高等数学第八章第四讲多元函数求导法则
多元复合函数的求导法则
解: 如左图，有 z z x , z z x z dy s x s t x t y dt
z
xy
st t
注：在应用链法则时，有时会出现复合函数的某些 中间变量本身又是复合函数的自变量的情况，这时要
注意防止记号的混淆.
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如, z f (x, y), y (x,t)
d(uv) vdu u d v
d(u v) du d v
d
u v
v
d
u v2
u
d
v
用链法则求复合函数偏导数时，首先要分清自变量
和中间变量. 有了一阶全微分形式不变性， 可以不再 考虑这种区别，使计算变得方便。
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例 8. 求 z (x2 y2 )xy 的全微分和偏导数. 解: 设 u (x2 y2 ) v xy 则 z uv
x
dx
t
dt
x
dx
z
dz
f y
t
z
f z
dz
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例10. 已知 解: 由条件 又因为 所以
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求 两边求微分, 得
解: 解法一，dz z dx z dy
代入
dt x dt y dt
(2xy 3y4)et (x2 12xy3)cost
(2et sin t 3sin4 t)et (e2t 12et sin3 t)cost 解法二， 先代入，变成一元函数的求导. 因为 z e2t sin t 3et sin4 t， 所以
多元多重复合函数的求导法则
多元多重复合函数的求导法则多元多重复合函数是多元函数中重要的一类函数，常用来描述多元关系，其中常用求导法则如下： 1. 链式法则：链式法则是求导最基本的法则，其定义为：若函数y=f(x)是关于变量x的函数，而z=F(y)是关于y的函数，则关于x的F(y)的导数由z的导数乘以y的导数的乘积来决定，即：∂z/∂x = (∂z/∂y) *(∂y/∂x) 2. 偏导数法则：偏导数法则认为多元函数是关于各独立变量变化而变化，即每个变量是由与它独立变量组成的函数组合而成。
这时，只要将函数分解为每个独立变量的函数，分别求出偏导数后，组合即可得到多元函数的极限导数。
3. 偏导数链式法则：偏导数链式法则是将链式法则与偏导数法则相结合而推出的求多元复合函数极限的法则，其定义为：若函数u=f(x,y,z)是三元函数，而v=F(u,z)是关于u，z的多元函数，则u的偏导数即得到v的偏导数，即：∂v ∂x = (∂v/∂u)(∂u/∂x) + (∂v/∂z)(∂z/∂x) 4.Derivative of a composite function：This rule states that for a function y = f(x) composed of two functions u = g(x) and v = h(x), then the derivative of y with respect to x is equal to the product of the derivatives of u and v with respect to x. This can be written as y'(x) = u'(x)·v'(x) 以上是多元多重复合函数常用的求到法则，而求多元复合函数极限的步骤可由偏导数链式法则推导而得。
首先，求出函数中每个变量的偏导数，然后分别乘以各自的函数值，最后将结果进行相乘组合计算即可得到多元复合函数的极限值。
多元函数的求导法则-精选
z z u z v y u y v y
x yx y
eusinvx eucovs1
e x y [x six n y ) (co x y s )( ]
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主讲人： 苏本堂
例2. u f(x ,y ,z ) e x 2 y 2 z 2 ,z x 2 sy i,求nu , u x y
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推广: 设下面所涉及的函数都可微 .
1) 中间变量多于两个的情形. 例如, zf(u,v,w ),
u ( t ) ,v ( t ) ,w ( t )
z
d z z du z dv z dw d t u d t v dt w dt
在点 t 可导, 且有链式法则 dzzduzdv dt u dt v dt
z
uv
证: 设 t 取增量△t , 则相应中间变量 t t
有增量△u ,△v ,
zzuzvo() (( u)2( v)2)
u vΒιβλιοθήκη 山东农业大学高等数学
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zzuzv o ( ) (( u)2( v)2)
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第四节多元复合函数的求导法则
一、多元复合函数求导的链式法则 二、多元复合函数的全微分
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一、多元复合函数求导的链式法则
定理. 若函数 u (t),v (t)在 t可 点 ,z导 f(u,v) 在点 (u,v)处偏导连续, 则复合函数 zf((t) ,(t))
e xy[x six ny ) (co x y s )]d(y 所以 zexy[ysixn y()co x sy)(]
高数第四节-多元复合函数的求导法则
u
x
F (x , y)
z
v
y
定理 2 ：设 u = ( x , y ), v = ( x , y ) 在点 ( x , y ) 偏
导数存在，z = f ( u , v ) 在对应的点 ( u , v ) 处具有连续
偏导数，则复合函数 z = f [ ( x , y ) , ( x , y ) ] 在点
zx , zxx , z xy.
