第三章 -材料力学扭转

例：已知一直径d=50mm的钢制圆轴在扭转角为
6°时，轴内最大剪应力等于90MPa，G=80GPa。 求该轴长度。
解：
(1) 9 得： 6 80 10 0.05 ( 2) I jG p 180 l 6 max Wpt 90 10 2
2.33 m
Tl T j （1） max Wt GI p
例二 计算例一中所示轴的扭矩，并作扭矩图。
MB
MC MA MD
解：已知
D
B
C
A
M A 1592N m M B M C 477.5N m M D 637N m
作扭矩图如左图示。
T
955N· m 477.5N· m +
637N· m
§3.3 薄壁圆筒的扭转 纯剪切
m
1
m
R0
§3.4
g
圆轴扭转时的应力 强度条件
a
T g b O2 g
一、横截面上的应力
1、变形几何关系 Me
e
dx
a
T
dx
dj
b
2、物理关系(剪切胡克定律)
Gg
3、静力学关系
dj T dA G A dx
dj Gg G dx
dj 2 dA G Ip A dx
第三章
扭
转
§3-1
m A
概
g
述
m
B j B'
外力偶作用平面和杆件横截面平行
g：剪切角 切应变 g j：相对扭转角
§3.2 传动轴的外力偶矩 扭矩及扭矩图
一、传动轴上的外力偶矩
输入功率：P(kW)
Me 转速：n(转/分)
1分钟输入功：
W 60 P 1000 60000 P
1分钟me作功
dj g dx
dA


O
r


Ip
2 A dA —极惯性矩
dA
由T G
dj dj T I p得 — 单位长度相对扭转角 dx dx GIP
应Байду номын сангаас公式
1)横截面上任意点：
T Ip
T：横截面上的扭矩 ：点到截面心的距离
Tr T 2)横截面边缘点： max I p Wt
x
dx
由平衡条件：
z 切应力互等定理：两个相互垂直的微面上的切应力（τ、τ′） 成对存在，数值相等，且都指向（或背离）两平面的交线。
注意：上述定理具有普遍意义，在有正应力的情况下同样成立。
纯剪切状态：单元体在其两对互相垂直的平面上只有切应 力而无正应力的状态。（其前后两面上无任何应力）
d y d z d x d x d z d y
W ' M e M e (2n 1) 2nMe
W W'
P M e 9550 n
( N m)
当杆件只受到位于其横截面内的扭 转力偶作用时。杆件将会产生扭转变形。
在该杆BC区间内作m-m截面,取截面 左侧杆段为研究对象，如图所示，此时 杆件横截面上只有Mx，记作扭矩T，其 余的内力分量均为零。
例：图示钢制实心圆截面轴，d=70mm，
G=80GPa， lAC 500mm lAB 300mm， m1 1592N m, m2 955N m, m3 637 N m 试求截面C相对截面B的扭转角。
m2
m1
m3
B
l AB A
l AC
C
m1 1592N m, m2 955N m, m3 637 N m
（2）
例：圆截面橡胶棒的直径d=40mm,受扭后,
原来表面上的圆周线和纵向线间夹角由 90°变为 88°。如杆长 l=300mm，试求两 端截面间的相对扭转角；如果材料的剪变 模量G=2.7MPa，试求杆横截面上最大剪 应力和杆端的外力偶矩ｍ。
解：由
d gl j 2

g
j
2 2 30 得 j g l 2 300 d 40
T d/2
其中： Wt
T D/2
Ip r
抗扭截面系数
ρ
O
d/2

O
m ax

m ax
实心圆
d 4 W d Ip t
32
3
空心圆
16
Ip
D 32

4
d
4

D 4
32
(1 )
4
Wt
D 3
16
(1 4 )
关于极惯性矩和抗扭截面系数 Ip 称为极惯性矩，Wt 称为抗扭截面系数，它们均与横截面的形状、 尺寸有关。
dA 2 d 4 d d I p A 2d A 2 0 2 3d 32 Ip d3
a. 圆截面
Wt
d

