魏尔斯特拉斯生平简介
五位数学家
一、康托尔：1、生平简介：康托尔，1862年入苏黎世大学学工,翌年转入柏林大学攻读数学和神学，受教于库默尔、维尔斯特拉斯和克罗内克。
1866年曾去格丁根学习一学期。
1867年在库默尔指导下以解决一般整系数不定方程ax2+by2+cz2=0求解问题的论文获博士学位。
毕业后受魏尔斯特拉斯的直接影响，由数论转向严格的分析理论的研究，不久崭露头角。
他在哈雷大学任教的初期证明了复合变量函数三角级数展开的唯一性，继而用有理数列极限定义无理数。
1872年成为该校副教授，1879年任教授。
由于学术观点上受到的沉重打击，使康托尔曾一度患精神分裂症，虽在1887年恢复了健康，继续工作，但晚年一直病魔缠身。
1918年1月6日在德国哈雷-维滕贝格大学附属精神病院去世。
2、主要贡献：康托尔对数学的贡献是集合论和超穷数理论。
两千多年来，科学家们接触到无穷，却又无力去把握和认识它，这的确是向人类提出的尖锐挑战。
康托尔以其思维之独特，想象力之丰富，方法之新颖绘制了一幅人类智慧的精品——集合论和超穷数理论，令19、20世纪之交的整个数学界、甚至哲学界感到震惊。
可以毫不夸张地讲，“关于数学无穷的革命几乎是由他一个人独立完成的。
”二、陈景润1、陈景润，1933年5月22日生于福建福州，当代数学家。
1953年9月分配到北京四中任教。
1955年2月由当时厦门大学的校长王亚南先生举荐，回母校厦门大学数学系任助教。
1957年10月，由于华罗庚教授的赏识，陈景润被调到中国科学院数学研究所。
1973年发表了（1+2）的详细证明，被公认为是对哥德巴赫猜想研究的重大贡献。
1981年3月当选为中国科学院学部委员（院士）。
曾任国家科委数学学科组成员。
1992年任《数学学报》主编。
1996年3月19日下午1点10分，陈景润在北京医院去世，年仅63岁2、主要成就：他在数学领域里的研究硕果累累。
他写成的论文《典型域上的多元复变函数论》于1957年1月获国家发明一等奖，并先后出版了中、俄、英文版专著；1957年出版《数论导引》；1959年莱比锡首先用德文出版了《指数和的估计及其在数论中的应用》，又先后出版了俄文版和中文版；1963年他和他的学生万哲先合写的《典型群》一书出版。
(甘志国)从中学教师到著名数学家
从中学教师到著名数学家甘志国(已发表于新高考(高二·数学(文科))，2016(4)：15-17)一位中学教师也可进入高等数学领地攻城掠地、成名成家，比如攻克了斯坦纳系列和寇克曼系列世界难题的包头九中物理教师陆家曦(1935-1983)获得国家自然科学一等奖；开创了机械证明领域的吴文俊(1919- )1940年从上海交通大学毕业，时值抗日战争，因家庭经济原因经朋友介绍到租界里一所育英中学工作，1941年12月珍珠港事件后，日军进驻各租界，而后他又到上海培真中学工作；著名数学家陈景润(1933-1996)也在北京四中任教过；高中数学教师费尔巴哈于1822年也发现了九点圆(也称费尔巴哈圆，最早是欧拉于1765年发现的).其实，从中学数学教师起步一直到成为数学大家在中外数学史上都不乏其人.本文将再介绍从中学教师成长起来的五位著名数学家.1 现代分析之父魏尔斯特拉斯卡尔·特奥多尔·威廉·魏尔斯特拉斯(Karl Theodor Wilhelm Weierstrass，1815-1897)，德国数学家.先在波恩大学读法律，后入明斯特大学研习数学，1854年获哥尼斯堡大学名誉博士学位，1856年当选为柏林科学院院士.魏尔斯特拉斯魏尔斯特拉斯作为现代分析之父，工作涵盖幂级数理论、实分析、复变函数、阿贝尔函数、无穷乘积、变分学、双线型与二次型、整函数、椭圆函数论、变分法、代数学等.他的论文与教学影响了整个二十世纪分析学(甚至整个数学)的风貌.魏尔斯特拉斯于1860年用递增有界数列定义无理数，将实数理论作为数学分析的严格基础，综合波尔查诺(Bernhard Placidus Johann Nepomuk Bolzano，1781-1848)和柯西ε-方法.严格论证了连(Augustin Louis Cauchy，1789-1857)的成果，提出极限理论中的δ续函数的性质，1875年指出处处不可导的连续函数的例子，以幂级数的观点发展解析函数论，得出了关于解析开拓的定理，以及关于椭圆函数的新理论等.在变分法、微分几何、线性代数等方面也都有重要贡献.身后编有《全集》八卷.魏尔斯特拉斯曾于1841年秋至1842年秋在明斯特文科中学见习一年，1842年转至西普鲁士克隆的初级文科中学，除数学、物理外，他还教德文、历史、地理、书法、植物，甚至于在1845年还教体育.著名数学家古德曼(Gudemann)在看到魏尔斯特拉斯的求椭圆函数的幂级数展开式的论文后评价说：“为作者本人，也为科学进展着想，我希望他不会当一名中学教师，而能获得更为有利的条件……以使他得以进入他命定有权跻身其中的著名科学发现者队伍之中.”魏尔斯特拉斯后任柏林皇家工程学院和柏林大学教授(1873年出任柏林大学校长).是现代函数论的创立者之一.魏尔斯特拉斯一生热爱数学，热爱教育事业，热情指导学生，终身孜孜不倦.他不计个人名利，允许学生们或别人把他的研究成果用种种方式传播，而不计较功绩谁属的问题，这种高贵品德也是十分可贵的.他培养出了一大批有成就的数学人才，尤其是世界历史上第一位数学女博士柯瓦列夫斯卡娅(СофьяВасильевнаКовалевская，1850-1891).魏尔斯特拉斯高尚的风范和精湛的教学艺术是永远值得全世界数学教师学习的光辉典范.2 在近世代数方面有重要贡献的弗罗贝纽斯弗罗贝纽斯(Geory Ferdinand Frobenius，1849-1917)，德国数学家.弗罗贝纽斯弗罗贝纽斯就学于哥廷根大学，1870年获柏林大学博士学位.曾任苏黎世工业大学和柏林大学教授，柏林科学院院士.在近世代数学方面有重要贡献.提出了抽象群的概念，和舒尔一起建立了n元线性变换的有限群论.还是超复数代数的创始人之一.1870年，弗罗贝尼乌斯在柏林完成学业并获博士学位．这一年的下半年，他任教于母校约阿希姆斯塔尔文科中学，次年转入一所实科学校(Re-alschule)执教．3 《数学分析习题集》的作者吉米多维奇里斯·帕夫罗维奇·吉米多维奇(1906-1977)，白俄罗斯籍数学家.吉米多维奇吉米多维奇，1927年本科毕业于白俄罗斯国立大学数学物理系，1931年副博士毕业于莫斯科国立大学数学力学系，1927-1931年曾任过中学数学教师，1935年到莫斯科大学工作.生前为莫斯科大学数学分析教研室教授，在微分方程的定性理论方面有重要贡献，因其学术贡献，曾荣获苏联最高苏维埃颁发的功勋科学家称号.吉米多维奇著的《数学分析习题集》是一本国际知名的著作，它在中国有很大影响，早在上世纪五十年代，国内就出版了该书的中译本.该习题集有五千道，内容丰富，由浅入深，包括了数学分析的全部主题.吉米多维奇的著作除《数学分析习题集》外，另有一本在俄罗斯被广泛用做相关科目参考书的《稳定性的数学理论》.4 解析数论大师闵嗣鹤闵嗣鹤(1913-1973)，中国数学家.江西奉新人.北京师范大学毕业，英国牛津大学哲学博士.曾任清华大学、北京大学教授.闵嗣鹤闵嗣鹤对解析数论，特别是关于黎曼(Georg Friedrich Bernhard Riemann，1826-1866) 函数与三角和的估计方面作出了贡献.此外，在广义解析函数论及定积分的近似计算等方面也有成果.晚年研究地震勘探技术中的数学滤波问题，其成果有较大的实际意义.闵嗣鹤先生，由于家境困难，从十七岁开始，便一直在中学兼课.大学毕业后由老师傅种孙(1898-1962)教授介绍到北师大附中任教.在这期间，他写出了后来获奖的论文《相合式解数之渐近公式及应用此理以讨论奇异级数》，清华大学杨武之教授发现了这一位有才华的青年，立即于1937年6月聘请他去清华算学习当助教.从此他把自己的一生都奉献给了祖国的数学事业，踏上了一条成功而又艰难之路.5 首先研究偏微分方程的特征解的杜布瓦-雷蒙杜布瓦-雷蒙(Paul David Gustav du Bois-Reymond，1831-1889)，德国数学家.生于柏林，卒于弗莱堡.早年在瑞士苏黎世大学学医，后转哥尼斯堡大学改习数学和物理，1859年获柏林大学博士学位，之后到中学教书.从1870年起，历任海德尔堡大学、弗莱堡大学和杜宾根大学教授.对微积分学和微分方程论有贡献.首先研究偏微分方程的特征解，并推广到n阶方程.证明了对研究傅里叶(Jean Baptiste Joseph Fourier，1768 –1830)级数有重要作用的定积分均值定值.1882年发表著作《一般函数论》，阐明了函数论的基本概念.还提出了测度概念的雏形，并提出了积分方程这个术语.。
