抛物线与坐标轴交点..
党团范文 抛物线与x轴交点公式 6.已知抛物线与轴两交点在轴同侧,它们的距离的平方等于,则的值为( )
抛物线与x轴交点公式 6.已知抛物线与轴两交点在轴同侧，它们的距离的平方等于，则的值为( )函数与一元二次方程知识考点：1、理解二次函数与一元二次方程之间的关系;2、会结合方程根的性质、一元二次方程根的判别式，判定抛物线与轴的交点情况;3、会利用韦达定理解决有关二次函数的问题。
精典例题：【例1】已抛物线(为实数)。
(1)为何值时，抛物线与轴有两个交点?(2)如果抛物线与轴相交于A、B两点，与轴交于点C，且△ABC 的面积为2，求该抛物线的解析式。
分析：抛物线与轴有两个交点，则对应的一元二次方程有两个不相等的实数根，将问题转化为求一元二次方程有两个不相等的实数根应满足的条件。
略解：(1)由已知有，解得且(2)由得C(0，-1)又∵∴∴或∴或【例2】已知抛物线。
(1)求证：不论为任何实数，抛物线与轴有两个不同的交点，且这两个点都在轴的正半轴上;(2)设抛物线与轴交于点A，与轴交于B、C两点，当△ABC的面积为48平方单位时，求的值。
(3)在(2)的条件下，以BC为直径作⊙M，问⊙M是否经过抛物线的顶点P?解析：(1)，由，可得证。
(2)=又∵∴解得或(舍去)∴(3)，顶点(5，-9)，∵∴⊙M不经过抛物线的顶点P。
评注：二次函数与二次方程有着深刻的内在联系，因此，善于促成二次函数问题与二次方程问题的相互转化，是解相关问题的常用技巧。
探索与创新：【问题】如图，抛物线，其中、、分别是△ABC的A、B、C的对边。
(1)求证：该抛物线与轴必有两个交点;(2)设有直线与抛物线交于点E、F，与轴交于点M，抛物线与轴交于点N，若抛物线的对称轴为，△MNE与△MNF的面积之比为5∶1，求证：△ABC是等边三角形;(2)当时，设抛物线与轴交于点P、Q，问是否存在过P、Q两点且与轴相切的圆?若存在这样的圆，求出圆心的坐标;若不存在，请说明理由。
解析：(1)∵，∴(2)由得由得：设E(，)，F(，)，那么：，由∶=5∶1得：∴或由知应舍去。
中考数学总复习《二次函数图像与坐标轴的交点问题》专题测试卷带答案
中考数学总复习《二次函数图像与坐标轴的交点问题》专题测试卷带答案班级：___________姓名：___________考号：___________一、单选题(共12题；共24分)1．抛物线y =x 2−2x +1与坐标轴的交点个数为（ ）A ．无交点B ．1个C ．2个D ．3个2．如图，已知二次函数y ＝ax 2＋bx ＋c （a≠0）的图象与x 轴交于点A （﹣1，0），与y 轴的交点B在（0，﹣2）和（0，﹣1）之间（不包括这两点），对称轴为直线x ＝1.下列结论：①abc ＞0；②4a ＋2b ＋c ＞0；③4ac ﹣b 2＞8a ；④13<a <23； ⑤b ＞c.其中含所有正确结论的选项是（ ） A ．①②③B ．②③④C ．①④⑤D ．①③④⑤3．已知二次函数y=ax 2+bx+c （a≠0，a ，b ，c 为常数）的y 与x 的部分对应值如下表：x 3.23 3.24 3.25 3.26 y﹣0.06﹣0.08﹣0.030.09判断方程ax 2+bx+c=0的一个解x 的取值范围是（ ） A ．3＜x ＜3.23 B ．3.23＜x ＜3.24 C ．3.24＜x ＜3.25D ．3.25＜x ＜3.264．已知抛物线y =−3x 2+bx +c 与x 轴只有一个交点，且过点A(m −2，n)和B(m +4，n)，则n 的值为（ ） A ．-9B ．-16C ．-18D ．-275．如图，二次函数y=ax 2+bx+c （a≠0）的图象与x 轴交于点A 、B 两点，与y 轴交于点C ，对称轴为直线x=-1，点B 的坐标为（1，0），则下列结论：①AB=4；②b 2-4ac ＞0；③ab ＜0；④a 2-ab+ac ＜0，其中正确的结论有（ ）个．A．3B．4C．2D．16．坐标平面上某二次函敷图形的顶点为(2，-1)，此函数图形与x轴相交于P、Q两点，且PQ=6若此函数图形通过(1，a)、(3，b)、(-1，c)、(-3，d)四点，则下列结论错误的是() A．a=b B．d>c C．c>a D．d<07．二次函数y＝ax2＋bx＋c的图象如图所示，则下列判断中错误的是()A．图象的对称轴是直线x＝1；B．一元二次方程ax2＋bx＋c＝0的两个根是－1、3；C．当x＞1时，y随x的增大而减小；D．当－1＜x＜3时，y＜0.8．如图，已知抛物线l：y= 12（x-2）2-2与x轴分别交于0、A两点，将抛物线l1向上平移得到l2，过点A作AB⊥x轴交抛物线l2于点B，如果山抛物线l1、l2、直线AB及y轴所围成的阴影部分的面积为16，则抛物线l2的函数表达式为（）A．y= 12（x-2）2+4B．y= 12（x-2）2+3C．y= 12（x-2）2+2D．y= 12（x-2）2+19．如图，铅球运动员掷铅球的高度y（m）与水平距离x（m）之间的函数关系式是y=﹣112x2+ 23x+ 53，则该运动员此次掷铅球的成绩是（）A．6m B．12m C．8m D．10m10．已知函数y= x2+2x-3，当x=m时，y＜0，则m的值可能是（）.A．-4B．0C．2D．311．对于二次函数y=（x+1）2+2的图象，下列说法正确的是（）A．开口向下B．对称轴是直线x=﹣1C．顶点坐标是（1，2）D．与x轴有两个交点12．已知二次函数y=ax2+bx+c（a，b，c为常数，a≠0）的图象如图所示，有下列结论：①abc＞0，②b2-4ac＜0，③a-b+c＞0，④4a-2b+c＜0，其中正确结论的个数是（）A．