 （1）22143x y += （2332114± 【分析】（1）根据题意得22221223c a ba abc ⎧=⎪⎪⎪=⎨⎪=+⎪⎪⎩，再解方程即可得答案； （2）设直线l 的方程为4x my =-，设()11,A x y ，()22,B x y ，进而将直线l 的方程与椭圆试卷第26页，共26页方程联立，并结合韦达定理得ABFS =，再令)0t t =>，结合基本不等式求解即可. （1）解：由题知：2222122231c a a bb ac a b c ⎧=⎪=⎧⎪⎪⎪=⇒=⎨⎨⎪⎪=⎩=+⎪⎪⎩ 所以椭圆22:143x y C +=.（2）设直线l 的方程为4x my =-，设()11,A x y ､()22,B x y ，与椭圆方程联立得224143x my x y =-⎧⎪⎨+=⎪⎩，消去x 得()223424360m y my +-+=.则()()2225764363414440m m m ∆=-⨯+=->，所以24m >.由根与系数的关系知1222434m y y m +=+，1223634y y m =+，所以1232ABFSy y =-=①令)0t t =>，则①式可化为21818163163ABFt St t t ==++当且仅当163t t =，即t =.此时3m =±l的斜率为14±.27。
广东省部分地区2020届高三上学期考试数学文试题分类汇编：圆锥曲线
:
x2 4
−
y2
= 1，双曲线 C2
:
x2 a2
−
y2 b2
=
1(a > b > 0)
的左、右焦点分别为 F1、F2 ，双曲线 C1 与 C2 的离心率相同，点 M 在双曲线 C2 的一条渐近线上，
且 OM ⊥ MF2 ， O 为坐标原点，若 S△OMF2 = 16 ，则双曲线 C2 的实轴长是( )
B 两点。 （1）当 AB 取得最小值为 16 时，求 p 的值。
3 （2）在（1）的条件下，过点 P(3, 4) 作两条直线 PM、PN 分别交抛物线 C 于 M、N
（M、N 不同于点 P）两点，且 ∠MPN 的平分线与 x 轴平行， 求证：直线 MN 的斜率为定值。
9、（广东省六校 2020 届高三第二次联考）在直角坐标系 xoy 中，动点 P 与定点 F (1, 0) 的距离和它 到定直线 x = 4 的距离之比是 1 ，设动点 P 的轨迹为 E ．
点（一 2 3 ，0）到 C 的渐近线的距离为
14、（肇庆市 2020 届高三第二次统测）抛物线方程为 x2 = 4 y ，动点 P 的坐标为 (1, t ) ，若过 P 点可
以作直线与抛物线交于 A, B 两点，且点 P 是线段 AB 的中点，则直线 AB 的斜率为
A． 1 2
B． − 1 2
C． 2
求证△OPQ 的面积为定值，并求此定值·
12、（肇庆市
2020
届高三第二次统测）已知椭圆
x2 a2
+
by22=
1 (a > b > 0) 的短半轴长为
2 ，离心率
2
为．
2
（1）求椭圆的方程；
2020年全国统一高考数学试卷(文科)(新课标ⅲ)(含解析版)
【点睛】本题考查等比数列通项公式基本量的计算,以及等差数列求和公式的应用,考查计算求解能力,属于基础题目.
18.某学生兴趣小组随机调查了某市100天中每天的空气质量等级和当天到某公园锻炼的人次,整理数据得到下表（单位：天）：
锻炼人次
空气质量等级
[0,200]
(200,400]
一、选择题：本题共12小题,每小题5分,共60分.在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的.
1.已知集合 , ,则A∩B中元素的个数为（）
A.2B.3C.4D.5
【答案】B
【解析】
【分析】
采用列举法列举出 中元素的即可.
【详解】由题意, ,故 中元素的个数为3.
故选：B
【点晴】本题主要考查集合 交集运算,考查学生对交集定义的理解,是一道容易题.
【详解】易知半径最大球为圆锥的内切球,球与圆锥内切时的轴截面如图所示,
其中 ,且点M为BC边上的中点,
设内切圆的圆心为 ,
由于 ,故 ,
设内切圆半径为 ,则：
,
解得： ,其体积： .
