中科大近似算法作业
中科大算法导论第一二次和第四次作业答案PPT学习教案
取c 1/ 3，n 2时，有T (n) cn lg n,T (n) (n lg n)
所以T (n) (n lg n). 第5页/共18页
4.1-4证明合并排序算法的“准确”递归式(4.2)的解为
Θ(nlgn)
(1)
如果n 1
T (n) T (n / 2) T (n / 2) (n) 如果n 1
c(n
/
2)
lg(
n
/
2)
c(n/2)Fra biblioteklg(
n
/
2)
(n)
c
n 2
lg(
n 2
)
c
n
1 2
lg(
n
2
1)
(n)
c n lg( n) c n 1lg( n 1) (n) cn lg n 22 2 2
c n lg( n) c n 1lg( n 1) (n) cn lg n 0 22 2 2
14.
i++
15.
else do A[k]=R[j]
16.
j++
17.
k++
18. while(i<=n1) 19. do A[k++]=L[i++]
20. while(j<=n2)
21. do A[k++]=R[j++]
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第二次作业
3.2-3 证明等式lg(n!)=Θ(nlgn)。并证明等式n!=ω(2n)和
2
2
cn lg n 1 (1 c)n c lg( n 1) c 0 n
lg( n 1) lg(1 1)是递增函数，取n 2,则lg(n 1) 1
26-近似算法(1)
最小生成树法针对满足三角不等式的货郎问题最小生成树法MST: 首先, 求图的一棵最小生成树T. 然后, 沿着T 走两遍得到图的一条欧拉回路. 最后, 顺着这条欧拉回路, 跳过已走过的顶点, 抄近路得到一条哈密顿回路.例求最小生成树和欧拉回路都可以在多项式时间内完成, 故算法是多项式时间的.最小生成树法的性能定理对货郎问题的所有满足三角不等式的实例I,MST(I) < 2OPT(I)证因为从哈密顿回路中删去一条边就得到一棵生成树, 故T 的权小于OPT(I). 沿T 走两遍的长小于2OPT(I). 因为满足三角不等式, 抄近路不会增加长度, 故MST(I) < 2OPT(I).MST是2-近似算法.⎪ 紧实例OPT(I) = 2n MST(I) = 4n-2=⎛2 -⎝1 ⎫OPT( I)n ⎭最小权匹配法最小权匹配法MM:首先求图的一棵最小生成树T.记T 的所有奇度顶点在原图中的导出子图为H, H 有偶数个顶点, 求H 的最小匹配M. 把M 加入T 得到一个欧拉图, 求这个欧拉图的欧拉回路; 最后, 沿着这条欧拉回路, 跳过已走过的顶点, 抄近路得到一条哈密顿回路.求任意图最小权匹配的算法是多项式时间的, 因此MM 是多项式时间的.最小权匹配法的性能定理对货郎问题的所有满足三角不等式的实例I,MM( I) 3OPT( I) 2证由于满足三角不等式, 导出子图H 中的最短哈密顿回路C 的长度不超过原图中最短哈密顿回路的长度OPT(I). 沿着C 隔一条边取一条边, 得到H 的一个匹配. 总可以使这个匹配的权不超过C 长的一半. 因此, H 的最小匹配M 的权不超过OPT(I)/2, 求得的欧拉回路的长小于(3/2)OPT(I). 抄近路不会增加长度, 得证MM(I)< (3/2)OPT(I).MM是3/2 -近似算法货郎问题的难度定理货郎问题(不要求满足三角不等式) 是不可近似的, 除非P = NP.证假设不然, 设A是货郎问题的近似算法, 其近似比r ≤K, K是常数. 任给图G = <V,E>, 如下构造货郎问题的实例I G: 城市集V, ∀u,v∈V,若(u,v)∈E, 则令d(u,v)=1; 否则令d(u,v)=Kn,其中|V| = n. 若G 有哈密顿回路, 则OPT(I G) = n, A(I G) ≤r OPT(I G) ≤Kn否则OPT(I G) > Kn, A(I G) ≥ OPT(I G) > Kn所以, G 有哈密顿回路当且仅当A(I) ≤KnG15K15K15K 1 15K实例1HC货郎问题HC 实例有哈密顿回路，则货郎问题实例有长度不超过 n 的旅行，即近似算法的解不超过 Kn . 若HC 实例没有哈密顿回路，则货郎实例的旅行路线长度大于 Kn .7证明下述算法可以判断图G 是否有哈密顿回路.算法1.由I 构造货郎问题的实例I G2.对I G 运用近似算法A3.若A(I G) Kn, 则输出“Yes”; 否则输出“No”由于K是固定的常数, 构造I可在O(n2) 时间内完成且G| I G| = O(n2). A是多项式时间的, A 对I G 可在n 的多项式时间内完成计算, 所以上述算法是HC 的多项式时间算法. 而HC 是NP 完全的, 推得P=NP.⎨∑ 0-1背包问题0-1背包问题的优化形式: 任给 n 件物品和一个背包, 物品 i 的重量为 w i , 价值为 v i , 1≤ i ≤ n , 背包的重量限制为 B , 其中 w i , v i 以及 B 都是正整数.把哪些物品装入背包才能在不超过重量限制的条件下使得价值最大? 即, 求子集 S *⊆{1,2,⋯,n } 使得∑ v ii ∈S * = max ⎧ v ⎩ i ∈S | ∑ w i i ∈S ≤ B , S ⊆ {1,2. ⎫, n }⎬. ⎭i一个简单的贪心算法贪心算法G-KK1.按单位重量的价值从大到小排列物品. 设v1/w1 ≥v2/w2 ≥⋯≥v n/w n.2.顺序检查每一件物品, 只要能装得下就将它装入背包,设装入背包的总价值为V.3. 求v k = max{ v i | i = 1, 2, ⋯, n }.>V, 则将背包内的物品换成物品k.若vk,v i): (3,7), (4,9), (5,9), (2,2); B=6.实例(wiG-KK给出的解是装入(3,7)和(2,2), 总价值为9.若把第3件物品改为(5,10), 则装入第3件, 总价值为10. 这两个实例的最优解都是装入(4,9)和(2,2), 总价值为11.G-KK的性能定理对0-1背包问题的任何实例I, 有OPT(I) < 2G-KK(I)证设物品l 是第一件未装入背包的物品, 由于物品按单位重量的价值从大到小排列, 故有OPT(I) < G-KK(I) + v l≤ G-KK(I) + v max≤ 2 G-KK(I).G-KK是2-近似算法.多项式时间近似方案算法PTAS 输入ε> 0和实例I.1. 令m = ⎡1/ε⎤.2.按单位重量的价值从大到小排列物品. 设v1/w1 ≥v2/w2 ≥⋯≥v n/w n.3.对每一个t =1,2,⋯, m 和t 件物品, 检查这t 件物品的重量之和. 若它们的重量之和不超过B, 则接着用G-KK把剩余的物品装入背包.4.比较得到的所有装法, 取其中价值最大的作为近似解. PTAS是一簇算法. 对每一个固定的ε> 0, PTAS是一个算法, 记作PTASε.C Cn + + n n n例子取ε =0.1，m =10.t =1: 尝试 n 次, 装入背包物品集分别为{1},{2},…,{n }，再使用 G-KK 算法t =2: 尝试 n (n -1)/2次，装入物品集分别是{1, 2},{1, 3}, …, {n -1, n }，再使用G-KK 算法.… t =10: 尝试10 次，装入物品集为 {1,…,9,10}, {1,…,9,11},…, {n -9,n -8,…,n -1,n }，再用G-KK 算法. 总计运行G-KK 算法次数至多：1 2 ... + 10C C，PTAS的性能定理对每一个ε> 0和0-1 背包问题的实例I,OPT(I) < (1+ε) PTASε(I),且PTASε的时间复杂度为O(n1/ε+2 ) .证设最优解为S*. 若|S*| ≤m, 则算法必得到S*. 设|S*| > m. 考虑计算中以S*中m 件价值最大的物品为基础, 用G-KK 得到的结果S. 设物品l 是S* 中第一件不在S 中的物品, 在此之前G-KK装入不属于S* 的物品(肯定有这样的物品, 否则应该装入物品l ) 单位重量的价值都不小于v/w l , 当然也l不小于S* 中所有没有装入的物品的单位重量的价值, 故有OPT(I) < ∑i∈S v i + v lS 包括S* 中m 件价值最大的物品, 它们的价值都不小于v l ,v≤∑i∈S v/mc + n n≤nm多项式时间近似方案OPT(I) < ∑i∈S v i + v l≤∑i∈S v i + ∑i∈S v i /m≤ (1+1/m) PTASε(I)≤(1+ε) PTASε(I)时间复杂度. 从n 件物品中取t 件( t =1,2,⋯,m), 所有可能取法的个数为1 2 + + m m ⋅nm!≤n m .对每一种取法, G-KK的运行时间为O(n), 故算法的时间复杂度为O(n m+1) = O(n1/ε+2 ).多项式时间近似方案: 以ε>0和问题的实例作为输入I, 对每一个固定的ε> 0, 算法是1+ε- 近似的.c c∑ 伪多项式时间算法与完全多项式时间近似方案完全多项式时间近似方案: 以 ε > 0和问题的实例 I 作为输入, 时间复杂度为二元多项式 p (|I |,1/ε), 且对每一个固定的 ε > 0, 算法的近似比为 1+ε .