1B．2C．3D．4二、填空题(共6题；共6分)13．如图，抛物线y=a(x−4)(x+1)(a>0)与x轴交于A，B两点（点A在点B的左边）与y轴交于点C，连接BC，过点A作直线BC的平行线交抛物线于另一点E，交y轴于点D，则ADDE的值为.14．已知抛物线y＝2x2+bx﹣1与x轴的交点坐标分别是（﹣3，0）和（2，0），那么关于x的一元二次方程2x2+bx﹣1＝0的根是．15．抛物线y=(x+2)2+3上的点到x轴最短的距离是．16．如图，二次函数y＝ax2+bx+c的图象经过点A（﹣1，0），B（3，0）．有下列结论：①图象的对称轴为直线：x＝1；②a：b：c＝﹣1：2：3；③若0＜x＜4，则5a＜y＜﹣3a；④一元二次方程cx2+bx+a＝0的两个根分别为﹣1和13，其中正确的结论有（填序号）．17．如图，二次函数y＝ax2＋bx＋c的图象与x轴的两个交点分别为（﹣1，0），（3，0）对于下列命题：①b﹣2a＝0；②abc＜0；③a﹣2b＋4c＜0④8a＋c＜0，其中正确的有．18．如图，抛物线y=−x2+bx+c与x轴交于点A(1，0)、点B，与y轴相交于点C(0，3)，下列结论：①b=−2﹔②B点坐标为(−3，0)，③抛物线的顶点坐标为(−1，3)，④直线y=ℎ与抛物线交于点D、E，若DE<2，则h的取值范围是3<ℎ<4﹔⑤在抛物线的对称轴上存在一点Q，使△QAC的周长最小，则Q点坐标为(−1，2)．其中正确的有．三、综合题(共6题；共75分)19．已知二次函数y=x2−mx+m−2．（1）求证：不论m为何实数，此二次函数的图象与x轴都有两个不同交点；（2）若此函数y有最小值−54，求这个函数表达式．20．已知y=x2−(m+2)x+(2m−1)是关于x的抛物线解析式.（1）求证：抛物线与x轴一定有两个交点；（2）点A(−2,y1)、B(1,y2)和C(4,y3)是抛物线上的三个点，当抛物线经过原点时，判断y1、y2和y3的大小关系.21．如图，在平面直角坐标系中，抛物线y＝12（x﹣1）2﹣2与x轴交于点A和点B（点A在点B 的左侧），第一象限内的点C在该抛物线上．（1）直接写出A、B两点的坐标；（2）若△ABC的面积为12，求点C坐标；（3）在（2）问的条件下，直线y＝mx+n经过点A、C，12（x﹣1）2﹣2＞mx+n时，直接写出x的取值范围．22．如图，排球运动员站在点O处练习发球，将球从O点正上方2m的A处发出，把球看成点，其运行的高度y（m）与运行的水平距离x（m）满足关系式y=a（x-6）2+h．已知球网与O点的水平距离为9m，高度为2.43m，球场的边界距O点的水平距离为18m．（1）当h=2.6时，求y与x的关系式（不要求写出自变量x的取值范围）（2）当h=2.6时，球能否越过球网？球会不会出界？请说明理由；（3）若球一定能越过球网，又不出边界，求h的取值范围．23．如图，已知抛物线y=−x2+bx+c与x轴、y轴分别相交于点A（－1，0）和B（0，3），其顶点为D．（1）求这条抛物线的解析式；（2）若抛物线与x轴的另一个交点为E，求⊥ODE的面积；抛物线的对称轴上是否存在点P使得⊥PAB的周长最短．若存在请求出点P的坐标，若不存在说明理由．24．已知，如图，二次函数y=−x2+bx+c的图象与x轴交于A，B两点，与y轴交于点C(0, 5)，且经过点(1, 8)（1）求该抛物线的解析式；（2）求该抛物线的顶点坐标和对称轴.（3）求△ABC的面积S△ABC.参考答案1．【答案】C 2．【答案】C 3．【答案】D 4．【答案】D 5．【答案】A 6．【答案】D 7．【答案】D 8．【答案】C 9．【答案】D 10．【答案】B 11．【答案】B 12．【答案】B 13．【答案】1514．【答案】x 1＝−3，x 2＝2 15．【答案】3 16．【答案】①②④ 17．【答案】③18．【答案】①②④⑤19．【答案】（1）证明： Δ=(−m)2−4(m −2)=m 2−4m +8=(m −2)2+4 ，不论 m 为何值时，都有 Δ>0此时二次函数图象与 x 轴有两个不同交点．（2）解： ∵4ac−b 24a =4(m−2)−m 24=−54， m 2−4m +3=0 ， ∴m =1 或 m =3所求函数式为 y =x 2−x −1 或 y =x 2−3x +1 ．20．【答案】（1）证明：y=x 2﹣（m+2）x+（2m ﹣1）.∵⊥=[﹣（m+2）]2﹣4×1×（2m ﹣1）=（m －2）2+4＞0，∴抛物线与x 轴一定有两个交点 （2）解：∵抛物线y=x 2﹣（m+2）x+（2m ﹣1）经过原点，∴2m ﹣1=0.解得：m =12 ，∴抛物线的解析式为y=x 2−52x.当x=﹣2时，y1=9；当x=1时，y2=－3.5；当x=4时，y3=6，∴y2＜y3＜y121．【答案】（1）解：令y=0，则12（x-1）2-2=0解得x1=−1，x2=3∴A（-1，0），B（3，0）（2）解：∵A（-1，0），B（3，0）∴AB=4∵S△ABC=12AB·yC=12∴12×4×y C=12解得y C=6∴12(x−1)2−2=6解得x1=5，x2=−3（不符题意，舍去）∴C（5，6）（3）解：由图象可知，当12(x−1)2−2>mx+n时，x的取值范围是x＜-1或x＞522．