向量的减法
向量的基本运算公式大全
向量的基本运算公式大全下面是向量的基本运算公式大全：1.向量加法：o a + b = b + a（交换律）o(a + b) + c = a + (b + c)（结合律）2.向量减法：o a - b = a + (-b)3.向量数量乘法：o ka = ak（交换律，其中k是标量）o(kl)a = k(la)（结合律）4.零向量：o a + 0 = ao a + (-a) = 05.向量点乘（内积）：o a·b = b·a（交换律）o(ka)·b = k(a·b) = a·(kb)（分配律）o a·(b + c) = a·b + a·c（分配律）6.向量叉乘（外积）：o a×b = -(b×a)（反对称性）o a×(b + c) = a×b + a×c（分配律）o(ka)×b = k(a×b) = a×(kb)（分配律）7.向量混合积：o a·(b×c) = b·(c×a) = c·(a×b)8.长度（模）：o||a|| = √(a·a)9.单位向量：o一个向量除以其长度得到单位向量： a/||a||10.平行和垂直：o两个向量平行：a与b平行，当且仅当存在标量k，使得a = kb或b = ka。
o两个向量垂直：a与b垂直，当且仅当a·b = 0。
这些是向量的基本运算公式，它们形成了向量运算的基础，可以用于解决向量计算和几何问题。
需要注意的是，这些公式适用于向量的二维、三维或更高维度空间。
具体运用时，根据具体的向量运算要求和问题，选择合适的公式和运算规则。
向量减法及其几何意义
设有两个向量 $vec{A} = (x_1, y_1, z_1)$ 和 $vec{B} = (x_2, y_2, z_2)$，则向量 $vec{A}$ 减去向量 $vec{B}$ 的结果是一个新的向量 $vec{C} = vec{A} - vec{B} = (x_1 - x_2, y_1 - y_2, z_1 - z_2)$。
几何意义
向量 $vec{C}$ 是由向量 $vec{A}$ 的终点指向向量 $vec{B}$ 的起点的向量。在平面直角坐标系中，这相当于从 点 $(x_1, y_1)$ 到点 $(x_2, y_2)$ 画一个有向线段，其方向由 $(x_1, y_1)$ 指向 $(x_2, y_2)$。
空间直角坐标系中向量减法
04 向量减法在物理问题中应 用
位移、速度、加速度等物理量计算
01
02
03
位移计算
向量减法可以应用于计算 物体在一段时间内的位移， 即末位置向量减去初位置 向量。
速度计算
通过位移向量与时间向量 的商，可以计算物体的平 均速度或瞬时速度。
加速度计算
加速度是速度向量的变化 率，可以通过相邻两个时 刻的速度向量相减并除以 时间间隔来计算。
向量减法及其几何意义
目录
• 向量减法基本概念 • 向量减法在坐标系中表示 • 向量减法几何意义探讨 • 向量减法在物理问题中应用 • 向量减法在数学问题中应用 • 总结与拓展
01 向量减法基本概念
定义与性质
定义
性质
结合律
交换律的逆
存在零元
向量减法定义为加上一个 向量的相反向量。即对于 任意两个向量 A 和 B， 向量 A 减去向量 B 的结 果是一个新的向量，记作 C = A - B，其中 C 是 A 与 -B（B的相反向量）的 向量和。
向量的减法运算
解析 A 项，A→B－(B→C＋C→A)＝A→B－B→A＝A→B＋A→B； B 项，A→B－A→C＋B→D－C→D＝C→B＋B→C＝0； C 项，O→A－O→D＋A→D＝D→A＋A→D＝0； D 项，N→O＋O→P＋M→N－M→P＝N→P＋P→N＝0.
