第八章 循环码.
(完整版)循环码
2、循环码2.1循环码的基本原理 1.定义循环码是满足循环特性的线性分组码，是线性分组码的子类，之所以这样说是因为线性分组码要求所选择的码是线性的，循环码则是在线性分组码的基础之上进一步要求所选择的码具有循环性。
假设C 是一个(n,k)线性码，如果C 中任意一个码字经任意循环移位之后仍然是C 中的码字，那么此码是一个循环码。
循环码具有规则的代数结构，且是自封闭的，因此用多项式来描述更方便。
长度为n 的循环码可用一个n-1次多项式来描述，此多项式称为码多项式，表示如下：(1)左移i 位后的码多项式为(2)码多项式与循环移位后的多项式之间的关系为)1()(c xC(x)1)1(021121-n -+=++⋅⋅⋅++=---nn n n n x c x C x c x c x c x (3)也即是)1m od()()()1(-≡n x x xC x C (4)以此类推，可以得到)1m od()()()(-≡n i i x x C x x C (5)2.循环码的性质(1)GF(q)上的(n,k)循环码中，存在唯一的一个n-k 次首一多项式0111)(g x g x g x x g k n k n k n ++⋅⋅⋅++=-----，每一个码多项式)(x C 都是)(x g 的倍式，即循环码的码多项式)(x C 中次数最低且其常数项为1的码多项式有且仅有一个，为码的生成多项式，记做)(x g 。
循环码C 中的每个码多项式)(x C 都可唯一表示成)()()(x g x m x C =。
(2))(,),(),(),(12x g x x g x x xg x g k -⋅⋅⋅都是生成多项式，他们的线性组合也是生成多项式。
(3)GF(q)上(n,k)循环码的生成多项式)(x g 一定是)1(-nx 的因子。
(4)循环码的生成矩阵H 和校验矩阵H 的正交性可以用多项式表示为1)()(-=n x x h x g 。
(完整版)循环码
2、循环码2.1循环码的基本原理 1.定义循环码是满足循环特性的线性分组码，是线性分组码的子类，之所以这样说是因为线性分组码要求所选择的码是线性的，循环码则是在线性分组码的基础之上进一步要求所选择的码具有循环性。
假设C 是一个(n,k)线性码，如果C 中任意一个码字经任意循环移位之后仍然是C 中的码字，那么此码是一个循环码。
循环码具有规则的代数结构，且是自封闭的，因此用多项式来描述更方便。
长度为n 的循环码可用一个n-1次多项式来描述，此多项式称为码多项式，表示如下：(1)左移i 位后的码多项式为(2)码多项式与循环移位后的多项式之间的关系为)1()(c xC(x)1)1(021121-n -+=++⋅⋅⋅++=---nn n n n x c x C x c x c x c x (3)也即是)1m od()()()1(-≡n x x xC x C (4)以此类推，可以得到)1m od()()()(-≡n i i x x C x x C (5)2.循环码的性质(1)GF(q)上的(n,k)循环码中，存在唯一的一个n-k 次首一多项式0111)(g x g x g x x g k n k n k n ++⋅⋅⋅++=-----，每一个码多项式)(x C 都是)(x g 的倍式，即循环码的码多项式)(x C 中次数最低且其常数项为1的码多项式有且仅有一个，为码的生成多项式，记做)(x g 。
循环码C 中的每个码多项式)(x C 都可唯一表示成)()()(x g x m x C =。
(2))(,),(),(),(12x g x x g x x xg x g k -⋅⋅⋅都是生成多项式，他们的线性组合也是生成多项式。
(3)GF(q)上(n,k)循环码的生成多项式)(x g 一定是)1(-nx 的因子。
(4)循环码的生成矩阵H 和校验矩阵H 的正交性可以用多项式表示为1)()(-=n x x h x g 。
循环码
b
c
u3u2u1u0
u3u2u1u0 c2 c1c0
a
b
c
除法过程： 除法过程：
u3u2u1u0
[ x { x ( x[ u3 x3 ]mod g(x) + u2x3 )mod g(x) + u1x3 }mod g(x) + u0x3 ]mod g(x)
1 0 u 0 1 0 1 1 ×3' c ' 0d 0 0
例如：( 7, 4 )循环码的生成多项式为：g(x)=( x3 + x + 1 )，求其系统码的生成矩阵 )循环码的生成多项式为 循环码的生成多项式为： )， 例如： 1）n = 7，k = 4，因此生成矩阵阶数：4×7。其中单位阵Ik为4×4，Q矩阵4×3 7， 4，因此生成矩阵阶数： 其中单位阵I 矩阵4
BCH码 BCH码
是一类能纠正多个随机错误的循环码 其生成多项式为： 其生成多项式为：
g ( x) = LCM [ m1 ( x), m3 ( x),L , m2t −1 ( x) ]
其中m 为素多项式， 为纠错个数，LCM表示取最小公倍数 其中mi(x)为素多项式，t为纠错个数，LCM表示取最小公倍数，最 表示取最小公倍数， 小码距d 2t 小码距d ≥ 2t+1 BCH码分为两种： BCH码分为两种： 码分为两种 1）本原BCH码：码长n = 2m - 1 本原BCH码 码长n 2）非本原BCH码：码长n为2m - 1的因子 非本原BCH码 码长n 其中m 其中m表示素多项式的次数
有y = c + e，即y(x) = c(x) + e(x) ，则： e， e(
CRC码 CRC码
