[物理]第十章频率响应--多频正弦稳态电路
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第十章 频率响应 多频正弦稳态电路
周期函数分解为傅立叶级数，求解非正弦周期电路 的稳态响应的方法就称为谐波分析法。 采用谐波分析法的好处： （1）当直流分量作用时，因为直流稳态下电容相 当开路、电感相当于短路，所以计算其产生的稳态响 应分量是很简便的。 （2）由于各次谐波分量均为正弦信号，所以就可 以采用前面谈到相量法来计算各次谐波单独作用时产 生的稳态响应分量。
R1 C R2 L
i2 U0
I（0）
+ I1 (0)
I2 (0)
R2
（b）
解
1）非正弦周期电源的傅氏级数形式已给定
2) U0=10V单独作用，电路如图(b)
I1(0) 0 ; I 2(0) U 0 10 2.5 A ; R2 4 I (0) I 2(0) 2.5 A
u (t ) [10 100 2 cos t 50 2 cos(3 t 30 )]V
f(t) f(t)
o
t
o
t
2. 1非正弦周期电流和电压
基本要求：初步了解非正弦信号产生的原因。
（1） 非正弦周期电流的产生
当电路中有多个不同频率的电源同时作用，如图所示
R1
US
R2
L
U m sin t
R
图 不同频率电源作用的电路
引起的电流便是非正弦周期电流， 解 决方法是？ 根据叠加定理，分别计算不同频率的 响应，然后将瞬时值结果叠加。
i
i1 u ( t)
R1 C R2 L
i2
I1(0) 0 ;
I1(1) 7.0745 A
I1(3) 4.7448.42 A
I 2(0) 2.5 A ;
I 2(1) 22.37 26.57 A
I (0) 2.5 A
R1 C R2 L
i2 U0
I（0）
+ I1 (0)
I2 (0)
R2
（b）
解
1）非正弦周期电源的傅氏级数形式已给定
2) U0=10V单独作用，电路如图(b)
I1(0) 0 ; I 2(0) U 0 10 2.5 A ; R2 4 I (0) I 2(0) 2.5 A
u (t ) [10 100 2 cos t 50 2 cos(3 t 30 )]V
f(t) f(t)
o
t
o
t
2. 1非正弦周期电流和电压
基本要求：初步了解非正弦信号产生的原因。
（1） 非正弦周期电流的产生
当电路中有多个不同频率的电源同时作用，如图所示
R1
US
R2
L
U m sin t
R
图 不同频率电源作用的电路
引起的电流便是非正弦周期电流， 解 决方法是？ 根据叠加定理，分别计算不同频率的 响应，然后将瞬时值结果叠加。
i
i1 u ( t)
R1 C R2 L
i2
I1(0) 0 ;
I1(1) 7.0745 A
I1(3) 4.7448.42 A
I 2(0) 2.5 A ;
I 2(1) 22.37 26.57 A
I (0) 2.5 A
电路分析第10章 频率响应 多频正弦稳态电路
U Au 2 U 1
(4) 电流转移函数
· I1
+ · U1 –
N0w
+ · U2 –
ZL
· I2
I Ai 2 I
1
N0w
+ · U2 –
ZL
策动点函数 转移函数
网络函数 H(jw) = |H(jw)|(w)
频率特性
|H(jw)| —— 幅频特性 (w) —— 相频特性
RC电路：对所有频率都是电容性电路。 RL电路：对所有频率都是电感性电路。 RLC电路：某些频率是电容性；某些频率是电感性；
LC电路：对某些频率是纯电感性；对某些频率是纯电容性。 某些频率是纯电阻性（谐振状态）。
· U U Z = ·= u – i I I = |Z|Z
Z(jw) = R(w) + jX(w)
输入阻抗Z(jw)可看作激励电流10˚A所产生的电压响应。
Z(jw) = R(w) + jX(w) = |Z(jw)|Z(w)
+ U
·
· I
N0
– Z与频率 w 的关系称为阻抗的频率特性。|Z| 与频率 w 的关系称为阻抗的幅频特性。 与频率 w 的关系称为 阻抗的相频特性。幅频特性和相频特性通常用曲线表示。
[例] 电路如图，求ab端输入阻抗。 解： Zab = R2 + jwL + R1 jwC 1 R1 + jw C
a
R1 R2 jwL
R1 = R2 + jwL + 1 + jwCR1 R1 – jwCR12 = R2 + jwL + 1 + (wCR1 )2
b
1 jwC
第10章-频率响应--多频正弦稳态电路
§10-5 平均功率的叠加
设us1和us2 为两个任意波形的电压源 当us1单独作用时，流过R的电流为i1(t)
us2单独作用时，流过R的电流为i2(t)
iR
++ uS1 uS2 ––
依据叠加原理 i(t) = i1(t) + i2(t) 电阻消耗的瞬时功率
p(t) =Ri2(t)=R(i1+i2)2= Ri12 + Ri22 +2R i1i2 = p1+ p2+ 2R i1i2
∫ =
1
2
0 Im sinwtdwt
0
=
Im
2 3 w t
非正弦周期信号的谐波分析法