1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16
1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16
5.(多选)下列结果恒为零向量的是
A.A→B－(B→C＋C→A)
√B.A→B－A→C＋B→D－C→D
√C.O→A－O→D＋A→D
√D.N→O＋O→P＋M→N－M→P
1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16
(2)化简下列各式： ①O→M－O→N＋M→P－N→A；
解 O→M－O→N＋M→P－N→A＝N→M＋M→P－N→A＝N→P－N→A＝A→P.
②(A→D－B→M)＋(B→C－M→C). 解 (A→D－B→M)＋(B→C－M→C)＝A→D＋M→B＋B→C＋C→M＝A→D＋(M→B＋B→C ＋C→M)＝A→D＋0＝A→D.
核心素养之逻辑推理
HE XIN SU YANG ZHI LUO JI TUI LI
用已知向量表示其他向量
典例 如图，在五边形 ABCDE 中，若四边形 ACDE 是平行四边形，且 A→B＝a，A→C＝b，A→E＝c，试用 a，b，c 表示向量B→D，B→C，B→E，C→D及C→E.
解 ∵四边形ACDE是平行四边形， ∴C→D＝A→E＝c，B→C＝A→C－A→B＝b－a， B→E＝A→E－A→B＝c－a，C→E＝A→E－A→C＝c－b，
3.几何意义：如果把两个向量的 起点 放在一起，那么这两个向量的差是 以减向量的终点为 起点 ，被减向量的终点为 终点 的向量.
5高中数学“向量的减法运算”知识点全解析
高中数学“向量的减法运算”知识点全解析一、引言向量是数学中的重要概念，具有大小和方向的特性。
向量的减法运算是向量运算的基础之一，对于理解和应用向量具有关键作用。
本文将详细解析“向量的减法运算”相关知识点，帮助同学们更好地掌握这一内容。
二、向量的减法运算定义向量的减法运算可以定义为加上被减向量的相反向量。
设有两个向量a和b，则向量a 减去向量b的结果是一个新的向量，记作c，满足c = a + (-b)。
其中，-b是向量b的相反向量，与b大小相等，方向相反。
三、向量的减法运算性质1.反交换律：对于任意两个向量a和b，有a - b= -(b - a)，即向量的减法不满足交换律。
2.结合律：对于任意三个向量a、b和c，有(a - b) - c=a - (b+c)，即向量的减法满足结合律。
3.零向量性质：对于任意向量a，有a - a=0，即任意向量减去自身等于零向量。
4.负向量性质：对于任意向量a，有-(-a) =a，即负向量的相反向量等于原向量。
四、向量的减法运算在坐标系中的表示在平面直角坐标系或空间直角坐标系中，向量的减法运算可以通过坐标的相减来实现。
具体地，设有两个向量a = (x1, y1) 和b = (x2, y2)，则它们的差向量c = (x1 - x2, y1 - y2)。
同样地，在空间直角坐标系中，设有两个向量a = (x1, y1, z1) 和b = (x2, y2, z2)，则它们的差向量c = (x1 - x2, y1 - y2, z1 - z2)。
五、应用举例1.物理中的应用：在物理学中，位移是矢量，具有大小和方向。
当物体从一个位置移动到另一个位置时，可以通过向量的减法运算来求解位移。
例如，物体从点A移动到点B，再从点B移动到点C，则物体从A到C的总位移可以通过向量的减法运算求得。
2.几何中的应用：在几何学中，向量的减法运算可以用来描述图形的相对位置关系。
例如，在平面图形中，两个点之间的相对位置可以通过向量的减法运算来表示。
向量的减法
b
A
a
B
答案： AC a b , DB AB AD a b .