故答案为： .
【点睛】与球有关的组合体问题,一种是内切,一种是外接．解题时要认真分析图形,明确切点和接点的位置,确定有关元素间的数量关系,并作出合适的截面图,如球内切于正方体,切点为正方体各个面的中心,正方体的棱长等于球的直径；球外接于正方体,正方体的顶点均在球面上,正方体的体对角线长等于球的直径.
2.若 ,则z=（）
A. 1–iB. 1+iC. –iD.i
【答案】D
【解析】
【分析】
先利用除法运算求得 ,再利用共轭复数的概念得到 即可.
【详解】因为 ,所以 .
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原创文科数学专题卷 专题 圆锥曲线与方程考点39：椭圆及其性质(1-5题，13,14题) 考点40：双曲线及其性质（6-10题，15题） 考点41：抛物线及其性质（11,12题）考点42：直线与圆锥曲线的位置关系（17-22题） 考点43：圆锥曲线的综合问题（16题，17-22题）考试时间：120分钟 满分：150分说明：请将选择题正确答案填写在答题卡上，主观题写在答题纸上第I 卷（选择题）一、选择题（本题共12小题，每小题5分，共60分。
在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
） 1．【来源】2017届湖南省长沙市高三上学期统一模拟考试 考点39 易椭圆E 的焦点在x 轴上，中心在原点，其短轴上的两个顶点和两个焦点恰为边长是2的正方形的顶点，则椭圆E 的标准方程为（ ）A. 2212x +=B. 2212x y += C. 22142x y += D. 22142y x += 2．【2017课标3，理10】 考点39 易已知椭圆C ：22221x y a b +=，（a >b >0）的左、右顶点分别为A 1，A 2，且以线段A 1A 2为直径的圆与直线20bx ay ab -+=相切，则C 的离心率为（ ）A．B．C．D ．133．【来源】重庆市第一中学2016-2017学年高二月考 考点39 中难已知椭圆221(0)1x y m m +=>+的两个焦点是12,F F ， E 是直线2y x =+与椭圆的一个公共点，当12EF EF +取得最小值时椭圆的离心率为（ ）A.234．【来源】湖南省湘潭市2017第三次高考模拟 考点39 难如图， 12,A A 为椭圆22195x y +=长轴的左、右端点， O 为坐标原点， ,,S Q T 为椭圆上不同于12,A A 的三点，直线12,,,QA QA OS OT 围成一个平行四边形OPQR ，则22OS OT+=（）A. 14B. 12C. 9D. 75．【来源】山西省三区八校2017届高三第二次模拟考试考点39难已知椭圆的左焦点为1F，有一小球A从1F处以速度v开始沿直线运动，经椭圆壁反射（无论经过几次反射速度大小始终保持不变，小球半径忽略不计），若小球第一次回到1F时，它所用的最长时间是最短时间的5倍，则椭圆的离心率为（）A.1351-C.35D.236．【来源】河北省五个一联盟2017届高三上学期第一次模拟考试考点40易设椭圆22221x ym n+=，双曲线22221x ym n-=，（其中0m n>>）的离心率分别为12,e e，则（）A.12,1e e> B.12,1e e< C.12,1e e= D.12,e e与1大小不确定7．【来源】湖北省六校联合体2017届高三4月联考考点40易已知双曲线221259x y-=上有一点M到右焦点1F的距离为18，则点M到左焦点2F的距离是（）A. 8B. 28C. 12D. 8或288．【2017课标II】考点40 易若双曲线C:22221x ya b-=（0a>，0b>）的一条渐近线被圆()2224x y-+=所截得的弦长为2，则C的离心率为（）A．2 B．3 C．2 D．23 9．【来源】2017届湖南省长沙市高三上学期统一模拟考试考点40中难A、F分别是双曲线22221(0,0)x ya ba b-=>>的左顶点和右焦点，A、F在双曲线的一条渐近线上的射影分别为B 、Q ， O 为坐标原点， ABO ∆与FQO ∆的面积之比为12，则该双曲线的离心率为（ ）A. 2B.12C. 210．【来源】江西南昌十所省重点中学2017届高三第二次模拟 考点40 难已知12,F F 是双曲线22221(00)x y a b a b-=>>，的左、右焦点，设双曲线的离心率为e ．