【答案】（1）解：∵h=2.6，球从O点正上方2m的A处发出∴抛物线y=a（x-6）2+h过点（0，2）∴2=a（0-6）2+2.6解得：a=- 1 60故y与x的关系式为：y=- 160（x-6）2+2.6（2）解：当x=9时，y=- 160（x-6）2+2.6=2.45＞2.43所以球能过球网；当y=0时解得：x1=6+2 √39＞18，x2=6-2 √39（舍去）故会出界；（3）解：当球正好过点（18，0）时，抛物线y=a（x-6）2+h还过点（0，2），代入解析式得：{2=36a+ℎ0=144a+ℎ解得： {a =−154ℎ=83此时二次函数解析式为：y=- 154 （x-6）2+ 83此时球若不出边界h≥ 83当球刚能过网，此时函数解析式过（9，2.43），抛物线y=a （x-6）2+h 还过点（0，2），代入解析式得：{2.43=a(9−6)2+ℎ2=a(0−6)2+ℎ解得： {a =−432700ℎ=19375此时球要过网h≥19375故若球一定能越过球网，又不出边界，h 的取值范围是：h≥ 83．23．【答案】（1）解：根据题意得{−1−b +c ＝0c ＝3 ，解得 {b ＝2c ＝3∴抛物线解析式为y=-x 2+2x+3； （2）解：当y=0时，-x 2+2x+3=0解得x 1=-1，x 2=3，则E （3，0）； y=-（x-1）2+4，则D （1，4）， ∴S ⊥ODE = 12×3×4=6；连接BE 交直线x=1于点P ，如图，则PA=PE ， ∴PA+PB=PE+PB=BE ， 此时PA+PB 的值最小， 易得直线BE 的解析式为 y=-x+3， 当x=1时，y=-x+3=3， ∴P （1，2）．24．【答案】（1）解：∵二次函数 y =−x 2+bx +c 的图象经过点 (0, 5) 和 B(1, 8)∴{c =5−1+b +c =8 解这个方程组，得 {b =4c =5∴该二次函数的解析式是 y =−x 2+4x +5 ； （2）解： y =−x 2+4x +5=−(x −2)2+9 ∴顶点坐标是 (2, 9) ；对称轴是x=2；（3）解：∵二次函数y=−x2+4x+5的图象与x轴交于A，B两点∴−x2+4x+5=0解这个方程得：x1=−1即二次函数y=−x2+4x+5与x轴的两个交点的坐标为A(−1, 0)和B(5, 0).∴△ABC的面积S△ABC=12AB×OC=12×|5−(−1)|×5=15.。
抛物线交点式的公式
抛物线交点式的公式抛物线交点式是描述抛物线与直线的交点位置的公式。
在二维坐标系中，抛物线可由一般的二次方程表示，而直线可由斜截式或一般式表示。
因此，我们可以分别推导出抛物线交点式与直线的表达式，并将二者联立求解来得到交点的坐标。
一、抛物线的方程抛物线的一般形式方程为：y = ax² + bx + c，其中a、b、c为实数且a ≠ 0。
二、直线的斜截式方程直线的斜截式方程为：y = mx + n，其中m为直线的斜率，n为直线在y轴上的截距。
三、抛物线与直线的交点为了求解抛物线与直线的交点，将抛物线方程和直线方程联立，并令两者相等，即可得到交点的坐标。
将抛物线方程代入直线方程中，有：ax² + bx + c = mx + n化简得到：ax² + (b - m)x + (c - n) = 0这是一个二次方程，可以通过求根公式来求解。
二次方程的求根公式为：x = (-b ± √(b² - 4ac)) / 2a将这个公式应用于ax² + (b - m)x + (c - n) = 0，可以得到两个根x1和x2、然后将得到的x值代入直线方程y = mx + n中，即可得到对应的y值。
因此，抛物线与直线的交点的坐标为(x1, y1)和(x2, y2)，其中x1、x2为二次方程的两个根，y1 = mx1 + n，y2 = mx2 + n。
需要注意的是，对于二次方程的求根公式，当判别式Δ = b² - 4ac大于0时，方程存在两个不相等的实根；当Δ = 0时，方程存在一个实根；当Δ小于0时，方程没有实根。
四、应用实例假设有一抛物线y=2x²-3x+1和一直线y=4x-2，我们来求解它们的交点。
将直线方程的斜截式转化为一般式方程，得到4x-y-2=0。
将抛物线方程和直线方程联立，并令两者相等，有：2x²-3x+1=4x-2化简得到：2x²-7x+3=0计算判别式Δ=(-7)²-4*2*3=49-24=25，Δ大于0，说明方程有两个不相等的实根。
2.4.2抛物线的 几何性质
发现一个结论: 2 过抛物线 y 2 px( p 0) 的焦点的一条直 线和抛物线相交 , 两个交点的纵坐标为 y1 、y2 , 则 y1 y2 p .
2
M
这一结论非常奇妙,变中有不变,动中有不动.
K
几何解释,就是
N
MK NK KF
2
思考: “一条直线和抛物线 y 2 2 px( p 0) 相交, 两个交点的纵坐标为 y1 、y2 ,且 y1 y2 p2 . 则 这条直线过焦点.”成立吗?
问题: 倾斜角为 的直线经过抛物线 y 2 2 px ( p 0) 的 焦点,与抛物线相交于 A 、B ,求线段 AB 的长. 解:设 A( x1 , y1 ) , B( x2 , y2 )
( x1 , y1 )
p ( x , y ) 2 2 x y cot 由 2 消去 x 并整理得 y2 2 py cot p2 0 与直线 y 2 2 px 的倾斜角 ∴ y1 y2 2 p cot , y1 y2 p2 无关 ! 2 2 2 2 AB ( x1 x2 ) ( y1 y2 ) = (1 cot )( y1 y2 ) 很奇怪! 2p 2 2 = (1 cot ) ( y1 y2 ) 4 y1 y2 = 2 sin
·
F
焦 点
(4)开口向下 x2 = -2py (p>0) l 准线
e=1
3、顶点
定义：抛物线与坐标轴的 交点称为抛物线的顶点。
y
y2 = 2px
(p>0)中，
o
F( p ,0 ) 2
令y=0,则x=0.
即：抛物线y2 = 2px (p>0) 的顶点是（0，0）.
