平面向量的正交分解及坐标表示的教学设计 (1)
平面向量的正交分解及坐标表示 平面向量的坐标运算(教案)
2.3.2 平面向量的正交分解及坐标表示2.3.3 平面向量的坐标运算【教学目标】1、知识与技能理解平面向量的坐标表示的概念，会写出直角坐标系内给定向量的坐标，会作出已知坐标表示的向量，掌握平面向量的坐标运算，掌握平面向量的和、差及实数与向量的积的坐标表示方法，理解一个向量的坐标等于表示该向量的有向线段的终点坐标减去起点的坐标。
2、过程与方法在平面向量的坐标表示的推导过程中，让学生掌握平面向量基本定理中基底的特殊化。
3、情感、态度与价值观让学生感受向量的坐标运算的简洁美与和谐美。
【教学重点】平面向量的坐标运算。
【教学难点】理解向量坐标化的意义。
【教学过程】〖创设情境 导入新课〗【导语】如图，光滑斜面上一个木块受到重力G 的作用，产生两个效果，一是木块受到 斜面的力1F 的作用，沿斜面下滑；一是木块产生 斜面的压力2F ，也就是说，重力G 的效果等价于1F 和2F 的 力的效果，即：12G F F =+,12G F F =+叫做把重力G 。
类似地，由平面向量的基本定理，对平面上的任意向量a ，均可以分解为不共线的两个向量11e λ和22e λ，使1122a e e λλ=+。
而在不共线的两个向量中，垂直是一种重要的情形。
把一个向量分解为两个 的向量，叫做把向量正交分解。
在平面上，如果选取互相垂直的向量作为基底时，会为我们研究向量问题带来很大的方面。
在代数中我们经常把向量放在平面直角坐标系中进行研究，而在平面直角坐标系中我们可以在x 轴和y 轴上分别取两个 向量i 和j ，则i j ⊥，且{},i j 可以作为一个基底。
由平面向量基本定理可知，我们就可以把平面上的任意一个向量a 在基底{},i j 下进行分解，从而对向量作进一步的研究。
既然我们现在是在平面直角坐标系中选取了两个单位向量作为基向量来对向量进行分解和研究，而看到平面直角坐标系我们很自然就想到了坐标，那么要在直角坐标系中研究向量，就应该想到，在平面直角坐标系中，向量又是否有坐标呢？我们知道，在平面直角坐标系中，平面内的每一个点都可用一个有序实数对(),x y 来表示，这个有序实数对就叫做这个点的坐标，并且每一个点都可与其坐标可以建立 对应关系。
《平面向量的正交分解及坐标表示》教案、导学案、课后作业
《6.3.2 平面向量的正交分解及坐标表示》教案【教材分析】本节内容是平面向量一种新的表示方：向量的坐标表示，是本章的重点内容之一，也是培养学生自主学习能力的良好题材.引入向量的坐标表示可使向量运算完全代数化，将数与形紧密结合起来，这就可以使很多几何问题的解答转化为学生熟知的数量运算.【教学目标与核心素养】课程目标1、掌握平面向量的正交分解及其坐标表示；2．通过学习平面向量的正交分解及其坐标表示，使学生认识事物之间的相互联系，培养学生辨证思维能力.数学学科素养1.数学抽象：平面向量的坐标表示；2.逻辑推理：根据正交分解和平面向量共线定理推导出平面向量的坐标表示；3.数学建模：数形结合，将几何问题转化为代数问题解决.【教学重点和难点】重点：向量的坐标表示；难点：向量的坐标表示的理解.【教学过程】一、情景导入问题：由平面向量基本定理，我们知道，在平面直角坐标系，每一个点都可用一对有序实数（即它的坐标）表示，对直角坐标平面内的每一个向量，如何表示？要求：让学生自由发言，教师不做判断。
而是引导学生进一步观察，研探.二、预习课本，引入新课阅读课本27-29页，思考并完成以下问题1、怎样分解一个向量才为正交分解？2、平面向量怎样用坐标表示？要求：学生独立完成，以小组为单位，组内可商量，最终选出代表回答问题。
三、新知探究1．平面向量的坐标表示如图，在直角坐标系内，我们分别取与轴、轴方向相同的两个单位向量、作为基底.任作一个向量，由平面向量基本定理知，有且只有一对实数、，使得 (1)1 我们把叫做向量的（直角）坐标，记作 (2)2 其中叫做在轴上的坐标，叫做在轴上的坐标，○2○2式叫做向量的坐标表示.与．相等的向量的坐标也为．．．．．．．．．．.特别地，，，.如图，在直角坐标平面内，以原点O为起点作，则点的位置由唯一确定. 设，则向量的坐标就是点的坐标；反过来，点的坐标也就是向量的坐标.因此，在平面直角坐标系内，每一个平面向量都是可以用一对实数唯一表示.四、典例分析、举一反三 题型一 向量的减法运算例1 如图，向量a ，b ，c 的坐标分别是________，________，__________.x y i j a x y yj xi a +=),(y x a ),(y x a =x a x y a y a ),(y x )0,1(=i )1,0(=j )0,0(0=a OA =A a yj xi OA +=OA ),(y x A A ),(y x OA【答案】a ＝(－4,0)； b ＝(0,6)；c ＝(－2，－5)．【解析】将各向量分别向基底i ，j 所在直线分解，则a ＝－4i ＋0·j ，∴a ＝(－4,0)；b ＝0·i ＋6j ，∴b ＝(0,6)；c ＝－2i －5j ，∴c ＝(－2，－5)．例2 如图所示，在边长为1的正方形ABCD 中，AB 与x 轴正半轴成30°角．求点B 和点D 的坐标和AB →与AD →的坐标．【答案】B ⎝⎛⎭⎪⎫32，12. D ⎝ ⎛⎭⎪⎫－12，32.AB →＝⎝ ⎛⎭⎪⎫32，12，AD →＝⎝ ⎛⎭⎪⎫－12，32. 【解析】由题知B ，D 分别是30°，120°角的终边与单位圆的交点．设B (x 1，y 1)，D (x 2，y 2)．由三角函数的定义，得x 1＝cos30°＝32，y 1＝sin30°＝12，∴B ⎝ ⎛⎭⎪⎫32，12. x 2＝cos120°＝－12，y 2＝sin120°＝32，∴D ⎝ ⎛⎭⎪⎫－12，32. ∴AB →＝⎝ ⎛⎭⎪⎫32，12，AD →＝⎝ ⎛⎭⎪⎫－12，32.解题技巧（求点和向量坐标的方法）(1)求一个点的坐标，可以转化为求该点相对于坐标原点的位置向量的坐标． (2)在求一个向量时，可以首先求出这个向量的起点坐标和终点坐标，再运用终点坐标减去起点坐标得到该向量的坐标．跟踪训练一1．已知e 1＝(1,2)，e 2＝(－2,3)，a ＝(－1,2)，试以e 1，e 2为基底，将a 分解成λ1e 1＋λ2e 2的形式为____________．【答案】a ＝17e 1＋47e 2.【解析】设a ＝λ1e 1＋λ2e 2(λ1，λ2∈R )，则(－1,2)＝λ1(1,2)＋λ2(－2,3)＝(λ1－2λ2,2λ1＋3λ2)．∴⎩⎪⎨⎪⎧－1＝λ1－2λ2，2＝2λ1＋3λ2，解得⎩⎪⎨⎪⎧λ1＝17，λ2＝47.∴a ＝17e 1＋47e 2.2. 已知O 是坐标原点，点A 在第一象限，|OA →|＝43，∠xOA ＝60°，(1)求向量OA →的坐标；(2)若B (3，－1)，求BA →的坐标．【答案】（1）OA →＝(23，6)．(2)BA →＝ (3，7)．【解析】(1)设点A (x ，y )，则x ＝43cos60°＝23，y ＝43sin60°＝6，即A (23，6)，OA →＝(23，6)．(2)BA →＝(23，6)－(3，－1)＝(3，7)．五、课堂小结让学生总结本节课所学主要知识及解题技巧 六、板书设计七、作业课本37页习题6.3的15题. 【教学反思】本节内容是平面向量定理的一种延伸，比较简单，学生掌握起来较容易.引入向量的坐标表示可使向量运算完全代数化，将数与形紧密结合起来，这就可以使很多几何问题的解答转化为学生熟知的数量运算.《6.3.2 平面向量的正交分解及坐标表示》导学案【学习目标】 知识目标1.掌握平面向量的正交分解及其坐标表示；2．通过学习平面向量的正交分解及其坐标表示，使学生认识事物之间的相互联系，培养学生辨证思维能力.核心素养1.数学抽象：平面向量的坐标表示；2.逻辑推理：根据正交分解和平面向量共线定理推导出平面向量的坐标表示；3.数学建模：数形结合，将几何问题转化为代数问题解决. 【学习重点】：向量的坐标表示； 【学习难点】：向量的坐标表示的理解. 【学习过程】 一、预习导入阅读课本27-29页，填写。
6.3.2 平面向量的正交分解及坐标表示优秀教学设计
6.3.2 平面向量的正交分解及坐标表示一、教学目标1.理解向量的坐标表示法,掌握平面向量与一对有序实数一一对应关系；2.会用坐标表示平面向量；对起点不在原点的平面向量能利用向量相等的关系转化来用坐标表示；3.通过对平面向量的正交分解及坐标表示的学习，培养学生数学抽象、数学运算等数学素养。
二、教学重难点1．平面向量的正交分解，平面向量的坐标表示；2．对平面向量的坐标表示的理解。
三、教学过程：1、复习回顾平面向量基本定理 如果21e e ，是同一平面内两个不共线的向量，那么对这一平面内的任意一个向量a ，有且只有一对实数21λλ，，使2211e e a λλ+=。