作业：P 4， 5， 6 （ 4， 5 ）， 7 105
； / 聚星平台
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在离家之前就已经做了简单的准备呢！“吁—”耿老爹吆喝驴车停了下来，朗声招呼耿正兄妹三个下车：“来，娃儿们，俺们 给五道爷磕个头，许个愿哇！”说着话，耿老爹自己已经麻利地跳下车来，并且伸手从搭连里取出来三柱香和一个很好用的火 镰子。耿正、耿英和耿直也赶快跟着爹爹下车，父子四人一溜儿快步来到五道庙前。耿老爹先用火镰子打火点着了三柱香，再 把它们稳稳地并排插在了庙前的香炉里。然后，他把火镰子装进衣袋里，回头看看身后的三个儿女，自己先恭恭敬敬地跪了下 去。耿正、耿英和耿直也赶快跪在爹爹的身后。耿老爹十二分虔诚地双手合十抬头望着庙堂里端坐着的五道爷塑像，非常字正 腔圆地认真说道：“请五道爷保佑俺们父子四人此趟出门一路顺利，南下创业赚钱遂心如愿，早日衣锦还乡，全家团圆，光宗 耀祖，造福乡里！”耿正、耿英和耿直也十二分虔诚地双手合十抬头望着庙堂里端坐着的五道爷塑像，齐声跟着爹爹说道： “请五道爷保佑俺们父子四人此趟出门一路顺利，南下创业赚钱遂心如愿，早日衣锦还乡，全家团圆，光宗耀祖，造福乡里！” 随后，在耿老爹的带领下，父子四人一起，十二分虔诚地给端坐在庙堂里的五道爷塑像标标准准地磕了三个头。磕完头以后， 父子们站起身来双手合十各自许愿。实际上，耿正兄妹三个所许的愿，都只不过是把刚才说给五道爷听的那些话，又都在心里 边默默地说了几遍罢了。然而，耿老爹此时在心里边默默地跟五道爷述说的，却更加地具体和详细了许多。他衷心地希望，五 道爷能够听得到他的心里话！他相信，五道爷已经听到他在心里说的话了！并且，他更愿意相信，五道爷一定能够保佑他父子 们此趟出门创业一路顺利，也一定能够衣锦还乡造福乡里！许完了愿，耿老爹举起右手有力地一挥，大声说：“娃儿们，上车 喽！”大家又上车坐回到各自的位置上。耿老爹拉起缰绳一声吆喝：“咦—”黑灰色毛驴拉着平车转向左边，又精神抖擞地 “哒哒哒”向东疾步而行。在一片敞亮的晨光中，坐在驾车位置上的耿老爹目光坚毅神采奕奕，那些个曾经在他的脑海里设想 过无数回的巨大成功，此时仿佛已经在向他父子们招手了！望着前方宽阔的东西大道，他爽朗地大声对耿正、耿英和耿直说： “这条东西大道无论是往东走，还是往西走，只要在第一个路口往南拐，就都能通往俺们要去的地方。今儿个俺们打东边儿去， 到南面儿转他一圈儿，找个能站得住脚的好地儿，痛痛快快地好好儿干上一番！等到过几年赚发了以后，俺们再从西边儿回 来！”然而，尽管耿老爹此时是如此得信心满满且神情朗朗，但耿正、耿英和耿直毕竟是平生第一次背井离乡啊！前方的道路 对于还尚未成人的他们来说，既充满向往，但更多的
向量的减法与几何意义
向量减法的交换律
交换律定义
a-b=b-a
证明
根据向量加法的交换律和减法的定义， 可以推导出交换律成立。
向量减法的分配律
分配律定义
(a + b) - c = a - c + b - c
证明
根据向量加法的分配律和减法的定义，可以推导出分配律成立。
04
向量减法的应用实
例
速度与加速度的计算
速度计算
在物理学中，速度和加速度都是向量， 它们的加减法可以用来解决许多实际问 题。例如，在计算物体运动的速度和加 速度时，可以通过向量的加减法来计算 。
= vec{A} - (vec{B} vec{C})$。
向量减法的零向量性质：若 $vec{A} - vec{B} = vec{0}$， 则$vec{A}$和$vec{B}$是相反
向量。
向量减法与加法的关联
向量加法和减法的结合律和交换律性质
结合律允许我们改变加法或减法的括号，而交换律允许我们交换向量的顺序。
向量减法的几何意义：在平面上，向量减法可以理解为将一 个向量平移到另一个向量的起点，然后从第二个向量的终点 指向第一个向量的终点。
向量减法的性质
向量减法不满足交换律，即 $vec{A} - vec{B}$不等于
$vec{B} - vec{A}$。
向量减法满足结合律，即 $(vec{A} - vec{B}) - vec{C}
向量减法未来的研究方向
理论完善
进一步深入研究向量减法的性质和定理，完善向量运算的理论体 系。
应用拓展
探索向量减法在其他领域的应用，如机器学习、优化算法等。
计算效率
研究更高效的算法和数据结构，提高向量运算的速度和精度。
向量的减法
B
b
b
b
b O
首尾相接连端点
2、向量加法的平行四边形法则 D
a a a a a a a a a a a+b b a
C
b
b
b
b
A
b
B
起点相同连对角
3、向量加法的交换律：a b b a .