直线与抛物线的交点问题-教师版
直线与抛物线的交点问题一、抛物线与坐标轴的交点1．抛物线22y ax ax c =++与x 轴交于A 、B （A 在B 左边），且4AB =，求A 、B 的坐标．【答案】可得对称轴1x =-，因为4AB =，所以()30A -，，()10B ， 2．抛物线226y x x m =++与x 轴交于A 、B ，且2AB =，求m 的值． 【答案】可得对称轴32x =-，因为2AB =，所以A 、B 点的坐标是502⎛⎫- ⎪⎝⎭，，102⎛⎫- ⎪⎝⎭， 代入可得1302m -+=，所以52m = 3．已知抛物线277y kx x =--的图象与x 轴有交点，求k 的取值范围．【答案】依题意得492800k k ⎧∆=+⎨≠⎩≥，解得74k -≥且0k ≠ 一、直线与抛物线的交点4．直线23y x =+与抛物线2y x =交于A 、B 两点，求AB 的长．【答案】联立223y x y x =+⎧⎨=⎩，可得2230x x --=，所以()11A -，，()39B ，AB 5．已知直线l ：23y x =-与抛物线C ：215322y x x =++． （1）求证：抛物线C 与直线l 无交点．（2）若与直线l 平行的直线与抛物线C 只有一个公共点P ，求P 点的坐标．【答案】（1）联立21532223y x x y x ⎧=++⎪⎨⎪=-⎩，可得2111022x x ++=，100∆=-＜ 所以抛物线C 与直线l 无交点（2）设与直线l 平行的直线解析式为：23y x k =-+联立21532223y x x y x k⎧=++⎪⎨⎪=-+⎩，210k ∆=-因为与抛物线C 只有一个公共点∴2100k -=，5k =代入得211022x x ++= ∴1x =-∴()10P -，6．已知抛物线2y x h =+与x 轴交于A 、B 两点，与y 轴交于C 点，且OC AB =．（1）求此抛物线的解析式；（2）直线2y x b =+被抛物线截得线段长为230，求b 的值．【答案】 解：（1）如图由题意，OA OB =， OC AB =，12OA OB h ∴==-， ∴点B 坐标1(2h -，0)， 把点B 坐标代入2y x h =+得到，2104h h =+，解得4h =-或0（舍弃）， ∴抛物线的解析式为24y x =-．（2）设直线2y x b =+与抛物线24y x =-的交点为1(E x ，1)y ，2(F x ，2)y ． 由242y x y x b⎧=-⎨=+⎩消去y 得到2240x x b ---=， 122x x ∴+=，124x x b =--，由此可得1242y y b +=+，21216y y b =-， 22121212()()4420x x x x x x b ∴-=+-=+， 同理可得()()()2222121212()4424161680y y y y y y b b b -=+-=+--=+， 230EF =，4201680120b b ∴+++=，1b ∴=．。
抛物线与x轴的交点
两解 x1=-0.2, x2=2.2
1、会运用一元二次方程求二次函数的图象与X轴或平行
与X轴的直线的交点坐标，并用来解决相关的实际问题。
2、会用二次函数的图象求一元二次方程的解或近似解。 3、进一步体验在问题解决的过程中函数与方程两种 数学模式经常需要互相转换。
一、教学目标：
并用来解决相关的实际问题。 2、会用二次函数的图象求一元二次方程的解或近似解。
h(m)
6
5
4 3 2 1
-2
-1
0
1
2
t(s)
地面
例4：
解： 由题意，得h关于t的二次函数
解析式为h=10t-5t² 取h=0，得一元二次方程 10t－5t² =0
-2 -1 0
h(m)
6 5 4 3 2 1
解方程得t1=0；t2=2 球从弹起至回到地面需要时间为t2－t1=2（s） 取h=3.75，得一元二次方程10t－5t² =3.75
归纳小结：
二次函数y=ax² +bx+c
y=0
一元二次方程ax² +bx+c=0
函数与x轴交点坐标为：
两根为x1=m；x2=n
（m，0）；（n，0）
一.根据图像回答问题：
1.方程0.5x² -x-4=0的解是什么？
2.方程0.5x² -x-4=-6有几个解？ 3.方程0.5x² -x-4=-4.5有几个解？ 4.方程0.5x² -x-4=2有几个解
y=4
y=-3
3.一元二次方程 -x² -2x+3=-3有 几个解？两个不相等的实数解
问：对于一元二次方程-x² -2x+3 =m，当m为何值时，方程有 两个不相等的实数解？当m为何值时，方程有两个相等的实 数解？当m为何值时，方程没有实数解？
26.4.8二次函数与直线的交点
① △＞0 ② △＝0
抛物线与直线有两个交点； 抛物线与直线有唯一的交点； ③ △＜0 抛物线与直线无交点。
例:如图，抛物线y=-x2+bx+c与x轴交与点A（1，0）与点B， 且过点C（0，3）， （1）求该抛物线的解析式；
（0，3）
（1，0）
例:如图，抛物线y=-x2+bx+c与x轴交与点A（1，0）与点B，且 过点C（0，3）， （2）在（1）中的抛物线上的第二象限上是否存在一点P，使 △PBC的面积最大？，若存在，求出点P的坐标及△PBC的面积 最大值；若没有，请说明理由 y=-x2-2x+3
（-3，0）
y=x+3 ∴△PBC的面积S是P点边BC距离的函数
（0，3）
设P点边BC的距离为h
S=
1 3 2 h 2
（1，0） ∴在图象上找到边BC距离最远的点
∴平移边BC使之与图象只有一个交 《求几何图形中的最值 》的步骤 点处最远