魏尔斯特拉斯函数
魏尔斯特拉斯函数在数学中, 魏尔斯特拉斯函数(Weiertra function)是一类处处连续而处处不可导的实值函数。
魏尔斯特拉斯函数是一种无法用笔画出任何一部分的函数，因为每一点的导数都不存在，画的人无法知道每一点该朝哪个方向画。
魏尔斯特拉斯函数的每一点的斜率也是不存在的。
魏尔斯特拉斯函数得名于十九世纪的德国数学家卡尔·魏尔斯特拉斯 (Karl Theodor Wilhelm Weiertra ; 1815–1897)。
历史上，魏尔斯特拉斯函数是一个著名的数学反例。
魏尔斯特拉斯之前，数学家们对函数的连续性认识并不深刻。
许多数学家认为除了少数一些特殊的点以外，连续的函数曲线在每一点上总会有斜率。
魏尔斯特拉斯函数的出现说明了所谓的“病态”函数的存在性，改变了当时数学家对连续函数的看法。
构造:<math>f()= \um_{n=0} ^\infty a^n \co(b^n \pi )<、math>,其中<math>0<a<1<、math>，<math>b<、math> 为正的奇数，使得：:<math> ab > 1+\frac{3}{2} \pi。
<、math>这个函数以及它处处连续而又处处不可导的证明首次出现在魏尔斯特拉斯于1872年6月18日在普鲁士科学院出版的一篇论文中。
证明这个函数处处连续并不困难。
由于无穷级数的每一个函数项<math>a^n \co(b^n \pi )<、math>的绝对值都小于常数<math>a^n<、math>，而正项级数 <math> \um_{n=0} ^\infty a^n<、math> 是收敛的。
由比较审敛法可以知道原级数一致收敛。
因此，由于每一个函数项<math>a^n \co(b^n \pi )<、math>都是<math>{\mathbb R}<、math>上的连续函数，级数和<math>f()<、math> 也是<math>{\mathbb R}<、math>上的连续函数。
量子物理学精神之父—马克斯﹒普朗克
量子物理学精神之父—马克斯﹒普朗克摘要：本文以普朗克完善的人格和谨慎的内在气质这主线，通过描述他对量子概念创立的艰难思想历程，展现了普朗克科学研究方法；并通过他对量子概念引入后的反常规态度，来提示其科学研究中的理性风格，以及他的伟大人格对科学界的感召．关键词：马克斯﹒普朗克；紫外灾难；能量子；人格1.伟人的学术历程马克斯﹒普朗克（Planck,Marl Ernst Ludwig ）1858年4月18日诞生于德国的一座小城基尔，他出生于牧师、学者和法学博士的家庭；这个家庭是德国人所具有的最好品质的典范：诚恳、忠于职守、宽容、富于理性，并在他们这一代人身上产生一种坚定、自由的启蒙思想. 普朗克早在z 幼年时就表现出一定的音乐才能,钢琴和手风琴都演奏很好.他在基尔接受了初等教育,1867年全家迁到巴伐利亚的慕尼黑后,他进入了马克西米中学就读；普朗克的个性中蕴藏着文静的力量，性格中内含着腼腆的坚强，使他“理所当然地赢得了教师和同学的喜爱”。
[1]在普朗克生活的时代，自然科学并不像人文科学受到重视，人们会把自然科学家(Naturforscher)戏称为森林管理员(Naturforstern)但普朗克毅然选择了物理学作为终生的目标，他并不追逐名利的成功，而是“以一种内在的动力驱使他踏实地工作”。
中学毕业后，普朗克先后在慕尼黑大学和柏林大学就读，当时的物理学大师赫姆霍兹(Helmholtz,HermannLudwig,Ferdinand von) 、基尔霍夫(Kirchhoff,Gustar Robert)和数学家魏尔斯特拉斯(Weierstrass,Karl Theoder Wilhelm)都是他的导师。
这些大师的深邃思想，使普朗克大开眼界。
同时他还精读著名热力学家克劳修斯(Clausius,Rudolf Julins Emmanuel)的著作，从而开始热衷于对“熵”的研究。
年仅21岁的普朗克就以题为《论热力学第二定律》的论文于1879年获得博士学位。
魏尔斯特拉斯
魏尔斯特拉斯魏尔斯特拉斯，K．W．T．(Weierstrass，Karl WilhelmTheodor)1815年10月31日生于德国威斯特伐利亚地区的奥斯登费尔特；1897年2月19日卒于柏林．数学．魏尔斯特拉斯的父亲威廉(Wilhelm)是一名政府官员，受过高等教育，颇具才智，但对子女相当专横．魏尔斯特拉斯11岁时丧母，翌年其父再婚．他有一弟二妹；两位妹妹终身末嫁，后来一直在生活上照料终身未娶的魏尔斯特拉斯．由于其父多次迁居，魏尔斯特拉斯上过几所小学．1829年，他考入帕德博恩的天主教文科中学．该校创建于公元820年，历史悠久．他成绩优异，年年得奖，在拉丁文、希腊文、德文和数学四科中，表现尤其出色．1834年夏毕业时，他是获得甲等毕业文凭的三人之一．威廉要孩子长大后进入普鲁士高等文官阶层，因而于1834年8月把魏尔斯特拉斯送往波恩大学攻读财务与管理，使其学到充分的法律、经济和管理知识，为谋得政府高级职位创造条件．魏尔斯特拉斯不喜欢父亲所选专业，于是把很多时间花在大学生自由自在的放纵生活上，例如击剑、宴饮、夜游．他在这些方面也是首屈一指的．他的专业兴趣在于数学．当时J．普吕克(Plücker)在波恩执教，但他忙于各种事务，不可能抽暇进行个别教学，所以魏尔斯特拉斯从他那里获益不多．在校期间，魏尔斯特拉斯研读过P．S．拉普拉斯(Laplace)的《天体力学》(Mecanique céleste)和C．G．J．雅可比(Jacobi)的《椭圆函数新理论基础》(Fundamenta nova the orie functionumellipticarum)．前者奠定了他终生对于动力学和微分方程论感兴趣的基础；后者对他当时的数学水平稍难了些．他还钻研过J．斯坦纳(Steiner)的一些论文．事实上，后来他成为斯坦纳数学论著的编纂者．不过，这段时间中N．H．阿贝尔(Abel)是他最大的鼓舞泉源．他在晚年致S．李(Lie)的信中曾说，在1830年的《克雷尔杂志》(Journal für die Reine und Angewandte Mathema-tik)上读到阿贝尔致A．M．勒让德(Legender)的信，“在大学生涯中对我无比重要．从确定λ(x)(这是阿贝尔引进的函数)满足的微分方程来直接导出该函数的表示形式，这是我为自己确立的第一个数学课题；我有幸得到了这个问题的解，这促使我下定决心献身数学．我是在第7学期作出这个决定的．”[20]这就是说，约在1837年底，他立志终生研究数学．1838年秋，他令人惊讶地放弃成为法学博士候选人，因此在离开波恩大学时，他没有取得学位．4年大学，耗费巨大，未得学位而归，自然使父亲极度不满．幸亏父亲的一位爱好数学的朋友出来调解，建议把魏尔斯特拉斯送到明斯特附近的神学哲学院，然后参加中学教师任职资格国家考试．魏尔斯特拉斯遂于1839年5月22日在该院注册．他在该院遇见了使他终身铭记的Ch．古德曼(Gudermann)．古德曼热衷于研究椭圆函数，其基本思想是把函数展开为幂级数，这正是魏尔斯特拉斯的解析函数论的基石．1839—1840学年上学期，听古德曼第一堂课的有13人，可第二堂起只剩下魏尔斯特拉斯一人，师生促膝谈心，相处融洽．古德曼还为这位唯一的学生讲授解析球面几何学．1840年2月29日，魏尔斯特拉斯报名参加国家考试，考试分笔试、口试两部分．他有半年时间就主考指定的3个论题写作论文．古德曼应魏尔斯特拉斯的请求为笔试出了一个很难的数学问题：求椭圆函数的幂级数展开式．他对自己学生所写的论文给予高度评价，说所提问题对“一位年轻的分析学者来说是很难的”，但论文表明作者“足以列入戴以荣誉桂冠的发现者队伍之中”，“为作者本人，也为科学进展着想，我希望他不会当一名中学教师，而能获得更为有利的条件，……以使他得以进入他命定有权跻身其中的著名科学发现者队伍之中．”[20]可惜学院负责人十分保守，对这一评价未予重视．1841年4月，魏尔斯特拉斯通过口试；1841年秋至1842年秋在明斯特文科中学见习一年．1840至1842年间，他写了4篇直到他的全集刊印时才问世的论文“关于模函数的展开”[2]、“单复变量(其绝对值介于给定的两个界限之间)解析函数的表示”[3]、“幂级数论”[4]和“借助代数微分方程定义单变量解析函数”[5]．这些早期论文已显示了他建立函数论的基本思想和结构，其中有用幂级数定义复函数，椭圆函数的展开，圆环内解析函数的展开[早于P．A．