(a b ) c a (b c ) 4、向量加法的交换律：
解：有向量加法的平行四边形法则， A 得
D
C
bቤተ መጻሕፍቲ ባይዱa
B
AC a b;
由向量的减法可得，
DB AB AD a b.
3、判断下列命题是否正确，若不正确，说明理由
1、 AB BA 0
2、 AB OA OB
4、若
（ （
） ） ）
3、相反向量就是方向相反的量 （
AB BC CA 0
DB AB AD _____; 你能将减法运 CA 算转化为加法 BA BC ______; 运算吗？ AC BC BA ______;
AD OD OA ______;
BA OA OB ______ .
例3:如图：平行四边形ABCD, AB a, AD b,用 a, b D 表示向量 AC, DB. b A 变式一:1、若 AB a, BD d , 用 a, d 表示向量 AC, AD. 2、若 AC c, BD d , 用 c, d 表示向量 AB, AD
，则A、B、C ）
三点是一个三角形的定点 （ 5、 0a a （ ）
6、两个向量是互为相反向量，则两个向量共线 （ ）
√
例2：选择题：
向量的减法运算
Ԧ
与中至少有一个为零向量；
Ԧ
|Ԧ − | = |||
Ԧ − |||成立的充要条件是与同向或
Ԧ
与中至少有一个为零向量.
Ԧ
向量的三角不等式
Ԧ − ≤ Ԧ ± ≤ Ԧ +
Ԧ + ≤ Ԧ + ，当且仅当Ԧ 与同向时取等号，或至少有一个为零向量.
a
b
B
a-b
几何意义 Ԧ − 可以表示为从向量的终点指向向量的终点的向量.
思考3 向量的三角不等式是什么？
Ԧ − ≤ Ԧ ± ≤ Ԧ +
A
A．[3，8]
B．(3，8)
C．[3，13]
D．(3，13)
经典例题
向量减法的几何意义
Ԧ
Ԧ
例1（教材P12 例3）如图，已知向量,
Ԧ , ,
Ԧ ，求作向量
Ԧ − ，Ԧ − .
a
b
b
d
d
a
c
c
O
练一练 如图，已知向量,
Ԧ , 不共线，求作向量
Ԧ
Ԧ + − .
Ԧ
经典例题
经典例题
用已知向量表示未知向量
例3（教材P12例4）如图，在平行四边形中， = ，
Ԧ
= ，用
,
Ԧ 表示向量, .
注意向量的方向
向量 AC a + b
向量 DB a - b
练一练 如右图, 在四边形中，设 = ，
Ԧ
= ，
Ԧ + Ԧ − .
(2) − − ( − ).
