凝聚态

凝聚态物理导论

书面报告

学院：物理科学与技术学院专业：物理电子学

姓名：李晓果

学号：31646044

周期和准周期中波的传播

1.晶体中的电子

1.1自由电子气模型

如果周期势很弱假设0)(=r V ,则晶体中电子的定态方程

)r ()r ()](2[22ψψE r V m

=+∇- 的平面波解为r k i k e r ⋅-Ω=2/1)(ψ其中Ω是晶体的体积,此时的色散关系为k m E 222)k ( =对于具有N 电子的系统可以用波失k 来表征其状态。这里我们引入费米面的概念，在k 空间中有这样一个表面，位于表面内

的所有状态都被填满，在他之外的所有状态都是空的，费米面的能量为费米能

)(F F k E E =这里F k 为费米波失，只有T=0时F k 才严格确定。由自由电子近似很容易求出费米波失和费米能，首先⎰∑Ω==k d N k

3)2(2π，式子中因子2来自于电子自旋的简并度又由于3/43F k k d π=⎰ ,我们可以得到312)3(Ω

=N k F π和3222)3(2Ω

=N m E F π ,由色散关系我们可以知道电子能量依赖于波失k ，事实上由于周期性势存在，任何态都可以用简约波失来表征。

1.2近自由电子近似模型

模型认为金属中价电子在一个很弱的周期场中运动，价电子的行为很接近于自由电子，又与自由电子不同。这里的弱周期场设为()V x ∆，可以当作微扰来处理，即：零级近似时，用势场平均值V 代替弱周期场V (x )；所谓弱周期场是指比较小的周期起伏[()]()V x V V x -=∆做为微扰处理。零级近似下，电子只受到V

作用，波动方程及电子波函数，电子能量分别为：20000202202()2ikx k k d V E m dx x k E V m

ψψψψ-+===+

由于晶体不是无限长而是有限长L，因此波数k 不能任意取值。当引入周期性边

界条件，则k 只能取下列值：2k l Na π=，这里l 为整数。可见，零级近似的解为自由电子解的形式，故称为近自由电子近似理论。

能带与禁带，零级近似中，电子作为自由电子，其能量本征值0k E 与k 的关系曲线是抛物线，在周期势场的微扰下，k E 曲线在n k a

π=±处断开，能量突变值为2n V ，如图所示，在诸能带断开的间隔内不存在允许的电子能级，称为禁带，禁带的位置及宽度取决于晶体的结构和势场的函数形式。

另一方面，对于波矢2l k N a

π=

⋅而言，N 很大，故k 很密集，可以认为()n E k 是k 的准连续函数，这些准连续的能级被禁带隔开而形成一系列能带1，2，3…。不难算出，每个能带所对应的k 的取值范围都是2π/a ，即一个倒格子原胞长度，而所包含的量子态数目是N，等于晶体中原胞的数目。()n E k 总体称为能带结构（n 为能带编号），相邻两个能带()n E k 与1()n E k +之间可以相接，重叠或是分开，对于一维周期性势场来说属于分开情况，则出现带

隙——禁带。

从能量角度来看，可以将标志电子状态

的波矢k 分割成许多区域，在每个区域内电

子能级E(k )随波矢k 准连续变化并形成一个

能带。波矢k 的这样一些区域即为布里渊区。

如左图，对应第一能带的k 的取值范围称第

一布里渊区或简约布里渊区，同理，对应第

n 个能带的k 的取值范围则称为第n 布里渊

区。

一维能带结构简约区图示

1.3紧束缚近似模型

紧束缚模型是1928年布洛赫提出的能带计算方法，它适用于晶格周期势场随空间的起伏显著，电子受晶格周期势场的作用较大，电子主要受到它所在原子的原子势场的作用，电子的状态接近于在孤立原子势场中的电子状态。紧束缚近似是指当电子在某个原子附近时，将主要受到该原子场的作用，把其他原子场的作用看成是微扰作用。可以得到电子的原子能级与晶体中能带之间的相互联系。在固体中，束缚电子或称局域电子是占多数的，而巡游电子或称为非局域电子是少数的，由此可见紧束缚模型是很重要的。紧束缚近似得到的结果除了是布洛赫电子的波函数和能带进一步具体化以外，还能初步解释半导体和绝缘体中所有电子的能带，尤其对过渡金属中的3d 电子的能带比较适用。近自由电子近似模型适用于碱金属晶体中的电子能量状态描述，而紧束缚近似模型则适用于分子晶体中的电子能量状态描述。

2.格波与弹性波

2.1格波

原子热振动的一种描述.从整体上看,处于格点上的原子的热振动可描述成类似于机械波传播的结果,这种波称为格波.格波的一个特点是,其传播介质并非连接介

质,而是由原子,离子等形成的晶格。公式表示为：)

(naq wt i n

Ae u -=n 为任意正整数

2.2弹性波当某处物质粒子离开平衡位置，即发生应变时，该粒子在弹性力的作用下发生振动，同时又引起周围粒子的应变和振动，这样形成的振动在弹性介质中的传播过程称为“弹性波”。

公式表示为：

X 表示任意一位置

2.3区别与联系弹性波是连续变化的而格波不是，格波在短波极限时，W 有最大值：而弹性波不存在极限。格波是各个粒子振动互相耦合的结果，他描述了不同粒子的振动之间)(xq wt i n Ae u -=a q /π→m

/2β

的联系，即总的看来，各个粒子的振动，是以波的形式在晶体中传播。2

sin 2qa m βω=式称作一维简单格子中格波的色散关系，他说明格波与弹性波不同。格波的波速一般是波长的函数，而弹性波的波速只与介质的性质有关。格波在长波极限0→q a >>λ时，可以吧晶体中的格波看成是连续介质的波弹性。

在一般情况下，不能把格波看成弹性波。因为在晶体中，粒子不是连续分布的，而是按一定周期排列起来的。我们要描述的，只是分离的粒子的振动状态，在粒子之间的格波是没有意义的。

3周期结构中的电磁波

3.1光子带隙

光子晶体最主要的特性之一就是存在光子禁带。对于光子禁带形成的原因，是布里渊区边界光子的能量的不连续跳变所导致的，跳变的范围就形成了光子禁带，即禁止某种频率范围的光子通过；光子禁带以外的区域则称为光子通带，即允许光子通过。对于光子带隙来说，如果只在固体的某些方向上出现，则称为赝光子带隙；如果在所有方向上都出现，并且能够互相重叠在一起，则称为完全光子带隙。由此可知，只有三维光子晶体才可能拥有完全光子带隙。一般来说，光子禁带的存在与否，宽与窄，主要取决于以下两种因素：(1)光子晶体的结构特性。比如介质材料的填充率、结构类型等等；(2)光子晶体的两种不同材料的介电常数比。通常来说，介电常数比越高，越容易实现完全光子带隙。所以，在光子晶体的设计过程中，合理地选择适合的材料，并且设计相应的结构，对于光子带隙的形成是至关重要的。虽然光子禁带中的态密度为零，由此导致光子在禁带无法发生自发辖射，但是，与半导体类似地，通过引入某种与原来介电常数不同的材料，或者去除某些物质，将会形成缺陷，虽然禁带中的大部分范围内的发射还是被抑制，但是在缺陷所在光子能级的极窄的范围内，会出现光子态密度的高度集中，相当于光子禁带中被抑制的能量集中体现在了某个特定的能级上，导致在此处的高强度自发辖射。这种现象可以被用来调制光子晶体的发射光谱。