九年级下册数学二次函数课件

60 2
－a)=a(30－a)
=30a－a² = -a² +30a .
问题2:要给边长为x米的正方形房间铺 设地板，已知某种地板的价格为每平方 米240元，踢脚线的价格为每米30元.如 果其他费用为1000元，门宽0.8米，那 么总费用y为多少元？
2 y=240x +120x+976
问题3:设人民币一年教育储
m2-7
（1）m取什么值时，此函数是正比例函数？
（2） m取什么值时，此函数是反比例函数？
1 例3、函数y (k ) x 是 2 -1 二次函数，则k _______ . 练习：函数y (m 1) x mx 1是 二次函数，则m ２ _____ .
2 k 2 k 1
1 （是） (2) y = x + （否） (1) y=3(x-1)² +1 x
1、圆的半径是1cm,假设半径增 加xcm时,圆的面积增加ycm² . （1）写出y与x之间的函数关系表 达式；
（2）当圆的半径分别增加1cm, ,2cm时2cm ,圆的面积增加多少？
2、正方体的六个面是全等的正方形,高正 方体的棱长为x,表面积为y,显然对于x的每一 个值,y都有一个对应值,即y是x的函数,它们的 具体关系可以表示为
有何特点？
(a,b,c是常数,a≠ 0)
1.下列函数中,哪些是二次函数？
(3) s=3-2t²
（是） (4) y =
1 （否） 2 x -x (5)y=(x+3)² -x²（否） (6)v=10πr² （是） (7) y=x² +x³ +25 （否）(8)y=2² +2x （否） 提示: (1)关于自变量的代数式一定是二次整式,a,b,c为 常数,且a≠0. (2)等式的右边最高次数为2,可以没有一次项和常 数项,但不能没有二次项.
二次函数 y ax c ， 当x=0时，y=-2；当 y=-1时，x=1，求y=2时，x的值。
2
1、当m为何值时，函数 2 －2 m y＝(m－2)x ＋4x－5是
x的二次函数
2＋ m－ 4 m 2.y＝(m＋3)x ＋(m
＋2)x＋3， 当m为何值时，y是x的二 次函数？
二次函数(1)
上式表示了多边形的对角线数d与边数n之间的关系
如果函数y= x +kx+1是二次函数, 0，3 则k的值一定是______ 如果函数y=(k-3) x 0 数,则k的值一定是______
k -3k+2
2
k 2 - 3k+ 2
+kx+1是二次函
2 2 y ( m m ) x mx (m 1) m取哪些值时，函数
是以x为自变量的一次函数？ 为自变量的二次函数？
已知函数 y (k k ) x kx 2 k (1) k为何值时，y是x的一次函数？ (2) k为何值时，y是x的二次函数？
2 2
解（1）根据题意得
2 k k 0 k 0
∴k=1时,y是x的一次函数。
(2) 当k - k ≠ 0, 即k ≠ 0且k ≠ 1 时 y是x的二次函数
导入 ※、正方体的六个面是全等的正方形， 设正方体的棱长为a，表面积为S ，则 S与a之间有什么关系？
S 6a
2
a
导入 ※、多边形对角线的条数d与边数n之 间有什么关系？
1 d n(n 3) 2 1 2 3 d n n 2 2
导入 ※、某工厂一种产品现在的年产量是 20件，计划今后两年增加产量。如果 每一年都比上一年的产量增加x倍，那 么两年后，这种产品的产量y与x之间 的关系应怎样表示？
• 3.将进货单价为40元的商品按50元卖 出时,就能卖出500个,已知这种商品每 涨1元,其销售量就会减少10个,设售价 定为X元(x＞50)时的利润为Y元。试求 出Y与X的函数关系式，并按所求的函 数关系式计算出售定价为80元时所得 利润。
例4、若二次函数y＝2x2＋bx＋c的图形经 过A（－1，0），B（0，1），二点，求 这个函数的解析式.
x
二次项系数: 10π 一次项系数: 0 常数项: 0
现在我们学习过的函数有: 一次函数y=ax+b (a ≠0),其中包括正比例函数 y=kx(k≠0), 反比例函数y= 二次函数y=ax2+bx+c(a≠0). 可以发现,这些函数的名称都反映了函数表达 式与自变量的关系.
k x
(k≠0)
例2、y=（m+3）x
2 y=6x
3、多边形的对角线数d与边数n有什么关系?
