5轴对称的应用-将军饮马问题
轴对称的应用-将军饮马最短路径问题
QB、QB/，如图所示。
由轴对称的性质知
PB=PB/，QB=QB/
∴PA+PB=PA+PB/=AB/
QA+QB=QA+QB/
又∵AB/＜QA+QB/(两点之间线段最短或三角形中两边之和
大于第三边）
∴PA+PB＜ QA+QB
即此时点P使得PA+PB的值最小
B
A P L
Q
B/
典型例题：
1.要在河边修建一个水泵，分别向张村、李 庄送水（如图），修在河边什么地方，可使 所用水管最短？
照镜子：物和像关 于镜面成抽对称， 镜面上的任意一点 到物和像对应点的 距离相等。
探索新知 5、通过以上学习和讨论，你知道海伦是怎样帮 助将军解决问题的了吗？
B A
l
P B′
6、为什么这样找到的点P，就能使得PA+PB最短 呢？你能尝试证明吗？
探究新知
证明：在直线L上任意取不同于点P的一点Q，连接QA、
2、如图，A,B 两点位于直线L
A
的两侧，你能
在直线L上找一
点P，使得点p
到A、B两点距
离之和最短吗？
图形 B
A
O
L
L P
B
语言描述
两点之间，线段最短。
直线外一点与直线上 所有点的连线中，垂 线段最短。
将直线异侧的两点A、 B直接连接，交直线L 于点P，此时PA+PB 最短。
任务驱动 启迪智慧
问题
李庄
张村
●
●
3.如图，等腰三角形ABC的底边BC长为4，面积是 12，腰AB的垂直平分线EF分别交AB，AC于点E、 F，若点D为底边BC的中点，点M为线段EF上一动 点，则 BDM的周长的最小值为（ ）
七年级数学下册第五章轴对称的应用将军饮马问题课件(新版)北师大版
A P
B l
B′
6、为什么这样找到的点P，就能使得PA+PB最短呢？你能尝试证明吗？
探究新知
证明：在直线L上任意取不同于点P的一点Q，连接QA、QB、 QB/，如图所示。
∵PA+PB=PA+PB/=AB/ QA+QB=QA+QB/
又∵AB/＜QA+QB/(两点之间线段最短或三角形中两边之和大 于第三边）
∴PA+PB＜ QA+QB 即此时点P使得PA+PB的值最小
B
A P L
Q
B/
小试牛刀
如图所示，要在街道旁修建一个奶站，向居民区A、B提供牛 奶，已知居民区A、B分别距离街道1km、2km，两居民区水平距 离4km，请问奶站修建在什么地方才能使得A，B到它的距离之和 最短？最短距离是多少？
C
居民区A 街道
精通数学、物理学的海伦稍加思索，利用轴对称的知识回答了这 个问题．这个问题后来被称为“将军饮马问题”．
你知道海伦是如何帮助将军解决问题的吗？
B A
l
任务驱动 启迪智慧
问题
A
1、截至目前， 你学到那些最短 问题？
2、如图，A,B 两点位于直线L
A
的两侧，你能
在直线L上找一
点P，使得点p
到A、B两点距
直线段路径
课后拓展延伸
课后作业
1、如图，菱形ABCD中，AB=2， ∠BAD=600，E是AB 的中点，点P是对角线AC上的一个动点，请找出使得 PE+PB的值最小时点P的位置（找出位置即可）
D
A
P C
E B
课后拓展延伸
☆一点P,让PB与PA 的差最大，并给出证明！
利用轴对称思想解决最小值问题--谈“将军饮马问题”的应用及推广
ｙ
二 、将 军饮 马 问题
Ｃ
、
问题
如图 １ ，古 希 腊 一
位将军要从点 Ａ 出发 ，到河 边
ＭＮ 去 饮 马 ， 然 后 再 回 到 驻 地 。 点 曰 ．问 ：怎 样 选 择 饮 马 地 点 ， 才 能使 路 程 最 短 ？ 图１
Ｄ
Ｄ 图３
：
个 动 点 （ 与 点 ０ 重合 ） 不 ．
（ ） 证 ：无 论 点 Ｐ运 动 到 何 处 ，Ｐ １求 Ｃ总 与 Ｐ 相等 ； Ｄ （ ） 点 Ｐ运 动 到 与 点 的 距 离 最 小 时 ，试 确 定 过 ０、Ｐ ２ 当 、
解 析 ：在 河 边 饮 马 的 地 点 有 多 处 ，把 这些 地 点 与 Ａ、口两 点 Ｄ 三 点 的 抛 物 线 的 解 析 式 ； （ ） 点 Ｅ是 （） ３设 ２ 中所 确 定 抛 物线 的顶 点 ，当点 Ｐ运 动 到何 处 时 ，ＡＰ Ｅ 的 周 长 最 小 ？ 求 出此 时点 Ｐ 的坐 标 和 ＡＰ Ｅ 的周 长 ； Ｄ Ｄ （ ） 点 Ⅳ 是 矩 形 Ｏ Ｂ 的 对 称 中心 ，是 否 存 在 点 Ｐ，使 ４设 Ａ Ｃ
四边形 、圆 、立体 图形等 ，其中轴对 称图形特 别受到 中考 命题 者 的青 睐．如 ，等腰直 角三角形 、等边三角形 、正方形 、菱形 、 矩形 、圆，都 能利用 “ 将军饮 马” 问题 的数学模 型 ，设置 “ 求 定直线上一动点 与直线外两定点 的距离之和 的最小值”问题．
（ ） 三 角 形 、 四边 形 中的 应 用 １在
强 ．这 类 问题 成 为很 多 学 生 的 “ 碍 ” 者 通 过 建模 思 想 把 这 的饮 马 地 点 ． 障 ．笔
类 问题 化 归为 “ 军饮 马 问题 ” 和 “ 军 饮 马 问题 的推 广 ” 将 将 ，利
第五章、轴对称与将军饮马及折叠综合习题汇总
是题库不是教案Jt 第五章、轴对称与将军饮马及折叠综合习题汇总一、轴对称与将军饮马1．如图，要在街道l上修建一个奶吧D（街道用直线l表示）．（1）若奶吧D向小区A，B提供牛奶如图①，则奶吧D应建在什么地方，才能使它到小区A，B的距离之和最短？（2）若奶吧D向小区A，C提供牛奶如图②，则奶吧D应建在什么地方，才能使它到小区A，C的距离之和最短？2．传说在古罗马时代的亚历山大城有一位精通数学和物理的学者，名叫海伦。
一天，一位将军专程去拜访他，想他请叫一个百思不得其解的问题。
将军每天都从军营A出发（如图），先到河边C处饮马，然后再去河岸的同侧B开会，他应该怎样走才能使路程最短？据说当时海轮略加思索就解决了它。
3．白日登山望烽火，黄昏饮马傍交河．诗中隐含着一个有趣的数学问题：诗中将军在观望烽火之后从山脚上的A点出发，奔向小河旁边的P点饮马，饮马后再到B点宿营，若A、B到水平直线L（L表示小河）的距离分别是2，1，AB两点之间水平距离是4，则AP+PB最小值=_____________．4．下图，要在燃气管道L上修建一个泵站，分别向A、B两镇供气．泵站修在管道的什么地方，可使所用的输气管线最短？（不写做法，保留作图痕迹））的内部A处，5．如图，邮递员小王的家在两条公路OM和ON相交成的角（MON小王每天都要到开往OM方向的车上取下快件，然后再送到开往ON方向的车上，这样他就可以回家了，为使小王每天接送快件时的行程最短，请帮助他找出在公路OM和ON上的等车地点．（画草图，保留作图痕迹）6．有一个养鱼专业户，在如图所示地形的两个池塘里养鱼，他每天早上要从住处P分别前往两个池塘投放鱼食，试问他怎样走才能以最短距离回到住地？7．在某一地方，有条小河和草地，一天某牧民的计划是从A处的牧场牵着一只马到草地牧马，再到小河饮马，你能为他设计一条最短的路线吗？（在N上任意一点即可牧马，M上任意一点即可饮马．）（保留作图痕迹，需要证明）8．如图，牧马人从A地出发，先到草地边某一处牧马，再到河边饮马，然后回到B处，请画出最短路径．是题库不是教案Jt9．按要求作图（1）已知线段AB和直线l，画出线段AB关于直线l的对称图形；（2）如图,牧马人从A地出发,先到草地边某一处牧马，再到河边饮马，然后回到B处.请画出最短路径.10．作图题（1）如图1，在长度为1个单位长度的小正方形组成的正方形中，点A、B、C在小正方形的顶点上．①在图中画出与△ABC关于直线l成轴对称的△AB′C′；②在直线l上找一点P，使PB+PC的长最短．（2）利用网格（图2）作图，请你先在图中的BC边上找一点P，使点P到边AB、AC 的距离相等，再在射线AP上找一点Q，使QB=QC．11．(1)如图，阴影部分是由5个小正方形组成的一个直角图形，请用3种方法分别在下图方格内添涂黑二个小正方形，使阴影部分成为轴对称图形．（2）如图，在长度为1个单位长度的小正方形组成的正方形中，点A、B、C在小正方形的顶点上．①在图中画出与△ABC关于直线l成轴对称的△AB′C′；②△ABC的面积为____________；③在直线l上找一点P，使PB＋PC的长最短.12．在边长为1的小正方形组成的正方形网格中建立如图所示的平面直角坐标系，已知格点三角形ABC（三角形的三个顶点都在小正方形的顶点上）．(1) 画出△ABC关于y轴对称的△A1B1C1(2) 写出点A1、B1、C1的坐标(3) 在y轴上找D点，使BD+CD最小,由图写出D坐标(保留作图痕迹)13．如图,方格纸中每个小正方形的边长都是单位1,△ABC的三个顶点都在格点(即这些小正方形的顶点)上,且它们的坐标分别是A(2,−3),B(5,−1),C(−1,3)，结合所给的平面直角坐标系，解答下列问题：是题库不是教案Jt(1)请在如图坐标系中画出△ABC；(2)画出△ABC关于x轴对称的△A′B′C′，并写出△A′B′C′各顶点坐标；(3)在x轴上找一点P，使PA+PB的值最小。
2021年中考数学复习讲义：第五章 轴对称 模型(十八)——将军饮马模型
第五章.轴对称模型（十八）——将军饮马模型一、（河）和两旁模型1 如图，定点A，B分布在定直线l的两侧，在直线l上找一点P，使得PA＋PB的值最小.【作法】如图，连接 AB，与直线 l的交点即为所求点P.模型2 如图，定点A，B分布在定直线l的同侧，在直线l上找一点P，使得PA+PB的值最小【作法】如图，作点B关于直线l的对称点B＇，连接AB＇，与直线l的交点即为所求点P.模型讲解模型3 如图，点P为角内一点，在射线OA，OB上分别找点M，N，使得△PMN的周长最小.【作法】如图，分别作点 P关于两射线OA，OB的对称点P₁和P₂，连接 P₁P₂，与两射线的交点即为所求点 M，N。
模型4 如图，M，N为角内的两个定点，在射线OA，OB上分别找点P，Q，使得四边形PQMN的周长最小【作法】如图，分别作点M，N关于射线OA，OB的对称点M＇和N＇，连接 M＇N＇，与两射线的交点即为所求点P，Q .模型5 如图，P为角内的一个定点，在射线OA，OB上分别找点M，N使得PM+MN的最小【作法】如图，作点P关于射线OA的对称点P＇，过点P＇作P＇N⊥OB，垂足为N，与两射线OA，OB的交点即为所求点M，N .模型6如图，直线l₁∥l₂，A，B分别为l₁上方和l₂下方的定点（直线AB不与l₁垂直），在l₁,l₂上分别求点P,Q ,使得PQ⊥l₁，且AP+PQ+QB的值最小【作法】如图，将点A向下平移，使AA＇=PQ，连接 A＇B，交l₂于点 Q，过点 Q 作 PQ⊥l₁于点 P，则点 P和点 Q 即为所求.模型7如图，定点A，B分布在定直线l的同侧，线段PQ=a（定长）在l上移动, 在直线l上找点P,Q ,使得AB+AP+PQ+QB的值最小【作法】如图，作点A的对称点A＇，将点A＇平移到A "，使A＇A "=PQ，且A＇A 〞∥l,连接 A〞B，交l于点 Q，过点 Q 在l上取PQ=a（P点在 Q左侧），则点 P和点 Q 即为所求（和两旁）口诀【总结】研究几何最值：⑴两点之间，线段最短⑵垂线段最短二、差同旁模型8如图，定点A，B分布在定直线l的同侧，在直线l上找一点P，使得∣PA－PB∣的值最小【作法】如图，作线段AB的垂直平分线PQ，交l于点P，则点P即为所求模型9 如图，定点A，B分布在定直线l的同侧，在直线l上找一点P，使得∣PA－PB∣的值最大【作法】如图，连接AB ，交l于点P ，则点P即为所求模型10 如图，定点A，B分布在定直线l的两侧，在直线l上找一点P，,使得∣PA－PB∣的值最大【作法】如图，作点B的对称点B＇，连接 AB＇交l于点P ，则点P即为所求典例1 ☆☆☆☆☆如图，∠AOB=30°，OC为∠AOB内部的一条射线，P为射线OC上一点，OP=4，点M，N分别为OA，OB边上的动点，则△PMN周长的最小值为（）.A.2B.4C.8D.43典例秒杀【答案】B【解析】如图，作点P关于OA 的对称点P₁，作点P关于OB的对称点P₂，连接 P ₁P₂，与OA的交点为点M，与OB的交点为点 N，则 PM=P1M，PN=P2N.此时，△PMN 的周长最小，为PM﹢MN﹢PN =P1M +MN+P2N=P1P2.连接OP1，OP2，则 OP1=OP2=OP=4.又∵∠P1OP2＝2∠AOB= 60°，∴△OP1P2是等边三角形，∴P1P2=OP1=4，△PMN周长的最小值是4.故选 B.典例2 ☆☆☆☆☆四边形 ABCD中，∠BAD=130°，∠B=∠D=90°，在 BC，CD上分别找一点M，N，使△AMN的周长最小，则∠AMN＋∠ANM的度数为（）.A.80°B.90°C.100°D.130°【答案】C【解析】如图，延长线段 AB到点 A＇使得 BA＇=AB，延长线段AD到点A"使得DA"=AD，连接 A＇A"，与 BC，CD分别交于点 M,N,此时△AMN的周长最小.∵∠ABC=∠ADC=90°,∴点 A，A＇关于直线 BC对称，点 A，A"关于直线 CD 对称.∵BA=BA＇,MB⊥AB,.MA=MA＇.同理，NA=NA"，∴∠A＇=∠MAB，∠A"=∠NAD.∵∠AMN=∠A＇+∠MAB=2∠A＇,∠ANM=∠A"+ ∠NAD=2∠A",∴∠AMN+∠ANM=2(∠A＇+∠A").又∵∠BAD=130°，∴∠A＇+∠A"=180°-∠BAD=50°∴∠AMN+∠ANM=100°.故选C.。
2020中考数学专题8——最值问题之将军饮马 -含答案
【模型解析】2020 中考专题 8——最值问题之将军饮马班级姓名.总结：以上四图为常见的轴对称类最短路程问题，最后都转化到：“两点之间，线段最短”解决。
特点：①动点在直线上；②起点，终点固定；方法：作定点关于动点所在直线的对称点。