解：令 v = x y , 则 z u v , u (x , y) , v x y
u
y
z
v
x
z z u z v u y
x u x v x x
2z xy
{
u x
y
}
' y
1
2u , xy
2z x2
2u x2
例6：设 z y 2 ( x y) , 为可微函数，求证
连续偏导数，求w 和 2w . x xz
解 令 u x y z, v xyz , 则 w f (u,v),
2w xz
f1 z
( yf2
yz f2), z
u
x
f1 f1(u, v), f2 f2(u, v), w
v
y z
f1 z
f1 u f1 v u z v z
f11 xyf12;
第四节：多元复合函数的求导法则
设 y f (u) , u (x) , 则 y f [ ( x) ] ,
d y d y du dx du dx
dy
du
du
y
u dx
x
dy
dx
设 z f ( u, v ) , u (x , y) , v (x , y) ,
高数多元函数微分学教案第四讲多元函数的复合求导法则
高数多元函数微分学教案第四讲多元函数的复合求导法则第四讲多元复合函数的求导法则授课题目：§8.4 多元复合函数的求导法则教学目的与要求：掌握复合函数一阶偏导数的求法，会求复合函数的二阶偏导数。
教学重点与难点：重点与难点：求多元复合函数的偏导数．讲授内容：回顾一元复合函数求导的连锁法则．一、多元复合函数的求导法则1、复合函数的中间变量均为一元函数的情形定理1 如果函数u =?(t )及v =ψ(t )都在点t 可导, 函数z =f (u , v )在对应点(u , v )具有连续偏导数, 则复合函数z =f [?(t ), ψ(t )]在点t 可导, 且有dtdv v z dt du u z dt dz +=. 证明设t 获得增量,t ?则u =?(t )和v =ψ(t )获得对应的增量u ?，,v ?由此函数z =f (u , v )相应地获得增量z ?．因为z =f (u , v )具有连续的偏导数, 所以它点(u , v )处可微, 于是)(ρo v v z u u z z ++=?)()]([)]([ρo t o t dtdv v z t o t dt du u z +?++?+= )()()()(ρo t o vz u z t dt dv v z dt du u z ++??+?+=, ?to t t o v z u z dt dv v z dt du u z t z ?++??+???+???=??)()()(ρ ?dt du v z dt du u z t z dt dz t ??+??==??=→?0lim 注：0)()(0)()()(lim )(lim 222200=+?=??+??=?→?→?dt dv dt du t v u o t o t t ρρρ. 推广：设z =f (u , v , w ), u =?(t), v =ψ(t ), w =ω(t ), 则z =f [?(t), ψ(t ), ω(t )]对t的导数为；dtdw w z dt dv v z dt du u z dt dz ??+??+??=. 上述dtdz 称为全导数．例1 设)arctan(2y x z -=，24,3t y t x ==，求全导数dtdz 解 dtdy y z dt dx x z dt dz += ＝22)(11y x -+（t y 8231?-?）＝243)163(1643t t t -+- 提问：设z =f (t , v )，v =ψ(t )，则dt dz ＝？例2 设x y y x z sin ,2=+=，求全导数dx dz 解 dt dy y z dt dx x z dt dz +=dtdy y z x z +??= x xx x y x sin 2cos 2cos 212+=+=2、复合函数的中间变量均为多元函数的情形定理2 如果函数u =?(x , y ), v =ψ(x , y )都在点(x , y )具有对x 及y 的偏导数, 函数z =f (u , v )在对应点(u , v )具有连续偏导数, 则复合函数z =f [?(x , y ), ψ(x , y )]在点(x , y )的两个偏导数存在, 且有xv v z x u u z x z +=??, yv v z y u u z y z +=??.例3 设v u z ln 2=，y x u =，y x v -=3, 求x z ??和yz ?? 解 311ln 22??+?=+=??vu y v u x v v z x u u z x z )3(3)3ln(2222y x y x y x y x-+-=)1(1)(ln 222-?+-=+=??v u yx v u y v v z y u u z y z )3()3ln(22232y x y x y x y x ----= 推广：设z =f (u , v , w ), u =?(x , y ), v =ψ(x , y ), w =ω(x , y ), 则xw w z x v v z x u u z x z ++=??, yw w z y v v z y u u z y z ++=??. 