⑴建立以关注变量为函数的函数关系式.⑵确定自变量x的取值范围. ⑶画出函数图象 ⑷利用函数图象看出最值
y
y 3x 2 6 x 5
⑴与y轴的交点: 令x=0,则y= 5, 与y轴交点坐标为(0,5)
⑵与x轴的交点: 令y=0,则 3x² -6x+5=0 △=b2-4ac =(-6)2-4×3×5 <0 ∴此一元二次方程无实根 抛物线与x轴的无交点
y=0
O x
X=0
练一练
1、抛物线y=x2-2x-3与x轴分别交于A、 4 B两点，则AB的长为 . 2、抛物线y=x2+bx+4与x轴只有一个交点 则b= 4或-4。 3．二次函数y=x2-2(m+1)x+4m的图象与x轴 （D ） A、没有交点 B、只有一个交点 C、只有两个交点 D、至少有一个交点
抛物线与y轴的交点坐标公式
抛物线与y轴的交点坐标公式
抛物线也是圆锥曲线的一种，即圆锥面与平行于某条母线的平面相截而得的曲线。
抛物线在合适的坐标变换下，也可看成二次函数图像。
公式：
开拓写作：
（1）抛物线y=ax2+bx+c 的图象：当a\ue0时，开口向上当a
（2）抛物线y=ax2+bx+c ，若a\ue0，当x≤-b/2a时，y随x的减小而增大；当
x≥-b/2a时，y随x的减小而减小．若a
（3）抛物线y=ax2+bx+c 的图象与坐标轴的交点：
当△=b2-4ac\ue0，图象与x轴处设两点a（x1,0）和b（x2,0），其中的x1，x2就是一元二次方程y=ax2+bx+c；
(a≠0)的两根，这两点间的距离ab=|x2-x1|
当△=0,图象与x轴只有一个交点；
当△0时，图象落在x轴的上方，x为任何实数时，都有y\ue0；当a。
26.1.5抛物线中a,b,c的作用
13 5 若A( , y1 ) B( 1, y 2 )C ( , y 3 )为 4 3 2 二 次 函 数 x 4 x 5的 图 象 上 y 的 三 点 ， 则 1 , y 2 , y 3的 大 小 关 系 是 y ________
1
y
2
1
x
(1)已知抛物线y= ax2+bx+c与抛物线 y=-2x2 形状相同,且顶点坐标为(1,-5) 的函数解析式为 .
(2)若抛物线y＝a(x-m )2+n的图象与函 数y＝2x2的图象的形状相同,且顶点为 (-3,2),则函数的解析式为 . (3)已知抛物线y= ax2+bx+c与抛物线 y=x2 形状相同,但开口方向相反,且顶点 坐标为 (-1,5)的函数解析式为 .
②k取何值时，抛物线顶点在y轴上；
③k取何值时，抛物线顶点在x轴上；
④k取何值时，抛物线顶点在坐标轴上。
抛物线与坐标轴的交点 ①抛物线 y ax bx c与y轴的
2
交点坐标为（0，c） 2 ②抛物线 y ax bx c与x轴交点坐标为
x1 , 0 , x2 , 0 ，其中 x1 , x2 为方程
6.若一次函数 y=ax+b 的图象经过第二、 三、四象限，则二次函数 y=ax2+bx-3 的 大致图象是 (C) y
o A
y
x o B -3 x o C -3
y
x o D -3
y
x
-3
7.在同一直角坐标系中,二次函数 y=ax2+ bx+c与一次函数y=ax+c的大致图象可能 是（ C ） y o A x o B y x o C y x o D y x
抛物线与坐标轴交点构成的三角形问题
抛物线与坐标轴交点构成的三角形问题 -- 思考与探索面积篇例 1:已知抛物线 y=－x 2+2x+3与 x 轴交于 A,B 两点，其中 A 点位于 B 点的左侧，与 y 轴交于 C 点，顶点为 P ， 半轴交于点 C ，M 为抛物线的顶点，那么△ ACM 与△ ACB 的面积比不变，请你求出这个比值。
2例 2、如图，一元二次方程 x 2 2x 3 0的二根 x 1，x 2（ x 1 x 2 ）是抛物线 y ax bx c 与 x 轴 的两个交点 B,C 的横坐标，且此抛物线过 A （3，6）点．（1）求此二次函数的解析式．（2）设此抛物线的顶点为 p ，对称轴与线段 AC 相交于点 Q ，求点 P 和点 Q 的坐标．（3）在 X 轴上有一动点 M ，当 MQ+MA 取得最小值时，求点 M 的坐标（4）设 AC 与Y 轴交与 D 点， E 点坐标为（0,1），在 X 轴上找一点 F ，抛物线对称轴上找一点 G ，使四 边形 AFGE 的周长最短，并求出当四边形周长最短时的点 F 、G 点坐标，并求出四边形 AFGE 的周长。
S △COP S△PABy轴负 S △ AOC = _______ S △ BOC 例：在平面直角坐标系中，有两点 小敏发现所有过 A ，B 两点的抛物线如果与形状篇1、已知抛物线y =ax2+bx+c与x轴正、负半轴分别交于A、B两点，与y 轴负半轴交于点C。
若OA=4，OB=1，∠ACB=90°，求抛物线解析式。
A(-1,0)和B( 3，0),顶点为C,若∠ ACB=90度.问2：在抛物线的解析式中，b2 4ac3. 若题设中的A、B 两点的坐标未知，而已知∠ACB有关，那么如果△ ACB是等边三角形，则△是多少？最后, ①思因果; ②思规律; ③思多解; ④思变通;⑤思归类;⑥思错误．ACB=90度，你能求出b2 4ac 吗？4. 从上面的探索中我们看到解析式中的△与∠问1： C 点的坐标是多少？。
抛物线知识点总结(整理19篇)
抛物线知识点总结〔整理19篇〕篇1：抛物线知识点总结抛物线知识点总结1.抛物线是轴对称图形。
对称轴为直线x=-b/2a。
对称轴与抛物线唯一的交点为抛物线的顶点P。
特别地，当b=0时，抛物线的对称轴是y轴(即直线x=0)2.抛物线有一个顶点P，坐标为：P(-b/2a，(4ac-b2)/4a)当-b/2a=0时，P在y轴上;当=b2-4ac=0时，P在x轴上。