若在双曲线的右支上存在点M ，满足212MF F F =，且12sin 1e MF F ∠=，则该双曲线的离心率e 等于( )A.54 B. 535211．【2017课标1，理10】 考点41 中难已知F 为抛物线C ：y 2=4x 的焦点，过F 作两条互相垂直的直线l 1，l 2，直线l 1与C 交于A 、B 两点，直线l 2与C 交于D 、E 两点，则|AB |+|DE |的最小值为（ ）A ．16B ．14C ．12D ．1012．【来源】河北省石家庄市高三一模考试 考点41 难已知过抛物线22(0)y px p =>的焦点F 的直线与抛物线交于A , B 两点,且3AF FB =u u u r u u u r,抛物线的准线l 与x 轴交于点C , 1AA l ⊥于点1A ,若四边形1AA CF 的面积为,则准线l 的方程为( )A. x =x =- C. 2x =- D. 1x =-第II 卷（非选择题）二、填空题（本题共4小题，每小题5分，共20分。
） 13．【来源】2016-2017学年辽宁大连二十高级中高二上期中 考点39 中难设1F 、2F 分别是椭圆1162522=+y x 的左，右焦点，P 为椭圆上任一点，点M 的坐标为)4,6(，则|PM |＋|1PF |的最大值为_______14．【来源】2017届湖南长沙长郡中学高三上第三次月考 考点39 难21,F F 分别为椭圆1273622=+y x 的左、右焦点，A 为椭圆上一点，且)(211OF +=，)(212OF OA OC +=，则=+|||| . 15．【2017课标1】 考点40 中难已知双曲线C ：22221x y a b -=（a >0，b >0）的右顶点为A ，以A 为圆心，b 为半径作圆A ，圆A与双曲线C 的一条渐近线交于M 、N 两点.若∠MAN =60°，则C 的离心率为________. 16．【2017课标II 】 考点41 难已知F 是抛物线C:28y x =的焦点，M 是C 上一点，FM 的延长线交y 轴于点N 。
若M为FN 的中点，则FN =。
三、解答题（本题共6小题，共70分。
）17．（本题满分10分）【来源】江西省2017届高三下学期调研考试 考点42 考点43 中难已知O 为坐标原点， 12,F F 为椭圆2222:1(0)x y C a b a b +=>>的左、右焦点，其离心率2e =， M 为椭圆C 上的动点， 12MF F ∆的周长为4+. （1）求椭圆C 的方程；（2）已知椭圆的右顶点为A ，点,B C （C 在第一象限）都在椭圆上，若OC BA λ=u u u r u u u r，且·0OC OB =u u u r u u u r ，求实数λ的值.18．（本题满分12分） 【来源】山西省大同市灵丘豪洋中学2017届高三下学期第三次模拟考试 考点42 考点43中难已知中心在原点，焦点在x 轴上的椭圆C 过点1,2⎛⎫⎪ ⎪⎝⎭1A ， 2A 是椭圆C 的长轴的两个端点（2A 位于1A 右侧），B 是椭圆在y 轴正半轴上的顶点. （1）求椭圆C 的标准方程；（2）是否存在经过点(且斜率为k 的直线l 与椭圆C 交于不同两点P 和Q ，使得向量OP OQ +u u u r u u u r 与2A B u u uu r 共线？如果存在，求出直线方程；如果不存在，请说明理由.19．（本题满分12分）【来源】湖北省六校联合体2017届高三4月联考考点42 考点43中难如图，已知圆()22:14E x y+-=经过椭圆2222:1(0)x yC a ba b+=>>的左右焦点12,F F，与椭圆C在第一象限的交点为A，且1F，E，A三点共线.（1）求椭圆C的方程；（2）设与直线OA（O为原点）平行的直线交椭圆C于,M N两点，当AMN∆的面积取最大值时，求直线l的方程.20．（本题满分12分）【2017课标1，理20】考点42 考点43中难已知椭圆C：2222=1x ya b+（a>b>0），四点P1（1,1），P2（0,1），P3（–1，32），P4（1，32）中恰有三点在椭圆C上.（1）求C的方程；（2）设直线l不经过P2点且与C相交于A，B两点.若直线P2A与直线P2B的斜率的和为–1，证明：l过定点.21．