提问：(1)设z =f (u , v ), u =?(x , y ), v =ψ(y ), 则=??xz ？=??y z ？（提示: x u u z x z =??, dydv v z y u u z y z +??=??.） (2)设z =f (u , x , y ), 且u =?(x , y ), 则=??xz ？=??y z ？（提示: x f x u u f x z ??+=??, y f y u u f y z ??+=??.） 3、复合函数的中间变量既有一元函数, 又有多元函数的情形定理3 如果函数u =?(x , y )在点(x , y )具有对x 及对y 的偏导数, 函数v =ψ(y )在点y 可导, 函数z =f (u , v )在对应点(u , v )具有连续偏导数, 则复合函数z =f [?(x , y ), ψ(y )]在点(x , y )的两个偏导数存在, 且有例4 设y x v y x a u v u e z ax -=+=-=cos ,sin ),(，求x z ??和y z ??解 ==),,(v u x f z )(v u e ax-， xv v f x u u f x f x z ++??=?? xe x a e v u ae ax ax ax sin cos )(++-= ]2sin )1[(2ay x a e ax ++=ax ax ax e e e yz 2)1(1=--?=?? 例5 设y z x z v u f xy x f z =，）可微，求（，其中在＝,),( 解设xy v x u ==,xv v f dx du u f x z +???=??21f y f '+'=? 2f x yv v f y z '==??? 例6 设)(22y x u +=?，其中?可导，求证0=??-??xu y y u x 证设22y x z +=，则u=)(z ?0)(22)(='?-?'?=??-??z x y y z x xu y y u x ?? 例7 设),,,(y x u f z =其中f 具有对各变量的连续的二阶偏导数，yxe u =，求y x z 2 解21f e f xz y '+'=??y f e f e y f y x z y y ?'?+'+?'?=2112232111311)(f xe f e f e f xe f y y y y ''+''+'+''+''= 二、全微分形式不变性: 设z =f (u , v )具有连续偏导数, 则有全微分dv vz du u z dz ??+??=. 如果z =f (u , v )具有连续偏导数, 而u =?(x , y ), v =ψ(x , y )也具有连续偏导数, 则dy yz dx x z dz ??+??=dy yv v z y u u z dx x v v z x u u z )()(+++= )()(dy y v dx x v v z dy y u dx x u u z ??++??+= dv v z du u z ??+??=. 由此可见, 无论z 是自变量u 、v 的函数或中间变量u 、v 的函数, 它的全微分形式是一样的. 这个性质叫做全微分形式不变性.例8 设z =e u sin v , u =x y , v =x +y , 利用全微分形式不变性求全微分. 解 dv vz du u z dz ??+??== e u sin vdu + e u cos v dv = e u sin v (ydx +x dy )+ e u cos v (dx +dy )=( ye u sin v + e u cos v )dx +(xe u sin v + e u cos v )dy=e xy [y sin(x +y )+cos(x +y )]dx + e xy [x sin(x +y )+cos(x +y )]dy .课堂练习：习题8－4：1，4，6，8（1），10，11，12（2）课外作业：习题8－4 P 31-2、4、11。
高等数学8-4 多元复合函数的求导法则
故
f f f f f du ( )dx ( )dz x y x y t x y t z z
由全微分定义
u f f f x x y x y t x u f f z y t z z
dz z du z dv ． dt u dt v dt
证 设 t 获得增量 t，
则 u ( t t ) ( t ), v ( t t ) ( t );
由于函数 z f ( u, v ) 在点( u, v ) 有连续偏导数
z z z u v 1 u 2 v , u v 当u 0 ，v 0 时， 1 0 ， 2 0
解一 变量间的关系如下图所示 x x
x
u
y
t
x
z u f f y f z x x y x z x
y x x t x u f f f x x y x y t x
合函数 z f [ ( x , y ), ( x , y ), w( x , y )] 在对应点
( x , y )的两个偏导数存在，且
z z u z v z w , x u x v x w x z z u z v z w . y u y v y w y
z z dz dx dy x y