3.二次项系数a决定抛物线的开口方向和大小。
当a0时，抛物线向上开口;当a0时，抛物线向下开口。
|a|越大，那么抛物线的开口越小。
4.一次项系数b和二次项系数a共同决定对称轴的位置。
当a与b同号时(即ab0)，对称轴在y轴左;当a与b异号时(即ab0)，对称轴在y轴右。
5.常数项c决定抛物线与y轴交点。
抛物线与y轴交于(0，c)6.抛物线与x轴交点个数=b2-4ac0时，抛物线与x轴有2个交点。
=b2-4ac=0时，抛物线与x轴有1个交点。
=b2-4ac0时，抛物线与x轴没有交点。
X的取值是虚数(x=-bb2-4ac的值的相反数，乘上虚数i，整个式子除以2a) 抛物线y = ax2 + bx + c (a≠0)就是y等于a乘以x 的平方加上 b乘以x再加上 c置于平面直角坐标系中a > 0时开口向上a 0时函数图像与y轴正方向相交c0)它表示抛物线的焦点在x的正半轴上，焦点坐标为(p/2,0) 准线方程为x=-p/2由于抛物线的焦点可在任意半轴，故共有标准方程y2=2px y2=-2px x2=2py x2=-2py篇2：抛物线知识点总结关于抛物线知识点总结平面内，到定点与定直线的间隔相等的点的轨迹叫做抛物线。
下面导师为大家带来的是初中数学知识点归纳之抛物线。
以下是“抛物线知识点总结”希望可以帮助的到您！抛物线y = ax2 + bx + c (a≠0)就是y等于a乘以x 的平方加上 b乘以x再加上 c置于平面直角坐标系中a > 0时开口向上a 0时函数图像与y轴正方向相交c0)它表示抛物线的焦点在x的正半轴上，焦点坐标为(p/2,0) 准线方程为x=-p/2由于抛物线的焦点可在任意半轴，故共有标准方程y2=2px y2=-2px x2=2py x2=-2py大家看过初中数学知识点归纳之抛物线，要知道其中定点叫抛物线的焦点，定直线叫抛物线的准线。
关于抛物线知识点总结
关于抛物线知识点总结平面内，到定点与定直线的间隔相等的点的轨迹叫做抛物线。
下面导师为大家带来的是初中数学知识点归纳之抛物线。
以下是“抛物线知识点总结”希望能够帮助的到您！y = ax^2 + bx + c (a≠0)就是y等于a乘以x 的平方加上 b乘以x再加上 c置于平面直角坐标系中a > 0时开口向上a < 0时开口向下(a=0时为一元一次函数)c>0时函数图像与y轴正方向相交c< 0时函数图像与y轴负方向相交c = 0时抛物线经过原点b = 0时抛物线对称轴为y轴(当然a=0且b≠0时该函数为一次函数)还有顶点公式y = a(x+h)* 2+ k ,(h,k)=(-b/(2a),(4ac-b^2)/(4a))就是y等于a乘以(x+h)的平方+k-h是顶点坐标的xk是顶点坐标的y一般用于求最大值与最小值和对称轴抛物线标准方程：y^2=2px (p>0)它表示抛物线的焦点在x的正半轴上，焦点坐标为(p/2,0) 准线方程为x=-p/2由于抛物线的焦点可在任意半轴，故共有标准方程y^2=2px y^2=-2px x^2=2py x^2=-2py大家看过初中数学知识点归纳之抛物线，要知道其中定点叫抛物线的焦点，定直线叫抛物线的准线。
接下来还有更多更全的初中数学知识点大全等着大家来记忆呢。
初中数学知识点总结：平面直角坐标系下面是对平面直角坐标系的内容学习，希望同学们很好的掌握下面的内容。
水平的数轴称为x轴或横轴，竖直的数轴称为y轴或纵轴，两坐标轴的交点为平面直角坐标系的原点。
平面直角坐标系的要素：①在同一平面②两条数轴③互相垂直④原点重合①正方向的规定横轴取向右为正方向，纵轴取向上为正方向②单位长度的规定；一般情况，横轴、纵轴单位长度相同；实际有时也可不同，但同一数轴上必须相同。
③象限的规定：右上为第一象限、左上为第二象限、左下为第三象限、右下为第四象限。
相信上面对平面直角坐标系知识的讲解学习，同学们已经能很好的掌握了吧，希望同学们都能考试成功。
二次函数知识点总结及典型例题和练习(极好)
二次函数知识点总结及典型例题和练习（极好）知识点一：二次函数的概念和图像 1、二次函数的概念一般地，如果)0,,(2≠++=a c b a c bx ax y 是常数，，特别注意a 不为零，那么y 叫做x 的二次函数。
)0,,(2≠++=a c b a c bx ax y 是常数，叫做二次函数的一般式。
2、二次函数的图像二次函数的图像是一条关于abx 2-=对称的曲线，这条曲线叫抛物线。
抛物线的主要特征：①有开口方向；②有对称轴；③有顶点。
3、二次函数图像的画法--------五点作图法：（1）先根据函数解析式，求出顶点坐标，在平面直角坐标系中描出顶点M ，并用虚线画出对称轴（2）求抛物线c bx ax y ++=2与坐标轴的交点：当抛物线与x 轴有两个交点时，描出这两个交点A,B 及抛物线与y 轴的交点C ，再找到点C 的对称点D 。
将这五个点按从左到右的顺序连接起来，并向上或向下延伸，就得到二次函数的图像。
当抛物线与x 轴只有一个交点或无交点时，描出抛物线与y 轴的交点C 及对称点D 。
由C 、M 、D 三点可粗略地画出二次函数的草图。
如果需要画出比较精确的图像，可再描出一对对称点A 、B ，然后顺次连接五点，画出二次函数的图像。
【例1】 已知函数y=x 2-2x-3，（1）写出函数图象的顶点、图象与坐标轴的交点，以及图象与 y 轴的交点关于图象对称轴的对称点。