即循环冗余校验码，广泛用于数据通信和移动通信中，进行数据的校验，具有 即循环冗余校验码，广泛用于数据通信和移动通信中，进行数据的校验， 实现简单，检错能力强。其原理为： 实现简单，检错能力强。其原理为： 然后除以生成多项式g 1）任意长的信息位向左移动r位，即xru(x)，然后除以生成多项式g(x)得到的 任意长的信息位向左移动r 余数附加在信息码之后形成码组c 然后进行发送； 余数附加在信息码之后形成码组c(x)，然后进行发送； 2）接收端接收到码组y(x)，然后除以g(x)，如果能整除则表示无错发生，否 接收端接收到码组y 然后除以g 如果能整除则表示无错发生， 则表示有错 详细过程： 详细过程： 1）信息位为u(x)，先向左移动r位，即xru(x)。求余式[xru(x)]mod g(x)= r(x) 信息位为u 先向左移动r 求余式[ 2）则将c(x) = xru(x) + r(x)发送出去 则将c 3）若用e(x)表示可能的错误，则接收到 y(x) = c(x) + e(x) = xru(x) + r(x)+e(x)， 若用e 表示可能的错误， )+e 那么校验方法： 那么校验方法： [y(x)]mod g(x)=[xru(x) + r(x) + e(x) ]mod g(x) = r(x) + r(x) + [ e(x) ]mod g(x) =[x
通信原理循环码
通信原理循环码1. 什么是循环码？1.1 循环编码的概念循环码是一种错误检测和纠正码。
它是一种具有循环性质的编码方式，通过添加冗余位实现错误检测和纠正的功能。
1.2 循环码的结构循环码由生成多项式决定，它决定了编码和解码过程中的位操作，如异或运算。
循环码可以用一个(d, n)的表示方式，其中d表示循环码能够检测和纠正的错误位数，n表示编码后的总位数。
1.3 循环码的特点循环码具有以下特点： - 具有循环性，可以通过循环移位实现位操作，提高编码和解码的效率； - 可以实现错误检测和纠正； - 可以通过选择不同的生成多项式，实现不同的错误检测和纠正能力； - 可以通过简单的位操作进行编码和解码。
2. 循环码的编码原理循环码的编码过程可以分为以下几个步骤：2.1 选择生成多项式生成多项式是循环码编码和解码的关键参数，不同的生成多项式决定了循环码的检错和纠错能力。
通常使用最简生成多项式，也就是二进制形式的多项式。
2.2 构造生成多项式的环根据生成多项式构造生成多项式的环，即在二进制有限域中构造一个环，环的元素由0和1组成，可以进行模2加法和模2乘法。
2.3 填充待编码数据待编码的数据通常使用二进制表示，如果数据位数小于生成多项式的次数，则需要进行补零操作，保证待编码数据的位数与生成多项式的次数相同。
2.4 模2除法运算将补零后的待编码数据与生成多项式进行模2除法运算，得到余数作为编码后的冗余位。
2.5 添加冗余位将编码后的冗余位添加到原始数据后面，形成完整的循环码。
3. 循环码的解码原理循环码的解码过程可以分为以下几个步骤：3.1 接收数据接收到经过信道传输后的循环码数据。
3.2 构造生成多项式的环根据生成多项式构造生成多项式的环，与编码过程中的环保持一致。
3.3 计算余数将接收到的数据与生成多项式进行模2除法运算，得到余数。
3.4 检测错误检测余数是否为非零，如果余数为非零，则表示存在错误。
3.5 纠正错误根据余数的位置，确定错误位，并进行纠正。
循环码
7
循 环 码
三、循环码的生成多项式和生成矩阵
⒈ 定理一
(n, k)循环码C(x)中存在一个非零的、首一的、次数最低 且次数为r(r<n)的码式g(x)，满足
1) g(x)是唯一的
2) g(x)的零次项g0 ≠ 0 3) c(x)是码式当且仅当c(x)是g(x)的倍式 4) r = n-k 记：g(x) = xr + gr-1xr-1 + … + g1x + g0
循环码的生成矩阵
码式g(x),g(x)∙x,…, g(x)∙xk-1是线性无关的，所以(n , k)循环 码的生成矩阵在g(x)确定后可以表示为G，
15
循 环 码
四、循环码的校验多项式和校验矩阵
由于g(x)是xn-1的因式，因此定义(n , k)循环码的一致检验多 项式为h(x)，
h(x) = (xn-1)/g(x)
也必是码式，所以g(x)的倍式a(x)∙g(x)若次数小于n则必是 码式。
充分性：如果f(x)是码式，则必有 f(x) = a(x)∙g(x)+r(x)，0 ≤ r(x)的次数 < g(x)的次数， 若r(x) ≠ 0，则r(x)一定是码式，且次数小于r，这与假设矛 盾。因此必有r(x) = 0，所以码式f(x)一定是g(x)的倍式。
C(x)=(Cn－1xn－1+Cn－2xn－2+…+C0)
对于二进制码，码多项式的每个系数不是0就是1。
x仅是码元位置的标记。我们并不关心x的取值。 码多项式 i 次循环移位的表示方法，码矢C1左移一位 得码矢C2，各自用多项式形式表示如下：
4
循 环 码
C1(x) Cn1xn1 Cn2 xn2 C1x C0
信息论与编码-第8章-第15讲-信道编码-循环码1
我始终努力保持自己思想 的自由，我可以放弃任何假 说，无论是如何心爱的，只 要事实证明它是不符。
-达尔文（英国）
2013/4/5 1
第六章 信道编码
6.3 循环码
6.3.1 循环码的多项式描述 6.3.2 循环码的生成多项式 6.3.3 系统循环码 6.3.4 多项式运算电路 6.3.5 循环码的编码电路 6.3.6 循环码的译码 6.3.7 循环汉明码 6.3.8 缩短循环码
(1) 循环码的性质
6.3 循 环 码
2013/4/5
