用数学归纳法证明不等式

人教版选修4—5不等式选讲

课题：用数学归纳法证明不等式

教学目标：

1、牢固掌握数学归纳法的证明步骤，熟练表达数学归纳法证明的过程。

2、通过事例，学生掌握运用数学归纳法，证明不等式的思想方法。

3、培养学生的逻辑思维能力，运算能力和分析问题，解决问题的能力。

重点、难点：

1、巩固对数学归纳法意义和有效性的理解，并能正确表达解题过程，以及掌握用数学归纳法证明不等式的基本思路。

2、应用数学归纳法证明的不同方法的选择和解题技巧。

教学过程：

一、复习导入：

1、上节课学习了数学归纳法及运用数学归纳法解题的步骤，请同学们回顾，说出数学归纳法的步骤？

（1）数学归纳法是用于证明某些与自然数有关的命题的一种方法。

（2）步骤：1）归纳奠基;

2）归纳递推。

2、作业讲评：（出示小黑板）

习题：用数学归纳法证明：2+4+6+8+……+2n=n(n+1)

如采用下面的证法，对吗？

证明：①当n=1时，左边=2=右边，则等式成立。

②假设n=k时，（k∈N，k≥1）等式成立，

即2+4+6+8+……+2k=k(k+1)

当n=k+1时，

2+4+6+8+……+2k+2(k+1)

∴ n=k+1时，等式成立。

由①②可知，对于任意自然数n，原等式都成立。

（1）学生思考讨论。

（2）师生总结：1）不正确

2）因为在证明n=k+1时，未用到归纳假设，直接用等差数列求和公式，违背了数学归纳法本质：递推性。

二、新知探究

明确了数学归纳法本质，我们共同讨论如何用数学归纳法证明不等式。

(出示小黑板)

例1 观察下面两个数列，从第几项起a n始终小于b n？证明你的结论。

｛a n=n2｝:1,4,9,16,25,36,49,64,81, ……

｛b n=2n｝:2,4,8,16,32,64,128,256,512,……

（1）学生观察思考

（2）师生分析

（3）解：从第5项起，a n＜ b n，即 n²＜2n,n∈N+（n≥5）

证明：（1）当 n=5时，有52＜25，命题成立。

即k2＜2k

当n=k+1时，因为

（k+1）2=k2+2k+1＜k2+2k+k=k2+3k＜k2+k2=2k2<2×2k=2k+1

所以，（k+1）2＜2k+1

即n=k+1时，命题成立。

由（1）（2）可知n²＜2n（n∈N+，n≥5）

学生思考、小组讨论：①放缩技巧：k2+2k+1＜k2+2k+k；k2+3k＜k2+k2

②归纳假设：2k2<2×2k

例2证明不等式│Sin nθ│≤n│Sinθ│(n∈N+)

分析：这是一个涉及正整数n的三角函数问题，又与绝对值有关，在证明递推关系时，应注意利用三角函数的性质及绝对值不等式。

证明：（1）当 n=1时，上式左边=│Sinθ│=右边，不等式成立。

（2）假设当n=k（k≥1）时命题成立，

即有│Sin kθ│≤k│Sinθ│

当n=k+1时，

│Sin （k +1）θ│=│Sin k θCos θ+Cos k θSin θ│ ≤│Sin k θCos θ│+│Cos k θSin θ│ =│Sin k θ││Cos θ│+│Cos k θ││Sin θ│ ≤│Sin k θ│+│Sin θ│ ≤k │Sin θ│+│Sin θ│ =（k +1）│Sin θ│

所以当n=k+1时，不等式也成立。

由（1）（2）可知，不等式对一切正整数n 均成立。

学生思考、小组讨论：①绝对值不等式: │a+b │≤ │a │+│b │

②三角函数的有界性：│Sin θ│≤1,│Cos θ│≤1 ③三角函数的两角和公式。

（板书）例3 证明贝努力（Bernoulli ）不等式:

如果x 是实数且x ＞-1，x ≠0,n 为大于1的自然数，那么有（1+x ）n

＞1+nx 分析：①贝努力不等式中涉几个字母？（两个：x,n ）

②哪个字母与自然数有关？ (n 是大于1的自然是数)

（板书）证：（1）当n=2时，左边=（1+x ）2

=1+2x+x 2

，右边=1+2x ，因x 2

＞0，则原不等式成立．

（在这里，一定要强调之所以左边＞右边，关键在于x 2

＞0是由已知条件x ≠0获得，为下面证明做铺垫）

（2）假设n=k 时（k ≥2），不等式成立，即（1+x ）k ＞1+kx ． 师：现在要证的目标是（1+x ）k+1

＞1+（k+1）x ，请同学考虑．

生：因为应用数学归纳法，在证明n=k+1命题成立时，一定要运用归纳假设，所以当

n=k+1时．应构造出归纳假设适应的条件．所以有：（1+x ）k+1=（1+x ）k

（1+x ），因为x ＞

-1（已知），所以1+x ＞0于是（1+x ）k

（1+x ）＞（1+kx ）（1+x ）．

师：现将命题转化成如何证明不等式 （1+kx ）（1+x ）≥1+（k+1）x ． 显然，上式中“=”不成立．

故只需证：（1+kx）（1+x）＞1+（k+1）x．

提问：证明不等式的基本方法有哪些？

生：证明不等式的基本方法有比较法、综合法、分析法．

（提问的目的是使学生明确在第二步证明中，合理运用归纳假设的同时，其本质是不等式证明，因此证明不等式的所有方法、技巧手段都适用）

生：证明不等式（1+kx）（1+x）＞1+（k+1）x，可采用作差比较法．

（1+kx）（1+x）-[1+（k+1）x]

=1+x+kx+kx2-1-kx-x

=kx2＞0（因x≠0，则x2＞0）．

所以，（1+kx）（1+x）＞1+（k+1）x．

生：也可采用综合法的放缩技巧．

（1+kx）（1+x）=1+kx+x+lx2=1+（k+1）x+kx2．

因为kx2＞0，所以1+（k+1）x+kx2＞1+（k+1）x，即（1+kx）（1+x）＞1+（1+k）x 成立．

生：……

（学生可能还有其他多种证明方法，这样培养了学生思维品质的广阔性，教师应及时引导总结）

师：这些方法，哪种更简便，更适合数学归纳法的书写格式？学生用放缩技巧证明显然更简便，利于书写．

（板书）将例3的格式完整规范．

证明：（1）当n=2时，由x≠0得（1+x）2=1+2x+x2＞1+2x,不等式成立。

（2）假设n=k（k≥2）时，不等式成立，

即有（1+x）k＞1+kx

当n=k+1时，

（1+x）k+1=（1+x）（1+x）k＞（1+x）（1+kx）

=1+x+kx+ k x2＞1+x+kx=1+（k+1）x

所以当n=k+1时，不等式成立