z u z v z u z v dx dy u y v y u x v x z u u z v dx dy dx v dy u x y v x y
z z 求 和 . x y
解
高等数学 第四节 多元复合函数的求导法则
11
例 4 . 已知 e
−xy
∂z ∂z − 2z + e = 0 , 求 . 和 ∂x ∂y
z
解 . Q d (e − x y − 2 z + e z ) = 0 , ∴ e − x y d (− x y ) − 2 d z + e z d z = 0 ,
− e − xy ( x d y + y d x) = ( 2 − e z ) dz
dz=
− y e−xy (2−e )
z
dx+
− x e−xy (2−e )
z
dy
∴
∂ z y e−xy = z , ∂x e −2
∂ z x e−xy = z . ∂y e −2
12
复合函数的高阶偏导数
∂2z 2 2 2 例5 . 设 z = f ( x y , x − y ) , f ∈ C , 求 . ∂x∂y
= f x ⋅ x ′( t ) + f y ⋅ y ′( t ) + 0 ⋅ x ′ 2 + y ′ 2
即
du = f x ⋅ x′(t ) + f y ⋅ y′(t ) . dt
2
x = x (t ) 推广 . 对于 u = f ( x , y , z ) , y = y ( t ) , z = z (t ) f 可微, x(t ) , y(t ) , z(t ) 可导.
∂z ∂z 求 , . ∂x ∂y ∂z ′ 解. = f1′ ⋅ u x + f 2 ∂x
课件8-4多元复合函数求导法则
反函数求导法则：多元复合函数求导的 反函数法则
求导法则的适用范围与限制条件
适用范围：多元复合函数求导法则适用于多元函数求导
限制条件：求导法则不适用于不可导函数
求导法则的适用条件：函数在求导点处连续且可导 求导法则的适用范围：多元复合函数求导法则适用于多元函数求导，但需 要满足一定的条件，如函数在求导点处连续且可导等。
率
求导法则：链 式法则，即先 对内层函数求 导，再对外层
函数求导
多元复合函数的导数计算方法
链式法则：将多元复合函数分解为一系列基本函数，然后应用基本函数的 导数法则进行计算
偏导数法则：对于多元复合函数中的每个自变量，分别计算其偏导数，然 后求和得到多元复合函数的导数
混合偏导数法则：对于多元复合函数中的多个自变量，分别计算其混合偏 导数，然后求和得到多元复合函数的导数
链式法则：f'(x,y) = u'(x,y)v(x,y) + u(x,y)v'(x,y) = (u(x,y) + v(x,y))' 链式法则的推广：对于多元复合函数f(x,y,z) = u(x,y,z)v(x,y,z)，链式法则为f'(x,y,z) = u'(x,y,z)v(x,y,z) + u(x,y,z)v'(x,y,z)
多元复合函数求导 法则
,
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CONTENTS
01 添加目录标题 02 多元复合函数的导数概念 03 多元复合函数的链式法则 04 多元复合函数的偏导数与全导数
05 多元复合函数的求导法则总结
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第一章
多元复合函数的导数概念
高等数学第八章多元微分第四节多元复合函数求导
x yx y
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上述求导规则称为多元复合函数的链式法则. 具有 如下特点:
1. 复合后的函数有几个自变量，对应地就有几个 偏导数;
2. 有几个中间变量，就有几项相加;
3. 相加的每一项都是复合函数对某一中间变量的
偏导数和该中间变量对特定自变量的偏导数的乘积;
4. 中间变量或自变量只有一个时，公式中的求导
记号用 d ，不止一个时用偏导数记号
dx
x
5
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特例1. z f( u ,v ) ,u ( x ,y ) ,v ( y )
z z u z 0 z u x u x v u x
z z u z dv y u y v d y
特例2. z f( x ,v ) ,v ( x ,y )
2001考研
解 由题设 ( 1 ) f(1 ,f(1 ,1 ))f(1,1)1
d 3(x)
dx
x
132(x)ddx
x1
3 f1(x,f(x,x))
f 2 ( x , f ( x , x ) )
32 3(23)51
x 1
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个人观点供参考，欢迎讨论！
续的偏导数, 则复合函数
的导数为
dzzduzdv dt u dt v dt
全导数 证略（利用全增量公式）
z
uv tt
注 求多元复合函数的偏导数，只要对每一个中间
变量施行一元函数的链式法则，再相加即可. 重要的是
搞清楚函数的复合关系.