【例题分析】例1.如图，在平面直角坐标系中，Rt△OAB 的顶点A 在x 轴的正半轴上，顶点B 的坐标为(3，3 )，点C 的坐标为(1，0)，点2P 为斜边OB 上的一动点，则PA＋PC 的最小值为．例 2.如图，在五边形ABCDE 中，∠BAE＝120°，∠B＝∠E＝90°，AB＝BC＝1，AE＝DE＝2，在BC、DE 上分别找一点M、N．(1)当△AMN 的周长最小时，∠AMN＋∠ANM＝；(2)求△AMN 的周长最小值．例3.如图，正方形ABCD 的边长为 4，点E 在边BC 上且CE＝1，长为 2 的线段MN 在AC 上运动．(1)求四边形BMNE 周长最小值；(2)当四边形BMNE 的周长最小时，则tan∠MBC 的值为．例4.在平面直角坐标系中，已知点A(一 2，0)，点B(0，4)，点E 在OB 上，且∠OAE＝∠OB A．如图，将△AEO 沿x 轴向右平移得到△AE′O′，连接A'B、BE'．当AB＋BE'取得最小值时，求点E'的坐标．例5.如图，已知正比例函数y＝kx(k＞0)的图像与x轴相交所成的锐角为70°，定点A的坐标为(0，4)，P 为y 轴上的一个动点，M、N 为函数y＝kx(k＞0)的图像上的两个动点，则AM＋MP＋PN 的最小值为．【巩固训练】1.如图1 所示，正方形ABCD 的面积为12，△ABE 是等边三角形，点E 在正方形ABCD 内，在对角线AC 上有一点P，使PD＋PE 的和最小，则这个最小值为．图1 图2 图3 图42.如图2，在菱形ABCD 中，对角线AC＝6，BD＝8，点E、F、P 分别是边AB、BC、AC 上的动点，PE＋PF 的最小值是．3.如图3，在边长为2 的等边△ABC 中，D 为BC 的中点，E 是AC 边上一点，则BE＋DE 的最小值为．4.如图 4，钝角三角形ABC 的面积为 9，最长边AB＝6，BD 平分∠ABC，点M、N 分别是BD、BC 上的动点，则CM＋MN 的最小值为．5.如图5，在△ABC 中，AM 平分∠BAC，点D、E 分别为AM、AB 上的动点，＝6，则BD＋DE的最小值为(1)若AC＝4，S△ABC(2)若∠BAC＝30°，AB＝8，则BD＋DE 的最小值为．(3)若AB＝17，BC＝10，CA＝21，则BD＋DE 的最小值为．6.如图6，在△ABC中，AB＝BC＝4，S△ABC＝4一点，则PK＋QK 的最小值为．，点P、Q、K 分别为线段AB、BC、AC 上任意图6 图7 图8 图97.如图7，AB 是⊙O 的直径，AB＝8，点M 在⊙O 上，∠MAB＝20°，N 是弧MB 的中点，P 是直径AB 上的一动点，则PM＋PN 的最小值为．8.如图 8，在锐角△ABC 中，AB＝4，∠BAC＝45°，∠BAC 的平分线交BC 于点D，M、N 分别是AD 和AB 上的动点，则BM＋MN 的最小值是．9.如图 9，圆柱形玻璃杯高为 12cm、底面周长为 18cm，在杯内离杯底 4cm 的点C 处有一滴蜂蜜，此时一只蚂蚁正好在杯外壁，离杯上沿 4cm 与蜂蜜相对的点A 处，则蚂蚁到达蜂蜜的最短距离为cm．10.如图 10，菱形OABC 中，点A 在x 轴上，顶点C 的坐标为(1，OC、OB 上，则CE＋DE＋DB 的最小值是．)，动点D、E 分别在射线图10 图11 图12 图1311.如图 11，点A(a，1)、B(－1，b)都在双曲线y＝－3(x＜0)上，点P、Q 分别是x 轴、y 轴上x的动点，当四边形PABQ 的周长取最小值时，PQ 所在直线的解析式是．12.如图12，点P 是∠AOB 内任意一点，OP＝5cm，点M 和点N 分别是射线OA 和射线OB 上的动点，△PMN 周长的最小值是5cm，则∠AOB 的度数是．13.如图13，∠AOB＝30°，点M、N 分别在边OA、OB 上，且OM＝1，ON＝3，点P、Q 分别在边OB、OA 上，则MP＋PQ＋QN 的最小值是．14.如图 14，在Rt△ABC 中，∠ACB＝90°，点D 是AB 边的中点，过D 作DE⊥BC 于点E． (1)点P 是边BC 上的一个动点，在线段BC 上找一点P，使得AP＋PD 最小，在下图中画出点P； (2)在(1)的条件下，连接CD 交AP 于点Q，求AQ 与PQ 的数量关系；图 143315. 在矩形 ABCD 中，AB ＝6，BC ＝8，G 为边 AD 的中点．(1) 如图 1，若 E 为 AB 上的一个动点，当△CGE 的周长最小时，求 AE 的长．(2) 如图 2，若 E 、F 为边 AB 上的两个动点，且 EF ＝4，当四边形 CGEF 的周长最小时，求 AF的长．16. 如图，抛物线 y = - 1x 2+ 2x + 4 交y 轴于点B ，点A 为x 轴上的一点，OA =2，过点A 作直线MN ⊥ AB2 交抛物线与 M 、N 两点. （1） 求直线 AB 的解析式；（2） 将线段 AB 沿 y 轴负方向平移 t 个单位长度，得到线段 A 1B 1 ，求 MA 1 + MB 1 取最小值时实数 t 的值.33172020 中考专题 8——最值问题之将军饮马参考答案例1.解：作A 关于OB 的对称点D，连接CD 交OB 于P，连接AP，过D 作DN⊥OA 于N，则此时PA＋PC 的值最小，∵DP＝PA，∴PA＋PC＝PD＋PC＝CD，∵B(3，)，∴AB＝，OA＝3，∵tan∠AOB＝AB＝3，∴∠AOB＝30°，∴OB＝2AB＝2 ，OA 31 1 3 3由三角形面积公式得：×OA×AB＝2×OB×AM，∴AM＝2，∴AD＝2×2＝3，2∵∠AMB＝90°，∠B＝60°，∴∠BAM＝30°，∵∠BAO＝90°，∴∠OAM＝60°，∵DN⊥OA，∴∠NDA＝30°，∴AN＝1AD＝23，由勾股定理得：2DN＝33 ，2∵C(1，0)，∴CN＝3﹣1﹣2 23＝1，在Rt△DNC 中，由勾股定理得：DC＝，2 2即PA＋PC 的最小值是31．2例2.解：作A 关于BC 和ED 的对称点A′，A″，连接A′A″，交BC 于M，交ED 于N，则A′A″即为△AMN 的周长最小值．⑴作EA 延长线的垂线，垂足为H，∠BAE＝120°，∴∠AA′A″＋∠AA″A′＝60°，∠AA′A″＝∠A′AM，∠AA″A′＝∠EAN，∴∠CAN＝120°－∠AA′A″－∠AA″A′＝60°，也就是说∠AMN＋∠ANM＝180°－60°＝120°.⑵过点A′作EA 延长线的垂线，垂足为H，∵AB＝BC＝1，AE＝DE＝2，∴AA′＝2BA＝2，AA″＝2AE＝4，则Rt△A′HA 中，∵∠EAB＝120°，∴∠HAA′＝60°，∵A′H⊥HA，∴∠AA″H＝30°，∴AH＝1AA′＝1，∴A′H＝2，A″H＝1＋4＝5，∴A′A″＝2 ，例3.解：作EF∥AC 且EF＝于P，，连结DF 交AC 于M，在AC 上截取MN＝，延长DF 交BC 作FQ⊥BC 于Q，作出点E 关于AC 的对称点E′，则CE′＝CE＝1，将MN 平移至E′F′处，3332242 - 22 3 3 则四边形 MNE ′F ′为平行四边形，当 BM ＋EN ＝BM ＋FM ＝BF ′时，四边形 BMNE 的周长最小， 由∠FEQ ＝∠ACB ＝45°，可求得 FQ ＝EQ ＝1，∵∠DPC ＝∠FPQ ，∠DCP ＝∠FQP ，∴△PFQ ∽△PDC ， ∴PQ PQ + QE + EC ＝ PQ ，∴ CD PQ PQ + 2 1 ＝ ，解得：PQ ＝ 4 2 ，∴PC ＝ 8 ，3 3由对称性可求得 tan ∠MBC ＝tan ∠PDC ＝ 2 ．3例 4.【提示】将△AEO 向右平移转化为△AEO 不动，点 B 向左平移，则点 B 移动的轨迹为一平行于 x 轴的直线，所以作点 E 关于该直线的对称点 E 1，连接 AE 1，与该直线交点 F 即为最小时点 B 的位置，求出 BF 长度即可求出点 E 向右平移的距离．例 5.解：如图所示，直线 OC 、y 轴关于直线 y ＝kx 对称，直线 OD 、直线 y ＝kx 关于 y 轴对称，点A ′是点 A 关于直线 y ＝kx 的对称点．作 A ′E ⊥OD 垂足为 E ，交 y 轴于点 P ，交直线 y ＝kx 于 M ，作 PN ⊥直线 y ＝kx 垂足为 N ， ∵PN ＝PE ，AM ＝A ′M ，∴AM ＋PM ＋PN ＝A ′M ＋PM ＋PE ＝A ′E 最小(垂线段最短)， 在 RT △A ′EO 中，∵∠A ′EO ＝90°，OA ′＝4，∠A ′OE ＝3∠AOM ＝60°， ∴OE ＝1OA ′＝2，A ′E ＝ ＝2 ．2 ∴AM ＋MP ＋PN 的最小值为 2 ．333337【巩固训练】答案1.解：连接BD，∵点B 与D 关于AC 对称，∴PD＝PB，∴PD＋PE＝PB＋PE＝BE 最小．∵正方形ABCD 的面积为 12，∴AB＝2又∵△ABE 是等边三角形，∴BE＝AB＝2，，故所求最小值为2 ．2.解：∵四边形ABCD 是菱形，对角线AC＝6，BD＝8，∴AB＝5，作E 关于AC 的对称点E′，作E′F⊥BC 于F 交AC 于P，连接PE，则E′F 即为PE＋PF 的最小值，∵1⋅AC⋅BD＝AD⋅E′F，∴E′F＝24，∴PE＋PF 的最小值为24.2 5 53.解：作B 关于AC 的对称点B′，连接BB′、B′D，交AC 于E，此时BE＋ED＝B′E＋ED＝B′D，根据两点之间线段最短可知B′D 就是BE＋ED 的最小值，∵B、B′关于AC 的对称，∴AC、BB′互相垂直平分，∴四边形ABCB′是平行四边形，∵三角形ABC 是边长为2，D 为BC 的中点，∴AD⊥BC，AD＝，BD＝CD＝1，BB′＝2AD＝2 ，作B′G⊥BC 的延长线于G，∴B′G＝AD＝，在Rt△B′BG 中，BG＝3，∴DG＝BG﹣BD＝3﹣1＝2，在Rt△B′DG 中，B′D＝．故BE＋ED 的最小值为7 ．4.解：过点C 作CE⊥AB 于点E，交BD 于点M，过点M 作MN⊥BC 于N，∵BD 平分∠ABC，ME⊥AB 于点E，MN⊥BC 于N，∴MN＝ME，∴CE＝CM＋ME＝CM＋MN 是最小值．∵三角形ABC 的面积为 9，AB即CM＋MN 的最小值为 3．＝6，∴12×6⋅CE＝9，∴CE＝3．333335.提示：作点E 关于AM 的对称点E′，BH⊥AC 于H，易知BD＋DE 的最小值即为BH 的长. 答案：(1)3；(2)4；(3)8．6.解：如图，过A 作AH⊥BC 交CB 的延长线于H，∵AB＝CB＝4，S△ABC＝4，∴AH＝2，∴cos∠HAB＝AH＝2 3＝3，∴∠HAB＝30°，∴∠ABH＝60°，∴∠ABC＝120°，AB 4 2∵∠BAC＝∠C＝30°，作点P 关于直线AC 的对称点P′，过P′作P′Q⊥BC 于Q 交AC 于K，则P′Q 的长度＝PK＋QK 的最小值，∴∠P′AK＝∠BAC＝30°，∴∠HAP′＝90°，∴∠H＝∠HAP′＝∠P′QH＝90°，∴四边形AP′QH 是矩形，∴P′Q＝AH＝2 ，即PK＋QK 的最小值为2 ．7.解：作点N 关于AB 的对称点N′，连接OM、ON、ON′、MN′，则MN′与AB 的交点即为PM＋PN 的最小时的点，PM＋PN 的最小值＝MN′，∵∠MAB＝20°，∴∠MOB＝2∠MAB＝2×20°＝40°，∵N 是弧MB 的中点，∴∠BON＝12∠MOB＝1×40°＝20°，2由对称性，∠N′OB＝∠BON＝20°，∴∠MON′＝∠MOB＋∠N′OB＝40°＋20°＝60°，∴△MON′是等边三角形，∴MN′＝OM＝OB＝1AB＝18 ＝4，2 2∴PM＋PN 的最小值为 4，22338.解：如图，作BH⊥AC，垂足为H，交AD 于M′点，过M′点作M′N′⊥AB，垂足为N′，则BM′＋M′N′为所求的最小值．∵AD 是∠BAC 的平分线，∴M′H＝M′N′，∴BH 是点 B 到直线AC 的最短距离，∵AB＝4，∠BAC＝45°，∴BH＝AB sin45°＝4×2＝2 ．2∵BM＋MN 的最小值是BM′＋M′N′＝BM′＋M′H＝BH＝2 ．9.解：沿过A 的圆柱的高剪开，得出矩形EFGH，过C 作CQ⊥EF 于Q，作A 关于EH 的对称点A′，连接A′C 交EH 于P，连接AP，则AP＋PC 就是蚂蚁到达蜂蜜的最短距离，∵AE＝A′E，A′P＝AP，∴AP＋PC＝A′P＋PC＝A′C，∵CQ＝1×182cm＝9cm，A′Q＝12cm﹣4cm＋4cm＝12cm，在Rt△A′QC 中，由勾股定理得：A′C＝15cm，故答案为：15．10.解：连接AC，作B 关于直线OC 的对称点E′，连接AE′，交OC 于D，交OB 于E，此时CE＋DE＋BD 的值最小，∵四边形OCBA 是菱形，∴AC⊥OB，AO＝OC，即A 和C 关于OB 对称，∴CE＝AE，∴DE＋CE＝DE＋AE＝AD，∵B 和E′关于OC 对称，∴DE′＝DB，∴CE＋DE＋DB＝AD＋DE′＝AE′，过C 作CN⊥OA 于N，∵C(1，)，∴ON＝1，CN＝，由勾股定理得：O C＝2，即AB＝BC＝OA＝OC＝2，∴∠CON＝60°，∴∠CBA＝∠COA＝60°，∵四边形COAB 是菱形，∴BC∥OA，∴∠DCB＝∠COA＝60°，∵B 和E′关于OC 对称，∴∠BFC＝90°，∴∠E′BC＝90°﹣60°＝30°，∴∠E′BA＝60°＋30°＝90°，CF＝1BC＝1，由勾股定理得：BF＝2＝E′F，在Rt△EBA 中，由勾股定理得：AE′＝4，即CE＋DE＋DB 的最小值是 4．310 ⎩⎩11.解：把点 A (a ，1)、B (﹣1，b )代入 y ＝﹣ 3(x ＜0)得 a ＝﹣3，b ＝3，则 A (﹣3，1)、B (﹣1，x3)，作 A 点关于 x 轴的对称点 C ，B 点关于 y 轴的对称点 D ，所以 C 点为(﹣3，﹣1)，D 点为(1， 3)，连结 CD 分别交 x 轴、y 轴于 P 点、Q 点，此时四边形 PABQ 的周长最小，设直线 CD 的解析式为 y ＝kx ＋b ，则⎧-3k + b = -1 ，解得⎧k = 1，所以直线 CD 的解析式为 y ＝x ＋2．⎨k + b = 3 ⎨b = 212.解：分别作点 P 关于 OA 、OB 的对称点 C 、D ，连接 CD ，分别交 OA 、OB 于点 M 、N ，连接 OC 、OD 、PM 、PN 、MN ，如图所示：∵点 P 关于 OA 的对称点为 D ，关于 OB 的对称点为 C ，∴PM ＝DM ，OP ＝OD ，∠DOA ＝∠ POA ；∵点 P 关于 OB 的对称点为 C ，∴PN ＝CN ，OP ＝OC ，∠COB ＝∠POB ， ∴OC ＝OP ＝OD ，∠AOB ＝1∠COD ，2∵△PMN 周长的最小值是 5cm ，∴PM ＋PN ＋MN ＝5，∴DM ＋CN ＋MN ＝5，即 CD ＝5＝OP ， ∴OC ＝OD ＝CD ，即△OCD 是等边三角形，∴∠COD ＝60°，∴∠AOB ＝30°；13 解：作 M 关于 OB 的对称点 M ′，作 N 关于 OA 的对称点 N ′，连接 M ′N ′，即为 MP ＋PQ ＋QN 的最小值．根据轴对称的定义可知：∠N ′OQ ＝∠M ′OB ＝30°，∠ONN ′＝60°， ∴△ONN ′为等边三角形，△OMM ′为等边三角形，∴∠N ′OM ′＝90°， ∴在 Rt △M′ON′中，M ′N ′＝ ．故答案为 ．10314.解：(1)作点 A 关于BC 的对称点 A′，连 DA′交BC 于点P.(2)由(1)可证得PA 垂直平分CD，∴AQ＝CQ＝3PQ15.解：(1)∵E 为AB 上的一个动点，∴作G 关于AB 的对称点M，连接CM 交AB 于E，那么E 满足使△CGE 的周长最小；∵在矩形ABCD 中，AB＝6，BC＝8，G 为边AD 的中点，∴AG＝AM＝4，MD＝12，而AE∥CD，∴△AEM∽△DCM，∴AE：CD＝MA：MD，∴AE＝CD ⨯MA＝2；MD(2)∵E 为AB 上的一个动点，∴如图，作G 关于AB 的对称点M，在CD 上截取CH＝4，然后连接HM 交AB 于E，接着在EB 上截取EF＝4，那么E、F 两点即可满足使四边形CGEF 的周长最小．∵在矩形ABCD 中，AB＝6，BC＝8，G 为边AD 的中点，∴AG＝AM＝4，MD＝12，而CH＝4，∴DH＝2，而AE∥CD，∴△AEM∽△DHM，∴AE：HD＝MA：MD，∴AE＝HD ⨯MAMD＝2，3∴AF ＝4＋2＝14．3 316.解：（1）依题意，易得B（0，4），A（2，0），则AB解析式：y=-2x+4（2）∵AB⊥MN∴直线MN：y =1x - 12⎧y =-1x2+ 2x + 4⎪与抛物线联立可得：⎨⎪y =⎩21x - 1 2解得：M（-2，-2）将AB向负方向平移t个单位后，A1（2，-t），B1（0，4-t）则A1 关于直线x=-2 的对称点A2 为（-6，-t）当A2、M、B1 三点共线时，MA1 +MB1取最小值∴t =143。