动态规划算法A 记G k (d ): 当只考虑前 k 件物品时, 为了得到不小于 d 的价值, 至少要装入的物品重量G k (d ) = ⎧ k min ⎨ ⎩ i =1 w i x i| ∑ i =1 v i x i ≥ d , x i = 0或1, 1 ≤ i ⎫ ≤ k ⎬, ⎭ 0 ≤ k ≤ n , 0 ≤ d ≤ D , D = v 1 + v 2 + ⋯ + v n约定: min ∅ = +∞OPT(I ) = max{ d | G n (d ) ≤ B }k⎩ ⎩ k 动态规划算法递推公式G 0 (d ) = ⎧0, ⎨+ ∞, 若d = 0, 若d > 0,G (d ) = ⎧min{G k (d ), w k +1 }, 若d ≤ v k +1 , k +1 ⎨min{G (d ),G (d - v ) + k k +1w k +1 }, 若d > v k +1 ,0 ≤ k ≤ n -1, 0 ≤ d ≤ D . A 的时间复杂度为O (nD )=O (n 2v max ), 是伪多项式时间算法.完全多项式时间近似方案算法FPTAS (Fully Polynomial-Time Approximation Scheme ) 输入 ε > 0和实例 I . 1. 令 ⎧⎢ b = max v max ⎥ ⎫ ⎨⎢(1 + 1 / ε )n ⎥ , 1⎬.⎩⎣⎦ ⎭ 2. 令 v i '=⎡v i /b ⎤, 1≤i ≤n . 把所有 v i 换成 v i ', 记新的实例为I '.3. 对 I ' 应用算法A 得到解 S , 把 S 取作实例 I 的解.定理 对每一个ε > 0和 0-1背包问题的实例 I ,OPT(I ) < (1+ε) FPTAS (I ),并且 FPTAS 的时间复杂度为 O (n 3(1+1/ε)) .证明证 由 于(v i '-1)b < v i ≤ v i 'b(1) 对任意的 T ⊆{1, 2, ⋯ , n }0 ≤ b ∑ i ∈T v i '-∑ i ∈T v i < b |T | ≤ bn (2) 设 I 的最优解为 S *, 注意到 S 是 I ' 的最优解, 故有 OPT(I )-FPTAS(I ) = ∑ i ∈S* v i -∑ i ∈S v i = ( ∑ i ∈S*v i - b ∑i ∈S*v i ' ) （≤0, 由式(1) v i ≤ v i 'b ） + ( b ∑i ∈S*v i '- b ∑i ∈S v i ' ) (≤0, S 是关于输入v i '的最优解) + ( b ∑i ∈S v i '- ∑ i ∈S v i )≤ (b ∑i ∈S v i '-∑i ∈S v i ) < bn （由式(2))ii v '=⎡v /b ⎤ ⎭ ⎦ ⎥ , ⎫. ⎩⎣ v max ⎨⎢(1 + 1 / ε )n ⎥ 1⎬ b = max ⎧⎢证明OPT(I )-FPTAS(I ) < bn 对每一个ε > 0, 若 b =1, 则 I ' 就是 I , S 是 I 的最优解. 设 b >1, 则OPT(I )-FPTAS(I )< v max /(1+1/ε)≤ OPT(I )/(1+1/ε) (因为v max ≤ OPT(I )) 得 OPT(I ) < (1+ε)FPTAS (I ).时间：主要是A 对I ' 的运算，时间复杂度为O (n 2v max /b ) = O (n 3(1+1/ε))20 i i ⎭v '=⎡v /b ⎤ ⎦ ⎥ , ⎫ ⎩⎣ v max ⎨⎢(1 + 1 / ε )n ⎥ 1⎬ b = max ⎧⎢。
近似算法
近似算法12.1 简介到目前为止，我们已经学习了很多可以在多项式时间内高效解决的问题，我们可以很快速的解决这些问题。
然而，在下面几讲，我们将考虑一些不知道如何高效解决的问题。
12.1.1 NP-完全性问题在学习这些问题的时候，我们会遇到这个概念NP-完全性。
NP-完全性问题是由很多组合和最优化问题组成，这些问题都有两个共同点：z没有很高效的算法；然而，我们可以在指数时间内解决这些问题。
z有高效的缩影存在于所有其他的NP-完全性问题中；因此，如果我们有一个黑盒，它能解决其中的一个问题，那么我们就能够高效的解决所有的问题。
下面就列举了一些NP-完全性问题的例子。
除了SAT的每一个问题都可以被阐明为最优化问题，尽管严格来说，它取决于每一个问题的NP-完全性。
另一方面讲，存在一个与SAT相关的最优化问题，称为MAXSAT。
在这个问题中，我们给出一个布尔公式，我们必须找到一些变量的赋值来最大化的满足子句。
可满足性问题(SAT)：给定一个布尔公式，是否存在一个变量的赋值使得它满足此公式(即使公式的值为真)？装箱问题：给定一些箱子和物品，这些物品有着特定的大小，这些箱子有着一定的容积，求出能容纳这些物品的所需的最小箱子数。
最大独立子集问题：给定一个图，找出节点的最大子集，使得在这个子集中没有两个节点是相互连接的。
背包问题：给定一个能容纳一定大小的背包和一些物品，这些物品有着特定的大小和价值，求出此背包能容纳的最大价值量。
并行机器调度问题：给定一组相同的机器和一组任务，这些任务都有特定的所需时间，求如何分配任务给这些机器，使得所有的机器完成分配给它们的任务所需的时间最小。
旅行商问题：找出一个最短路径使得旅行商从一个城市出发，最后又回到该城市，并且要求每一个城市只能经过一次。
所有的这些问题不能依赖于这个假定P≠NP高效的解决。
尽管这个推测还没有被证明，但是我们可以相信它是正确的，所以我们可以简单的假定P≠NP。
12.1.2 解决NP-完全性问题如果我们不知道如何高效的解决NP-完全性问题，那我们应该怎么做呢？启发式：一种可能性就是放弃寻求多项式算法，取而代之的是集中开发启发式的算法，它在实践中接近于多项式的时间复杂度。
中科大算法第二章近似算法--黄刘生(调整后适合打印版)
NP-完全性理论
Karp的贡献
理查德·卡普（Richard Karp ， 1935- ） 1972 年论文 ”Reducibility among Combinatorial Problems” 发 展和加强了由库克提出的“NP完全性”理论。 尤其是库 克仅证明了命题演算的可满足问题是NP完全的，而卡普则证明了从 组合优化中引出的大多数经典问题(背包问题、覆盖问题、匹配问 题、分区问题、路径问题、调度问题等)都是NP完全问题。只要证 明其中任一个问题是属于P类的，就可解决计算复杂性理论中最大 的一个难题，即P=?NP。
SAT∈P当且仅当P=NP
Cook 于1961 年获 Michigan 大学学士学位， 1962 和 1966年分获哈佛 大学硕士与博士学位。 1966-1970 ，他在 UC Berkeley 担任助教授； 1970年加盟多伦多大学，现为该校CS 和数学系教授，他的论文开启 了NP完备性的研究，令该领域于之后的十年成为计算机科学中最活 跃和重要的研究。因其在计算复杂性理论方面的贡献，尤其是在奠 定NP完全性理论基础上的突出贡献而荣获1982年度的图灵奖。
9
P、NP及NPC类问题
NP=？P
∵确定型图灵机是非确定型图灵机的特例，∴P⊆NP 是否有NP⊆P？即是否NP=P？
美国麻省的Clay数学研究所于2000年5月24日在巴黎法兰西学院宣 布：对七个“千年数学难题”中的每一个均悬赏 100 万美元，而 问题NP=？P位列其首:
1.P问题对NP问题 2.霍奇猜想 3. 庞加莱猜想 (2002.11-2003.7 ，俄罗斯数学家佩雷尔曼在 3 篇 论文预印本中证明了几何化猜想，2006被授予菲尔兹奖) 4.黎曼假设 5.杨－米尔斯存在性和质量缺口 6.纳维叶－斯托克斯方程的存在性与光滑性 7.贝赫和斯维讷通－戴尔猜想
(完整word版)近似算法的特点与计算方法、分类及概率算法的计算过程与应用(DOC)
近似算法和概率算法的特点与计算方法、分类及概率算法的计算过程与应用一．近似算法1近似算法的计算方法设D是一个最优化问题，A是一个算法,若把A用于D的任何一个实例I，都能在|I｜的多项式时间内得到I的可行解，则称算法A为问题D的一个近似算法，其中｜I|表示实例I的规模或输入长度，进而，设实例I的最优值为OP（I），而算法A所得到实例I 的可行解之值为A(I),则称算法A解实例I的性能比为R A（I）的性能比为R A（D）,同时称D有R A—近似解．其中A ( I)OP(I）, 若D为最小化问题.R A ( I) =OP(I) ，若D为最大化问题。
A （I）R A（D）=inf{r≥|R A（I）≤r，I∈D｝2近似算法的特点（1）解同一个问题的近似算法可能有多个（2）算法的时间复杂性:近似算法的时间复杂性必须是多项式阶的,这是设计近似算法的基本目标。
（3）解的近似程度：近似最优解的近似程度也是设计近似算法的重要目标。
近似程度可能与近似算法本身、问题规模，乃至不同的输入实例都有关。
3近似算法的分类（1）基于线性规划的近似算法（2）基于动态规划的近似算法（3）绝对近似类（4）相对近似类（5）P TAS类和FPTAS类（6）随机近似算法二．概率算法1概率算法的计算方法概率算法允许算法在执行的过程中随机选择下一个计算步骤。
许多情况下,当算法在执行过程中面临一个选择时，随机性选择常比最优选择省时.2概率算法的特点（1）不可再现性。
概率算法的一个特点是对所求解问题的同一实例用同一概率算法求解两次可能得到完全不同的效果。
（2）分析困难。
要求有概率论、统计学和数论的知识。
3概率算法的分类(1）数值概率算法。
数值概率算法常用于数值问题的求解。
这类算法所得到的往往是近似解。
而且近似解的精度随计算时间的增加不断提高.在许多情况下，要计算出问题的精确解是不可能或没有必要的,因此用数值概率算法可得到相当满意的解。
（2）蒙特卡罗（Monte Carlo）算法。
中科大软件学院算法实验报告
算法实验报告快速排序1. 问题描述：实现对数组的普通快速排序与随机快速排序(1)实现上述两个算法(2)统计算法的运行时间(3)分析性能差异，作出总结2. 算法原理：2.1快速排序快速排序是对冒泡排序的一种改进。