3
第六章 信道编码
6.3.1 循环码的多项式描述
循环码：如果 (n,k) 线性分组码的任意码矢 C=(Cn－1,Cn－2,…,C0) 的 i 次循环移位，所得矢量 C(i)=(Cn－1－i,Cn－2－i,…,C0,Cn－1,…,Cn－i) 仍是一个码矢，则称此线性码为 (n,k) 循环码。
结论：循环码的码矢的 i 次循环移位等效于将码多 项式乘 xi 后再模 (xn+1)。
2013/4/5
10
第六章 信道编码
6.3.1 循环码的多项式描述
可由任一个码矢，比如 (0011101) 经过循环移位， 得到其它6个非0码矢； 也可由相应的码多项式(x4+x3+x2+1)，乘以 xi(i=1,2,…,6)，再模(x7+1)运算得到其它6个非0码多 项式。移位过程和相应的多项式运算如表6.3.1所示。
6.3.2 循环码的生成多项式
由下面式子可知：循环码的多项式等于信息多项式乘 以生成多项式。
(4) 如何寻找一个合适的生成多项式
6.3 循 环 码
这说明：对一个循环码只要生成多项式一旦确定，码就确定了， 编码问题就解决了。 所以：作一循环码的关键，就在于寻找一个适当的生成多项式。
《循环码教学》课件
3
循环码未来的发展
未来，循环码将继续发展，并与其他算法结合，进一步提高纠错能力和效率。
参考文献
1. 杨宗凯，纠错编码技术及其应用[M]，北京：国防工业出版社，2014。 2. 陈志武，现代编码理论及其应用[M]，北京：机械工业出版社，2018。 3. "Cyclic Redundancy Check", Wikipedia, accessed July 2021.
循环码的应用案例
磁盘驱动器存储
磁盘驱动器中的数据存储 需要能够快速、高效地读 取和写入数据。而循环码 可以提高数据的安全性和 可靠性，有效地防止磁盘 故障和数据丢失。
数据传输
在数据传输中，如何确保 数据的完整性和正确性是 非常重要的。循环码可以 在数据传输过程中进行检 测和纠错，保证数据的可 靠性。
在现代通信、计算机存储等领域，循环码已成为基本的技术手段之一。
循环码的基础概念
1
循环码的编码方式
2
循环码的编码方式包括系统的生成
多项式，通过循环移位、异或等操
作，得到一组码字。
3
循环码的生成多项式
4
生成多项式是一个与循环码有关的 多项式，它的决定循环码的性质和
检错能力。
循环码的定义
循环码是指在编码时包含了数据码 本身的某些关系的编码方式。
循环码的解码方式
通过检验多项式进行校验并将误差 位纠正。
循环码的检错能力
循环冗余校验码(CRC)
CRC是一种广泛使用的循环 冗余检验方法。
循环码的模2加减运算
循环码的检错能力取决于模2 加减运算的特点，对产生的 错误逐位进行判断，从而检 测错误位置。
循环码校验的实例讲解
我们将通过一个实际的循环 码校验实例，详细讲解循环 码校验的过程。
第八章__信道编码3
S2 S3
01
10
输出序列
11
01
01
00
01
01
11
00
维特比译码举例
发送序列 接收序列 11 01 01 01 01 01 00 10 01 01 01 01 11 11 00 00
S0
00 11
00 11
00 11
00 11 11 00 00 10 01
00 11
00 11 11 00 10 00 10 01
第五节
卷积码
一、卷积码特点 二、卷积码的结构和描述 三、卷积码的维特比（VB）译码
一、卷积码特点
卷积码是一种非分组码； 卷积码把k位信息编成n位的码组，n位码组不仅与当前k位 信息段有关，还与前面的N-1个信息段有关，记为（n,k,N) 卷积码； （n,k,N)卷积码参数： 输入k位、输出n位，通常n、k都是较小的整数，故时延 较小。卷积码k=1～4，分组码k=10～100。 约束长度N（或N*n、N-1），相关联的码元个数为N*n 个，N越大，纠错能力越强；编码复杂度相同时，卷积 码的性能优于分组码。 编码效率Rc＝k/n。
二、 卷积码的结构和描述
1、 （n,k,N)卷积码编码器结构
1 2 1 2 … k
……
N 1 2 … k
输入序列
1 2 … k
输出序列 编码器构成：
1
2 3
……
n
注： 模2加法器
N段输入移位寄存器，每段k级，共 Nk位寄存器； n个模 2加法器； n级输出移位寄存器。
移位寄存器
二、 卷积码的结构和描述
00 11 00 11 00 11 11 10 00 10 00 11 11 00 10 01 01 10
循环码
(模( x7 1))
信息位 a6 a5 a4 监督位 a3 a2 a1 a0
1
2 3 4
000
001 010 011
0000
0111 1110 1001
5
6 7 8
100
101 110 111
1011
1100 0101 0010
x4 x2 x 1
5 4 3 T ( x ) x x x 1 ； 码组（0111001）的码多项式为
码组（1110010）的码多项式为 T ( x ) x x x x ；
6 5 4
反之，若已知码多项式也可以求得对应的码组。 码多项式T(x)=x7+ x3+ x+1，则8位该组为 C=（10001011）。 码多项式T(x)=x5+ x3+ x2 + x1 ，则7位码组为 C=（0101110） 。
（2） 已知信息码，由生成多项式g(x)得到循环码 对长为k位的任意消息组 M=(mk-1,…, m1,m0)，其对
应的消息多项式为m(x)=mk-1xk-1+…+ m1x+m0
可乘以g(x)而构成n-1次的码多项式：
2016/6/24