设非正弦周期电压 u 可分解成傅里叶级数
u = U0 + U1mcos(wt +1) +U2mcos( 2wt +2) + ······
其作用就和一个直流电压源及一系列不同频率的
正弦电压源串联起来共同作用在电路中的情况一样。
5. 滤波电路 电感或电容元件对不同频率的信号具有不同的
阻抗，利用感抗或容抗随频率而改变的特性构成四 端网络，有选择地使某一段频率范围的信号顺利通 过或者得到有效抑制，这种网络称为滤波电路。
下面以RC电路组成的滤波电路为例说明求网络 函数和分析电路频率特性的方法。
低通滤波电路
低通滤波电路可使低频信号较少损失地传输到输 出端，高频信号得到有效抑制。
u
u
Um
Um
0 2 3 wt
0
2 4 wt
u
u
Um
Um
0
2 wt
0 2
wt
几种非正弦周期电压的波形
第十章_频率响应_多频正弦稳态电路(09)
安徽大学电子信息工程学院
【例】已知一个二端网络
u (t ) 100 100 cos t 50 cos 2t 30 cos(3t )
i (t ) 10 cos(t 60 ) 2 cos(3t 135 )
二 +
u
_
i
端
网 络
试求该二端网络的平均功率P
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2. 幅频特性和相频特性 网络函数可表为为：
H ( j ) H ( j ) ( )
其中： |H(jω)|是H(jω)的模, 它是响应相量的模与 激励相量的模之比, 称为幅度-频率特性或幅频 响应 ；
(ω)是H(jω)的辐角, 它是响应相量与激 励相量之间的相位差, 称为相位-频率特性或相 频响应。
I I 2 I 2 I 2 I 2 0 1 2 N 2 2 2 2 U U U U U 0 1 2 N
周期性非正弦波在用傅立叶级数分解出它的直流分 量和各次谐波分量后，可用上述公式计算该非正弦波电 流（电压）的有效值。
A
0
T/2
T
t
其中
2 T 1 T Ak f (t ) cos ktdt A0 f (t )dt 0 T 0 T 2 T Bk f (t ) sin ktdt T 0
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u(t )
u ( t)
U1m u1 u1与方波同频率, 称为方波的基波
u3的频率是方波的3倍, 称为方波的三次谐波。
式中, P1和P2分别为uS1和uS2 单独作用时电阻吸收的平 均功率。上式中第三项：
T 2R T 2R i1 (t )i2 (t )dt I m1I m 2 cos(mt 1 ) cos(nt 2 )dt 0 T 0 T
【例】已知一个二端网络
u (t ) 100 100 cos t 50 cos 2t 30 cos(3t )
i (t ) 10 cos(t 60 ) 2 cos(3t 135 )
二 +
u
_
i
端
网 络
试求该二端网络的平均功率P
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2. 幅频特性和相频特性 网络函数可表为为：
H ( j ) H ( j ) ( )
其中： |H(jω)|是H(jω)的模, 它是响应相量的模与 激励相量的模之比, 称为幅度-频率特性或幅频 响应 ；
(ω)是H(jω)的辐角, 它是响应相量与激 励相量之间的相位差, 称为相位-频率特性或相 频响应。
I I 2 I 2 I 2 I 2 0 1 2 N 2 2 2 2 U U U U U 0 1 2 N
周期性非正弦波在用傅立叶级数分解出它的直流分 量和各次谐波分量后，可用上述公式计算该非正弦波电 流（电压）的有效值。
A
0
T/2
T
t
其中
2 T 1 T Ak f (t ) cos ktdt A0 f (t )dt 0 T 0 T 2 T Bk f (t ) sin ktdt T 0
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u(t )
u ( t)
U1m u1 u1与方波同频率, 称为方波的基波
u3的频率是方波的3倍, 称为方波的三次谐波。
式中, P1和P2分别为uS1和uS2 单独作用时电阻吸收的平 均功率。上式中第三项：
T 2R T 2R i1 (t )i2 (t )dt I m1I m 2 cos(mt 1 ) cos(nt 2 )dt 0 T 0 T
第十章正弦稳态电路的频率响应
第10章电路的频率响应 (288)学习要点 (288)10.1滤波器 (288)10.1.1低通滤波电路 (288)10.2 RLC串联电路频率特性与串联谐振 (292)10.2.1 RLC串联谐振电路 (292)10.2.2 RLC串联谐振的特征 (292)10.2.3 RLC串联电路的频率响应 (294)10.3并联谐振电路 (298)10.3.1 GLC并联电路 (298)10.3.2电感线圈和电容并联的谐振电路 (300)10.4 波特图 (301)习题十 (308)287第10章电路的频率响应学习要点1）滤波器的概念；2）RLC串联电路的谐振与频率特性；3）GLC并联电路的谐振与频率特性；4) 波特图。