它的基本思想是：选取一个基准元素，通过一趟排序将要排序的数据分割成独立的两部分，其中一部分的所有数据都比基准元素小，另外一部分的所有数据都要比基准元素大，然后再按此方法对这两部分数据分别进行快速排序，整个排序过程可以递归进行，以此达到整个数据变成有序序列。
设要排序的数组是A[0]……A[N-1]，首先选取一个数据（普通快速排序选择的是最后一个元素, 随机快速排序是随机选择一个元素）作为关键数据，然后将所有比它小的数都放到它前面，所有比它大的数都放到它后面，这个过程称为一趟快速排序。
一趟快速排序的算法是：1）设置两个变量i、j，排序开始的时候：i=0，j=N-1；2）以第一个数组元素作为关键数据，赋值给key，即key=A[0]；3）从j开始向前搜索，即由后开始向前搜索(j--)，找到第一个小于key的值A[j]，将A[j]赋给A[i]；4）从i开始向后搜索，即由前开始向后搜索(i++)，找到第一个大于key的A[i]，将A[i]赋给A[j]；5）重复第3、4步，直到i=j；(3,4步中，没找到符合条件的值，即3中A[j]不小于key,4中A[i]不大于key的时候改变j、i的值，使得j=j-1，i=i+1，直至找到为止。
找到符合条件的值，进行交换的时候i，j指针位置不变。
另外，i==j这一过程一定正好是i+或j-完成的时候，此时令循环结束）。
2.2随机快速排序快速排序的最坏情况基于每次划分对主元的选择。
基本的快速排序选取第一个或者最后一个元素作为主元。
这样在数组已经有序的情况下，每次划分将得到最坏的结果。
一种比较常见的优化方法是随机化算法，即随机选取一个元素作为主元。
这种情况下虽然最坏情况仍然是O(n^2)，但最坏情况不再依赖于输入数据，而是由于随机函数取值不佳。
近似算法设计
(*)任务：细节
• 转化后问题的求解
– qj = eps*T + k*eps2*T <= pj k是整数 – 一台机器上的时间，离散后，约Q=1/eps2个 – 一台机器上的任务，至多有P=1/eps个
• 动态规划：任务集合S需要最少机器f(S)
– f(S)=1+min{f(S–R)} R是一台机器的任务集 – 状态数：O(nQ)，转移复杂度：O(QP)
– {qj}的工作量，是否可以在T时间内完成 – 证明见下页
(*)任务：细节
• 若转化后的问题有解
– 一台机器上不超过1/eps个任务 – pj – qj < 1/eps2 – 因此一台机器上的延时不超过1/eps – 存在一个最终期限不超过(1+eps)T的解
• 转化后的问题无解
– 由于pj > qj – 显然不存在最终期限不超过T的解
完成的工作
• 确定了二分范围
– [L, 2L]
二分算法
• 设二分上下界为T1, T2 • 二分过程
– 调用判定算法判断中点 (1+eps/2)是否有解
• 停止条件
–
,即
关于 停止
• 二分次数O(log2(1/eps))
(1+eps)-判定算法：细节
• 删去所有的pj <= eps*T • 判断余下的任务是否可以在(1+eps)T时间
• 粒子不同的排列结构，对应着不同的能 量水平。如果退火过程是缓慢进行的， 也就是说，温度的下降如果非常缓慢的 话，使得在每个温度下，粒子的排列都 达到一种平衡态，则当温度趋于0（绝对 温度）时，系统的能量将趋于最小值。
• 如果以粒子的排列或者相应的能量来表 达固体所处的状态，在温度T下，固体所 处的状态具有一定的随机性。一方面， 物理系统倾向于能量较低的状态，另一 方面，热运动又妨碍了系统准确落入低 能状态。
中国科学院大学 2014 秋季学期微积分习题及解答
|f ′(x0) − f ′(ξ)| < ϵ. 这和极限的定义不一致.
解答作业
7.
a)
考察函数
f (x)
=
−
1 αxα
,
我们有
f ′(x) =
. 1
x1+α
根据拉格朗日定理,
我们有
(
)
1 α
1
1
(n − 1)α − nα
=
f (n) − f (n − 1)
=
f ′(ξ)
=
1 ξ1+α
>
1 .
n1+α
中国科学院大学 2014 秋季学期微积分 I-A01 习题 10
课程教师：袁亚湘 助教：刘歆 2014 年 12 月 6 日，8:00-9:40
作业 1. 计算 f ′(x), 如果
{ ()
a) f (x) =
exp
−
1 x2
,
0,
如果x ̸= 0; 如果x = 0,
{
b) f (x) =
x2
sin
1 x
,
如果x ̸= 0;
0, 如果x = 0,
c) 验证问题 a) 中的函数在 R 上任意次可微, 且 f (n)(0) = 0.
d) 验证问题 b) 中的函数的导数在 R 上有定义, 但不是 R 上的连续函数.
e) 证明函数
{(
)
f (x) =
exp
−
1 (1+x)2
−
1 (1−x)2
,
0,
当 − 1 < x < 1, 当|x| ≥ 1,
作业 5. 设函数 y = y(x) 由参数方程 x = a cos3(t); y = a sin3(t) 给出, 求 yx′′x.
数值计算方法习题@中科大
上机作业题程序1 编写程序计算下列向量范数∑==+++=ni i n x x x x X1211||||||||∑==+++=ni inxx x x X12222212或),(2X X X=|}{|max |}|,|,||,max{|121i n i n x x x x X≤≤∞==输入：向量的阶数n ，向量X 的元素 输出：向量范数程序2 编写程序计算下列矩阵范数||||max ||A a j nij i n111=≤≤=∑Aa i ni j j n∞≤≤==∑max ||11||||||A a E i n ij j n=⎛⎝⎫⎭⎪⎪⎪==∑∑12112输入：方程组的阶数n ，矩阵A 的元素 输出：矩阵范数程序3 编写程序计算如下级数，要求误差小于1.06e -11()()k x k k x ∞=ψ=+∑并计算0.1,0.2,,1.0,10.0,20.0,,300.0x = 的值 输入：无 输出：,()x x ψ的值程序4 下面给出美国从1920年到1970年的人口表：的人口。
在1910年的实际人口约为91772000，请判断插值计算得到的1965年和2002年的人口数据准确性是多少？程序5 数据同上表，用牛顿插值估计： （1）1965年的人口数； （2）2002年的人口数。
程序6 数据同上表，用自然样条函数预测在1910，1965和2002年的人口数。
请比较以上三种方法所求值的效果。
那一种方法最优？程序7 给定1+n 个插值节点，构造n 次拉格朗日插值多项式，并计算)(x f 。
输入：插值节点数n ，插值点{}n i x f x i i ,,2,1,0)(, =，；要计算的函数点x 。
输出：)(x L n 的值。
程序8 对函数21() , [5,5](1)f x x x =∈-+以如下两组节点为插值节点构造插值函数，（1）105,0,1,i x i i N N =-+= （2）215cos ,0,1,22i i x i NN π+=-=+并用式子55max ()()max ()(),5,0,10010i i i x iif x p x f y p y y i -≤≤-≈-=-=对5,10,20,40N =估计两组节点的误差输入：无。
中科大算法导论作业标准标准答案
第8次作业答案16.1-116.1-2543316.3-416.2-5参考答案：16.4-1证明中要三点：1.有穷非空集合2.遗传性3.交换性第10次作业参考答案16.5-1题目表格：解法1：使用引理16.12性质（2），按wi单调递减顺序逐次将任务添加至Nt（A），每次添加一个元素后，进行计算，{计算方法：Nt（A）中有i个任务时计算N0 (A),…,Ni(A)，其中如果存在Nj (A)>j,则表示最近添加地元素是需要放弃地，从集合中删除}；最后将未放弃地元素按di递增排序，放弃地任务放在所有未放弃任务后面，放弃任务集合内部排序可随意.解法2：设所有n个时间空位都是空地.然后按罚款地单调递减顺序对各个子任务逐个作贪心选择.在考虑任务j时，如果有一个恰处于或前于dj地时间空位仍空着，则将任务j赋与最近地这样地空位，并填入; 如果不存在这样地空位，表示放弃.答案（a1，a2是放弃地）：<a5, a4, a6, a3, a7,a1, a2>or <a5, a4, a6, a3, a7,a2, a1>划线部分按上表di递增地顺序排即可，答案不唯一16.5-2（直接给个计算例子说地不清不楚地请扣分）题目：本题地意思是在O(|A|)时间内确定性质2（性质2：对t=0，1，2，…，n，有Nt(A)<=t,Nt(A)表示A中期限不超过t地任务个数）是否成立.解答示例：思想：建立数组a[n],a[i]表示截至时间为i地任务个数，对0=<i<n，如果出现a[0]+a[1]+…+a[i]>i,则说明A不独立，否则A独立.