第一讲算符及其本征值与本征函数
1）本征值与本征态
第四章：近似方法Schroedinger 方程ˆ,,i t H t tψψ∂=∂ 。
可以精确求解的物理问题太少，大部分实际问题由于ˆH的构造太复杂，不能严格求解，只能用近似方法。
不同的问题用不同的近似方法。
1．定态微扰论思想当ˆH不含时，应用分离变量法，定态,n i E t n t n e ψ−=，能量n E 与能量本征态n 满足定态Schroedinger 方程ˆnH n E n =。
令()()01ˆˆˆHH H =+， 要求：1）()0ˆH包含了ˆH 的主要部分，即()1ˆH 很小。
由于()0ˆH 与()1ˆH 均为算符，比较大小可从经典对应来理解。
严格来说，是比较这两个算符的矩阵元，见下面讨论。
2）要求()0ˆH的定态方程 ()()()()0000ˆn Hn E n= 可严格求解。
将n E 和n 展开：()()()012n n n n E E E E =+++ ，()()()012n nnn=+++代入待求的定态Schroedinger 方程()()()()()()()()()()()()()()()01201201012ˆˆn n n HH nnnE E E nnn++++=++++++ ，然后，逐级近似求解该方程。
零级近似：()()()()0000ˆn Hn E n= ()0n E →和()0n。
一级近似：()()()()()()()()10100101ˆˆn n Hn Hn E nE n+=+即()()()()()()()()100011ˆˆnnH E n H E n −=−− ()1n E →和()1n。
二级近似：()()()()()()()()()()21000112ˆˆnnn H E n H E n E n−=−−+()2n E →和()2n。
……一般情形，只求到第一个不为零的修正项。
微扰论的基础是()0H 的本征值()0n E 和本征态()0n 。
求高阶修正要考虑()0n E 是否有简并。
量子力学 第一节 力学量算符 教案
第一节力学量算符一. 算符算符: 作用在一个函数上得出另一个函数的运算符号，量子力学中的算符是作用在波函数上的运算符号。
用表示一算符。
二．力学量算符1.坐标的算符就是坐标本身：2.动量算符：, ,3.动能算符4.哈密顿算符：5.角动量算符：如果量子力学中的力学量在经典力学中有相应的力学量，则表示这个力学量的算符由经典表示式中将换成算符得出算符和它所表示的力学量的关系？第二节算符基本知识一线性算符满足运算规则的算符称为线性算符。
二单位算符保持波函数不改变的算符三 算符之和加法交换律加法结合律两个线性算符之和仍为线性算符。
四 算符之积定义: 算符 与 的积 为注意: 一般说算符之积不满足交换律，即： 这是与平常数运算规则不同之处。
五 逆算符设能唯一解出，则定义的逆算符为：注意: 不是所有的逆算符都有逆算符。
，六 算符的复共轭，转置，厄密共轭1． 两个任意波函数与的标积2． 复共轭算符算符的复共轭算符为：把的表示式中所有复量换成其共轭复量3．转置算符定义: 算符的转置算符满足：即：4．厄密共轭算符算符的厄密共轭算符定义为即算符的厄密共轭算符即是的转置复共轭算符5.厄密算符厄密算符是满足下列关系的算符注意：两个厄密算符之和仍为厄密算符，两个厄密算符之积却不一定是厄密算符例：证明是厄密算符证：为厄密算符，为厄密算符第三节 力学量算符的本征值与本征函数一 厄密算符的本征值与与本征函数设体系处于 测量力学量O ，一般说，可能出现不同结果，各有一定的几率，多次测量结果的平均值趋于一确定值，每次具体测量的结果围绕平均值有一个涨落，定义为如为厄密算符，也是厄密算符存在这样一种状态，测量力学量 所得结果完全确定。
即. 这种状态称为力学量的本征态。
在这种状态下称为算符的一个本征值， 为相应的本征函数。
二 力学量算符的性质 1. 力学量算符是厄密算符量子力学的一个基本假定: 测量力学量 时，所有可能出现的值，都是力学量算符的本征值。
[理学]第三章量子力学中的力学量1
![[理学]第三章量子力学中的力学量1](https://img.taocdn.com/s3/m/d1f77453a417866fb94a8e05.png)
能量本征方程（定态薛定谔方程） 于这个本征值的本征函数。根据以上假定，当 粒子属于这个状态时，坐标确定，坐标值就是 本征值 r ' 。 角动量本征方程
ˆ r r ' 坐标本征方程，注意这里 r '是本征值，r ' 是属 r r' r' r'
ˆ LL ' L 'L '
注意：这些量的分量也可构成各自的本征方程。
ˆ x p
当粒子处在这个方程的解 描述的状态中 时，它的动量在x方向上的分量是确定的， 值就是所属的本征值
力学量的值肯定是实数。根据以上基本假定，这些力学量算符的 本征值是粒子力学量的某个值。因此力学量算符的本征值必须是 实数。下面我们将要介绍一种重要的算符——厄密算符
（7）复共轭算符 算符Û的复共轭算符 Û*就是把Û表达式中 的所有量换成复共轭.