解：(1)原式= − = ;
向量加减法公式
向量加减法公式向量加法和减法是向量运算中的基本操作。
它们允许我们将两个或多个向量组合在一起，并且可以用于表示力、速度、位移等物理量。
向量加法的公式如下：对于两个二维向量A = (a1, a2)B = (b1, b2)它们的和为：A +B = (a1 + b1, a2 + b2)对于两个三维向量A = (a1, a2, a3)B = (b1, b2, b3)它们的和为：A +B = (a1 + b1, a2 + b2, a3 + b3)向量减法的公式如下：对于两个二维向量A = (a1, a2)B = (b1, b2)它们的差为：A -B = (a1 - b1, a2 - b2)对于两个三维向量A = (a1, a2, a3)B = (b1, b2, b3)它们的差为：A -B = (a1 - b1, a2 - b2, a3 - b3)向量加法和减法的几何解释可以通过向量的头尾相连来理解。
对于两个向量A和B，将B的起点放在A的终点，然后从A的起点到B的终点就是A+B的向量和。
同样，将B的起点放在A的终点，然后从B的终点到A的起点就是A-B的向量差。
这些公式可以推广到更高维度的向量。
无论向量是二维、三维还是更高维度，向量加法和减法的原理都是类似的。
通过对应维度上的元素相加或相减，我们可以获得新的向量。
向量加法和减法的应用非常广泛。
在物理学中，我们经常使用向量来表示力、速度、位移等物理量，通过向量的加减法可以计算出它们的合成力、合成速度、合成位移等。
在工程学和计算机图形学中，向量加法和减法也经常被用于表示位置、方向、位移等。
向量减法运算及其几何意义汇总
向量减法运算及其几何意义汇总向量减法是数学中一种常见的运算方式，用于计算两个向量之间的差值。
它在几何上有重要的意义，可以表示位移、速度、加速度等物理量。
下面将详细介绍向量减法的定义、计算方法以及其几何意义。
1.向量减法的定义向量减法是指通过对两个向量进行相应元素之间的减法运算，得到一个新的向量。
设有两个向量A和A，它们的减法记作A-A，等于将向量A取反后与向量A进行加法运算。
即：A-A=A+(-A)2.向量减法的计算方法向量的减法通过对应分量的相减来完成。
设有两个向量A=(A1,A2,A3)和A=(A1,A2,A3)，则向量减法的计算公式为：A-A=(A1-A1,A2-A2,A3-A3)例如，对于向量A=(3,4,5)和A=(1,2,3)，它们的减法运算结果为：A-A=(3-1,4-2,5-3)=(2,2,2)3.向量减法的几何意义向量减法在几何上有重要的意义，可以表示位移、速度、加速度等物理量。
下面分别介绍它们的几何意义：3.1位移位移可以用向量来表示，通过一个点从起始位置到达终点位置的位移向量。
向量减法可以用来计算两个位置之间的位移向量。
设有两个位置A 和A，它们的坐标表示分别为A(A1,A1,A1)和A(A2,A2,A2)，则A-A即为A到A的位移向量。
例如，若A(1,2,3)为起始位置，A(4,6,8)为终点位置，则位移向量A-A=(4-1,6-2,8-3)=(3,4,5)。
3.2速度速度是定义为单位时间内位移的向量，可以用向量来表示。
当物体从位置A移动到位置A时，所产生的平均速度向量为A-A，即终点位置向量减去起始位置向量。
通过向量减法可以计算得到物体在单位时间内的平均速度向量。
例如，若物体从A(1,2,3)移动到A(4,6,8)，所产生的平均速度向量为A-A=(4-1,6-2,8-3)=(3,4,5)。
3.3加速度加速度是定义为单位时间内速度的改变率，也可以用向量来表示。
当物体从位置A移动到位置A时，速度变化的向量为终点速度向量减去起始速度向量。
向量加减法公式
向量加减法公式
向量加法和减法是在向量空间中进行的基本操作。
它们可以帮助我们计算多个向量之间的总和或差异。
向量加法的公式如下：
对于两个n维向量A和B，它们的和向量C可以表示为：
C = A + B = (A1 + B1, A2 + B2, ..., An + Bn)