伪代码：int temp=0;for(i=0;i<n;i++) a[i]=0; ******O(n)=O(|A|)for(i=0;i<n;i++) a[di]++; ******O(n)=O(|A|)for(i=0;i<n;i++) ******O(n)=O(|A|) {temp+=a[i];//temp就是a[0]+a[1]+…+a[i]if（temp>i）//Ni(A)>iA不独立；}17.1-1（这题有歧义，不扣分）a) 如果Stack Operations包括Push Pop MultiPush,答案是可以保持,解释和书上地Push Pop MultiPop差不多.b) 如果是Stack Operations包括Push Pop MultiPush MultiPop,答案就是不可以保持,因为MultiPush,MultiPop交替地话,平均就是O(K).17.1-2本题目只要证明可能性，只要说明一种情况下结论成立即可17.2-1第11次作业参考答案17.3-1题目：答案：备注：最后一句话展开：采用新地势函数后对i 个操作地平摊代价：)1()())1(())(()()(1''^'-Φ-Φ+=--Φ--Φ+=Φ-Φ+=-Di Di c k Di k Di c D D c c i i i i i i17.3-2题目：答案：第一步：此题关键是定义势能函数Φ,不管定义成什么首先要满足两个条件 对所有操作i ，)(Di Φ>=0且)(Di Φ>=)(0D Φ比如令k j+=2i ，j,k 均为整数且取尽可能大，设势能函数)(Di Φ=2k;第二步：求平摊代价，公式是)1()(^-Φ-Φ+=Di Di c c i i 按上面设置地势函数示例：当k=0，^i c =…=2当k ！=0,^i c =…=3 显然，平摊代价为O(1)17.3-4题目：答案：结合课本p249，p250页对栈操作地分析很容易有下面结果17.4-3题目：答案：αα=(第i次循环之后地表中地entry 假设第i个操作是TABLE_DELETE, 考虑装载因子:inum size数)/(第i次循环后地表地大小)=/i i第12 次参考答案19.1.1题目：答案：如果x不是根，则degree[sibling[x]]=degree[child[x]]=degree[x]-1如果x是根，则sibling为二项堆中下一个二项树地根，因为二项堆中根链是按根地度数递增排序，因此degree[sibling[x]]>degree[x]19.1.2题目：答案：如果x是p[x]地最左子节点，则p[x]为根地子树由两个相同地二项树合并而成，以x为根地子树就是其中一个二项树，另一个以p[x]为根，所以degree[p[x]]=degree[x]+1;如果x不是p[x]地最左子节点，假设x是p[x]地子节点中自左至右地第i个孩子，则去掉p[x]前i-1个孩子，恰好转换成第一种情况，因而degree[p[x]]=degree[x]+1+（i-1）=degree[x]+i;综上,degree[p[x]]>degree[x]19.2.2题目：题目：19.2.519.2.6第13次作业参考答案20.2-1题目：解答：20.2-3 题目：解答：20.3-1 题目：答案：20.3-2 题目：答案：第14次作业参考答案这一次请大家自己看书处理版权申明本文部分内容，包括文字、图片、以及设计等在网上搜集整理.版权为个人所有This article includes some parts, including text, pictures, and design. Copyright is personal ownership.6ewMy。
近似算法
装箱问题有四种算法
方法一 首次适宜(FF)算法 首次适宜(FF)算法
把箱子按 下标 1 , 2 , , k , 标记,所有的箱子初始化 为空; 按物体 u 1 , u 2 , , u n 顺序装入箱子. 装入过程 如下: 把第 一个物体 u 1 装入第一个箱子 b1 , 如果 b1 还容纳得下第二个物体,继续把第二个 物体 u 2 装入 b1 ; 否则 ,把 u 2 装入 b 2 . 一般 地,为了装入物体 u i ,先找出能容纳得下
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中科大研究生高等计算固体力学作业参考答案
高等计算固体力学作业参考答案 *解答: 设332210)(x a x a x a a x +++=φ, 余量)()(22x Q dxd x R +=φ由边界条件0)0(=φ, 可得00=a ;由10==Lx dxd φ可得010322321=-++L a L a a(1)(a) 配点法: 取x=L/3和2L/3为配点, 要求:0)3/(=L R (2) 0)3/2(=L R(3)解方程组(1)-(3),可得La a L a 21 ,1 ,2/10321=-=+= (b) 子域法: 取2/0L x ≤≤和L x L ≤≤2/为子域, 则0)(2/0=⎰dx x R L (4) 0)(2/=⎰dx x R LL(5)*任何问题请email to: yqhuang@解方程组(1),(4),(5),可得La a L a 31 ,4/3 ,2/10321=-=+= (b) 伽辽金法. 取权函数33221,,x W x W x W ===,则0)10()(101=--=⎰L x Ldx d W dx x R W φ(6) 0)10()(202=--=⎰L x Ldx d W dx x R W φ(7) 0)10()(303=--=⎰Lx Ldx d W dx x R W φ(8)解方程组(6)-(8),可得La a L a 165,32/23 ,321710321=-=+=解答: 微分算子为) ()() () (2222c y x L +∂∂+∂∂=,取任意函数u, v ,dsnvu ds n u v dxdy u vL ds n v u ds n y u v n x u v dxdy cu y u x u v ds n y v u n x v u dxdy cuv y v y u x v x u dxdy cv y v x v u dxdy v uL y x y x ⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰∂∂+∂∂-=∂∂+⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛∂∂+∂∂-⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛+∂∂+∂∂=⎪⎪⎭⎫⎝⎛∂∂+∂∂+⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛+∂∂∂∂-∂∂∂∂-=⎪⎪⎭⎫⎝⎛+∂∂+∂∂=)()(22222222故算子是自伴随的.原问题等价于: (假设φ已满足1Γ上的边界条件)0212121212121)()(222222222222222=⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎣⎡+⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛++⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛∂∂-⎪⎭⎫ ⎝⎛∂∂-=+⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛++⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛∂∂-⎪⎭⎫ ⎝⎛∂∂-=+⎪⎪⎭⎫⎝⎛++⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛∂∂∂∂-⎪⎭⎫ ⎝⎛∂∂∂∂-=⎪⎭⎫⎝⎛-∂∂-∂∂+⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛++∂∂∂∂-∂∂∂∂-=⎪⎭⎫⎝⎛-∂∂-⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛++∂∂+∂∂⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰ΓΓΓΓΓds q dxdy Q c y x ds q dxdy Q c y x ds q dxdy Q c y y x x ds q n ds n dxdy Q c y y x x ds q n dxdy Q c y x φφφφφδδφφφφφδδφδφφδφφδφφδφφδφφδφδφφδφδφφδφφφδφφφφδφ等价的自然变分原理为:()⎰⎰⎰Γ+⎪⎪⎭⎫⎝⎛++⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛∂∂-⎪⎭⎫ ⎝⎛∂∂-=∏2222212121ds q dxdy Q c y x φφφφφφ 或()⎰⎰⎰Γ-⎪⎪⎫ ⎛--⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛∂∂+⎪⎭⎫ ⎝⎛∂∂=∏2221222ds q dxdy Q c y x φφφφφφ解答: 此时问题的变分原理简化为()⎰⎰⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛∂∂+⎪⎭⎫ ⎝⎛∂∂=∏dxdy y x φφφφ42122 将近似函数代入可以得到：截面的扭矩⎰⎰2Tφ=dxdy解答:()()()()()()0=Γ⎪⎭⎫⎝⎛∂∂+Γ⎪⎭⎫ ⎝⎛+-∂∂+Ω⎥⎦⎤⎢⎣⎡-⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛∂∂∂∂-⎪⎭⎫ ⎝⎛∂∂∂∂-=Γ--Γ⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛∂∂+∂∂+Ω⎥⎦⎤⎢⎣⎡-⎪⎪⎭⎫⎝⎛∂∂∂∂-⎪⎭⎫ ⎝⎛∂∂∂∂-=Γ--Ω⎥⎦⎤⎢⎣⎡-∂∂∂∂+∂∂∂∂=Γ--Ω⎥⎦⎤⎢⎣⎡-⎪⎪⎭⎫⎝⎛∂∂∂∂+⎪⎭⎫ ⎝⎛∂∂∂∂=∏⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰Γ-ΓΓΩΓΓΩΓΩΓΩqq qqq d n k d q n k d Q y k y x k x d q d n y k n x k d Q y k y x k x d q d Q y y k x x k d q d Q y y k x x ky x δφφδφαφφδφφφδφαφδφδφφδφφδφδφφδφφδφαφδφδφδφφδφφδφαφδφδφφδφφδφφδ由变分δφ的任意性,可得相应的欧拉方程和边界条件:0=+⎪⎪⎭⎫⎝⎛∂∂∂∂+⎪⎭⎫ ⎝⎛∂∂∂∂Q y k y x k x φφ, Ω内 q Γ上的自然边界条件: 0=+-∂∂q nkαφφq Γ-Γ上的强迫边界条件: 0=δφ,或φφ=解答: 方法1：设A,B 两点的坐标为(x 1,y 1,z 1), (x 2,y 2,z 2), 并设x=x(s),y=y(s),z=z(s), 则dsdxx x ds dy 21--=问题的泛函可以表示为：),()()(11222222z x L ds dsdz ds dx x dz dy dx ds L BAB ABA =+-=++==⎰⎰⎰ 问题转化为求泛函L(x,z)在满足端点条件下的最小值问题。