T ( x) (mk 1 xk 1 m1 x m0 ) g( x) m( x) g( x)
即生成多项式：g(x) = x4 + x2 + x + 1。将此g(x)代入 （0010111）
x k 1 g ( x) k 2 x g ( x) G ( x) xg ( x) g ( x)
循 环 码
（2） 求 R(x) ： R(x)是 xr m(x)除以 g(x) 得到的余项。
xr g
mx x
Qx
Rx gx
（3）将R(x) 加在信息位之后作为监督码，组成多项式A(x)。
Ax xr mx Rx
则码编码电路
表 10.6 (7,3)循环码的编码过程
现代通信原理
循环码
1.1 循环码的基本概念
循环码是一种具有循环性的线性码(具有封闭性) 。 一个(n, k) 线性分组码, 如果每个码组任意循环移位
后仍然是一个线性分组码 , 则称此码组为循环码。
例（7，3）循环码：g(x)= x4 + x3 + x2+ 1
表 10.5 (7,3)循环码
为了利用代数理论研究循环码，可以将码组用代数多
2. 译码过程
循环码的译码可以分三步进行：
（1）由接收到的码多项式B(x)计算校正子（伴随式）多项 式S(x)； （2）由校正子S(x)确定错误图样E(x)； （3）将错误图样E(x)与B(x)相加，纠正错误。
检错： 设接收码组为B(x), 作B(x) / g(x), 若能除尽（余
式为0），则B(x)为码多项式，表示传输无错码；若余 式不为0，则有错码。
纠错: 建立 B(x) / g(x) 的余式与错误图样的一一对应关
系。根 据余式得到错误图样E(x) , 则A(x)＝ B(x) －E(x)
或通过计算校正子S， 利用类似 表10－4的关系，确定错 码的位置。
由上述分析可知，只要找到循环码的生成多项式g(x)， 就决定了编码、译码、纠错能力。
但在实际的系统设计中，往往要按给定的纠正随机错 误的个数来寻找 g(x)。
＋
D0
《循环码教学》课件
在检测过程中，接收端将接收到的码字左移r位，然后除以生成多项式。如果余数为零，则认为传输过程中没有 发生错误；如果余数不为零，则认为传输过程中发生了错误。通过这种方式，循环码可以检测到单个或多个比特 错误。
03
循环码的编码与解码
编码过程
01
02
03
04
05
定义
选择生成多项式
生成多项式与信 息比特序…
编码与解码的实例演示
确定错误的位置为第4位（从右 往左数）。
纠正错误，将第4位由0改为1 ，得到纠正后的码字比特序列 1010101101。
将纠正后的码字比特序列与生 成多项式进行模2除法运算，得 到恢复的信息比特序列 1011001。
04
循环码的性能分析
误码率分析
误码率定义
影响因素
误码率是指接收端接收到的错误码元 与总码元数的比值，是衡量循环码性 能的重要指标。
影响循环码误码率的因素包括信噪比 、码长、编码方式和传输通道特性等 。
误码率计算
通过理论分析和仿真实验，可以计算 出不同条件下循环码的误码率，从而 评估其性能。
抗干扰性能分析
抗干扰能力评估
循环码具有良好的抗干扰性能， 能够有效地抵抗信道中的噪声和
干扰。
干扰抑制机制
循环码通过引入冗余和校验位，利 用编码规则对干扰进行检测和纠正 ，从而降低误码率。
添加校验位
得到码字比特序 列
循环码是一种线性码，其 编码过程是将信息比特序 列与一个生成多项式序列 进行模2除法运算，得到码 字比特序列。
根据给定的码长和纠错能 力，选择合适的生成多项 式。
将生成多项式与信息比特 序列逐位相乘，得到中间 比特序列。
根据中间比特序列和生成 多项式的系数，计算校验 位，并将其添加到中间比 特序列的末尾。
循环码
8.5 循环码循环码是线性分组码中最重要的一个子类码，它的基本特点是编码电路及伴随式解码电路简单易行；循环码代数结构具有很多有用的特性，便于找到有效解码方法。
因此在实际差错控制系统中所使用的线性分组码，几乎都是循环码。
下面将介绍循环码的多项式表示及其性质，同时简介几种重要的循环码，CRC、BCH和R-S 码等。
8.5.1 循环码的描述1. 码多项式及其运算通式表示为：（8-69）于是称与为“同余”式，即[模]（8-70）如：则[模] 即能被整除利用这一运算原理，我们可对一个码字进行移位表示：如：的多项式表示为：使码组向左移2位（循环）则有对应多项式然后以去除得：这一结果表明，以作除法运算（称模）后，即与为同余因此，（模）应注意，利用这种同余式表示，必须加注（模），否则就不明确在什么条件下得到的这一同余关系式。
2.循环码的构成循环码的构成突出特点是只要是该码中的一个许用码组——码字，通过循环位其结果则可包括全部个非全0码字，如上面介绍的（7，3）分组码，从信码位0 0 1构成的码字（0011101）开始逐一向左（或者向右）移一位，可得其余6个码字：（0111010）、（1110100）、（1101001）、（1010011）、（0100111）、（1001110）。
若把这些码字写成码多项式，都具有同一个移位运算模式，并设（0011101）对应的码多项式，于是，有：（模)（8-71）这样，就构成了（7，3）循环码，如表8-4。
从表8-4看出，循环得到的（7，3）码，仍为系统码，信息码组均在表中码字的高位（左方）。