我们把不共线向量21e e ，叫做表示这一平面内所有向量的一组基底； 说明：(1)基底不唯一，关键是不共线；(2)由定理可将任一向量a 在给出基底21e e ，的条件下进行分解； (3)基底给定时，分解形式唯一；2、探索新知平面向量的正交分解： 把一个向量分解为两个互相垂直的向量，叫作把向量正交分解。
问题1：在平面直角坐标系中，每一个点都可用一对实数(,)x y 表示，那么，每一个向量可否也用一对实数来表示？答:在直角坐标系中，分别取与x 轴、y 轴方向相同的两个不共线向量i 、j 作为基底，对于平面内的一个向量a ，由平面向量基本定理知，有且只有一对实数x ，y 使得a ＝x i +y j ，则把有序数对（x ，y ），叫做向量a 的坐标．记作a ＝（x ，y ），此式叫做向量的坐标表示．作向量a OA =，设j y i x OA +=，所以),(y x OA a ==。
说明：（1）对于a ，有且仅有一对实数(,)x y 与之对应；（2）两向量相等时，坐标一样；（3）(1,0)i =，(0,1)j =，0(0,0)=；（4）从原点引出的向量OA 的坐标(,)x y 就是点A 的坐标。
a j o i xy a jo xy i x y a a例1．如图，用基底i ，j 分别表示向量a 、b 、c 、d ， 并求出它们的坐标。
【教案】向量的正交分解及坐标表示教学设计高一下学期数学人教A版(2019)必修第二册
§6.3.2向量的正交分解及坐标表示一、内容和内容解析内容：向量的正交分解及坐标表示．内容解析：本节是高中数学人教A版必修2第六章第3节第二课时的内容．平面向量基本定理是坐标表示的基础，坐标表示使平面中的向量与坐标建立起了一一对应的关系，这为通过“数”的运算处理“形”的问题搭建了桥梁，也决定了本课内容在向量知识体系中的核心地位.借助平面直角坐标系，掌握平面向量的正交分解及坐标表示，培养学生数学抽象和直观想象的核心素养.二、目标和目标解析目标：（1）借助平面直角坐标系，理解平面向量的正交分解，培养数学抽象的核心素养．（2）掌握平面向量的坐标表示,提升数学运算的核心素养．目标解析：（1）平面向量正交分解是以平面向量基本定理为基础，平面上给定两个不共线的向量，则任意向量均可分解为分别与它们共线得两个向量，如果这两个不同线的向量互相垂直，就得到向量的正交分解的概念．（2）类比平面直角坐标系中点的坐标的表示，思考直角坐标平面内向量的表示方法，由正交分解和单位向量做基底，由此给出向量坐标的概念.（3）数学核心素养是数学教学的重要目标，但数学核心素养需要在每一堂课中寻找机会去落实．在向量的正交分解及坐标表示的教学中，从平面向量基本定理归纳推理概括正交分解和坐标表示是进行数学抽象教学的很好机会．基于上述分析，本节课的教学重点定为：掌握向量的坐标表示．三、教学问题诊断分析1．教学问题一：如何进行向量的正交分解是本节课的第一个教学问题．解决方案：通过回顾平面向量基本定理，借助重力沿互相垂直的两个方向分解的例子说明．2．教学问题二：如何进行坐标表示是本节课的第二个教学问题．这是本节课的重点类．解决方案：类比平面直角坐标系中点的坐标的表示，借助图形观察发现向量的坐标和点的坐标之间的联系．基于上述情况，本节课的教学难点定为：了解平面向量的正交分解．四、教学策略分析本节课的教学目标与教学问题为我们选择教学策略提供了启示．为了让学生通过观察、归纳得到向量的正交分解及坐标表示，应该为学生创造积极探究的平台．因此，在教学过程中利用问题串的形式引导学生思考，讨论，可以让学生从被动学习状态转到主动学习状态中来．在教学设计中，采取问题引导方式来组织课堂教学．问题的设置给学生留有充分的思考空间，让学生围绕问题主线，通过自主探究达到突出教学重点，突破教学难点．在教学过程中，重视向量的正交分解及坐标表示，让学生体会到从特殊到一般是数学抽象的基本过程．因此，本节课的教学是实施数学具体内容的教学与核心素养教学有机结合的尝试．五、教学过程与设计教学环节问题或任务师生活动设计意图回顾前知[问题1]什么是平面向量基本定理？[问题2]如图,向量i,j是两个互相垂直的单位向量,向量a与i的夹角是30°,且|a|=4,以向量i,j为基底,向量a如何表示?教师1：提出问题1．学生1：如果12,e e是同一平面内两个不共线的向量，那么对这一平面内的任意一个向量a，有且只有一对实数12,λλ，使1122a e eλλ=+.我们把不共线向量12,e e叫做表示这一平面内所有向量的一组基底.教师2：提出问题2．学生2：因为向量a与i的夹角是30°,且|a|=4,所以OA=23，OB=2，于是a=23i+2j.通过复习平面向量基本定理引入本节新课.建立知识间的联系，提高学生概括、类比推理的能力.问题探究形成概念[问题3]在平面中,垂直的两个非零向量a,b能否作为平面内所有向量的一组基底?[问题4]在平面内,e1,e2是两个互相垂直的非零向量,这个平面内的任一向量是否都能用这两个向量来表示?表示是否唯一?[问题5]平面直角坐标系中,分别取与x轴,y轴方向相同的两个单位向量i、j作为基底,任作一向量OA,根据平面向量基本定理, OA=xi+yj,那么(x,y)与A点的坐标相同吗?如果向量OA也用(x,y)表示,教师3：提出问题3．学生4：能,平面内任何两个不共线的向量都可以作为一组基底.教师4：提出问题4．学生4：由平面向量基本定理可知,平面内的任一向量都可以用e1,e2来表示,且表示方法是唯一的.教师5：提出问题5．学生5：相同，一一对应.教师6：1.平面向量的正交分解把一个向量分解为两个互相垂直的向量，叫做把向量正交分解．若a＝xi＋yj,则a＝(x，y).通过探究让学生理解平面向量的正交分解与坐标表示，培养数学抽象的核心素养.那么这种向量OA与实数对(x,y)之间是否一一对应?[问题6]点的坐标与向量坐标有何区别？2．平面向量的坐标表示在平面直角坐标系中，分别取与x轴、y轴方向相同的两个单位向量i、j作为基底．对于平面内的一个向量a，由平面向量基本定理知，有且只有一对实数x，y，使得a＝x i＋y j，我们把有序数对(x，y)叫做向量a的坐标，记作a＝(x，y)，其中x叫做a在x轴上的坐标，y叫做a在y轴上的坐标，a＝(x，y)就叫做向量的坐标表示．显然，i＝(1,0)，j＝(0,1)，0＝(0,0).在平面直角坐标系中，若A(x，y)，则OA＝(x，y).教师7：提出问题6学生6：(1)向量a＝(x，y)中间用等号连接，而点的坐标A(x，y)中间没有等号．(2)平面向量的坐标只有当起点在原点时，向量的坐标才与向量终点的坐标相同．(3)在平面直角坐标系中，符号(x，y)可表示一个点，也可表示一个向量，叙述中应指明点(x，y)或向量(x，y).典型例题，巩固落实1.平面向量的正交分解及坐标表示例1.如图，取与x轴、y轴同向的两个单位向量i、j作为基底，分别用i、j表示,,OA OB AB，并求出它们的坐标．2.向量的坐标的应用例2.已知边长为2的正三角形ABC，顶点A在坐标原点，教师8：完成例1．学生7：OA＝6i＋2j，OB＝2i＋4j，AB＝－4i＋2j，它们的坐标表示为OA＝(6,2)，OB＝(2,4)，AB＝(－4,2)．教师9：完成例2学生8：如图，正三角形ABC的边长为2，则顶点A(0,0)，B(2,0)，C(2cos 60°，2sin 60°)，通过例题巩固本节所学知识，通过学生解决问题的能力，感悟其中蕴含的数学思想，增强学生的应用意识AB 边在x 轴上，C 在第一象限，D 为AC 的中点，分别求向量,AB AC 的坐标．[课堂练习]1.设,i j 是平面直角坐标系内分别与x 轴，y 轴正方向相同的两个单位向量，O 为坐标原点，若42OA i j =+，34OB i j =+则2OA ＋OB的坐标是( )A.(1,2)-B.(7,6)C.(5,0)D.(11,8)[课堂练习]2.设i j ，是平面直角坐标系内分别与x 轴，y 轴正方向相同的两个单位向量，且A(2,3)，B(4,2)，则AB 可以表示为( )A ．2+3i jB ．4+2i jC ．2i j -D ．2+i j -∴C (1，3)，D ⎝⎛⎭⎫12，32，∴AB →＝(2,0)，AC →＝(1，3).教师10：布置课堂练习1、2． 学生9：完成课堂练习，并核对答案． 答案：D,C.课堂 小结[问题7]通过这节课，你学到了什么知识？在解决问题时，用到了哪些数学思想？[课后练习]1.判断(正确的打“√”，错误的教师11：提出问题7． 学生10：学生18：学生课后进行思考，并完成课后练习． 答案：师生共同回顾总结:引领学生感悟数学认知的过程，体会数学升华 认知打“×”)(1)两个向量的终点不同，则这两个向量的坐标一定不同．( )(2)当向量的始点在坐标原点时，向量的坐标就是向量终点的坐标．( )(3)两向量差的坐标与两向量的顺序无关．( ) (4)点的坐标与向量的坐标相同．( )2.如图，在正方形ABCD 中，O 为中心，且OA →＝(－1，－1)，则OB →＝________；OD →=________.3.如图，已知在边长为1的正方形ABCD 中，AB 与x 轴正半轴成30°角，求点B 和点D 的坐标和AB →与AD →的坐标．1. (1)× (2)√ (3)× (4)×2. OB →＝(1，－1)，OD →＝(－1，1)． 3. AB →＝⎝⎛⎭⎫32，12，AD →＝⎝⎛⎭⎫－12，32.核心素养．课后练习:巩固定理，对本节知识有更深化的认识，同时也为下节内容做好铺垫．。