中科大黄刘生算法第一次作业
算法实验报告Ex.1 若将y ← uniform(0, 1) 改为 y ← x, 则上述的算法估计的值是什么？实验结果如下：可见结果趋近于2*sqrt(2) Ex.2 在机器上用2041x dx -⎰估计π值，给出不同的n 值及精度。
计算方法就采用课上讲到的HitorMiss 算法，伪代码如下： f ←sqrt(1 – x*x) HitorMiss (f, n) { k ← 0;for i ← 1 to n do { x ← uniform(0, 1); y ← uniform(0, 1);if y ≤ f(x) then k++;}//endfor return 4*k/n;}实验结果如下：从总的趋势来看，n的值越大，给出的pai的精度越高。
但对应到两次实验结果未必n 大的精度一定高，这是概率算法的特点。
EX.3 采用算法类似HitorMiss算法，不过加入了一些特殊处理，以便能够正确计算穿越x 轴、周期函数等的积分。
算法伪代码如下：f ← x^2 / - sqrt(x) / sin(x)MyCalc(f , minx, maxx, miny, maxy, n){k ← 0;for i ← 1 to n do {x ← uniform(minx, maxx);y ← uniform(miny, maxy);if f(x) >= 0//函数在x轴上方，积分是f与x轴之间的部分，积分值为正then if y <= f(x) && y >=0k++;else//函数在x轴下方，积分是f与x轴之间的部分，积分值为负if y >= f(x) && y <= 0k--;}//endforif miny > 0//函数在x轴上方then return k / n * (maxx - minx) * (maxy - miny) + miny * (maxx - minx));else if maxy < 0//函数在x轴下方then return k / n * (maxx - minx) * (maxy - miny) + maxy * (maxx - minx);else//函数穿越x轴then return k / n * (maxx - minx) * (maxy - miny);}运行结果如下：可见程序运行结果还是很准确的，能正常处理在x轴单侧、穿越x轴的连续函数积分。
国科大中科院算法 近似算法
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-近似旅行商问题是NP难问题
• 假定存在一个多项式时间算法A求解-近似旅行商问题。对于 Hamilton问题实例I, 其图为G=(V,E)，构造一个新的图G1=(V,E1) 它是一个完全图，各边赋权如下：
若(u,v)E, w(u,v)=1 ; 否则 w(u,v)=k。 其中，k=(1+)n, n是G的顶点数，得到旅行商问题实例I'。 可见，图G有Hamilton回路当且仅当图G1有长为n的环游路线。 因为算法A能够求得旅行商问题的-近似解，由 F(I’)-F*(I’)F*(I’), 得F(I’)(1+)F*(I’)F*(I’)k/n 如果F(I’)>n，则由图G1的构造，必有F(I’)n-1+k，结合上式得 F*(I’)n+(n-1)n/k>n，说明G1没有长为n的环游,因而G没有Hamil ton回路；如果F(I’)n,则由G1的构造,必有F(I’)=n,G1有长为n环 游,因而G有Hamilton回路.说明算法A能够求解Hamilton问题.因 为Hamilton回路问题是NPC问题,故-近似旅行商问题是NP难问题9 .
F*(I)=r, F(I)=2, |F*(I)–F(I)|=r–2
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绝对近似算法（2）
• 最多程序存储问题：两个容量为L的磁盘，n个程序需要的存 储空间分别是：l1, l2, …, ln,求存入磁盘的程序的最大个数。
• 最多程序存储问题存在1-绝对近似的多项式时间算法。
• 算法：将程序按照所需存储空间由小到大编号，然后逐一向 第一个磁盘存储，第一个磁盘不能存储时，再将剩下的程序逐 一向第二个磁盘存储，直至第二个磁盘也不能存储为止。 • 如果考虑将这n个程序向一个容量为2L的磁盘存储，则上述算 法会得到最优解，不妨设为k个。因而，将n个程序向两个容量 各为L的磁盘存储时，存储的最大个数不会超过k。即F*(I)k。 按照上述算法假设第一个磁盘存储了k1个程序，第二个磁盘存储 k2个程序，则k1+k2+1k，即F(I)k-1，于是|F*(I)–F(I)|1。
中科大算法汪炀第二次作业
分布式算法作业周锋SA140110622.1分析在同步和异步模型下，convergecast算法的时间复杂性。
解：（1）同步模型：最坏情况下，算法执行的每一轮中只有一个msg传递，而此时生成树汇聚最大值的算法最多执行n-1轮，也就是说同步情况下的时间复杂度为O(n-1)。
（2）异步模型：在异步模型的汇集算法的每个容许执行中，树中每个距离pr为t的处理器至多在时刻t接收消息M，因此对于每个节点而言，它到它所有子节点中t最大的路径决定了它本身时间花费。
因此在最坏情况下，仍应该是同步模型下的最坏情况，即生成树中除了末端节点每一个节点只有一个子节点，此时时间复杂度仍为O(n-1)。
可达的，当且仅当它的parent 2.2证明在引理2.6中，一个处理器在图G中是从Pr变量曾被赋过值。
证明：必要性：因为图G是由parent和children确定的静态图，任一节点在收到M后才会加入到图中。
即可达节点收到过M，执行了算法2.2的第五行。
由于是容许执行的，所以第7行（parent:=j）也会执行。
充分性：若算法2.2的第7行执行过了，因为是容许执行，则必然有第5行也执行过了。
即节点收到过M。
而M又是从pr发出的，所以该节点是从pr可达的。
2.3证明Alg2.3构造一棵以Pr为根的DFS树。
证明：连通性：假设构造的图G存在邻居节点Pj和Pi。
Pj从Pr可达，但Pi从Pr是不可达的。
则Pi的parent为nil或者Pi不为Pj的child。
由于G里一结点从pr可达当且仅当它曾设置过自己的parent变量。
所以：1）Pj的parent必然设置过了；2）Pi的parent为nil或者Pi属于Pj的unexplored集合。
而算法的第11和14行决定了Pj会向Pi发送M,使得Pi的parent成为Pj,Pi成为Pj的child。
这与假设的结果矛盾。
故Pi必然也是从Pr可达的。
无环：假设G中存在一个环，P1,P2,….,Pi,P1。
高中物理竞赛解题方法14、近似法
高中奥林匹克物理竞赛解题方法十四、近似法方法简介近似法是在观察物理现象、进行物理实验、建立物理模型、推导物理规律和求解物理问题时，为了分析认识所研究问题的本质属性，往往突出实际问题的主要方面，忽略某些次要因素，进行近似处理.在求解物理问题时，采用近似处理的手段简化求解过程的方法叫近似法.近似法是研究物理问题的基本思想方法之一，具有广泛的应用.善于对实际问题进行合理的近似处理，是从事创造性研究的重要能力之一.纵观近几年的物理竞赛试题和高考试题，越来越多地注重这种能力的考查.赛题精讲例1：一只狐狸以不变的速度1υ沿着直线AB 逃跑，一只猎犬 以不变的速率2υ追击，其运动方向始终对准狐狸.某时刻狐狸在F 处， 猎犬在D 处，FD ⊥AB ，且FD=L ，如图14—1所示，求猎犬的加速 度的大小. 解析：猎犬的运动方向始终对准狐狸且速度大小不变， 故猎犬做匀速率曲线运动，根据向心加速度r ra ,22υ=为猎犬所在处的曲率半径，因为r 不断变化，故猎犬的加速度 的大小、方向都在不断变化，题目要求猎犬在D 处的加 速度大小，由于2υ大小不变，如果求出D 点的曲率半径，此时猎犬的加速度大小也就求得了. 猎犬做匀速率曲线运动，其加速度的大小和方向都在不断改变.在所求时刻开始的一段很短的时间t ∆内，猎犬运动的轨迹可近似看做是一段圆弧，设其半径为R ，则加速度 =a R22υ其方向与速度方向垂直，如图14—1—甲所示.在t ∆时间内，设狐狸与猎犬分别 到达D F ''与，猎犬的速度方向转过的角度为=α2υt ∆/R而狐狸跑过的距离是：1υt ∆≈L α 因而2υt ∆/R ≈1υt ∆/L ，R=L 2υ/1υ图14—1图14—2—甲所以猎犬的加速度大小为=a R22υ=1υ2υ/L例2 如图14—2所示，岸高为h ，人用绳经滑轮拉船靠岸，若当绳与水平方向为θ时，收绳速率为υ，则该位置船的速率为多大？