表8-4 （7，3）循环码移位（7，3）码码多项式（模）0 0 0 1 1 1 0 11 0 1 1 1 0 1 02 1 1 1 0 1 0 03 1 1 0 1 0 0 14 1 0 1 0 0 1 15 0 1 0 0 1 1 16 1 0 0 1 1 1 08.5.2 循环码生成多项式与生成矩阵1. 生成多项式由表8-4构成个非全0码字多项式的过程与结果看，我们从开始进行逐一循环，并以模运算，该码字正是信码组中最低位为1，对应码字多项式，在全部非全0码字中，它的最高位阶次也最低，并等于，即最高次项为，随后一系列码字都源于它的移位而形成，因此称其为生成多项式，即（8-72）然后再从的因式分解来进一步分析（8-73）我们可以将三个既约多项式因式任意组合成两个因式，可有（8-74）如：（8-75）（8-76）其中可以组合为二因式中包含最高次为4次的情况有两种，即展开式的第4及第5两组，都可以作为阶次最高为4的即（8-77）（8-78）在展开式中选用了其中一个（组合）因式为后，余下一个因式，则称其为循环码的监督多项式，如式（8-74）生成多项式与相应监督多项式乘积等于多项式。
循环码
2、循环码2.1循环码的基本原理 1.定义循环码是满足循环特性的线性分组码，是线性分组码的子类，之所以这样说是因为线性分组码要求所选择的码是线性的，循环码则是在线性分组码的基础之上进一步要求所选择的码具有循环性。
假设C 是一个(n,k)线性码，如果C 中任意一个码字经任意循环移位之后仍然是C 中的码字，那么此码是一个循环码。
循环码具有规则的代数结构，且是自封闭的，因此用多项式来描述更方便。
长度为n 的循环码可用一个n-1次多项式来描述，此多项式称为码多项式，表示如下：(1)左移i 位后的码多项式为(2)码多项式与循环移位后的多项式之间的关系为)1()(c xC(x)1)1(021121-n -+=++⋅⋅⋅++=---nn n n n x c x C x c x c x c x (3)也即是)1m od()()()1(-≡n x x xC x C (4)以此类推，可以得到)1m od()()()(-≡n i i x x C x x C (5)2.循环码的性质(1)GF(q)上的(n,k)循环码中，存在唯一的一个n-k 次首一多项式0111)(g x g x g x x g k n k n k n ++⋅⋅⋅++=-----，每一个码多项式)(x C 都是)(x g 的倍式，即循环码的码多项式)(x C 中次数最低且其常数项为1的码多项式有且仅有一个，为码的生成多项式，记做)(x g 。
循环码C 中的每个码多项式)(x C 都可唯一表示成)()()(x g x m x C =。
(2))(,),(),(),(12x g x x g x x xg x g k -⋅⋅⋅都是生成多项式，他们的线性组合也是生成多项式。
(3)GF(q)上(n,k)循环码的生成多项式)(x g 一定是)1(-nx 的因子。
(4)循环码的生成矩阵H 和校验矩阵H 的正交性可以用多项式表示为1)()(-=n x x h x g 。
信息论与编码理论 第8章循环码 习题解答-20071211
第8章 循环码习题答案：1. 已知(8, 5)线性分组码的生成矩阵为⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎣⎡=1000011101000100001000100001000100001111G（1）证明该码是循环码；（2）求该码的生成多项式)(x g 。
（1）证明如下：(1)(2)(2)1 1 1 1 0 0 0 0 1 1 1 1 0 0 0 01 0 0 0 1 0 0 0 0 1 1 1 1 0 0 0 0 1 0 0 0 1 0 0 0 1 0 0 0 1 0 0 0 0 1 0 0 0 1 00 0 1 0 0 0 1 01 1 1 0 0 0 0 1 1 1 1 0 0 0 0 1+⎡⎤⎡⎤⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥−−−→⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦(3)(3)(4)1 1 1 1 0 0 0 0 1 1 1 1 0 0 0 00 1 1 1 1 0 0 0 0 1 1 1 1 0 0 0 0 0 1 1 1 1 0 0 0 0 1 1 1 1 0 0 0 0 1 0 0 0 1 00 0 0 1 1 1 1 01 1 1 0 0 0 0 1 1 1 1 0 0 0 0 1++−−−→⎡⎤⎡⎤⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎢⎥⎢−−−→⎢⎥⎢⎢⎥⎢⎢⎥⎢⎣⎦⎣⎦(1)(5)(4)(5)1 1 1 1 0 0 0 0 1 1 1 1 0 0 0 00 1 1 1 1 0 0 0 0 1 1 1 1 0 0 0 0 0 1 1 1 1 0 0 0 0 1 1 1 1 0 0 0 0 0 1 1 1 1 00 0 0 1 1 1 1 00 0 0 1 0 0 0 10 0 0 0 1 1 1 1++⎥⎥−−−→⎥⎥⎥⎡⎤⎡⎢⎥⎢⎢⎥⎢⎥−−−→⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎤⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎦由生成矩阵可知为（8、5）循环码。
（2）生成多项式如下：32()1g x x x x =+++2. 证明：1245810++++++x x x x x x为(15, 5)循环码的生成多项式，并写出信息多项式为1)(4++=x x x m 时的码多项式（按系统码的形式）。
第八章 循环码.