洛朗(Laurent)两年]，幂级数系数的估计[独立于A．L．柯西(Cauchy)]，一致收敛概念以及解析开拓原理．1842年秋，魏尔斯特拉斯转至西普鲁士克隆的初级文科中学．除数学、物理外，他还教德文、历史、地理、书法、植物，1845年还教体育！繁重的教学工作使他只能在晚上钻研数学．科研条件极差：乡村中学没有象样的图书馆；校内没有可以与之讨论的同事；经济拮据，无力订阅期刊，甚至付不出邮资．或许这对他这样自强不息的人也有好处，可以潜心锤炼自己独特的观念和方法．他曾在学校刊物上发表“关于解析因子的注记”．此文表明以前研究同一问题的数学家未能洞察问题症结何在．但这种刊物上的文章当然不会引起世人注意．1848年秋，魏尔斯特拉斯转至东普鲁士布伦斯堡的皇家天主教文科中学．该校拥有较好的图书馆，校长也很友善．魏尔斯特拉斯在该校年鉴(1848／49)上发表了“关于阿贝尔积分论”，这是一篇划时代的论文，可惜仍然无人觉察．1853年夏，魏尔斯特拉斯在父亲家中度假，研究阿贝尔和雅可比留下的难题，精心写作关于阿贝尔函数的论文．这就是1854年发表于《克雷尔杂志》上的“阿贝尔函数论”[6]．这篇出自一个名不见经传的中学教师的杰作，引起数学界瞩目．A．L．克雷尔(Crelle)说它表明作者已可列入阿贝尔和雅可比的最出色的后继者行列之中．J．刘维尔(Liouville)称它为“科学中划时代工作之一”，并立即把它译为法文刊载于他创办的《纯粹与应用数学杂志》(Journal de Mathématiques Pures et Appliquées)上．雅可比的继任者、柯尼斯堡大学数学教授F．里歇洛(Richelot)说服校方授予魏尔斯特拉斯名誉博士学位，并亲赴布伦斯堡颁发证书．当时任《克雷尔杂志》主编的C．W．博尔夏特(Borchardt)赶赴布伦斯堡向魏尔斯特拉斯致贺，从此开始了两人长达20多年的友谊，直至博尔夏特谢世．1855年秋，魏尔斯特拉斯被提升为高级教师并享受一年研究假期．1856年6月14日，柏林皇家综合工科学校任命他为数学教授；在E．E．库默尔(Kummer)的推荐下，柏林大学聘任他为副教授，他接受了聘书．11月19日，他当选为柏林科学院院士．1864年成为柏林大学教授．在柏林大学就任以后，魏尔斯特拉斯即着手系统建立数学分析(包括复分析)基础，并进一步研究椭圆函数论与阿贝尔函数论．这些工作主要是通过他在该校讲授的大量课程完成的．几年后他就名闻遐迩，成为德国以至全欧洲知名度最高的数学教授．G．米塔-列夫勒(Mittag－Leffler)于1873年从瑞典去巴黎，想在Ch．埃尔米特(Hermite)指导下研究分析．可是埃尔米特对他说：“先生，你错了！你应当到柏林去听魏尔斯特拉斯讲课．他比我们都强．”果然，米塔-列夫勒抵柏林后不久就作出了关于亚纯函数的重要发现．魏尔斯特拉斯于1873年出任柏林大学校长，从此成为大忙人．除教学外，公务几乎占去了他全部时间，使他疲乏不堪．紧张的工作影响了他的健康，但其智力未见衰退．他的70华诞庆典规模颇大，遍布全欧各地的学生赶来向他致敬．10年后80大寿庆典更加隆重，在某种程度上他简直被看作德意志的民族英雄．魏尔斯特拉斯与C．B．科瓦列夫斯卡娅(Кοвaлевскaя)的友谊，是他后期生活中的一件大事．科瓦列夫斯卡娅于1869年秋拉斯早期弟子之一，又善于宣扬其师的讲授，这促使科瓦列夫斯卡娅大胆决定直接求助魏尔斯特拉斯．1870年秋，年方20、聪慧美丽的科瓦列夫斯卡娅见到了55岁的魏尔斯特拉斯．后者发现了她的优异天赋，试图说服柏林大学评议会同意她听课，但遭拒绝．于是他就抽出业余时间为她免费授课，每周两次，一直持续到1874年秋．这期间他待她亲如子女，并帮助她以关于偏微分方程的著名论文在格丁根取得学位．1888年，科瓦列夫斯卡娅以刚体绕定点运动的研究获得巴黎科学院大奖，对他是极大慰藉．两年后她的去世则是对他的一个沉重打击，以致他烧毁了她写给他的全部信件以及他收到的不少其他书信．1897年初，魏尔斯特拉斯染上流行性感冒，后转为肺炎，终至不治，于2月19日溘然长逝，享年82岁．除柏林科学院外，魏尔斯特拉斯还是格丁根皇家科学学会会员(1856)、巴黎科学院院士(1868)、英国皇家学会会员(1881)．魏尔斯特拉斯生前便决定在其学生协助下出版他本人的论著，1894和1895年分别出版了他的全集[1]的第1，2两卷．按照他的遗愿，1902年首先出版了关于阿贝尔函数论的第4卷，1903年出了第3卷．第5卷是《椭圆函数论讲义》，第6卷是《椭圆函数论在几何与力学中的应用》，出版于1915年．1927年出版了第7卷《变分法讲义》．原定第8—10卷是他关于超椭圆函数的工作、《椭圆函数论讲义》第2版和函数论，但迄今仍未问世．全集前3卷共收论文(其中有一部分讲演)60篇．他致P．杜布瓦-雷蒙(Du Bois－Reymond)、 L．富克斯(Fuchs)和柯尼斯伯格的一些信件，发表于《数学学报》(Acta Math．，1923)．数学分析算术化的完成者魏尔斯特拉斯在数学分析领域中的最大贡献，是在柯西、阿贝尔等开创的数学分析严格化潮流中，以ε－δ语言，系统建立了实和复分析的严谨基础，基本上完成了分析的算术化．然而，由于他是通过课堂讲授完成这一任务的，没有发表有关论著，所以对研究他在这一领域的工作带来了困难．实数论魏尔斯特拉斯很早就认识到，为使分析具备牢靠的基础(例如无懈可击地证明连续函数的性质)，必须建立严格的实数论．他于1857年开始讲授的解析函数论等课程，总要在第一阶段花很多时间阐明他关于实数的理论．为从自然数定义正有理数，他引进正整数的“恰当部分”的概念．例如，1的恰当部分是满足n·e n=1的元素e n．数a是数b的一个“恰当部分”，如果b 是由等于a的一些元素构成的集合．正有理数定义为单位的恰当部分的有限整线性组合，或有限集．通过定义“容许变换”，他使同一有理数的不同表示式得以化归为相同的分母，然后他引进由无穷多个元素构成的集合，通过引进“部分”概念定义这类集合之间的相等．这就是他的无理数概念的基点．由此他定义实数的四则运算与次序关系，证明它们所满足的规律以及实数的十进小数表示式．稍后，H．C．R．梅雷(Méray)、G．康托尔(Cantor)、R．戴德金以及E．海涅(Heine)分别于1869，1871，1872，1872年各自独立地给出了无理数定义，建立了严格的实数论．ε－δ语言H．A．施瓦兹(Schwarz)、G．黑特纳(Hettner)和G．蒂姆(Thieme)分别整理的魏尔斯特拉斯于1861年讲授的《微分学》、1874年讲授的《解析函数论导引》和1886年讲授的《函数论选题》的笔记，呈现了他用ε-δ语言定义分析基本概念与论证分析基本定理的轮廓．魏尔斯特拉斯说，对于函数f(x)，“如果能确定一个界限δ，使对其绝对值小于δ的所有h值，f(x+h)－f(x)小于可以小到人们意愿的任何程度的一个量ε，则称所给函数对应于变量的无穷小改变具有无穷小改变．”他由此给出函数连续的定义，证明闭区间上连续函数的介值性质和有界性质．在定义微分学基本概念时，他还以f(x+h)=f(x)＋h·f′(x)+h(h)给出导数的另一种定义．他严格证明了带余项的泰勒公式，称它为“整个分析中名副其实的基本定理”．对于函数项级数，他引进了极其重要阐述并证明了关于连续函数项级数的和函数的连续性以及函数项级数逐项微分与逐项积分的定理，几乎与现在分析教科书中所写内容完全一在建立分析基础过程中，魏尔斯特拉斯引进了R与R n中一系列度量和拓扑概念，如有界集、无界集，点的邻域，集的内点、外点、边界点，集和序列的极限点，连通性等．他证明了有界无限集必有极限点(现称为波尔查诺-魏尔斯特拉斯定理)，并通过极限点证明了有界数集上、下确界的存在性与数列上、下极限的存在性．在1886年的授课中，他还指出G．F．B．黎曼(Riemann)关于定积分的定义限制过多，并把积分概念推广到在一个可数集上不连续的有界函数．这是走向具有完全可加性的现代积分概念的一个正确尝试．魏尔斯特拉斯的严格性引进一致收敛概念，是魏尔斯特拉斯的严格性的一个例证．海涅于1869年说，在此以前，人们(包括柯西在内)对收敛函数项级数可以逐项积分都深信不疑，“是魏尔斯特拉斯先生首次注意到，这条定理的证明……还基于一致收敛性”．G．H．哈代(Hardy)在分析了G．G．斯托克斯(Stokes)、P．L．赛德尔(Seidel)与魏尔斯特拉斯的一致收敛概念后说，“只有魏尔斯特拉斯清楚地、自觉地看出了一致收敛作为分析基本概念的极端重要性”．对于狄利克雷原理的批评，是其严格性的又一例证．