前几章中，通过引入相量法，我们讨论并解决了单一频率正弦激励下电路（简称单频电路）的稳态响应的问题。
通过引入相量法，从而有了一套完整的求正弦稳态解的方法。
本章讨论的主要问题是，在正弦稳态电路中，当激励的角频率变化时，响应如何随激励的角频率变化。
为了解决这个问题，我们引入频率响应等概念，并着重讨论电路滤波、谐振等问题。
10.1滤波器电路中激励源的频率变化时，电路中的感抗、容抗将随频率变化，从而导致电路的工作状态亦随频率变化。
所谓滤波就是利用容抗或感抗随频率变化的特性，对不同频率的输入信号产生不同的响应，让需要的频带信号顺利通过，抑制不需要的其它频带信号。
滤波电路通常分为低通、高通、带通等多种。
10.1.1低通滤波电路下面以RC低通滤波电路为例，初步讨论频率响应的概念及其应用。
图10-1 RC低通滤波电路图10-2 RC低通滤波电路幅频特性图10-3 RC低通滤波电路相频特性如图10-1所示，当正弦激励iU 的角频率变化时，正弦稳态响应oU 如何变化？按图10-1所示的电路，根据题意，应该找到正弦稳态响应oU 与正弦激励iU 的关系。
()()()()()()11(oiU j j CH jU j Rj CH j H j jωωωωωωωϕω==+=∠（10-1）响应与激励的相量的比值()ωjH，反映了响应和激励之间相互依赖的关系。
电路分析基础10频率响应
线性时不变稳态电路单一频率的正弦激励多频正弦稳态分析仍可采用相量法但只能逐个频率求解最后需用叠加方法求结果实际中的多频正弦激励非正弦周期信号可分解为直流和多个倍频分量多个非倍频正弦波激励101定义网络函数
专业基础课
电路分析基础
教师：张 荣
第十章 频率响应 多频正弦稳态
动态电路的响应是随频率变化的
k 1 k 1
U km cos( k 1 t u k ) I km cos( k 1t i k )
k 1
U km cos( k 1 t u k ) I nm cos( n 1 t i n )
2.非正弦周期信号电路的功率
u 设： ( t ) U 0 U km cos( k 1t u k )
k 1
+ u(t) -
i(t) N0
i ( t ) I 0 I km cos( k 1t i k )
k 1
无源二端网络
（1）瞬时功率p(t)
k 1
us(t)(v) … 20 0
T
1 F 15
… t(s)
+ us(t) (b)
5
+ uR(t) -
(a) 周期矩形脉冲
例：如图 (a)所示周期矩形脉冲作用于图(b)电路，周期 T=6.28 s，求uR(t)的稳态响应。（计算至五次谐波） 解： 将us(t)作傅氏展开： 基波角频率 1
2 2 1rad / s T 6.28
设周期信号u(t)的傅立叶展开式为：
u( t ) U 0 U km cos( k1t k )
k 1
1 则其有效值U T
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第十章 频率响应 多频正弦稳态
动态电路的响应是随频率变化的
k 1 k 1
U km cos( k 1 t u k ) I km cos( k 1t i k )
k 1
U km cos( k 1 t u k ) I nm cos( n 1 t i n )
2.非正弦周期信号电路的功率
u 设： ( t ) U 0 U km cos( k 1t u k )
k 1
+ u(t) -
i(t) N0
i ( t ) I 0 I km cos( k 1t i k )
k 1
无源二端网络
（1）瞬时功率p(t)
k 1
us(t)(v) … 20 0
T
1 F 15
… t(s)
+ us(t) (b)
5
+ uR(t) -
(a) 周期矩形脉冲
例：如图 (a)所示周期矩形脉冲作用于图(b)电路，周期 T=6.28 s，求uR(t)的稳态响应。（计算至五次谐波） 解： 将us(t)作傅氏展开： 基波角频率 1
2 2 1rad / s T 6.28
设周期信号u(t)的傅立叶展开式为：
u( t ) U 0 U km cos( k1t k )
k 1
1 则其有效值U T
第10章p1正弦稳态频率响应
上节课内容回顾
• 若对称三相电路成Y形连接，则：
线电流和相电流关系如何？ 线电压与相电压关系如何？ 线电流（或相电流）彼此关系如何？ 线电压（或相电压）彼此关系如何？
若对称三相电路成△连接，则请依次回答以 上问题
1
第十章 频率响应 多频正弦稳态电路
多频正弦稳态电路： 多个不同频率正弦激励下的稳态电路。
_
I.ILLm55
j5
j1
5
IL5
1000
j1 5 0.4116.820 A
1
1
j5(j ) j5j
1
5
5
j5 j 1
5
iL 1 (t) 0 .42 1 co 5 t s 1(.6 2 0 )A 8
14
2）is(t)单独作用：
1S
j1S 4
I.
