2012研究生数值分析课期末考试复习题及答案

一、填空

1. 设

2.3149541...x *

=，取5位有效数字，则所得的近似值x= 2.3150 .

2.设一阶差商

()()()21122114

,321f x f x f x x x x --=

=

=---，

()()()322332

615

,422f x f x f x x x x --=

=

=--

则二阶差商

()123,,______

f x x x =11/6

3. 设(2,3,1)T

X =--, 则2||||X = 14 ，=∞||||X 3 。p49

4. 4．求方程 2

1.250x x --= 的近似根，用迭代公式 1.25x x =+，取初始值

01

x =， 那么

1______x =。

1.5

5．解初始值问题 00

'(,)()y f x y y x y =⎧⎨

=⎩近似解的梯形公式是

1______k y +≈。

()()[]11,,2

++++k k k k k y x f y x f h y

6、

1151A ⎛⎫= ⎪

-⎝⎭，则A 的谱半径 ＝ 6 。

7、设

2()35, , 0,1,2,... ,

k f x x x kh k =+== ，则

[]12,,n n n f x x x ++=

——————

————3 和

[]123,,,n n n n f x x x x +++=

_______________0_____ 。

8、 若线性代数方程组AX=b 的系数矩阵A 为严格对角占优阵，则雅可比迭代和高斯-塞德尔迭代都 收敛 。

9、解常微分方程初值问题的欧拉（Euler ）方法的局部截断误差为_______O(h ）

___。

10、为了使计算

23123

101(1)(1)y x x x =+

+-

---的乘除法运算次数尽量的少,应将

表达式改写成____________⎪⎪⎭

⎫

⎝⎛⎪⎭⎫ ⎝⎛---+-+

=1321111110x x x y _____________。 二、计算题 1、已知

的

满足 ，试问如何利用 构造一个收

敛的简单迭代函数

，使

0，1…收敛？

由 ()x x ϕ=，可得 3()3x x x x ϕ-=-，1

(()3)()

2x x x x ϕψ=--= 1 ()(()3) 2x x ψψ=--’’因，故11

()1

22x x ψϕ=<<’’（）-3

[]11

()()3 , k=0,1,.... 2k k k k x x x x ψϕ+==--故收敛。

2、 试确定常数A ，B ，C 和 a ，使得数值积分公式

有尽可能高的代数精度。试问所得的数值积分公式代数精度是多少？它是否为Gauss 型的？

101612,,995A C B a ==

==±，该数值

求积公式具有5次代数精确度，它是Gauss 型的

3、 利用矩阵的LU 分解法解方程组 12312312

3

2314

252183520x x x x x x x x x ++=⎧⎪

++=⎨⎪++=⎩⎥⎥⎥

⎦

⎤⎢⎢⎢⎣⎡321 4、写出求解下列初始值问题⎩⎨

⎧=≤≤-=2

)1()

21(,38'y x y y 的欧拉迭代式，欧拉预-校迭代式及四阶龙格-库塔法迭代式。

5.设，假定 g是准确的，而对的测量有秒的误差，证明

当增加时的绝对误差增加，而相对误差却减少。

解：

6.在上给出的等距节点函数表，若用二次插值求的近似

值，要使截断误差不超过，问使用函数表的步长应取多少？

解：

7.已知单调连续函数的如下数据

用插值法计算约为多少时（小数点后至少保留4位）0.2008解：作辅助函数则问题转化为为多少时，此时可作新的关于的函数表。

由单调连续知也单调连续，因此可对的数值进行反插。的牛顿型插值多项式为

故

8.设函数在区间[0,3]上具有四阶连续导数,试用埃尔米特插值法求一个

次数不高于3的多项式，使其满足

，，,

并写出误差估计式。

解：由所给条件可用埃尔米特插值法确定多项式，

由题意可设为确定待定函数，作辅助函数：

则在[0,3]上存在四阶导数且在[0,3]上至少有5个零点

为二重零点），反复应用罗尔定理，知至少有一个零点使，从而得。

故误差估计式为

9、利用Remez算法，计算函数，在区间[0，1] 上的二次最佳一致逼近多项式（要求精度为0.0005）.

10、用最小二乘法求一个形如的经验公式，使它与下列数据拟合，并

计算均方误差。

解：

11、确定下列求积公式中的待定参数，使其代数精度尽量高，并指明所构造出的求积公式所具有的代数进度。

1）

2）

3）

4）

解：（1）三个参数，代入（2）三个参数，代入

12. 对线性代数方程组设法导出使雅可比（Jacobi）迭代法和高斯－赛德尔（G-S）迭代法均收敛的迭代格式，要求分别写出迭代格式，并说明收敛的理由。