探究运用等边三角形解题的方法(宝石)
宝石晶本的基本分类
八面体与四方双锥的区别： 八面体的8个三角形为全等的等边三角形，而四方双锥的8个三角形为全等的等腰三角形
四面体与三方单锥的区别： 四面体的4个三角形为全等的等边三角形，而三方单锥只有3个锥面，且3个三角形锥面为全等的等腰三角形，
利用网站资源找出钻石、绿柱石、电气石、石榴子石、尖晶石、黄玉的常见晶形
不同晶体有不同的晶形，宝石晶体的单形特征是鉴定宝石的依据之一
知识的应用
钻石常见晶形(立方体、八面体)
绿柱石常见晶形 (六方柱)
电气石常见晶形 复三方柱
石榴石常见晶形 四角三八面体
尖晶石常见晶形 八面体
黄玉常见晶形 斜方柱
小 结
单面 平行双面
高级晶族
等轴晶系
四面体 三角三四面体 四角四面体 五角四面体 六四面体
八面体 三角八面体 四角三八面体 五角八面体 六八面体
方体 四六面体 菱立形十二面体 五角十二面体 偏仿复十二面体
(透辉石、月光石)
低级晶度
单斜晶系
三斜晶系
斜方晶系
双面
斜方柱 斜方四面体 斜方单锥 斜方双锥
六方柱 六方单锥 六方双锥 复六方柱 复六方单锥 复六方双锥六方偏方面体
以三方晶系单形来分析
以三方晶系单形来分析
三方柱柱面为三个全等 的矩形
三方单锥锥面为三个全等的等腰三角形
三方双锥锥面为6个全等的等腰三角形
三方偏方面体(6个全等的四边形)
菱面体6个全等的菱形
复三方柱6个相等的矩形柱面，与六方柱的区别是横截面不是正六边形
双面
两个面以对称面或对称轴对称且相等
P
斜方晶系
斜方柱(3对平行双面，横截面为菱形)
斜方单锥(2对双面，横截面为菱形)
珠宝三角形切割基础画法
珠宝三角形切割基础画法珠宝三角形切割是一种常见且重要的技术，用于将宝石或珠宝原石切割成三角形形状，以获得最佳的光学效果和美观度。
本文将介绍珠宝三角形切割的基础画法，包括切割的步骤、工具和技巧。
一、步骤1. 准备工作：首先，需要准备好所需的珠宝原石或宝石。
确保原石具有足够的硬度和透明度，以便进行切割。
此外，还需要准备好切割工具，如切割机、切割盘、切割刀等。
2. 选择切割形状：根据珠宝的设计要求和原石的形状，选择合适的三角形切割形状，如等边三角形、锐角三角形或钝角三角形等。
3. 标记切割点：在原石的表面上，用铅笔或其他标记物标记出切割点。
这些切割点将决定切割线的位置和角度。
4. 切割线的确定：根据切割点，使用直尺或其他工具在原石表面上绘制出切割线。
确保切割线的精准和对称，以获得最佳的切割效果。
5. 切割操作：使用切割机或切割盘，按照切割线的方向和角度，将原石进行切割。
在切割过程中，需要注意保持手的稳定，以避免切割偏差或损坏原石。
6. 精修和抛光：在完成切割后，使用细砂纸或抛光机对切割面进行精细修整和抛光。
这将使切割面更加光滑和亮丽，提升珠宝的光彩和质感。
二、工具1. 切割机：切割机是进行珠宝三角形切割的主要工具之一。
它通常由一个旋转的切割盘和一个固定的切割刀组成，可以实现精确的切割操作。
2. 切割盘：切割盘是切割机上的一个旋转部件，用于固定和旋转原石。
它通常由金属或陶瓷材料制成，具有较高的耐磨性和稳定性。
3. 切割刀：切割刀是切割机上的一个切割工具，用于将原石进行切割。
它通常由金属制成，具有锋利的切割边缘，以确保切割的精确和平滑。
4. 直尺和标记工具：直尺和标记工具用于在原石表面上绘制切割线和标记切割点。
它们通常由金属或塑料制成，具有较高的精度和耐用性。
三、技巧1. 熟悉原石：在进行三角形切割之前，需要对原石的性质和结构进行充分了解。
不同的原石可能具有不同的硬度、折射率和颜色，需要根据其特点进行相应的切割操作。
等边三角形的中心的辅助线
等边三角形的中心的辅助线
（原创版）
目录
1.等边三角形的概述
2.等边三角形中心的辅助线的定义和性质
3.等边三角形中心的辅助线的应用
4.结论
正文
一、等边三角形的概述
等边三角形是指三边长度相等的三角形，每个内角都为 60 度。
由于其特殊的构造，等边三角形具有很多独特的性质和应用。
二、等边三角形中心的辅助线的定义和性质
等边三角形中心的辅助线是指从等边三角形的一个顶点出发，通过中心点（三角形重心）画出的线段。
它具有以下性质：
1.等边三角形中心的辅助线与三角形的边垂直且平分边。
2.等边三角形中心的辅助线的长度等于边长的一半。
3.等边三角形中心的辅助线相交于同一点，该点为三角形的重心。
三、等边三角形中心的辅助线的应用
等边三角形中心的辅助线在解决一些与等边三角形相关的几何问题时非常有用，例如：
1.计算等边三角形的面积：通过求辅助线与边的交点，可以将等边三角形分割成两个等腰直角三角形，从而计算出面积。
2.求等边三角形的高：通过辅助线，可以将等边三角形的高问题转化
为求直角三角形的高，从而简化计算。
3.判断等边三角形的性质：通过辅助线，可以判断等边三角形是否具有某些特殊性质，如是否为正三角形等。
等边三角形试题解题技巧
点击等边三角形试题解题技巧在中考数学中，以等边三角形为载体的试题屡见不鲜。
这类试题灵活多样，趣味性强。
下面就等边三角形试题常用解题方法作一总结，希望能给同学们以启迪。
1、以等边三角形为载体进行尺规作图例1如图1所示，ABC △是等边三角形，D 点是AC 的中点，延长BC 到E ，使CE CD =， （1）用尺规作图的方法，过D 点作DM BE ⊥，垂足是M （不写作法，保留作图痕迹）；（2）求证：BM EM =．分析：这里同学们用到如下两个重要知识点：①经过直线外一点作已知直线的垂线。
②等腰三角形的三线合一的性质。
解：（1）作图如图2所示，（2）因为ΔABC 是等边三角形，D 是AC 的中点，所以BD 平分∠ABC （三线合一），所以∠ABC=2∠DBE 。
因为CE=CD ，所以∠CED=∠CDE 。
因为∠ACB 是三角形CDE 的一个外角，所以∠ACB=∠CED+∠CDE 。
所以∠ACB=2∠CED 。
因为三角形ABC 是等边三角形，所以∠ABC=∠ACB ，所以2∠DBE=2∠CED ，即∠DBE=∠CED ，所以BD=ED 。
因为DM ⊥BE ， 所以BM=EM 。
2、以等边三角形为载体构作新等边三角形例2如图3所示，在边长为4的正三角形ABC 中，AD ⊥BC 于点D ，以AD 为一边向右作正三角形ADE 。
（1）求ΔABC 的面积S ；（2）判断AC 、DE 的位置关系，并给出证明。
分析：要想求三角形ABC 的面积，只要求得AD 的长即可。
根据三角形的内角和定理或等腰三角形的三线合一可以证明AC 与DE 是互相垂直的。
解：（1）因为三角形ABC 等边三角形，且AD ⊥BC ，所以BC=AB=4，BD=DC=21BC=2。
在直角三角形ABD 中，根据勾股定理，得： AD==-=-222224BD AB 23。
所以343242121=⨯⨯=⨯⨯=AD BC S 。
（2）AC 、DE 的位置关系是：AC ⊥DE 。
正方形内接等边三角形面积的最大值
正方形内接等边三角形面积的最大值在数学这个世界里，时不时有些问题能让我们觉得既有趣又让人抓狂。
比如今天咱们聊的这个问题：正方形内接等边三角形的面积最大值。
听起来挺复杂，是吧？但仔细想想，这道题就像是生活中的那些小谜题，解开了就能大大地提升你的满足感！先不急着皱眉，我们慢慢捋一捋，肯定能搞定。
咱们得从正方形说起。
这个名字就像是“好吃的糖”一样简简单单。
正方形，顾名思义，四条边长一样，四个角都是90度。
说实话，这个形状已经够让人安心了，稳稳当当的，仿佛就是数学世界里的“铁饭碗”。
然后我们再来看那个“内接”二字，意思是，等边三角形的三个顶点刚好触及正方形的三条边，也就是说，三角形“抱住”了正方形，围得紧紧的。
你可以想象成正方形是个大框子，三角形是个小玩意儿，恰好卡在框子里，这样的排列方式在几何世界里可不常见哦。
就是这个“等边三角形”了。
听名字就知道了，三条边一样长，角度也一样大，三角形的每一边都像三位兄弟一样亲密无间。
它不像那种随便一边长一边短的三角形，等边三角形就是要炫耀自己的完美与对称。
要是把它放在正方形里，问题就来了。
咱们要想办法，让这个三角形占据的面积最大，哎，这可不容易啊，既要考虑正方形的大小，又得让三角形的“姿势”恰到好处。
但大家别紧张，解决这个问题的关键就在于如何安置三角形。
想一想，如果我们把等边三角形的一个顶点放在正方形的一条边的中点上，另外两个顶点分别接触正方形的其他两条边，这样正方形就能最大化地利用空间。
也就是说，三角形的每一边都能够伸展到正方形的边缘，既不浪费空间，也能最大化面积。
哦，等一下，你可能在想，这样安排，三角形的面积是不是最大了呢？没错！这其实就是解决这个问题的最佳方案。
为什么这么说呢？因为我们让三角形“站位”最合适，三角形的面积也因此最大化了。