由图可以想出,如果多边形有条边,那么它有 ____ n 个顶点,从一个顶点出发,连接与这点不相邻的 各顶点,可以作________ n-3 条对角线.
因为像线段MN与NM那样,连接相同两顶点的对角线是 同一条对角线,所以多边形的对角线总数.
1 d n(n 3) 2 1 2 3 d n n 2 2
y x 8x
2
问题:
问题2 某工厂一种产品现在的年产量是20件, 计划今后两年增加产量.如果每年都比上一年的产 量增加x倍,那么两年后这种产品的产量y将随计划 所定的x的值而确定,y与x之间的关系应怎样表示？ 这种产品的原产量是20件, 一年后的产量是
2 20(1+x) 20(1+x) 件,再经过一年后的产量是 件,即两 年后的产量为 y 20 1 x 2
+1 解: (1)y=3(x-1)² =3(x2-2x+1)+1 =3x2-6x+3+1 即 y=3x2-6x+4
(4) y=(x+3)² -x² =x2+6x+9-x2
即 y=6x+9 不是二次函数.
是二次函数. 1 -x __ (5)y= 不是二次函数. 二次项系数: 3 x² 一次项系数: -6 常数项: 4 是二次函数 . (6) v=10π r² 1 (2) y=x+ __ 不是二次函数. (3) s=3-2t² 是二次函数. 二次项系数:Fra Baidu bibliotek-2 一次项系数: 0 常数项: 3
6.1二次函数
一般形式
图象
函 数
一次函数 y=kx+b (k≠0) 一条直线 正比例函数 y=kx(k≠0)
k 反比例函数 y = k ≠ 0 双曲线 x
二次函数
喷泉(1)
问题1:用总长为60m的篱笆围成矩形
场地，场地面积S(m² )与矩形一边 长a(m)之间的关系是什么？
解：S=a(
• y=(100+x)(600—5x)
2
5x 100 x 60000
二次函数
S= －a² +30a ,
2
y=240x2+120x+976 y=100(x+1)² =100x² +200x+100
y 5x 100 x 60000
定义：一般地,形如y=ax² +bx+c 的函数叫做x的二次函数.
?
蓄的年利率是x,一年到期后 ,银行将本金和利息自动按 一年定期储蓄转存.如果存 款是100元,那么请你写出两 年后的本息和y(元)的表达 式(不考虑利息税).
y=100(x+1)² =100x² +200x+100
问题4:某果园有100棵橙子树，每一棵树平均 结600个橙子，现准备多种一些橙子树以提高 产量，但是如果多种树，那么树之间的距离 和每一棵树所接受的阳光就会减少．根据经 验估计，每多种一棵树，平均每棵树就会少 结5个橙子． (1) 问题中有哪些变量 ?其中哪些是自变量 ? y • (3) 如果果园橙子的总产量为 y个，那么请你写出 (2) x棵橙子树，那么果园共有 与假设果园增种 x之间的关系式． 多少棵橙子树 ?这时平均每棵树结多少个橙 • 果园共有(100+x) 棵树，平均每棵树结(600-5x)个 子 ? 橙子，因此果园橙子的总产量
复习
1、下列等式分别叫什么？
(1) y 2 x
正比例函数 一次函数
y kx (k 0)
(2) y 2x 1 一次函数
y kx b (k 0)
复习
2、下列等式又叫什么？
6 (3) y 反比例函数 x k y (k 0) x
复习 函数的定义：
设在某变化过程中有两个变量x、 y，如果对于x在一范围内的每一个确 定的值，y都有唯一确定的值与它对 应，那么就称y是x的函数，x叫做自 变量。
在上面的问题中,函数都是用自变量的二次式 表示的,
2、定义：一般地，形如 y=ax² +bx+c(a,b,c是常数,a≠ 0)的函数叫 做x的二次函数。
注意： （1）等号左边是变量y，右边是关于自变量x的 整式
（2）a,b,c为常数，且 a≠0.