（本题满分12分）【来源】2017届湖南省长沙市高三上学期统一模拟考试考点42 考点43中难已知过()0,2A的动圆恒与x轴相切，设切点为,B AC是该圆的直径．（Ⅰ）求C点轨迹E的方程；（Ⅱ）当AC不在y轴上时，设直线AC与曲线E交于另一点P，该曲线在P处的切线与直线BC交于Q点．求证: PQC∆恒为直角三角形．22．（本题满分12分）【来源】福建省2017届高三4月单科质量检测 考点42 考点43 难已知点()1,0F ，直线:1l x =-，直线l '垂直l 于点P ，线段PF 的垂直平分线交l '于点Q . （1）求点Q 的轨迹C 的方程；（2）已知点()1,2H ，过F 且与x 轴不垂直的直线交C 于,A B 两点，直线,AH BH 分别交l 于点,M N ，求证：以MN 为直径的圆必过定点.参考答案1．C【解析】由条件可知2b c==，2a=，所以椭圆方程为22142x y+=，故选C. 2．【答案】A【解析】3．D【解析】解：联立直线与椭圆的方程整理可得：()()()2241310m x m x m+++++=，满足题意时：2)1)(2(12)1(162≥⇒≥++-+=∆mmmm20≥∴>mmΘ，当2m=时，椭圆的离心率取得最小值63.4．A【解析】设()()()1122,,,,,Q x y T x y S x y，12,QA QA斜率分别为12,k k，则,OT OS的斜率为12,k k，且212253399y y yk kx x x=⋅==-+--，所以()21222222111112145159kOT x y x k xk+=+=+=+，同理()2222245159kOSk+=+，因此()()()22222212112221212125451451451451812559595959k k k kOS OTk k kk⎛⎫+⎪+++⎝⎭+=+=+++++()22211122211145181251267014595959k k kk k k+++=+==+++.故选A．5．D【解析】因为左焦点到左顶点的距离最近，到右顶点的距离最大，所以由题设可得()546a c a c a c+=-⇒=，即4263 e==，应选答案D 。
6．B【解析】在椭圆22221x ym n+=中，221c m n=-，∴2211c m nem m-==，在双曲线22221x ym n-=中，222c m n=+，∴2222c m nem+==，∴422224412411m n m n m n ne em m m m-+-⎛⎫⋅=⋅==-<⎪⎝⎭，故选B.7．D【解析】根据双曲线的定义可知点M到两焦点的距离的差的绝对值为2a，即12210,MF MF a-==又118,MF=则2828MF=或.故选 D.8．【答案】A【解析】9．D【解析】~ABO FQO∆∆，所以222212ABOFQOS OA aS OF c∆∆===，所以椭圆的离心率2cea==，故选D.10．B【解析】依题设，2122MF F F c==，∵12sin 1e MF F ∠=， ∴1212sin 2aMF F e c∠==， ∴等腰三角形12MF F ∆底边上的高为2a ， ∴底边1MF 的长为4b ， 由双曲线的定义可得422b c a -=，∴2b a c =+，∴()224b a c =+，即22242b a ac c =++， ∴23250e e --=，解得53e =. 11．【答案】A12．A【解析】由题意，知,02p F ⎛⎫⎪⎝⎭，直线l 的方程为2p x =-．设()()1122,,,A x y B x y ，则11,2p AF x y ⎛⎫=-- ⎪⎝⎭u u u r ， 22,2p FB x y ⎛⎫=- ⎪⎝⎭u u u r ．由3AF BF =u u u r u u u r ，得12322p p x x ⎛⎫-=- ⎪⎝⎭，即()21123x p x =- ①．设直线AB 的方程为2p y k x ⎛⎫=- ⎪⎝⎭，代入抛物线方程消去y ，得()22222204k p k x k p p x -++=，所以2124p x x = ②．联立①②，得132x p =或12px =（舍去），所以13y =．因为1AA CF S ＝1121232p y x p ⎛⎫++⎪⎝⎭=，将11,x y 的值代入解得2p =l 的方程为2x =A ．13．