然后画出函数图象的草图；（2）求图象与坐标轴交点构成的三角形的面积：（3）根据第（1）题的图象草图，说 出 x 取哪些值时，① y=0；② y<0；③ y>0二次函数的解析式有三种形式：（1）一般式：)0,,(2≠++=a c b a c bx ax y 是常数，（2） 交点式：当抛物线c bx ax y ++=2与x 轴有交点时，即对应的一元二次方程02=++c bx ax 有实根1x 和2x 存在时，根据二次三项式的分解因式))((212x x x x a c bx ax --=++，二次函数c bx ax y ++=2可转化为两根式))((21x x x x a y --=。
抛物线的简单几何性质
抛物线与其他图形位置关系探讨
与坐标轴交点
与其他二次曲线关系
抛物线可以与坐标轴交于一点、两点 或不相交，这取决于抛物线的方程和 系数。
抛物线与椭圆、双曲线等二次曲线可 以有不同的位置关系，如相切、相交 或相离。
与直线交点
抛物线与直线的交点个数可以是0个 、1个或2个，具体情况需要联立方程 求解。
位置关系在解题中应用举例
准线
抛物线的准线是一条与对称轴平行的直线，且到焦点的距离等于焦距。对于标准 方程 $y^2 = 4px$，准线的方程为 $x = -p$。
开口方向与对称轴
开口方向
抛物线的开口方向由标准方程中的 $x$ 或 $y$ 的系数决定。对于标准方程 $y^2 = 4px$，抛物线开口向右；对于 $x^2 = 4py$，抛物线开口向上；以 此类推。
对于开口向上的抛物 线 y = ax^2 (a > 0) ，焦点坐标为 (0, 1/4a)。
对于一般形式的抛物 线，焦点坐标可以通 过配方和平移等方法 求得。
对于开口向下的抛物 线 y = -ax^2 (a > 0)，焦点坐标为 (0, 1/4a)。
顶点和焦点关系探讨
抛物线的顶点是离焦点最近的点，也是抛物线的对称中心。
对于一般形式的抛物线 Ax^2 + By + C = 0 (A ≠ 0)，可以 通过完成平方等方法，将其转化为标准形式，进而求得准线 方程。
对称轴方程求法
对于标准形式的抛物线 y^2 = 2px (p > 0)，其对称轴方程为 x = 0，即 y轴。
对于一般形式的抛物线 Ax^2 + By + C = 0 (A ≠ 0)，其对称轴方程为 x = -B/2A。
抛物线与坐标轴三个交点的特殊解析式
抛物线与坐标轴三个交点的特殊解析式1. 引言1.1 什么是抛物线抛物线是平面几何中非常重要的一种曲线，它是一种U形的曲线，可以由二次方程定义。
在笛卡尔坐标系中，抛物线通常是关于x轴对称的。
抛物线在数学、物理等领域都有着广泛的应用，比如在物理学中描述抛物运动的轨迹、在工程学中设计拱形结构等。
抛物线的形状是由一条直线（焦点到直线）和一定点（焦点）组成的几何图形。
在抛物线上，每个点到焦点的距离等于这个点到直线的距离。
这也是抛物线得名的原因，因为“parabola”在希腊语中意为“平行”。
抛物线有许多重要的性质，比如焦距、准线等，它们对于抛物线的性质和特征有着重要的作用。
抛物线是一种非常有趣和重要的曲线，它在数学中有着深远的影响，也在实际生活和工程中有着广泛的应用。
研究抛物线与坐标轴三个交点的特殊解析式，有助于我们更深入地理解抛物线的性质和特点，也有助于我们解决与抛物线相关的问题和应用。
【这里可以添加更多内容，或者过渡到下一个部分】。
1.2 为什么要研究抛物线与坐标轴三个交点的特殊解析式抛物线是代数曲线的一种特殊形式，它在数学和物理领域都有广泛的应用。
研究抛物线与坐标轴三个交点的特殊解析式，可以帮助我们更深入地理解抛物线的性质和特点。
通过分析抛物线与坐标轴的交点，我们可以探讨抛物线在不同位置的表现，了解其与坐标轴的关系。
研究抛物线与坐标轴三个交点的特殊解析式还可以帮助我们解决实际问题中的数学计算和建模工作。
通过求解抛物线与x轴的交点，我们可以确定抛物线的零点，从而找到函数的根；通过求解抛物线与y轴的交点，我们可以确定抛物线的焦点坐标；通过求解抛物线与y=x线的交点，我们可以推导出抛物线的对称性质。
研究抛物线与坐标轴三个交点的特殊解析式具有重要的理论和实际意义，对于深化我们对抛物线的认识和应用具有重要意义。
2. 正文2.1 抛物线的一般方程抛物线是平面上一种特殊的几何曲线，具有许多重要的性质和特征。
它是二次函数的图像，其一般方程可以用一般形式的二次方程表示。
初中抛物线知识点总结
初中抛物线知识点总结一、基本概念1. 抛物线的定义：抛物线是一个平面曲线，它具有和直线对称的性质。
抛物线上的每个点到焦点的距离和到直线的距离相等。
2. 抛物线的方程：一般式为y=ax^2+bx+c，其中a≠0。
3. 抛物线的焦点和直线的关系：抛物线的焦点到直线的距离与焦点到抛物线上的点的距离相等。
二、抛物线的性质1. 定义域和值域：抛物线的定义域为实数集，值域为从最小值开始一直到无穷大。
2. 对称性：抛物线关于y轴对称，焦点关于抛物线的对称轴垂直于x轴的直线对称。
3. 最值点：抛物线的最小值为其顶点的纵坐标，最大值为无穷大。
4. 平行于坐标轴：抛物线在y轴上的交点称为焦点，x轴上的交点称为零点。
三、抛物线的常见类型1. 向上开口的抛物线：当a>0时，抛物线向上开口，顶点为最小值点。
2. 向下开口的抛物线：当a<0时，抛物线向下开口，顶点为最大值点。
3. 零点不相等的抛物线：当b^2-4ac>0时，抛物线零点不相等。
4. 零点相等的抛物线：当b^2-4ac=0时，抛物线零点相等。
5. 零点虚数的抛物线：当b^2-4ac<0时，抛物线零点为虚数。
四、抛物线的应用1. 物体的抛射运动：当物体以一定的初速度和角度抛出时，其运动轨迹为抛物线。
2. 抛物线天花板：在建筑设计中，由于抛物线的稳定性和美观性，抛物线作为天花板的设计元素被广泛应用。
3. 抛物线反射面镜：抛物线反射面镜是一种能够将光线聚焦并反射的镜子，适用于太阳能发电和望远镜等领域。