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推广 设 zf(u,v,w ),而
u ( t ) ,v ( t ) ,w ( t )
上页下页返回结束dtdzdtdzdtdudtdvcoslnsinlncosln上页下页返回结束解利用全导数求导数dxdydxdydxdudxdvcossinlnlnlnlnsin上页下页返回结束引入中间变量cossin上页下页返回结束1211上页下页返回结束xyzxyxyzxy上页下页返回结束二全微分形式的不变性是自变量还是中间变量则复合函数其全微分的表达形式都一样这一性质称为全微分形式的不变性
多元函数求导法则公式
多元函数求导法则公式1.偏导数：偏导数是多元函数在其中一点上对其中一个自变量的导数，可以通过对该自变量求导来得到。
偏导数的计算方法与一元函数的导数计算类似，只需要将其他自变量视为常数。
记多元函数为f(x1, x2, ..., xn)，则对第i个自变量的偏导数表示为∂f/∂xi。
具体的计算公式如下：- 对于常数函数：如果f(x1, x2, ..., xn) = C，则对任何xi，偏导数都是0。
- 对于一次多项式函数：如果f(x1, x2, ..., xn) = a1x1 + a2x2+ ... + anx_n，则对任何xi，∂f/∂xi = ai。
- 对于乘积函数：如果f(x1, x2, ..., xn) = g(x1, x2, ...,xn)h(x1, x2, ..., xn)，则对任何xi，有∂f/∂xi = h(x1, x2, ..., xn) * (∂g/∂xi) + g(x1, x2, ..., xn) * (∂h/∂xi)。
2.全微分：全微分是多元函数在其中一点上沿所有自变量变化时的变化率，由偏导数组成的线性函数。
全微分的符号为df。
记多元函数为f(x1, x2, ..., xn)，则全微分表示为df = ∂f/∂x1 dx1 + ∂f/∂x2 dx2 + ... + ∂f/∂xn dxn。
3.链式法则：链式法则是多元函数求导中经常使用的方法，用于计算复合函数的导数。
假设有两个函数y=f(u)和u=g(x)，则复合函数y=f(g(x))的导数可以通过链式法则计算。
具体公式如下：dy/dx = (dy/du) * (du/dx)4.高阶偏导数：高阶偏导数指的是对多元函数的偏导数再次求导的过程。
对于二阶偏导数，可以通过对一级偏导数再次求导得到。
具体的计算方法为，先计算一级偏导数，然后对一级偏导数再次求导。
记二阶偏导数为∂²f/∂x²，则有∂²f/∂x²=∂/∂x(∂f/∂x)5.性质：多元函数的偏导数遵循以下性质：-对自变量求偏导，得到的结果是一个函数。
多元复合函数求导法则
例 3 设z uv sint ，而u et，v cos t ，
求全导数 dz . dt
u z vt
解 d zzd uzd vz t
dtudtvdtt
vte u sit n co t s
e tcto e tsti n ctos
et(cto ssit)n co t. s
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11
eu(ysivn co v)s, z
vy
z y
z u
u y
z v v y
e u sv ix n e u cv o 1 s eu(xsivn co v)s.
编辑版pppt
8
链式法则的规律：“连线相乘，分线相加”
设 u(x,y),v(x,y),w(x,y)
都在点 (x, y) 具有偏导数，zf(u,v,w)在
d u d (x y ) y d x x d y ,d v d (x y ) d x d y ,
d z ( e u c o s v y e u s i n v ) d x ( e u c o s v x e u s i n v ) d y dzzdxzdy e x y [y c o s (x y ) s in (x y )]d x
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14
dzzdxzdy x y
u zu xvzxvdxuzu yvzvydy
zudxudy ux y
zvdxvdy vx y
z du z dv . u v
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15
例5 设 z eucosv,而 u x y ,v x y ,
求 z ,z .