ˆ O
设定义式中 则，
* ˆ ˆ )* d O d ( O
* * d ( ) d
* d * * d * * d
因为波函数 是平方可积的即
* d d A 2
ˆ T
2
2
2
前面我们已经通过能量本征值方程揭示了能量算符和能量之间 的密切关系。下面我们将这个结论推广到其他所有的物理量上：
量子力学基本假定
ˆ 表示，那么当微观粒子体系处于 F ˆ的 如果力学量 F 用算符 F ˆ 的本征函数 来描述。）时， 本征态 （即体系的状态用 F 力学量 F 具有确定值。这个值就是本征函数 所属的那个本 征值 。它们之间的关系用数学形式表达即： ˆ 本征方程 ˆ 算符 F F
量子力学第三章-1
二、力学量的平均值 三、例题
一、力学量的可能值
1、力学量算符本征函数组成完全系（完备系） (1) 函数的（完全性）完备性 有一组函数φn(x) (n=1,2,...),如果任意函数ψ(x)可以按这组函 数展开: ψ ( x) = c φ ( x)
n
n
即
c n = ∫ φ ( x )ψ ( x )dx
∗ n
证明：当 ψ (x)已归一时，cn 也是归一的。
证： 1 = ∫ ψ ( x)ψ ( x)dx = ∫ ∑ cnφn ∑ cmφm dx n m * = ∑ ∑ cn * cm ∫ φnφmdx = cn * cmδ nm
∑
n
n n
则称这组函数φn(x) 是完全（完备）的。 例如：动量本征函数组成完备系
r r r r Ψ ( r , t ) = ∫ c( p, t )ψ p ( r )d 3 p r r r r 或 ψ ( r ) = ∫ c( p )ψ p ( r )d 3 p
(2) 力学量算符的本征函数组成完备系 I、 数学中已经证明某些满足一定条件的厄密算符其本征函数组成 完备系（参看：梁昆淼，《数学物理方法》P324），即若： ˆ Fφ = λ φ
ˆ 2、角动量算符 Lz 本征函数
φm (ϕ ) =
1 imϕ e m=0, ± 1, ± 2... 2π
组成正交归一系
∫
π
2π
0
* φm (ϕ )φm′ (ϕ )dϕ = δ mm′
ˆ 3、角动量算符 L2 本征函数
Ylm (θ , ϕ ) = N lm Pl m (cos θ )eimϕ
量子力学中 算符及其本征函数
论文题目：ˆL算符及其本征函数量子力学中2（理工类）ˆL算符及其本征函数1量子力学中2摘要角动量算符是量子力学中一个很重要的力学量，本论文分别对2ˆL的定义、意义、性质以及作用做了阐述，给出了2ˆL算符在球坐标系中的表示式，并用经典坐标变换以及对易关系进行了推导，2ˆL是描述旋转运动及原子分子状态的一个重要的物理量，因此对2ˆL 的研究将有助于理解量子力学中的诸多问题。
本论文将采取理论分析，并结合数学推导的方法，在掌握大量材料的基础上，作出自己的见解，把理论模型建立在合理的体系上，立足实际情况对它们进行深入的分析和研究。
关键词角动量算符；空间转子；角量子数；自旋The 2ˆL in the Quantum Mechanics and Its EigenfunctionAbstractAngular momentum operator is a very important mechanics in quantum mechanics ,this paper definite the definition, significance, as well as the nature of the2ˆL operator , and gives the expression of 2ˆL operator in spherical coordinates .And according with classic and easy to transform the relationship between the derivation. The 2ˆL operator is a very important mechanics which describe rotary movement and the state of Atomic and Molecular, so it will help to understand lots of questions of quantum mechanics. This paper will take theoretical analysis, and mathematical derivation of the method, the availability of large on the basis of material to make their own opinion, the theoretical model based on a reasonable system, based on the actual situation on their conduct in-depth analysis and research.Keywordsangular momentum operator；Spatial rotor；Azimuthal quantum number；Spinning1作者简介：王慧1986年10月出生，女汉族河南兰考人，郑州大学物理工程学院凝聚态物理专业硕士研究生一年级，主要研究方向为陶瓷功能材料。
厄米算符的本征值与本征函数
即属于动量算符不同本征值的两个本征函数ψ pv′ 与ψ pv 相互正交。这是所有厄密算符的本征函数所共
有的。
2). 线性谐振子能量本征函数组成正交归一系
ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ
线性谐振子的能量本征函数
−1α 2x2
ψ n = N ne 2 H n (αx)