说白了，就是通过精妙的布局，咱们做到了“事半功倍”。
如果你把等边三角形放得太小，或者角度不对，那它的面积就会被压缩。
可是，我们通过这个“中点”策略，正好能让三角形展现它的最大潜力，站得稳，立得住，面积也最大。
八年级上册数学第二章特殊三角形
八年级上册数学第二章特殊三角形示例文章篇一：《特殊三角形：八年级上册数学第二章的奇妙之旅》嘿，你知道吗？在我们八年级上册的数学里，有一个超级有趣的章节，那就是第二章特殊三角形。
这可不像我们平常看到的那些普普通通的三角形哦。
特殊三角形就像是三角形家族里的明星。
先来说说等腰三角形吧。
等腰三角形呀，就像一个对称的小房子，它有两条边是一样长的，这两条边就像是房子的两个支柱，稳稳地支撑着。
我和我的同桌就经常讨论等腰三角形呢。
我对同桌说：“你看等腰三角形，这两条相等的边多神奇呀，就像双胞胎一样。
”同桌就会回答我：“是呀，而且等腰三角形的两个底角也是相等的呢。
这就好比是双胞胎不仅长得像，连性格都有相似之处。
”有一次做数学题，题目里有一个等腰三角形，只告诉了我们顶角的度数，要我们求底角的度数。
我一开始有点懵，这可怎么求呀？我就抓耳挠腮的。
这时候，前面的学霸转过来看到我的样子，笑着说：“这还不简单嘛。
等腰三角形的两个底角相等，三角形的内角和是180度，用180度减去顶角的度数，再除以2就得到底角的度数啦。
”我听了之后，恍然大悟，就像在黑暗中突然看到了亮光一样。
我赶紧按照学霸说的方法去做，果然得出了正确的答案。
我兴奋地对同桌说：“原来等腰三角形的这个性质这么好用啊，就像一把万能钥匙，可以打开这类型题目的锁。
”再说说等边三角形吧。
等边三角形可就更厉害了，它就像一个完美的小金字塔。
等边三角形的三条边都相等，三个角也都相等，每个角都是60度呢。
这就好像是三个一模一样的小伙伴，手拉手围成了一个圈。
有一回老师在黑板上画了一个等边三角形，问我们：“这个等边三角形的角是不是都一样呀？”我们都齐声回答：“是。
”老师又问：“那这个等边三角形和等腰三角形有什么关系呢？”我马上举手说：“老师，等边三角形是特殊的等腰三角形，因为它不仅两条边相等，是三条边都相等呢。
”老师笑着点头说：“非常正确。
”这时候我可高兴了，感觉自己像个小数学家一样。
等腰三角形跟等边三角形的集合关系
等腰三角形跟等边三角形的集合关系示例文章篇一：哎呀，你知道吗？说起等腰三角形和等边三角形，这可有意思啦！先来说说等腰三角形吧。
它呀，就像是一个有“特殊待遇”的三角形。
为啥这么说呢？因为它有两条边长度相等，就好像是两个好伙伴手拉手，紧紧靠在一起。
那等边三角形呢？哇塞，它可更厉害了！三条边全都一样长，简直就是三角形中的“三胞胎兄弟”，谁也不比谁特殊，整整齐齐的！那它们之间到底有啥集合关系呢？嘿嘿，这就好比一个大家庭里的成员关系。
等腰三角形可以说是这个大家庭中的一员，而等边三角形呢，那就是这个家庭里备受瞩目的明星成员！你想想看，等边三角形不就是一种特殊的等腰三角形吗？因为等边三角形的三条边都相等，那肯定满足两条边相等这个条件呀，所以它自然就是等腰三角形中的“佼佼者”。
可反过来，等腰三角形却不一定是等边三角形哟！比如说，一个三角形两条边是5 厘米，另一条边是3 厘米，这是等腰三角形，但可不是等边三角形，对吧？这就好像在班级里，成绩优秀的同学是学生中的一部分，但是学生可不都是成绩优秀的呀！所以说呀，等边三角形是等腰三角形这个集合里的一部分，而且是特别优秀、特别突出的那一部分。
我的观点就是：等边三角形属于等腰三角形这个大家庭，但等腰三角形可不都是等边三角形，它们之间是包含和被包含的关系。
怎么样，你明白了不？示例文章篇二：哎呀，同学们，你们知道吗？今天老师给我们讲了等腰三角形和等边三角形，可把我给绕晕啦！先来说说等腰三角形吧，它就像是一个有两个“好兄弟”一样长的边，还有一个“特立独行”的边。
比如说，我画一个三角形，两条边都是5 厘米，另外一条边是3 厘米，这就是等腰三角形啦！那等边三角形呢？它可就更特别啦，就好像是三个“铁哥们”，长度全都一模一样！比如说三条边都是4 厘米，这多整齐呀！那它们之间到底有啥关系呢？这就好像是一个大家庭里的亲戚关系一样。
等边三角形是不是可以看作是等腰三角形里最特殊的那种呀？毕竟等边三角形的三条边都相等，那它不就满足等腰三角形至少两条边相等的条件嘛！再想想，如果等腰三角形的那两条相等的边再变得和第三条边一样长，那不就变成等边三角形了吗？这难道不像一个小孩子慢慢长大，变得越来越优秀，最后成为了大家都称赞的榜样吗？我就问你们，这样想是不是一下子就清楚多啦？反正我是觉得，搞清楚它们的关系可太重要啦！这能让我们在数学的世界里走得更稳，学得更好！所以呀，我们一定要好好记住它们的特点和关系，这样在做题的时候就能轻松应对啦！示例文章篇三：《三角形的奇妙世界：等腰与等边的关系》嘿，同学们！今天我想和你们聊聊三角形里那有趣的等腰三角形和等边三角形。
宝石花开教学设计
那我们怎么写？repeat 4 [Fd 100 rt 90]
6、固定格式：
repeat重复次数[所重复的命令]
1、观察问题表。
2、答：前两步重复了四遍。
3、答：其实可以4乘以重复的步骤。
4、观察重复命令的固定格式。
阐明本课要解决的问题。
学科整合，鼓励学生自己得出重复命令的本意。
教
学
活
动
任
务
与
目
标
教
学
活
动
任
务
与
目
标
活
动
分
析
活
动
内
容
本课要利用重复命令画出正多边形和其他简单图形，绘画之前，要初步观察图形，并分析图形中隐藏的潜在规律，合作解决问题，并找出画图步骤，设计绘图命令，从常规命令中找出规律，引出重复命令的格式，并熟练掌握。
1、观察分析图形，找出规律，用重复命令画出正多边形。
活
动
组
织
自主
学习
随机进入，引导学生在同伴互助合作基础上进行个人探究。
协作
学习
以问题（任务）驱动方式，在完成本活动中，引导学生在自主探究的基础上，进行合作探究和“诤友”方式互评的学习任务。
教具
准备
教学图形、框架问题表
课前准备
教学
环境
PCLogo语言软件4.0
资源
课件、素材库
情境创设
情境
类型
真实、虚拟
教学
（3）、观察以下图形，找找规律。（可以求助现场观众）
（4）把在设计命令时遇到困难的案例出示给学生，激励同学之间互助学习。
（5）、你能用正多边形自己设计一副美丽的图形吗？
模型构建专题：全等三角形中的常见七种解题模型全攻略(解析版)
模型构建专题：全等三角形中的常见七种解题模型【考点导航】目录【典型例题】【模型一平移型模型】【模型二轴对称型模型】【模型三四边形中构造全等三角形解题】【模型四一线三等角模型】【模型五三垂直模型】【模型六旋转型模型】【模型七倍长中线模型】【典型例题】【模型一平移型模型】1(2023秋·江苏淮安·八年级淮安市浦东实验中学校考开学考试)如图，点E，C在线段BF上，AB∥DE，AB=DE，BE=CF．(1)求证：△ABC≌△DEF；(2)若∠B=40°，∠D=70°，求∠ACF的度数．【答案】(1)见解析(2)110°【分析】(1)首先根据，AB∥DE可得∠B=∠DEF，再根据BE=CF，可得出BC=EF，即可判定△ABC≌△DEF；(2)首先根据(1)中两三角形全等，可得∠A=∠D=70°，在△ABC中根据外角的性质即可求出∠ACF．【详解】(1)证明：∵AB∥DE，∴∠B=∠DEF∵BE=CF，∴BE+EC=CF+EC，即BC=EF，∴在△ABC和△DEF中，AB=DE∠B=∠DEFBC=EF，∴△ABC≌△DEF．(2)∵△ABC≌△DEF，∠B=40°，∠D=70°，∴∠A=∠D=70°，∵∠ACF是△ABC的外角，∴∠ACF=∠A+∠B=110°．【点睛】此题主要考查平行线的性质，三角形全等的判定和性质，熟练运用性质定理，即可解题．【变式训练】1(2023秋·浙江·八年级专题练习)如图，在△ACD和△CBE中，点A、B、C在一条直线上，∠D=∠E，AD⎳EC，AD=EC．求证：△ACD≌△CBE．【答案】见解析【分析】根据平行线的性质得出∠A=∠ECB，再根据全等三角形的判定定理ASA证明△ACD≌△CBE．【详解】∵AD⎳EC，∴∠A=∠ECB，在△ACD和△CBE中，∠A=∠ECB AD=EC∠D=∠E，∴△ACD≌△CBE(ASA)．【点睛】本题考查了全等三角形的判定定理和平行线的性质，能熟记全等三角形的判定定理是解此题的关键．2(2023秋·浙江·八年级专题练习)如图，已知△ABC≌△DEF，点B，E，C，F在同一条直线上．(1)若∠BED=140°，∠D=75°，求∠ACB的度数；(2)若BE=2，EC=3，求BF的长．【答案】(1)65°(2)7【分析】(1)由三角形外角性质，得∠F=∠BED-∠D=65°，由三角形全等知∠ACB=∠F=65°；(2)由条件可推出BC=BE+EC=5，由三角形全等知BC=EF=5，故BF=BE+EF=7．