该原理断定：连续函数中，存在使得狄利克雷积分达到最小值的函数u0(x，y)，而u0必在D内调和，从而是狄利克雷问题的解．1870年，魏尔斯特拉斯在柏林科学院发表题为“关于所谓狄利克雷原理”的讲演[7]，一针见血地指出 [u]构成的集具有下确界并不蕴涵在所考虑的函数集中存在u0使D［u0］等于这个下确界．他还举出了一个令人信服的简单例子．给出处处连续但处处不可导函数的例子，也是其严格性的一个突出例证．魏尔斯特拉斯于1872年在柏林科学院的一次演讲中提出了函数子告诉了杜布瓦-雷蒙，后者于次年在《克雷尔杂志》上发表了这个例子，从而引出了以后一系列关于函数具有“反常”性态的发现．魏尔斯特拉斯在分析中的另一重大工作是证明闭区间上的连续函数可以用多项式一致逼近和周期为2π的连续函数可以用三角多项式一致逼近．这两条定理后来有许多推广．毫无疑义，魏尔斯特拉斯的严格性最突出的表现是通过ε－δ建立整个分析体系．随着他的讲授和他的学生的工作，他的观点和方法传遍欧洲，他的讲稿成为数学严格化的典范．F．克莱因(Klein)在1895年魏尔斯特拉斯80大寿庆典上谈到那些年分析的进展时说，“我想把所有这些进展概括为一个词：数学的算术化”，而在这方面“魏尔斯特拉斯作出了高于一切的贡献”．D．希尔伯特(Hilbert)认为：“魏尔斯特拉斯以其酷爱批判的精神和深遽的洞察力，为数学分析建立了坚实的基础．通过澄清极小、函数、导数等概念，他排除了微积分中仍在涌现的各种异议，扫清了关于无穷大和无穷小的各种混乱观念，决定性地克服了起源于无穷大和无穷小概念的困难．……今天……分析达到这样和谐、可靠和完美的程度，……本质上应归功于魏尔斯特拉斯的科学活动．”魏尔斯特拉斯的严格化也遭到一些人反对，最突出的是L．克罗内克(Kronecker)．他对算术化进行了激烈的、刻薄的抨击，甚至否认象处处连续处处不可导函数这样的例子有任何意义．解析函数论的奠基人魏尔斯特拉斯以其富有独创性的方法，首次以不依赖于几何直观的严格方式阐述和论证了复变函数论，使这一19世纪中成就最辉煌的数学分支进入了深入发展的阶段．他在这方面的工作不仅见诸论文[2，3，4，5]，而且更多体现在他讲授的课程中[12，15，18]．解析性、解析开拓与完全解析函数魏尔斯特拉斯研究解析函数的出发点是解析性概念．如果定义于复平面的区域D中的复值函数f在D的每个点的一个邻域内可展开为幂级数，则称f在D内解析．这样的函数在复意义下可导．他得到不恒等于零的解析函数f在其零点a处的分解式f(z)=(z-a)n g(z)，其中g在a的邻域内解析且g(a)≠0．由此得到零点的孤立性和解析函数的唯一性定理．他指出，给定以 a为中心、收敛半径为r(>0)的幂级数f，对圆盘|z-a|<r 中的每点b，f可展开为以b为中心、收敛半径r(b)≥r-|b-a|的幂级数．由此可按r(b)> r-|b-a|或r(b)=r-|b-a|把收敛圆盘边界上的点分为正则点和奇点两类．前一情形可对f进行解析开拓，后一情形则不能．他证明ρ=inf｛r(b)：|b-a|＜r｝＝0，从而得到幂级数收整数且满足ab≥10)表明此边界可能只含有奇点，他称之为“自然边界”；此时f不可能解析开拓到收敛圆外．这样的开拓可能导致回到同一点时得到不同的函数值．在1884—1885学年的讲授中，魏尔斯特拉斯引进了“解析函数元素”概念．如果S是以a为中心的具有正收敛半径的幂级数，则称(a，S)为一个解析函数元素，简称元素．给定两个元素(a，S)，(b，T)，如果S与T的收敛圆盘之交非空且S与T在此交上相等，则称这两个元素互为直接解析开拓．设(a0，S0)，(a1，S1)，…，(a n，S n)是一个元素链，如果链中任何两个相邻元素互为直接解析开拓，则称(a0，S0)与(a n，S n)互为解析开拓．从一个元素出发进行一切可能的解析开拓所得到的元素的全体，就是一个整体解析函数，它一般是多值的．这种函数被称为完全解析函数．整函数与亚纯函数魏尔斯特拉斯把只在无穷远点处有一个奇点的解析函数称为整函数，并得到了被R．奈望林纳(Nevanlinna)称为“现代分析中最奇妙的结果之一”的整函数分解为素因子的定在任一|z|≤R上一致收敛，于是整函数其中g是整函数．对于解析函数的孤立奇点，魏尔斯特拉斯区别了极点和本性奇点．在1874年12月16日致科瓦列夫斯卡娅的信[21]中，他表述了下述命题：如果a是f(z)的本性奇点，则对任何复数c(可为∞)，存在z n→a，使得f(zn)→ c．根据F．卡索拉蒂(Casorati)1864年在柏林游学时所作的笔记，在当时他与魏尔斯特拉斯等人的多次讨论中，已谈到这一定理．卡索拉蒂和Ю．B．索霍茨基(Сохопкий)于1868年分别发表了类似结果．这一定理以及E．皮卡(Picard)于1879年发表的著名定理，成为现代亚纯函数值分布论的起点．魏尔斯特拉斯还得到了具有有限个本性奇点和任意多个(可为无穷个)极点的解析函数的一般表示式．多复变函数论在魏尔斯特拉斯的早期论文中，已引进多复变量幂级数与复n维空间中的一些拓扑概念，定义了多复变量幂级数的收敛多圆柱，他还通过系数估计得到由幂级数表示的函数gμ(z1，…，z n)=0(μ=1，…，m；m＜n)所确定的隐函数z v=h v(z m+1，…，z n)(v=1，…，m)可展开为幂级数的定理．魏尔斯特拉斯对多复变函数论的最大贡献，是他于1860年讲课中提出并于1879年发表的“预备定理”[9]：如果F(z1，…，z n)是原点邻域内的解析函数，F(0，0，…，0)=0，F(0，…，0，z n)0，则在原点邻域中F可表示为其中k是不小于1的整数，a v(z1，…，z n-1)(v=1，…，k)在原点邻域内解析且在原点处取零值，g在原点邻域内解析且不等于零．这是多复变函数论中最早的一条深刻定理，它使得现代解析集的局部研究中应用代数方法成为可能，对解析集研究具有重要意义．魏尔斯特拉斯的函数论魏尔斯特拉斯与柯西、黎曼同为复变函数论的奠基人，但在方法与途径上并不相同[11]．他建立解析函数论的原意是作为他关于阿贝尔积分与阿贝尔函数一般理论的导引．现在看来，他的主要目标反倒退居次要地位，而他的严格的、批判的、犀利的观念，以及他所提供的一般性理论和方法，则成为他对这一领域的主要贡献．在这方面，他与黎曼明显不同．黎曼以狄利克雷原理为基础建立他的著名的映射定理，而魏尔斯特拉斯对狄利克雷原理的批评使这个原理和黎曼强有力的方法几乎一蹶不振．直到1899年，希尔伯特的工作才使它们得以“复活”．在谈到黎曼面时，魏尔斯特拉斯说他“不能接受这是函数论真正基础”的提法，虽然他也承认这种方法“具有数学想象力”[15]．在一般方法论上，他说：“我越是思考函数论——这是我不断研究的领域——的各种原理，就越确信它必须建立在简单的代数真理的基础上；谁如果不是把它建立于简单而基本的代数命题，而是借助于‘直觉’(我用这个词来概括描述)，谁就走上了歧路，不管乍一看它多么有吸引力，例如黎曼那样，他通过这种方法发现了代数函数那么多重要的性质．”不过他也强调在研究时可以采用多种渠道，他讲的“只是关于应当怎样建立系统的理论基础问题”．克莱因在比较这两位数学家时说过：“黎曼具有非凡的直观能力，他的理解天才胜过所有同代数学家．……魏尔斯特拉斯主要是一位逻辑学者，他缓慢地、系统地逐步前进．在他工作的分支中，他力图达到确定的形式．”H．庞加莱(Poincaré)写道，魏尔斯特拉斯使“整个解析函数论成为幂级数理论的一系列推论，因而它就被建立在牢靠的算术基础上”，“黎曼的方法首先是一种发现的方法，而魏尔斯特拉斯的则首先是一种证明的方法”．到19世纪末，德文“Funktionenlehre”几乎已成为按照魏尔斯特拉斯的观念建立的复变函数论的同义词，但也有人持有异议．S．李(Lie)批评德国没有象样的几何学家，他把这种状况归咎于魏尔斯特拉斯学派占据统治地位．克莱因在肯定算术化同时也强调数学决不会由逻辑推导完成，直观总是具有特殊重要性．康托尔甚至提出人们应当区别魏尔斯特拉斯实际所做的工作与围绕着他树立起来的神话．在数学其他领域中的贡献椭圆函数论与阿贝尔函数论魏尔斯特拉斯引进函数 Al(u)k(k=1，2，3)与A1(u)，他采用这些记号显然是为了纪念阿贝尔．他通过这些函数解决了把snu，cnu，dnu表示为幂级数之商的问题．后来，他引进了在其椭圆函数论中起核心作用的函数，它是第一类椭圆积分的反演，满足微分方程并以u=0为极点．他得到了(u)的加法定理，从而把它解析开拓为全平面上的亚纯函数，并得到展开式他在“关于阿贝尔积分论”和1856年发表的另一论文中研究了超椭圆积分的反演问题：由方程组确定x1，…，x n作为(u1，…，u n)∈C n的函数，其中通过引进第一类与第二类完全积分与函Al， Al j，al j=Al j/Al(j=0，1，…，2n)，他得到了问题的解，导出了这些函数所满足的偏微分方程组与作为幂级数之商的表示式，建立了al j之间的一些代数关系式．