∫ 组成正交归一系：
∞ψ
−∞
n*ψ
n′ dx
=
δ
nn′
3). 角动量本征函数组成正交归一系
综合上述讨论可得如下结论：既然厄米算符本征函数总可以取为正交归一化的，所以以后凡是
提到厄米算符的本征函数时，都是正交归一化的，即组成正交归一系。
6. 实例
1). 动量本征函数组成正交归一系
∫ψ *pv′ (rv)ψ pv (rv)drv = δ ( pv − pv ′)
当 pv ≠ pv ′ 时，
∫ψ *pv′ (rv)ψ pv (rv)drv = 0
1). 正交性的定义
∫ 如果两函数ψ1和ψ2满足关系式 ψ 1*ψ 2dτ = 0 ，则称ψ1和ψ2相互正交。
2). 定理 III：厄米算符属于不同本征值的本征函数彼此正交。（证明）
∫ ∫ ( Aˆψ m )*ψ ndτ = Am ψ m*ψ ndτ
∫ ∫ ∫ ( Aˆψ m )*ψ ndτ =
ψ
* m
2. 厄米算符的本征方程 1) . 涨落
涨落定义为 (ΔA)2 = ( Aˆ − A)2
证明: (ΔA)2 = ( Aˆ − A)2 ≥ 0
2) . 力学量的本征方程 若体系处于一种特殊状态，在此状态下测量 A 所得结果是唯一确定的，即：
(ΔA)2 = 0
则称这种状态为力学量 A 的本征态。
第一讲算符及其本征值与本征函数
若 Aˆ ，Bˆ 0， 则 Aˆ ，Bˆ 不对易。
补充说明
• 算符相加满足交换律、结合律：
Aˆ Bˆ Bˆ Aˆ, Aˆ Bˆ Cˆ Aˆ Bˆ Cˆ
• 算符相乘不满足交换律：Aˆ Bˆ BˆAˆ
• 算符相乘满足结合律： AˆBˆ Cˆ Aˆ BˆCˆ
dydz
*1 (i
) 2 dx
x
dydz(i
) *1 2
2
*1
x
dx
dydz 0 2 (i
)
x
*1
dx
dydz 2 (i
) x
*
*1
dx
dydz 2Pˆx * *1 dx (Pˆx1) * 2d
• 即： 1 *Pˆx 2d (Pˆx1)* 2d
• 所以，Pˆx 的确是厄米算符。式中利用了：
在量子力学中出现的力学量，都有 与该力学量运算效果上等效的算符。
因此通过对比，我们可以归纳出下 列的几个等效关系：
Eˆ i
t
Tˆ
Uˆ
2
2 2m
U
(r
)
Hˆ ,T
2
2,Uˆ (r ) 2m
U (r )
Pˆ i i ( i j k ), Pˆ 2 22 x y z
Pˆx i
• 当解 Aˆ 的本征方程时，可能得出 Aˆ 的某一本征
值对应的不止一个是一个本征函数，而是f个线性 无关的本征函数，则称该本征值有f度简并，并且 属于该本征值的本征函数也有f个。 • 这时，当粒子处于该f个态中的任何一个，力学量 的值都是一样的。即：
Aˆm Ami i 1, 2,......, f
积分，并利用本征函数的正交性，得：
m* d
量子力学——算符（精品pdf）
算符
目录
一、位置算符
1.1 厄米算符 1.2 （位置算符）本征值与本征函数
1.3 正则对易关系
二、动量算符
2.1 动量算符导引 2.2 （动量算符）本征值与本征函数
七、自旋算符
7.1 概论 7.2 发展史 7.3 自旋量子数
7.3.1 基本粒子的自旋 7.3.2 亚原子粒子的自旋 7.3.3 原子和分子的自旋
中心的角色。角动量，动量，与能量是物体运动的三个基
本特性
目录 3.1 简介 3.2 数学定义 3.3 角动量是厄米算符 3.4 对易关系
3.4.1 角动量算符算符与自己的对易关系 3.4.2 角动量平方算符与角动量算符之间的对易关系 3.4.3 哈密顿算符与角动量算符之间的对易关系 3.4.4 在经典力学里的对易关系 3.5 (角动量)本征值与本征函数
目录 1.1 厄米算符 1.2 本征值与本征函数 1.3 正则对易关系
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1.1厄米算符
由于每一种经过测量而得到的物理量都是实值的。所以，可观察量 O 的期望值是 实值的：
对于任意量子态 ，这关系都成立：
根据伴随算符的定义，假设 是 的伴随算符，则
因此，
这正是厄米算符的定义。所以，表示可观察量的算符 ，都是厄米算符。
2.3 厄米算符 2.4 正则对易关系
7.3.4 自旋与统计
7.4 自旋的方向
三、角动量算符
3.1 简介 3.2 数学定义 3.3 角动量是厄米算符 3.4 对易关系
3.4.1 角动量算符算符与自己的对易关系 3.4.2 角动量平方算符与角动量算符之间的对易关系 3.4.3 哈密顿算符与角动量算符之间的对易关系
经过一番繁杂的运算，终于得到想要的方程
算符的本征值与本征态
算符的本征值与本征态算符是量子力学中非常重要的概念之一，用于描述物理量的性质和测量结果。
在量子力学中，算符的本征值与本征态是非常有用的工具，它们可以帮助我们理解和计算系统的物理性质。
本文将介绍算符的本征值与本征态的概念及其在量子力学中的应用。
一、算符的本征值和本征态的定义在量子力学中，算符用来描述测量物理量的操作。
一个算符作用于一个波函数上，会得到一个新的波函数或者一个数值结果。
当算符作用于一个波函数时，如果结果等于原波函数乘以一个常数，这个常数就是算符的本征值，而原波函数就是算符的本征态。
根据量子力学的原理，每个物理量都有对应的算符。
例如，位置算符描述了粒子在空间中的位置，动量算符描述了粒子的动量，能量算符描述了粒子的能量等。
这些算符都有自己的本征值和本征态。
二、算符的本征值与本征态的性质算符的本征值和本征态具有一些重要的性质。
首先，算符的本征值只能取实数或复数。
其次，算符的本征值可以是离散的或连续的。
对于离散的本征值，我们称其为离散谱；对于连续的本征值，我们称其为连续谱。
算符的本征态具有归一化的性质，即本征态的模长平方等于1。