解析 要求船在该位置的速率即为瞬时速率，需从该时刻起取一小段时间求它的平均速率，当这一小段时间趋于零时，该平均速率就为所求速率. 设船在θ角位置经t ∆时间向左行驶x ∆距离，滑轮右侧的绳长缩短L ∆，如图14—2—甲所示，当绳与水平方向的角度变化很小时，△ABC 可近似看做是一直角三角形，因而有 L ∆=θcos x ∆ 两边同除以t ∆得：θcos txt L ∆∆=∆∆，即收绳速率θυυcos 船=因此船的速率为θυυcos =船例3 如图14—3所示，半径为R ，质量为m 的圆形绳圈， 以角速率ω绕中心轴O 在光滑水平面上匀速转动时，绳中的张 力为多大？ 解析 取绳上一小段来研究，当此段弧长对应的圆心角θ∆很小时，有近似关系式.sin θθ∆≈∆若取绳圈上很短的一小段绳AB=L ∆为研究对象，设这段绳所对应的圆心角为θ∆，这段绳两端所受的张力分别为A T 和B T （方向见图14—3—甲），因为绳圈匀速转动，无切向加速度，所以A T 和B T 的大小相等，均等于T . A T 和B T 在半径方向上的合力提供这一段绳做匀速圆周运动的向心力，设这段绳子的质量为m ∆，根据牛顿第二定律有：R m T 22sin 2ωθ∆=∆；因为L ∆段很短，它所对应的圆心角θ∆很小所以22sin θθ∆=∆将此近似关系和πθπθ22∆=⋅∆⋅=∆m R m R m代入上式得绳中的张力为πω22Rm T =图14—2 图14—2—甲图14—3图—14—3—甲例4 在某铅垂面上有一固定的光滑直角三角形细管轨道 ABC ，光滑小球从顶点A 处沿斜边轨道自静止出发自由地滑到 端点C 处所需时间，恰好等于小球从顶点A 处自静止出发自 由地经两直角边轨道滑到端点C 处所需的时间.这里假设铅垂轨 道AB 与水平轨道BC 的交接处B 有极小的圆弧，可确保小 球无碰撞的拐弯，且拐弯时间可忽略不计. 在此直角三角形范围内可构建一系列如图14—4中虚线所示的光滑轨道，每一轨道是由若干铅垂线轨道与水平轨道交接而成，交接处都有极小圆弧（作用同上），轨道均从A 点出发到C 点终止，且不越出该直角三角形的边界，试求小球在各条轨道中，由静止出发自由地从A 点滑行到C 点所经时间的上限与下限之比值.解析 直角三角形AB 、BC 、CA 三边的长分别记为 1l 、2l 、3l ，如图14—4—甲所示，小球从A 到B 的时间 记为1T ，再从B 到C 的时间为2T ，而从A 直接沿斜边到C所经历的时间记为3T ，由题意知321T T T =+，可得1l ：2l ：3l =3：4：5， 由此能得1T 与2T 的关系.因为21121121T gT l gT l ==所以21212T T l l = 因为1l ：2l =3：4，所以 1232T T =小球在图14—4—乙中每一虚线所示的轨道中，经各垂直线段所需时间之和为11T t =，经各水平段所需时间之和记为2t ，则从A 到C 所经时间总和为21t T t +=，最短的2t 对应t 的下限min t ，最长的2t 对应t 的上限.max t小球在各水平段内的运动分别为匀速运动，同一水平段路程放在低处运动速度大，所需时间短，因此，所有水平段均处在最低位置（即与BC 重合）时2t 最短，其值即为2T ，故min t =.35121T T T =+2t 的上限显然对应各水平段处在各自可达到的最高位置，实现它的方案是垂直段每下降小量1l ∆，便接一段水平小量2l ∆，这两个小量之间恒有αcot 12l l ∆=∆，角α即为∠ACB ，水平段到达斜边边界后，再下降一小量并接一相应的水平量，如此继续下去，构成如图所示的微齿形轨道，由于1l ∆、2l ∆均为小量，小球在其中的运动可处理为匀速率运动，分别所经的时间小量)(1i t ∆与)(2i t ∆之间有如下关联：αcot )()(1212=∆∆=∆∆l l i t i t于是作为)(2i t ∆之和的2t 上限与作为)(1i t ∆之和的1T 之比也为.cot α故2t 的上限必为1T αcot ，即得：.37cot 111max T T T t =+=α这样:max t min t =7:5例5 在光滑的水平面上有两个质量可忽略的相同弹簧， 它们的一对端点共同连接着一个光滑的小物体，另外一对端 点A 、B 固定在水平面上，并恰使两弹簧均处于自由长度状 态且在同一直线上，如图14—5所示.如果小物体在此平面上沿着垂直于A 、B 连线的方向稍稍偏离初始位置，试分析判断它是否将做简谐运动？ 解析 因为一个物体是否做简谐运动就是要看它所受的回复力是否是一个线性力，即回复力的大小与位移大小成正经，方向相反.因此分析判断该题中的小物体是否做简谐运动，关键是求出所受的回复力的表达式（即此题中所受合外力的表达式）. 以AB 中点为原点，过中点且垂直于AB 的直线为x 轴，如图14—5—甲所示，取x 轴正方向为正方向，小物体所受回复力为：θsin )(20l l k F x --= ①其中k 为弹簧的劲度系数，0l 为弹簧的自由长度，l 为弹簧伸长后的长度，θ为弹簧伸长后与AB 直线的夹角.由几何知识可得 lx=θsin ② 220x l l += ③将②、③代入①式得：203202212200)]211(1[2])(1[2l kx x l x k x x l l k F x -=---=+--==由此可见，小物体受的合外力是一个非线性回复力，因此小物体将不做简谐运动.同时本题表明，平衡位置附近的小振动未必都是简谐运动. 例6 三根长度均为m 2，质量均匀的直杆，构成一正三角形框架ABC ，C 点悬挂在一光滑水平转轴上，整个框架可绕转轴转动.杆AB 是一导轨，一电动玩具松鼠可在导轨上运动，如图14—6所示，现观察到松鼠正在导轨上运动，而框架却静止不动，试论证松鼠的运动是一种什么样的运动. 解析 松鼠在AB 轨道运动，当框架不动时，松鼠受到轨道 给它的水平力F ′作用，框架也受到松鼠给它的水平力F 作用， 设在某一时刻，松鼠离杆AB 的中点O 的距离为x ，如图 14—6所示，松鼠在竖直方向对导轨的作用力等于松鼠受到的重力mg ，m 为松鼠的质量.以C 点为轴，要使框架平衡，必须满足 条件FL FL mgx 2360sin =︒=，松鼠对AB 杆的水平力为 )3/(2L mgx F =，式中L 为杆的长度.所以对松鼠而言，在其运动过程中，沿竖直方向受到的合力为零，在水平方向受到杆AB 的作用力为F ′，由牛顿第三定律可知F ′=F ，即kx L mgx F =-=')3/(2其中Lm k 32-=即松鼠在水平方向受到的作用力F ′作用下的运动应是以O 点为平衡位置的简谐运动，其振动的周期为.64.22/322s g L kmT ===ππ当松鼠运动到杆AB 的两端时，它应反向运动，按简谐运动规律，速度必须为零，所以松鼠做简谐运动的振幅小于或等于L/2=1m. 由以上论证可知，当框架保持静止时，松鼠在导轨AB 上的运动是以AB 的中点O 为平衡位置，振幅不大于1m 、周期为2.64s 的简谐运动. 例7 在一个横截面面积为S 的密闭容器中，有一个质量 为m 的活塞把容器中的气体分成两部分.活塞可在容器中无摩 擦地滑动，活塞两边气体的温度相同，压强都是p ，体积分别 是V 1和V 2，如图14—7所示.现用某种方法使活塞稍微偏离平 衡位置，然后放开，活塞将在两边气体压力的作用下来回运动. 容器保持静止，整个系统可看做是恒温的.（1）求活塞运动的周期，将结果用p 、V 1、V 2、m 和S 表示；（2）求气体温度0=t ℃时的周期τ与气体温度τ'=30℃时的周期τ'之比值. 解析 （1）活塞处于平衡时的位置O 为坐标原点.0=x 当活塞运动到右边距O 点x处时，左边气体的体积由V 1变为V 1+Sx ，右边气体的体积由V 2变为V 2Sx -，设此时两边气体的压强分别为1p 和2p ，因系统的温度恒定不变，根据玻意耳定律有：222111)()(pV Sx V p pV Sx V p =-=+而以上两式解出：)1(2,)1(22221111V Sx V pV p V Sx V pV p +=+=①按题意，活塞只稍许离开平衡位置，故上式可近似为：),1(11x V Sp p -≈ )1(22x V S p p +≈，于是活塞受的合力为.)11()(21221x V V pS S p p +-=-所以活塞的运动方程是x V V V V pS x V V pS ma 21212212)11(+-=+-=其中a 是加速度，由此说明活塞做简谐运动，周期为)(221221V V pS V mV +=πτ （2）设温度为t 时，周期为τ，温度为t '时，周期为τ'.由于T p T p ''=，得出 TT T TV V pS V mV V V S p V mV '='⋅+=+'='τππτ)(2)(22122121221 所以T T'='ττ，将数值代入得95.0:='ττ 例8 如图14—8所示，在边长为a 的正三角形三个顶点A 、B 、C 处分别固定电量为Q 的正点电荷，在其中 三条中线的交点O 上放置一个质量为m ，电量为q 的带正 电质点，O 点显然为带电质点的平衡位置，设该质点沿某 一中线稍稍偏离平衡位置，试证明它将做简谐运动，并求 其振动周期.解析 要想证明带电质点是否做简谐运动，则需证明 该带电质点沿某一中线稍稍偏离平衡位置时，所受的回复 力是否与它的位移大小成正比，方向相反.因此该题的关键是求出它所受回复力的表达式，在此题也就是合外力的表 达式.以O 为坐标原点，以AOD 中线为坐标x 轴，如图 14—8—甲所示，设带电质点在该轴上偏移x ，A 处Q 对其作用力为1F ，B 、C 处两个Q 对其作用的合力为2F ，取x 轴方向为正方向. 