I LLm44 j4S
40o A
j1 I L41j44j14000.25616.150 A
若 u(t)U 0 U km sik n t(k)
则有效值:
k1
U 2 10 2 u 2 td (t)2 10 2 U 0 k 1 U ks m i kn tk 2 d (t)
频率响应 (frequency response)： 不同频率正弦稳态下，电路响应与频率的关系。
可由正弦稳态网络函数来表明。
本章的分析方法：
运用网络函数结合叠加方法来解决多频正弦
稳态电路的响应（电压、电流、功率）。
运用网络函数研究典型电路的低通、高通、
带通和谐振等性能。
2
§10-1 基本概念
多频正弦激励种类(p111)：
励分量： f(t)A0 Anm con st(n) n1
• 若对称三相电路成Y形连接，则：
线电流和相电流关系如何？ 线电压与相电压关系如何？ 线电流（或相电流）彼此关系如何？ 线电压（或相电压）彼此关系如何？
若对称三相电路成△连接，则请依次回答以 上问题
1
第十章 频率响应 多频正弦稳态电路
多频正弦稳态电路： 多个不同频率正弦激励下的稳态电路。
_
I.ILLm55
j5
j1
5
IL5
1000
j1 5 0.4116.820 A
1
1
j5(j ) j5j
1
5
5
j5 j 1
5
iL 1 (t) 0 .42 1 co 5 t s 1(.6 2 0 )A 8
14
2）is(t)单独作用：
1S
j1S 4
I.
I LLm44 j4S
40o A
j1 I L41j44j14000.25616.150 A
若 u(t)U 0 U km sik n t(k)
则有效值:
k1
U 2 10 2 u 2 td (t)2 10 2 U 0 k 1 U ks m i kn tk 2 d (t)
频率响应 (frequency response)： 不同频率正弦稳态下，电路响应与频率的关系。
可由正弦稳态网络函数来表明。
本章的分析方法：
运用网络函数结合叠加方法来解决多频正弦
稳态电路的响应（电压、电流、功率）。
运用网络函数研究典型电路的低通、高通、
带通和谐振等性能。
2
§10-1 基本概念
多频正弦激励种类(p111)：
励分量： f(t)A0 Anm con st(n) n1
第十章(频率响应 多频正弦稳态电路 )
§3-3 有效值
10-18
根据有效值的定义, 根据有效值的定义,周期性电流的有效值是一与直流 电流数值相等的常数,它与周期性电流在R上的平均功率 电流数值相等的常数,它与周期性电流在 上的平均功率 相等, 表示该电流 表示该电流, 相等,以I表示该电流,则
I R = I0 R + I R + I 2 R + ...+ I N R
∫
T
0
1 T T cos ωtdt = ∫ (1+ cos 2ωt)dt = ≠ 0 2 0 2
2
∴多个同频率正弦激励下的稳态电路不能用叠加原理求P. 多个同频率正弦激励下的稳态电路不能用叠加原理求 . 若 i1 = cos ωt , i2 = cos2ωt , 则
∫
T
0
1 T cosωt cos 2ωtdt = ∫ (cos 3ωt + cosωt)dt = 0 2 0
(3)转移函数— 响应,激励不在同一端口 转移函数— 响应, 例题 求图所示电路的转移函数
解
10-8
U2 U1
利用分压关系, 利用分压关系,由相量模型 可得
U2 1 Hu = = U1 1+ jωRC
与上节例题所得Z仅有常数 的差别.故幅频特性, 与上节例题所得 仅有常数R的差别.故幅频特性, 相频特性在数学,图形表示上是类似的, 相频特性在数学,图形表示上是类似的,同样具有低通 和滞后性质. 和滞后性质. (4)以上所述电路的 滤波特性与理想情况相差较大, 以上所述电路的LP滤波特性与理想情况相差较大 滤波特性与理想情况相差较大, 只是最简单的LP滤波电路 滤波电路. 只是最简单的 滤波电路.
10-13
不是常数,输出u的波形肯定与输入 由于 H( jω) 不是常数,输出 的波形肯定与输入 方波不同,但仍为周期波,其周期仍为1 . 方波不同,但仍为周期波,其周期仍为1ms. 特别注意: 特别注意: 运用叠加原理的结果只能把各谐波的瞬时值罗列在 一起, 一起,绝不可把各谐波的振幅相量或有效值相量进行复 数相加. 数相加.