【详解】(1)解：∵∠BED=140°，∠D=75°，∴∠F=∠BED-∠D=65°．∵△ABC≌△DEF，∴∠ACB=∠F=65°；(2)解：∵BE=2，EC=3，∴BC=BE+EC=5∵△ABC≌△DEF，∴BC=EF=5，∴BF=BE+EF=2+5=7．故答案为：7．【点睛】本题考查三角形外角的性质，全等三角形的性质，由全等三角形得出角之间，线段之间的相等关系是解题的关键．3(2023春·山西太原·八年级统考期中)综合与实践--探索图形平移中的数学问题问题情境：如图1，已知△ABC是等边三角形，AB=6，点D是AC边的中点，以AD为边，在△ABC外部作等边三角形ADE．操作探究：将△ADE从图1的位置开始，沿射线AC方向平移，点A，D，E的对应点分别为点A ，D ，E ．(1)如图2，善思小组的同学画出了BA =BD 时的情形，求此时△ADE平移的距离；(2)如图3，点F是BC的中点，在△ADE平移过程中，连接E F 交射线AC于点O，敏学小组的同学发现OE =OF始终成立！请你证明这一结论；拓展延伸：(3)请从A，B两题中任选一题作答，我选择题.A.在△ADE平移的过程中，直接写出以F，A ，D 为顶点的三角形成为直角三角形时，△ADE平移的距离．B．在△ADE平移的过程中，直接写出以F，D ，E 为顶点的三角形成为直角三角形时，△ADE平移的距离．【答案】(1)32；(2)见解析；拓展延伸：A：32或92；B：6或12【分析】(1)连接BD，由△ABC是等边三角形，AB=6，点D是AC边的中点，得AD=3=CD，BD⊥AC，根据平移可得A D =AD=3，即可得A D=DD =12A D =32，故△ADE平移的距离DD为32；(2)证明△A OE ≌△COF AAS，即可得OE =OF；(3)选A：分两种情况：当∠A D F=90°时，可得DD =CD-CD =32，故△ADE平移的距离是3 2；当∠FA D =90°时，可得AA =AC -A C =92，从而△ADE 平移的距离是92；选B ：分两种情况：当A 与C 重合时，可得∠FD E =∠A D F +∠A D E =90°，即以F ，D ，E 为顶点的三角形成为直角三角形，此时DD =6，即△ADE 平移的距离是6；当∠D E F =90°时，可得DD =CD +CO +A O +A D =12，故△ADE 平移的距离是12．【详解】(1)解：连接BD ，如图：∵△ABC 是等边三角形，AB =6，点D 是AC 边的中点，∴AD =3=CD ，BD ⊥AC ，∵将△ADE 从图1的位置开始，沿射线AC 方向平移，点A ，D ，E 的对应点分别为点A ，D ，E ，∴A D =AD =3，∵A B =BD ，BD ⊥AC ，∴A D =DD =12A D =32，△ADE 平移的距离DD 为32；(2)证明：如图：∵△ADE 是等边三角形，AD =3，∴∠DAE =60°，AE =3，∵将△ADE 从图1的位置开始，沿射线AC 方向平移，点A ，D ，E 的对应点分别为点A ，D ，E ，∴∠D A E =∠DAE =60°，A E =3，∵△ABC 是等边三角形，AB =6，点F 是BC 边的中点，∴∠ACB =60°，CF =12BC =3，∴∠D A E =∠ACB =60°，A E =CF =3，∵∠A OE =∠COF ，∴△A OE ≌△COF AAS ，∴OE =OF ；(3)解：选择A (或B )题：选A ：当∠A D F =90°时，如图：∴∠CD F =90°，∵∠C =60°，∴∠D FC =30°，∴CD =12CF =32，∴DD =CD -CD =3-32=32；∴△ADE 平移的距离是32；当∠FA D =90°时，如图：同理可得A C =32，∴AA =AC -A C =6-32=92；△ADE 平移的距离是92；综上所述，以F ，A ，D 为顶点的三角形成为直角三角形时，△ADE 平移的距离是32或92；选B ：当A 与C 重合时，如图：∵△A D E 是等边三角形，∴∠E A D =∠A D E =∠E =60°，∵A F =A D =3，∴∠A FD =∠A D F =30°，∴∠FD E =∠A D F +∠A D E =90°，即以F ，D ，E 为顶点的三角形成为直角三角形，此时DD =CD +A D =3+3=6，△ADE 平移的距离是6；当∠D E F =90°时，如图：∵∠A E D =60°=∠E A D ，∴∠A E O =∠D E F -∠A E D =30°，∴∠A OE =∠D A E -∠A E O =30°，∴∠A E O =∠A OE ，∴A O =A E =3，由2 知△A OE ≌△COF ，∴CO =A O =3，∴DD =CD +CO +A O +A D =3+3+3+3=12，△ADE 平移的距离是12；综上所述，以F ，D ，E 为顶点的三角形成为直角三角形时，△ADE 平移的距离是6或12．【点睛】本题考查几何变换综合应用，涉及等边三角形的性质及应用，全等三角形的判定与性质，平移变换等知识，解题的关键是分类讨论思想的应用．【模型二轴对称型模型】1(2023秋·内蒙古呼伦贝尔·八年级校考期中)如图，AB =AD ，BC =DC ，求证：∠B =∠D．【答案】见解析【分析】根据SSS 证明△ABC ≌△ADC ，得出∠B =∠D 即可．【详解】证明：∵在△ABC 和△ADC 中AB =ADAC =AC BC =DC，∴△ABC ≌△ADC SSS ，∴∠B =∠D ．【点睛】本题主要考查了三角形全等的判定和性质，解题的关键是熟练掌握三角形全等的判定方法，证明△ABC ≌△ADC ．【变式训练】1(2023春·四川成都·七年级成都嘉祥外国语学校校考期中)如图，在中，，是的中点，，且，求证：．【答案】见解析【分析】由等腰三角形的性质得，，再证，得，即可得出结论．【详解】解：证明：连接，，是的中点，，，，，，即，在与中，，，，，即．【点睛】本题考查了全等三角形的判定与性质以及等腰三角形的性质等知识，熟练掌握等腰三角形的性质，证明三角形全等是解题的关键．2(2023秋·河南南阳·八年级统考期末)如图，点E、F是线段上的两个点，与交于点M．已知，，．(1)求证：；(2)若．求证：是等边三角形．【答案】(1)证明见解析(2)证明见解析【分析】(1)证明即可．(2)根据得到，根据有一个角是的等腰三角形是等边三角形证明．【详解】(1)证明：∵，∴，∴，∵，∴，∴．(2)∵，∴，∴，∵，∴是等边三角形．【点睛】本题考查了三角形全等的判断和性质，等边三角形的判定，熟练掌握三角形全等的判断和性质，等边三角形的判定是解题的关键．3(2023春·湖南益阳·八年级校考期中)两组邻边分别相等的四边形我们称它为筝形．如图，在筝形中，，，、相交于点，求证：(1)；(2)．【答案】(1)见解析；(2)见解析．【分析】(1)分别利用证即可；(2)由得，利用等腰三角形的性质即可得．【详解】(1)证明：在和中，，∴()．(2)证明：由(1)得，∴，∵，【点睛】此题考查全等三角形的判定与性质以及等腰三角形的性质，解题关键在于掌握全等三角形的判定定理．【模型三四边形中构造全等三角形解题】1(2023春·江苏淮安·七年级校考阶段练习)已知：如图，AC =BC ，AD =BD ，E 、F 分别是AC 和BC 的中点．求证：DE =DF．【答案】证明见解析．【分析】由三边对应相等的两个三角形是全等三角形可证△ADC ≌△BDC ，再根据全等三角形的性质可由两边对应相等以及它们的夹角相等的两个三角形全等可证△CDE ≌△CDF ，即可得出结论．【详解】证明：连接CD在△ADC 与△BDC 中，AC =BCCD =CDAD =BD∴△ADC ≌△BDC SSS ，∴∠ACD =∠BCD ，∵AC =BC ，且E 、F 分别是AC 和BC 的中点，∴CE =12AC ,CF =12BC ，即CE =CF ，在△CDE 与△CDF 中，CE =CF∠ECD =∠FCD CD =CD，∴△CDE ≌△CDF SAS∴DE =DF ．【点睛】本题考查了全等三角形的性质与判定，灵活根据条件选择恰当的判定方法，证明两个三角形全等是解题的关键．【变式训练】1(2023春·广西玉林·八年级统考期末)如图，在四边形中，，，我们把这种两组邻边分别相等的四边形叫做筝形．根据学习平行四边形性质的经验，小文对筝形的性质进行了探究．(1)小文通过观察、实验、猜想、证明得到筝形角的性质是“筝形有一组对角相等”．请你帮他将证明过程补充完整．已知：如图，在筝形中，，．求证：．证明：(2)小文连接筝形的两条对角线，探究得到筝形对角线的性质是．