4. 抛物线型的道路设计：道路设计中经常会用到抛物线的形状，在坡度和曲线的设计中有广泛应用。
五、常见问题分析1. 已知抛物线的焦点和顶点，求抛物线的方程。
解法：由于抛物线的顶点坐标为(x0, y0)，焦点坐标为(x1, y1)，则抛物线的方程为(y-y0)=a(x-x0)^2，带入焦点坐标可求得a的值，从而确定抛物线的方程。
2. 已知抛物线的方程，求抛物线的焦点和顶点坐标。
抛物线交点公式
抛物线交点公式抛物线的交点公式可是个挺有意思的东西呢！咱先来说说抛物线，这玩意儿在数学里就像个调皮的小精灵，有时候让人摸不着头脑，但搞清楚了又会觉得特别神奇。
咱先看看抛物线的一般式：y = ax² + bx + c （a ≠ 0）。
当它与 x 轴相交的时候，交点的横坐标就是方程 ax² + bx + c = 0 的解。
这时候就得请出咱们的交点公式了，也就是 x = [-b ± √(b² - 4ac)] / (2a) 。
就拿我之前给学生们讲这个知识点的时候发生的一件事来说吧。
有个叫小明的同学，特别积极，每次上课都瞪着大眼睛盯着黑板。
那天我讲完这个交点公式，给他出了一道题：已知抛物线 y = x² - 2x - 3 ，求它与 x 轴的交点坐标。
小明立马拿起笔开始算，嘴里还念念有词：“a = 1，b = -2，c = -3，代入公式……” 过了一会儿，他兴奋地举手说：“老师，我算出来啦！” 我让他到黑板上给大家展示，他写得那叫一个认真，一步一步的，最后得出交点坐标是 (3, 0) 和 (-1, 0) 。
看着他那自豪的小表情，我心里也特别开心。
再说说这个公式的应用。
比如说在实际生活中，咱要建一个抛物线形状的桥洞，那得先算出它和地面的交点，才能确定桥洞的位置和大小呀。
或者是算一个物体抛出去的轨迹和某个平面的交点，这都得靠这个神奇的公式。
还有啊，考试的时候，经常会出那种给你一个抛物线的方程，让你求交点的题目。
这时候只要把公式记牢，把数值代进去，仔细计算，就能拿到分数啦。
其实数学里很多知识都是这样，刚开始觉得难，但是一旦掌握了，就会发现乐趣无穷。
就像这个抛物线交点公式，多练几次，多琢磨琢磨，它就会成为你的好帮手，帮你解决好多难题。
所以啊，同学们，别害怕这个小小的公式，勇敢地去和它交朋友，你会发现数学的世界真的很精彩！。
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1 1 1 = 2×1×3a+ 2 ×(3a+4a) ×1－ 2 ×2×4a
=a
S ACM a 1 ∴ S ACB 6a 6
抛物线的内接三角形 相关问题研究（二）
P
c
B
Y C
例2、已知：抛物线与x轴的交点坐标 为A(-1,0)和B（3，0）,点C是抛物线 的顶点.若∠ACB=90°
问1：顶点C的坐标是多少？
P
S△AOC=____ 1.5 S△ BOC=____ 4.5
(0,3) C
3 2
1
(-1,0)A
O
2
B(3,0)
x
1.5 S△ COP=___ 8 S△ PAB=____
(1,4)
4
P
(0,3) C
3 2
1
(-1,0)
A
B O
2
(3,0)
(1,4)
3 S△ PCB=_______
E (0,3) C
y
A
-1
O C
3
B
x
M
解:设抛物线解析式为y=a(x+1)(x－3),
即y=ax －2ax－3a,即y=a(x－1) －4a
2 2
y
∴C点与M点坐标分别是(0,－3a),
(1,－4a)
S△ACB=
1 ×4×3a=6a 2
-1 A C
D
O
ห้องสมุดไป่ตู้
3 B
x
∴S△ACM=S△AOC+S梯形OCMD－S△ADM
M
抛物线的内接三角形 相关问题研究
抛物线的内接三角形 相关问题研究（一）
y=ax2+bx+c(a≠0)
P
c
A
B
1、已知抛物线y=－x2+2x+3与x轴交于A,B两
点，其中 A 点位于 B 点的左侧，与 y 轴交于 C 点，顶点为 P ，请你说出各点坐标，并求出 y 下列三角形面积： (1,4)
4
A(-1,0) D B(3,0) X
（ 1 ， 2）
问2：在抛物线的解析式 2 中， b 4ac 4
Y
C
3、若题设中的A、B两点的坐 标未知，而只知∠ACB=90°， 你能求出 b 2 4ac
A
D
还是4！！
B X
Y C
4、若题设中的A、B两点的坐 标未知，而只知∠ACB=60°， 你能求出 b 2 4ac
A
D
B
X
Y
5、若题设中的A、B两点的坐 标未知，∠ACB=120°，你能 2 求出 b 4ac C
A
D
B
X
6、从上面的探索中我们看到解析式中的 △的值与∠ACB有关，若∠ACB=α，那么 你能否进一步找出它俩之间的关系吗？
Y C
（用三角函数表示）
A
D
BX
2 tg 2
1 2 例3．已知抛物线y=－x ＋(m－1)x＋ m2与x轴
4 3 2
P
1 S△ ACP=_______
(-1,0)
A
1
B O
(3,0)
F
D
2
如图：已知抛物线y=x2-2x+3与 直线y=2x相交于A、B，抛物线 与y轴相交于C点，求ΔABC的面 积。
例4、在平面直角坐标系中，有两点A（-1，0），B （3，0），如图，所有过A，B两点的抛物线如果与y 轴负半轴交于点C，M为抛物线的顶点，那么请你求出 △ACM与△ACB的面积比值。
4
交于A、B，顶点为P，①△APB为直角三角形 时，m为何值？②△APB为等边三角形时，m 为何值？③△APB的顶角为120º时，m为何 值？
小结：
1、抛物线与坐标轴交点构成的三角形 的面积的计算方法。 2、探索了抛物线的顶点、与X轴的交 点构成的三角形的形状。