中考复习《轴对称》之“将军饮马”问题
《轴对称》之“将军饮马”问题“将军饮马”的起源:早在古罗马时代，传说亚历山大城有一位精通数学和物理的学者，名叫海伦．一天，一位罗马将军专程去拜访他，向他请教一个百思不得其解的问题．将军每天从军营A出发，先到河边饮马，然后再去河岸同侧的军营B开会，应该怎样走才能使路程最短？这个问题的答案并不难，据说海伦略加思索就解决了它．而从此以后，这个被称为“将军饮马”的问题便流传至今．【图示】【分析】l，我们把俯视图视角的问题抽象化，数学化，将河流看作一条直线军营看作一个点，转化为一个路程之和的最短问题．即如下图：直线同侧有两点A，B，在直线上选取一点C，使得AC＋BC最短．在思考这个问题之前，我们先来回忆下初一上学期中，涉及线段最短的两个重要结论：1、两点之间，线段最短．2、垂线段最短．请各位同学务必记住，初中阶段的几何最值问题，最后几乎都可以转化为通过这两个结论来求得．如果“将军饮马”问题不能很快回答，那么我们先看这个问题，假如军营A，B在河的两岸，那么这个点C在哪呢？很简单，连接AB，与直线l的交点即为点C．理由，两点之间，线段最短．(当然也可以用三角形一边小于两边之和)那么回到原先的问题，即军营A，B在河的同侧，该如何思考就不难了．根据线段对称性，只需作点A关于直线l的对称点A’，连接A’B，与直线l的交点即为点C．【解答】如图【变式1】若将军骑马从军营出发，先骑马去草地边吃草，再牵马去河边喝水，最后回到军营，问：这位将军怎样走路程最短？【图示】【分析】我们同样把这个问题转化为熟悉的数学问题，把军营看作一个点，而把草地边和河边看作两条直线，当然在图示中，这两条直线相交，形成了OM 上一个角．问题即转化为，如下图：在∠MON 的内部有一点A，在找一点B，在ON上找一点C，使得△BAC周长最短．若点C位置确定，要求AB＋BC最短，同学们肯定已经知道，作点 A 关于OM的对称点A’，连接A’C即可，但现在点C的位置不确定，而若点B位置确定，要求AC＋BC最短，则作点A关于ON的对称点A’’，连接A’’B即可．想到这，分别作点A关于OM，ON的对称点，问题不就迎刃而解了吗？【解答】如图，作点A关于OM的对称点A’，作点A关于ON的对称点A’’，OM 交于点B，与ON交于点C，连接AB，AC，连接A’A’’，与△ABC即为所求．【变式2】若将军骑马从军营出发，先骑马去草地边吃草，再牵马去河边喝水，最后把马牵回马厩，步行回到军营，问：这位将军怎样走路程最短？【图示】【分析】首先，将问题转化为如下图：在∠OM上找一点C，在ON上找一点MON 的内部有点D，使得四边形ABCDA和点B，在周长最短．从马厩步行回军营，则必然“两点之间，线段最短”，问题转化为求AC＋CD＋DB的最小值，方法与变式2类似，过点A作OM的对称点，过点B作ON 的对称点即可．【解答】如图，作点A关于OM 的对称点A’，作点B关于ON的对称点B’，连接A’B’，与OM 交于点C，与ON交于点D，连接AC，BD，AB，四边形ABCD 即为所求．【总结&反思】我们已经知道，类似的“将军饮马”问题，最关键的就是要作对称，但怎么做，可能大家并不是十分明确，我们再来好好体会一下：首先，明确定点，定线，动点．军营，马厩，这些不动的点，即为定点．河边，草地边，这些不动的线，即为定线．河边的饮马点，草地边的吃草点等，这些不确定的点，即为动点．1．必然是作定点关于定线的对称点！2．作的次数需要看动点个数！有几个动点在哪些定线上，那么相应的定点就要做关于这些定线的对称点．原题，只要在一条定线(河边)上找一个动点(饮马点)，那只需作定点(军营A)关于定线(河边)的一个对称点．变式1，要在两条定线(河边)(草地边)找两个动点(饮马点)(吃草点)，则需要作作定点(军营)关于定线(河边)(草地边)的两个对称点，即两次．变式2，要在两条定线(河边)(草地边)找两个动点(饮马点)(吃草点)，则需要作作定点(军营)关于定线(河边)的对称点与定点(马厩)关于定线(草地边)的对称点，也是2个，即2次．3．作完对称点如何连接也需看作对称次数！1. 原题，把对称点直接连接另一个定点(军营B)，则连线与定线(河边) 上的交点，即为动点(饮马点)．2. 变式1，把两个对称点连接，与定线(河边)(草地边)上的交点即为动点(饮马点)(吃草点)，分别与定点(军营A)相连．3. 变式2，把两个对称点连接，与定线(河边)(草地边)上的交点即为动点(饮马点)(吃草点)，分别与定点(军营)(马厩)相连．如果用口诀来总结，那就是：定点定线作对称，次数就看动点数．一次对称直连定，两次对称先相连．【练习】OMCN 上的A、B两点的如图，黑、白两球分别位于长方形台球桌面位置．（1）怎样撞击白球，使白球A碰撞球桌边OM后，反弹击中黑球？（2）怎样撞击白球，使白球A依次碰撞球桌边OM、ON后，反弹击中黑球？。
数学七年级北师大版 5.2 探索轴对称的性质将军饮马模型
【涉及知识】两点之间线段最短，垂线段最短；
三角形两边三边关系；轴对称；平移；
【解题思路】找对称点，实现折转直
二、将军饮马问题常见模型
1.两定一动型：两定点到一动点的距离和最小
例1：在定直线l上找一个动点P，使动点P到两个定点A与B的距离之和最小，即PA+PB最小.
作法：连接AB，与直线l的交点Q，
作法：作点A关于OM的对称点A’，作点B关于ON的对称点B’，连接A’ B’，与OM交于点C，与ON交于点D，连接AC，BD，AB，四边形ABCD即为所求．
原理：两点之间，线段最短
3.两定两动型最值
例5：已知A、B是两个定点，在定直线l上找两个动点M与N，且MN长度等于定长d（动点M位于动点N左侧），使AM+MN+NB的值最小.
将军饮马模型
一、背景知识：
【传说】
早在古罗马时代，传说亚历山大城有一位精通数学和物理的学者，名叫海伦．一天，一位罗马将军专程去拜访他，向他请教一个百思不得其解的问题．
将军每天从军营A出发，先到河边饮马，然后再去河岸同侧的军营B开会，应该怎样走才能使路程最短？这个问题的答案并不难，据说海伦略加思索就解决了它．从此以后，这个被称为“将军饮马”的问题便流传至今．
在直角△BHE中，BE = = = 2
即PA+PB的和最小.
关键：找对称点
作法：作定点B关于定直线l的对称点C，连接AC，与直线l的交点Q即为所要寻找的点，即当动点P跑到了点Q处，PA+PB和最小，且最小值等于AC.
原理：两点之间，线段最短
证明：连接AC，与直线l的交点Q，P为直线l上任意一点，
在⊿PAC中，由三角形三边关系可知：AP+PC≧AC(当且仅当PQ重合时取﹦)
[精选]将军饮马问题(讲)资料
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类型一、基本模式类型二、轴对称变换的应用（将军饮马问题） 2、如图所示，如果将军从马棚M 出发，先赶到河 0A 上的某一位置 P ,再马上赶到河 0B 上的某一位置Q,然后立即返回校场 N.请为将军重新设计一条路线 （即选择点P 和Q ）, 使得总路程M 卉PQ+ QN 最短.0B 上的某一位置 Q.请为将军设计一条路线（即选择点P 和Q ）,使得总路程 M 卉PQ 最短.3、将军要检阅一队士兵，要求 （如图所示）：队伍长为a ,沿河0B 排开（从点P 到点Q ）;将 军从马棚M 出发到达队头P ,从P 至Q 检阅队伍后再赶到校场 N.请问：在什么位置列队（即 选择点P 和Q ）,可以使得将军走的总路程 皿卉PQ^ QN 最短？将军饮马问题【变式】如图所示，将军希望从马棚4.如图，点 边的距离之和最小，再马上赶到河P 至 U 0A5已知/ MON内有一点P, P关于OM ON的对称点分别是召和R, 隅分别交OM, ON于点A B,已知=15,则厶PAB的周长为（A. 15 B 7.5 C. 10 D. 246. 已知/ AOB试在/ AOB内确定一点P,如图，使P到OA OB的距离相等，并且到M N 两点的距离也相等•7、已知/ MON= 40 ° , P为/ MON内一定点，OM上有一点A, ON上有一点B,当△ PAB的周长取最小值时，求/ APB的度数.8. 如图，在四边形ABCD中，/ A= 90°, AD= 4,连接BD, BD丄CD / ADB=Z C.若P是BC边上一动点，贝U DP长的最小值为_______.练习1、已知点A在直线I夕卜，点P为直线I上的一个动点，探究是否存在一个定点B，当点P在直线I上运动时，点P与A、B两点的距离总相等，如果存在，请作出定点 B ;若不存在，请说明理由.A■2、如图，在公路a 的同旁有两个仓库 A 、B ，现需要建一货物中转站，要求到 A 、B 两仓 库的距离和最短，这个中转站 M 应建在公路旁的哪个位置比较合理？A.■BA■----------------------------------------------------- a3、 已知：A 、B 两点在直线I 的同侧， 在I 上求作一点 M ，使得|AM -BM |最小.4、 如图，正方形 ABCD 中，AB =8, M 是DC 上的一点，且 DM =2 , N 是AC 上的一动 点，求DN MN 的最小值与最大值.A B,在坐标轴上找两点 C 、D,使得四边形ABCD 勺周长最小。
《轴对称》之“将军饮马”问题(二)
《轴对称》之“将军饮马”问题（二）【变式3】若将军骑马从军营出发，先骑马去草地边吃草，再牵马去河边喝水，最后将马送入河边上的马厩，问：马厩建在何处，可使将军走的路程最短？【图示】【分析】我们同样把这个问题转化为熟悉的数学问题，把军营看作一个点，而把草地边和河边看作两条直线．问题即转化为，如下图：在∠MON的内部有一点A，在OM上找一点B，在ON上找一点C，使得AB＋BC最短．首先明确各点，线的属性．点A是定点，OM，ON是定线，点B，点C是OM，ON上要找的点，是动点．第一步，显然用“化折为直”，作点A关于OM的对称点A’，连接A’C．但是点C的位置并不确定，如何保证A’C最短呢？此时问题转化为射线ON外一点A’到ON上一点C之间距离的最小值．根据“垂线段最短”，则A’C⊥ON时最短！【解答】【变式4】若将军从军营A出发去河边饮马，之后牵马在河岸散步200米，再骑回军营B，问从河边何处开始散步，可使整个行程最短？【图示】蓝色部分即为散步所走的200米．【分析】我们继续把这个问题转化为熟悉的数学问题，把军营A与军营B看作2个定点，把河看作一条直线．问题即转化为，如下图：在直线l上找两个点C，D，使得AC＋BD最短．本题若作点A关于l的对称点A’，连接A’C和BD，会出现两线段不共线的问题，怎么办？我们能不能把BD进行相应的平移，使得与A’C共线？完全可以，把BD沿着DC方向向左平移200米，问题即迎刃而解．或者我们可以这么想象，把河边散步的200米，挪至回到军营B前，沿着与河平行的方向向右散步200米，问题也可解决．【解答】如图，作点A关于l的对称点A’，将点B向左平移CD的长度到点B’(实际为200米)，连接A’B’，交直线l于点C，将点C向右平移CD的长度到点D，点C，点D即为所求．【变式5】将军每日需骑马从军营出发，去河岸对侧的瞭望台观察敌情，已知河流的宽度为30米，请问，在何地修浮桥，可使得将军每日的行程最短？【图示】灰紫色部分即为长30米的浮桥．【分析】我们还是把这个问题转化为熟悉的数学问题，把军营与瞭望台看作间隔30米的2条直线外侧的定点．问题即转化为，如下图：在直线l1上找一个点C，直线l2上找一个点D，使得AC＋BD＋CD最短．由于CD长度确定，则题目转化为求AC＋BD最短，考虑在河的两侧，要使线段之和最短，则2条线段在同一直线上时即可．但这里并不共线，因此继续考虑平移．我们可以想成从军营出发先“渡河”，即沿CD方向行30米至点A’，再考虑“两点之间，线段最短”．【解答】如图，将点A沿CD方向，平移CD长度(实际30米)至点A’，连接A’B，交l2于点D，过点作DC⊥l2于点C，连接AC．则桥CD即为所求．此时AC＝ A’D，而A’D＋DB＝A’B，最短．【总结&反思】这次的3道题，有涉及到沿河边散步的问题，有造桥选址问题，但无外乎涉及到一个“平移”的思想方法，结合“两点之间，线段最短”解决，另外，有时还需考虑“垂线段最短”．如用口诀来总结，那就是：造桥散步怎么办，想到平移就不难。
最短路径问题 ---“将军饮马” 问题
【重要考点】 两点之间线段最短、轴对称的性质、正方形的性质、圆、
二次函数的图象与性质、三角形相关知识、基本作图等．
【命题形式】 主要以二次函数、四边形、三角形、圆为背景借助轴对称
的性质考查学生的综合能力。