(写出一条即可)【答案】(1)，见解析(2)(或垂直平分线段)【分析】(1)，连接，证明，即可得结论；(2)根据全等三角形的性质即可得筝形的两条对角线互相垂直．【详解】(1)解：证明：连接，在和中，，，；(2)证明：如图，连接，交于点，由(1)知，，在与中，，，，，，两条对角线互相垂直．【点睛】本题考查了三角形全等的判定与性质，熟记三角形全等的判定方法是解题的关键．2如图，在四边形ABCD中，CB⊥AB于点B，CD⊥AD于点D，点E，F分别在AB，AD上，AE =AF，CE=CF．(1)若AE=8，CD=6，求四边形AECF的面积；(2)猜想∠DAB，∠ECF，∠DFC三者之间的数量关系，并证明你的猜想．【答案】(1)48(2)∠DAB+∠ECF=2∠DFC，证明见解析【解析】【分析】(1)连接AC，证明△ACE≌△ACF，则S△ACE=S△ACF，根据三角形面积公式求得S△ACF与S△ACE，根据S四=S△ACF+S△ACE求解即可；边形AECF(2)由△ACE≌△ACF可得∠FCA=∠ECA，∠FAC=∠EAC，∠AFC=∠AEC，根据垂直关系，以及三角形的外角性质可得∠DFC +∠BEC =∠FCA +∠FAC +∠ECA +∠EAC =∠DAB +∠ECF ．可得∠DAB +∠ECF =2∠DFC(1)解：连接AC ，如图，在△ACE 和△ACF 中AE =AFCE =CFAC =AC∴△ACE ≌△ACF (SSS )．∴S △ACE =S △ACF ，∠FAC =∠EAC ．∵CB ⊥AB ，CD ⊥AD ，∴CD =CB =6．∴S △ACF =S △ACE =12AE ·CB =12×8×6=24．∴S 四边形AECF =S △ACF +S △ACE =24+24=48．(2)∠DAB +∠ECF =2∠DFC证明：∵△ACE ≌△ACF ，∴∠FCA =∠ECA ，∠FAC =∠EAC ，∠AFC =∠AEC ．∵∠DFC 与∠AFC 互补，∠BEC 与∠AEC 互补，∴∠DFC =∠BEC ．∵∠DFC =∠FCA +∠FAC ，∠BEC =∠ECA +∠EAC ，∴∠DFC +∠BEC =∠FCA +∠FAC +∠ECA +∠EAC=∠DAB +∠ECF ．∴∠DAB +∠ECF =2∠DFC【点睛】本题考查了三角形全等的性质与判定，三角形的外角的性质，掌握三角形全等的性质与判定是解题的关键．3在四边形ABDC 中，AC =AB ，DC =DB ，∠CAB =60°，∠CDB =120°，E 是AC 上一点，F 是AB 延长线上一点，且CE =BF ．(1)试说明：DE =DF ：(2)在图中，若G 在AB 上且∠EDG =60°，试猜想CE ，EG ，BG 之间的数量关系并证明所归纳结论．(3)若题中条件“∠CAB =60°，∠CDB =120°改为∠CAB =α，∠CDB =180°-α，G 在AB 上，∠EDG 满足什么条件时，(2)中结论仍然成立？【答案】(1)见解析；(2)CE +BG =EG，理由见解析；(3)当∠EDG =90°-12α时，(2)中结论仍然成立．【解析】【分析】(1)首先判断出∠C =∠DBF ，然后根据全等三角形判定的方法，判断出ΔCDE ≅ΔBDF ，即可判断出DE =DF ．(2)猜想CE 、EG 、BG 之间的数量关系为：CE +BG =EG ．首先根据全等三角形判定的方法，判断出ΔABD ≅ΔACD ，即可判断出∠BDA =∠CDA =60°；然后根据∠EDG =60°，可得∠CDE =∠ADG ，∠ADE =∠BDG ，再根据∠CDE =∠BDF ，判断出∠EDG =∠FDG ，据此推得ΔDEG ≅ΔDFG ，所以EG =FG ，最后根据CE =BF ，判断出CE +BG =EG 即可．(3)根据(2)的证明过程，要使CE +BG =EG 仍然成立，则∠EDG =∠BDA =∠CDA =12∠CDB ，即∠EDG =12(180°-α)=90°-12α，据此解答即可．(1)证明：∵∠CAB +∠C +∠CDB +∠ABD =360°，∠CAB =60°，∠CDB =120°，∴∠C +∠ABD =360°-60°-120°=180°，又∵∠DBF +∠ABD =180°，∴∠C=∠DBF ，在ΔCDE 和ΔBDF 中，CD =BD∠C =∠DBFCE =BF∴ΔCDE ≅ΔBDF (SAS )，∴DE =DF ．(2)解：如图，连接AD ，猜想CE 、EG 、BG 之间的数量关系为：CE +BG =EG ．证明：在ΔABD 和ΔACD 中，AB =ACBD =CD AD =AD，∴ΔABD ≅ΔACD (SSS )，∴∠BDA =∠CDA =12∠CDB =12×120°=60°，又∵∠EDG =60°，∴∠CDE =∠ADG ，∠ADE =∠BDG ，由(1)，可得ΔCDE ≅ΔBDF ，∴∠CDE =∠BDF ，∴∠BDG +∠BDF =60°，即∠FDG =60°，∴∠EDG =∠FDG ，在ΔDEG 和ΔDFG 中，DE =DF∠EDG =∠FDGDG =DG∴ΔDEG ≅ΔDFG (SAS )，∴EG =FG ，又∵CE =BF ，FG =BF +BG ，∴CE +BG =EG ；(3)解：要使CE +BG =EG 仍然成立，则∠EDG =∠BDA =∠CDA =12∠CDB ，即∠EDG =12(180°-α)=90°-12α，∴当∠EDG =90°-12α时，CE +BG =EG 仍然成立．【点睛】本题综合考查了全等三角形的性质和判定，此题是一道综合性比较强的题目，有一定的难度，能根据题意推出规律是解此题的关键．【模型四一线三等角模型】1(2023春·广西南宁·七年级南宁市天桃实验学校校考期末)(1)问题发现：如图1，射线AE 在∠MAN 的内部，点B 、C 分别在∠MAN 的边AM 、AN 上，且AB =AC ，若∠BAC =∠BFE =∠CDE =90°，求证：△ABF ≌△CAD ；(2)类比探究：如图2，AB =AC ，且∠BAC =∠BFE =∠CDE ．(1)中的结论是否仍然成立，请说明理由；(3)拓展延伸：如图3，在△ABC 中，AB =AC ，AB >BC ．点E 在BC 边上，CE =2BE ，点D 、F 在线段AE 上，∠BAC =∠BFE =∠CDE ．若△ABC 的面积为15，DE =2AD ，求△BEF 与△CDE 的面积之比．【答案】(1)证明见详解；(2)成立，证明见详解；(3)1:4【分析】(1)根据∠BAC =∠BFE =∠CDE =90°即可得到∠BAF +∠CAF =90°，∠DCA +∠CAF =90°，从而得到∠BAF =∠DCA ，即可得到证明；(2)根据∠BAC =∠BFE =∠CDE 得到∠BAF +∠CAF =∠DCA +∠CAF ，即可得到∠BAF =∠DCA ，即可得到证明；(3)根据△ABC 的面积为15，CE =2BE ，即可得到S △ABE =5，S △AEC =10，结合DE =2AD 可得S △ADC =103，S △EDC =203，根据AB =AC ，∠BAC =∠BFE =∠CDE 得到△ABF ≌△CAD ，即可得到S △BEF ，即可得到答案；【详解】(1)证明：∵∠BAC =∠BFE =∠CDE =90°，∴∠BFA =∠CDA =90°，∠BAF +∠CAF =90°，∠DCA +∠CAF =90°，∴∠BAF =∠DCA ，在△ABF 与△CAD 中，∵∠BFA =∠CDA∠BAF =∠DCA AB =AC，∴△ABF ≌△CAD (AAS )；(2)解：成立，理由如下，∵∠BAC =∠BFE =∠CDE ，∴∠BAF +∠CAF =∠DCA +∠CAF ，∠BFA =∠CDA ，∴∠BAF =∠DCA ，在△ABF 与△CAD 中，∵∠BFA =∠CDA∠BAF =∠DCA AB =AC，∴△ABF ≌△CAD (AAS )；(3)解：∵△ABC 的面积为15，CE =2BE ，∴S △ABE =5，S △AEC =10，∵DE =2AD ，∴S △ADC =103，S △EDC =203，∵∠BAC =∠BFE =∠CDE ，∴∠BAF +∠CAF =∠DCA +∠CAF ，∠BFA =∠CDA ，∴∠BAF =∠DCA ，在△ABF 与△CAD 中，∵∠BFA =∠CDA∠BAF =∠DCA AB =AC，∴△ABF ≌△CAD (AAS )∴S △BEF =5-103=53，∴S △BEF :S △CDE =53:203=1:4；【点睛】本题考查三角形全等的判定与性质及同高不同底三角形的面积，解题的关键是根据内外角关系得到三角形全等的条件．【变式训练】1已知CD 是经过∠BCA 顶点C 的一条直线，CA =CB ．