教学设计--2.3.2平面向量的正交分解及坐标表示教学设计1
2.3.2 平面向量的正交分解及坐标表示教学分析在平面向量基本定理的基础上，进一步学习向量的正交分解以及向量的坐标化。
在不共线的两个向量中,垂直是一种重要的特殊情形，向量的正交分解是向量分解中常用且重要的一种分解，因为在平面上，如果分别取与x轴、y轴方向相同的两个单位向量i、j作为基底时，这时，对于平面直角坐标系内的任意一个向量a，由平面向量基本定理可知，有且只有一对实数x、y，使得a=x i+y j。
于是，平面内的任一向量a都可由x、y唯一确定。
这样将向量a都可由有序实数对(x,y)唯一表示，从而实现了向量的“量化”,体现了数学中的“数形结合”的思想，为向量的坐标的运算奠定了基础。
教学目标1、知识与技能：（1）理解平面向量的正交分解的概念；（2）理解和掌握平面向量的坐标表示的概念；（3）培养学生探究问题、解决问题的能力。
2、情感态度与价值观：通过平面向量的正交分解及坐标表示，揭示图形（向量）与代数（坐标）之间的联系。
重点难点教学重点:平面向量的正交分解、平面向量的坐标表示.教学难点: 平面向量的坐标的理解。
授课类型：新授课教具：课件教学过程：一、导入新课回忆：平面向量基本定理（利用课件动态演示平移过程，充分反应平面向量基本定理的实质，更好地为学生掌握这节课必备的知识做好准备）即:平面内的任意向量a，都可以用两个不共线向量1e，2e唯一表示。
物理问题：如图，在光滑的斜面上有一个木块，它受到的重力为G。
现在将重力G分解成两个力，下滑力F1，它的方向如何？木块对斜面的压力F2，它的方向又如何呢？那么这三个力有什么关系呢？请问F1与F2有何位置关系？G=F1+F2F1⊥F2（用课件动态做出三个力，展示力学中力的分解，从而引入本节课的第一个知识点：平面向量的正交分解）二、新课讲解：知识点一：平面向量的正交分解: 把一个向量分解为两个互相垂直的向量，叫做把向量正交分解.练习1：如图，向量i、j是两个互相垂直的单位向量，向量a与i 的夹角是30°，|a|=6，怎样用向量i、j表示向量a呢？（用课件将向量a进行分解，让学生更好地掌握平面向量的正交分解，为讲解向量的坐标打下基础）在平面上，如果我们选取互相垂直的两个向量作为基底，会给我们的问题带来很方便。
高中数学_平面向量的正交分解及坐标表示坐标运算教学设计学情分析教材分析课后反思
2.3.2 平面向量的正交分解及坐标表示2.3.3 平面向量的坐标运算教学目标：1、掌握平面向量的正交分解及坐标表示的概念，掌握平面向量的坐标运算。
2、经历观察、操作、交流等活动，增强学生观察能力，培养学生从一般到特殊的认知规律和数形结合的思想。
3、通过平面向量坐标的学习，让学生感受平面向量的正交分解与现实生活的联系，激发学生学习数学的兴趣，感受数学之美。
教学重点：平面向量的坐标运算。
教学难点：平面向量坐标表示的理解及坐标运算的准确性。
教学过程：一、复习回顾1.平面向量基本定理的内容？2.分别用给定的一组基底表示向量思考：从这个问题中，你认为选取哪组基底对向量进行分解比较简单？二、新知探究思考:1.光滑斜面上木块受到重力作用的分解特点？把一个向量分解为两个相互垂直的向量，叫做把向量正交分解思考:2.平面直角坐标系中点A可以用坐标来表示；平面向量是否也有类似的表示呢？课堂探究一：平面向量的坐标表示如图在直角坐标系中，已知A(1,0),B(0,1),C(3,4),D(5,7).设→→==jOBiOA,填空：（1）|i |_____,|j |______,|OC |______;=== （2）若用 →→j i , 来表示OD OC ,，则： （3）向量 CD 能否由 →→j i , 表示出来？知识点1：平面向量的坐标表示概念如图， →→j i ,分别是与x 轴、y 轴方向相同的单位向量，若以 →→j i ,为基底，则对于该平面内的任一向量→a ，有且只有一对实数x,y,使得→→→+=j y i x a这样，平面内的任一向量→a 都可由x ，y 唯一确定，我们把有序数对（x,y ）叫做向量 →a 的坐标，记作()y x a ,=→显然，()()()0,00,1,0,0,1===→→→j i 。
知识点2：OA 的坐标就是点A 的坐标设 →→+=j y i x OA ，则向量OA 的坐标（x,y ）就是终点A 的坐标；反过来，终点A 的坐标(x,y)也就是向量 OA 的坐标.例1.如图，分别用基底→→j i ,表示向量→→→→d c b a ,,,，并求出它们的坐标。
平面向量的正交分解及坐标表示教学方案
环节二 平面向量的正交分解及坐标表示【引入新课】情境：回顾平面向量基本定理，为学习向量的坐标表示作铺垫．问题1：回顾所学习过的平面向量基本定理，回答下列问题：（1）什么是平面向量基本定理？（2）已知向量1e ，2e （如下图所示），分别作出向量a 在1e ，2e 方向上的分解．【课堂探究】情境：动画演示，重力G 分解为这样两个分力：平行于斜面使木块沿斜面下滑的力，垂直于斜面的压力，帮助学生理解正交分解的概念．1．正交分解问题2：阅读教科书6.3.2节第一、第二段，回答问题：（1）什么是正交分解？（2）举一个正交分解的例子．答案：（1）正交分解：把一个向量分解为两个互相垂直的向量．（2）如图6.3-8，重力G 可以分解为这样两个分力：平行于斜面使木块沿斜面下滑的力1F ，垂直于斜面的压力2F ．（重力G 沿互相垂直的两个方向分解就是正交分解．）2．坐标表示情境：类比在平面直角坐标系中，每一个点都可用一对有序实数（即它的坐标）表示，思考直角坐标平面内的一个向量的表示方法．问题3：在平面直角坐标系中，每一个点都可用一对有序实数（即它的坐标）表示．那么，如何表示直角坐标平面内的一个向量呢？答案：如图6.3-9，在平面直角坐标系中，设与x轴、y轴方向相同的两个单位向量分别为i，j，取{i，j}作为基底．对于平面内的任意一个向量a，由平面向量基本定理可知，有且只有一对实数x，y，使得a=x i+y j．3．提炼概念：向量a的坐标表示平面内的任一向量a都可由x，y唯一确定，我们把有序数对（x，y）叫做向量a的坐标，记作a＝（x，y）．①其中，x叫做a在x轴上的坐标，y叫做a在y轴上的坐标，①叫做向量a的坐标表示．追问1：你能写出向量i，j，0的坐标表示吗？答案： i =(1，0)，j =(0，1)，0=(0，0)．情境：课堂展示讲解，理解向量的坐标与点的坐标之间的联系．问题4：向量的坐标与点的坐标之间有何区别与联系？答案：（1）设=+OA xi yj ，则向量OA 的坐标(,)x y 就是终点A 的坐标；（2）反过来，终点A 的坐标(,)x y 也就是向量OA 的坐标；（3）因为=OA a ，所以终点A 的坐标(,)x y 就是向量a 的坐标．（4）若向量的起点不是原点，则终点A 的坐标（x ，y ）就不是向量a 的坐标． 注意：实数对“（2，3）”如果不作说明，可以表示区间，点，也可以表示向量．【知识应用】情境：结合实例，加深对向量的坐标表示的理解．例3：如图6.3-11，分别用基底{i ，j }表示向量a ，b ，c ，d ，你能求出它们的坐标吗？解：由图6.3-11可知，a ＝12AA AA +＝2i ＋3j ，所以a ＝（2，3）．同理，b ＝－2i ＋3j ＝（－2，3），c ＝－2i －3j ＝（－2，－3），d ＝2i －3j ＝（2，－3）．【归纳小结】问题5：通过本节课的学习，你有哪些收获？试从知识、方法、数学思想、经验等方面谈谈．总结要点如下：（1）内容：正交分解，平面向量的坐标表示．➢类比重力在斜坡的分解，理解向量的正交分解．➢对给定的向量，写出其坐标表示．➢向量的坐标表示与点的坐标的区别与联系．（2）思想方法：以数的运算处理形的思想方法．。
《平面向量的正交分解及坐标表示》教案
《平面向量的正交分解和坐标表示及运算》教案一、教学目标1、使学生理解平面向量坐标的概念，了解直角坐标系中平面向量代数化的过程；掌握平面向量的坐标表示及其运算；2、通过体验直角坐标系中平面向量的坐标表示的实现过程，激发学生的探索精神，增强学生知识的应用意识；3、在数学中体会知识的形成过程，感受数与形的和谐统一。
二、教学重难点重点：平面向量的坐标表示及坐标运算；难点：对平面向量的坐标表示生成过程的理解。