有2221)1()(---=--=r x r kQq x r kQq F因为a OC OB OA r 33==== ++=--r x r x 21)1(2当x 很小时可忽略高次项所以)361(321ax a Qq k F +-=232222222])()2)[((2))()2()()2((2-+++=+++⋅++=x h a x h kQq x h ax h x h akQq F2322)24)((2-+++=hx h a x h kQq （略去2x 项）232)333)((2-++=ax a x h kQq23232)31()3)((2--++=x a a x h kQq)3231(363x a ax h kQq-+= )233(363x hx a h a Qq k+-= （略去2x 项）)2331(363h x x a h a Qq k+-=)231(33x a aQq k+= 因此带电质点所受合力为qx a Qk x aa x q a Q kF F F x 3221239)2336(3-=--=+= 由此可知，合外力x F 与x 大小成正比，方向相反. 即该带电质点将做简谐运动，其振动周期为kQqam a k m T 32322ππ== 例9 欲测电阻R 的阻值，现有几个标准电阻、一个电池和一个未经标定的电流计，连成如图14—9所示的电路.第一次与 电流计并联的电阻r 为50.00Ω，电流计的示度为3.9格；第二 次r 为100.00Ω，电流计的示度为5.2格；第三次r 为10.00Ω， 同时将待测电阻R 换成一个20.00k Ω的标准电阻，结果电流计的 示度为7.8格.已知电流计的示度与所通过的电流成正比，求电阻 R 的阻值.解析 在测试中，除待求量R 外，电源电动势E ，电源内阻r ，电流计内阻g R 以及电流计每偏转一格的电流0I ，均属未知.本题数据不足，且电流计读数只有两位有效数字，故本题需要用近似方法求解.设电源电动势为E ，电流计内阻为g R ，电流计每偏转一格的电流为0I ，用欧姆定律对三次测量的结果列式如下：09.3150505050I R R R r R R R E gg g g g =⋅+⋅+++ 02.51100100100100I R R R rR R R Eggggg =⋅+⋅+++ 图14—908.711010200001010I R R R rR R Eggg gg =⋅+⋅+++ 从第三次测量数据可知，当用20k Ω电阻取代R ，而且r 阻值减小时电流计偏转格数明显增大，可推知R 的阻值明显大于20k Ω，因此电源内阻完全可以忽略不计，与R 相比，电流计内阻g R 与r 的并联值对干路电流的影响同样也可以忽略不计，故以上三式可近似为：09.35050I R R E g=+⋅ ①02.5100100I R R E g=+⋅ ②08.7101020000I R E g=+⋅ ③待测电阻R=120k Ω解①、②、③三式，可得g R =50Ω例10 如图14—10所示，两个带正电的点电荷 A 、B 带电量均为Q ，固定放在x 轴上的两处，离原 点都等于r .若在原点O 放另一正点电荷P ，其带电量 为q ，质量为m ，限制P 在哪些方向上运动时，它在 原点O 才是稳定的？解析 设y 轴与x 轴的夹角为θ，正电点电荷P 在原点沿y 轴方向有微小的位移s 时，A 、B 两处的点电荷对P 的库仑力分别为A F 、B F ，方向如图14—10所示，P 所受的库仑力在y 轴上的分量为βαcos cos B A y F F F -= ①根据库仑定律和余弦定理得θcos 222rs s r kqQF A ++=②θcos 222rs s r kqQF B +-=③ θθαcos 2cos cos 22rs s r s r +++=④图14—10θθβcos 2cos cos 22rs s r s r ++-=⑤将②、③、④、⑤式代入①得：23222322)cos 2()cos ()cos 2()cos (θθθθrs s r s r kqQ rs s r s r kqQ F y -+--+++=因为s 很小，忽略2s 得：])cos 21(cos )cos 21(cos [23233θθθθrssr rss r rkqQF y ---++=又因为1cos 2,<≤θrsr s所以利用近似计算x x 231)1(23≈±-得 )]cos 31)(cos ()cos 31)(cos [(3θθθθr ss r r s s r r kqQ F y +--++≈忽略2s 得)1cos 3(23--=θrkqQs F y当（0)1cos 32>-θ时y F 具有恢复线性形式，所以在31cos 2>θ范围内，P 可围绕原点做微小振动，所以P 在原点处是稳定的. 例11 某水池的实际深度为h ，垂直于水面往下看， 水池底的视深为多少？（设水的折射率为n ） 解析 如图14—11所示，设S 为水池底的点光源， 在由S 点发出的光线中选取一条垂直于面MN 的光线， 由O 点垂直射出，由于观察者在S 正方，所以另一条光 线与光线SO 成极小的角度从点S 射向水面点A ，由点A 远离法线折射到空气中，因入射角极小，故折射角也很小， 进入人眼的两条折射光线的反向延长线交于点S ′，该点即为我们看到水池底光源S 的像，像点S ′到水面的距离h '，即为视深.由几何关系有,/tan ,/tan h AO i h AB r ='=所以h h i r '=/tan /tan ，因为r 、i 均很小，则有i i r r sin tan ,sin tan ≈≈，所以h h i r '≈/sin /sin 又因irn sin sin = 所以视深n h h /='针对训练1．活塞把密闭气缸分成左、右两个气室，每室各与U 形管压强计的一臂相连，压强计的两臂截面处处相同.U 形管内盛有密度为5.7=ρ×102kg/m 3的液体.开始时左、右两气室的体积都为V 0=1.2×10－2m 3，气压都为0.40=ρ×103Pa ，且液体的液面处 在同一高度，如图14—12所示.现缓缓向左推动活塞，直到液体在U 形管中的高度差h =40cm.求此时左、右气室的体积V 1、V 2.假定两气室的温度保持不变.计算时可以不计U 形管和连接管道中气体的体积.取g =10m/s 2.2．一汽缸的初始体积为V 0，其中盛有2mol 的空气和少量的水（水的体积可忽略），其平衡 时气体的总压强是3.0大气压.经过等温膨胀使其体积加倍，在膨胀过程结束时，其中的 水刚好全部消失，此时的总压强为2.0大气压.若让其继续作等温膨胀，使其体积再次加 倍，试计算此时：（1）汽缸中气体的温度；（2）汽缸中水蒸气的摩尔数；（3）汽缸中气体的总压强. （假定空气和水蒸气均可当做理想气体处理）3．1964年制成了世界上第一盏用海浪发电的航标灯，它的气室示意图如图14—13所示.利用海浪上下起伏力量，空气能被吸进来，压缩后再推入工作室，推动涡轮机带动发电机发电.当海水下降时，阀门S 1关闭，S 2打开，设每次吸入压强为1.0×106Pa 、温度为7℃的空气0.233m 3（空气可视为理想气体），当海上升时，S 2关闭，海水推动活塞绝热压缩空气，空气压强达到32×105Pa 时，阀门S 1才打开.S 1打开后，活塞继续推动空气，直到气体全部推入工作室为止，同时工作室的空气推动涡轮机工作.设打开S 1后，活塞附近的压强近似保持不 变，活塞的质量及活塞筒壁间的摩擦忽略不计.问海水每次上升时所做的功是多少？已知 空气从压强为1ρ、体积为V 1的状态绝热的改变到压强为2ρ、体积为V 2的状态过程中， 近似遵循关系式1ρ/2ρ=（V 2/V 1）5/3，1mol 理想气体温度升高1K 时，内能改变为 3R/2.[R=8.31J/(mol·K)]4．如图14—14所示，在O x 轴的坐标原点O 处，有一固定的电量为)0(>Q Q 的点电荷，在L x -=图14—13处，有一固定的、电量为Q 2-的点电荷，今有一正试探电荷q 放在x 轴上0>x 的位置，并设斥力为正，引力为负.（1）当q 的位置限制在O x 轴上变化时，求q 的受力平衡的位置，并讨论平衡的稳定性；（2）试定性地画出试探电荷q 所受的合力F 与q 在O x 轴上的位置x 的关系图线.5．如图14—15所示，一人站在水面平静的湖岸边，观察到离岸边有一段距离的水下的一条 鱼，此人看到鱼的位置与鱼在水下的真实位置相比较，应处于什么方位.6．如图14—16所示，天空中有一小鸟B ，距水面高m h 31=，其正下方距水面深m h 42=处 的水中有一条小鱼A.已知水的折射率为4/3，则小鸟看水中的鱼距离自己是多远？小鱼看 到鸟距离自己又是多远？参考答案十一、图象法1．A 2．A 、D 3．C4．5．21t t > 6．乙图中小球先到底端 7．)21(2-+=n n n s a v B =)13(nas - 8．13.64s 9．2:1 10．D 11．FGf F gfs v f f Fg sFG t m )(2)(2-=-=十二、类比法1．223/32Gt LR 2．2222)(R a aR kQ - 3．22222)()(R a aR kQ a q Q a R kQ --+ 4．F C AB μ9.2= 5．F C AB μ6=6．（1）C C 215-=' （2）C C '=总 （3）C C 215-=' 7．])([)(2tf f t H t H L N --+∆=λ（注：将“两块半透镜移开一小段距离”后加“L ∆”.在“f t > 处放置一个”与“单色点光源”之间加“波长为λ的”.）8．（1）m a 3105.0-⨯= （2）m d 4=十三、降维法1．0.288×103N ≤F ≤0.577×103N 2．(1)7.2N （2）0.8m/s 23．5N 沿斜面指向右上方水平方向的夹角为53 °4．2R R AB =5．R R AB 94= 6．（1）r R AG 65= （2）r R AD 127=十四、近似法1．V 1=0.8×10－2m 3 ，V 2=1.6×10－2m 3 2．（1）373K （2）2mol （3）1.0大气压3．8.15×104J 4．（1）平衡是稳定的 （2）5．应在鱼的右上方6．6m ，8m。