2
16
b. 空心圆截面
I p A dA 2 d 2 3d
2 2
D

D 32

4
d4

D4
32
1
强度校核; 选择截面;
计算许可荷载。
某汽车主传动轴钢管外径 D=76mm，壁厚t=2.5mm，传递扭矩 T=1.98kN· m，[]=100MPa，试校核轴的强度。 解：计算截面参数：
πD 4 I p (1 α 4 ) 78.1 10 4 mm4 32 Ip Wt 20.3 10 3 mm3 D/2
2.剪切胡克定律
由几何关系知：
得： τ

Me 2πr2δ
g r / l

Gg
T
……剪切胡克定律
（线弹性范围适用）
G为材料的剪切弹性模量
O

O

G 另外有：
E （ 2 1 ）
3.切应力互等定理
y
dz dy o ′
单元体：微小的正六面体 在扭转时，左右两侧面（杆的横截 面）上只有切应力，方向与y轴平行， 前后无应力。
例
由强度条件：
max
Tmax 97.5MPa [ ] Wt
故轴的强度满足要求。 若将空心轴改成实心轴，仍使 max 97.5MPa ，则
Tmax 1.98103 max 97.5MPa 由上式解出：d=46.9mm。 3 Wp d / 16 1 空心轴与实心轴的截面 A空 ( D 2 D 2t 2 ) d 2 0.334 面积比(重量比)为： 4 4 A实 3
同样强度下，空心轴使用材料仅为实心轴的三分之一，故空心轴
较实心轴合理。
§3.5 圆轴扭转时的变形 刚度条件
计算目的：刚度计算、为解超静定问题作准备。
T 相对扭转角： j dj dx 0 GI p l
l
j
Tl GI p
rad
GIp—抗扭刚度，表示杆抵抗扭转变形能力的强弱。 单位长度的扭转角：
三、强度条件
强度条件： max
Tmax [ ] ， Wt
[]—许用切应力；
理论与试验研究均表明，材料纯剪切时的许用切应力[]与 许用正应力[σ]之间存在下述关系： 对于塑性材料． [] ＝(0.5一0.577) [σ] 对于脆性材料， [] ＝(0.8—1.0) [σl] 式中， [σl]代表许用拉应力。 轴扭转时，其表层即最大扭转切应力作用点处于纯剪切状 态，所以，扭转许用切应力也可利用上述关系确定。 根据强度条件可进行：
4
I p D3 Wt 14 D 16 2


d 式中： D
二、斜截面上的应力

n
x

dA dA cos sin dA sin cos 0 dA dA cos cos dA sin sin 0
1.52 10 rad 1.69 10 rad
3
3
jCB jCA j 1.7 10 rad
方向同 m3
m1 1592N m, m2 955N m, m3 637 N m
m2
m1
m3
B
l AB A
l AC
C
第二种解法 叠加法
在线弹性范围和小变形条件下，可采用叠加法。
dj T j rad/m dx GIp
其中： [j，]—许用扭转角， 取值可根据有关设计标淮或规 范确定。
刚度条件
jmax Tmax 180 [j ] GI
一、单位长度相对扭转角φ’ 相对扭转角φ
dj T j dx GIp
T dj dx GI p
dφ
j
l
T dx GI p
若 T const ,
GI P 称为抗扭刚度
FN l 比较拉压变形：l EA
Tl 则j GI p
公式适用条件： 1、当p（剪切比例极限）公式才成立 2、仅适用于圆杆（平面假设对圆杆才成立） 3、扭矩、面积沿杆轴线不变化（T、Ip为常量） 4、对于小锥度圆杆（截面缓慢变化）可作近似计算 若圆轴的(T/GIP) 分段为常数，其两端面间的 相对扭转角φ为 Ti li j ji Gi I pi
假设B截面不动。分别求出在 m1和m3 单独作用下，C截面相对B截面的扭转角， 然后叠加。
m1 1592N m, m2 955N m, m3 637 N m
m2
m1
m3
B
l AB A
l AC
C
jCB
m1 l AB m3 (l AB l AC ) G IP G IP