【考查方向】 最短路径问题(即“将军饮马”模式)，动点问题下的最
塔P向A村、B村铺设管道最短需__5_0_0__米。
y
B
A
O
P
M
X
H
B′
知识应用
（利用正方形的对称性找对称点）
2. 已知正方形ABCD的边长为4，F为BC边的中点， P为 对角线BD上的一动点，要使 PF+PC的值最小，试确定点P 的位置，并求出最小值。
因为点C关于BD的对称点为
点A,连接AF，交BD于P点。
坐标为(2,−3)
总结
【思想方法】 (1) 最短路径问题的背景来源主要有：角、等腰(边) 三角形、菱形、正方形以及圆等．从内容上看，还会引申到 三角形(四边形)的周长最值问题、面积最值等问题。 (2)“将军饮马”问题就是利用对称性“化折为直”。
方法提升：（PA+PB最小）
1.点的分类及确定： 两个定点+一个动点
2．如图，在边长为4的菱形ABCD中，点E，F分别在AB，AD边上，AE=1， AF=3，点P为BD上一动点，求：线段EP+FP和的最小值。
3．如图，在直角坐标系中，点A、B的坐标分别为（1，4）和（3，0），点C是y 轴上的一个动点，且A、B、C三点不在同一条直线上，当△ABC的周长最小时， 求点C的坐标。
值问题在中考中一般放置在选择题、填空题或解答题最后， 以压轴题的形式出现．
将军饮马问题(讲)电子教案
将军饮马问题(讲)将军饮马问题类型一、基本模式类型二、轴对称变换的应用（将军饮马问题）2、如图所示，如果将军从马棚M出发，先赶到河OA上的某一位置P，再马上赶到河OB上的某一位置Q，然后立即返回校场N．请为将军重新设计一条路线(即选择点P和Q)，使得总路程MP＋PQ＋QN最短．【变式】如图所示，将军希望从马棚M出发，先赶到河OA上的某一位置P，再马上赶到河OB上的某一位置Q．请为将军设计一条路线(即选择点P和Q)，使得总路程MP＋PQ最短．3、将军要检阅一队士兵，要求(如图所示)：队伍长为a，沿河OB排开(从点P到点Q)；将军从马棚M出发到达队头P，从P至Q检阅队伍后再赶到校场N．请问：在什么位置列队(即选择点P和Q)，可以使得将军走的总路程MP＋PQ＋QN最短?4. 如图，点M在锐角∠AOB内部，在OB边上求作一点P，使点P到点M的距离与点P到OA边的距离之和最小5已知∠MON内有一点P，P关于OM，ON的对称点分别是和，分别交OM, ON于点A、B，已知＝15，则△PAB 的周长为（）A. 15 B 7.5 C. 10 D. 246. 已知∠AOB，试在∠AOB内确定一点P，如图，使P到OA、OB的距离相等，并且到M、N 两点的距离也相等.7、已知∠MON＝40°，P为∠MON内一定点，OM上有一点A，ON上有一点B，当△PAB的周长取最小值时，求∠APB的度数.8. 如图，在四边形ABCD中，∠A＝90°，AD＝4，连接BD，BD⊥CD，∠ADB＝∠C.若P是BC边上一动点，则DP长的最小值为______.练习1、已知点A在直线l外，点P为直线l上的一个动点，探究是否存在一个定点B，当点P 在直线l上运动时，点P与A、B两点的距离总相等，如果存在，请作出定点B；若不存在，请说明理由．2、如图，在公路a 的同旁有两个仓库A 、B ，现需要建一货物中转站，要求到A 、B 两仓库的距离和最短，这个中转站M 应建在公路旁的哪个位置比较合理？aBA3、 已知：A 、B 两点在直线l 的同侧， 在l 上求作一点M ，使得||AM BM -最小．4、如图，正方形ABCD 中，8AB =，M 是DC 上的一点，且2DM =，N 是AC 上的一动点，求DN MN +的最小值与最大值．NMD CB A5、如图，已知∠AOB 内有一点P ，试分别在边OA 和OB 上各找一点E 、F ，使得△PEF 的周长最小。
2024专题2.1轴对称---将军饮马模型-中考数学二轮复习必会几何模型剖析(全国通用)
考点3-3
D
【例3-2】如图,菱形ABCD中,AB=4,∠BAD=60º,M,N
2 5
是AC上两动点,且MN=2,则BM+BN的最小值为_____.
M
A
C
M
N
N
B
B´
课堂小结
将军饮马
知识梳理
将军饮马：这个将军饮的不是马,是数学！
解题依据：两点间线段最短；点到直线的垂直距离最短；翻折,对称.
解题策略：对称、翻折→化同为异；化异为同；化折为直.
的最小值为_____.
D
A
H
B
E
G´
G
F C
M
强化训练
将军饮马
提升能力
5.如图,在边长为1的菱形ABCD中,∠ABC=60º,将△ABD沿射线BD的方向平移
得到△A´B´D´,分别连接A´C,A´D,B´C,则A´C+B´C的最小值为_____.
3
A´´
造桥选址---一定两动(定长)
A´
A
B
B´
D´
B＇
将军沿A-P-B走路程最短.
P1A+P1B=_______
P1A+P1B´ ＞AB´
图形特征： 两定一动；
适用模型：将军饮马；
N 基本策略： 同侧化异侧、折线化直线；
基本方法： 一个动点一条河,一次对称跑不脱；
基本原理： 两点之间线段最短.
两点之间线段最短
模型分析
考点3-1
派生知识
核心知识
C
A
10
M(8/3,0)N(4,1)
A.如果动点G走过的路程最短为____,则点M、N的坐标为______________.
轴对称之将军饮马五大模型重难点题型归纳(解析版)-初中数学
轴对称之将军饮马五大模型重难点题型归纳目录解题知识必备压轴题型讲练类型一、“2定点1动点”作图问题类型二、“2定点1动点”求周长最小值问题类型三、“2定点1动点”求线段最小值问题类型四、“1定点2动点”-线段/周长最小问题类型五、“1定点2动点”-角度问题压轴能力测评(11题)基本图模1.已知：如图，定点A、B分布在定直线l两侧；要求：在直线l上找一点P，使P A+PB的值最小解：连接AB交直线l于点P，点P即为所求,P A+PB的最小值即为线段AB的长度理由：在l上任取异于点P的一点P´，连接AP´、BP´，在△ABP'中，AP´+BP´>AB，即AP´+BP´>AP+BP∴P为直线AB与直线l的交点时，P A+PB最小.2.已知：如图，定点A和定点B在定直线l的同侧要求：在直线l上找一点P，使得P A+PB值最小(或△ABP的周长最小)解：作点A关于直线l的对称点A´，连接A´B交l于P，点P即为所求；理由：根据轴对称的性质知直线l为线段AA´的中垂线，由中垂线性质得：P A=P A´，要使P A+PB最小，则需P A´+PB值最小，从而转化为模型1.方法总结：1.两点之间，线段最短；2.三角形两边之和大于第三边，两边之差小于第三边；3.中垂线上的点到线段两端点的距离相等；4.垂线段最短.类型一、“2定点1动点”作图问题1.如图，在平面直角坐标系中，点A4,4．，B2,-4(1)若点A关于x轴、y轴的对称点分别是点C，D，请分别描出点C，D并写出点C，D的坐标；(2)在y轴上求作一点P，使P A+PB最小．(不写作法，保留作图痕迹)【答案】(1)作图过程见解析，C4,-4，D-4,4(2)作图过程见解析．【分析】本题主要考查了关于坐标轴对称点的性质及轴对称-最短路径问题，根据轴对称的性质得出对称点的坐标是解题的关键．(1)利用关于对称轴对称点坐标得出C、D两点坐标即可．(2)连接BD交y轴于点P，P点即为所求．【详解】(1)如图所示，C4,-4，，D-4,4(2)如图所示，连接BD交y轴于点P，P点即为所求．2.如图，A、B是两个蓄水池，都在河流a的同旁，为了方便灌溉作物，要在河边建一个抽水站，将河水送到A、B两池，问该站建在河边哪一点，可使所修的渠道最短，试在图中画出该点(不写作法，但要保留作图痕迹)．【答案】见详解【分析】本题考查轴对称的性质，熟练掌握轴对称的性质是解题的关键；求两点和距离最小一般采用作出一点的轴对称图形．然后连接对称点与另一点，与所在直线的交点即为所求的点；A，B的距离之和最小，那么应作出A关于河岸的对称点A ，连接A B交河岸与一点，这点就是所求的点．根据轴对称的性质即可作出图.【详解】解：根据题意作图如下：3.如图，在平面直角坐标系xOy中，△ABC三个顶点的坐标分别为A-5,1．，B-4,4，C-1,-1(1)画出△ABC关于y轴对称的图形△A1B1C1，并写出A1的坐标；(2)已知点D2,2，请在x轴上找到一点P且PB+PD的值最小(作图)．【答案】(1)A15,1，画图见解析(2)P0,0，画图见解析【分析】本题考查直角坐标系中的描点，轴对称作图，最短距离问题，掌握轴对称的性质是解题的关键．(1)根据对称点连线被对称轴垂直平分画图，根据图形即可得到A1的坐标；(2)找到D点关于x轴的对称点D1，连接BD1交x轴于一点即为P点，根据图形求解即可得到答案．【详解】(1)解：根据对称点连线被对称轴垂直平分分别作A、B、C三点的对称点A1、B1、C1，连接A1、B1、C1，如图所示：由图形可得：A15,1；(2)作D点关于x轴的对称点D1，连接BD1交x轴于一点即为P点，如图所示：由图可得：P0,0．4.如图，阳光明媚的周六，小明在学校(A)练习篮球，他接到妈妈的电话，要先去C街快递公司取包裹，再去D街购买文具，然后回到家里(B)．请画出小明行走的最短路径．【答案】见详解【分析】本题主要考查了轴对称的性质，两点之间线段最短，解题的关键在于能够熟练掌握相关知识进行求解．根据两点之间线段最短，轴对称的性质即可得到答案．【详解】解；如图所示：作点A的对称点A ，作点B的对称点B ，连接A B ，交C街和D街于点E,F，则AE+EF+BF=A E+EF+B F≥A B ，当点A ,E,F,B 共线时，小明行走的路径最短，故小明行走的最短路径是AE-EF-FB，类型二、“2定点1动点”求周长最小值问题5.如图，等腰三角形ABC的底边BC长为4，面积是16，腰AC的垂直平分线EF分别交AC，AB边于E，F点，若点D为BC边的中点，点M为线段EF上一动点，则△CDM周长的最小值为()A.6B.8C.10D.16【答案】C【分析】本题考查的是轴对称--最短路线问题，熟知等腰三角形三线合一的性质是解答此题的关键．连接AD，由于△ABC是等腰三角形，点D是BC边的中点，故AD⊥BC，再根据三角形的面积公式求出AD 的长，再根据EF是线段AC的垂直平分线可知，点C关于直线EF的对称点为点A，故AD的长为CM+MD 的最小值，由此即可得出结论．【详解】解：连接AD，AM，∵△ABC是等腰三角形，点D是BC边的中点，∴AD⊥BC，CD=12BC=2，∴S△ABC=12BC⋅AD=12×4×AD=16，解得AD=8，∵EF是线段AC的垂直平分线，∴点C关于直线EF的对称点为点A，则MA=MC，∴MC+DM=MA+DM≥AD，∴AD的长为CM+MD的最小值，∴△CDM周长的最小值为CM+MD+CD=AD+CD=8+2=10．故选：C．6.如图，在△ABC中，AB=3,AC=4，EF垂直平分BC，交AC于点D，则△ABP周长的最小值是()A.12B.6C.7D.8【答案】C【分析】本题主要考查了，轴对称-最短路线问题的应用，解此题的关键是找出P的位置．凡是涉及最短距离的问题，一般要考虑线段的性质定理，结合轴对称变换来解决，根据题意知点B关于直线EF的对称点为点C，故当点P与点D重合时，AP+BP的值最小，即可得到△ABP周长最小．【详解】解：∵EF垂直平分BC，∴点B，C关于EF对称．∴当点P和点D重合时，AP+BP的值最小．此时AP+BP=AC，∵AB=3,AC=4，∴△ABP周长的最小值是AP+BP+AB=AB+AC=3+4=7，故选：C．7.如图，等腰△ABC的底边BC=4cm，面积为8cm2，腰AB的垂直平分线EF分别交AB、AC于点E、F，若D为边BC的中点，M为线段EF上一动点，则△BDM周长的最小值为多少？()A.4B.6C.8D.10【答案】B 【分析】连接AD ，AM ，由于△ABC 是等腰三角形，点D 是BC 边的中点，故AD ⊥BC ，再根据三角形的面积公式求出AD 的长，再根据EF 是线段AB 的垂直平分线可知，点A 关于直线EF 的对称点为点B ，MA =MB ，推出MB +MD =MA +MD ≥AD ，故AD 的长为MB +MD 的最小值，由此即可得出结论．【详解】解：连接AD ，MA ．∵△ABC 是等腰三角形，点D 是BC 边的中点，∴AD ⊥BC ，∴S △ABC =12BC ⋅AD =12×4×AD =8，解得AD =4cm ，∵EF 是线段AB 的垂直平分线，∴点A 关于直线EF 的对称点为点B ，MA =MB ，∴MB +DM =MA +DM ≥AD ，∴AD 的长为MB +MD 的最小值，∴△BDM 的周长最短=4+12BC =4+12×4=4+2=6cm ．故选：B ．【点睛】本题考查的是轴对称-最短路线问题，熟知等腰三角形三线合一的性质是解答此题的关键．8.如图：等腰△ABC 的底边BC 长为8，面积是24，腰AC 的垂直平分线EF 分别交AC ，AB 边于E ，F 点．若点D 为BC 边的中点，点M 为线段EF 上一动点，则△CDM 周长的最小值为．【答案】10【分析】本题考查的是最短路线问题，连接AD ，AM ，由于△ABC 是等腰三角形，点D 是边的中点，故AD ⊥BC ，再根据三角形的面积公式求出AD 的长，再根据EF 是线段AC 的垂直平分线可知，点C 关于直线EF 的对称点为点A ，故得AD 长为CM +MD 的最小值，由此即可得出结论．【详解】解：连接AD ，AM ，如下图：∵△ABC 是等腰三角形，点D 是边BC 的中点，∴AD⊥BC，∴S△ABC=12BC⋅AD=12×8×AD=24，解得AD=6，∵EF是线段AC的垂直平分线，∴点C关于直线EF的对称点为点A，∴AD的长为CM+MD的最小值，∴△CDM的周长最短=CM+MD+CD=AD+12BC=6+12×8=10．故答案为：10．类型三、“2定点1动点”求线段最小值问题9.已知，等腰△ABC中，AB=AC，E是高AD上任一点，F是腰AB上任一点，腰AC=5，BD=3，AD=4，那么线段BE+EF的最小值是()A.5B.3C.D.72【答案】C【解答】解：如图作点F关于AD的对称点F′，连接EF′．作BH⊥AC于H．∵AB=AC，AD⊥BC，∴BD=CD=3，∴点F′在AC上，∵BE+EF=BE+EF′，根据垂线段最短可知，当B，E，F′共线，且与H重合时，BE+EF的值最小，最小值就是线段BH的长．