本征态之间也可以进行线性组合，得到新的波函数，这些新的波函数也是算符的本征态。
因此，本征态构成了一个完备的正交基。
三、算符的本征值与本征态的应用算符的本征值与本征态在量子力学中有广泛的应用。
首先，它们用于描述系统的物理性质。
通过求解薛定谔方程，我们可以得到系统的所有本征值和本征态，从而了解系统的能级以及相应的波函数形式。
其次，算符的本征值与本征态用于描述量子测量的结果。
当我们对一个物理量进行测量时，测量结果就是算符的某个本征值，而物理系统处于相应的本征态。
算符的本征值与本征态还可以用于计算系统的平均值和方差。
平均值描述了物理量的期望值，而方差描述了测量结果的离散程度。
此外，算符的本征值与本征态在量子力学中的对易性质也是非常重要的。
通过研究不同算符的对易关系，我们可以推导出一些重要的定理，如不确定性原理等。
1-05 算符
(壹x上) 量子力学基础第五节算符一、算符的定义和运算二、算符的本征方程、本征值、本征函数三、线性算符四、厄米算符小结作业思考题一、算符的定义和运算返回上页下页返回上页下页设符号代表某个运算规则，按此规则，由一个函数f 可唯一地确定另一个函数g ，记作符号称为算符.[算符的定义]Af g ˆ=AˆAˆ返回上页下页通常，算符记号上带有抑扬符“∧”.但是，对于单纯做乘法的算符，“∧”可省略.注可直接写做x ； ˆ()xx ⋅(5⋅)可直接写作5 .5ˆ例如，返回上页下页算符的等价性设和是两个算符，若对任意函数f 都有，则称和相等，记作.AˆB ˆf B f A ˆˆ=B A ˆˆ=[算符的运算]AˆB ˆ返回上页下页算符的加法(减法)AB f Af Bf ˆˆˆˆ()±=±Df x Df x f x ˆˆˆˆ(3)()()3()+=+例如，f x f x ()3()′=+规定：称为与的和(差).A ˆB ˆA Bˆˆ±运算规律：AB B A [交 换律 ]ˆˆˆˆ+=+AB C A B C 结合律] ˆˆˆˆˆˆ()()[++=++返回上页下页一般而言，(算符的乘法不满足交换律).ABBA ˆˆˆˆ≠对易子如果，即，则称和可对易；否则，就是不可对易的.A B ˆˆ[,]0=A BˆˆAB AB BA ˆˆˆˆˆˆ[,]=−规定：称为与的对易子.AB ˆˆ[,]A ˆB ˆAB BA ˆˆˆˆ=但不排除对某些特定的算符有.ABBA ˆˆˆˆ=返回上页下页对易子的恒等式(证明留作练习)：]ˆ,ˆ[]ˆ,ˆ[A B B A−=n A A ˆˆ[,]0=二、算符的本征方程、本征值、本征函数返回上页下页返回上页下页则⎯⎯常数a 称为的本征值;非零函数f 称为的属于(对应于)本征值a 的本征函数;ˆAaf f A =ˆ设：是算符，f 是非零函数，a 是常数.如果AˆˆA称为的本征方程.ˆA af f A=ˆ返回上页下页(3)本征函数总是和本征值联系在一起，一个本征函数不能同时属于两个不同的本征值；(4)对应于同一个本征值，可能有不止一个线性无关的本征函数.说明(1) 本征函数f 要求是非零函数(不恒等于零)；(2)一般而言，本征值(复数域)，相应的，本征函数f 是复函数.a ∈ 假设，则有.本征函数f 是非零函数，于是a =b ，矛盾., 其中ˆˆ()Afaf Af bf a b ==≠()0a b f −=三、线性算符返回上页下页返回上页下页线性算符有如下的对易子恒等式：]ˆ,ˆ[]ˆ,ˆ[]ˆ,ˆ[B A k B k A B Ak ==]ˆ,ˆ[]ˆ,ˆ[]ˆˆ,ˆ[C A B A C B A+=+]ˆ,ˆ[]ˆ,ˆ[]ˆ,ˆˆ[C B C A C B A+=+C B A C A B C B Aˆ]ˆ,ˆ[]ˆ,ˆ[ˆ]ˆˆ,ˆ[+=B C A C B A C B Aˆ]ˆ,ˆ[]ˆ,ˆ[ˆ]ˆ,ˆˆ[+=[线性算符的对易子]例6. 由，计算对易子和D xˆˆ[,]1=x i D ˆ[,]− x D 2ˆ[,]]ˆ,[2D x x i Dˆ[,]− i x D ˆ[,]=− i D x ˆ[,]= D ˆ2−=D D ˆˆ−−=D D x D x Dˆ]ˆ,[]ˆ,[ˆ+=i = 解返回上页下页112211221122ˆˆˆ()D c f c f c f c f c Df c Df ′′+=+=+都是线性算符，2ˆˆˆ,,xD D 222112211221122ˆˆˆ()D c f c f c f c f c D f c D f ′′′′+=+=+11221122()x c f c f c xf c xf ⋅+=⋅+⋅因此，返回上页下页[线性算符的性质]若f 1,f 2是线性算符的属于同一个本征值a 的本征函数，则它们的任意非零线性组合c 1f 1+c 2f 2(即c 1,c 2是任意常数但要保证c 1f 1+c 2f 2是非零函数)仍然是属于a 的本征函数.证2211ˆ ,ˆ af f A af f A==∵ 1122ˆ()A c f c f ∴+2211ˆˆf A c f A c +=注此性质对更多本征函数也成立.Aˆ2211af c af c +=)(2211f c f c a +=当c 1f 1+c 2f 2为非零函数时，是对应于a 的本征函数.四、厄米算符返回上页下页返回上页下页如果算符满足：则称算符是厄米算符.d d **ˆˆ()f Ag g Af ττ=∫∫AˆAˆ[厄米算符的定义](f ,g 是任意的品优函数)说明(1)一般来说，算符的本征值是复数域上的数.但是，厄米算符的本征值一定是实数.(2)一般来说，算符的本征函数不一定正交.但是，对于线性厄米算符，①非简并本征值：有且有一个线性无关的本征函数，任选一个；②简并本征值：能够选出一个两两正交的最大线性无关组[线性厄米算符的性质2(2)].所选的的这一系列本征函数必定是两两正交的[线性厄米算符的性质2(1)].