电路分析第10章 频率响应 多频正弦稳态电路-精选文档
|Z(jw)| —— 幅频特性 (w) —— 相频特性
+ u1 频率特性
R C
+
u2
|Au| 1
0.707
0
- π/4
ωC
ω
–
–
0
ωC 幅频特性
- π/2 ω
（b）相频特性
二. 无源单口网络导纳的性质 I· I Y = ·= i – u U U = |Y|Y Y(jw) = G(w) + jB(w) Y(jw) = |Y(jw)|Y(w)
= |Z(jw)|Z(w) = 90˚ 纯电感性电路 = –90˚ 纯电容性电路 = 0˚ 纯电阻性电路
0˚ < < 90˚ 电感性
|Z(jw)| = R2(w) + X2(w) X(w) Z(w) = arctg R(w)
+ U
·
· I
N0
–
– 90˚ < < 0˚ 电容性
+ U
·
· I
N0
–
阻抗与导纳的关系 1 1 Y= = – Z Z |Z|
= |Y|Y
Y = 90˚ 纯电容性电路 Y = –90˚ 纯电感性电路 Y = 0˚ 纯电阻性电路
0˚ < Y < 90˚ 电容性
0˚ > Y > –90˚
电感性
输入导纳 Y (jw) 可看作激励电压10˚V所产生的电流响应。
输入阻抗Z(jw)可看作激励电流10˚A所产生的电压响应。
Z(jw) = R(w) + jX(w) = |Z(jw)|Z(w)
+ U
·
· I
N0
– Z与频率 w 的关系称为阻抗的频率特性。|Z| 与频率 w 的关系称为阻抗的幅频特性。 与频率 w 的关系称为 阻抗的相频特性。幅频特性和相频特性通常用曲线表示。
+ u1 频率特性
R C
+
u2
|Au| 1
0.707
0
- π/4
ωC
ω
–
–
0
ωC 幅频特性
- π/2 ω
（b）相频特性
二. 无源单口网络导纳的性质 I· I Y = ·= i – u U U = |Y|Y Y(jw) = G(w) + jB(w) Y(jw) = |Y(jw)|Y(w)
= |Z(jw)|Z(w) = 90˚ 纯电感性电路 = –90˚ 纯电容性电路 = 0˚ 纯电阻性电路
0˚ < < 90˚ 电感性
|Z(jw)| = R2(w) + X2(w) X(w) Z(w) = arctg R(w)
+ U
·
· I
N0
–
– 90˚ < < 0˚ 电容性
+ U
·
· I
N0
–
阻抗与导纳的关系 1 1 Y= = – Z Z |Z|
= |Y|Y
Y = 90˚ 纯电容性电路 Y = –90˚ 纯电感性电路 Y = 0˚ 纯电阻性电路
0˚ < Y < 90˚ 电容性
0˚ > Y > –90˚
电感性
输入导纳 Y (jw) 可看作激励电压10˚V所产生的电流响应。
输入阻抗Z(jw)可看作激励电流10˚A所产生的电压响应。
Z(jw) = R(w) + jX(w) = |Z(jw)|Z(w)
+ U
·
· I
N0
– Z与频率 w 的关系称为阻抗的频率特性。|Z| 与频率 w 的关系称为阻抗的幅频特性。 与频率 w 的关系称为 阻抗的相频特性。幅频特性和相频特性通常用曲线表示。
电路分析基础ppt第10章 频率响应
第十章 频率响应 多频正弦稳态电路
§10-3 正弦稳态网络函数 ….
电路分析基础
为了描述电路的频率响应特性，引入网络函数。
第十章 频率响应 多频正弦稳态电路
回阅
第三章 叠加方法与网络函数
电路分析基础
对于单一激励的线性、时不变电路，指定的响应对激励之比定义为 网络函数 ，记为H，即
响应 H 激励
第十章 频率响应 多频正弦稳态电路
§10-3 正弦稳态网络函数 ….
总是滞后U ，故又称为滞后网络。 U 2 1
当 ＞ c 时， H u ＜1
电路分析基础
由以上分析可见， H u ，故称为低通电路；
2 0.707，称 c 为截止(角)频率。
2 P U2
当 c时 U 2
0.179 2 cos( t 83.20 )
电路分析基础
1.152 2 cos(10t 39.80 ) 1.5 2 cos(1000t 0.50 ) V 由本例可见： 对于不同频率的激励，电路的响应不相同，响应是 频率的函数。
高通电路：电路对高频信号的响应明显增大
低通电路：电路对低频信号的响应明显增大 带通电路：电路对某一频率范围内信号的响应明显增大
直流分量+基波 三次谐 波
t
由图可见，直流分量与各次谐波逐次叠加后所得 波形，将逐渐趋于周期性方波。 显然，周期性方波对电路产生的响应，等于直流 分量及各次谐波单独作用时所产生的响应之叠加。
第十章 频率响应 多频正弦稳态电路
§10-2 频率响应的基本概念…
R1 3kΩ、R2 1kΩ、C 30F，求u(t )。
R1
式中
Z T ( j )
频率响应多频正弦稳态电路
如ω＝6 rad/s，则
360 j 90 Z ab ( j 6) j 2 3.1348.9 162 j 72
由阻抗可知：U m 3.13