由于循环码是线性分组码，所有这些具有循环关系的码 字的全体构成了n维矢量空间中具有循环特性的k维子空间。
3
: v (v0 , v1 ,, vn 1 ) C (1) v (vn 1 , v0 ,, vn 2 ) (2) v (vn 2 , vn 1 ,, vn 3 ) C
循环组1 循环组2 循环组3 行编码（但编出的码不一定为系统码） 循环组4
12
二．循环码的生成矩阵
（n，k）循环码是n维线性空间一个具有循环特性的k维的子空间，故 （n，k）循环码的生成矩阵可用码空间中任一组k个线性无关的码字构成， 即k个线性无关的码字构成（n，k）循环码的基底，基底不唯一。 如何得到k个线性无关的码字？
5
3．循环特性的表示
以前面的（7，3）循环码为例：（任取一码字）
信息位
0 0 0 0 1 1 1 1 0 0 1 1 0 0 1 1 0 1 0 1 0 1 0 1 0 1 0 1 1 0 1 0
校验位
0 1 1 0 1 0 0 1 0 0 1 1 1 1 0 0 0 1 1 0 0 1 1 0
10
（2）若以n - k次因式作为生成多项式，可供选择的有
n – k = 1，k = 6，生成一种（7，6）循环码； n – k = 3，k = 4，生成两种（7，4）循环码； n – k = 4，k = 3，生成两种（7，3）循环码； n – k = 6，k = 1，生成一种（7，1）循环码； 例：要得到一（7，4）循环码，可选n – k = 3次多项式1 + x2 + x3或1 + x +x3 为生成多项式：
1110100 1 x x 2 x 4
循环码
谢谢观看
常用CRC码
CRC码 生成多项式 CRC－12 x12+x11+x3+x2+x+1 CRC－16 x16+x15+x2+1 CRC－CCITT x16+x12+x5+1 BCH码 BCH码是循环码的一个重要的子类，它是一种能纠正多个随机错误的应用最为广泛和有效的差错控制码。 定义：对于任意正整数m(m≥3)和t(t<2m－1=一定存在一个具有下列参数的二进制BCH码：
编码种类
十六进制数 自然二进制码 循环二进制码 十六进制数 自然二进制码 循环二进制码 0 0000 0000 8 1000
特征
为了探讨循环码的特征，把码字C=(Cn－1 Cn－2…C1C0)用如下的码多项式C(x)来表示。 （1）特性一 在一个(n,k)循环码中，存在惟一的一个n－k次码多项式： 每一个码多项式C(x)都是g(x)的一个倍式，反之每个为g(x)倍式，且次数小于等于n－1的多项式必是一个码 多项式。 由此可见，(n,k)循环码中的每一个码多项式C(x)均可由下式表示： 如果m(x)的系数(mk－1…m1m0)就是表示待编码的k位信息位，则C(x)就是对应于此信息组m(x)的码多项式。 因此(n,k)循环码完全可由g(x)确定。g(x)也称为循环码(n,k)的生成多项式。g(x)的次数n－k等于码中一致校 验位的位数。
译码器
缩短循环码
循环码的生成多项式g(x)应该是xn+1的一个(n－k)次因子，但有时在给定码长n时，xn+1的因子不能满足设 计者的需要，为了增加选择机会，往往采用缩短循环码。
在(n,k)循环码的2k个码字中选择前i位信息位为0的码字，共有2k－i个，组成一个新的码字集。这样就构成 了一个(n－i,k－i)缩短循环码。
循环码
可见，一致校验矩阵的第一行是码的校验多项式 的系数 的反序排列，而第二、三、四行分别是第一行的移位，由 此得到用校验多项式的系数来构成的一致校验矩阵：
H (7,3)
0 0 0 1
0 0 1 1
0 1 1 0
1 1 0 1
1 0 1 0
0 1 0 0
1 0 0 0
6.3.3 系统循环码
1 0 G 0 0 0 1 0 0 1 0 1 0 1 1 0 1 0 1 1 0 0 0 1 1 0 (1) 0 (2) 0 (3) 1 (4)
对矩阵G的行进行运算，将第⑴、⑶、⑷行相加后 作为第1行，第⑵、⑷行相加后作为第2行，得：
1 0 G0 0 0 0 1 0 0 0 0 1 0 0 0 0 1 1 1 1 0 0 1 1 1 1 (1) (3) (4) 1 (2) (4) 0 1
个码字的每一次循环移位仍然是C中的一个码字， 则称C为循环码。也即，如果C=(cncn-1…c2c1)是循 环码C的一个码字，那么C=(cn-1cn-2…c1cn) 等也都是 C的码字时，则所有这些具有循环特性的码字的全 体便构成了循环码C。
表6.3.1 循环码的例子
信息码元 000 001 010 011 100 101 110 111
0 0 0 h0 0 0 h0 h1 0 h0 h1 h2 h0 h1 h2 h3 h1 h2 h3 0 h2 h3 0 0
0 0 h3 g4 0 g3 0 0 g2 0 g1 g 0
n k
9
8
x 4 x3 x 2
对
在接收端，CRC校验实际上就是做除法运算：如果传输过 程无差错，则 r ( x) g ( x被整除，余式为“0”；如果余式不为 能 ) “0”，则说明一定有差错。 1 例6.3.8 假设 m( x) x x x ，即信息码字为 1 (1011001)， g ( x) x x ，求CRC校验码。由题得：
循环码
在抽象代数学中， F [ x] / ( g ( x)) 表示域 F 上的多项式剩余类环，其模是 g ( x) 。因 此，循环码 C[ x] 是域 GF (2) 上以 x − 1 为模的多项式剩余类环 GF (2)[ x] / ( x n − 1) 。
n
定理【生成多项式】 i. ii. iii. 循环码 C[ x] 存在唯一的次数最低的首一多项式 g ( x) （称为生成多项式） 每个码字多项式 c( x) 都是 g ( x) 的倍式
= c( x) [u0b0 ( x) + u1b1 ( x) + . .+ u . k −1bk −1 ( x)]g ( x)