魏尔斯特拉斯于1869年完成了关于阿贝尔积分的一般理论，并在其后的一系列课程中加以阐述．在他的理论中，由一个不可约代数方程定y=ψ(t)是收敛幂级数；他称这样的集合为“代数层”．他由此出发定义亏格(他称之为“级”)，证明亏格在双有理变换下不变．他还定义定形式关于一个代数层的所有元素的残数之和为零，由此得到F(x，y)的分解式．通过研究只有一个极点的有理函数，他得到亏格的新的代数刻画．他证明用有限个解析元素即可表示一个代数层，这相当于证明代数函数黎曼面的紧性．他证明了阿贝尔函数论中的一条基本定理：具有相同周期2p的P+1个P元阿贝尔函数之间存在一个代数关系．变分法魏尔斯特拉斯关于变分法的研究最早通过A．克内泽尔(Kne-ser)的《变分法教程》(Lehrbuch der Variationsrechung， 1900)得到传播，该书对变分法研究有深远影响．他关于变分法的讲义是由许多学生笔录的．在该讲义中，他考察平面变分法问题的参数形式即积分假定F在某个区域中正则并具有正齐性．第11章中证明了著名的“角条件”：给定的极小化曲线在(t0，t1)中有限个点处间断地改变切线方出可比关于共轭点命题的严格证明(第16章)．他清晰地表述了曲线C为极值曲线的三个必要条件：(1)沿此曲线x，y作为t的函数满足。
集合代数
1879年 任哈雷大学教授。 1879年:任哈雷大学教授。 1891年 组建德国数学家联合会， 1891年:组建德国数学家联合会，被选为第一任主席 。 1904年 被伦敦皇家学会授予当时数学界最高荣誉 1904年:被伦敦皇家学会授予当时数学界最高荣誉— —西尔威斯特（Sylvester）奖章。 西尔威斯特（ 西尔威斯特 Sylvester）奖章。 1884年: 从春天起患严重的忧郁症，极度沮丧，神态不 年 从春天起患严重的忧郁症 极度沮丧， 严重的忧郁症， 精神病时时发作， 安，精神病时时发作，不得不经常住到精神病院的疗 养所去。变得很自卑， 养所去。变得很自卑，甚至怀疑自己的工作是否可靠 他请求哈雷 。他请求哈雷大学当局把他的数学教授职位改为哲学 教授职位。 教授职位。 1918年：在哈雷大学附属精神病院去世，享年 岁。 年 在哈雷大学附属精神病院去世，享年73岁
3、线段AB与CD谁包含的点更多？ 线段AB与CD谁包含的点更多？ AB 谁包含的点更多
A C B D
λ 11 ::1, 2 23,3 , Ln ,,L , L 1, , , L , n 2 2 2 2 λ 22 ::11 , 2 , ,3 , L ,, n , L 3 ,L n ,L 3 , 2 , n , ,L λ 33 ::11×, 2 ,, 2 × L, 3 × 2L , n × 2 , L
O
再观察线段AB和CD，连接CA 线段AB和CD， AB DB， 和DB，并延长，交于点O，设 上任意一点 P是CD上任意一点，连接PO， 上的点 交AB于P′。CD上的点是否比 上的点更多？ AB上的点更多？
C
A
P'
B
D P
高中生比较无穷集合所用的策略
类型1 集合A与集合B中的元素个数均为无穷，所 集合A与集合B中的元素个数均为无穷， 以元素一样多。 以元素一样多。
两个数学家的简历
两个数学家的简历【简介两位数学家】数学家卡尔·弗里德里希·高斯（Carl Friedrich Gauss，1777-1855）和安德烈·魏尔斯特拉斯（Andreyevich Markov，1856-1922）分别出生于不同的时代，但他们都在数学领域取得了举世瞩目的成就。
高斯被誉为“数学王子”，而魏尔斯特拉斯则被誉为“概率论的父亲”。
【生平事迹及贡献概述】卡尔·弗里德里希·高斯出生于德国，自幼展现出数学天赋。
他在数学领域的贡献极为广泛，包括数论、统计学、微分几何、大地测量学等多个领域。
高斯的研究成果具有深远的影响，例如高斯分布、高斯积分、高斯消元法等。
安德烈·魏尔斯特拉斯出生于俄罗斯，后成为法国籍数学家。
他的研究主要集中在概率论、实分析、复分析等领域。
魏尔斯特拉斯的成果包括马尔可夫链、魏尔斯特拉斯定理等。
他的研究为概率论的发展奠定了基础。
【数学成就及影响】高斯的数学成就不胜枚举，他对数学领域的贡献长达几十年。
高斯在数论方面的研究，尤其是对素数的分布规律的探索，使他成为了数学史上的传奇人物。
此外，他在统计学领域的研究，为后来的大数据分析奠定了基础。
魏尔斯特拉斯在概率论方面的研究具有开创性意义。
他的马尔可夫链理论成为了现代概率论和统计学的基础，对后续研究产生了深远的影响。
同时，他在实分析、复分析等领域的成果也为数学发展做出了重要贡献。
【对比分析两位数学家的研究特点和方法】高斯的研究特点是对数学问题进行全面深入的探索，善于运用广泛的数学知识解决复杂问题。
他的研究方法以严谨、细致著称，往往能找到问题背后的本质规律。
与之相比，魏尔斯特拉斯的研究更注重创新和开拓。
他在概率论领域的突破，正是通过对传统观念的挑战和对新问题的探索。
魏尔斯特拉斯的方法论较为简洁，善于抓住问题的关键，为数学领域带来新的观念和方法。
【总结】卡尔·弗里德里希·高斯和安德烈·魏尔斯特拉斯分别是德国和俄罗斯的数学巨匠，他们在数学领域的成就举世闻名。
魏尔斯特拉斯
魏尔斯特拉斯weierstrass德国数学家，生于巴伐利亚，卒于柏林。
weirstrass 堪称现代分析之父，他的论文与教学影响整个二十世纪分析学（甚至整个数学）的风貌。
weirstrass 的父亲官运不错，家庭经常搬家，weirstrass 因此经常转学。
虽然他在gymnasium时期（相当于初高中）已经常阅读《crell》期刊，展示他无比的数学天赋，他的父亲却在bonn（波昂）大学帮他安排好前途——法律、财政与经济。
weirstrass 心内挣扎于父命与兴趣，大学期间遂自我放逐，整天练习击剑和酗酒，身心冲突甚至影响他日后的健康。
他自修数学，阅读laplace的《天体力学》与Abel函数的论文，自己发展研究复变函数的工具，虽然当时他没发表这些早熟的成果，他在大四已下定决心献身数学研究。
但是因为他荒废bonn大学的学业，不能毕业，26岁时，他辗转取得高中老师的资格，开始15年的高中数学教师生涯，但事实上他同时还要教授物理、植物学、地理、历史、德文、书法、体育等课程，课务繁冗不堪，加上他争取每一分钟从事数学研究，使他在35岁后的12年间，间歇性地严重晕眩。
除了一些在地方学报发表的数学文章。
weirstrass 第一篇重量级论文〈zur theorie der abelschen functionen〉（abel 函数理论）1854年发表在《crelle 》期刊，展示他之前发展已久之收敛幂级数法的威力。
konigsberg大学因此给他荣誉博士学位，并且他也开始申请大学的教职， Dirichlet 甚至向普鲁士文化部强力推举他在大学任教。
1856年当他第二篇关于abel函数的论文发表后。
各大学及研究院的聘书蜂拥而至，最后以41岁的「高龄」，他落脚在柏林大学。
与kummer， kronecker将柏林大学的数学研究带入鼎盛时期。
不知道是否与他的高中教师经历有关，weirstrass 的授课十分成功吸引了全世界的数学学子。
魏尔斯特拉斯的历史汇总
魏尔斯特拉斯——现代分析学之父时代背景19世纪，在数学界，有三件事极大的推进了数学的发展。
在30年代，罗巴切夫斯基和鲍耶挣脱欧几里得几何的束缚，创造了和它同样相容的几何——非欧几何。
欧几里得几何中的一些公式和定理将不再适应，从而扩展了几何的发展。
几乎同时，代数学也发生了类似的革命。
以伽罗瓦、哈密顿、格拉斯曼和凯莱为代表的数学家们创立了新的代数。
普通代数里的某些公理在那里不再适用。
它为群、环、域、布尔代数、约当代数和李代数等抽象代数的创立开辟道路。
第三个具有重大意义的事件是分析的算术化。
微积分自牛顿、莱布尼兹创立以来，获得空前的发展。
但是，它的许多概念还是含混不清的，它的基础仍旧薄弱。
达朗贝尔首先察觉到需要有一个极限理论来消除混乱；拉格朗日则在《解析函数论》中作了有益的尝试；高斯比同时代数学家更早排除直观，对严密性提出更高的要求；最后是柯西把问题大大推进。
他的极限理论对分析的发展和级数敛散性的判别都是必不可少的。
但是，使数学家最终下决心摒弃凭直观推理而寻求更可靠基础的，是由于德国数学家卡尔·魏尔斯特拉斯在1874年发表的一个和直观相悖的惊人发现：一条连续曲线却处处没有切线!换句话说就是一条处处连续却处处不可导的函数。