Im
Z 48.9
故知 u(t ) 3.13cos(6t 45 48.9 )V
3.13cos(6t 93.9 )V
频率响应 多频正弦稳态电路
§10-1 基本概念
相量分析Байду номын сангаас使用条件：
线性、时不变、渐近稳定电路 单一频率正弦激励
求解稳态响应
§10-1 基本概念
多个正弦激励的两种情况
1. 电路的激励是非正弦周期波；
周期性非正弦激励作用 下的稳态响应的计算
1 1 f (t ) (sin t sin 3t sin 5t ) 3 5
如ω＝3 rad/s，则
90 j 45 10 j 5 Z ab ( j 3) j j 27 j 36 3 j4 50 j 25 j 2 j 2 2 245 25
Um 2 2 由阻抗可知： Im
Z 45
故知
u( t ) U m cos(3t 45 Z ) 2 2 cos(3t 90 )V
阻抗的模 Z 和阻抗角 Z 也都是 频率ω的函数。
Z 关系，称为阻抗的幅频特性
Z
关系，称为阻抗的相频特性
幅频特性和相频特性合称为单口 网络的频率响应。
解 作出原电路的相量模型 如图（b）所示。由此可得
j ( j 5 / 6)(2 3 / j ) Z ab ( j ) 3 ( j 5 / 6) ( 2 3 / j ) j j 5 ( 3 j 2 ) 3 18 j12 5 2
第十章-频率响应-多频正弦稳态电路教案资料
u ( t) [ 1 0 1 0 0 2 c o st 5 0 2 c o s ( 3 t 3 0 ) ] V
电压源基波单独作用，如图（c）
I&( 1 )
U&(1 )
I&1 ( 1 )
R1 C
I&2 ( 1 )
R2
L
电压源3次谐波单独作用时，如图（d）
I&( 3 )
U&( 3 )
I&1 ( 3 )
(k 1)(k 1)
k为偶数
序号
f (t) 的波形图
f (t)的傅立叶级数
f(ωt)
Um
6
0
2π 4π
f (t) 4Um (1 1cost 1 cos2t
23
15
ωt 4k211cost ),
k为整数
2.3 谐波分析法
周期函数分解为傅立叶级数，求解非正弦周期电路 的稳态响应的方法就称为谐波分析法。
四次谐波等等。除恒定分量和基波外，其余各项都可统称为高
次谐波。
表1 一些典型周期函数的傅立叶级数
序号
f (t)的波形图
f (ωt) Um
1
0 π 2πt 1 sin3t
3
1 sin5t 1 sinkt )
5
k
k为奇数
序号
f (t)的波形图 f(ωt)
动态元件用 、Z(jω)表示Y(本jω)章)。
1. 基本概念
多频正弦稳态电路：多个不同频率正弦激励下的稳 态电路。
基本分析方法：用相量法对每个频率逐一进行分析， 然后应用叠加定理求得最终解。
2.多频正弦激励的分类
<1>电路的激励原本为非正弦周期波：方波、锯齿波
10章：频率响应 多频正弦稳态电路
1/86
§10-1 基本概念
(1)
激励
N
激励
响应
N — 线性时不变网络
响应
同频率正弦、具有与激励不同 的振幅、初相 多个不同频率正弦、各自具有 与对应激励不同的振幅、初相
2/86
单一频率正弦电源 (第八、九章) 多个不同频率正弦电源 (本章)
f (t )
周期信号
f (t )
T
-T - 2T T -T T 2
当非正弦的周期信号作用于电路时，可以分解为
各个谐波单独作用于电路，然后用相量法求解，进 而获得瞬时值，继而叠加而得最后结果。
5/86
§10-2 再论阻抗与导纳
（1）网络函数H定义为
激励
响应 H 激励
对电阻电路H为实数。对多频sss电路：
N
响应
H ( jω) H ( jω) (ω)
6/86
26/86
时域结果： i
1
(t ), u1 (t )
27/86
频率相同的多个正弦电源共同作用：叠加法
us (t)
I I I 1 1 1 U U 无源 U 1 1 1
Q1=U1I1sin1
w0
i1
相量模型
+
u1
R ,L,C
Us
i1 i1 i1 无源 u1 u1 u1 P P 1 P 1网络 1 w0 Q1 Q1 Q1
时域电路（w0） 相量模型 相量分析法 叠加定理： 各独立电源单独作用 , U , U 结果： I 结果： I 结果：（...）
1 1 1 1
结果：
I I ..., I 1 1 1
§10-1 基本概念
(1)
激励
N
激励
响应
N — 线性时不变网络
响应
同频率正弦、具有与激励不同 的振幅、初相 多个不同频率正弦、各自具有 与对应激励不同的振幅、初相
2/86
单一频率正弦电源 (第八、九章) 多个不同频率正弦电源 (本章)
f (t )
周期信号
f (t )
T
-T - 2T T -T T 2
当非正弦的周期信号作用于电路时，可以分解为
各个谐波单独作用于电路，然后用相量法求解，进 而获得瞬时值，继而叠加而得最后结果。
5/86
§10-2 再论阻抗与导纳
（1）网络函数H定义为