三、教具多媒体课件四、教学过程设计一、复习回顾 问题情境 【回顾】平面向量基本定理：如果1e ，2e 是同一平面内的两个不共线向量，那么对于这一平面内的任一向量a ，有且只有一对实数λ1，λ2使a=λ11e +λ22e【情境】光滑斜面上的木块所受重力可以分解为平行斜面使木块下滑的力F 1和木块产生的垂直于斜面的压力F 2（如图）．一个向量也可以分解为两个互相垂直的向量的线性表达，这种情形叫向量的正交分解．以后可以看到，在正交分解下，许多有关向量问题将变得较为简单．【问题】 在平面直角坐标系中，每一个点可用一对有序实数（即它的坐标）表示，那么对平面直角坐标内的每一个向量，可否用实数对来表示？又如何表示呢？二、理解概念 加深认识如图，在直角坐标系内，我们分别取与x 轴、y 轴方向相同的两个单位向量i 、j 作为基底，任作一个向量a，由平面向量基本定理知，有且只有一对实数x 、y ，使得 a xi yj =+ …………○1 我们把),(y x 叫做向量a 的（直角）坐标，记作(,)a x y = …………○2 其中x 叫做a 在x 轴上的坐标，y 叫做a 在y 轴上的坐标，○2式叫做向量的坐标表示。
结合定义，指导学生求出向量i 、j 、0 的坐标。
（多媒体演示）如图，在直角坐标平面内，以原点O 为起点作OA a = ，则点A 的位置由a 唯一确定。
设yj xi +=，则向量的坐标),(y x 就是点A 的坐标；反过来，点A 的坐标),(y x 也就是向量的坐标。
6.3.2平面向量的正交分解及坐标表示教学设计高一下学期数学人教A版
第 周 本章节计划 课时 共 课时的第 课时 备课时间 年 月 日 上课时间 月 日星期 第 节 教学目标 1． 借助平面直角坐标系掌握平面向量的正交分解及坐标表示2． 会用坐标表示平面向量重 点 借助平面直角坐标系掌握平面向量的正交分解及坐标表示难 点 借助平面直角坐标系掌握平面向量的正交分解及坐标表示课 型 新授课 主要教法 合作探究 教学用具 班班通教 学 过 程环节一 创设情境，引出问题给定平面内两个不共线的向量1e ，2e ，由平面向量基本定理可知，平面上的任意向量a ，均可分解为两个向量11e λ，22e λ，即a +=11e λ22e λ，其中向量11e λ与1e 共线，向量22e λ与2e 共线．不共线的两个向量相互垂直是一种重要的情形．环节二 抽象概括，形成概念1．平面向量正交分解的定义把一个平面向量分解为两个互相垂直的向量．2．平面向量的坐标表示（1）基底在平面直角坐标系中，设与x 轴、y 轴方向相同的两个单位向量分别为向量i ，j ，取{i ，j }作为基底．（2）坐标对于平面内的一个向量a ，由平面向量基本定理可知，有且仅有一对实数x ，y ，使得j y i x a +=，则有序数对(x ，y )叫做向量a 的坐标．（3）坐标表示：a =(x ，y )．（4）特殊向量的坐标：i =1(，)0，j =0(，)1，0=0(，)0环节三 例题练习，巩固概念【例1】如图，分别用基底{i ，j }表示意向量a ，b ，c ，d ，并求出它们的坐标．【解析】由图可知，j i AA AA a 3221+=+=，所以2(=a ，)3因为j i b 32+-=，所以2(-=b ，)3，因为j i c 32--=，所以2(-=c ，)3-，因为j i d 32-=，所以2(=d ，)3-．【例2】在平面直角坐标系xOy 中，向量a ，b ，c 的方向如图所示，且2||=a ，3||=b ，4||=c ，分别计算出它们的坐标．【解析】设1(a a =，)2a ，1(b b =，)2b ，1(c c =，)2c ，则222245cos ||1=⨯=︒=a a ， 222245sin ||2=⨯=︒=a a ， 23)21(3120cos ||1-=-⨯=︒=b b ，233233120sin ||2=⨯=︒=b b ， 32234)30cos(||1=⨯=︒-=c c ，2)21(4)30sin(||2-=-⨯=︒-=c c ， 所以2(=a ，)2，23(-=b ，)233，32(=c ，)2-环节四 小结提升，形成结构求点和向量坐标的常用方法（1）求一个点的坐标，可以转化为求该点相对于坐标原点的位置的坐标．（2）求一个向量的坐标时，可以先求出这个向量的起点坐标和终点坐标，再运用终点坐标减去起点坐标得到该向量的坐标．环节五 目标检测，检验效果【练1】如图，已知在边长为1的正方形ABCD 中，AB 与x 轴正半轴成︒30角．求点B 和点D 的坐标以及AB 与AD 的坐标．【解析】由题意知B ，D 分别是︒30，︒120角的终边与以点O 为圆心的单位圆的交点．设1(x B ，)1y ，2(x D ，)2y ．由三角函数的定义，得2330cos 11=︒⨯=x ，2130sin 11=︒⨯=y ， 所以23(B ，)21． 21120cos 12-=︒⨯=x ，23120sin 12=︒⨯=y ， 所以21(-D ，)23． 所以23(=AB ，)21，21(-=AD ，)23．环节六 分层作业，应用迁移《课时作业》第195页；预习教材第29~30页；完成《学法大视野》第22~23页题型二、三．课后记：。
高中数学_《平面向量的正交分解及坐标表示,坐标运算》教学设计学情分析教材分析课后反思
《平面向量的正交分解及坐标表示，坐标运算》教学设计一、教材分析本节课是《普通高中课程标准实验教科书•数学4》（人教A版）第二章第三节的第二课时（2.3.2）《平面向量的正交分解及坐标表示》1.教材内容地位本节课内容包括“向量的正交分解及坐标表示”及“平面向量的坐标运算”两部分，其中向量的正交分解具有承上启下的作用，与上一节平面向量基本定理内容紧密关联。
本节课引出的向量的坐标表示，与坐标运算，实际上是向量的代数表示，实现了向量运算完全代数化。
这样的“巧合”使平面直角坐标系内的向量与坐标建立起一一映射，从而实现向量的“量化”表示，使我们在使用向量工具时得以实现“有效能算”的思想．这将为后面三角函数学习，及之后的几何学习与代数紧密联系起来。
2.教学目标(1)了解平面向量的正交分解，掌握向量的坐标表示的定义：①能够写出给定向量的坐标。
②给出坐标能够画出表示向量的有向线段。
(2)掌握两个向量和（差）及向量数乘的坐标的运算法则：①知道起点在坐标原点时，向量的坐标就是终点的坐标。
②一个向量坐标等于表示此向量的有向线段的终点的坐标减去始点的坐标。
二、学科核心素养本节课主要涉及以下三大类共六项，我将从以下几个方面设计本节课内容。
1、数学的一般特性(1)数学抽象：从物理方面的重力分解出发，舍去其相关物理属性，引出向量的正交分解，并在坐标系中用坐标表示出对应向量。
(2)直观想象：利用图、形结合的方式，展示向量在坐标系中的运算，以及向量与有向线段的关系。
2、数学思维的严谨性(1)逻辑推理：以i 、j为基底，根据向量的可以任意平移的特性，推导出向量的坐标表示。
(2)数学运算：通过向量线性运算的结合律和分配律，严谨的推导出向量的坐标运算，以及运用已有的向量加减的知识推导出，向量的坐标与表示此向量的有向线段的坐标的关系。
3、数学的实用性(1)数学建模：将向量与力与位移等矢量结合起来，通过坐标运算位移大小与力的大小等内容。
三、教学重点难点教学重点：平面向量的正交分解及坐标表示：教学难点：向量的坐标表示的理解及运算的准确性.四、学习者分析学生已经掌握的平面向量的基本定理为本节课的学习提供了知识准备；学生在物理学科的学习中已经清楚了力的合成与分解，坐标中点的表示方式已经熟练掌握，同时作图习惯已经养成这些都为本节课的学习提供认知准备；同时学生具备了一定的归纳推理能力以及分析问题、解决问题的能力，但要学生从向量坐标的方法解决几何问题依然具有一定的难度。
6.3.2平面向量的正交分解及坐标表示(教学设计)-高中数学人教A版(2019)必修第二册
教学设计课题名称平面向量的正交分解及坐标表示课时计划：课时第课时授课日期：教学目标1．借助于平面直角坐标系，掌握平面向量的正交分解及坐标表示．2．理解向量坐标的概念，会用坐标表示平面向量的加法和减法运算．重点难点重点：掌握向量和、差运算法则．难点：理解向量坐标的概念.教学方法教师讲授、师生互动、学生主导科组模式板书设计作业布置课后反思教学设计教学环节教师活动(可附带学生活动)一、平面向量的正交分解及坐标表示板书设计1．把一个向量分解为两个互相垂直的向量，叫做把向量作正交分解．2．在平面直角坐标系中，设与x轴、y轴方向相同的两个单位向量分别为i，j，取{i，j}作为基底．对于平面内的任意一个向量a，由平面向量基本定理可知，有且只有一对实数x，y，使得a＝x i＋y j，则有序数对(x，y)叫做向量a的坐标．3．坐标表示：a＝(x，y)．4．特殊向量的坐标：i＝(1,0)，j＝(0,1)，0＝(0,0)．注意点：(1)点的坐标表示与向量的坐标表示不同，A(x，y)，a＝(x，y)．(2)当向量的起点在原点时，向量的坐标与向量终点的坐标相同．一、平面向量的坐标表示例1如图，设{},i j为一组标准正交基，用这组标准正交基分别表示向量a，b，c，d，并求出它们的坐标．a b c d，并求出它们的坐标跟踪训练1如图，分别用基底{},i j表示向量,,,二、平面向量的坐标运算例2 如图，已知()1,3A -，()1,3B -，()4,1C ，()3,4D ，求向量OA ，OB ，AO ，CD 的坐标．跟踪训练2 已知点A (0，1)，B (3，2)，向量AC →＝(－4，－3)，则向量BC →＝( ) A.(－7，－4)B.(7，4)C.(－1，4)D.(1，4)三、平面向量的坐标应用例3 在平面直角坐标系xOy 中，点()1,2A -，()4,3B ，()3,6C ，()AP AB R AC λλ=+∈. （1）试求实数λ为何值时，点P 在第二、四象限的角平分线上；（2）若点P 在第三象限内，求实数λ的取值范围.跟踪训练3 已知点A (2，3)，B (5，4)，AC →＝(5λ，7λ).若AP →＝AB →＋AC →(λ∈R )，试求λ为何值时：(1)点P 在第一、三象限的角平分线上？(2)点P 在第三象限内？1．知识清单：(1)平面向量的正交分解及坐标表示．(2)平面向量加、减运算的坐标表示．(3)平面向量坐标运算的应用．2．方法归纳：数形结合．3．常见误区：已知A ，B 两点求AB →的坐标时，一定是用终点的坐标减去起点的坐标．。