良师指路卡尔·魏尔斯特拉斯(Weierstrass，KarlWilhelm)是德国数学史上一位伟大的数学家。
1815年1O月31日生于德国威斯特法伦州的奥斯滕费尔德，1897年2月19 卒日于柏林。
魏尔斯特拉斯是一位海关官员之子，其一家人都是虔诚的罗马天主教徒。
他青年时代就已显示出对语言学和数学的才华，他在中学期间，每门课程的成绩都十分优异，有一年他获得了7项奖，他通常是德文第一名，并获得过拉丁文和希腊文及数学这三门课的第一名。
他特别喜欢数学，但1834年他上完中学后，其父却把他送到波恩大学学习法律和财政学，由于他不喜欢法律和财政学，因而精神委顿，把时间消磨在击剑和饮酒中，4年后未得学位返家，使他的父亲勃然大怒，呵斥他是一个“从躯壳到灵魂都患病的人”。
勒贝格生平简介
勒贝格生平简介1875年6月28日生于法国的博韦；1941年7月26日卒于巴黎。
勒贝格的父亲是一名印刷厂职工，酷爱读书，很有教养．在父亲的影响下，勒贝格从小勤奋好学，成绩优秀，特别擅长计算。
不幸，父亲去世过早，家境衰落。
在学校老师的帮助下进入中学，后又转学巴黎，1894年考入高等师范学校。
1897年大学毕业后，勒贝格在该校图书馆工作了两年。
在这期间，出版了波莱尔(Borel)关于点集测度的新方法的《函数论讲义》(1898)，特别是研究生贝尔(Baire)发表了关于不连续实变函数理论的第一篇论文。
这些成功的研究工作说明在这些崭新的领域中进行开拓将会获得何等重要的成就，从而激发了勒贝格的热情。
从1899年到1902年勒贝格在南锡的一所中学任教，虽然工作繁忙，但仍孜孜不倦地研究实变函数理论，并于1902年发表了博士论文“积分、长度、面积”。
在这篇文章中，勒贝格创立了后来以他的名字命名的积分理论。
此后，他开始在大学任教(1902—1906在雷恩；1906—1910在普瓦蒂埃)，在此期间，他进一步出版了一些重要著作：《积分法和原函数分析的讲义》(1904)；《三角级数讲义》(1906)。
接着，勒贝格又于1910—1919年在巴黎(韶邦)大学担任讲师，1920年转聘为教授，这时他又陆续发表了许多关于函数的微分、积分理论的研究成果。
勒贝格于1921年获得法兰西学院教授称号，翌年作为若尔当(Jordan)的后继人被选为巴黎科学院院士。
勒贝格对数学的主要贡献属于积分论领域，这是实变函数理论的中心课题。
19世纪以来，微积分开始进入严密化的阶段。
1854年黎曼(Riemann)引入了以他的名字命名的积分，这一理论的应用范围主要是连续的函数。
随着魏尔斯特拉斯(Weierstrass)和康托尔(Cantor)工作的问世，在数学中出现了许多“奇怪”的函数与现象，致使黎曼积分理论暴露出较大的局限性。
几乎与这一理论发展的同时(1870—1880年)，人们就已经开展了对积分理论的改造工作。
康托
简介康托：康托原名格奥尔格·康托尔（Cantor，Georg Ferdinand Ludwig Philipp，1845.3.3-1918.1.6）他是一位德国数学家，也是集合论的创始人。
生于俄国圣彼得堡（今俄罗斯列宁格勒）。
父亲是一位具有犹太血统的丹麦商人，而母亲则出身艺术世家。
1856年全家迁居德国的法兰克福。
先在一所中学，后在威斯巴登一所大学预科学校学习。
生平简介：康托尔，1862年入苏黎世大学学习工科,第二年转入柏林大学攻读数学和神学，受教库莫尔（Kummer，Ernst Eduard，1810.1.29-1893.5.14）、维尔斯特拉斯（Weierstrass，Karl Theodor Wilhelm，1815.10.31-1897.2.19）和克罗内克(Kronecker，Leopold，1823.12.7-1891.12.29)。
1866年曾去格丁根学习一学期。
1867年在库默尔指导下以解决一般整系数不定方程ax2+by2+cz2=0求解问题的论文获博士学位。
毕业后受魏尔斯特拉斯的直接影响，由数论转向严格的分析理论的研究，不久崭露头角。
他在哈雷大学任教（1869-1913）的初期证明了复合变量函数三角级数展开的唯一性，继而用有理数列极限定义无理数。
1872年成为该校副教授，1879年任教授。
由于学术观点上受到的沉重打击，使康托尔曾一度患精神分裂症，虽在1887年恢复了健康，继续工作，但晚年一直病魔缠身。
1918年1月6日在德国哈雷（Halle）-维滕贝格大学附属精神病院去世。
康托尔爱好广泛，极有个性，终身信奉宗教。
早期在数学方面的兴趣是数论，1870年开始研究三角级数并由此导致19世纪末、20世纪初最伟大的数学成就——集合论和超穷数理论的建立。
除此之外，他还努力探讨在新理论创立过程中所涉及的数理哲学问题.1888-1893年康托尔任柏林数学会第一任会长，1890年领导创立德国数学家联合会并任首届主席。
现代分析学之父——魏尔斯特拉斯
教师生涯
• 居德曼的评语并没有引起任何重视，魏尔斯特 拉斯在获得中学教师资格后开始了漫长的中学 教师生活。他在两处偏僻的地方中学度过了包 括30岁到40岁的这段数学家的黄金岁月。他在 中学不光是教数学，还教物理、德文、地理甚 至体育和书法课，而所得薪金连进行科学通信 的邮资都付不起。 • 他的教学工作极其繁重，但他认为这些课程并 不具挑战性，于是他利用晚上空闲时间钻研数 学。 据说，有一次魏尔斯特拉斯没有去上早晨 的课时，校长亲自去家里找他，竟发现魏尔斯 特拉斯通宵研究数学，完全没有意识到黎明的 到来。
教师生涯
• 而且，这一段当时看起来默默无闻的生活，其 实蕴含着巨大的力量，他不仅是一位伟大的数 学家，而且是一位杰出的教育家！先不要提他 日后培养出的一大批有成就的数学人才（魏尔 斯特拉斯桃李满天下，很多学生后来成为著名 的数学家、大学教授，经他指导完成博士论文 的学生就有41 位，其中成为著名的数学家有： 富克斯、柯尼斯伯格、施瓦茨、康托尔 （G.Cantor）、米塔-列夫勒、基灵 （W.Killing）、内托 （to）、弗罗贝尼乌斯 （F.G.Frobenius） 、柯瓦列夫斯卡娅、克诺伯 洛赫 （J.Knoblauch）、米勒（F.Müller）、朔 特基（F.Schottky）、平凯尔（S.Pincherle） 、 海 特 纳（G. Hettner）、普朗克、荣格）。
现代分析学之父 ——魏尔斯特拉斯
Karl Theodor Wilhelm Weierstraß
数学与统计学院
人物概括
• 中文名：卡尔· 特奥多尔· 威廉· 魏尔斯特拉斯 • 外文名：Karl Theodor Wilhelm Weierstraß • 国 • 年 籍：德国 份：1815.10.31~1897.2.19
闵柯夫斯基
人物生平
1873年，闵可夫斯基进入艾尔斯塔特预科学校读书。他思考敏捷，记忆力极佳，很快就表现出数学天赋。不 仅如此，闵可夫斯基熟读莎士比亚、席勒和歌德的作品，歌德的《浮士德》几乎可以全文背诵。这和大鸡慢啼的 Hilbert不同。八年的预科学校课程，闵可夫斯基只花了五年半就完成学业。因此，虽然闵可夫斯基比Hilbert小 两岁，却早一年毕业。当时德国大学可以自由选择任何大学注册。闵可夫斯基先进入当地的大学，不久就转到柏 林大学，三个学期后又回到Konigsberg大学。在大学期间，他曾先后受教于Helmholtz、Hurwitz、Lindeman、 克罗内克尔（Kronecker）、库谟（Kummer）、Weber、魏尔斯特拉斯（Weierstrass）和Kirchhoff(克希荷夫) 等人。在Konigsberg大学，闵可夫斯基和Hilbert重逢，两人志趣相投，结为终生的挚友。1884年，年方25的数 学家Hurwitz来到Konigsberg大学当副教授，很快地便和闵可夫斯基及Hilbert建立起友谊，共同的科学爱好把 他们紧密地结合在一起。每天下午五点，都可以看见他们三人在苹果园里散步，讨论当前的数学问题，时而低头 苦思、时而滔滔不绝，时而争辩，时而会心地哈哈大笑，旁人看来真是一群数学疯子。然而，这些讨论对他们各 自的数学工作产生重要的影响。Hilbert后来写道：在无数次的散步中，我们三人探究了数学科学的每一个角落。 Hurwitz学识渊博，他总是我们的带路人。大学期间，Minkowski就曾因出色的数学工作而获奖。1881年，法国 科学发出通告，悬赏求解一个数学难题：试证任何一个正整数都可以表成五平方数的和。年仅十的闵可夫斯基所 做出的结果大大超过了原问题，然截稿日期已近，根据比赛规则需译为法文，但闵可夫斯基已经来不及，事已至 此，他还是决定投稿一试。翌年，大奖揭晓，由十八岁的闵可夫斯基和英国著名数学家HenrySmith共同获奖。闵 可夫斯基再次轰动Konigsberg。1885年夏，闵可夫斯基在Konigsberg大学取得博士学位。服过短暂的兵役后， 1886年被聘为Bonn大学讲师。