在Rt△ACD中，AC=5，∵1 2•BC•AD=12•AC•BH，∴BH=245，∴BE+EF的最小值为245，故选：C10.如图，△ABC中，AB=AC，BC=5，S△ABC=15，AD⊥BC于点D，EF垂直平分AB，交AC于点F，在EF上确定一点P，使PB+PD最小，则这个最小值为．【答案】6【分析】本题考查了轴对称-最短路线问题，线段的垂直平分线的性质，根据三角形的面积公式即可得到AD =6，由EF垂直平分AB，得到点A，B关于EF对称，再说明PB+PD的最小值，即可得到结论．【详解】解：∵AB=AC，BC=5，S△ABC=15，AD⊥BC，AD⋅BC=15，∴12∴AD=6，∵EF垂直平分AB，∴点P到A，B两点的距离相等，即P A=PB，要求PB+PD最小，即求P A+PD最小，则A、P、D三点共线，∴AD的长度即PB+PD的最小值，即PB+PD的最小值为6，故答案为：6．11.如图，△ABC的面积为14，AB=AC，BC=4，AC的垂直平分线EF分别交AB，AC边于点E，F，若点D为BC边的中点，点P为线段EF上一动点，则△PCD周长的最小值为．【答案】9【分析】本题考查了轴对称-最短路线问题、等腰三角形的性质，解题的关键是熟知等腰三角形三线合一的性质．连接AD，由于ΔABC是等腰三角形，点D是BC边的中点，故AD⊥BC，再根据三角形的面积公式求出AD的长，再根据EF是线段AC的垂直平分线可知，点C关于直线EF的对称点为点A，故AD的长为CP +PD的最小值，由此即可得出结论．【详解】解：连接AD，∵ΔABC是等腰三角形，点D是BC边的中点，∴AD⊥BC，∴S ΔABC =12BC ·AD =12×4×AD =14，解得：AD =7，∵EF 是线段AC 的垂直平分线，∴点C 关于直线EF 的对称点为点A ，∴AD 的长为CP +PD 的最小值，∴ΔCDP 的周长最短=(CP +PD )+CD =AD +12BC =7+12×4=7+2=9．故答案为：9．12.如图，在△ABC 中，AB =AC ，BC =4，△ABC 的面积是14，AC 的垂直平分线EF 分别交AC ，AB 于E ，F 点．若点D 为BC 边的中点，点M 为线段EF 上一动点，则CM +DM 的最小值为()A.21B.7C.4D.2【答案】B【解答】解：连接AD ，∵△ABC 是等腰三角形，点D 是BC 边的中点．∴AD ⊥BC ，∴S △ABC =12BC •AD =12×4×AD =14，解得AD =7，∵EF 是线段AB 的垂直平分线，∴点C 关于直线EF 的对称点为点A ，连接AM ，则CM +DM =AM +DM ≥AD ，∴当点M 在线段AD 上时，CM +DM 的值最小，∴AD 的长为CM +MD 的最小值．故选：B ．类型四、“1定点2动点”-线段/周长最小问题13.如图，在△ABC 中，∠C =90°，∠BAC =30°，AB =14，AD 平分∠BAC ，点PQ 分别是AB ，AD 边上的动点，则PQ +BQ 的最小值是．【答案】7【分析】作点P 关于直线AD 的对称点P ，连接PP 、QP ，根据轴对称的性质、垂直平分线的性质可得PQ =P Q ，则欲求PQ +BQ 的最小值即为P Q +BQ 的最小值，即BP 的最小值，则当BP ⊥AC 时，BP 即P Q +BQ 的值最小，最小值为BC 的长．【详解】解：如图，作点P 关于直线AD 的对称点P ，连接PP 、QP ，∵AD是P、P 的对称轴，即AD是线段PP 的垂直平分线，∴PQ=P Q，∴PQ+BQ的最小值即为P Q+BQ的最小值，即BP 的最小值，∴当BP ⊥AC时，BP 即P Q+BQ的值最小，此时Q与D重合，P 与C重合，最小值为BC的长，∵在△ABC中，∠C=90°，∠BAC=30°，AB=14，∴BC=1AB=7，2∴PQ+BQ的最小值是7．故答案为：7．【点睛】本题考查的知识点是轴对称的性质、垂直平分线的性质、最短路径问题、垂线段最短及含30°角的直角三角形的性质，解题关键是找出点P、Q的位置．14.如图，点E在等边△ABC的边BC上，BE=4，射线CD⊥BC，垂足为点C，点P是射线CD上一动点，点F是线段AB上一动点，当EP+FP的值最小时，BF=5，则AB的长为．【答案】7【分析】本题考查最短路径问题、等边三角形的性质、含30度角的直角三角形的性质，熟练掌握利用轴对称性质求最短距离的方法是解答的关键．作点E关于射线CD的对称点E ，过E 作E F⊥AB于F，交射线CD 于P，连接PE，此时EP+FP的值最小，利用等边三角形的性质和三角形的内角和定理求得∠E =90°-∠B =30°，然后利用含30度角的直角三角形的性质求得BE =2BF=10，进而求得CE=3即可求解．【详解】解：作点E关于射线CD的对称点E ，过E 作E F⊥AB于F，交射线CD于P，连接PE，如图，则E P=EP，∴EP +FP =E P +FP =E F ，此时EP +FP 的值最小，则BF =5，∵△ABC 是等边三角形，∴∠B =60°，AB =BC ，在Rt △BFE 中，∠E =90°-∠B =30°，∴BE =2BF =10，∵BE =4，CE =CE ，∴2CE +4=10，∴CE =3，∴AB =BC =3+4=7，故答案为：7．15.如图，在等腰△ABC 中，在AB 、AC 上分别截取AP 、AQ ，使AP =AQ ．再分别以点P ，Q 为圆心，以大于PQ 的长为半径作弧，两弧在∠BAC 内交于点R ，作射线AR ，交BC 于点D ．已知AB =AC =10，AD =8，BC =12．若点M 、N 分别是线段AD 和线段AB 上的动点，则BM +MN 的最小值为()A.10B.12.8C.12D.9.6【答案】D 【分析】过点B 作BH ⊥AC 于点H ，交AD 于点M ，根据等腰三角形的性质和勾股定理求出AC ，然后根据S △ABC =12BC ⋅AD =12AC ⋅BH ，可得BH =485．作点H 关于AD 的对称点交AB 于点N ，连接M N ，可得M H =M N ，根据垂线段最短，当点M 、M 分别在M 、N 位置时，BM +MN 最小，进而可以解决问题．【详解】解：如图，过点B 作BH ⊥AC 于点H ，交AD 于点M '，由作图可知，AD 平分∠BAC ，∵AB =AC ，∴AD ⊥BC ，∴BD =CD =12BC =12×12=6，∵AD =8，AC =10，BC =12，S △ABC =12BC ⋅AD =12AC ⋅BH ，∴BH =BC ⋅AD AC=485，∵AB =AC ，AD ⊥BC ，作点H 关于AD 的对称点交AB 于点N ，连接M N ，∴M H =M N ，∴BH =BM +M H =BM +M N ，当点M 、M 分别在M 、N 位置时，BM +MN 最小，则BM +MN 的最小值为BH 的长485=9.6．故选：D ．【点睛】本题考查尺规作-作角平分线，利用轴对称求最短距离问题，垂线段最短，等腰三角形的性质，三角形的面积等知识，解题关键是读懂图形信息，灵活运用所学知识解决问题，属于中考常考题型．16.如图，在△ABC 中，AB =AC =5，AD ⊥BC 于点D ，AD =4，BD =3，点P 为AD 边上的动点，点E 为AB 边上的动点，则PE +PB 的最小值是．【答案】245【分析】本题考查了等腰三角形的性质，垂直平分线的性质，最短路径问题，连接CP ，过点C 作CM ⊥AB ，可得PE +PB =PE +PC ，根据垂线段最短可知当E 、P 、C 三点共线且CE ⊥AB 时，PE +PB 的最小值为CM ，结合面积法求解即可．【详解】解：连接CP ，过点C 作CM ⊥AB ，∵AB =AC =5，AD ⊥BC ，AD =4，BD =3，∴BC =2BD =6，PB =PC ，∴PE +PB =PE +PC ，当E 、P 、C 三点共线且CE ⊥AB 时，PE +PB 的最小值为CM ，∵12BC ⋅AD =12AB ⋅CM ，∴CM =BC ⋅AD AB =6×45=245，即PE +PB 的最小值为245，故答案为：245．类型五、“1定点2动点”-角度问题17.如图，在五边形ABCDE 中，∠BAE =142°，∠B =∠E =90°，AB =BC ，AE =DE ．在BC ，DE 上分别找一点M ，N ，使得△AMN 的周长最小时，则∠AMN +∠ANM 的度数为()A.76°B.84°C.96°D.109°【答案】A【分析】本题考查了最短路线问题．延长AB至A'，使A B=AB，延长AE至A″，使A″E=AE，则BC垂直平分AA ，DE垂直平分AA″，所以AM=A M，A″N=AN，△ABC的周长为AM+MN+AN，要使其周长最小，即使A M+MN+A″N最小，设∠MAA =x，则∠AMN=2x，设∠NAA″=y，则∠ANM=2y，在△AA A″中，利用三角形内角和定理，可以求出x+y=38°，进一步可以求出∠AMN+∠ANM的值．【详解】解：如图，延长AB至A ，使A B=AB，延长AE至A″，使A″E=AE，则BC垂直平分AA ，DE垂直平分AA″，∴AM=A M，AN=A″N，根据两点之间，线段最短，当A ，M，N，A″四点在一条直线时，A M+MN+NA″最小，则AM+MN+AN的值最小，即△AMN的周长最小，∵AM=A M，AN=A″N，∴可设∠MAA =∠MA A=x，∠NAA″=∠NA″A=y，在△AA A″中，x+y=180°-∠BAE=180°-142°=38°，∵∠AMN=∠MAA +∠MA A=2x，∠ANM=2y，∴∠AMN+∠ANM=2x+2y=76°，故选：A．18.如图，在五边形ABCDE中，AB⊥BC，AE⊥DE，AB=BC，AE=DE，∠BCD+∠CDE=230°，点P，Q分别在边BC，DE上，连接AP，AQ，PQ，当△APQ的周长最小时，∠P AQ的度数为()A.50°B.80°C.100°D.130°【答案】B【分析】本题考查轴对称图形的性质．延长AB到点G使得BG=AB，延长AE到点F使得EF=AE，连接GF交BC、DE于点P1、Q1，则这时△APQ的周长最小，根据无变形的内角和求出∠BAE的度数，根据轴对称的性质得到∠P1AG=∠G，∠Q1AF=∠F，然后计算解题即可．【详解】解：延长AB到点G使得BG=AB，延长AE到点F使得EF=AE，∵AB⊥BC，AE⊥DE，∴BC、DE垂直平分AG、AF，连接GF交BC、DE于点P1、Q1，则P1G=P1A，Q1F=Q1A，∴FG=P1G+P1Q1+Q1F=P1A+P1Q1+Q1A，这时△APQ的周长最小，∵AB⊥BC，AE⊥DE，∴∠ABC=∠AED=90°，又∵∠BCD+∠CDE=230°，∴∠BAE=540°-∠ABC-∠AED-(∠BCD+∠CDE)=540°-90°-90°-230°=130°，∴∠G+∠F=180°-∠BAE=180°-130°=50°，又∵P1G=P1A，Q1F=Q1A，∴∠P1AG=∠G，∠Q1AF=∠F，∴∠P1AQ1=∠BAE-∠P1AG-∠Q1AF=∠BAE-∠G-∠F=130°-50°=80°，故选：B．19.如图，四边形ABCD中，∠A=40°，∠B=∠D=90°，M，N分别是AB，AD上的点，当△CMN的周长最小时，则∠MCN的度数为()A.40°B.80°C.90°D.100°【答案】D【分析】作点C关于AB的对称点E，关于AD的对称点F，则CM=EM，CN=FN，可得CM+MN+CN= EM+MN+FN，即可得当E、M、N、F在同一条直线上时，EM+MN+FN的最小值等于线段EF的长，根据四边形ABCD中，∠A=40°，∠B=∠D=90°得∠BCD=140°，根据三角形内角和定理得∠E+∠F=40°，根据等边对等角得∠CMN=2∠E，∠CNM=2∠F，即可得∠CMN+∠CNM=80°，根据三角形内角和定理即可得．【详解】解：如图所示，作点C关于AB的对称点E，关于AD的对称点F，则CM=EM，CN=FN，∴CM+MN+CN=EM+MN+FN，∴当E、M、N、F在同一条直线上时，EM+MN+FN的最小值等于线段EF的长，∵四边形ABCD中，∠A=40°，∠B=∠D=90°，∴∠BCD=360°-∠A-∠B-∠D=360°-40°-90°-90°=140°，∴∠E+∠F=180°-∠BCD=180°-140°=40°，∵CM=EM，∴∠E=∠MCB，∴∠CMN=∠E+∠MCB=2∠E，∵CN=FN，∴∠F=∠NCD，∴∠CNM=∠F+∠NCD=2∠F，∴∠CMN+∠CNM=2(∠E+∠F)=2×40°=80°，∴∠MCN=180°-(∠CMN+∠CNM)=180°-80°=100°，故选：D．【点睛】本题考查了轴对称-最短路线问题，三角形内角和定理，等边对等角，解题的关键是理解题意，利用对称性构造最短路径．20.如图，四边形ABCD中，∠C=62°，∠B=∠D=90°，E、F分别是BC，DC上的点，当△AEF的周长最小时，∠EAF的度数为．【答案】56°【分析】本题考查的是轴对称-最短路线问题，根据要使△AEF的周长最小，即利用点的对称，使三角形的三边在同一直线上，作出A关于BC和CD的对称点A ，A″，即可得出∠AA E+∠A″=∠HAA =62°，进而得出∠AEF+∠AFE=2∠AA E+∠A″，即可得出答案．【详解】解：作A关于BC和CD的对称点A ，A″，连接A A″，交BC于E，交CD于F，则A A″即为△AEF的周长最小值．作DA延长线AH，∵∠C=62°，∴∠DAB=118°，∴∠HAA =62°，∴∠AA E+∠A″=∠HAA =62°，∵∠EA A=∠EAA ，∠FAD=∠A″，∴∠EAA +∠A″AF=62°，∴∠EAF=118°-62°=56°，故答案为：56°．21.如图，已知∠AOB的大小为α，P是∠AOB内部的一个定点，且OP=5，点E、F分别是OA、OB上的动点，若△PEF周长的最小值等于5，则α=()A.30°B.45°C.60°D.90°【答案】A【分析】设点P关于OA的对称点为C，关于OB的对称点为D，当点E、F在CD上时，△PEF的周长为PE+ EF+FP=CD，此时周长最小，根据CD=5可求出α的度数．【详解】解：如图，作点P关于OA的对称点C，关于OB的对称点D，连接CD，交OA于E，OB于F．此时，△PEF的周长最小．连接OC，OD，PE，PF．∵点P与点C关于OA对称，∴OA垂直平分PC，∴∠COA=∠AOP，PE=CE，OC=OP，同理，可得∠DOB=∠BOP，PF=DF，OD=OP．