（ii） 考察 x n − k u ( x) u0 x n − k + u1 x n − k +1 + ... + uk −1 x n −1 =
n−k x = u ( x) q( x) g ( x) + r ( x)
n
再设 h( x) 是 C[ x] 中次数最低的首一多项式，则由（2）可知， h( x) 是 g ( x) 的因式。于 是 h( x) 是 g ( x) 和 x − 1 的公因式。
n
由 Euclids 除法知，存在多项式 s ( x) 和 t ( x) ，使得 h( x) = s ( x) g ( x) + t ( x)( x n − 1) 于是 h = ( x) ( s ( x) + t ( x)b( x)) g ( x) ， 即 g ( x) | h( x) ，这个式子表明了两种可能： （i） （ii）
(完整word版)循环码(word文档良心出品)
2、循环码2.1循环码的基本原理 1.定义循环码是满足循环特性的线性分组码，是线性分组码的子类，之所以这样说是因为线性分组码要求所选择的码是线性的，循环码则是在线性分组码的基础之上进一步要求所选择的码具有循环性。
假设C 是一个(n,k)线性码，如果C 中任意一个码字经任意循环移位之后仍然是C 中的码字，那么此码是一个循环码。
循环码具有规则的代数结构，且是自封闭的，因此用多项式来描述更方便。
长度为n 的循环码可用一个n-1次多项式来描述，此多项式称为码多项式，表示如下：(1)左移i 位后的码多项式为(2)码多项式与循环移位后的多项式之间的关系为)1()(c xC(x)1)1(021121-n -+=++⋅⋅⋅++=---nn n n n x c x C x c x c x c x (3)也即是)1m od()()()1(-≡n x x xC x C (4)以此类推，可以得到)1m od()()()(-≡n i i x x C x x C (5)2.循环码的性质(1)GF(q)上的(n,k)循环码中，存在唯一的一个n-k 次首一多项式0111)(g x g x g x x g k n k n k n ++⋅⋅⋅++=-----，每一个码多项式)(x C 都是)(x g 的倍式，即循环码的码多项式)(x C 中次数最低且其常数项为1的码多项式有且仅有一个，为码的生成多项式，记做)(x g 。
循环码C 中的每个码多项式)(x C 都可唯一表示成)()()(x g x m x C =。
(2))(,),(),(),(12x g x x g x x xg x g k -⋅⋅⋅都是生成多项式，他们的线性组合也是生成多项式。
(3)GF(q)上(n,k)循环码的生成多项式)(x g 一定是)1(-nx 的因子。
(4)循环码的生成矩阵H 和校验矩阵H 的正交性可以用多项式表示为1)()(-=n x x h x g 。
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g ( x) (1101000) xg( x) (0110100) x 2 g ( x) (0011010) x 3 g ( x) (0001101)
1101000 0110100 G 0011010 0001101
当一个循环码的生成矩阵确定后，其编码规则为：
四次因式：
(1 x)(1 x 2 x 3 ) 1 x x 2 x 4 (1 x)(1 x x ) 1 x x x
3 2 3 4
（两个）
六次因式： (1 x 2 x 3 )(1 x x 3 ) 1 x x 2 x 3 x 4 x 5 x 6 （一个）
5
3．循环特性的表示
以前面的（7，3）循环码为例：（任取一码字）
信息位
0 0 0 0 1 1 1 1 0 0 1 1 0 0 1 1 0 1 0 1 0 1 0 1 0 1 0 1 1 0 1 0
校验位
0 1 1 0 1 0 0 1 0 0 1 1 1 1 0 0 0 1 1 0 0 1 1 0
9
【例】一个长度n = 7的循环码的构造方法。 （1）对x 7 + 1作因式分解
x 7 1 ( x 1)(x 3 x 2 1)(x 3 x 1)
故x 7 + 1有如下因式： 一次因式：1
x （一个）
三次因式：1 x 2 x 3 , 1 x x 3 （两个）
循环组1 循环组2 循环组3 行编码（但编出的码不一定为系统码） 循环组4
12
二．循环码的生成矩阵
（n，k）循环码是n维线性空间一个具有循环特性的k维的子空间，故 （n，k）循环码的生成矩阵可用码空间中任一组k个线性无关的码字构成， 即k个线性无关的码字构成（n，k）循环码的基底，基底不唯一。 如何得到k个线性无关的码字？
g ( x) g 0 g1 x g 2 x 2 g nk x nk （gn-k=1）
使得所有码多项式都是g(x)的倍式，即：
v( x) u ( x) g ( x)
且所有小于n次的g(x)的倍式都是码多项式。 故循环码完全由它的生成多项式确定。
8
（2）（n，k）循环码的生成多项式g(x)一定是(xn+1)的因子，即
§8.2 循环码的基本定理及其矩阵描述
一．循环码的生成多项式
1．定义：若g(x)是一个(n-k)次多项式，且是(xn+1)的因式，则由g(x)可以 生成一个（n，k）循环码，g(x)称为该循环码的生成多项式。 两个结论： （1）GF(2)上的（n，k）循环码中，存在着一个次数为(n-k)的首一码多项 式g(x)（首一：多项式最高幂次项系数 gn-k=1 ）
字多项式
n 1 码字： v (v0 , v1 ,, vn1 ) v( x) v0 v1x vn1 x 码字多项式
对于线性分组码C，可以表示成码字多项式构成的集合：
C C ( x) v0 v1x vn1x n1 (v0 , v1,, vn1 ) C
1．循环码的特点：