x y
解 dzd(eucosv) eu c o sv d u eu ( sin v)d v
高等数学第八章第4节复合求导
u u r u y r y y
r y , y r y
1 x y 2 1 ( x )
x x y
2 2
u y u x r r r 2 u u cos sin r r u 2 u 2 u 2 1 u 2 ( ) ( ) ( ) 2 ( ) x y r r
口诀 : 分段用乘, 分叉用加, 单路全导, 叉路偏导
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z z 例1. 设 z e sin v , u x y , v x y , 求 , . x y z z v 解: x v x
u
eu sin v
z y
eu cos v 1
1) 中间变量多于两个的情形. 例如, z f (u, v, w) ,
z
u v w
t t t
2) 中间变量是多元函数的情形.例如,
z f (u, v) , u ( x, y) , v ( x, y)
z z u z v f11 f 2 1 x u x v x z z u z v f1 2 f 2 2 y u y v y
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例5. 设
极坐标系下的形式
二阶偏导数连续,求下列表达式在
解: 已知
,则
u
u u r (1) x r x
r
x yx y
y (当 在二、三象限时, arctan ) x
u u sin cos r r
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1 ;
2. 全微分形式不变性
高等数学 第八章 第4节 多元函数的求导法则(中央财经大学)
第四节 多元复合函数的求导法则一. 全导数多元函数经复合运算后, 一般仍是多元函数, 但也可能成为一元函数.按前面关于多元函数的讨论方法, 复合函数求导法则的研究可从复合后成为一元函数的情况开始.这就是全导数问题.你能由此猜想到多元函数的复合函数求导法则吗 ？你能由此猜想到多元函数的复合函数求导法则吗 ？由此可推至一般的情况由此可推至一般的情况设以下函数满足定理的条件; )( , )( , ),(t y y t x x y x f z ===;)( , )( , )( , ),,(t z z t y y t x x z y x f u ====. )( , )( , ),,(x z z x y y z y x f u === 请同学自己写请同学自己写开始对答案你做对了吗 ?你做对了吗 ?二. 链导法则一般多元复合函数的求导法则假设所有出现的函数求导运算均成立,z uvwxy将 y 看成常数将 y 看成常数 将 x 看成常数 将 x 看成常数分别将 x , y 看成常数, 按全导数公式求导, 而在具体运算时, 实质上又是求多元函数的偏导数.分别将 x , y 看成常数, 按全导数公式求导, 而在具体运算时, 实质上又是求多元函数的偏导数.u v x yzu v x yzuF x yyz∂∂ 2 21f e x f y yz xy′+′−=∂∂ 自己做 自己做=三. 全微分形式不变性记得吗?一元函数的微分有一个重要性质： 一阶微分形式不变性对函数)(u f y =不论 u 是自变量还是中间变量, 在可微的条件下, 均有d )(d u u f y ′=与y y z x x z z d d d ∂∂+∂∂=比较, 得与y y z x x z z d d d ∂∂+∂∂=比较, 得,0=+dz e dz )(ydx xdy +xy −与y y zx x z z d d d ∂∂+∂∂=比较, 得谢谢大家！。
多元函数求导法则公式
多元函数求导法则公式多元函数的求导法则公式有很多，下面我将逐个介绍并给出推导过程。
1.复合函数的求导法则：设函数z=f(u,v)是由u=g(x,y)和v=h(x,y)给定的复合函数。
求导法则公式为：∂z/∂x=(∂z/∂u)(∂u/∂x)+(∂z/∂v)(∂v/∂x)和∂z/∂y=(∂z/∂u)(∂u/∂y)+(∂z/∂v)(∂v/∂y)推导过程：设z=f(u,v)，u=g(x,y)，v=h(x,y)。
根据链式法则公式，dz/dx = ∂z/∂u * du/dx + ∂z/∂v * dv/dx即∂z/∂x=(∂z/∂u)(∂u/∂x)+(∂z/∂v)(∂v/∂x)同理，可以得到∂z/∂y的表达式。
2.隐函数的求导法则：设G(x,y,z)=0是一个由两个变量x和y决定的函数z的隐函数关系式。
求导法则公式为：dz/dx = - (∂G/∂x)/(∂G/∂z) 和 dz/dy = -(∂G/∂y)/(∂G/∂z)推导过程：根据隐函数求导公式，有 dx/dy = - (∂G/∂y)/(∂G/∂x)。
同时，我们可以得到 dz/dx = (dz/dx)/(dx/dy) = -(∂G/∂x)/(∂G/∂y)。
根据分子分母同乘以∂z/∂x，即 dz/dx = - (∂G/∂x)/(∂G/∂z)。
同理，可以得到 dz/dy 的表达式。
3.参数方程的求导法则：设x=f(t)，y=g(t)，z=h(t)是由参数t给定的函数。
求导法则公式为：dz/dt = (∂z/∂x)(dx/dt) + (∂z/∂y)(dy/dt)推导过程：根据链式法则公式，dz/dt = (∂z/∂x)(dx/dt) + (∂z/∂y)(dy/dt)4.偏导数的求导法则：设函数z=f(x,y)是关于x和y的函数。
求导法则公式为：∂²z/∂x²=∂/∂x(∂z/∂x)和∂²z/∂y²=∂/∂y(∂z/∂y)以及∂²z/∂x∂y=∂/∂x(∂z/∂y)和∂²z/∂y∂x=∂/∂y(∂z/∂x)推导过程：根据二阶导数的定义，∂²z/∂x²=∂/∂x(∂z/∂x)和∂²z/∂y²=∂/∂y(∂z/∂y)。
高等数学第八章 第四节
则复合函数 z = f [ ( t ),ψ ( t )]在对应点 t可导, 且
其导数可用下列公式计算: 其导数可用下列公式计算 d z z d u z d v . = + d t u d t v d t
证 设 t 获得增量 t,
则 u = ( t + t ) ( t ), v = ψ ( t + t ) ψ ( t );
问: 项数 每一项 中间变量 的个数 的个数.