E 、F 分别是直线CD 上两点，且∠BEC =∠CFA =∠α．(1)若直线CD 经过∠BCA 的内部，且E 、F 在射线CD 上，请解决下面问题：①如图1，若∠BCA =90°，∠α=90°，求证：BE =CF ；②如图2，若∠α+∠BCA =180°，探索三条线段EF ，BE ，AF 的数量关系，并证明你的结论；(2)如图3，若直线CD 经过∠BCA 的外部，∠α=∠BCA ，题(1)②中的结论是否仍然成立？若成立，请给予证明；若不成立，请你写出正确的结论再给予证明．【答案】(1)①见解析；②EF =BE -AF ，见解析(2)不成立，EF =BE +AF ，见解析【分析】(1)①利用垂直及互余的关系得到∠ACF =∠CBE ，证明△BCE ≌△CAF 即可；②利用三等角模型及互补证明∠ACF =∠CBE ，得到△BCE ≌△CAF 即可；(2)利用互补的性质得到∠EBC =∠ACF ，证明△BCE ≌△CAF 即可．【详解】(1)①证明：∵EE ⊥CD ，AF ⊥CD ，∠ACB =90°，∴∠BEC =∠AFC =90°，∴∠BCE +∠ACF =90°，∠CBE +∠BCE =90°，∴∠ACF =∠CBE ，在△BCE 和△CAF 中，∠EBC =∠FCA∠BEC =∠CFA BC =CA，∴△BCE ≌△CAF AAS ，∴BE =CF ；②解：EF =BE -AF ．证明：∵∠BEC =∠CFA =∠α，∠α+∠ACB =180°，∴∠CBE =180°-∠BCE -∠α，∠ACF =∠ACB -∠BCE =180°-∠α-∠BCE ，∴∠ACF =∠CBE ，在△BCE 和△CAF 中，∠EBC =∠FCA∠BEC =∠CFA BC =CA，∴△BCE ≌△CAF AAS ，∴BE =CF ，CE =AF ，∴EF =CF -CE =BE -AF ；(2)解：EF =BE +AF ．理由：∵∠BEC =∠CFA =∠α，∠α=∠BCA ，又∵∠EBC =∠BCE =∠BEC =180°，∠BCE +∠ACF +∠ACB =180°，∴∠EBC +∠BCE =∠BCE +∠ACF ，∴∠EBC =∠ACF ，在△BCE 和△CAF 中，∠EBC =∠FCA∠BEC =∠CFA BC =CA，∴△BCE ≌△CAF AAS ，∴AF =CE ，BE =CF ，∵EF =CE +CF ，∴EF =BE +AF ．【点睛】本题主要考查三角形全等的判定及性质，能够熟练运用三等角模型快速证明三角形全等是解题关键．2(2023春·上海·七年级专题练习)在直线m 上依次取互不重合的三个点D ,A ,E ，在直线m 上方有AB =AC ，且满足∠BDA =∠AEC =∠BAC =α．(1)如图1，当α=90°时，猜想线段DE ,BD ,CE 之间的数量关系是；(2)如图2，当0<α<180°时，问题(1)中结论是否仍然成立？如成立，请你给出证明；若不成立，请说明理由；(3)应用：如图3，在△ABC 中，∠BAC 是钝角，AB =AC ，∠BAD <∠CAE ,∠BDA =∠AEC =∠BAC ，直线m 与CB 的延长线交于点F ，若BC =3FB ，△ABC 的面积是12，求△FBD 与△ACE 的面积之和．【答案】(1)DE =BD +CE(2)DE =BD +CE 仍然成立，理由见解析(3)△FBD 与△ACE 的面积之和为4【分析】(1)由∠BDA =∠BAC =∠AEC =90°得到∠BAD +∠EAC =∠BAD +∠DBA =90°，进而得到∠DBA =∠EAC ，然后结合AB =AC 得证△DBA ≌△EAC ，最后得到DE =BD +CE ；(2)由∠BDA =∠BAC =∠AEC =α得到∠BAD +∠EAC =∠BAD +∠DBA =180°-α，进而得到∠DBA =∠EAC ，然后结合AB =AC 得证△DBA ≌△EAC ，最后得到DE =BD +CE ；(3)由∠BAD >∠CAE ，∠BDA =∠AEC =∠BAC ，得出∠CAE =∠ABD ，由AAS 证得△ADB ≌△CAE ，得出S △ABD =S △CEA ，再由不同底等高的两个三角形的面积之比等于底的比，得出S △ABF 即可得出结果．【详解】(1)解：DE =BD +CE ，理由如下，∵∠BDA =∠BAC =∠AEC =90°，∴∠BAD +∠EAC =∠BAD +∠DBA =90°，∴∠DBA =∠EAC ，∵AB =AC ，∴△DBA ≌△EAC (AAS )，∴AD =CE ，BD =AE ，∴DE =AD +AE =BD +CE ，故答案为：DE =BD +CE ．(2)DE =BD +CE 仍然成立，理由如下，∵∠BDA =∠BAC =∠AEC =α，∴∠BAD +∠EAC =∠BAD +∠DBA =180°-α，∴∠DBA =∠EAC ，∵AB =AC ，∴△DBA ≌△EAC (AAS )，∴BD =AE ，AD =CE ，∴DE =AD +AE =BD +CE ；(3)解：∵∠BAD <∠CAE ，∠BDA =∠AEC =∠BAC ，∴∠CAE =∠ABD ，在△ABD 和△CAE 中，∠ABD =∠CAE∠BDA =∠CEA AB =AC，∴△ABD ≌△CAE (AAS )，∴S △ABD =S △CAE ，设△ABC 的底边BC 上的高为h ，则△ABF 的底边BF 上的高为h ，∴S △ABC =12BC •h =12，S △ABF =12BF •h ，∵BC =3BF ，∴S △ABF =4，∵S △ABF =S △BDF +S △ABD =S △FBD +S △ACE =4，∴△FBD 与△ACE 的面积之和为4．【点睛】本题考查了全等三角形的判定与性质、直角三角形的性质，三角形的面积，解题的关键是熟练掌握全等三角形的判定与性质．【模型五三垂直模型】1(2023春·辽宁本溪·七年级统考期末)已知∠ACB =90°，AC =BC ，AD ⊥NM ，BE ⊥NM ，垂足分别为点D ，E．(1)如图①，求证：AD =BE +DE(2)如图②，(1)中的结论还成立吗？如果不成立，请写出线段AD ，BE ，DE 之间的数量关系，并说明理由．【答案】(1)见解析(2)(1)中的结论不成立．结论：DE =AD +BE ，理由见解析【分析】(1)证明△ADC ≌△CEB AAS ，推出CD =BE ，AD =CE ，再利用线段间的代换即得结论；(2)证明△ADC ≌△CEB AAS ，推出CD =BE ，AD =CE ，利用线段间的代换即可得到结论，进而作出判断．【详解】(1)证明：∵AD ⊥NM ，BE ⊥NM ，∴∠ADC =∠CEB =90°，∴∠CAD +∠ACD =90°∵∠ACB =90°，∴∠BCE +∠ACD =90°，∴∠CAD =∠BCE ，在△ADC 和△CEB 中∠ADC =∠CEB∠CAD =∠BCEAC =BC∴△ADC ≌△CEB AAS ，∴CD =BE ，AD =CE ，∴CE =CD +DE =BE +DE ，∴AD =BE +DE ；(2)(1)中的结论不成立．结论：DE =AD +BE ；理由如下：∵AD ⊥NM ，BE ⊥NM ，∴∠ADC =∠CEB =90°∵∠ACB =90°，∴∠BCE +∠ACD =90°，∴∠CAD =∠BCE在△ADC 和△CEB 中∠ADC =∠CEB∠CAD =∠BCE AC =BC，∴△ADC ≌△CEB AAS ，∴CD =BE ，AD =CE，∵DE=CD+CE，∴DE=AD+BE．【点睛】本题考查了全等三角形的判定和性质，属于常考题型，证明三角形全等是解题的关键．【变式训练】1(2023春·甘肃酒泉·八年级校联考期末)在△ABC中，∠ACB=90°，AC=BC，直线MN经过点C，且AD⊥MN于D，BE⊥MN于E.(1)当直线MN绕点C旋转到图1的位置时，求证：①△ADC≌△CEB；②DE=AD+BE；(2)当直线MN绕点C旋转到图2的位置时，求证：DE=AD-BE；【答案】(1)①见解析，②见解析(2)见解析【分析】(1)①由已知推出∠ADC=∠BEC=90°，∠DAC+∠ACD=90°推出∠DAC=∠BCE，根据角角边即可推出．②由①得到AD=CE,CD=BE，即可求出答案．(2)与(1)类似证出△ADC≌△CEB，得到AD=CE,CD=BE代入已知即可知道答案．【详解】(1)①证明：∵AD⊥DE，BE⊥DE，∴∠ADC=∠BEC=90°，∵∠ACB=90°，∴∠ACD+∠BCE=90°，∠DAC+∠ACD=90°，∴∠DAC=∠BCE，在△ADC和△CEB中，∠CDA=∠BEC ∠DAC=∠ECB AC=BC，∴△ADC≌△CEB AAS．②证明：由(1)知：△ADC≌△CEB，∴AD=CE，CD=BE，∵DC+CE=DE，∴AD+BE=DE．