例如，如果有两个二维向量A = (2, 3)和B = (1, -4)，它们的和向量C可以计算为：
C = (2 + 1, 3 + (-4)) = (3, -1)
向量减法的公式如下：
对于两个n维向量A和B，它们的差向量D可以表示为：
D = A - B = (A1 - B1, A2 - B2, ..., An - Bn)
例如，如果有两个二维向量A = (2, 3)和B = (1, -4)，它们的差向量D可以计算为：
D = (2 - 1, 3 - (-4)) = (1, 7)
向量加法和减法具有一些重要的性质：
1. 交换律：A + B = B + A，A - B ≠ B - A
2. 结合律：(A + B) + C = A + (B + C)，(A - B) - C ≠ A - (B -
C)
3. 零向量：对于任意向量A，都有A + 0 = A，A - 0 = A，其中0是全为零的向量。
在实际应用中，向量加法和减法可以用于计算两个向量的合力、位置变化等。
同时，它们也可以用于解决几何和物理问题，如平面几何中的位移、速度、加速度等概念。
向量的线性运算：减法
向量减法运算中的注意事项
注意向量的方向
在进行向量减法运算时，需要注意被减向量和减向量的方向。如果方向不一致，需要先进 行方向调整再进行减法运算。
注意向量的维度
被减向量和减向量必须具有相同的维度才能进行减法运算。如果维度不同，需要先进行维 度调整再进行减法运算。
注意结果的合理性
在进行向量减法运算后，需要检查得到的结果是否合理。例如，如果得到的结果向量为零 向量或不合理向量（如模长为负数），则需要重新检查计算过程并找出错误原因。
ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ位移的分解
当已知质点的合位移和其中一个分位移时， 可以通过向量的减法运算求出另一个分位移。 同样地，两个分位移的向量差即为质点的位 移变化量。
05
向量减法的计算技巧与注意
事项
向量减法的计算步骤
确定被减向量和减向量
在进行向量减法运算时，首先需要确定被减向量和减向量，即明 确要进行减法运算的两个向量。
向量的线性运算：减 法
• 向量减法的基本概念 • 向量减法的运算规则 • 向量减法在几何中的应用 • 向量减法在物理中的应用 • 向量减法的计算技巧与注意事项
目录
01
向量减法的基本概念
向量减法的定义
向量减法定义
设有两个向量a与b，它们的差a b是一个向量，其方向与a、b的方 向有关，大小等于a、b的大小之差。
坐标运算性质
坐标运算具有直观性和便捷性，方便进行向量的加减、数乘 等运算。同时，坐标运算也遵循向量加法的交换律和结合律 。
03
向量减法在几何中的应用
求解两点的距离
向量减法与距离公式
在二维或三维空间中，两点间的距离 可以通过对应向量的减法运算和模长 计算得到。
具体应用
向量的减法运算及其几何意义
向量的减法运算及其几何意义设有两个向量A和B，分别表示为A=(a1,a2,a3)和B=(b1,b2,b3)。
则A减去B的结果为一个新的向量C，表示为C=(a1-b1,a2-b2,a3-b3)。
例如，考虑向量A=(3,2)和B=(4,1)。
要计算A减去B，我们将A的分量减去B的分量，得到C=(3-4,2-1)=(-1,1)。
几何上，向量的减法运算可以通过向量的几何表示进行解释。
向量可以用箭头来表示，箭头的方向表示向量的方向，箭头的长度则表示向量的大小。
要进行向量的减法，在数学坐标系上，我们先将第一个向量A的起点放置在坐标原点，然后将A的尖端移动到相应的位置。
然后，我们将第二个向量B的起点放置在A的尖端，将B的尖端移动到相应的位置。
最后，连接A的起点和B的尖端，我们得到的向量就是A减去B的结果。
例如，在数学坐标系中，考虑向量A=(3,2)和B=(4,1)。
首先，将A 的起点放在原点，将A的尖端移动到坐标(3,2)的位置。
然后，将B的起点放在A的尖端，将B的尖端移动到坐标(4,1)的位置。