15【解析】由椭圆方程可知22225,1695,3a b c a c ==∴=∴==，两焦点坐标()3,0±，由椭圆定义可得122210PM PF PM a PF PM PF +=+-=-+，结合三角形三边关系可知225PM PF MF -≤=，所以21015PM PF -+≤，最大值为15 14．6【解析】由椭圆方程1273622=+y x ,得6=a ,由椭圆定义可得12221==+a AF AF ,因为()121OF OA OB +=,所以B 为1AF 的中点,()221OF OA OC +=,所以C 为2AF 中点,因为O 为21F F 中点,所以1221,21AF OC AF OB ==,所以()62121=+=+AF AF OC OB .15．【答案】23【解析】16．【答案】6【解析】如图所示，不妨设点M 位于第一象限，设抛物线的准线与x 轴交于点'F ，做MB l ⊥与点B ，NA l ⊥与点A ，17．（1）2214x y +=；（2）3λ=【解析】（1）因为12MF F ∆的周长为423+ 所以22423a c +=+，①，由题意ce a===②，联立①②解得2,a c ==1b =，所以椭圆的方程为2214x y +=； （2）设直线OC 的斜率为k ，则直线OC 方程为y kx =，代入椭圆方程2214x y +=并整理得()22144k x +=，∴C x =C ⎛⎫，由2214x y +=知A （2,0），因为OC BA λ=u u u r u u u r ，所以k k AB OC AB =∴//所以直线AB 的方程为()2y k x =-，代入椭圆方程并整理得()222214161640k x k x k +-+-=，∵221642,14A A B k x x x k -==+，∴2222282824,,141414B k k k x B k k k ⎛⎫---= ⎪+++⎝⎭，因为·0OC OB =u u u r u u u r224·014k k -+=+，所以212k =，因为C 在第一象限，所以0k >，∴k =因为OC ⎛⎫=u u u r ， ()222222414442,0,14141414k k k BA k k k k ⎛⎫--⎛⎫⎪=--= ⎪ ⎪++++⎝⎭⎝⎭u u u r ，由OC BA λ=u u u r u u u r，得λ=∵2k =，∴2λ=. 18．（1）2212x y +=（2）不存在 【解析】（1）设椭圆的方程为22221(0)x y a b a b+=>>，.依题意得22222,{,21112a b c c a a b=+=+=解得22a =， 21b =. 所以椭圆C 的方程为2212x y +=. （2）假设存在过点(且斜率为k 的直线l 适合题意，则因为直线l 的方程为：y kx =+22{12y kx x y =+⇒+=221102k x ⎛⎫+++= ⎪⎝⎭.由直线l 与椭圆C 交于不同两点P 和Q 知，221842k k ⎛⎫∆=-+= ⎪⎝⎭2420k ->， 212k ∴>.令()11,P x y ， ()22,Q x y ， ()1212,OP OQ x x y y ∴+=++u u u r u u u r，12212x x k +=-+Q ， ()1212y y k x x +=++212k=+，OP OQ ⎛∴+= ⎝⎭u u u r u u u r()22,112k k =-+，由题知)2A ， ()0,1B ， )1,2(2-=→B A .从而，根据向量OP OQ +u u u r u u u r与B A →2共线，可得2k =2k =，这与212k >矛盾. 故不存在符合题意的直线l .19．(1)22196x y +=;(2) 233y x =±. 【解析】 (1)∵1F ， E ， A 三点共线，∴1F A 为圆E 的直径，且14AF =， ∴212AF F F ⊥.