(2)证明：∵BE⊥EC，AD⊥CE，∴∠ADC=∠BEC=90°，∴∠EBC+∠ECB=90°，∵∠ACB=90°，∴∠ECB+∠ACE=90°，∴∠ACD=∠EBC，AC=BC∴△ADC≌△CEB AAS，∴AD=CE，CD=BE，∴DE=EC-CD=AD-BE．【点睛】本题考查了全等三角形的性质和判定，等根据已知条件证出符合全等的条件是解题的关键．2如图，已知：在△ABC中，∠ACB=90°，AC=BC，直线MN经过点C，AD⊥MN，BE⊥MN．(1)当直线MN绕点C旋转到图(1)的位置时，求证：△ADC≅△CEB；(2)当直线MN绕点C旋转到图(2)的位置时，求证：DE=AD-BE；(3)当直线MN绕点C旋转到图(3)的位置时，试问DE、AD、BE具有怎样的等量关系？请直接写出这个等量关系：．【答案】(1)见解析；(2)见解析；(3)DE=BE-AD【分析】(1)由已知推出∠ADC=∠BEC=90°，因为∠ACD+∠BCE=90°，∠DAC+∠ACD=90°，推出∠DAC=∠BCE，根据AAS即可得到答案；(2)结论：DE=AD-BE．与(1)证法类似可证出∠ACD=∠EBC，能推出△ADC≌△CEB，得到AD= CE，CD=BE，即可得到答案．(3)结论：DE=BE-AD．证明方法类似．【详解】解：(1)证明：如图1，∵AD⊥DE，BE⊥DE，∴∠ADC=∠BEC=90°，∵∠ACB=90°，∴∠ACD+∠BCE=90°，∠DAC+∠ACD=90°，∴∠DAC=∠BCE，在△ADC和△CEB中，∠CDA=∠BEC∠DAC=∠ECBAC=BC，∴△ADC≌△CEB(AAS)；(2)如图2，∵BE⊥EC，AD⊥CE，∴∠ADC=∠BEC=90°，∴∠EBC+∠ECB=90°，∵∠ACB=90°，∴∠ECB+∠ACE=90°，∴∠ACD=∠EBC，AC =BC∴△ADC ≌△CEB (AAS )，∴AD =CE ，CD =BE ，∴DE =EC -CD =AD -BE ．(3)DE =BE -AD ；如图3，∵∠ACB =90°，∴∠ACD +∠BCE =90°∵AD ⊥MN ，BE ⊥MN ，∴∠ADC =∠CEB =90°，∴∠ACD +∠DAC =90°，∴∠DAC =∠ECB ，在△ACD 和△CBE 中，∠ADC =∠CEB∠DAC =∠ECB AC =BC，∴△ACD ≌△CBE (AAS )，∴AD =CE ，CD =BE ，∴DE =CD -CE =BE -AD ．【点睛】本题主要考查了余角的性质，全等三角形的性质和判定等知识点，能根据已知证明△ACD ≌△CBE 是解此题的关键，题型较好，综合性比较强．【模型六旋转型模型】1在Rt △ABC 中，∠ACB =90°，CA =CB ，点D 是直线AB 上的一点，连接CD ，将线段CD 绕点C 逆时针旋转90°，得到线段CE ，连接EB ．(1)操作发现如图1，当点D 在线段AB 上时，请你直接写出AB 与BE 的位置关系为；线段BD 、AB 、EB 的数量关系为；(2)猜想论证当点D 在直线AB 上运动时，如图2，是点D 在射线AB 上，如图3，是点D 在射线BA 上，请你写出这两种情况下，线段BD 、AB 、EB 的数量关系，并对图2的结论进行证明；(3)拓展延伸若AB =5，BD =7，请你直接写出△ADE 的面积．【答案】(1)AB⊥BE，AB=BD+BE；(2)图2中BE=AB+BD，图3中，BD=AB+BE，证明见解析；(3)72或2【分析】(1)首先通过SAS证明△ACD≌△BCE，然后利用全等三角形的性质和等量代换即可得出答案；(2)仿照(1)中证明△ACD≌△BCE，然后利用全等三角形的性质即可得出结论；•AD•EB即可求解．(3)首先求出BE的长度，然后利用S△AED=12【详解】解：(1)如图1中，∵∠ACB=∠DCE=90°，∴∠ACD=∠BCE，∵CA=CB，CD=CE，∴△ACD≌△BCE(SAS)，∴AD=BE，∠CBE=∠A，∵CA=CB，∠ACB=90°，∴∠A=∠CBA=45°，∴∠CBE=∠A=45°，∴ABE=90°，∴AB⊥BE，∵AB=AD+BD，AD=BE，∴AB=BD+BE，故答案为AB⊥BE，AB=BD+BE．(2)①如图2中，结论：BE=AB+BD．理由：∵∠ACB=∠DCE=90°，∴∠ACD=∠BCE，∵CA=CB，CD=CE，∴△ACD≌△BCE(SAS)，∴AD=BE，∵AD=AB+BD，AD=BE，∴BE=AB+BD．②如图3中，结论：BD=AB+BE．理由：∵∠ACB =∠DCE =90°，∴∠ACD =∠BCE ，∵CA =CB ，CD =CE ，∴△ACD ≌△BCE (SAS )∴AD =BE ，∵BD =AB +AD ，AD =BE ，∴BD =AB +BE ．(3)如图2中，∵AB =5，BD =7，∴BE =AD =5+7=12，∵BE ⊥AD ，∴S △AED =12•AD •EB =12×12×12=72．如图3中，∵AB =5，BD =7，∴BE =AD =BD -AB =7-5=2，∵BE ⊥AD ，∴S △AED =12•AD •EB =12×2×2=2．【点睛】本题主要考查全等三角形，掌握全等三角形的判定及性质并分情况讨论是关键．【变式训练】2(2023秋·湖南长沙·八年级长沙市湘郡培粹实验中学校考开学考试)【问题初探】△ABC 和△DBE 是两个都含有45°角的大小不同的直角三角板(1)当两个三角板如图(1)所示的位置摆放时，D 、B ，C 在同一直线上，连接AD 、CE ，请证明：AD =CE【类比探究】(2)当三角板ABC 保持不动时，将三角板DBE 绕点B 顺时针旋转到如图(2)所示的位置，判断AD 与CE 的数量关系和位置关系，并说明理由．【拓展延伸】如图(3)，在四边形ABCD 中，∠BAD =90°,AB =AD ,BC =34CD ，连接AC ，BD ，∠ACD =45°，A 到直线CD 的距离为7，请求出△BCD 的面积．【答案】(1)见解析；(2)AD =CE ，AD ⊥CE ；(3)24【分析】(1)由等腰直角三角形的性质判断出△DBA ≅△EBC 即可得出结论；(2)先证明△DBA ≅△EBC 得到AD =CE ，∠ADB =∠CEB ，再延长AD 与CE 交于点O ，证明∠ODE +∠OED =90°即可得到AD ⊥CE ；(3)过A 作AC ⊥AM 交CD 延长线于M ，可证得△ABC ≅△ADM ，可得BC =DM ，再由CM =14求出BC 和CD 的长即可．【详解】(1)∵△ABC 和△DBE 是两个都含有45°角的大小不同的直角三角板，∴∠DBE=∠ABC=90°，AB=BC，BD=BE，∴△DBA≅△EBC SAS，∴AD=CE；(2)AD=CE，AD⊥CE，理由如下：∵∠DBE=∠ABC=90°，∴∠DBA=∠BCE=90°-∠DBC，∵AB=BC，BD=BE，∴△DBA≅△EBC SAS，∴AD=CE，∠ADB=∠CEB，延长AD与CE交于点O，∵∠BDE+∠BED=90°，∴∠BDE+∠BEC+∠CED=90°，∴∠BDE+∠ADB+∠CED=90°，∴∠ODE+∠OED=90°，∴∠O=90°，∴AD⊥CE；(3)过A作AC⊥AM交CD延长线于M，过A作AN⊥CD交CD于N，∵∠ACD=45°，∴∠ACD=∠M=45°，∴AC=AM，∵∠BAD=90°,AB=AD∴∠BAC=∠DAM=90°-∠DAC，∴△ABC≅△ADM SAS，∴BC=DM，∠ACB=∠M=45°，∴∠ACD=∠ACB+∠ACD=90°，∵A到直线CD的距离为7，∴AN=7，∵AC=AM，∴CM=2AN=14，∵BC=34CD，CM=BC+DM=BC+CD，∴BC=6，CD=8，∴S△BCD=12BC⋅CD=12×6×8=24．【点睛】此题是几何变换综合题，主要考查了等腰直角三角形的性质，全等三角形的判定和性质，垂直的判断方法，解本题的关键是判断出△DBA≅△EBC SAS，是一道难度不大的中考常考题．3(2023·全国·九年级专题练习)阅读以下材料，并按要求完成相应的任务：从正方形的一个顶点引出夹角为45°的两条射线，并连接它们与该顶点的两对边的交点构成的基本平面几何模型称为半角模型．半角模型可证出多个几何结论，例如：如图1，在正方形ABCD中，以A为顶点的∠EAF=45°，AE、AF与BC、CD边分别交于E、F两点．易证得EF=BE+FD．大致证明思路：如图2，将△ADF绕点A顺时针旋转90°，得到△ABH，由∠HBE=180°可得H、B、E三点共线，∠HAE=∠EAF=45°，进而可证明△AEH≌△AEF，故EF=BE+DF．