∴∠COA+∠DOB=∠AOP+∠BOP=∠AOB=α，OC=OD=OP=5，∴∠COD=2α．又∵△PEF的周长为：PE+EF+FP=CE+EF+FD=CD=5，∴OC=OD=CD=5，∴△COD是等边三角形，∴2α=60°，∴α=30°．故选：A．【点睛】此题主要考查了最短路径问题，本题找到点E和F的位置是解题的关键．要使△PEF的周长最小，通常是把三边的和转化为一条线段，运用三角形三边关系解决．22.如图，直线l是一条河，A、B是两个新农村定居点，欲在l上的某点处修建一个水泵站，由水泵站直接向A、B两地供水，现有如下四种管道铺设方案，图中实线表示铺设的供水管道，则铺设管道最短的方案是()A. B.C. D.【答案】D 【分析】本题考查了最短路径的数学问题；利用对称的性质，通过等线段代换，将所求路线长转化为两定点之间的距离．【详解】解：作A 关于l 的对称点A ，连接A B 交直线l 于点M ，如图所示，则AM +BM =A M +BM ≥A M根据两点之间，线段最短，可知选项D 铺设的管道，则所需管道最短．故选：D ．23.如图，在△ABC 中，BD 平分∠ABC 交AC 于点D ，点M ，N 分别是线段BD 、BC 上一动点，AB >BD 且S △ABC =10，AB =5，则CM +MN 的最小值为．【答案】4【分析】本题考查轴对称-最短问题，坐标有图形性质，正方形的性质等知识，作点N 关于BD 的对称点N ，连接MN ，过点C 作CH ⊥ABy 于点H ．证明MN =MN ，再根据MN +MC =MN +MC ≥CH ，求出CH ，可得结论．解题的关键是掌握利用轴对称解决最短问题．【详解】解：作点N 关于BD 的对称点N ，连接MN ，过点C 作CH ⊥AB 于点H ．∵BD 平分∠ABC ，∴点N 关于BD 的对称点在BA 上，∴MN =MN ，∵MN +MC =MN +MC ≥CH ，∵S △ABC =10，AB =5，∴12×5×CH =10，∴CH =4，∴MN +MC ≥4，∴MN +MC 的最小值为4．故答案为：4．24.如图，AD是等边△ABC的中线，点E，F分别是AD,AC上的动点，当EC+EF最小时∠ACE的度数为．【答案】30°【分析】根据对称性和等边三角形的性质，过点B作BF⊥AC于点F，交AD于点E，此时BE=CE，EC+ EF最小，进而求解．【详解】解：∵AD是等边△ABC的中线，∴AD⊥BC，BD=CD，∴BE=CE，∴CE+EF=BE+EF，∴当B、F、E位于同一直线，且BF⊥AC时，EC+EF最小．过点B作BF⊥AC于点F，交AD于点E，∵△ABC是等边三角形，∴∠CBF=∠ABF=30°，∵BE=CE，∴∠CBF=∠ECB=30°，∴∠ACE=30°．故答案为：30°．【点睛】本题考查了最短路线问题、等边三角形的性质，解决本题的关键是准确找到点E和F的位置．25.如图，已知∠MON=30°，在∠MON的内部有一点P，A为OM上一动点，B为ON上一动点，OP=a，当△P AB的周长最小时，∠APB=度，△P AB的周长的最小值是．【答案】120a【分析】分别作出点P关于OM，ON两条射线的对称点，连接两个对称点的线段与OM，ON的交点即为所确定的点；连接OP，OP ，OP″，由轴对称的性质得：OP=OP =OP″=a，∠P OA=∠POA，∠P″OB=∠POB，证得△P OP″是等边三角形，即可得到结论．【详解】解：①分别作点P关于OM，ON的对称点P ，P″；连接P ，P″，分别交OM，ON于点A、点B，则此时△P AB的周长最小．连接OP，OP ，OP″，由轴对称的性质得：OP=OP =OP″=a，∠P OA=∠POA，∠P″OB=∠POB，∵∠MON=30°，∴∠P OP″=2∠MON=60°，∴△P OP″是等边三角形，∴P P″=OP=a，∠AP O=∠APO，∠BP″O=∠BPO，∴∠APB=∠AP O+∠BP″O=120°，∴△P AB的周长=P P″=a，故答案为：120，a．【点睛】此题主要考查了轴对称-最短路径问题，解决本题的关键是理解要求周长最小问题可归结为求线段最短问题，通常是作已知点关于所求点所在直线的对称点．26.如图，钝角三角形ABC的面积为12，最长边AB=6，BD平分∠ABC，点M、N分别是BD、BC上的动点，则CM+MN的最小值为【答案】4【分析】过点C作CE⊥AB于点E，交BD于点M，过点M作MN⊥BC于点N，则CE即为CM+MN的最小值，再根据三角形的面积公式求出CE的长，即为CM+MN的最小值．【详解】解：如图，过点C作CE⊥AB于点E，交BD于点M，过点M作MN⊥BC于点N，∵BD平分∠ABC，ME⊥AB，MN⊥BC，∴MN=ME，∴当C、M、E三点共线时，CM+MN有最小值，∴CE=CM+ME=CM+MN，∵三角形ABC的面积为12，AB=6，×6⋅CE=12，∴12∴CE=4．即CM+MN的最小值为4．故答案为：4．【点睛】本题考查了轴对称-最短路线问题，关键是将CM+MN的最小值为转化为CE，题目具有一定的代表性，是一道比较好的题目．27.如图，在四边形ABCD中，∠BAD=105°，∠B=∠D=90°，在BC，CD上分别找一个点M，N，使△AMN的周长最小，则∠AMN+∠ANM=°【答案】150【分析】要使△AMN的周长最小，即利用点的对称，使三角形的三边在同一直线上，作出A关于BC和CD的对称点A ，A″，即可得出∠A +∠A″=75°，进而得出∠AMN+∠ANM=2(∠AA M+∠A″)，即可得出答案．【详解】解：作A关于BC和CD的对称点A ，A″，连接A A″，交BC于M，交CD于N，则A A″即为△AMN的周长最小值．∵∠DAB=105°，∴∠A'+∠A''=180°-∠BAD=180°-105°=75°，∵∠A =∠MAA ，∠NAD=∠A″，且∠A +∠MAA =∠AMN，∠NAD+∠A″=∠ANM，∴∠AMN+∠ANM=∠A +∠MAA +∠NAD+∠A″=2(∠A +∠A″)=2×75°=150°故答案为：150．【点睛】本题考查的是轴对称-最短路线问题，涉及到平面内最短路线问题求法以及三角形的外角的性质和垂直平分线的性质等知识，根据已知得出M，N的位置是解题关键．28.如图，∠AOB=30°，M，N分别为射线OA，OB上的动点，P为∠AOB内一点，连接PM，PN，MN．若OP=5，则△PMN周长的最小值为．【答案】5【分析】首先分别作点P关于OA，OB的对称点C、D，连接CD，分别交OA，OB于点M、N，连接OC、OD、PM，PN，易得△OCD是等边三角形，且此时CD的长即为△PMN周长的最小值，继而求得答案．【详解】解：如图所示：分别作点P关于OA，OB的对称点C、D，连接CD，分别交OA，OB于点M、N，连接OC、OD、PM，PN，∵点P关于OA的对称点为点C，∴PM=CM，OP=OC，∠COA=∠POA；∵点P关于OB的对称点为点D，∴PN=DN，OP=OD，∠DOB=∠POB，∴OC=OD=OP=5，∠COD=2∠AOB=2×30°=60°，∴△OCD是等边三角形，∴CD=OC=5，∴△PMN 的周长为：PN +PM +MN =DN +CM +MN =CD =5，∴△PMN 周长的最小值为5，故答案为：5．【点睛】本题考查了轴对称的性质、最短路线问题以及等边三角形的判定与性质，注意准确确定点M ，N 的位置是关键．29.如图，等边△ABC 和等边△A B C 的边长都是4，点B ，C ，B 在同一条直线上，点P 在线段A C 上，则AP +BP 的最小值为．【答案】8【分析】连接PE ，根据△ABC 和△A B C 都是边长为4的等边三角形，证明△ACP ≌△B CP ，可得AP =B P ，所以AP +BP =BP +B P ，进而可得当点P 与点C 重合时，AP +BP 的值最小，正好等于BB 的长，即可求解．【详解】解：如图，连接PB ，∵△ABC 和△A B C 都是边长为4的等边三角形，∴AC =B C ，∠ACB =∠A CB =60°，∴∠ACA =60°，∴∠ACA =∠A CB ，在△ACP 和△B CP 中，AC =B C∠ACA =∠A CB CP =CP，∴△ACP ≌△B CP SAS ，∴AP =B P ，∴AP +BP =BP +B P ，∴当点P 与点C 重合时，点A 与点B 关于A C 对称，AP +BP 的值最小，正好等于BB 的长，∴AP +BP 的最小值为4+4=8，故答案为：8．【点睛】本题考查了轴对称-最短路线问题、全等三角形的判定和性质和等边三角形的性质，灵活运用所学知识求解是解决本题的关键．30.如图所示，在△ABC 中，AB =AC ，直线EF 是线段AB 的垂直平分线，点D 是线段BC 的中点，点P 是直线EF 上一个动点．若△ABC 的面积为48，BC =12，则△PBD 周长的最小值是．【答案】14【分析】连接AD、AP；由EF是线段AB的垂直平分线，得到AP=BP，故BP+DP=AP+DP；当A、P、D 三点共线时，AP+DP最小，即为AD，此时△PBD的周长最小，再根据等腰三角形三线合一的性质求解即可；【详解】解：如图，连接AD、AP；∵EF是线段AB的垂直平分线∴AP=BP∴C△PBD=BD+BP+DP=BD+AP+DP∴当A、P、D三点共线，即AP+DP=AD时，△PBD的周长最小；∵AB=AC，点D是线段BC的中点；∴AD⊥BC，BD=12BC=6；∴S△ABC=12BC·AD=12×12×AD=48即：6AD=48解得：AD=8∴△PBD的周长最小值为：AD+BD=8+6=14故答案为：14【点睛】本题考查了线段垂直平分线的性质、等腰三角形三线合一的性质、线段的最小值等知识点；熟练运用上述基础知识转化线段是解题的关键．31.如图，△ABC三个顶点的坐标分别为A1,1,B4,2,C3,4．(1)若△A1B1C1与△ABC关于y轴成轴对称，请在网格中画出△A1B1C1(2)写出△A1B1C1三顶点坐标：A1，B1，C1；(3)若点P为x轴上一点，使P A+PB最小(保留作图痕迹)．【答案】(1)见解析(2)-1,1,-4,2,-3,4(3)见解析【分析】本题考查了作图-轴对称变换：几何图形都可看作是由点组成，我们在画一个图形的轴对称图形时，也是先从确定一些特殊的对称点开始的．也考查了最短路径问题．(1)利用关于y轴对称的点的坐标特征写出A1、B1、C1的坐标，然后描点即可；(2)由(1)即可求解；(3)作A点关于x轴的对称点A ，连接BA 交y轴于P点．【详解】(1)解：∵△ABC与△A1B1C1关于x轴对称，A1,1B4,2，,C3,4∴A1-1,1，,B1-4,2,C1-3,4如图，△A1B1C1为所作；(2)解：由(1)知A1-1,1，,B1-4,2,C1-3,4故答案为：-1,1,-3,4；,-4,2(3)解：如图，点P为所作．32.如图所示，牧马营地在点P处，每天牧马人要赶着马群先到草地a吃草，再到河边b饮水，最后回到营地，请你设计一条放牧路线，使其所走的总路程最短．【答案】见解析【分析】本题考查了轴对称的性质以及线段最短，要使其所走的总路程最短，可联想到“两点之间，线段最短”，因此需将三条线段转化到一条线段上，为此作点P关于直线a的对称点P1，作点P关于直线b的对称点P2，连接P1P2，分别交直线a，b于点A，B，连接P A，PB，即得放牧所走的最短路线．【详解】解：如图所示，作点P关于直线a的对称点P1，作点P关于直线b的对称点P2，连接P1P2，分别交直线a，b于点A，B，连接P A，PB，由轴对称的性质知，P A=P1A，PB=P2B，∴先沿路线P A到点A处吃草，再沿路线AB到点B处饮水，最后沿路线BP回到营地，即P1，A，B，P2四点共线时，按这样的路线放牧所走的总路程最短．。
轴对称及将军饮马问题.教师版
轴对称及“将军饮马”问题知识点睛轴对称图形：如果一个图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，这个图形就叫做轴对称图形．这条直线就是它的对称轴．这时我们就说这个图形关于这条直线(或轴)对称．如下图，ABC 是轴对称图形．两个图形轴对称：把一个图形沿着某一条直线折叠，如果它能够与另一个图形重合，那么就是说这两个图形关于这条直线对称，这条直线叫做对称轴，折叠后重合的点是对应点，叫做对称点．如下图，ABC 与'''A B C 关于直线l 对称，l 叫做对称轴．A 和'A ，B 和'B ，C 和'C 是对称点．轴对称图形和两个图形轴对称的区别和联系：对称轴的性质：对称轴所在直线经过对称点所连线段的中点，并且垂直于这条线段．即：如果两个图形关于某条直线对称，那么对称轴是任何一对对应点所连线段的垂直平分线．类似地，轴对称图形的对称轴，是任何一对对应点所连线段的垂直平分线．线段的垂直平分线：经过线段中点并且垂直于这条线段的直线，叫做这条线段的垂直平分线．如图，直线l 经过线段AB 的中点O ，并且垂直于线段AB ，则直线l 就是线段AB 的垂直平分线．线段垂直平分线的性质：线段垂直平分线上的点与这条线段两个端点的距离相等．轴对称图形两个图形轴对称区别图形的个数1个图形2个图形对称轴的条数一条或多条只有1条联系二者都的关于对称轴对称的如图，点P是线段AB垂直平分线上的点，则PA PB．线段垂直平分线的判定：与一条线段两个端点距离相等的点，在这条线段的垂直平分线上．成轴对称的两个图形的对称轴的画法：如果两个图形成轴对称，其对称轴就是任何一对对应点所连线段的垂直平分线．因此，我们只要找到一对对应点，作出连接它们的线段的垂直平分线，就可以得到这两个图形的对称轴．成轴对称的两个图形的主要性质：①成轴对称的两个图形全等②如果两个图形关于某条直线对称，那么对称轴是任何一对对应点连线的垂直平分线轴对称变换的方法应用：轴对称变换是通过作图形关于一直线的对称图形的手段，把图形中的某一图形对称地移动到一个新的位置上，使图形中的分散条件和结论有机地联系起来．常用的辅助线有角平分线条件时的各种辅助线，本质上都是对称变换的思想．轴对称变换应用时有下面两种情况：⑴图形中有轴对称图形条件时，可考虑用此变换；⑵图形中有垂线条件时，可考虑用此变换．