例 设 y = (cos x )
sin x
dy , 求 dx
法一:对数求导法 解 法一 对数求导法
v 法二 令u = cos x , v = sin x , 则y = u
dy y du y dv = + dx u dx v dx
= vu
v 1
( sin x ) + u ln u(cos x )
例
设 w = f ( x + y + z , xyz ) , f 具有二阶
w 2 w 连续偏导数, 连续偏导数,求 和 . x xz
解 令 u = x + y + z, 记
v = xyz;
f ( u , v ) f1′ = , u ′′ f11 ,
2 f ( u, v ) ′′ f12 = , u v ′′ f 22 .
z z u z v z w + = + x u x v x w x
z z u z v z w = + + y u y v y w y
z
u v w
x
y
例 设z =
1
u2 + v 2 + w 2 w = 2xy . 求 z x
多元函数求导法则公式
多元函数求导法则公式一、多元函数的偏导数对于一个多元函数，它可能包含多个变量。
在求导时，我们可以将其中一个变量视为其他变量的常数，然后对函数进行求导。
这样得到的导数称为偏导数。
设函数为f(某1,某2,...,某n)，其中某i为变量，偏导数表示为∂f/∂某i。
二、常用的多元函数求导法则公式如下：1.乘法法则设u(某1,某2,...,某n)和v(某1,某2,...,某n)是多元函数，它们都可导，则它们的乘积f(某1,某2,...,某n)=u(某1,某2,...,某n)某v(某1,某2,...,某n)的偏导数可以通过以下公式求得：∂f/∂某i=(∂u/∂某i)某v+u某(∂v/∂某i)这个公式的推导可以通过将f(某1,某2,...,某n)展开为u(某1,某2,...,某n)和v(某1,某2,...,某n)的元素乘积之和，然后使用链式法则（一元函数求导法则）进行求导。
2.除法法则设u(某1,某2,...,某n)和v(某1,某2,...,某n)是多元函数，它们都可导，并且v(某1,某2,...,某n)≠0，则它们的商函数f(某1,某2,...,某n)=u(某1,某2,...,某n)/v(某1,某2,...,某n)的偏导数可以通过以下公式求得：∂f/∂某i=(∂u/∂某i)某v-u某(∂v/∂某i)/v^2这个公式的推导可以通过使用乘法法则和链式法则进行求导。
3.复合函数法则设u(某1, 某2, ..., 某n)和v(某1, 某2, ..., 某n)是多元函数，它们都可导，并且g(t)是一元函数，t是独立变量。
若f(某1, 某2, ..., 某n) = u(v1, v2, ..., vm)，其中vi = g(i, 某1, 某2, ..., 某n)，则f(某1, 某2, ..., 某n)的偏导数可以通过以下公式求得：∂f/∂某i = ∂f/∂vi 某 (∂vi/∂某i)这个公式的推导可以通过使用链式法则进行求导。
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上定理的结论可推广到中间变量多于两个的情况.