数学家魏尔斯特拉斯
卡尔·魏尔斯特拉斯卡尔·特奥多尔·威廉·魏尔斯特拉斯（Karl Theodor WilhelmWeierstraß，姓氏可写作Weierstrass，1815年10月31日－1897年2月19日），德国数学家，被誉为“现代分析之父”。
生于威斯特法伦的欧斯腾费尔德，逝于柏林。
卡尔·魏尔斯特拉斯的父亲是威廉·魏尔斯特拉斯（WilhelmWeierstrass），任政府官员；母亲是特奥多拉·冯德福斯特（Theodora Vonderforst）。
他在文理中学（Gymnasium）学习时对数学开始感到兴趣，但他中学毕业后进入波恩大学准备在政府谋职。
他要学习的是法律、经济和金融，违背了他读数学的心愿。
他解决矛盾的方法是不留心于指定课业，私下继续自学数学，结果他没有学位就离开了大学。
他父亲在明斯特一家师训学校为他找到一个位子，他之后也得以注册为该市教师。
他在这段学习中上了克里斯托夫·古德曼（Christoph Gudermann）的课，对椭圆函数萌生兴趣。
1835年，魏尔斯特拉斯将一篇关于阿贝尔函数的论文寄给了德国数学家雷尔主办的《数学杂志》并受到了赏识。
1850年后魏尔斯特拉斯长年患病，但仍然发表论文，这些论文使他获得声誉。
1857年柏林大学给予他一个数学教席。
给函数的极限建立了严格的定义，是他对数学的一个贡献。
论文摘记∙关于阿贝尔函数的理论Zur Theorie der Abelschen Functionen (1854)∙阿贝尔函数的理论Theorie der Abelschen Functionen (1856)参见∙魏尔斯特拉斯逼近定理∙魏尔斯特拉斯函数（处处连续，但处处不可微之函数。
可说是最早的碎形之一。
）∙魏尔斯特拉斯判别法∙魏尔斯特拉斯分解定理。
数学名人故事简写
数学名人故事简写数学研究工作，不仅是了解及整理已知的结果，还包含着创造新的数学成果与理论。
今天小编在这给大家整理了数学名人故事，接下来随着小编一起来看看吧!数学名人故事(一)格奥尔格·康托尔(Cantor，Georg Ferdinand Ludwig Philipp，1845.3.3-1918.1.6)德国数学家，集合论的创始人。
生于俄国圣彼得堡。
父亲是犹太血统的丹麦商人，母亲出身艺术世家。
1856年全家迁居德国的法兰克福。
先在一所中学，后在威斯巴登的一所大学预科学校学习。
康托尔，1862年入苏黎世大学学工,翌年转入柏林大学攻读数学和神学，受教于库默尔(Kummer，Ernst Eduard，1810.1.29-1893.5.14)、维尔斯特拉斯(Weierstrass，Karl Theodor Wilhelm，1815.10.31-1897.2.19)和克罗内克(Kronecker，Leopold，1823.12.7-1891.12.29)。
1866年曾去格丁根学习一学期。
1867年在库默尔指导下以解决一般整系数不定方程ax2+by2+cz2=0求解问题的论文获博士学位。
毕业后受魏尔斯特拉斯的直接影响，由数论转向严格的分析理论的研究，不久崭露头角。
他在哈雷大学任教(1869-1913)的初期证明了复合变量函数三角级数展开的唯一性，继而用有理数列极限定义无理数。
1872年成为该校副教授，1879年任教授。
由于学术观点上受到的沉重打击，康托尔曾一度患精神分裂症，虽在1887年恢复了健康，继续工作，但晚年一直病魔缠身。
1918年1月6日在德国哈雷(Halle)-维滕贝格大学附属精神病院去世。
康托尔爱好广泛，极有个性，终身信奉宗教。
早期在数学方面的兴趣是数论，1870年开始研究三角级数并由此导致19世纪末、20世纪初最伟大的数学成就——集合论和超穷数理论的建立。
除此之外，他还努力探讨在新理论创立过程中所涉及的数理哲学问题.1888-1893年康托尔任柏林数学会第一任会长，1890年领导创立德国数学家联合会并任首届主席。
数学家的故事3-5分钟
数学家的故事3-5分钟著名的女数学家索菲·科瓦列夫斯卡娅索菲·科瓦列夫斯卡娅（1850~1891）是俄国人，她一生获得了很多“第一”：她是历史上第一个获得数学博士学位的女性，是第一个获得科学院院士称号的女数学家，此外，她还是除了意大利外世界上第一个担任数学教授的妇女，她对数学做出了卓越的贡献。
索菲·科瓦列夫斯卡娅从小就对数学怀有特殊的感情，并有着极大的好奇心和强烈的求知欲望。
在她8岁的时候，全家搬到了波里宾诺田庄。
由于带去的糊墙纸不够用，父母就在她的房间里用著名的数学家奥斯特洛格拉得斯基所著的微积分讲义来裱糊墙壁。
那时，索菲·科瓦列夫斯卡娅常常独自坐在卧室的墙前，望着糊墙纸上奇妙的数字和神秘的符号出神，一坐就是好几个小时。
后来，索菲·科瓦列夫斯卡娅在自传中写道：“我常常坐在那神秘的墙前，企图解释某些词句，找出这些书页的正确次序。
通过反复阅读，书页上那些奇怪的公式，甚至有些文字的表述，都在我的脑海里留下了深刻的印象，尽管当时我对它们还是一窍不通。
”索菲·科瓦列夫斯卡娅的祖父和外祖父都是出色的数学家，这或许有助于形成她的数学天赋，但她的成功主要还是源于她不懈的努力。
她在学习数学时，注意力总是非常集中，能很快理解和掌握老师所讲的内容。
有一次，数学老师让索菲·科瓦列夫斯卡娅重复上次课上所讲的内容，索菲·科瓦列夫斯卡娅没有按老师讲的方法去讲，而是换成了自己的思路方法。
当她讲完后，老师立即竖起大拇指夸她了不起。
由此可见，索菲·科瓦列夫斯卡娅善于独立思考问题，善于积极寻找自己的思路方法，使自己的思维不局限于某一特定的方式，这对她日后的数学研究非常重要。
高中毕业之后，索菲·科瓦列夫斯卡娅想继续学习高深的数学知识，但当时俄国有一种普遍轻视妇女的风气，妇女无权接受高等教育。
对索菲·科瓦列夫斯卡娅来说，继续深造只有出国求学了。
奥古斯丁 路易斯 柯西
人物简介
柯西画像柯西(Cauchy, 1789—1857)是法国数学家、物理学家、天文学家。19世纪初期，微积分已发展成 一个庞大的分支,，内容丰富，应用非常广泛。与此同时，它的薄弱之处也越来越暴露出来，微积分的理论基础并 不严格。为解决新问题并澄清微积分概念，数学家们展开了数学分析严谨化的工作，在分析基础的奠基工作中， 做出卓越贡献的要首推伟大的数学家柯西。
个人成就
01
单复变函数
02
分析基础
03
极限论的功 能
04
常微分方程
Байду номын сангаас
06
其他
05
弹性力学数 学理论
柯西最重要和最有首创性的工作是关于单复变函数论的。18世纪的数学家们采用过上、下限是虚数的定积分。 但没有给出明确的定义。柯西首先阐明了有关概念，并且用这种积分来研究多种多样的问题，如实定积分的计算， 级数与无穷乘积的展开，用含参变量的积分表示微分方程的解等。
柯西的母亲听到了传言，就写信问他实情。柯西回信道：“如果基督徒会变成精神病人，那疯人院早就被哲 学家充满了。亲爱的母亲，您的孩子像原野上的风车，数学和信仰就是他的双翼一样，当风吹来的时候，风车就 会平衡地旋转，产生帮助别人的动力。”
1816年，柯西回到巴黎，担任母校的数学教授，柯西自己写道：“我像是找到自己河道的鲑鱼一般地兴奋。” 不久他就结婚，幸福的婚姻生活，有助于他与别人沟通的能力。
拿破仑1815年法国拿破仑失败，波旁王朝复辟，路易十八当上了国王。柯西于1816年先后被任命为法国科学 院院士和综合工科学校教授。1821年又被任命为巴黎大学力学教授，还曾在法兰西学院授课。这一时期他的主要 贡献是：
（1）在综合工科学校讲授分析课程，建立了微积分的基础极限理论，还阐明了极限理论。在此以前，微积分 和级数的概念是模糊不清的。由于柯西的讲法与传统方式不同，当时学校师生对他提出了许多非议。
魏尔斯特拉斯函数(世界上最复杂的函数)
原创不容易，【关注】店铺，不迷路！【活水之源】“数学大师”打掉“智慧禅师”育人，“源头”在于老师，经营“活”高中教育重在激发老师的内驱力。
乐山一中着力打造和谐的教研团队和浓厚的教研氛围，围绕“以德育人”探索教学改革育人模式。
涌现出许多优秀的教师和教学科研成果。
朱万新，乐山一中数学老师，研究生。
曾获乐山市高中数学竞赛一等奖，峨眉山市一等奖。
学生获得了“数学知识综合竞赛”二等奖和数学竞赛四川赛区二等奖。