返回上页下页四、小结作业思考题返回上页下页小结返回上页下页1算符的概念；算符的加法、乘法、幂及其运算规则.m n m n m n mn A A A A A； ˆˆˆˆˆ()+==[加法交换律] ˆˆˆˆAB B A +=+加法结律 合 ]ˆˆˆˆˆˆ()()[AB C A B C ++=++ [乘法结合律]ˆˆˆˆˆˆ()()ABC AB C =返回上页下页2对易子ˆˆˆˆˆˆ[,]AB AB BA =−如果(即)，则称和可对易.ˆA ˆB 重要的恒等式:ˆˆ[,]0AB =ˆˆˆˆAB BA =]ˆ,ˆ[]ˆ,ˆ[A B B A−=n A A ˆˆ[,]0=ˆˆ[,]AB返回上页下页3算符的本征方程、本征值、本征函数.af f A =ˆa 为常数，称为本征值；f 是非零函数，称为属于本征值a 的本征函数.的本征方程：ˆA4线性算符的概念和性质.()A c f c f c Af c Af 11221122ˆˆˆ+=+( f 1和f 2是任意函数；c 1和c 2是任意常数)返回上页下页线性算符的运算规律：线性算符的对易子恒等式：]ˆ,ˆ[]ˆ,ˆ[]ˆ,ˆ[B A k B k A B Ak ==ˆˆˆˆˆˆˆ[,][,][,]AB C A C B C +=+[左分配律] ˆˆˆˆˆˆˆ()AB C AB AC +=+[分 律] 右配ˆˆˆˆˆˆˆ()BC A BA CA +=+ˆˆˆˆˆˆˆ[,][,][,]AB C A B A C +=+C B A C A B C B Aˆ]ˆ,ˆ[]ˆ,ˆ[ˆ]ˆˆ,ˆ[+=B C A C B A C B Aˆ]ˆ,ˆ[]ˆ,ˆ[ˆ]ˆ,ˆˆ[+=返回上页下页(本征值的简并度：属于该本征值的全体本征函数中，最大线性无关组所含的函数个数)线性算符的性质：线性算符的属于同一个本征值的本征函数的任意非零线性组合，仍是属于同一个本征值的本征函数.返回上页下页5厄米算符的概念和性质. d d **ˆˆ()f Ag g Af ττ=∫∫(f ,g 是任意的品优函数)线性厄米算符的性质：1. 厄米算符的本征值必然是实数；2.(1)厄米算符属于不同本征值的本征函数必然是相互正交的;(2)线性算符的属于简并本征值的全体本征函数中，能够选出一个两两正交的最大线性无关组.作业p.145，第26，27，28题返回上页下页返回上页下页思考题下列哪些算符可对易⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅( )(A) ˆˆ,x y (B),x y ∂∂∂∂(C),x x ∂∂ (D),y x∂∂返回上页下页[提示]可对易⇔.将作用于二元函数f (x ,y )可得.[答案] (A)(B)(D)即 ˆˆˆˆˆˆ[,]00A B AB BA =−=ˆˆ,AB ˆˆˆˆABBA −ˆˆ[,]A B附录线性厄米算符性质的证明返回上页下页返回上页下页线性厄米算符的性质2(1)厄米算符的属于不同本征值的本征函数必然是相互正交的;(2)线性算符的属于同一个简并本征值的全体本征函数中，可选出两两正交的最大线性无关组.(1) 设是厄米算符，f , g 是分别属于两个不同特征值a , b 的本征函数，即ˆAd d **ˆˆ()f Ag g Af ττ=∫∫证； ()ˆˆAf af Agbg a b ==≠根据厄米算符的定义，有d d **()f bg g af ττ=∫∫d d ***b f g a gf ττ=∫∫返回上页下页上式中a *≠b (∵厄米算符的本征值是实数，a*=a ，而a ≠b )，从而有是相互正交的d 即*0,,g f g f τ=∫一般而言，{f 1,f 2,…,f n }不是两两正交的.但是，从最大线性无关组{f 1,f 2,…,f n }出发，利用施密特正交化方法，能够构造出一个等价的非零正交函数组{ϕ1,ϕ2,…,ϕn }.方法如下(参见数学复习)：(2)设是线性算符，f 1,f 2,…,f n 是属于简并本征值a 一个最大线性无关组.ˆA。
量子力学中的算符与本征值
量子力学中的算符与本征值量子力学是一门具有浓厚抽象性和深远影响的科学学科，而算符与本征值则是它的核心概念之一。
在这篇文章中，我们将深入探讨算符与本征值在量子力学中的重要性和应用。
量子力学中的算符是用来描述物理量的数学运算符号，通常用字母表示，如动量算符p、位置算符x、能量算符H等。
这些算符与经典力学中的物理量类似，但它们的性质和运用有着本质的不同。
在量子力学中，算符具有两个重要的特性：线性性和非对易性。
线性性意味着一个算符作用于多个态的叠加态时，其结果等于对每个态作用后的叠加；非对易性则表明两个算符的乘积与它们的顺序有关。
量子力学的核心理论是薛定谔方程，它描述了体系的波函数在时间和空间上的演化规律。
在解薛定谔方程的过程中，算符与本征值的重要性得以彰显。
我们知道，算符作用于波函数可以得到一组数，这些数便是算符的本征值。
而与之对应的，是一组与本征值对应的本征态，它们是算符在某个特定本征值下的特殊解。
本征值和本征态的组合构成了量子力学的基本框架。
算符与本征值不仅仅是量子力学的数学形式，更具有实际的物理意义。
我们以动量算符p为例来说明。
当动量算符作用于某个波函数时，它会得到一个数，这个数便是动量算符的本征值。
然而，本征值本身并没有很大的意义，更重要的是与之对应的本征态。
本征态描述了体系的物理状态，通过对本征态的展开，我们可以得到某个动量本征值下的概率分布。
这使得我们能够研究粒子的运动规律和性质。
除了描述物理量，算符还可以描述物理过程中的变换。
我们以位置算符x为例。
当位置算符作用于一个波函数时，它将会使波函数发生平移。
这个平移的大小正好等于位置算符的本征值。
因此，通过位置算符，我们可以研究粒子运动的轨迹与位置分布。
而对于一些对称性问题，如空间反演对称性和时间反演对称性等，我们可以利用相应的算符来描述相应的变换关系。