如 dz z du z dv z dw dt u dt v dt w dt
u
z
v
t
w
以上公式中的导数 dz 称为全导数.
dt
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第八章
上定理还可推广到中间变量不是一元函数
而是多元函数的情况：z f [( x, y), ( x, y)].
第八章
例3 设 z f ( x2 y2 ,xy ), f 可微，求 z , z .
x y 解：令u x2 y2 ,v xy
z z u z v x u x v x
2x z y z u v
z z u z v y u y v y
2 y z x z u v
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第八章
一、链式法则
第八章
定理 如果函数 u (t ) 及v (t ) 都在点t 可
导，函数 z f (u,v)在对应点(u,v) 具有连续偏
导数，则复合函数z f [ (t ), (t )]在对应点t 可
导，且其导数可用下列公式计算：
第八章
类似地再推广，设u ( x, y)、v ( x, y)、
w w(x, y)都在点( x, y)具有对 x和 y的偏导数，
复合函数z f [ ( x, y), ( x, y), w( x, y)]在对应点
( x, y)的两个偏导数存在，且可用下列公式计算
z
z
u
z
v
z
w
,
x u x v x w x z
第八章
例1 设 z ln( 2v 3u ),u 3x2 ,v sin x,求 dz . dx
解： dz z du z dv dx u dx v dx
3 6 x 2 cos x 2v 3u 2v 3u
18x 2 cos x 2 sin x 9x2
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两者的区别
v 0, w 1.
y
y
区
z f u f . y u y y
别 类 似
把 z f ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱu, x, y)
把 复 合函 数 z f [ ( x, y), x, y] 中的u 及 y 看作不
中的 y 看作不变而对x 的偏导数 变而对x 的偏导数
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第八章
第四讲
多元函数求导法则
链式法则 隐函数定理
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教学目标：
1. 掌握复合函数的求导法则； 2. 会用链式法则求导； 3. 会求隐函数的偏导数。 教学重点：会用链式法则求导。 教学难点：全微分的不变性。 教学方法：类比法，讲授法 课时安排：2 课时
导数的函数 y f ( x)，它满足条件 y0 f ( x0 )，并
有
dy Fx .
dx Fy
隐函数的求导公式
第八章
1. F( x, y) 0
隐函数存在定理 1 设函数F ( x, y)在点P( x0 , y0 )的 某一邻域内具有连续的偏导数，且F( x0 , y0 ) 0， Fy ( x0 , y0 ) 0，则方程F ( x, y) 0在点P( x0 , y0 )的
某一邻域内恒能唯一确定一个单值连续且具有连续
z v
v
1u
2v,
当u 0，v 0时， 1 0， 2 0
z t
z u
u t
z v
v t
1
u t
2
v t
当t 0时， u 0，v 0
u du , t dt
v dv , t dt
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第八章
dz lim z z du z dv . dt t0 t u dt v dt
如果u ( x, y)及v ( x, y)都在点( x, y)
具有对x 和 y 的偏导数，且函数z f (u,v)在对应
点( u, v ) 具有连续偏导数，则复合函数
z f [ ( x, y), ( x, y)]在对应点( x, y) 的两个偏
导数存在，且可用下列公式计算
z z u z v ，
第八章
例2
设z
arctan v ,u u
x2
y2 ,v
xy,求 z , z . x y
解： z z u z v x u x v x
2 xv v2 u2
v2
yu u2
z z u z v y u y v y
2 yv v2 u2
xu v2 u2
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z
z
u
z
v
.
x u x v x y u y v y
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第八章
链式法则如图示
u
x
z
v
y
z z u z v , x u x v x z z u z v . y u y v y
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dz z du z dv ． dt u dt v dt
证 设 t 获得增量 t，
则 u (t t) (t), v (t t) (t);
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第八章
由于函数z f (u, v)在点(u, v)有连续偏导数
z
z u
u
z
z
u
z
v
z
w
.
y u y v y w y
u v w
x
y
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第八章
特殊地 z f (u, x, y) 其中 u ( x, y)
即 z f [( x, y), x, y], 令 v x, w y,
v 1, w 0,
x
x
z f u f , x u x x
第八章
例
4
设z
f(x
y,x2
y2
), f 可微，求 z , z . x y
解： z x
f1( x
y )x
f2 ( x2
y2
)x
f1 2xf2
z y
f1( x
y )y
f2 ( x2
y2
)y
f1 2 yf2
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二、隐函数的偏导数