“活下去，理解，深化”是一生的追求。
现场：向学生展示数学探究的生活过程；理解：让学生真正理解教学内容；深说：帮助学生理解数学的内在思维方法。
——朱万新“数学大师”惊“大禅师”中国数学家华曾说：“宇宙之大，粒子之小，火箭之速，化工之巧，地球之变，日用之繁，数学无处不在！”年轻人问禅师：我现在遇到了很多磨难和烦恼。
我该怎么办？禅师说：“你画一条曲线，用放大镜放大。
还这么弯？”年轻人：“Weilstras函数——处处连续无差别。
本产品只有‘直’，没有‘弯’！"年轻人问禅师，师父，我最近爱上了一个女孩，但是她不喜欢我？禅师：“一切随波逐流。
得不到就是得不到。
你和她就像两条永不相交的平行线。
”青春：“黎曼几何——在同一平面内任何两条直线都有公共点(交点)。
在黎曼几何学中不承认平行线的存在，它的另一条公设讲：直线可以无限延长，但总的长度是有限的。
黎曼几何是一个具有适当的‘改进’的球面."年轻人问禅师：“我心里装的是她，再也装不下别人了。
我该怎么办？”？禅师：“就像一个瓶子，你不把里面的东西倒出来，怎么能往里面装新东西呢？”青春：“克莱因瓶——只有一面，‘内’与‘外’没有区别。
”年轻人问禅师：我想追她，想得到她的爱，但我真的不想付出，也懒得去做。
你能教我一个不用付出就能得到的方法吗？禅师：“得与施是对等的。
‘只是一个传说’，就像你找不到一样东西，它无穷无尽，却不占任何地方。
”青春：“康托尔集——从解析几何的角度来看，测度为0的集是面积为0的完备集。
集合论创始人康托尔简介
康托尔生平简介康托尔是世界上著名的数学家，他出生于1845年，在1918去世。
他是集合论和超穷数理论的创始人，他的成就改变了世界上人们对于数学研究的趋势，解决了长期以来数学家都难以解决的问题。
下面来看康托尔简介：康托尔是德国数学家，但是他的出生地并不在德国，因为他生于在俄国列宁格勒，也就是现在俄罗斯的圣彼得堡。
他是犹太人，他的父亲是一名除恶色的犹太血统的丹麦商人，而母亲也出身高贵，她出身于艺术世家。
康托尔学习成绩优异，所以才会进入著名的德国柏林大学攻读数学和神学。
他的导师是库默尔、维尔斯特拉斯和克罗内克，这几个人都是当时非常著名的人物，在学术上有很高的成就。
从康托尔简介中了解，康托尔在早期数学方面的兴趣并不是他最大的成就，而是数论。
后来康托尔受到了魏尔斯特拉斯的直接影响，所以他的研究方向开始转变，从数论转向严格的分析理论的研究，由于他才能出众，思维方式独特，所以不久就崭露头角。
在后来的研究中康托尔更进一步，将自己的研究进行，最终形成了自己的数学理论。
这是当时最伟大的数学成就，因为他出了集合论和超穷数理论，这在当时的数学界和神学界引起了极为巨大的反响。
但是康托尔的数学理论当时受到了人们的反对和打击，这一度导致他精神失常，虽然后来经过治疗好转，但是一直被病魔缠身，最终病逝。
康托尔的成就康托尔是德国著名的数学家，他对数学的贡献是无以伦比的，康托尔的成就是集合论和超穷数理论。
这两项理论成为当时世界上最为重要的数学理论，为当时的很多数学家提供了指导，促进了整个数学的发展。
康托尔的成就之一就是集合论，康托尔在寻找函数展开为三角级数表示的唯一性判别准则的研究中发现了不一样，经过他长期的研究终于认识到无穷集合的重要性，于是他就开始了对无穷集合的理论研究。
康托尔为了将有穷集合的元素个数概念推广到无穷集合，他开始使用一一对应的原则，最终提出了超前的集合等价概念。
这是他集合论的原始版本，后来经过他多年的潜心研究，再加上新的理论丰富，他形成了自己的集合论。
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魏尔斯特拉斯生平简介
魏尔斯特拉斯（Weierstrass）是德国数学家，1815年10月31日生于威斯特法伦州的奥斯滕费尔德，1897年2月19日卒于柏林。
魏尔斯特拉斯是一位海关官员之子，在青年时代已显示出对语言和数学的才华。
但是1834其父却把他送到波恩大学学习法律与财政学。
由于事与愿违，他精神萎靡，把时间消磨在击剑和饮酒之中，4年后未获得学位返家。
1839年为取得中学教师资格而进入明斯特学院，并在数学家古德蔓指导下自修数学。
1841年通过考试获得中学教师的职务，先后在蒙斯特、达赤克郎、布伦斯堡等中小城镇的中学任教达15年之久。
魏尔斯特拉斯酷爱数学，但白天有繁重的教学任务，只好利用晚上刻苦钻研数学。
虽然他废寝忘食地研究数学，写出过不少数学论文，但由于只是一位中学教师而未受到科学界的重视，直到1854年他发表了《关于阿贝尔函数理论》的论文，成功地解决了椭圆积分的逆问题，才轰动了数学界。
柯尼斯堡大学也因此立即授予他名誉博士学位。
1856年10月他被聘为柏林大学助理教授，1864年成为该校教授，这一职位一直保持到1897年去世。
此外，他还被选为法国科学院和柏林科学院院士。
魏尔斯特拉斯是将分析学置于严密的逻辑基础之上的一位大师，被后人誉为“现代分析之父”。
他在分析严密化方面改进了阿贝尔、波尔查诺、柯西等人
−”的极限定义和函数在一点连续的工作。
他给出了现今微积分教材中的“εδ
的定义，从而把莱布尼兹的固定无穷小，柯西的“无限趋近”、“想要多小就多小”、“无穷小量的最后比”等等不确切的提法给以精确形式的描述。
他在幂级数的基础上建立了解析函数的理论和解析延拓的方法，提出了级数理论中关于一致收敛的概念及其判别准则。
特别值得一提的是他给出了一个所谓“病态函数”，即一个处处不可微的连续函数。
在19世纪初期，一般人都认为任意连续函数都是可微的，只可能在一些孤立点处出现例外。
但魏尔斯特拉斯在1861年的讲课中就明确提出，要想从连续性推出可微性的任何企图都必定失败。
并于1872年7月在柏林科学院的一次演讲中，他正式给出了下述处处不可微的连续函数的例子：
0()cos(),n n n f x b a x π∞
==∑其中是一个奇数，b 是(0中的一个常数，使得
a ,1)312
ab π>+。
这个无穷级数在实轴上一致收敛，所以和函数()f x 是处处连续的。
但是，可以推出，当给定任何点0x 和任何正数M 时，存在与0x 任意接近的点1x 和2x ，使得 10201020
()()()(),f x f x f x f x M M x x x x −−><−−− 因此，函数()f x 在点0x 是不可微的。
这个病态函数使数学界大为震惊。
因为他说明了连续性并不蕴含有可微性，也说明函数可以具有各种各样的、与人们直观相悖的反常性质。
其历史意义是巨大的。
他使数学家们再也不敢直观地或想当然地对待某些问题了，也促使数学家们清楚地认识到重新考虑分析基础是何等的重要，特别是有理数在实直线上留下的空洞必须用新定义的实数（无理数）加以填补，否则分析学不会有牢靠的基础。
魏尔斯特拉斯还用“递增有界序列”的极限来定义无理数，使实数系统得以完备。
魏尔斯特拉斯除了对分析基础理论做出了巨大贡献之外，还写下了超椭圆积分、阿贝尔函数等方面的论文。
在变分学方面，他给出了泛函达到强极值的充分条件，是用现在所谓的魏尔斯特拉斯函数表示的，还研究了含有参数的泛函的变分问题，以及变分问题的间断线。
在微分几何方面，他研究过测地线和最小面积。
在线性代数方面，他和史密斯一道创立了λ矩阵和初等因子理论，并对双线性和二次型作过深入研究。
魏尔斯特拉斯是一位优秀教师。
他对花费在初等数学上的岁月从不感到遗憾，他的杰出教学才能不仅表现在中学教学上，而且也表现在高等数学的教学上。
他尽管已经成名，但仍保留早年的生活情趣——喜欢喝啤酒，经常跟他的学生在一起聚会，无论是有才气的学生还是一般的学生，他都乐于给他们以帮助和指导。
他德高望重，晚年备受人们的推崇。
魏尔斯特拉斯的主要贡献在函数论和分析学方面。
在1854年发表的《关于阿贝尔函数理论》的论文中，解决了椭圆积分的逆转问题，引起数学界的重视。
1856年发表的《阿贝尔函数理论》进一步解决了椭圆积分的雅可比逆转问题。
他还建立了椭圆函数新结构的定理，一致收敛的解析函数项级数的和函数的解析性的定理，圆环上解析函数的级数展开定理(又称洛朗定理)等。
他把严格的论证引进分析学，建立了实数理论，引进了现今分析学上通用的极限的ε-δ定义，为分析学的算术化作出重要贡献。
在变分法中，他给出了带有参数的函数的变分结构，研究了变分问题的间断解。
在微分几何中，研究了测地线和最小曲面；在线性代数中，建立了初等因子理论，并用来简化矩阵。
魏尔斯特拉斯一生中培养了很多有成就的学生，其中著名的有 C.B.柯瓦列夫斯卡娅、H.A.施瓦兹、I.L.富克斯、G.米塔-列夫勒等。