由()22014x +-=，得3x =±，∴3c =，∵222211216124AF AF F F =-=-=， ∴22AF =， ∴1226a AF AF =+=， 3a =. ∵222a b c =+，∴26b =，∴椭圆C 的方程为22196x y +=. (2)由（1）知，点A 的坐标为()3,2，∴直线OA 的斜率为233，故设直线l 的方程为23y x m =+，将l 方程代入22196x y +=消去y 得： 226433180x mx m ++-=， 设()11,,M x y ()22,,N x y ∴12233x x m +=-， 212132x x m =-， 2248724320m m ∆=-+>，∴3232m -<<又2211MN kx =+-()221212414142839x x x x m ++-=-，∵点A 到直线l 的距离217d =，∴2111421282297AMN S MN d m ∆=⋅=- 22211428149m m ⎛⎫=-⋅ ⎪⎝⎭42211428149m m =-+ 2136314≤=， 当且仅当22891429m =-=⎛⎫⨯- ⎪⎝⎭，即3m =±时等号成立，此时直线l 的方程为233y x =±. 20．解析：（1）由于3P ，4P 两点关于y 轴对称，故由题设知C 经过3P ，4P 两点. 又由222211134a b a b+>+知，C 不经过点P 1，所以点P 2在C 上.因此222111314b ab ⎧=⎪⎪⎨⎪+=⎪⎩，解得2241a b ⎧=⎪⎨=⎪⎩.故C 的方程为2214x y +=.21．(1) 28x y =；(2) 证明见解析．【解析】(Ⅰ) 设C 点坐标为(),x y ，则B 点坐标为,02x ⎛⎫⎪⎝⎭． 因为AC 是直径，所以BA BC ⊥，或C 、B 均在坐标原点．因此0BA BC ⋅=u u u r u u u r ,而,22x BA ⎛⎫=- ⎪⎝⎭u u u r ， ,2x BC y ⎛⎫= ⎪⎝⎭u u u r ，故有2204x y -+=，即28x y =， 另一方面，设200,8x C x ⎛⎫ ⎪⎝⎭是曲线28x y =上一点，则有20168x AC +==， AC 中点纵坐标为20202168216x x ++=， 故以AC 为直径的圆与x 轴相切．综上可知C 点轨迹E 的方程为28x y =． (Ⅱ)设直线AC 的方程为2y kx =+，由22{8y kx x y=+=得： 28160x kx --=设 ()()1122,,,C x y P x y ，则有1216x x =-．由28x y =对x 求导知4x y '=，从而曲线E 在P 处的切线斜率224x k =， 直线BC 的斜率211111842x x k x x ==-， 于是 12121611616x x k k -===-． 因此QC PQ ⊥ ．所以PQC ∆恒为直角三角形． 22．（1）24y x =；（2）详见解析.【解析】（1）依题意得QP QF =，即Q 到直线:1l x =-的距离与到点F 的距离相等， 所以点Q 的轨迹是以F 为焦点， l 为准线的抛物线.设抛物线方程为22(0)y px p=>，则2p=，即点Q的轨迹C的方程是24y x=. （2）由题意可设直线():10AB x my m=+≠，代入24y x=，得2440y my--=，设221212,,,44y yA yB y⎛⎫⎛⎫⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，则12124,4y y m y y+==-；又()1,2H，设直线,AH BH的斜率分别为12,k k，则12122212122244,221144y yk ky yy y--====++--，设()()1,,1,M NM y N y--，令1x=-，得()111228222Myyy y-=-=++，同理，得()222228222Nyyy y-=-=++，从而()()()()()121212121212424222244244·422244244 M Ny y y yy y m y yy y y y y y m⎡⎤-++----⨯+⎣⎦====-+++++-+⨯+；12882222M Ny yy y⎛⎫⎛⎫+=-+-⎪ ⎪++⎝⎭⎝⎭12114822y y⎛⎫=-+⎪++⎝⎭()()12121284424y yy y y y⎡⎤++⎣⎦=-+++()84444244m m +=--+⨯+4m=-.又以MN 为直径的圆的方程为： ()()()210M N x y y y y ++--=， 即()()22·10M N M N y y y y y y x -++++=，即224230x x y y m+-++=， 令22{230y x x y =+-+=，解得3x =-或1x =， 从而以MN 为直径的圆恒过定点()3,0-和()1,0.。