平面向量的正交分解及坐标表示的教学案例(1)
平面向量的正交分解及坐标表示【教学目标】1. 知识目标:①使学生理解平面向量坐标的概念，了解直角坐标系中平面向量代数化的过程（几何表示---线性表示---坐标表示），会写出直角坐标系内给定的向量坐标, 会作出已知坐标表示的向量;②掌握平面向量的坐标运算，能正确表述向量的加法、减法和实数与向量积的坐标运算法则，并能运用它们进行向量的坐标运算，明确一个向量的坐标等于此向量的有向线段终点的坐标减去始点的坐标。
2. 能力目标:①通过体验直角坐标系中平面向量的坐标表示的实现过程，激发学生的探索精神，增强学生知识的应用意识;②通过具体问题的分析解决，渗透数形结合数学思想，提高学生从一般到特殊的归纳能力。
3. 德育目标:在数学中体会知识的形成过程，感受数与形的和谐统一。
【教学重点】：平面向量的坐标表示及坐标运算突破办法：渗透从特殊到一般的化归，数形结合的思想【教学难点】：对平面向量的坐标表示生成过程的理解教学过程:（i）•课题引入（采用多媒体）①自我介绍，从姓氏“陈”字引出向量话题课件展示“向量化”的方块字：笔画顺序---方向线段长度一大小②提问：是否存在相等的向量？存在，有哪些?学生：长度相等且方向相同的向量即为相等的向量教师：强调自由向量---仅由大小和方向确定，与起点位置无关.③引入直角坐标系---X 轴、y 轴、原点、单位长度平面内每一个点都可以用一对实数 （即它的坐标）来 表示，那么平面直角坐标系内的每一个向量是否也 可以用一对实数来表示？如果可以，会是如何? 板书课题：平面向量的坐标表示及运算设计意图：利用向量化的方块字引入， 比较生活化有新意，激发学生的学习兴趣和学习情感,为新课的自然引入提供契机. 另外，教师要抓住每一次在新课中复习旧知的机会。
（ii ） •新课讲解I.平面向量的坐标表示④与X 轴正方向相同的单位向量----i量，如：AB, PQ 还能用i 、j 表示吗？怎么表示?学生：思考，并讲出自己的想法。
平面向量的正交分解及坐标表示的教学设计 (1)
《平面向量的正交分解及坐标表示》教学设计武山一中【教材内容地位】本课时的内容包括“向量的正交分解及坐标表示”，向量基本定理实际上是建立向量坐标的一个逻辑基础，因为只有确定了任意一个向量在两个不共线的基底上能进行唯一分解，建立坐标系才有了依据,同时，只有正确地构建向量的坐标才能有向量的坐标运算。
2.3节平面向量的基本定理及坐标表示主要四部分内容 1.平面向量的基本定理，2.平面向量的正交分解及坐标表示，3.平行向量的坐标运算，4.平面向量共线的坐标表示。
本节教学的内容是本单元的第2节。
【目标与目标解析】知识与技能：1.掌握向量的正交分解，理解向量坐标表示的定义，具体要求：（1）能写出给定向量的坐标；（2）给出坐标能画出表示向量的有向线段；2.掌握向量的坐标与表示该有向线段起、终点坐标的关系，具体要求：（1）知道起点在坐标原点时，向量的坐标就是终点的坐标；（2）i(1,0)=，j(0,1)=，0(0,0)=3.理解向量与坐标之间是一一对应关系。
过程与方法：学生经历向量的几何表示——线性表示——坐标表示的实现过程，从中体会由特殊到一般的研究问题的方法，体会由“形”到“数”的数形结合思想及与点与坐标关系的类比思想。
情感态度与价值观：在实现平面向量坐标表示的过程中，学生独立探索、参与讨论交流，从中加深对知识的理解，体验学习数学的乐趣。
重点：平面向量坐标表示的定义突破办法：渗透从特殊到一般的归纳，由“形”到“数”的数形结合的思想. 难点：对平面向量坐标表示生成过程的理解突破办法：设置情景问题，注意过程分析与引导，力求自然、合理【教学过程】 一、知识再现、学习准备平面向量基本定理：如果 是同一平面内的两个不共线非零向量，那么对于平面内的任一向量 ，有且只有一对实数 ， 使 λ11e +λ22e 。
(1)我们把不共线向量叫做表示这一平面内所有向量的一组基底； (2)基底不唯一，关键是不共线；(3)由定理可将任一向量a 在给出基底 的条件下进行分解； (4)基底给定时，分解形式唯一. λ1,λ2是由 a , 唯一确定的数量。
《平面向量的正交分解及其坐标表示》教学设计
《平面向量的正交分解及其坐标表示》教学设计《《平面向量的正交分解及其坐标表示》教学设计》这是优秀的教学设计文章，希望可以对您的学习工作中带来帮助！微课名称：平面向量的正交分解及其坐标表示知识点来源：学科：数学年级：高一适用教材：人教版A版前需知识：1、高中物理学过力的分解;2、初中数学学过平面直角坐标系，让学生交流点的坐标与向量坐标的区别与联系;3、从基底引入正交分解。
微课类型：知识原理和动作技能类设计思路：通过例5，请同学们根据已知条件作平行四边形，思考用哪些向量的运算可以求点D的坐标，通过不同思路的对比，总结思想方法。
制作手段：利用ppt和Camtasia录屏技术来录制教学目标：能正确理解向量加法、减法、数乘的坐标运算法则，会用坐标表示平面向量的加、减与数乘运算;从数的层面通过坐标来对向量进行考察，体现数学的简捷;数形结合让学生在学习知识的同时感受到数学的美，增强数学学习的兴趣。
聚焦解决的问题：同学们根据所学知识自己设计解题方法，根据图形特征建立数与形的联系，用数学的眼光去观察、思考。
教学过程环节名称画面内容描述或解说词画面或镜头编号时间例5 请同学们根据已知条件作平行四边形，思考用哪些向量的运算可以求点D的坐标作平行四边形，通过加重显示平行四边形中向量之间的关系。
镜头1120秒合作探究你能说说自己的解题思路吗？不同思路之间碰撞相互启发。
镜头2120秒反思对解题方法进行比较，总结。
比较坐标法与转化法各自的特点。
镜头360秒变式训练通过改变题目条件，进行变式训练。
镜头460秒教学反思(自我评价)：1、解题中要使学生明确坐标向量的意义，体会点与向量的一一对应关系;2、要使学生明确不同的解题方法，通过对比碰撞，加深学生对知识的理解;3、要通过变式训练让学生熟练向量的坐标运算，可以引导学生自己通过改变题目的条件，进行变式训练。
《平面向量的正交分解及其坐标表示》教学设计这篇文章共2179字。
平面向量的正交分解和坐标表示及运算教案1
§2.3.2—§2.3.3 平面向量的正交分解和坐标表示及运算 教学目的：（1）理解平面向量的坐标的概念；（2）掌握平面向量的坐标运算；（3）会根据向量的坐标，判断向量是否共线.教学重点：平面向量的坐标运算教学难点：向量的坐标表示的理解及运算的准确性.授课类型：新授课教 具：多媒体、实物投影仪教学过程：一、复习引入：1．平面向量基本定理：如果1e ，2e 是同一平面内的两个不共线向量，那么对于这一平面内的任一向量a ，有且只有一对实数λ1，λ2使a =λ11e +λ22e(1)我们把不共线向量ｅ１、ｅ２叫做表示这一平面内所有向量的一组基底；(2)基底不惟一，关键是不共线；(3)由定理可将任一向量ａ在给出基底ｅ１、ｅ２的条件下进行分解；(4)基底给定时，分解形式惟一. λ1，λ2是被a ，1e ，2e 唯一确定的数量二、讲解新课：1．平面向量的坐标表示如图，在直角坐标系内，我们分别取与x 轴、y 轴方向相同的两个单位向量i 、j 作为基底.任作一个向量a ，由平面向量基本定理知，有且只有一对实数x 、y ，使得yj xi a +=…………○1 我们把),(y x 叫做向量a 的（直角）坐标，记作),(y x a =…………○2 其中x 叫做a 在x 轴上的坐标，y 叫做a 在y 轴上的坐标，○2式叫做向量的坐标表示.与．a 相等的向量的坐标也为．．．．．．．．．．),(y x .特别地，)0,1(=i ，)1,0(=j ，)0,0(0=.如图，在直角坐标平面内，以原点O 为起点作a OA =，则点A 的位置由a 唯一确定. 设yj xi +=，则向量的坐标),(y x 就是点A 的坐标；反过来，点A 的坐标),(y x 也就是向量的坐标.因此，在平面直角坐标系内，每一个平面向量都是可以用一对实数唯一表示.2．平面向量的坐标运算（1） 若),(11y x a =，),(22y x b =，则b a +),(2121y y x x ++=，b a -),(2121y y x x --=两个向量和与差的坐标分别等于这两个向量相应坐标的和与差.