数学高一必修1 4.1.2 利用二分法求方程的近似解 作业
4.1.2 利用二分法求方程的近似解(建议用时：45分钟)[学业达标]一、选择题1. 用“二分法”可求近似解，对于精度ε说法正确的是()A．ε越大，零点的精度越高B．ε越大，零点的精度越低C．重复计算次数就是εD．重复计算次数与ε无关【解析】依“二分法”的具体步骤可知，ε越大，零点的精度越低．【答案】 B2. 在用二分法求函数f(x)零点近似值时，第一次取的区间是[－2,4]，则第三次所取的区间可能是()A．[1,4]B．[－2,1]C．[－2,2.5] D．[－0.5,1]【解析】因第一次所取的区间是[－2,4]，所以第二次的区间可能是[－2,1]，[1,4]；第三次所取的区间可能为[－2，－0.5]，[－0.5,1]，[1,2.5]，[2.5,4]，只有选项D在其中，故选D.【答案】 D3. 设f(x)＝lg x＋x－3，用二分法求方程lg x＋x－3＝0在(2,3)内近似解的过程中得f(2.25)＜0，f(2.75)＞0，f(2.5)＜0，f(3)＞0，则方程的根落在区间() A．(2,2.25) B．(2.25,2.5)C．(2.5,2.75) D．(2.75,3)【解析】由二分法的步骤知方程的根落在区间(2.5,2.75)内．【答案】 C4. 为了求函数f(x)＝2x＋3x－7的一个零点，某同学利用计算器得到自变量x和函数f(x)的部分对应值，如下表所示：A ．1.32B ．1.39C ．1.4D ．1.3【解析】 由f (1.375)·f (1.4375)＜0， 可知方程2x ＋3x ＝7的近似解可取1.4.故选C. 【答案】 C5. 已知f (x )＝1x －ln x 在区间(1,2)内有一个零点x 0，若用二分法求x 0的近似值(精度为0.2)，则需要将区间等分的次数为( )A ．3B ．4C ．5D ．6【解析】 由用二分法求函数零点近似值的步骤可知． 分一次，f ⎝ ⎛⎭⎪⎫32＞0，区间长度⎪⎪⎪⎪⎪⎪2－32＝0.5＞0.2，分二次，f ⎝ ⎛⎭⎪⎫74＞0，区间长度⎪⎪⎪⎪⎪⎪2－74＝0.25＞0.2，分三次，f ⎝ ⎛⎭⎪⎫158＜0，区间长度⎪⎪⎪⎪⎪⎪74－158＝18＜0.2，所以分三次可以使x 0的近似值达到精度为0.2.故选A. 【答案】 A 二、填空题6. 在用二分法求方程e x ＋x －2＝0的一个近似解时，现在已经将一根锁定在区间(0,1)内，则下一步可断定该根所在的区间为________．【解析】 令f (x )＝e x ＋x －2，f (0)＝－1<0，f (1)＝e －1>0，f ⎝ ⎛⎭⎪⎫12＝e －32>0.∴下一个区间为⎝ ⎛⎭⎪⎫0，12.【答案】 ⎝ ⎛⎭⎪⎫0，127. 若函数f(x)＝x3＋x2－2x－2的一个正数零点附近的函数值(或近似值)用二分法逐次计算，参考数据如下表：f(1)＝－2f(1.5)＝0.625f(1.25)＝－0.984f(1.375)＝－0.260f(1.438)＝0.165f(1.406 5)＝－0.052那么方程x32．【解析】由于f(1.438)·f(1.406 5)＜0，结合二分法的定义得零点应该存在于区间(1.406 5，1.438)中，故方程x3＋x2－2x－2＝0的一个近似根为1.4.【答案】 1.48. 用二分法求方程x3－8＝0在区间(2,3)内的近似解经过________次“二分”后精度能达到0.01?【解析】设n次“二分”后精度达到0.01，∵区间(2,3)的长度为1，∴12n＜0.01，即2n＞100.注意到26＝64＜100,27＝128＞100，故要经过7次二分后精度达到0.01. 【答案】7三、解答题9. 用二分法判断函数f(x)＝2x3－3x＋1零点的个数．【解】用计算器或计算机作出x，f(x)的对应值表(如下表)和图像(如下图)：x －1.5－1－0.500.51 1.5f(x)－1.252 2.251－0.250 3.25由上表和上图可知，f(－1.5)<0，f(－1)>0，即f (－1.5)·f (－1)<0，说明这个函数在区间(－1.5，－1)内有零点． 同理，它在区间(0,0.5)内也有零点．另外，f (1)＝0，所以1也是它的零点，由于函数f (x )在定义域⎝ ⎛⎭⎪⎫－∞，－22和⎝ ⎛⎭⎪⎫22，＋∞内是增函数，在⎣⎢⎡⎦⎥⎤－22，22内是减函数，所以它共有3个零点．10. 证明方程6－3x ＝2x 在区间[1,2]内有唯一一个实数解，并求出这个实数解．(精度为0.1)【解】 证明如下： 设函数f (x )＝2x ＋3x －6， ∵f (1)＝－1＜0，f (2)＝4＞0， 又∵f (x )是增函数，∴函数f (x )＝2x ＋3x －6在区间[1,2]内有唯一的零点， 则方程6－3x ＝2x 在区间[1,2]内有唯一一个实数解． 设该解为x 0，则x 0∈[1,2]， 取x 1＝1.5，f (1.5)≈1.33＞0， f (1)·f (1.5)＜0， ∴x 0∈(1,1.5)，取x 2＝1.25，f (1.25)≈0.128＞0， f (1)·f (1.25)＜0，∴x 0∈(1,1.25)， 取x 3＝1.125，f (1.125)≈－0.444＜0， f (1.125)·f (1.25)＜0， ∴x 0∈(1.125,1.25)，取x 4＝1.187 5，f (1.187 5)≈－0.16＜0，f (1.187 5)·f (1.25)＜0， ∴x 0∈(1.187 5,1.25)．∵|1.25－1.187 5|＝0.062 5＜0.1， ∴1.187 5可作为这个方程的实数解．[能力提升]1. 函数y ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫12x与函数y ＝lg x 的图像的交点的横坐标(精度为0.1)约是( )A ．1.5B ．1.6C ．1.7D ．1.8【解析】 设f (x )＝lg x －⎝ ⎛⎭⎪⎫12x ，经计算f (1)＝－12<0，f (2)＝lg 2－14>0，所以方程lg x －⎝ ⎛⎭⎪⎫12x＝0在[1,2]内有解．应用二分法逐步缩小方程实数解所在的区间，可知选项D 符合要求．【答案】 D2. 下列函数中，不适合用二分法求零点的是( ) A ．f (x )＝2x ＋3 B ．f (x )＝ln x ＋2x －9 C ．f (x )＝x 4－2x 3＋x 2D ．f (x )＝2x －3【解析】 C 中令f (x )＝x 4－2x 3＋x 2＝x 2(x －1)2＝0.得x ＝0或x ＝1，又f (x )≥0恒成立，由二分法的定义知不适合用二分法． 【答案】 C3. 用二分法求方程x 2＝2的正实根的近似解(精度为0.001)时，如果选取初始区间是[1.4,1.5]，则要达到精确度要求至少需要计算________次．【解析】 设至少需要计算n 次，则n 满足0.12n ＜0.001，即2n ＞100，由于27＝128，故要达到精确度要求至少需要计算7次．【答案】 74. 在26枚崭新的金币中，混入了一枚外表与它们完全相同的假币(重量稍轻)．现在只有一台天平，请问：用二分法的思想最多称几次就可以发现这枚假币？【解】第一次各13枚称重，选出较轻一端的13枚，继续称；第二次两端各6枚，若平衡，则剩下的一枚为假币，否则选出较轻的6枚继续称；第三次两端各3枚，选出较轻的3枚继续称；第四次两端各1枚，若不平衡，可找出假币；若平衡，则剩余的是假币．∴最多称四次．。
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10.证明：G中最大团的size为a当且仅当Gm里最大团的size是ma
解：
（1）必要性
由定义可知，Gm是不同G中任意两顶点连线以及G中原有边形成的图，不妨设G 中的两个图分别标记为p和q，p中的每一个点与q中的一个点都有边相连，所以假如G中的一个最大团的size为a，以此类推，p与q组合形成G2最大团的size为2a，同理，Gm最大团的size为ma
（2）充分性
对于充分性，即对图中的顶点的删除，每删除一个G最大团中的顶点，G最大团的size都减一，以此类推，显然有Gm最大团的size为ma。
11.证明：当最优调度在任何机器上至多包含2个作业时，LPT也是最优的
解：
不妨设n=2m，若n<2m，则令Jn+1,…,J2m的时间均为0，将其加入I，不妨设
P1≥P2≥…≥P2m.
设最优调度使得每台机器恰有2个作业：Ji和Jj，则必有i≤m,j>m。
否则若某最优调度O，有i,j≤m，则定有某台机器上有Js和Jt，使得s,t>m
因为Pi,Pj≥Ps,Pt，交换Pj和Pt，则Pi+Pt≤Pi+Pj，Ps+Pj≤Pi+Pj
交换后的调度O’的最迟完成时间只可能减少，故O’也是最优调度。
对于i,j>m时，因为Pi,Pj≤Ps,Pt，交换Pj和Pt，则Pi+Pt≤Ps+Pt，Ps+Pt≤Ps+Pt，所以必有最优调度使J I,…,Jm分别分配到M1,…,Mm上，当将J m+1,…,J2m分配到M台机器上时，LPT是将长时间的作业分配到轻负载上，必与该最优调度结果相同。