重、难点重点：理解轴对称的概念，并且熟悉掌握轴对称的性质以及作图，同时理解轴对称变换的概念，能很好的做出轴对称变换的图形，并能很好的利用轴对称的知识来解决题目难点：运用轴对称变换来解决实际题目，以及轴对称的生活中的实际运用例题精讲板块一、轴对称与轴对称图形的认识【例1】下列”QQ表情”中属于轴对称图形的是( )A．B．C．D．【解析】C【巩固】(08年广东省)下列图形中是轴对称图形的是 ( )【解析】C【例2】(09湖南株洲)下列四个图形中，不是轴对称图形的是( )A．B．C．D．【解析】Ｄ【巩固】(2004泸州)下列各种图形不是轴对称图形的是( )【解析】C．【巩固】(2003吉林)下面四个图形中，从几何图形的性质考虑，哪一个与其他三个不同？请指出这个图形，并简述你的理由．答：图形__________；理由是__________．【解析】②;四个图形中，只有图②不是轴对称图形．【例3】如图，它们都是对称图形，请观察并指出哪些是轴对称图形，哪些图形成轴对称．【解析】轴对称图形：1，3，4，6，8，10成轴对称的图形有：2，5，7，9【例4】(09黑龙江哈尔滨)下列图形中，既是轴对称图形，又是中心对称图形的是( )【解析】D【巩固】(2004北京)下列图形中，既是轴对称图形又是中心对称图形的是( )A．等腰三角形B．等腰梯形C．正方形D．平行四边形【解析】C【例5】(2003四川)我国主要银行的商标设计基本上都融入了中国古代钱币的图案，下列我国四大银行的商标图案中是轴对称图形而不是中心对称图形的是( )【解析】C【例6】(2003北京市海淀区)羊年话”羊”字象征着美好和吉祥，?下列图案都与”羊”字有关，其中是轴对称图形的个数是( )A．1；B．2；B．3；D．4【解析】B【巩固】⑴(08山东省青岛市)下列图形中，轴对称图形的个数是( )A．1B．2C．3D．4⑵如图所示的图案是我国几家银行标志，其中轴对称图形有( )A．1个B．2个C．3个D．4个【解析】⑴B；⑵Ｃ【例7】(上海)正六边形是轴对称图形，它有条对称轴．【解析】6．点拨：可以画出例图进行分析，明确正n边形有n条对称轴．【巩固】(2003河北省)下列图案中，有且只有三条对称轴的是( )【解析】D【巩固】⑴(08苏州)下列图形中，轴对称图形．．．．．的是⑵下列图形中对称轴最多的是( )A．圆B．正方形C．等腰三角形D．线段【解析】⑴D；⑵Ａ【例8】作出下图所示的图形的对称轴：【解析】答案见右上图．【巩固】作出下图所示的成轴对称图形的对称轴：【解析】答案见右上图．【例9】求作线段AB的垂直平分线BA【解析】略【例10】已知：如图，ABC及两点M、N．求作：点P，使得PM PN，且P点到ABC两边所在的直线的距离相等．NM CB A【解析】因为是两边所在的直线，所以有两个答案．答案一：ABC 内角平分线与线段MN 的垂直平分线的交点PNMCBA答案二：ABC 外角平分线与线段MN 的垂直平分线的交点CPBANM【例11】(2003长沙)如图，请根据小文在镜中的像写出他的运动衣上的实际号码：_______．【解析】108【例12】(2004河南)如图，直线l 是四边形ABCD 的对称轴，若AB CD ，有下面的结论：①AB CD ∥②AC BD ③AO OC ④AB BC ，其中正确的结论有_______．lODCBA【解析】①②③【巩固】(2003安徽)如图，l 是四边形ABCD 的对称轴，如果AD BC ∥，有下列结论：①AB CD ∥②ABBC③AB BC ④AO OC ．其中正确的结论是_________．(?把你认为正确的结论的序号都填上)l ODCBA【解析】①、②、④【例13】(2003南宁市)尺规：把右图(实线部分)补成以虚线L 为对称轴的轴对称图形，你会得到一只美丽蝴蝶的图案(不用写作法、保留作图痕迹)．【解析】答案见右上图．板块二、轴对称的应用【例14】如图，ABC 和'''A B C 关于直线l 对称，且90B ，''6cm A B ，求'B 的度数和AB 的长．LC'B'A'CBA【解析】∵ABC 和'''A B C 关于直线l 成轴对称∴'B B ，''AB A B ；又∵90B ，''6cm A B ∴'90B ，6cm AB ．【例15】如图，有一块三角形田地，10cm ABAC，作AB 的垂直平分线ED 交AC 于D ，交AB 于E ，量得BDC 的周长为17m ，请你替测量人员计算BC 的长．【解析】∵ED 垂直平分AB∴DA DB ，∵17m BD DC BC ，∴17mAD DCBC ∵10m AC ，∴7m BC．【巩固】如图，ABC 中，BC 边的垂直平分线DE 交BC 于D ，交AC 于E ，5BE 厘米，BCE 的周长是18厘米，则BC 等于多少厘米？EDCBA【解析】∵ED 垂直平分BC∴EB EC ，∵BEC 的周长为18cm ∴8cm BC ．【例16】如图，已知40AOB，CD为OA的垂直平分线，求ACB的度数．O DC BA【解析】∵CD垂直平分OA∴CO CA∴O A∵40O∴40A∴80ACB A O．【例17】(2004陕西)已知：如图，在ABC中，2AB BC，120ABC，BC平行于x轴，点B?的坐标是(3,1)．⑴画出ABC关于y轴对称的'''A B C；⑵求以点A、B、'B、'A为顶点的四边形的面积．【解析】⑴画图正确⑵过A点作AD BC，交BC的延长线于点D，则18060ABD ABC，在Rt ABD中，BD＝AB·cos∠ABD＝2×12＝1AD ＝AB ·sin ∠ABD =2×32＝3又知点B 的坐标为(-3，1) 可得点A 的坐标为413，∵'AA y 轴，'BB y 轴∴''AA BB ∥∵AB 与''A B 不平行∴以点''A B B A ，，，为顶点的四边形是等腰梯形由点A 、B 的坐标可求得'248'236AA BB ，∴梯形''ABB A 的面积＝12(AA ′+BB ′)·AD ＝12×(8+6)×3=73．板块三、轴对称在几何最值问题中的应用【例18】已知点A 在直线l 外，点P 为直线l 上的一个动点，探究是否存在一个定点B ，当点P 在直线l 上运动时，点P 与A 、B 两点的距离总相等，如果存在，请作出定点B ；若不存在，请说明理由．【解析】点B 与点A 重合，或者点B 是点A 关于直线l 的对称点．【例19】如图，在公路a 的同旁有两个仓库A 、B ，现需要建一货物中转站，要求到A 、B 两仓库的距离和最短，这个中转站M 应建在公路旁的哪个位置比较合理？aBA【解析】答案见右上图．【巩固】若此题改成，在a 上找到M 、N 两点，且10MN ，M 在N 的左边，使四边形ABMN 的周长最短．aBABNMB''AaB ‘【解析】见右上图．【例20】(”五羊杯”邀请赛试题)如图，45AOB ，角内有点P ，在角的两边有两点Q 、R (均不同于O点)，求作Q 、R ，使得PQR 的周长的最小．POBARQPOBA【解析】见右上图．【巩固】如图，M 、N 为ABC 的边AC 、BC 上的两个定点，在AB 上求一点P ，使PMN 的周长最短．NMCBA【解析】见右上图．【例21】(2000年全国数学联赛)如图，设正ABC 的边长为2，M 是AB 边上的中点，P 是BC 边上的任意一点，PAPM 的最大值和最小值分别记为s 和t ．求22st 的值．MPCBAM'MPCBA【解析】作点M 关于BC 的对称点'M ，连接'AM 、'PM ．由点M 、'M 关于BC 对称可知，'PM PM ．故''PA PM PA PM AM ≥当且仅当A 、P 、'M 共线时，等号成立，故22(')7tAM ．另外两个临界位置在点B 和点C 处．当点P 位于点C 处时，23PA PMAC CM ；当点P 位于点B 处时，3PA PMAB BM．故22(23)743s，2243st．本题也可作点A 关于BC 的对称点'A ，连接'A M 、'PA ．【例22】已知如图，点M 在锐角AOB 的内部，在OB 边上求作一点P ，使点P 到点M 的距离与点P 到OA的边的距离和最小．PM'MOBAM OBA【解析】见右上图．【例23】已知：A 、B 两点在直线l 的同侧，在l 上求作一点M ，使得||AMBM 最小．【解析】见右上图．【巩固】已知：A 、B 两点在直线l 的同侧，在l 上求作一点M ，使得||BM AM最大．【解析】见右上图．【例24】(07年三帆中学期中试题)如图，正方形ABCD 中，8AB，M 是DC 上的一点，且2DM，N 是AC 上的一动点，求DNMN 的最小值与最大值．NMDC B ANMD CB A【解析】找点D 关于AC 的对称点，由正方形的性质可知，B 就是点D 关于AC 的对称点，连接BN 、BM ，由DN MN BN MN BM 可知，当且仅当B 、N 、M 三点共线时，DN MN 的值最小，该最小值为226810．当点N 在AC 上移动时，有三个特殊的位置我们要考察：BM 与AC 的交点，即DN MN 取最小值时；当点N 位于点A 时，8217DN MNADAM；当点N 位于点C 时，8614DNMN CD CM ．故DN MN 的最大值为8217．【巩固】例题中的条件不变，求DN MN 的最小值与最大值．【解析】当DNMN 时，DNMN 有最小值为0，此时点N 位于DM 的垂直平分线与AC 的交点处．2DNMNDM，当点N 与点C 重合时，等号成立，此时有最大值2．【巩固】(黑龙江省中考题)如图，已知正方形ABCD 的边长为8，M 在DC 上，且2DM ，N 是AC 上的一个动点，则DN MN 的最小值是MD CBA【解析】连接BM 交AC 于N ，此点即为所求．所以根据勾股定理，10DN MN．【例25】(2004郸县改编)某供电部门准备在输电主干线l 上连接一个分支线路同时向新落成的A 、B 两个居民小区送电，分支点为M ，已知居民小区A 、B 到主干线l 的距离分别为12AA 千米，12BB 千米，且114A B 千米．⑴居民小区A 、B 在主干线l 的两旁如图⑴所示，那么分支点M 在什么地方时总线路最短？最短线路的长度是多少千米？⑵如果居民小区A 、B 在主干线l 的同旁，如图⑵所示，那么分支点M 在什么地方时总线路最短？此时分支点M 与1A 距离多少千米？l (1)ABA 1B 1l (2)ABA 1B 1Ml A 1ABB 1Ml AB A 1B 1B 2【解析】⑴连结AB ，AB 与l 的交点就是所求的分支点M ，分支点开在此处总线路最短，如图，因为1190BB M AA M ，11BMB AMA ．所以11B BM A AM ≌．所以12A M．由勾股定理，得22AMBM，42ABAMBM，所以分支点M 在线段11A B 上距A 点22千米处，最短线段的长度为42千米；⑵如图，作B 点关于直线l 的对称点2B ，连结2AB 交直线l 于点M ，此处即为分支点，由图可知，1A M 的长度为2千米．点拨：在解本题时，应注意线段最短，在第⑵问中也可以先画A 点的对称点A 2．【例26】(09山东临沂)如图，A ，B 是公路l (l 为东西走向)两旁的两个村庄，A 村到公路l 的距离1km AC ，B 村到公路l 的距离2km BD ，B 村在A 村的南偏东45方向上．⑴求出A ，B 两村之间的距离；⑵为方便村民出行，计划在公路边新建一个公共汽车站P ，要求该站到两村的距离相等，请用尺规在图中作出点P 的位置(保留清晰的作图痕迹，简明书写作法)．【解析】⑴方法一：设AB 与CD 的交点为O ，根据题意可得45A B ．∴ACO 和BDO 都是等腰直角三角形．∴2AO，22BO．∴A B ，两村的距离为22232kmABAOBO方法二：过点B 作直线l 的平行线交AC 的延长线于E ．易证四边形CDBE 是矩形，∴2CE BD ．在Rt AEB 中，由45A ，可得3BE EA ．323332kmAB ∴A B ，两村的距离为32km ．⑵作图正确，痕迹清晰．作法：①分别以点A B ，为圆心，以大于12AB 的长为半径作弧，两弧交于两点M ，N ，作直线MN ；②直线MN 交l 于点P ，点P 即为所求．家庭作业【习题1】(08苏州)下列图形中，轴对称图形．．．．．的是BACDlN MOP北东BACDl【解析】D【习题2】⑴(09湖南株洲)下列四个图形中，不是轴对称图形的是( )A．B．C．D．⑵(08山东烟台)下列交通标志中，不是轴对称图形的是( )⑶(08年广东省)下列图形中是轴对称图形的是 ( )【解析】⑴Ｄ；⑵Ｃ；⑶Ｃ．【习题3】如图，ABC中，90A，BD为ABC的平分线，DE BC，E是BC的中点，求C的度数．ED CBA【解析】∵BD平分ABC∴ABD EBD∵DE垂直平分BC∴BD CD，DBE C∴ABD DBE C∵90A∴30ABD DBE C．【习题4】(四川省竞赛题)如图，在等腰Rt ABC中，3CA CB，E的BC上一点，满足2BE，在斜边AB 上求作一点P使得PC PE长度之和最小．PE'ECBAE PC BA【解析】见右上图．【习题5】在正方形ABCD 中，E 在BC 上，2BE，1CE ，P 在BD 上，求PE 和PC 的长度之和的最小值．E PDC B AE ‘E PDCB A【解析】当'E 、P 、C 三点共线时，PE PC 有最小值13．备选【备选1】(2004天津)在下列图形中，既是轴对称图形，又是中心对称图形的是( )【解析】C【备选2】判断下列图形(图)是否为轴对称图形？如果是，说出它有几条对称轴．⑴⑵⑶⑷⑸⑹⑺⑻⑼【解析】是轴对称图形的有：⑵，⑷，⑹，⑺，⑼；分别有1条，1条，4条，1条，2条对称轴．【备选3】(2008年荆门市中考题)如图，菱形ABCD 的两条对角线分别长6和8，点M 、N 分别是变AB 、BC的中点，在对角线AC 求作一点P 使得PM PN 的值最小．PNMDCBAN'ABC DMNP【解析】见右上图．。
北师大版数学七年级下册第五章生活中的轴对称轴对称的应用将军饮马中的木兰辞问题优秀教学案例
（二）过程与方法
1.学生.学生在解决将军饮马和木兰辞问题的过程中，学会运用数学建模的方法，提高他们的问题解决能力。
3.学生通过合作交流，学会分享思路，培养团队协作能力和沟通能力。
北师大版数学七年级下册第五章生活中的轴对称轴对称的应用将军饮马中的木兰辞问题优秀教学案例
一、案例背景
北师大版数学七年级下册第五章“生活中的轴对称”是学生从理论角度认识和理解轴对称现象的重要阶段。这一章节内容与现实生活紧密相连，学生通过学习能够更好地体会数学在生活中的应用。而“将军饮马中的木兰辞问题”则是本章的一个经典应用题，它既能够激发学生对数学问题的兴趣，又能让学生在解决实际问题的过程中深化对轴对称知识的理解。