设基底为i 、j ，则b a +)()(2211j y i x j y i x +++=j y y i x x )()(2121+++=即b a +),(2121y y x x ++=，同理可得b a -),(2121y y x x --=（2） 若),(11y x A ，),(22y x B ，则()1212,y y x x AB --=一个向量的坐标等于表示此向量的有向线段的终点坐标减去始点的坐标.=-=( x 2， y 2) - (x 1，y 1)= (x 2- x 1， y 2- y 1)（3）若),(y x a =和实数λ，则),(y x a λλλ=.实数与向量的积的坐标等于用这个实数乘原来向量的相应坐标.设基底为i 、j ，则a λ)(yj xi +=λyj xi λλ+=，即),(y x a λλλ=三、讲解范例：例1 已知A(x 1，y 1)，B(x 2，y 2)，求AB 的坐标.例2 已知a =(2，1)， b =(-3，4)，求a +b ，a -b ，3a +4b 的坐标.例3 已知平面上三点的坐标分别为A(-2， 1)， B(-1， 3)， C(3， 4)，求点D 的坐标使这四点构成平行四边形四个顶点.解：当平行四边形为ABCD 时，由=得D 1=(2， 2)当平行四边形为ACDB 时，得D 2=(4， 6)，当平行四边形为DACB 时，得D 3=(-6， 0)例4已知三个力1F (3， 4)， 2F (2， -5)， 3F (x ， y)的合力1F +2F +3F =，求3F 的坐标. 解：由题设1F +2F +3F = 得：(3， 4)+ (2， -5)+(x ， y)=(0， 0)即：⎩⎨⎧=+-=++054023y x ∴⎩⎨⎧=-=15y x ∴3F (-5，1) 四、课堂练习：1．若M(3， -2) N(-5， -1) 且 21=， 求P 点的坐标 2．若A(0， 1)， B(1， 2)， C(3， 4) ， 则AB -2= .3．已知：四点A(5， 1)， B(3， 4)， C(1， 3)， D(5， -3) ， 求证：四边形ABCD 是梯形.五、小结（略）六、课后作业（略）七、板书设计（略）八、课后记：。
教学设计1：2.3.2 平面向量的正交分解及坐标表示
必修四第二章 平面向量2.3.2 平面向量的坐标运算教学目的：知识目标：掌握平面向量的正交分解及坐标表示通过探究活动,使学生掌握向量减法概念,理解两个向量的减法就是转化为加法来进行,掌握相反向量. 能力目标：让学生经历类比方法学习向量及其几何表示的过程，体验对比理解向量基本概念的简易性，从而养成科学的学习方法.情感目标：通过本节课的学习，渗透数形结合的思想；树立运动变化观点，学会运用运动变化的观点认识事物；通过学生的亲身实践，引发学生学习兴趣；创设问题情境，激发学生分析、探求的学习态度；让学生感受图形的对称美、运动美，培养学生对美的追求.教学重点：平面向量的正交分解及坐标表示教学难点：平面向量的正交分解及坐标表示教学过程：导入新课一、复习提问：1．复习向量相等的概念 相等向量OA =BC ，方向相同，大小相等.2．平面向量的基本定理（基底）a =λ11e +λ22e ,其实质：同一平面内任一向量都可以表示为两个不共线向量的线性组合.二、新课：1．正交分解的物理背景及其概念图2.3－6（P105），光滑斜面上一个木块受到重力G 的作用，产生两个效果，一是木块受平行于斜面的F 1力的作用，沿斜面下滑；一是木块产生垂直于斜面的压力F 2，G ＝F 1＋F 2，叫做把重力G 分解.由平面向量的基本定理，对平面上任意向量a ，均可以分解为不共线的两个向量a =λ11e +λ22e . 把一个向量分解为两个互相垂直的向量，叫做把向量正交分解.2．平面向量的坐标表示取x 轴、y 轴上两个单位向量i , j 作基底，则平面内作一向量a =x i +y j ，记作：a =(x, y) 称作向量a 的坐标，这就叫做向量的坐标表示.i ＝（1,0），j ＝（0,1），0＝（0,0）例2 如图，分别用基底i , j 表示向量a 、b 、c 、d ，并求出它们的坐标.解：由图可知：12AA AA =+a ＝2i ＋3j,所以，a ＝（2,3）,同理，有： b ＝－2i ＋3j ＝（－2,3）, c ＝－2i －3j ＝（－2,－3）, d ＝2i －3j ＝（2,－3）.3．平面向量的坐标运算（1）已知a (x 1, y 1)，b (x 2, y 2)，求a + b ，a - b 的坐标；（2）已知a (x, y)和实数λ,求λa 的坐标.解：a + b =(x 1 i +y 1 j )+( x 2 i +y 2 j )=(x 1+ x 2) i + (y 1+y 2) j即：a + b =(x 1+ x 2, y 1+y 2),同理：a - b =(x 1- x 2, y 1-y 2).应用示例例1 如图4,ABCD,AB =a ,AD =b ,H 、M 是AD 、DC 之中点,F 使BF=31BC,以a ,b 为基底分解向量HF AM 和.活动:教师引导学生利用平面向量基本定理进行分解,让学生自己动手、动脑.教师可以让学生到黑板上板书步骤,并对书写认真且正确的同学提出表扬,对不能写出完整解题过程的同学给予提示和鼓励. 解:由H 、M 、F 所在位置,有+=+=AD DM AD AM a b AB AD DC 212121+=+=AB 21=b +21a .AD AD AB AD BC AH BF AB AH AF HF 21312131-+=-+-+=-= =a 61-b . 点评:以a 、b 为基底分解向量AM 与HF ,实为用a 与b 表示向量AM 与HF . 变式训练已知向量e 1、e 2,求作向量-2.5e 1+3e 2.作法:(1)如图,任取一点O,作OA =-2.5e 1,OB =3e 2. (2)作OACB.故OC OC 就是求作的向量.变式训练i ,j 是两个不共线的向量,已知AB =3i +2j ,CB =i +λj ,CD =-2i +j ,若A 、B 、D 三点共线,试求实数λ的值. 解:∵BD =CD -CB =(-2i +j )-(i +λj )=-3i +(1-λ)j ,又∵A 、B 、D 三点共线,∵向量AB 与BD 共线.因此存在实数υ,使得AB =υBD ,即3i +2j =υ[-3i +(1-λ)j ]=-3υi +υ(1-λ)j .∵i 与j 是两个不共线的向量,故⎩⎨⎧=-=-,2)1(,33λv v ∵⎩⎨⎧=-=.3,1λv ∵当A 、B 、D 三点共线时,λ=3. 例 2 下面三种说法:∵一个平面内只有一对不共线向量可作为表示该平面的基底;∵一个平面内有无数多对不共线向量可作为该平面所有向量的基底;∵零向量不可以作为基底中的向量,其中正确的说法是( )A.∵∵B.∵∵C.∵∵D.∵∵∵活动:这是训练学生对平面向量基本定理的正确理解,教师引导学生认真地分析和理解平面向量基本定理的真正内涵.让学生清楚在平面中对于基底的选取是不唯一的,只要是同一平面内的两个不共线的向量都可以作为基底.解:平面内向量的基底是不唯一的.在同一平面内任何一组不共线的向量都可作为平面内所有向量的一组基底;而零向量可看成与任何向量平行,故零向量不可作为基底中的向量.综上所述,∵∵正确. 答案:B点评:本题主要考查的是学生对平面向量定理的理解.例1 如图,M 是∵ABC 内一点,且满足条件=++CM BM AM 320,延长CM 交AB 于N,令CM =a ,试用a 表示CN .活动:平面向量基本定理是平面向量的重要定理,它是解决平面向量计算问题的重要工具.由平面向量基本定理,可得到下面两个推论:推论1:e 1与e 2是同一平面内的两个不共线向量,若存在实数λ1、λ2,使得λ1e 1+λ2e 2=0,则λ1=λ2=0. 推论2:e 1与e 2是同一平面内的两个不共线向量,若存在实数a 1,a 2,b 1,b 2,使得a =a 1e 1+a 2e 2=b 1e 1+b 2e 2,则⎪⎩⎪⎨⎧==.,2211b a b a 解:∵,,NM BN BM NM AN AM +=+=∵由CM BM AM 32++=0,得=++++CM NM BN NM AN 3)(2)(0.∵CM BN NM AN 323+++=0.又∵A 、N 、B 三点共线,C 、M 、N 三点共线,由平行向量基本定理,设,,NM CM BN AN μλ==∵=+++NM BN NM BN μλ3230.∵(λ+2)BN +(3+3μ)NM =0.由于BN 和NM 不共线,∵⎩⎨⎧=+=+,033,02μλ∵⎩⎨⎧-=-=12μλ∵.MN NM CM =-=∵CM MN CM CN 2=+==2a .点评:这里选取NM BN ,作为基底,运用化归思想,把问题归结为λ1e 1+λ2e 2=0的形式来解决. 变式训练设e 1与e 2是两个不共线向量,a =3e 1+4e 2,b =-2e 1+5e 2,若实数λ、μ满足λa +μb =5e 1-e 2,求λ、μ的值. 解:由题设λa +μb =(3λe 1+4λe 2)+(-2μe 1+5μe 2)=(3λ-2μ)e 1+(4λ+5μ)e 2.