激励
响应 H 激励
对电阻电路H为实数。对多频sss电路：
N
响应
H ( jω) H ( jω) (ω)
6/86
26/86
时域结果： i
1
(t ), u1 (t )
27/86
频率相同的多个正弦电源共同作用：叠加法
us (t)
I I I 1 1 1 U U 无源 U 1 1 1
Q1=U1I1sin1
w0
i1
相量模型
+
u1
R ,L,C
Us
i1 i1 i1 无源 u1 u1 u1 P P 1 P 1网络 1 w0 Q1 Q1 Q1
时域电路（w0） 相量模型 相量分析法 叠加定理： 各独立电源单独作用 , U , U 结果： I 结果： I 结果：（...）
1 1 1 1
结果：
I I ..., I 1 1 1
频率响应 多频正弦稳态电路
_
R
低通
U 0
_
U i
_
U U 0 i
_ _
U 0
_
R1
U i
_
C
R
C
R
C
低通
R2
U 0
_
U i
_
U 0
_
高通
15
§11-4 正弦稳态响应的叠加
11.4.1 正弦稳态叠加原理
几个频率相同或不同的正弦激励在线性时不变电路 中产生的稳态电压和电流，可以利用叠加定理求解 —— 先用相量法分别计算每个正弦激励单独作用时 产生的电压电流相量，然后得到电压uk(t)电流和ik(t) ，最后相加求得总的稳态电压u(t)和电流i(t)。
由相量写出相应的时间表达式
u ' ' (t ) 4.47 2 cos( 200t 76.6 )V
18
u ' (t ) 10 2 cos(100t 55 )V
u ' ' (t ) 4.47 2 cos( 200t 76.6 )V
3. 叠加求稳态电压u(t)
将每个正弦电源单独作用时产生的电压在时间域相 加，得到非正弦稳态电压:
' U
j5 j5 US 10 210 1055 V 5 j5 5 j5 17
由相量写出相应的时间表达式
u ' (t ) 10 2 cos(100t 55 )V
2. 电流源单独作用时,将电压源用短路代替，得图 (c)所示相量模型，则:
'' U
j50 j50 IS 150 4.4776.6 V 5 j10 5 j10
R
低通
U 0
_
U i
_
U U 0 i
_ _
U 0
_
R1
U i
_
C
R
C
R
C
低通
R2
U 0
_
U i
_
U 0
_
高通
15
§11-4 正弦稳态响应的叠加
11.4.1 正弦稳态叠加原理
几个频率相同或不同的正弦激励在线性时不变电路 中产生的稳态电压和电流，可以利用叠加定理求解 —— 先用相量法分别计算每个正弦激励单独作用时 产生的电压电流相量，然后得到电压uk(t)电流和ik(t) ，最后相加求得总的稳态电压u(t)和电流i(t)。
由相量写出相应的时间表达式
u ' ' (t ) 4.47 2 cos( 200t 76.6 )V
18
u ' (t ) 10 2 cos(100t 55 )V
u ' ' (t ) 4.47 2 cos( 200t 76.6 )V
3. 叠加求稳态电压u(t)
将每个正弦电源单独作用时产生的电压在时间域相 加，得到非正弦稳态电压:
' U
j5 j5 US 10 210 1055 V 5 j5 5 j5 17
由相量写出相应的时间表达式
u ' (t ) 10 2 cos(100t 55 )V
2. 电流源单独作用时,将电压源用短路代替，得图 (c)所示相量模型，则:
'' U
j50 j50 IS 150 4.4776.6 V 5 j10 5 j10
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H (j)U U S mm R j jL LR L j j2 1j 30 j
10-13
由于 H(j) 不是常数，输出u的波形肯定与输入 方波不同，但仍为周期波，其周期仍为1ms。
特别注意：
运用叠加原理的结果只能把各谐波的瞬时值罗列在 一起，绝不可把各谐波的振幅相量或有效值相量进行复 数相加。
➢三次谐波 43π00cos3(1t)单独作用：
US3m
40 00 3π
V
H (j31 ) 0 .9 9 6 .0 35 U 3 m U S 3 m H (j3 1 ) 4 .1 2 6 0 .0 5
u 3 4.1 2 c0o 31 ts 6 (.0 )5 V
类似的可求出其它各次谐波，最后可得 uu1u3u5 V
10-5
输入阻抗、导纳，即策动点函数—响应、激励在同一端口。
例题 求图所示RC并联电路的输入阻抗函数 Z(jω) 。
i
+
u
R
c
-
解
R
1
jωc
Z (j)R R jj 1 1 C C1jR R C1( R R)2 C arc R ta )C n Z ((j) ()
幅频特性与相频特性
10-6
第十章 频率响应 多频正弦稳态电路
10-1