算符与本征值的重要性和广泛应用不仅限于基本的量子力学理论，还涉及到其他领域的研究。
在固体物理和材料科学中，电子结构的计算和分析通常涉及到算符的代数运算和本征值的求解。
厄米算符的本征值和本征函数
d r
*
（3.3.1）
*
它具有下述性质：
iii
i
2
dr 0
（3.3.2）
ii
若 C 1 、 2 为常数 C
C 1 1 C 2 2 C 1 1 C 2 2
1 O
2
O 1
2
2
2
O 1 O
1
因此， 必为厄米算符。得证。 O
3.3 厄米算符的本征值和本征函数
性质④ 的证明：
O O
n
O n O m
n
m
m
且 O n O m ( m n ) ，因为 O 是厄米算符，它的本征函数 * O 是实数， m O m 。本征方程的共轭方程为
O
* *
m
O m
Om
*
m
由
O
m
n
m
n
的厄米性质，O m n 及O
m
O
n
，及
m O n On m n
3.3 厄米算符的本征值和本征函数
得
(O m O n )
m
n 0
又因 O n O m
得
m n 0
对 1 和 2 作变换，令
1 1e
ia
,
2
2e
ib
（ a , b 为任意实数）
代入（3）式后得
e
i (b a )
本征值和本征函数的计算
1． 直接矢量计算
引入两个辅助算符： b = 1 ( p − imωx) ， b+ = 1 ( p + imωx) ，
2mhω
2mhω
显然有
( ) bb+ = 1 p2 + m2ω2x2 + imω [ p, x]
2mhω
( ) = 1
2mhω
p2 + m2ω2x2 + mhω
=
1 hω
⎛ ⎜⎝
H
+
xij E j − Ei xij
=i h
Ei − E j
xij ，
∑( ) ∑( ) mω2xij
=
1 ih
l
Hil plj − pil Hlj
=1 ih
l
Eiδil plj − pil Elδlj
( ) ( ) = 1 ih
Ei pij − pij E j
=−i h
Ei − E j
pij ，
∴
⎧i
Eiδij
=
1 2m
k
pik
pkj
+
1 2
mω 2
k
xik xkj
=
1 2m
k
pik
pkj
+
1 2
mω2 −1
k
⎡⎣−ω2
i−k
k − j pik pkj ⎤⎦
∑ = 1 2m
k
pik pkj ⎡⎣1− (i − k )(k − j)⎤⎦ ,
5
高等量子力学讲义（研究生用）
§2.2 本征函数和本征值的计算
dn dξ n
e−ξ 2
为汉克函数，
En
厄米算符的本征值与本征函数详解演示文稿
三、厄米算符的本征值与本征函数(5)
2、几个定理（1）
定理1：厄米算符的本征值必为实数。
设 Aˆ 为厄米算符， n 和 An 为该算符的本征态与本
征值，即：Aˆ n An n
【证明】：设 A 为 Aˆ 在本征态 m 下的平均值，即：
A
* m
Aˆ
md
3r
四、角动量的本征值与本征函数（1）
n
( Aˆ *
* m
)d
3r
n A~ˆ
* m
d
3r
* m
Aˆ
n
d
3r
* m
An
n
d
3r
An
m* nd 3r
即：
n
(
Aˆ *
* m
)d
3r
An
m* nd 3r
已证明：
n
(
Aˆ *
* m
)d
3r
Am
m* nd 3r
Am m* nd 3r An m* nd 3r
即( Am An ) m* nd 3r 0, Am An ,
*[( Aˆ A) ][( Aˆ A) ]* d 3r ( Aˆ A) 2 d 3r 0
( Aˆ A) 0, 或者Aˆ 常数
改记为： Aˆ n An n
三、厄米算符的本征值与本征函数(3)
1、本征函数（本征态）和本征值（2）
Aˆ n An n
n 0,1,2,3,
定Aˆ理和：厄(r)米，算若符Aˆ＋的平Aˆ均，值即为Aˆ 实 A~数ˆ * 。
则
A
*
(r )
Aˆ
(r )d
3r
量子力学中的哈密顿算符与本征值
量子力学中的哈密顿算符与本征值量子力学是一门研究微观粒子行为的科学，而哈密顿算符与本征值是量子力学中的重要概念。
本文将从哈密顿算符的定义、本征值的意义以及应用等方面进行论述。
一、哈密顿算符的定义在量子力学中，哈密顿算符（Hamiltonian operator）是描述系统总能量的算符。
它通常用符号H表示，其定义为系统的总能量算符，即哈密顿算符作用在波函数上得到的结果就是该波函数对应的能量值。
哈密顿算符的具体形式根据不同的物理系统而定，例如对于自由粒子，哈密顿算符可以写为：H = -ħ²/2m ∇² + V(x)其中ħ是普朗克常数的约化值，m是粒子的质量，∇²是拉普拉斯算符，V(x)是粒子在位置x上的势能函数。
二、本征值的意义在量子力学中，本征值（eigenvalue）是指在某个算符作用下，波函数所具有的特定性质。
对于哈密顿算符来说，本征值就是波函数对应的能量值。
换句话说，当哈密顿算符作用在某个波函数上时，得到的结果是该波函数对应的能量值。
本征值的重要性在于它能够描述系统的能级结构，从而揭示了量子系统的性质和行为。
三、哈密顿算符与本征值的应用哈密顿算符与本征值在量子力学中有着广泛的应用。
以下将介绍其中两个重要的应用。
1. 薛定谔方程薛定谔方程是量子力学的基本方程之一，描述了量子粒子的运动行为。
在薛定谔方程中，哈密顿算符起到了关键的作用。
薛定谔方程可以写为：Hψ = Eψ其中H是哈密顿算符，ψ是波函数，E是能量的本征值。
通过求解薛定谔方程，可以得到系统的波函数以及能量的本征值。
2. 量子力学中的测量在量子力学中，测量是一个重要的概念。
对于某个物理量A，其对应的算符A可以作用在波函数上，得到测量物理量A的结果。
而这些结果就是算符A的本征值。
因此，本征值的意义不仅仅是能量值，还可以表示其他物理量的测量结果。
总结：哈密顿算符与本征值是量子力学中的重要概念，它们描述了量子系统的能量以及其他物理量的测量结果。