又λa +μb =5e 1-e 2.由平面向量基本定理,知⎩⎨⎧-=+=-.154,523λλλλ解之,得λ=1,μ=-1. 例2 如图,∵ABC 中,AD 为∵ABC 边上的中线且AE=2EC,求GEBG GD AG 及的值.活动:教师让学生先仔细分析题意,以明了本题的真正用意,怎样把平面向量基本定理与三角形中的边相联系？利用化归思想进行转化完后,然后结合向量的相等进行求解比值.解:设μλ==GEBG GD AG , ∵BD =DC ,即AD -AB =AC -AD , ∵AD =21(AB +AC ). 又∵AG =λGD =λ(AD -AG ), ∵AG =λλ+1AD =)1(2λλ+AB +)1(2λλ+AC . ∵ 又∵BG =μGE ,即AG -AB =μ(AE -AG ), ∵(1+μ)AG =AB +μAG AE ,=AE AB μμμ+++111 又AE =32AC ,∵AG =AB μ+11+)1(32μμ+AC . ∵ 比较∵∵,∵AB 、AC 不共线,∵⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧+=++=+.)1(32)1(2,11)1(2μμλλμλλ解之,得⎪⎩⎪⎨⎧==23,4μλ∵.23,4==GE BG GD AG 点评:本例中,构造向量在同一基底下的两种不同表达形式,利用相同基向量的系数对应相等得到一实数方程组,从而进一步求得结果.变式训练过∵OAB 的重心G 的直线与边OA 、OB 分别交于P 、Q,设OP =h OA ,OB k OQ =,试证:311=+kh 解:设OA =a ,OB =b ,OG 交AB 于D,则OD =21(OB OA +)=21(a +b )(图略). ∵OG =32OD =31(a +b ),OQ OG QG -==31(a +b )-kb=31a +331k -b , OQ OP QP -==h a -k b .∵P 、G 、Q 三点共线,∵QP QG λ=. ∵31a +331k -b =λha -λkb .∵⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧-=-=.331,31k k h λλ 两式相除,得.3311hk h k k h k =+⇒-=-, ∵kh 11+=3. 知能训练1.已知G 为∵ABC 的重心,设AB =a ,AC =b ,试用a 、b 表示向量AG .2.已知向量a =(x +3,x 2-3x -4)与AB 相等,其中A(1,2),B(3,2),求x .解答:1.如图,AG =32AD ,而=+=+=BC AB BD AB AD 21a +21(b -a )=21a +21b , ∵3232==AD AG (21a +21b )=31a +31b .点评:利用向量加法、减法及数乘的几何意义. 2.∵A(1,2),B(3,2),∵AB =(2,0).∵a =AB ,∵(x +3,x 2-3x -4)=(2,0).∵⎩⎨⎧=--=+043,232x x x 解得⎩⎨⎧=-=-=.41,1x x x 或 ∵x =-1.点评:先将向量AB 用坐标表示出来,然后利用两向量相等的条件就可使问题得到解决.五、小结：取x 轴、y 轴上两个单位向量i , j 作基底，则平面内作一向量a =x i +y j ，记作：a =(x , y ) 称作向量a 的坐标，这就叫做向量的坐标表示.课后作业板书设计：。
高中数学第二章平面向量正交分解及坐标表示教案新人教A版
2.3.2平面向量正交分解及坐标表示教学目标：（1）理解平面向量的坐标的概念；（2）掌握平面向量的坐标运算；（3）会根据向量的坐标，判断向量是否共线.教学重点：平面向量的坐标运算教学难点：向量的坐标表示的理解及运算的准确性.教学过程：一、复习引入： 平面向量基本定理：如果1e ，2e 是同一平面内的两个不共线向量，那么对于这一平面内的任一向量a ，有且只有一对实数λ1，λ2使a =λ11e +λ22e(1)我们把不共线向量ｅ１、ｅ２叫做表示这一平面内所有向量的一组基底；(2)基底不惟一，关键是不共线；(3)由定理可将任一向量ａ在给出基底ｅ１、ｅ２的条件下进行分解；(4)基底给定时，分解形式惟一. λ1，λ2是被a ，1e ，2e 唯一确定的数量二、讲解新课：1．平面向量的坐标表示如图，在直角坐标系内，我们分别取与x 轴、y 轴方向相同的两个单位向量i 、j 作为基底.任作一个向量a ，由平面向量基本定理知，有且只有一对实数x 、y ，使得yj xi a += (1)1 我们把),(y x 叫做向量a 的（直角）坐标，记作),(y x a = (2)2 其中x 叫做a 在x 轴上的坐标，y 叫做a 在y 轴上的坐标，○2○2式叫做向量的坐标表示.与．a 相等的向量的坐标也为．．．．．．．．．．),(y x .特别地，)0,1(=i ，)1,0(=j ，)0,0(0=.如图，在直角坐标平面内，以原点O 为起点作a =，则点A 的位置由a 唯一确定.设yj xi +=，则向量OA 的坐标),(y x 就是点A 的坐标；反过来，点A 的坐标),(y x 也就是向量的坐标.因此，在平面直角坐标系内，每一个平面向量都是可以用一对实数唯一表示.2．平面向量的坐标运算（1） 若),(11y x a =，),(22y x b =，则b a +),(2121y y x x ++=，b a -),(2121y y x x --=两个向量和与差的坐标分别等于这两个向量相应坐标的和与差.设基底为i 、j ，则b a +)()(2211j y i x j y i x +++=j y y i x x )()(2121+++=即b a +),(2121y y x x ++=，同理可得b a -),(2121y y x x --=（2） 若),(11y x A ，),(22y x B ，则()1212,y y x x AB --=一个向量的坐标等于表示此向量的有向线段的终点坐标减去始点的坐标.=-=( x 2， y 2) - (x 1，y 1)= (x 2- x 1， y 2- y 1)（3）若),(y x a =和实数λ，则),(y x a λλλ=.实数与向量的积的坐标等于用这个实数乘原来向量的相应坐标.设基底为i 、j ，则a λ)(yj xi +=λyj xi λλ+=，即),(y x a λλλ=三、讲解范例：例1 已知A(x 1，y 1)，B(x 2，y 2)，求AB 的坐标.例2 已知a =(2，1)， b =(-3，4)，求a +b ，a -b ，3a +4b的坐标.例3 已知平面上三点的坐标分别为A(-2， 1)， B(-1， 3)， C(3， 4)，求点D 的坐标使这四点构成平行四边形四个顶点.解：当平行四边形为ABCD 时，由DC AB =得D 1=(2， 2)当平行四边形为ACDB 时，得D 2=(4， 6)，当平行四边形为DACB 时，得D 3=(-6， 0) 例4已知三个力1F (3， 4)， 2F (2， -5)， 3F (x ， y)的合力1F +2F +3F =0，求3F的坐标. 解：由题设1F +2F +3F =0 得：(3， 4)+ (2， -5)+(x ， y)=(0， 0)即：⎩⎨⎧=+-=++054023y x ∴⎩⎨⎧=-=15y x ∴3F (-5，1) 四、课堂练习：1．若M(3， -2) N(-5， -1) 且 21=， 求P 点的坐标 2．若A(0， 1)， B(1， 2)， C(3， 4) ， 则AB -2= .3．已知：四点A(5， 1)， B(3， 4)， C(1， 3)， D(5， -3) ， 求证：四边形ABCD 是梯形.五、小结（略）六、课后作业（略）七、板书设计（略）八、课后记：。
《平面向量的正交分解与坐标表示》 导学案
《平面向量的正交分解与坐标表示》导学案一、学习目标1、理解平面向量的正交分解的概念。
2、掌握平面向量的坐标表示。
3、能通过平面向量的坐标进行向量的加、减、数乘运算。
二、学习重难点1、重点（1）平面向量的正交分解。
（2）平面向量的坐标表示。
（3）平面向量的坐标运算。
2、难点（1）对平面向量正交分解的理解。
（2）向量坐标与点坐标的关系。
三、知识回顾1、向量的定义：既有大小又有方向的量叫做向量。
2、向量的表示方法：（1）几何表示：用有向线段表示。
（2）字母表示：用小写字母 a，b，c 等表示，或用有向线段的起点和终点字母表示，如\（＼overrightarrow{AB}＼）。
四、新课导入在物理学中，我们经常会遇到力的分解问题。
比如，一个斜面上的物体受到的重力可以分解为沿斜面方向和垂直斜面方向的两个分力。
类似地，在数学中，平面向量也可以进行分解。
那么，如何对平面向量进行分解呢？这就引出了我们今天要学习的内容——平面向量的正交分解与坐标表示。
五、知识讲解1、平面向量的正交分解（1）定义：把一个向量分解为两个互相垂直的向量，叫做把向量作正交分解。