2.学生分组讨论，教师巡回指导，给予必要的支持和帮助。
3.小组代表分享讨论成果，大家共同总结轴对称在生活中的应用。
（四）总结归纳
1.教师引导学生总结本节课所学内容，包括轴对称的定义、性质和应用。
2.学生通过总结，巩固所学知识，提高对轴对称的理解。
3.教师强调轴对称在实际生活中的重要性，激发学生学习的积极性。
（五）作业小结
1.布置作业：要求学生结合生活中的实例，运用轴对称知识解决问题。
2.学生完成作业，教师及时批改，给予评价和建议。
3.通过作业反馈，了解学生对课堂所学知识的掌握程度，为下一步教学提供参考。
五、教学反思
本节课通过导入、讲授、讨论、总结和作业等环节，引导学生学习轴对称知识，培养学生的问题解决能力。在教学过程中，注重激发学生的学习兴趣，提高他们的观察能力和抽象思维能力。同时，注重小组合作，培养学生的团队协作能力和沟通能力。通过本节课的教学，学生对轴对称有了更深入的理解，能够运用所学知识解决实际问题。但在教学过程中，也发现部分学生对轴对称的判断方法掌握不够扎实，需要在今后的教学中加强巩固。总体来说，本节课达到了预期的教学目标，取得了较好的教学效果。
FY2024苏科版新八年级数学暑假大师课-重难点05轴对称之“将军饮马”模型(学生版)
重难点05轴对称之“将军饮马”模型1.识别几何模型。
2.利用“将军饮马”模型解决问题如图，将军在图中点A 处，现在他要带马去河边喝水，之后返回军营，问：将军怎么走能使得路程最短？B 将军军营河如图，在直线上找一点P 使得PA +PB 最小？A这个问题的难点在于PA +PB 是一段折线段，通过观察图形很难得出结果，关于最小值，我们知道“两点之间，线段最短”、“点到直线的连线中，垂线段最短”等，所以此处，需转化问题，将折线段变为直线段． 【模型解析】作点A 关于直线的对称点A ’，连接PA ’，则PA ’=PA ，所以PA +PB =PA ’+PB'AP当A’、P、B三点共线的时候，PA’+PB=A’B，此时为最小值（两点之间线段最短）类型一：两定一动之点点在OA、OB上分别取点M、N，使得△PMN周长最小．B B此处M、N均为折点，分别作点P关于OA（折点M所在直线）、OB（折点N所在直线）的对称点，化折线段PM+MN+NP为P’M+MN+NP’’，当P’、M、N、P’’共线时，△PMN周长最小．类型二：两定两动之点点在OA、OB上分别取点M、N使得四边形PMNQ的周长最小。
BB考虑PQ是条定线段，故只需考虑PM+MN+NQ最小值即可，类似，分别作点P、Q关于OA、OB对称，化折线段PM+MN+NQ为P’M+MN+NQ’，当P’、M、N、Q’共线时，四边形PMNQ的周长最小。
类型三：一定两动之点线在OA、OB上分别取M、N使得PM+MN最小。
P'MNBAPOOPABN M此处M 点为折点，作点P 关于OA 对称的点P ’，将折线段PM +MN 转化为P ’M +MN ，即过点P ’作OB 垂线分别交OA 、OB 于点M 、N ，得PM +MN 最小值（点到直线的连线中，垂线段最短）一．选择题（共5小题）1．（2021秋•苏州期末）在平面直角坐标系中，已知点A （﹣1，2），点B （﹣5，6），在x 轴上确定点C ，使得△ABC 的周长最小，则点C 的坐标是（ ） A ．（﹣4，0）B ．（﹣3，0）C ．（﹣2，0）D ．（﹣2.5，0）2．（2022秋•江都区月考）如图，△ABC 中，AB ＝AC ，BC ＝3，S △ABC ＝6，AD ⊥BC 于点D ，EF 是AB 的垂直平分线，交AB 于点E ，交AC 于点F ，在EF 上确定一点P ，使PB +PD 最小，则这个最小值为（ ）A ．3.5B ．4C ．4.5D ．53．（2020秋•如皋市期末）如图，△ABC 中，AD ⊥BC ，垂足为D ，AD ＝BC ，P 为直线BC 上方的一个动点，△PBC 的面积等于△ABC 的面积的，则当PB +PC 最小时，∠PBC 的度数为（ ）A ．30°B ．45°C ．60°D ．90°4．（2021秋•如皋市期末）如图，在△ABC中，∠C＝90°，AC＝BC＝2，D为AB上一动点，DE∥AC，DE＝2，则AE+CE的最小值等于（）A．4B．2C．3D．+25．（2022秋•如东县期末）如图，边长为a的等边△ABC中，BF是AC上中线且BF＝b，点D在BF上，连接AD，在AD的右侧作等边△ADE，连接EF，则△AEF周长的最小值是（）A．B．C．a+b D．a二．填空题（共5小题）6．（2022秋•句容市月考）如图，在△ABC中，AB＝AC＝10，BC＝12，AD＝8，AD是∠BAC的角平分线，若E，F分别是AD和AC上的动点，则EC+EF的最小值是．7．（2021秋•如皋市月考）如图，等边△ABC的边长为6，AD是高，F是边AB上一动点，E是AD上一动点，则BE+EF的最小值为．8．（2022秋•镇江期中）如图，在△BCD中，∠BDC＝90°，∠DBC＝30°，射线CN平分∠BCD，AB∥CD，AB＝10，BD＝24，点F为BC的中点，点M为射线CN上一动点，则MF+MA的最小值为．9．（2022秋•江宁区校级月考）如图，等腰直角△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝BC＝4，D为BC的中点，AD＝2，若P为AB上一个动点，则PC+PD的最小值为．10．（2022秋•海安市期末）如图，在△ABC中，∠BAC＝30°，AB＝AC＝2，点E为射线AC上的动点，DE∥AB，且DE＝2．当AD+BD的值最小时，∠DBC的度数为．三．解答题（共8小题）11．（2022秋•苏州期中）（1）如图，河道上A，B两点（看作直线上的两点）相距200米，C，D为两个菜园（看作两个点），AD⊥AB，BC⊥AB，垂足分别为A，B，AD＝80米，BC＝70米，现在菜农要在AB上确定一个抽水点P，使得抽水点P到两个菜园C，D的距离和最短．请在图中作出点P，保留作图痕迹，并求出PC+PD的最小值．（2）借助上面的思考过程，请直接写出当0＜x＜15时，代数式+的最小值＝．12．（2022秋•秦淮区校级月考）（1）在图中作出△ABC关于直线l对称的△A1B1C1（要求A与A1，B与B1，C与C1相对应）；（2）在直线l上找一点P，使得P A+PC的和最小．13．（2022秋•江都区校级月考）如图，在所给网格图（每小格均为边长是1的正方形）中完成下列各题：（用直尺画图）（1）画出格点△ABC（顶点均在格点上）关于直线DE对称的△A1B1C1；（2）在DE上画出点P，使△PBC的周长最小．（3）在DE上找一点M，使|MC﹣MB|值最大．（4）△ABC的面积是．14．（2022秋•宜兴市月考）请在如图所示的正方形网格中完成下列问题：（1）如图，请在图中作出△ABC关于直线MN成轴对称的△A′B′C′；（2）求出△ABC的面积．（3）在直线MN上找一点P，使得PC+PB最小．15．（2022秋•江阴市期中）如图，方格纸中每个小正方形的边长均为1，四边形ABCD的四个顶点都在小正方形的顶点上，点E在边BC上，且点E在小正方形的顶点上，连接AE．（1）在图中画出△AEF，使△AEF与△AEB关于直线AE对称；（2）△AEF与四边形ABCD重叠部分的面积＝；（3）在AE上找一点P，使得PC+PD的值最小．16．如图，等边△ABC的边长为6，AD是BC边上的中线，M是AD上的动点，E是AB边上一点，若AE ＝2，求EM+BM的最小值．17．（2021秋•连云港期末）【问题情境】八上《伴你学》第138页有这样一个问题：如图1，把一块三角板（AB＝BC，∠ABC＝90°）放入一个“U”形槽中，使三角形的三个顶点A、B、C分别在槽的两壁及底边上滑动，已知∠D＝∠E＝90°，在滑动过程中，你发现线段AD与BE有什么关系？试说明你的结论；【变式探究】小明在解决完这个问题后，将其命名为“一线三等角”模型；如图2，在△ABC中，点D、E、F分别在边BC、AC、AB上，若∠B＝∠FDE＝∠C，则这三个相等的角之间的联系又会使图形中出现其他的一些等角．请你写出其中的一组，并加以说理；【拓展应用】如图3，在△ABC中，BA＝BC，∠B＝45°，点D、F分别是边BC、AB上的动点，且AF ＝2BD．以DF为腰向右作等腰△DEF，使得DE＝DF，∠EDF＝45°，连接CE．①试判断线段DC、BD、BF之间的数量关系，并说明理由；②如图4，已知AC＝2，点G是AC的中点，连接EA、EG，直接写出EA+EG的最小值．18．（2020秋•南京期中）某班级在探究“将军饮马问题”时抽象出数学模型：直线l同旁有两个定点A、B，在直线l上存在点P，使得P A+PB的值最小．解法：如图1，作点A关于直线l的对称点A′，连接A′B，则A′B与直线l的交点即为P，且P A+PB的最小值为A′B．请利用上述模型解决下列问题：（1）几何应用：如图2，△ABC中，∠C＝90°，AC＝BC＝2，E是AB的中点，P是BC边上的一动点，则P A+PE的最小值为；（2）代数应用：求代数式+（0≤x≤3）的最小值；（3）几何拓展：如图3，△ABC中，AC＝2，∠A＝30°，若在AB、AC上各取一点M、N使CM+MN 的值最小，最小值是．一．选择题（共2小题）1．（2022秋•和平区校级期末）如图，在等边三角形ABC中，BC边上的高AD＝8，E是高AD上的一个动点，F是边AB的中点，在点E运动的过程中，存在EB+EF的最小值，则这个最小值是（）A．5B．6C．7D．82．（2022秋•乌鲁木齐期末）如图，在锐角△ABC中，∠C＝40°；点P是边AB上的一个定点，点M、N 分别是AC和BC边上的动点，当△PMN的周长最小时，∠MPN的度数是（）A．90°B．100°C．110°D．80°二．填空题（共5小题）3．（2022秋•灵宝市期末）如图，在△ABC中，AB＝5，AC＝7．MN为BC边上的垂直平分线，若点D在直线MN上，连接AD，BD，则△ABD周长的最小值为．4．（2022秋•白云区校级期末）如图，等腰△ABC的底边长为8，面积是24，腰AB的垂直平分线MN交AB于点M，交AC于点N．点D为BC的中点，点E为线段MN上一动点，设△BDE的周长的最小值为a，则式子[2a3•a5+（3a4）2]÷a6值是．5．（2022秋•明水县校级期末）如图，在等边△ABC中，E为AC边的中点，AD垂直平分BC，P是AD上的动点．若AD＝6，则EP+CP的最小值为．6．（2022秋•岳阳县期末）如图，已知点D、点E分别是等边三角形ABC中BC、AB边的中点，AD＝6，点F是线段AD上的动点，则BF+EF的最小值为．7．（2022秋•滨城区校级期末）如图，在四边形ABCD中，∠BAD＝115°，∠B＝∠D＝90°，在BC，CD 上分别找一个点M，N使△AMN的周长最小，则∠AMN+∠ANM＝．三．解答题（共3小题）8．（2022秋•宜春期末）如图，在△ABC中，AB＝AC，∠BAC＝120°，AB边的垂直平分线DE交AB于点D，若AE＝3，（1）求BC的长；（2）若点P是直线DE上的动点，直接写出P A+PC的最小值为．9．（2022秋•新华区校级期末）如图所示．（1）作出△ABC关于y轴对称的图形△A1B1C1；（2）在x轴上确定一点P，使得P A+PC最小；（3）求出△ABC的面积．10．（2022秋•金牛区校级期末）已知A（1，4），B（2，0），C（5，2）．（1）在如图所示的平面直角坐标系中描出点A，B，C，并画出△ABC；（2）画出△ABC关于y轴对称的△A'B'C'；（3）点P在x轴上，并且使得AP+PC的值最小，请标出点P位置并写出最小值．。
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轴对称的应用
将军饮马问题
【基础练习】
1． 如图，A 、B 是两个蓄水池，都在河流a 的同侧，为了方便灌溉作物， 要在河边建一
个抽水站，将河水送到A 、B 两地，问该站建在河边什么地方， 可使所修的渠道最短，试在图中确定该点（保留作图痕迹）
2.如图，已知牧马营地在P 处，每天牧马人要赶着马群先到河边饮水，再带到草地吃草，然后回到营地，请你替牧马人设计出最短的放牧路线．
3.如图，直线l 是一条河，P ，Q 两地相距8千米，P ，Q 两地到l 的距离分别为2千米，5千米，欲在l 上的某点M 处修建一个水泵站，向P ，Q 两地供水，现有如下四种铺设方案，图中实线表示铺设的管道，则铺设的管道最短的是（ ）
A ．
B ．
C ．
D ．
草地
河流
营地
P
4.如图，直线L 是一条河，P ，Q 是两个村庄．欲在L 上的某处修建一个水泵站，向P ，Q 两地供水，现有如下四种铺设方案，图中实线表示铺设的管道，则所需管道最短的是（ ） A ．
B ．
C ．
D ．
5.如图，牧童在A 处放牛，其家在B 处，A 、B 到河岸的距离分别为AC 和BD ，且AC=BD ，若点A 到河岸CD 的中点的距离为500米，则牧童从A 处把牛牵到河边饮水再回家，最短距离是（ ）
A ．750米
B ．1000米
C ．1500米
D ．2000米
6.如图，在一条公路CD 的同一侧有A 、B 两个村庄，A 、B 与公路的距离AC 、BD 分别为500m 和700m ，且C 、D 两地相距500m ，若要公路旁（在CD 上）建一个车站，则A 、B 两村庄到车站的距离之和最短是（ ）
A ．1000m
B ．1200m
C ．1300m
D ．1700m
7.如图，C 、D 、E 、F 是一个长方形台球桌的4个顶点，A 、B
是桌面上的两个球，怎样击
打A球，才能使A球撞击桌面边缘CF后反弹能够撞击B球？请画出A 球经过的路线，并写出作法．
【培优练习】
8.体育课上有这样一个游戏，从A点起跑，跑到直线l上某一点抱一个篮球，先后经过B点和C点，再回到点A．要想赢得比赛，请你设计出最短路线．在图中用实线画出路线，并将篮球的位置用O表明．
9.如图，甲乙丙丁四人做接力游戏．开始时，甲站在长方形操场ABCD内部的E点处，丙在BC的中点G处，乙，丁分别站在AB、CD边上．游戏规则是，甲将接力棒传给乙，乙传给丙，丙传给丁，最后丁跑回传给甲．如果他们四人的速度相同，试找出乙，丁站在何处，他们的比赛用时最短？（请画出路线，并保留作图痕迹，作法不用写）。