湖南大学高等数学A2试题及答案

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湖南大学期中考试试卷

课程名称：高等数学A （2）；课程编码： 10015 试卷编号： ；考试时间：120分钟

题 号 一 二 三 四 五 六 七 八 九 十 总分 应得分 15 15 40 16 14 100 实得分 签 名

一. 填空题（每小题3分，共15分）

1.方程22222440x y z yz ++--=所表示的二次曲面是 .

2. 若向量375472+⊥--⊥-(a b)(a b),(a b)(a b),则(, )a b = .

3. 曲线2222

2z x y x y y

⎧=+⎨+=⎩在点(1,1,2)的切线的参数方程为 . 4. 设2

2u xy z =-，则u 在点()2,1,1-处方向导数的最大值为 .

5. 函数2

1)(+=

x x f 展开成)1(-x 幂级数，则展开式中3

)1(-x 的系数是 . 二. 选择题（每小题3分，共15分） 1. 设有以下命题：①若

21

21()n n n u

u ∞

-=+∑收敛，则1

n n u ∞

=∑收敛.

②若

1

n

n u

∞

=∑收敛，则

1000

1

n n u

∞

+=∑收敛. ③若1lim 1

>+∞→n

n n u u ，则∑∞

=1n n u 发散.

④若

∑∞

=+1

)(n n n

v u

收敛，则∑∑∞

=∞=1

1

,n n n n v u 都收敛.则以上命题中正确的是（ ）

(A) ①② (B) ②③ (C) ③④ (D) ①④ 2. 直线

z y x =-=+222

与⎩

⎨⎧=++=++02012z y y x 之间的关系是( ) (A) 重合 (B) 相交 (C) 异面 (D) 平行

3. 直线:

326

x y z

L ==绕z 轴旋转而产生的旋转曲面方程为（ ） (A) 2

2

2

1436()z x y =- (B) 2

2

2

1336()z x y =+ (C) 2

2

2

1436()x z y =- (D) 2

2

2

1436()x z y =+

4. 设幂级数∑∞

=1n n

n x a 与∑∞

=1n n

n x b 的收敛半经分别为31

35与，则幂级数∑∞

=122n n n

n x b a 的收敛半经为（ ）(A) 5 (B)

31

(C) 35 (D) 15

5. 设),(y x z z =由方程0),(=x z

x y f 确定, 其中f 可微, 且0x f '≠,则y

z

y x z x ∂∂+∂∂=( ) (A) x (B) x - (C) z (D) z - 三、解答下列各题（每小题8分，共40分）

1. (8分) 设2222

22

22

1()cos , 0;(,)0, 0.

x y x y x y f x y x y ⎧++≠⎪+=⎨⎪+=⎩ 讨论),(y x f 在(0,0)处

（1）偏导数是否存在;（2）偏导数是否连续; (3)是否可微.

.

2. (8分) 判断两直线L 1：

11112x y z +-==；L 2：12

134

x y z +-==

是否在同一平面内?若在同一平面内, 则求两直线的交点; 若不是在同一平面内, 则求两直线之间的距离.

3. (8分) 设 0

sin (1,2,...)n n a x x dx n π

=

=⎰

，试判别级数∑

∞

=1

3n n n

a 敛散性.

4. (8分) 设),(y x u u =具有二阶连续偏导数，试适当选取b a ,的值, 使方程2222260u u u

x x y y

∂∂∂-+

+=∂∂∂∂经过变换by x ay x +=+=ηξ,后化为方程02=∂∂∂η

ξu

.

5. (8分) 求函数2u xy yz =+在约束条件2

2

2

10x y z ++=下的最大值和最小值. .

四、证明下列各题（每小题8分，共16分）

1. 从椭球面外的一点作椭球面的一切可能的切线, 证明全部切点在同一平面上.

2. 已知,a b 为两个非零且不共线的向量.令λ=+c a b ,λ是实数, 试证: 使得c 最小的向量c 垂直于a .

五、（14分)设∑∞

=--=1

1

1

3

)(n n n x

n x f ，（1）证明)(x f 在)3

1

,31(-内连续; （2）计算⎰81

0)(dx x f .

一. 填空题（每小题3分，共15分）: 1.椭圆柱面 2. 3

π

3. 1,1,22x y t z t ==+=+

4. 2 6.

5. 181

-

二. 选择题（每小题3分，共15分）: 1. B 2. D 3. B 4. A 5. C 三、解答下列各题（每小题8分，共40分）

1. 解：(1) 20

01

cos

0(,0)(0,0)

(0,0)lim

lim 0x x x x x

f x f f x

x

∆→∆→∆-∆∆-===∆∆

同理可得0)0,0(=y f ，因此，),(y x f 在(0,0)处偏导数存在. 2分

（2）22

222222

22

112cos sin , 0;(0,0)0, 0.

x x x x y x y x y x y f x y ⎧++≠⎪'+++=⎨⎪+=⎩

当(,)x y 沿直线0y =趋向(0,0)时，有00

11

lim (0,0)lim2cos

sin x x x y x f x x x x

→→='=+，不存在， 故(,)x f x y '在(0,0)处不连续. 同理可得, (,)y f x y '在(0,0)处不连续. 5分 (3) 因为0

(0,0)(0,0)(0,0)(0,0)lim

lim

x y f x y f f x f y

z dz

ρρρ

ρ

→→''+∆+∆--∆-∆∆-=

2222

1[]cos 1

lim

lim cos

0x y x y ρρρρρ

→→∆+∆∆+∆===. 因此,函数),(y x f 在(0,0)处可微．8分

2. 解1: 直线L 1与L 2的方向向量分别为12{1,1,2},{1,3,4}s s ==, 且分别过(1,0,1),(1,1,2)P Q -- 1分

从而{1,1,1},=-PQ 所以121

12

()1

3

420111

⨯⋅==≠-s s PQ , 3分

故直线L 1与L 2为异面直线. 4分