任务：如图3，在四边形ABCD中，AB=AD，∠B=∠D=90°，∠BAD=120°，以A为顶点的∠EAF=60°，AE、AF与BC、CD边分别交于E、F两点．请参照阅读材料中的解题方法，你认为结论EF=BE+ DF是否依然成立，若成立，请写出证明过程；若不成立，请说明理由．【答案】成立，见解析【分析】根据旋转的性质得到△ABM≌△ADF，∠ABM=∠D=90°，∠MAB=∠FAD，AM=AF，MB =DF，推出M、B、E三点共线，根据全等三角形的性质即可得到结论．【详解】解：成立．证明：将△ADF绕点A顺时针旋转120°得到△ABM，∴△ABM≌△ADF，∠ABM=∠D=90°，∠MAB=∠FAD，AM=AF，MB=DF，∴∠MBE=∠ABM+∠ABE=180°，∴M、B、E三点共线，∴∠MAE=∠MAB+∠BAE=∠FAD+∠BAE=∠BAD-∠EAF=60°，∴∠MAE=∠FAE，∵AE=AE，AM=AF，∴△MAE≌△FAE(SAS)，∴ME=EF，∴EF=ME=MB+BE=DF+BE．【点睛】本题考查了旋转的性质，全等三角形的判定和性质，正确地作出辅助线是解题的关键．4(2023·山西大同·校联考模拟预测)综合与实践课上，李老师让同学们以“等腰直角三角形的旋转”为主题开展数学活动．数学兴趣小组将两块大小不同的等腰直角三角形AOB和等腰直角三角形COD按图1的方式摆放，∠AOB=∠COD=90°，随后保持△AOB不动，将△COD绕点O按逆时针方向旋转α0°<α<90°，连接BC,AD，延长BC交AD于点M．该数学兴趣小组进行如下探究，请你帮忙解答：,【初步探究】(1)如图1，直接写出线段BC和AD的关系：．(2)如图2，当CD∥BO时，则α=．【深入探究】(3)如图3，当0°<α<90°时，连接OM，兴趣小组认为不仅(1)中的结论仍然成立，而且在△COD旋转过程中,∠CMO的度数不发生变化，请给出推理过程并求出∠CMO的度数．【拓展延伸】(4)如图3，试探究线段AM,BM,OM，之间是否存在某种特定的数量关系，若存在，直接写出数量关系式；若不存在，请说明理由．【答案】(1)BC=AD,BC⊥AD；(2)45°；(3)见解析，45°；(4)存在，BM=AM+2OM【分析】(1)由条件根据三角形全等判定定理SAS得△BOC≌△AOD，可证；(2)利用平行的性质．两线平行，内错角相等，结合条件易得α=45°；(3)类比上面思路，通过构建三角形全等△BON≌△AOM推出ON=OM，进而易得∠COM=45°，(4)根据(3)的结论，推导出△NOM是等腰直角三角形，然后根据等腰直角三角形的性质，化简即可得到答案．【详解】(1)由题意得，AO=BO，OC=OD，∠AOB=∠COD=90°，∴△BOC≌△AOD SAS，∴BC=AD，∠CBO=∠DAO，在Rt△AOD中，∠DOA+∠ADO=90°，∴∠CBO+∠ADO=90°，∴∠BMD=90°，即BC⊥AD，故答案为：BC=AD,BC⊥AD.(2)∵∠OCD=∠ODC=45°，CD∥BO，∴∠COB=∠OCD=45°，又∠AOB=90°，∴∠AOC=∠AOB-∠BOC=45°,即α=45°，故答案为：45°.(3)如图，过O点作NO⊥OM，交MB于N点，由(1)易知△BOC≌△AOD SAS，∴∠CBO=∠DAO，∵∠BON+∠NOA=∠NOA+∠AOM，∴∠BON=∠AOM，又AO=BO，易得△BON≌△AOM ASA，∴ON=OM，又∵NO⊥OM，∴∠BMO=45°，即∠CMO=45°；(4)存在，BM=AM+2OM，理由如下：由(3)可知，△BON≌△AOM(ASA)，∴BN=AM，∵△NOM是等腰直角三角形，OM=ON∴MN=ON2+OM2=2OM，∴BM=BN+MN=AM+2OM．【点睛】本题考查了旋转的性质、三角形全等的判定和性质，等腰直角三角形的性质，解题的关键是作出相应的辅助线以及确定全等三角形．【模型七倍长中线模型】1(2023春·全国·七年级专题练习)[阅读理解]课外兴趣小组活动时，老师提出了如下问题：如图1，在ΔABC中，若AB=8，AC=6，求BC边上的中线AD的取值范围．小明在组内经过合作交流，得到了如下的解决方法：如图2，延长AD到点E，使DE=AD，连结BE，请根据小明的方法思考：(1)由已知和作图能得到△ADC≌△EDB，其理由是什么？(2)AD的取值范围是什么？[感悟]解题时，条件中出现“中点”“中线”等字样，可以考虑延长中线构造全等三角形，把分散的已知条件和结论转化到一个三角形中．[问题解决](3)如图3，AD是ΔABC的中线，BE交AC于点F，且AE=EF，试说明AC=BF．【答案】(1)见解析(2)1<AD<7(3)见解析【分析】(1)根据AD=DE，∠ADC=∠BDE，BD=DC推出ΔADC和ΔEDB全等即可；(2)根据全等得出BE=AC=6，AE=2AD，由三角形三边关系定理得出8-6<2AD<8+6，求出即。
证明三个角都相等的三角形是等边三角形
证明三个角都相等的三角形是等边三角形示例文章篇一：哎呀呀，今天让我来给你讲讲为啥三个角都相等的三角形就是等边三角形！咱们先来说说三角形的角吧。
你看，如果一个三角形的三个角都相等，那会怎么样呢？这就好比我们分糖果，要是三个人得到的糖果数量都一样，那每个人分到的不就都很平均嘛。
三角形的角也是这个道理呀！比如说，有一个三角形，它的三个角分别是∠A、∠B、∠C，而且∠A = ∠B = ∠C。
那我们假设∠A = 60°，那∠B 和∠C 不也都是60°吗？现在咱们来想想三角形的内角和是多少？对啦，是180°！那如果三个角都相等，每个角不就是180°÷3 = 60°嘛。
这就好像三根一样长的小木棍拼成了一个三角形的三条边。
如果角都一样大，那这三条边能不一样长吗？肯定不能呀！再打个比方，三角形就像一个三条腿的凳子，如果三个角一样大，就好像三条腿长度一样，那凳子才能稳稳当当的呀，要是有一条腿长一条腿短，凳子不就歪了嘛！咱们班的数学老师也给我们讲过这个，当时我还不太懂呢，就问老师：“老师，为啥三个角相等就是等边三角形呀？”老师笑着说：“你想想呀，角决定了边的倾斜程度，如果角都一样，边能不一样长吗？”我听了恍然大悟！我还和同桌讨论过，我说：“你说这三个角相等的三角形要是边不一样长，那得多奇怪呀！”同桌也点头说：“就是就是，那肯定不符合常理！”所以呀，通过这些思考和讨论，我就明白了，只要一个三角形的三个角都相等，那它肯定就是等边三角形！这是毫无疑问的，因为角的相等决定了边的相等，这样的三角形才是完美对称的，才是等边三角形呀！示例文章篇二：《神奇的三角形探索之旅》嘿，同学们！今天我要和你们一起探索一个超级有趣的数学问题：为什么三个角都相等的三角形是等边三角形呢？咱们先来说说三角形，三角形可是个神奇的家伙！它有三条边和三个角。
想象一下，如果有一个三角形，它的三个角都一样大，那会怎么样呢？比如说，咱们先假设这个三角形的三个角都是60 度。
怎么依据120°角补形构造等边三角形
一、概述在数学中，三角形是最基本的几何形状之一。
而等边三角形更是具有独特美感和重要性的三角形之一。
如何构造一个等边三角形一直以来都是数学中的一个重要问题。
在本文中，我们将重点讨论如何依据120°角补形构造等边三角形，通过详细的解释和步骤，帮助读者理解这一问题。
二、120°角的性质为了便于理解120°角的性质，我们首先来了解一下120°角。
120°角是一个$6\pi/3$角。
从几何学的角度来说，它是一个锐角，但在三角函数中，120°是一个第二象限的角，sin值为$\sqrt 3/2$，cos值为$-1/2$ 。
在等边三角形中，所有的角都是60°，即π/3，所以在这个问题中，我们需要寻找一种方法，将120°角转化成60°的角，以构造等边三角形。
三、构造步骤下面，我们来介绍依据120°角补形构造等边三角形的具体步骤：1. 画出一个任意正三角形ABC，即三条边相等。
2. 做出正三角形的中点D、E、F，连接D和F。
3. 设AD和DC为r，BD、BE、DC三条边都为r/2。
4. 作BE的垂线，然后延长到F处。
5. 连接AF。
6. 通过以上步骤，我们就得到了一个等边三角形。
四、构造过程的证明上述构造步骤看似简单，但其背后的数学原理和证明却相对复杂。
下面，我们来解释一下构造过程的证明：1. 由于正三角形ABC的三条边相等，所以角ABC=60°，角ACB=60°，角BAC=60°。
2. 通过正三角形的性质可得，AE=BE=CE，即三角形ABE、BEC、AEC都是等边三角形。
3. 因为AE=BE=CE，所以角AEB=60°，角BEC=60°，角AEC=60°。
4. 由于CDFE是平行四边形，所以角DCE=angle CED=120°。
5. 由于AAF是平行又等腰三角形，所以角AFA=60°，角AAF=60°。