多个不同频率正弦激励下的稳态电路还能使用 相量法么？平均功率又该如何计算?为此，需先说明 频率响应(frequency response)这一概念。本章包含：
§1 基本概念
§2 正弦稳态网络函数 频率响应
§3 多频正弦稳态电路的计算
§4 谐振(resonance)
R
1 (RC)2
arct aR n(C )
0
1 RC
Z
R
0
R 2
φ
0
90 45
R
R
0
ω
2
45
0
τ
ω
90
特性曲线呈低通(Low Pass)性质和滞后性质
1 1
RC
称为截止(cutoff)频率
C
,
0 C为通频带。
提问：从物理概念上理解该电路的LP性质。
（3）转移函数— 响应、激励不在同一端口
10-8
(10-24)
则 PP1P2 叠加原理适用。
T
(b) 什么情况下， 0 i1i2dt 0成立？
§3 多频正弦稳态电路的计算
10-10
包含响应、功率、有效值的计算
§3-1 正弦稳态… 响应的叠加 §3-2 功率
§3-3 有效值
§3-1 正弦稳态响应的叠加
10-11
例题
图所示方波，幅度为200V，周期为1ms，
作用于RL电路。已知：R=50Ω、L=25mH，
试求稳态时电感电压u(t)；方波的傅里叶级数
（5）频率响应反映了电路本身的特性。
10-9
频率响应反映了电路本身的特性。由于C、L的
存在（内因），电路呈现出响应随 f 变化的特点。
H(jω) 反映这特点；其幅频、相频特性曲线直观 地反映了这一特点。在某一ω时算得的H(jω) ，表明 对应于该ω的响应、激励相量的比值。外因通过内因 起作用，研究多频正弦波作用于动态电路的稳态响应 时，应先求得电路的H(jω) 。
运用叠加原理。
➢ 直流100V单独作用： 0 H(j0)0 u0 0
10-12
➢基波1 42π0π0c1os03 tra单d独/s作用H ：(j U 1S )1 m2 41 πj 3 00 1 0 0 j 1 10.2 9 0 7 5 1V 5 .6 76
U 1 m U S 1 m H ( j1 ) 1.2 2 1 8 . 1 6 7 V 6u 1 1.2 2c8 1 o 1 t s 1.( 6 7 )6 V
§3-2 功率
10-14
(1) 功率与叠加
(a) i(t)i1(t)i2(t)
+i R us1
-
+
- us2
p(i1 i2)2R i12Ri22R2i1i2R
∴瞬时功率 pp1p2
如果p为周期函数，周期为T，则一周期平均功率
PT 10 Tpd tP 1P 22 T R0 Ti1i2dt
若
T
0 i1i2dt 0
例题
+
u1
-
求图所示电路的转移函数 U2 U1
解 利用分压关系，由相量模型
+
u2
-
可得 Hu U U 12 1j1RC
与上节例题所得Z仅有常数R的差别。故幅频特性、
相频特性在数学、图形表示上是类似的，同样具有低通 和滞后性质。
（4）以上所述电路的LP滤波特性与理想情况相差较大， 只是最简单的LP滤波电路。
情况(b)：网络函数 H(jω，) 相量模型中
动态元件用 、Z(jω)表示Y(本jω)章)。
(3) 出现激励(b)的情况： ①激励为非正弦周期波，例如方波，傅里叶级数表为
f(t)4 A [s ti n 1 s3 i n t 1 s5 i n t ]
π
3
5
2π T
其中基波、三次谐波、五次谐波… f (t)
1
Z (j)R R jj 1 C C1jR R C1( R R)2 C arc R ta )C n Z ((j) ()
Z ( j) 与ω的关系
幅频特性
表明阻抗模(即 Um Im或 )与U 频I率的关系
() 与ω的关系
相频特性
表明阻抗角(即u与i的相位差)与频率的关系
幅频特性与相频特性
10-7
§1 基本概念
10-2
(1)
激励 N 响应
N — 线性时不变网络
激励
(a)单一频率正弦 (第八章)
(b)多个不同频率正弦 (本章)
响应
同频率正弦、具有与 激励不同的源自幅、初相多个不同频率正弦、 各自具有与对应激励 不同的振幅、初相、 频率响应
(2) 电路N的描述方式：
10-3
情况(a)：复数Z、Y，相量模型(第八章)
为
u S ( t ) { 1 0 4 π [0 0 c 1 t ) 0 o 1 3 c s 3 o 1 t ( ) 1 5 s c ( 5 o 1 t ) s ] ( V }
uS /V
式中
1
2π2π1 T
03rad/s
200
+R
+
0
1
- t ms
us
Lu
-
解 H (j)U U S m mR j jL LR L j j2 1j 30 j
即为不同频率正弦。
A
②不同频率的无线电信号、
0 T/2
T
t
双音频拨号电话的音频信号等等。
§2 正弦稳态网络函数 频率响应
10-4
（1）第三章已对网络函数H定义为
响应 H 激励
(3-3)
对电阻电路H为实数。对多频sss电路：
H (jω )H (jω )(ω ) (10-14)
（2）策动点函数— 响应、激励在同一端口