（3 ）等式的右边最高次数为 2 ，可以没有 一次项和常数项，但不能没有二次项。
（4）x的取值范围是 任意实数 。
二次函数的一般 形式 : 2 y＝ax ＋bx＋c (其中a、b、c是常数,a≠0)
a是二次项系数 b是一次项系数 C是常数项
二次函数的特殊形式： 当b＝0时， y＝ax2＋c 当c＝0时， y＝ax2＋bx 当b＝0，c＝0时， y＝ax2
例1、下列函数中，哪些是二次函数？若是, 分别指出二次项系数,一次项系数,常数项. 1 __ (1) y=3(x-1)² +1 (2) y=x+ x (3) s=3-2t² (4) y=(x+3)² -x² 1 __ (5)y= -x (6) v=10π r² x²
m2 m
（3） m取什么值时，此函数是二次函数？
1、下列函数中，（x是自变量），是二次函数 的为( C )
A y=ax2+bx+c
C y=x2
B y2=x2-4x+1
D y=2+ √x2+1
2.函数 y=(m-n)x2+ mx+n 是二次函数的条件是( C )
A
C
m,n是常数,且m≠0
m,n是常数,且m≠n


即
y 20 x2 40 x 20③
③式表示了两年后的产量y与计划增产的倍数x之间 的关系,对于x的每一个值, y都有一个对应值,即y是x的 函数.
观察
函数①②③有什么共同点?
y=6x2①
y x 8x
2
y 20 x2 40 x 20③
y是x的函数吗？y是x的一次函数？反比例函数？
问题:
正方体的六个面是全等的正方形,设正方形的 棱长为x,表面积为y,显然对于x的每一个值,y都有 一个对应值,即y是x的函数,它们的具体关系可以表 示为 y=6x2①
问题1、用16米长的篱笆 围成长方形的生物园饲养 小兔,怎样围可使小兔的 活动范围较大?
设长方形的长为x 米，则宽 为（8-x）米，如果将面积记 为y平方米，那么变量y与x之 间的函数关系式为：
你发现了吗？
60500 60495 60495 60480 60480 60455 60455 60420 60420 60375 60375
小结
拓展
回味无穷
定义中应该注意的几个问题:
1.定义：一般地,形如y=ax² +bx+c(a,b,c是常数,a≠0) 的函数叫做x的二次函数. y=ax² +bx+c(a,b,c是常数,a≠0)的几种不同表示形式: (1)y=ax² (a≠0,b=0,c=0,). (2)y=ax² +c(a≠0,b=0,c≠0). (3)y=ax² +bx(a≠0,b≠0,c=0). 2.定义的实质是：ax² +bx+c是整式,自变量x的最高次数 是二次,自变量x的取值范围是全体实数.
y 20(1 x)
2
2
y 20x 40x 20
探究 一、观察下列等式，它们有什么共同 特点？
S 6a
2
具备函数特点
1 2 3 d n n 等号右边都是二次式 2 2
y 20x 40x 20
2
问题再探究
在种树问题中,种多 少棵橙子树,可以使 果园橙子的总产量 y=-5x ² +100x+60000, 最多？
x y 5
60375
6
60420
7
60455
8
60480
9
60495
10
60500
11
12
13
14
15
-
60480 60420 60455 60375 60495
你能根据表格中的数据作出猜测吗？
B
m,n是常数,且n≠0
D m,n为任何实数
1.一个圆柱的高等于底面半径,写出它 的表面积 s 与半径 r 之间的关系式.
2 S=4πr 当r为4时s为多少。
2. n支球队参加比赛,每两队之间进行 一场比赛,写出比赛的场次数 m与球队 数 n 之间的关系式. 1 2 1 1 m nn 1 即 m n n 2 2 2