25等边三角形模型
25等边三角形模型1、选择一个等边三角形，其中任意两个相邻的边长相等，且三个内角均为60度。
2、将该等边三角形每条边的中点连接起来，得到一个新的等边三角形。
3、将新得到的等边三角形的每条边的中点连接起来，再次得到一个新的等边三角形，以此类推。
这种模型在数学中有着重要的应用价值，例如在几何学、代数学和拓扑学等领域。
通过观察和探究这种模型，人们可以深入理解等边三角形的性质和特点，进一步探索几何学中的一些基本概念和定理。
此外，“25等边三角形模型”还可以通过计算机编程来实现，利用计算机程序来自动生成一系列的三角形，并对每个三角形的属性进行测量和计算。
这种模型还可以被应用于解决实际问题，例如在计算机图形学中生成一系列的三角形网格来描述曲面，或者在物理学中模拟一些复杂的物理现象。
总之，“25等边三角形模型”是一种具有重要应用价值的几何模型，它不仅可以帮助人们深入理解等边三角形的性质和特点，还可以被应用于解决实际问题。
25等边三角形模型1、选择一个等边三角形，其中任意两个相邻的边长相等，且三个内角均为60度。
2、将该等边三角形每条边的中点连接起来，得到一个新的等边三角形。
3、将新得到的等边三角形的每条边的中点连接起来，再次得到一个新的等边三角形，以此类推。
这种模型在数学中有着重要的应用价值，例如在几何学、代数学和拓扑学等领域。
通过观察和探究这种模型，人们可以深入理解等边三角形的性质和特点，进一步探索几何学中的一些基本概念和定理。
此外，“25等边三角形模型”还可以通过计算机编程来实现，利用计算机程序来自动生成一系列的三角形，并对每个三角形的属性进行测量和计算。
这种模型还可以被应用于解决实际问题，例如在计算机图形学中生成一系列的三角形网格来描述曲面，或者在物理学中模拟一些复杂的物理现象。
总之，“25等边三角形模型”是一种具有重要应用价值的几何模型，它不仅可以帮助人们深入理解等边三角形的性质和特点，还可以被应用于解决实际问题。
初中等边三角形模型总结—全面2023.5
初中等边三角形模型总结—全面2023.5初中等边三角形模型总结—全面完整版2023.5.23一、引言等边三角形是初中数学中的一个重要概念，通过构建三维模型可以帮助学生更好地理解和运用这一概念。
本文总结了初中等边三角形模型的相关内容，旨在提供一份全面完整的参考。
二、模型构建步骤1. 准备材料：需要一个底座和三条等长的边材料。
2. 搭建底座：使用底座支撑整个模型，确保稳定。
3. 排放边材料：将三条边材料按等边三角形的形状平行排放在底座上。
4. 固定边材料：使用胶水、胶带或其他固定材料将边材料固定在底座上。
三、模型展示1. 展示等边三角形棱镜模型：将模型放置在平坦的表面上，确保模型的稳定性。
2. 观察模型的特征：注意模型的三边均相等，三个内角均为60度的特点。
3. 进一步讨论：通过观察模型，引导学生思考等边三角形的性质和特点。
四、模型的教学应用1. 视觉辅助教学：通过观察模型，帮助学生直观地理解等边三角形的概念和性质。
2. 解题辅助工具：将模型应用于解决等边三角形相关的题目，提升学生解题的能力。
3. 激发学生兴趣：模型的制作以及与数学概念的结合可以激发学生对数学的兴趣，提高研究效果。
五、模型的优缺点评价1. 优点：模型制作简单、直观，能够有效帮助学生理解和记忆等边三角形的性质。
2. 缺点：模型的制作过程可能需要某些特殊材料或工具，并且可能会有一定的耗时。
六、总结通过构建等边三角形模型，学生可以更加深入地理解等边三角形的性质和特点，提高数学研究的效果。
然而，模型的制作过程需要一定的准备和时间，教师需要根据实际情况进行决策。
用“等边三角形”解题
用“等边三角形”解题
赵光朋
【期刊名称】《数理天地：初中版》
【年(卷),期】2011(000)011
【摘要】1．求三角形的边长例1 如图1，P是等边△ABC内的一点，PA=2，PB=2∫3，PC＋4，求△ABC的边长。
【总页数】2页(P8-9)
【作者】赵光朋
【作者单位】江苏省睢宁县双沟中学,221212
【正文语种】中文
【中图分类】G633.63
【相关文献】
1.构造等边三角形解题
2.构造等边三角形解题
3.构造等边三角形解题四例
4.一图一课渐次展开,变式拓展教深学透
——以等边三角形为背景的习题课教学为例5.找准新知生长点,让学生学会研究——以"等边三角形"(第2课时)的教学为例
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解等边三角形的几种模型
解等边三角形的几种模型
目标
本文档旨在讨论解等边三角形的几种模型。
介绍
等边三角形是一种特殊的三角形，其三条边长度相等。
解等边
三角形的模型可以帮助我们更好地理解和分析这种特殊三角形的性质。
模型一：平面几何模型
在平面几何中，我们可以使用尺规作图的方法来解等边三角形。
通过规定一个边长为a，我们可以使用尺子和直尺来构造等边三角形。
具体的作图方法可以参考相关的几何教材。
模型二：向量模型
在向量模型中，我们可以使用向量的概念来解等边三角形。
假
设等边三角形的一条边代表一个单位向量，那么其他两条边可以通
过旋转和缩放来表示。
通过计算向量的和或差，我们可以得到等边
三角形的其他边向量。
模型三：三角函数模型
在三角函数模型中，我们可以利用三角函数的概念求解等边三角形。
例如，我们知道等边三角形的内角度数都是60度，因此我们可以通过正弦、余弦或正切函数来计算各边的长度。
结论
解等边三角形的几种模型可以帮助我们更好地理解这种特殊的三角形，并利用其性质进行分析和计算。
每种模型都有其特点和适用范围，具体使用哪种模型可以根据具体情况来决定。
以上是对解等边三角形的几种模型的简要介绍。
希望本文可以为读者提供一些有用的信息和思路。
参考文献
[1] 相关的几何教材。
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探究运用等边三角形解题的方法
初二（11）班王炳轩再有些几何题里，往往只给出了一个等腰三角形和几个角的度数，就要求求出一个毫不相干的角的度数，让很多同学没有思路，殊不知，如果添加适当的辅助线，构造出一个等边三角形就能将问题迎刃而解，下面让我们来通过一道例题探究一下吧！
例题. 如图，△ABC中，AC=BC，∠C=20°，M在线段AC上，N在BC 上，且∠BAN=50°，∠ABM=60°。
求：∠NMB度数？
证明:作∠NBD=60°，交AC于D，连接DN。
∵∠C=20°，AC=BC
∴∠BAC=∠ABC=80°
∵∠NBD=60°
∴∠ABD=20°
∵∠BAC=80°
∴∠BAD=∠BAC=80°
∴AB=DB
∵∠BAN=50°，∠ABC=80°
∴∠ABN=∠BAN=50°
∴AB=BN
∵∠BAC=80°，∠ABM=60°
∴∠BMD=180°-80°-60°=40°
∴∠BMD=∠DBM=40°
∴DM=DB=DN
∵∠CDN=180°-∠ADB-∠BDN=40°
∴∠DMN=70°
∵∠BMD=40°
∴∠NMB=30°
思考过程
这道题给出了一个等腰三角形，同时也给出了三个角度。
再看看题目的问题：求∠NMB，我想到了要通过大角减小角（∠DMN-∠NMB）的方式来求出∠NMB的度数。
再观察△ABN，通过见到的计算就能得出他是一个等腰三角形，AB=BN，并且还能求出∠MBN=20°。
这样一来我就发现，只要以BN为一边构造一个交AC的等边三角形，就能将
一组宝贵的相等线段AB=DN倒到AC上去，还能与∠NMB建立关系，是怎么回事呢?
且听我一一道来：作∠NBD=60°，交AC于D，连接DN。
这时可以求出∠ABD=20°，得到△ABD是等腰三角形，又可以证出△BDN是等边三角形，还可以得到∠DBM。
这时再观察与∠NMB有关的△BMD，它的一条边是BD，很快我们就能发现△BMD也是一个等腰三角形。
而那对等边就和BD有关，是DM=BD。
以为BD边在等边三角形△BDN中，所以MD又和DN相等，△MDN又是一个等腰三角形。
这时候，就可以用文章开头提到的“大角减小角”（∠DMN-∠NMB）的方法来求角了，大角（∠DMN）等于70°，小角（∠NMB）等于40°，两个角一相减，就轻松得出了∠NMB。
总结
这道题是一道典型的利用等边三角形连接相等线段并求角的题目，从题目的条件中我们已经能得到很多角度，这时就需要我们仔细观察这些角度将已知和问题联系起来，再构造出辅助线。
这是我们就会发现这条辅助线和另一条边只要再添一条线就能组成一个等边三角形。
所谓的构造等边三角形不是一下子就构造出两条边，而是构造出一条边后再根据需要添加一条边。
像这样的例题还有很多，在下一篇文章«再探究运用等边三角形集解题的方法»中，我们还会研究更多的例题。