陈鄂生《量子力学教程》习题答案第二章力学量算符
陈鄂生《量子力学教程》习题答案第二章_力学量算符陈鄂生《量子力学教程》习题答案第二章_力学量算符含答案第一节算符理论基础1.量子力学中的基本假设包括哪些？它们各自的物理意义是什么？答：量子力学中的基本假设包括：(1) 波函数假设：用波函数Ψ(x)描述微观粒子的运动状态，波函数的模的平方表示找到粒子在空间中某一点的概率。
(2) 物理量算符假设：每个物理量都对应一个算符，而对应的测量值是算符的本征值。
(3) 波函数演化假设：波函数随时间的演化遵循薛定谔方程。
(4) 基态能量假设：系统的最低能量对应于基态，且能量是量子化的。
这些基本假设反映了量子力学的基本原理和规律。
2.什么是算符的本征值和本征函数？答：算符的本征值是指对应于某个物理量的算符的一个特征值，它代表了该物理量的一个可能的测量结果。
本征函数是对应于某个物理量的算符的一个特征函数，它表示的是该物理量的一个可能的状态。
3.什么是算符的厄米性？答：算符的厄米性是指一个算符与其共轭转置算符相等。
对于一个算符A，如果满足A†=A，则称该算符是厄米算符。
4.什么是算符的厄米共轭？答：算符的厄米共轭是指将算符的每一项的系数取复共轭得到的新算符。
对于一个算符A，它的厄米共轭算符A†可以通过将A的每一项的系数取复共轭得到。
5.什么是算符的共同本征函数？答：算符的共同本征函数是指对于两个或多个算符A和B，存在一组波函数Ψ(x)使得同时满足AΨ(x)=aΨ(x)和BΨ(x)=bΨ(x)。
其中a和b分别是A和B的本征值。
6.什么是算符的对易性？答：算符的对易性是指两个算符之间的交换顺序不改变它们的结果。
如果两个算符A和B满足[A,B]=AB-BA=0，则称它们对易。
第二节动量算符1.什么是动量算符？它的本征值和本征函数分别是什么？答：动量算符是描述粒子动量的算符，用符号p表示。
动量算符的本征值是粒子的可能动量值，本征函数则是对应于这些可能动量的波函数。
动量算符的本征函数是平面波函数，即Ψp(x)=Nexp(ipx/ħ)，其中N是归一化常数，p是动量的本征值。
厄米算符的本征值与本征函数
1、本征值与本征函数
处于ψ 态中，测量力学量A，可得到各种 值，这些值有一定的几率分布。
对于都用ψ来描述其状态的大量相同体系进 行多次测量，所得结果进行统计平均将趋向 于一个确定的值。
见下表：
28
1
(1) A1 p1 A2 p2 A3 p3
A0
(2) A1 p'1 A2 p'2 A3 p'3
p (r)
1 (2 )3/2
ei
p
r
/
为 p/的单色平面波。
28
19
在量子力学中，平面波代表粒子处在动量 一定、在空间各处出现的概率都相同的状态， 这是一种理想化的型。它不能用通常的办 法归一化，而是采用 函数的形式“归一化”。
28
20
(4)一维自由粒子的能量本征态。
则有
px ' (x)
1 ei px ' x/ 2
px '*(x) px "(x) dx ( px ' px")
平面波的“归一化”就用δ函数的形式表示 了出来。
28
18
在三维情况下，动量算符的本征值方程是
i p (r) p p (r)
动量算符的本征值 在直角坐标系中的三个分量px, py和pz 均为实数。动量本征值方程的解是
(A)2 ( Aˆ A)* *( Aˆ A)d | ( Aˆ A ) |2 d 0
如果体系处于一种特殊状态，测量 A 所得 结果唯一确定，即涨落 (A)2 0，
则这种状态称为力学量A的本征态。
28
1-2-算符及本征值
1(Aˆ 1)dx
eix (i d eix ) dx dx
eix (i)2eixdx
dx x
所以，算符Aˆ 为厄米算符
本征函数、本征值和本征方程
若算符Aˆ 作用于函数 等于一常数a乘以 Aˆ a
则称函数 为算符Aˆ 的本征函数，a为算符Aˆ 的本征值。
Aˆ Bˆ BˆAˆ 一般情况
思考
给出算符Aˆ 的三个例子， 使得Aˆ 满足：Aˆ ex ex
算符(Operater)
线性算符:
Aˆ (c11 c22) c1Aˆ 1 c2Aˆ 2
c1,
c2为任意常数，
1
,
为任意函数
2
以下算符哪些（个）是线性算符？
运算 乘以
取平方根
Aˆ Bˆ
Aˆ Bˆ BˆAˆ 例 Aˆ x
Bˆ d dx
算符对易：Aˆ Bˆ BˆAˆ
例 Aˆ 3 Bˆ d
dx
Aˆ (Bˆf
)
x
d dx
fห้องสมุดไป่ตู้
x
d dx
f
Bˆ( Aˆ f ) d x f f x df
dx
dx
3 d f d 3f dx dx
dx
d (x) adx (x) ln (x) ax C ' (x) eCeax Ceax
作业
通常给字母上加一 ^ 或 [ ]表示算符。
Aˆ 1 2
运算
算符
sin x的作用结果
乘以
x
x sin x
取平方根
sin x
对x求导
4.3 厄米算符的本征值与本征函数
态问题。
28
28
2 n 2 n
系数 a 还不能完全定下来，它们还有多种 取法。
尽管如此，我们总可以说，厄米算符的本征函数 彼此正交，不管它们是否简并。
28 27
在常见的一些问题中，当出现简并时，为
了把某力学量A的简并态确定下来，往往可以
用A以外的其他力学量的本征值来对简并态进
行分类，此时正交性问题将自动得到解决。
8
本征值方程： 解得
ˆ A A n n n
本征值：A1，A2，A3……组成本征值谱
本征函数： 1, 2, 3 ……组成本函数系
本征函数的正交性：
ˆ 的不同本征值的本征函数相互正交。 属于厄米算符 A
0 当 n m 数学表述 m d nm 1 当 n m 当 m n 时 A A 有 * d 0 正交性 m n n m
这是一种理想化的模型。它不能用通常的办
法归一化，而是采用 函数的形式“归一化”。
28