（2）正交分解的意义：正交分解是向量分解中一种特殊且重要的分解方式，它使得向量的表示和运算更加简洁和方便。
例如，对于向量\（＼overrightarrow{a}＼），我们可以将其正交分解为\（＼overrightarrow{a} ＝ x\overrightarrow{i} ＋ y\overrightarrow{j}＼），其中\（＼overrightarrow{i}＼），＼（＼overrightarrow{j}＼）分别是 x 轴和 y 轴正方向上的单位向量，x，y 分别是向量\（＼overrightarrow{a}＼）在 x 轴和 y 轴上的投影。
2、平面向量的坐标表示（1）在平面直角坐标系中，分别取与 x 轴、y 轴方向相同的两个单位向量\（＼overrightarrow{i}＼），＼（＼overrightarrow{j}＼）作为基底。
- 1、下载文档前请自行甄别文档内容的完整性，平台不提供额外的编辑、内容补充、找答案等附加服务。
- 2、"仅部分预览"的文档,不可在线预览部分如存在完整性等问题,可反馈申请退款(可完整预览的文档不适用该条件!)。
- 3、如文档侵犯您的权益，请联系客服反馈,我们会尽快为您处理(人工客服工作时间：9:00-18:30)。
《平面向量的正交分解及坐标表示》教学设计
武山一中
【教材内容地位】
本课时的内容包括“向量的正交分解及坐标表示”，向量基本定理实际上是建立向量坐标的一个逻辑基础，因为只有确定了任意一个向量在两个不共线的基底上能进行唯一分解，建立坐标系才有了依据,同时，只有正确地构建向量的坐标才能有向量的坐标运算。
2.3节平面向量的基本定理及坐标表示主要四部分内容 1.平面向量的基本定理，2.平面向量的正交分解及坐标表示，
3.平行向量的坐标运算，
4.平面向量共线的坐标表示。
本节教学的内容是本单元的第2节。
【目标与目标解析】
知识与技能：
1.掌握向量的正交分解，理解向量坐标表示的定义，具体要求：（1）能写出给定向量的坐标；（2）给出坐标能画出表示向量的有向线段；
2.掌握向量的坐标与表示该有向线段起、终点坐标的关系，具体要求：（1）知道起点在坐标原点时，向量的坐标就是终点的坐标；（2）i(1,0)
=，j(0,1)
=，0(0,0)
=
3.理解向量与坐标之间是一一对应关系。
过程与方法：
学生经历向量的几何表示——线性表示——坐标表示的实现过程，从中体会由特殊到一般的研究问题的方法，体会由“形”到“数”的数形结合思想及与点与坐标关系的类比思想。
情感态度与价值观：
在实现平面向量坐标表示的过程中，学生独立探索、参与讨论交流，从中加深对知识的理解，体验学习数学的乐趣。
重点：平面向量坐标表示的定义
突破办法：渗透从特殊到一般的归纳，由“形”到“数”的数形结合的思想. 难点：对平面向量坐标表示生成过程的理解
突破办法：设置情景问题，注意过程分析与引导，力求自然、合理
【教学过程】 一、知识再现、学习准备 平面向量基本定理： 如果 是同一平面内的两个不共线非零向量，那么对于平面内的任一向量 ，有且只有一对实数 ， 使 λ11e +λ22e 。
(1)我们把不共线向量
叫做表示这一平面内所有向量的一组基底； (2)基底不唯一，关键是不共线；
(3)由定理可将任一向量a 在给出基底 的条件下进行分解； (4)基底给定时，分解形式唯一. λ1,λ2是由 a , 唯一确定的数量。
二、教学过程设计.
（一）问题情境1：倾斜角为30度的斜面上，质量为100kg 的物体匀速下滑，
欲求物体受到的滑动摩擦力和支持力，该如何对重力进行分解?
设计说明：引出课题。
回顾向量基本定理，构造建立直角坐标系条件，为研究问
题做铺垫。
（二）向量坐标表示的定义探究
提出问题
1.我们知道,在平面直角坐标系中,每一个点都可用一对有序实数(即它的坐标)
表示.对直角坐标平面内的每一个向量,如何表示呢?
2.在平面直角坐标系中,一个向量和坐标是否是一一对应的？
⒊平面向量的正交分解及坐标表示(讲授新课)
师：如图，在光滑斜面上的一个木块受到了那些
力的作用？这些力之间有什么关系？
生：该木块受到重力G 的作用，产生两个效果，
一是木块受平行于斜面的力F 1的作用沿斜面下滑；一是木块产生垂直于斜面的
压力F 2．也就是说，重力G 的的效果等价于力F 1和F 2的合力的效果，即G =F 1+F 2．
师：物理学中，G =F 1+F 2叫做把重力G 分解．
由平面向量基本定理，对平面上的任意向量a 均可以分解为不共线的两个向
量1λe 1、2λe 2，使a ＝1λe 1+2λe 2．
在不共线的两个向量中，垂直是一种重要情形．把一个向量分解为两个垂直
的向量，叫做把向量正交分解．
如上，重力G 沿互相垂直的两个方向分解就是正交分解．正交分解是向量
分解中常见的一种情形．
⒋平面向量的坐标表示
师：我们知道，在平面直角坐标系中，每一个点都可以用一对有序实数（即
点的坐标）表示．那么，直角坐标平面内的向量如何表示呢？
如图，在平面直角坐标系中，分别取与x 轴、y 轴
方向相同的两个单位向量i 、j 作为基底．对于平面内的
21λλ、2
1e e 、=a a 21e e 、21e e 、
21e e 、
一个向量a ，由平面向量基本定理可知，有且只有一对实数x 、y ，使得
a ＝x i ＋y j ．
这样，平面内的任一向量a 都可以x 、y 唯一确定，我们把有序数对(,)x y 叫
作向量a 的坐标，记作a ＝(,)x y ，其中x 叫作a 在x 轴上的坐标，y 叫作a 在y
轴上的坐标，式子a ＝(,)x y 叫作向量的坐标表示.
根据向量坐标表示的意义，两个单位向量i 、j 以及零向量的坐标表示是怎样
的？
生：i (1,0)=，j (0,1)=，0(0,0)=．
（三）向量与坐标的对应关系
师：如图，在直角坐标平面中，以原点O 为起点作
OA =a ，则点A 的位置由向量a 唯一确定．
设OA =x i ＋y j ，则向量OA 的坐标(,)x y 就是终点A
的坐标；反过来，终点A 的坐标(,)x y 就是向量OA 的坐标．因此，在平面直角
坐标系内，每一个平面向量都可以用一有序实数对表示．
有人说：直角坐标平面内向量a 的坐标就是它的终点坐标．这句话正确吗？
生：这种说法不正确．只有当向量a 的始点是坐标原点时，向量的坐标才是
它的终点坐标．
师：这就是说，直角坐标平面内点的集合只是与这平面内从原点出发的向量
的集合之间有一一对应关系．
（四）例题讲解:
例1 如图6,分别用基底ｉ、j 表示向量a 、b 、c 、d ,并求出它们的坐标.
活动:本例要求用基底i 、j 表示a 、b 、c 、d ,其关键是把a 、b 、c 、d 表示
为基底i 、j 的线性组合.一种方法是把a 正交分解,看a 在x 轴、y 轴上的分向
量的大小.把向量a 用i 、j 表示出来,进而得到向量a 的坐标.另一种方法是把向
量a 移到坐标原点,则向量a 终点的坐标就是向量a 的坐标.同样的方法,可以得
到向量b 、c 、d 的坐标.另外,本例还可以通过四个向量之间位置的几何关系:a
与b 关于y 轴对称,a 与c 关于坐标原点中心对称,a 与d 关于x 轴对称等.由一个
向量的坐标推导出其他三个向量的坐标.
解:由图可知,a =1AA +2AA =x i +y j ,
∴a =(2,3).
同理,b =-2i +3j =(-2,3);
c =-2i -3j =(-2,-3);
d =2i -3j =(2,-3).
点评:本例还可以得到启示,要充分运用图形之间的几何关系,求向量的坐标. 拓展训练：
【解】 设OA →＝a ，OB →＝b ，OC →＝c ，
又∵|OA →|＝|a |＝2，|OB →|＝|b |＝3，|OC →|＝|c |＝4.
∴A (2，2)，B ⎝ ⎛⎭
⎪⎫－32，332，C (23，－2)， ∴a ＝(2，2)，b ＝⎝
⎛⎭
⎪⎫－32，332，c ＝(23，－2) 在直角坐标系xOy 中，向量a ，b ，c 的方向如图所示，
且|a |＝2，|b |＝3，|c |＝4，分别计算出它们的坐标．
例2.
（五）本节课时小结:
⑴同一平面内任意向量都可以表示成为两个不共线向量的线性组合，这样，如果将平面内向量的起点放在一起，那么，平面内的任意一个点都可以通过两个不共线的向量得到表示，也就是平面内的点可以由平面内的一个点及两个不共线的向量表示．
⑵通过建立直角坐标系，可以将平面内任一向量用一个有序实数对表示；反过来任一有序实数对就表示一个向量．这就是说，一个平面向量就是一个有序实数对，从而给出了向量的另一种表示形式——坐标表示式．向量的线性运算都可以用坐标来进行，使得向量完全代数化，将数与形紧密地结合起来．
（六）课后作业：
⒈课本102页习题2.3 B 组 ⒊
⒉预习课本106P ～108P ，思考下列问题：
⑴已知向量的坐标怎样进行向量的加法、减法与数乘运算？
⑵怎样求一个用有向线段表示的向量的坐标？
⑶向量的坐标与点的坐标之间有什么关系？
⑷例5的两种解法，在解题思路上有什么不同？
教学后记:
《平面向量的正交分解及坐标表示》
教学设计
武山一中
令启元。