最后，连接A的起点和B的尖端，我们得到的向量就是A减去B的结果，即向量C=(-1,1)。
1.平移：向量的减法就好比是将一个向量平移一段距离再固定终点。
例如，在上述示例中，向量A减去向量B后得到向量C，可以看作是将向量A从原来的位置平移了一段距离再固定终点。
2.相反方向：向量的减法还可以理解为两个向量的相反方向的叠加。
当一个向量与另一个向量做减法时，可以将其中一个向量旋转180度，然后将它与另一个向量相加。
这个运算结果的向量方向与两个向量相反，且长度等于两个向量的差的长度。
3.差向量：向量的减法得到的结果称为差向量，它表示由一个向量指向另一个向量的方向和大小。
差向量的起点与被减去的向量的起点一致，终点与减去的向量的终点一致。
向量的减法在几何学、物理学、工程学等领域都有广泛的应用。
在几何学中，向量的减法常用于表示点的位移、距离、速度和加速度等概念。
向量的减法
问题: 一架飞机由北京飞往香港,然后再由香港返回 问题 一架飞机由北京飞往香港 然后再由香港返回 北京,我们把北京记作 我们把北京记作A点 香港记作 香港记作B点 那么这架飞 北京 我们把北京记作 点,香港记作 点,那么这架飞 机的位移是多少?怎样用向量来表示呢 怎样用向量来表示呢? 机的位移是多少 怎样用向量来表示呢 AB+BA=0
a c
a 与−b−c a c
相等吗？
a
c
用这三个向量画图后发现上面两个式子是相等的。 结论：与去括号法则 去括号法则相符 去括号法则
思考2：向量等式是否符合移项法则？ （画图过程自己
练习一下吧） 结论：符合
思 考
– a – b 1、若 a , b 是互为相反向量 那么 a =____, b =____, 、 是互为相反向量,那么 a + b =____ 0 2、 – （ – a ) = 、
a
a + b 的相反向量是 – ( a + b )
a加上b的相反向量叫做a与b的差， 加上b的相反向量叫做a 的差， a+(-b)=a即：a+(-b)=a-b。
2、作差向量的方法 、
已知:向量 求作:a 已知 向量a, b ,求作 - b 向量 求作
作法（ 首先在平面内任取一点O 作法（1）首先在平面内任取一点O
a B b -b B’ b
（） 3 OC = a −b
(2)作 = a ,OB = b OB′ = −b OA ，o·a CA边则
已知:向量 求作:a 已知 向量a, b ,求作 - b 向量 求作
作法（1）首先在平面内任取一点O 作法（ 首先在平面内任取一点O
(2)作 OA = a ,OB = b
向量的减法运算
方法二: 方法二
A a－b b a O b B
1.在平面上任取一点O，作向 量OA=a; a; 2.以O为始点作向量OB=－b; b; 3.连接BA，则向量BA=a－b. a b.
练习1. 如图，已知向量a b c d 求作向量 b c d 求作向量a 练习 如图，已知向量a,b,c,d,求作向量a-b,c-d.
首尾相接，首指向尾
二、知识详解 1、向量的减法：a-b= a+(－b) b b 已知向量a,b如图，如何作向量a+b a b a b a-b b a b O 方法一：作向量a与－b的和向量； b a-b b 方法二：（三角形法则）将向量 a,b的始点重合，由减向量b的终 B b b 点指向被减向量a的终点即为a-b a a b a －b b A C,作向量a－b． ab a b
a b (1) b O a B c A b B
a b (2)
a O A
例题２ 化简： 例题２．化简： (1)AB-AC+BD-CD; (2) OA+OC+BO+CO. 解:(1)原式=CB+BD-CD =CD-CD =0 (2)原式=(OA+BO）+（OC+CO） =(OA-OB）+0 =BA
三、例题讲解 例1 、已知向量a,b如图，求作a-b： a b a b a b
方法一: 方法一
1.在平面上任取一点Ａ，作向 量AB=a; a; －b b B a A 2.以B为始点作向量BC=－b; b; 3.连接AC，则向量AC=a－b. a b.