20
( 4 )一维自由粒子的能量本 征态。
一维自由粒子的Hamiltonian为 2 2 2 ˆ p d ˆ H 2 2m 2 m dx 本征值方程为
d ( x ) E ( x ) 2 2 m dx
函数值相等，即：
e
e
28
iL z ' /
iLz ' 2 /
e
iL z '( 2 ) /
i 2 m
1 e
Lz ' 其中 m 0,1,2,
12
所以，相应的本征函数为 m ( ) ce im
将其归一化，可得归一 化系数 c
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量子力学中的力学量 这一章主要介绍量子力学如何处理力学 量。主要特点是力学量与算符对应。它 涉及到量子力学特有的一整套处理力学 量的基本原理与数学方法。这一章构成 了量子力学基本理论框架的主要部分。
一、算符的引入
• 在量子力学中，当微观粒子处于某一状态时，它 的力学量（如坐标、动量、角动量、能量等）一 般不具有确定的数值，而是有一系列可能值，每 个可能值以一定的几率出现。 • 当粒子所处状态确定时，力学量具有某一可能值 的几率也就完全确定了。 • 例如氢原子中的电子处于某一束缚态时，它的坐 标和动量都没有确定值。但是这两个量具有某一 量的确定值的几率却是可以确定的。 • 对经典物理来说没有这些特点，所以，为了表述 这些特点，量子力学引入算符来表示力学量。
2 2 2 2 ˆ ˆ i ˆ U ˆ ˆ ,T E T U ( r ) H ,U (r ) U (r ) t 2m 2m ˆ i i ( i j k ), P ˆ 2 2 2 P xP ˆ i P x x x x x x ˆ xi ˆ yj ˆ zk ˆ xi yj zk r r
ˆ
ˆ
• A：泊松括号：
• •
ˆ, B ˆB ˆ ˆ] A ˆ B ˆA [A
ˆ, B ˆ 与B ˆ ] 0， 则 ˆ 对易， 若 [ A A B：
ˆ ，B ˆ ，B ˆ 0， 则 ˆ 不对易。 若A A
补充说明
• 算符相加满足交换律、结合律：
• • • •
ˆB ˆ, A ˆB ˆA ˆ B ˆ ˆB ˆA ˆ C ˆ C A
对于其它力学量的算符都可以由以 上算符导出
• 因为任何经典力学量总是r和p的函数。 • 当力学量A(r)只是r的函数，它的算符就是它本身， 即：
ˆ (r ) A(r ) A
• 当一个力学量A的经典表达式既是r的函数，又是 动量p的函数，则它的算符只需要把它的动量换成 动量算符即可。即：
ˆ (r , p ˆ (r , i ) ˆ) A A
简并度
• 不同的算符一般有不同的本征函数系和本征值谱， 因为算符不同，本征方程的数学形式不同，因而 方程解的函数形式不同。 ˆ 的某一本征 ˆ 的本征方程时，可能得出 A • 当解 A 值对应的不止一个是一个本征函数，而是f个线性 无关的本征函数，则称该本征值有f度简并，并且 属于该本征值的本征函数也有f个。 • 这时，当粒子处于该f个态中的任何一个，力学量 的值都是一样的。即：
py y 1 p y ( y) e 1/ 2 (2) i
pz z 1 p z ( z ) e 1/ 2 (2)
i
三、算符运算规则及线性厄米算符
一、算符相等：对任意函数Ψ，若 A B ˆB ˆ 则： A ˆ ˆ ˆ ˆ ( A B ) A B 二、算符和与差： ˆB ˆ (B ˆ A ˆ ) 三、算符乘： A 四、线性算符： ˆ (c c ) c A ˆ c A ˆ 成立，则 A ˆ 是线性算符。 若 A 1 2 1 2 • 五、泊松括号与算符对易： • • • • •
ˆx x
算符相乘不满足交换律： AB ˆ ˆ BA ˆˆ 算符相乘满足结合律： ˆˆ C ˆA ˆ BC ˆˆ AB x, p x 例：计算对易关系：
x x i i i i • 所以： x, p x i
二、本征函数与本征值
ˆ 作用于函数f(r)上，得出另一个函数。若算 • 算符 A 符作用于某些特殊的函数U(r)得到的结果等于某一 ˆ (r) AU (r) 常量乘以同一函数U(r)，即： AU ˆ 的本征值； U(r)称为属于这个 • 则常数A称为算符 A ˆ 的本征 本征值的本征函数。上式也被称为算符 A 方程。 • 在量子力学中，一个力学量所可能取的数值，就是 它的算符的全部本征值。本征函数所描写的状态就 是这个算符的本征态。在自己的本征态中，这个力 学量取确定值，即这个本征态所属的本征值。
ˆ A A mi m
i 1,2,......, f
补充：动量算符的本征函数
• 我们前面给出了动量算符的本征方程，那么它们 的本征函数是什么？ i p.r 其中C为归一化系数。 p (r ) Ce
由于本征值是连续分布的，本征函数模平方在整个空间 积分不能归一化为一，而只能归一化为 δ 函数。统一说 法，也说这C为归一化系数。 归一化系数C求法。 已归一化了的四个本征函数为： i i px x 1 p .r 1 p x ( x) e p ( r ) e 1/ 2 3/ 2 (2) (2)
d ˆx p i dx
d d d x px px x x x x ( x ) i i dx i dx i dx
E
• 也就是等式左边的符号作用于波函数的结果等效 于右边的能量作用于波函数的结果。 • 对于定态的薛定谔方程，当势能不显含时间t，可 以认为E=H=T+U，恰好是经典力学中的哈密顿量。
在量子力学中出现的力学量，都有 与该力学量运算效果上等效的算符。 因此通过对比，我们可以归纳出下 列的几个等效关系：
算符是对波函数进行某种数学运算的符号。
• 在推导薛定谔方程时，我们曾经得到过： i E t 2 • 以及定态薛定谔方程： 2 U (r ) E 2m • 从这两个等式我们可以发现一种等效关系：
i E t 2 2 2m U ( r )