（1）它是线性分组码，其数学模型应具有线性特性； （2）具有循环特性。 故循环码的数学模型必须能兼具线性和循环特性→多项式描述。 2．线性分组码的多项式描述 字：r (r0 , r1 ,, rn 1 ) r ( x) r0 r1 x rn 1 x n 1
11
例： u (0110) u ( x) x x 2
v( x) u ( x) g ( x) ( x x 2 )(1 x 2 x3 ) x x 2 x 3 x 5 v (0111010)
对于上述（7，4）循环码，有4个信息位，对应有16个信息序列，利用 16个信息序列多项式与生成多项式的乘法运算，可得全部（7，4）循环码 得16个码字，如表：
mod( x 7 1) mod( x 7 1) mod( x 7 1) mod( x 7 1) mod( x 7 1)
结论：如果将一个循环码的某一非零码字用码多项式表示出来，那么其他 的非零码字多项式就可以用这个码字多项式（或码字多项式的和） 乘上x的一个幂，再求（xn+1）的余得到 。 说明：一个码字的移位最多能得到n个码字，因此“循环码字的循环仍是 码字”并不意味着循环码集可以从一个码字循环而得，还应包含码 字的一些线性组合。 7
v u G
1101000 0110100 (1110010) 如：u (1010) v (1010) 0011010 0001101
15
三．循环码的系统码
由上述方法作出的生成矩阵所编出的码不是系统形式，如何得到系统形 式的循环码？
信息位 码字 信息位 码字 信息位 码字 信息位 码字
0001 0001011 0011 0011101 0000 0000000 1101 1111111 0010 0010110 0110 0111010 0100 0101100 1100 1110100 1000 1011000 1111 1101001 任何码字的循环移位仍是码字，并非由一个码字循环移位可以得到所有 0111 0110001 1001 1010011 码字，上述（7，4）码的码集由4组码字循环构成。 1110 1100010 0101 0100111 1011 1000101 1010 1001110 g（x）后，根据生成多项式就可以进 结论：当一个循环码给定其生成多项式13源自各多项式对应的矢量分别为：
g ( x) ( g 0 , g1 , , g n k , 0, 0, , 0) xg( x) (0, g 0 , g1 , , g n k , 0, , 0) x k 1 g ( x) (0, 0, , 0, g 0 , g1 , , g n k )
k个
这k个矢量是线性无关的，且由g（x）循环移位得到，故都是码字，由 它们构成一个k×n的矩阵，它们就是循环码的生成矩阵。
g0 0 G 0
g1 g0
g nk g1 0 0
0 g nk g0
0 0 g1
0 0 g nk
14
【例】（7，4）循环码：g ( x) 1 x x , k 4
1110100 1 x x 2 x 4
移一位
0111010 x x 2 x 3 x 5 x(1 x x 2 x 4 )
移两位
0011101 x 2 x 3 x 4 x 6 x 2 (1 x x 2 x 4 )
移三位
1001110 1 x x x x 3 (1 x x 2 x 4 ) x 3 x 4 x 5 x 7
g ( x) ( x n 1) 或写成 x n 1 g ( x)h( x)
相反，如果g(x)是xn+1的n-k次因子，则g(x)一定是（n，k）循环码 的生成多项式。 生成多项式不唯一。 2．（n，k）循环码的构造 （1）对(x n + 1)做因式分解，找出(n – k)次因式；
（2）以该(n – k)次因式为生成多项式g(x)与不高于k – 1次信息多项式u(x)相 乘，即得到对应消息序列的码多项式。
10
（2）若以n - k次因式作为生成多项式，可供选择的有
n – k = 1，k = 6，生成一种（7，6）循环码； n – k = 3，k = 4，生成两种（7，4）循环码； n – k = 4，k = 3，生成两种（7，3）循环码； n – k = 6，k = 1，生成一种（7，1）循环码； 例：要得到一（7，4）循环码，可选n – k = 3次多项式1 + x2 + x3或1 + x +x3 为生成多项式：
对于上面第三次移位结果，可重新表示如下：
1001110 1 x 3 x 4 x 5 x 3 (1 x x 2 x 4 ) 0100111 x x 4 x 5 x 6 x 4 (1 x x 2 x 4 ) 1010011 1 x 2 x 5 x 6 x 5 (1 x x 2 x 4 ) 1101001 1 x x 3 x 6 x 6 (1 x x 2 x 4 ) 1110100 1 x x 2 x 4 x 7 (1 x x 2 x 4 )
3 4 5
?
此时：7 > n-1 = 6，超出了n=7的矢量空间。 要求： 1 x 3 x 4 x 5 x 3 x 4 x 5 x 7 则：x 7
1，即 x 7 1 0
6
3 4 5 3 4 5 7 下面用 x 7 1 去除 x x x x ，得余 1 x x x
由于循环码是线性分组码，所有这些具有循环关系的码 字的全体构成了n维矢量空间中具有循环特性的k维子空间。
3
: v (v0 , v1 ,, vn 1 ) C (1) v (vn 1 , v0 ,, vn 2 ) (2) v (vn 2 , vn 1 ,, vn 3 ) C
以g（x）= 1 + x2 + x3为例，（信息位长度为4） 设信息多项式为：u ( x) u 0 u1 x u 2 x 2 u 3 x 3 则：循环码编码后的码多项式为：
v( x) u( x) g ( x) (u0 u1x u2 x 2 u3 x3 )(1 x 2 x3 )
第八章
循环码
内容提要
循环码是线性分组码中一个重要的子类。 本章将介绍循环码的基本概念以及循环码的多项 式描述方法；循环码的基本定理及其矩阵描述 ；简单 的循环码的编译码方法及其实现电路。