C
a－b b
三、例题讲解 例1 、已知向量a,b如图，求作a-b： a b a b a b
向量的减法运算
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D
C
a b a (b)
这就是说减去一个向量等于加上这个向量的相反向量。
例5、如下图(1)，已知向量 a 和 b ，求作向量 a b 。
解：在平面内任取一点O， 作 OA a ，OB b ，作向
量 BA ,如图（2）所示，则
a b OA OB BA
练习：P53练习 7－3 2
b a
a
由向量减法的定义，得
DB AB AD a b
练习：说出下列向量的差：
(1)AB AD
(2)BA BC
(3)OA OB
(4)DO AO
与向量 a 等长且方向相同的向量就是向量 a 或与 a
相等的向量。
我们把与向量 a 等长且方向相反 a 的向量叫做 a 的相反向量，记
a
做 a 。
议一议
（1）
ab A
B
b
a
O
（2）
课堂小结:
1．向量减法作图法则特点：两个向量有相同的始点 (指表示向量的有向线段的始点)，这两个向量的差是减 向量的终点(指表示向量的有向线段的终点)到被减向量 的终点的向量.
2．向量减法与加法作图法则的区别：减法作图法 则要求表示两个向量的有向线段的始点相同，加法作 图要求各个加向量首尾相连，两个向量的差是减向量 的终点到被减向量的终点的向量，而两向量和则是由 首(首：指表示向量的有向线段的始点)指向尾(尾：指 表示向量的有向线段的终点).
3、本节课主要体现了类比的数学思想方法。
布置作业：
1、复习向量的加法与减法运算； 2、书面作业：P53练习7－3 3；
3、预习7.2.3数乘向量。
练习：如图，填空：
(1)AB AD (2)BA BC (3)BC BA (4)OA OB (5)OD OA
D A
C
O B
向量 的0 相反向量是 它本身。
讨论： a (a) ?
“相反向量就是方向 相反的向量”这种 说法对吗？
答： a (a) 0
B
b
O
b
ab
a
A
a (b)
作OD b 观察左图并回答下列问题：
(1)OC ? 答：OC a (b) (2)向量BA与OC是什么关系？
答：相等向量。
因为BA＝a b,OC a (b),所以
Oa
这种求两个向量差的运算，叫做 A 向量的减法。
练 习：指出下列图形中，哪个向量是另外两个向量的差？
C
C
A
B
A
B
例4、如下图所示，已知平行四边形ABCD，AB a，AD b ，试
用向量 a与 b 分别表示向量 AC 和 DB 。
D
C
解：连结AC,DB,由向量加法
b
的平行四边形法则，有
A
B
AC AB AD a b
A
BA OA OB
已知向量 a， ，b 作 OA, a ,则由O向B量加b法的三角形法则，
得
我们把b 向B量A 叫a做向量 与 的差B，A记做 ，即a b
ab
BA a b OA OB
由此可见，如果把表示两个向量的有
B
向线段的始点放在一起，则这两个向量
b
的差是以减向量的终点为始点，被减向 量的终点为终点的向量。
复习提问
1．向量加法遵循什么运算法则？ 答：向量的加法遵循三角形法则和平行 四边形法则 2．向量加法满足哪些运算律？
答：（1）交换律 a b b a
（2）结合律 (a b) c a (b c)
现在请同学们观察下面图形并回答：哪个向量 是另外两个向量的和？
B OB BA OA
O